【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之38指数对数不等式

【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之38指数对数不等式一、选择题（共17小题；共85分）

1. 若1

3x

>27，则x的取值范围是

A. ?∞,?3

B. ?∞,?3

C. ?3,+∞

D. R

2. 如果x>1，a=log1

2

x，那么

A. a2>2a>a

B. 2a>a>a2

C. a2>a>2a

D. a>2a>a2

3. 设集合M=x x2=x，N=x lg x≤0，则M∪N=

A. 0,1

B. 0,1

C. 0,1

D. ?∞,1

4. 下列不等式中，解集为R的是

A. 4x2?4x+1>0

B. ?x2?2x+4>0

C. 1

2x?1

>0 D. x+1≥x+1

5. log2x?3>1，则x的取值范围是

A. 4,+∞

B. 4,+∞

C. 5,+∞

D. 0,+∞

6. " ln x>1“是”x>2 "的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

7. 若不等式1

3x2?2ax

<33x+a2恒成立，则a的取值范围为

A. 0

B. a>3

4C. 0

4

D. a<3

4

8. 设f x=lg2

1?x

+a 是奇函数，则使f x<0的x的取值范围是

A. ?1,0

B. 0,1

C. ?∞,0

D. ?∞,0∪1,+∞

9. 已知a= ?3

2?3

，b=tan2，c=log1

4

8，则有

A. c

B. b

C. c

D. b

10. 已知函数f x=log2x,x>0

2x,x≤0，若f a=

1

2

，则a=

A. ?1

B. 2

C. ?1或2

D. 1或?2

11. 不等式组 x?2<2,

log2x2?1>1,的解集为

A. 0,3

B. 3,2

C. 3,4

D. 2,4

12. 若x=log43，则2x?2?x2=

A. 9

4B. 5

4

C. 10

3

D. 4

3

13. 已知命题p:?x>0，x+4

x

≥4；命题q:?x0∈R，2x0=?1．则下列判断正确的是

A. p是假命题

B. q是真命题

C. p ∧ ?q 是真命题

D. ?p ∧q 是真命题 14. 函数 y =4x +2x +1+1 的值域为

A. 0,+∞

B. 1,+∞

C. 1,+∞

D. ?∞,+∞

15. 一个等比数列前三项的积为 2，最后三项的积为 4，且所有项的积为 64，则该数列有

A. 13 项

B. 12 项

C. 11 项

D. 10 项

16. 若不等式 12

x 2

?2ax

<23x +a 2

恒成立，则实数 a 的取值范围是

A. 0,1

B. 3

4

,+∞

C. 0,3

4

D. ?∞,3

4

17. 已知正项等比数列 a n 中，a 1=2，若 b n =log 2a n ，且数列 b n 的前 7 项和 T 7 最大，T 7≠T 6，

则数列 a n 的公比 q 的取值范围是 A. 217

B. 2

?

16

17

C. q <2?1

6 或 q >2?1

7

D. 1>21

6 或 q <21

7

二、填空题（共21小题；共105分） 18. 方程 log 2 3x +2 =1+log 2 x +2 的解为 ． 19. 方程 4x ?2x +1?3=0 的解是 ．

20. 如图，过原点 O 的直线与函数 y =2x 的图象交于 A ，B 两点，过点 B 作 y 轴的垂线交函数

y =4x 的图象于点 C ，若 AC 平行于 y 轴，则点 A 的坐标是 ．

21. 方程 22x ?4?2x +3=0 的根为 .

22. 若 2m >4，则 m 的取值范围是 ；若 0.1t >1，则 t 的取值范围是 . 23. 已知函数 f x =a x +a ?x a >0,a ≠1 且 f 1 =3，则 f 0 +f 1 +f 2 = ． 24. 已知函数 f x =a ?2x 的图象经过原点，则不等式 f x >3

4 的解集为 ．

25. 已知关于 x 的不等式 lg2?lg50+ lg5 2<2?lg x ，则实数 x 的取值范围为 ． 26. 已知函数 f x = 3x ,x ≤1,?x ,x >1. 若 f x =2，则 x = .

27. 已知 1≤lg x

y ≤2，2≤3 y

≤3，则 3

y 3 的取值范围是 .

28. 已知 0

29. 如果方程 lg 2x +lg6?lg x +lg2?lg3=0 的两个根分别为 x 1，x 2，那么 x 1?x 2 的值为 ． 30. 已知函数 f x = a ?3 x +5,x ≤1,2a ?log a x ,x >1,

是 ?∞,+∞ 上的减函数，则 a 的取值范围是 ．

31. 定义在R上的偶函数f x在0,+∞上单调递减，且f1

2=0，则f log1

4

x <0的解集

为．

32. 数列a n的前n项和S n，且对任意的n∈N?，都有S n=2

3a n?1

3

，若1

k的值为；若1

33. 若函数y=a2x+2a x?1 a>0,且a≠1在区间?1,1上有最大值14，则a的值为 ．

34. 方程log29x?5=log23x?2+2的解是．

35. 正项等比数列a n中，a5=1

2

，a6+a7=3，则满足a1+a2+?+a n>a1a2?a n的最大正整数n的值为．

36. 已知等比数列a n的首项为2，公比为3，前n项和为S n．若log31

2

a n S4m+1=9，则

1 n +4

m

的最小值是．

37. 如图所示，已知函数y=log24x图象上的两点A，B和函数y=log2x上的点C，线段AC平行

于y轴，三角形ABC为正三角形，点B的坐标为p,q，则实数p的值为．

38. 已知各项都为正数的等比数列a n中，a2?a4=4，a1+a2+a3=14，则满足a n?a n+1?

a n+2>1

9

的最大正整数n的值为．

三、解答题（共18小题；共234分）

39. 已知f x为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f x=log1

2

x．

（1）当x<0时，求f x的解析式；

（2）解不等式f x≤2．

40. 求函数y=2

1

x2+1的定义域和值域．

41. 已知函数f x是定义在R上的奇函数，当x>0时，f x=log2x．

（1）求f x的解析式；

（2）解关于x的不等式f x≤1

2

．

42. 已知函数f x=log a x+1?log a1?x，a>0，且a≠1．

（1）求f x的定义域；

（2）判断f x的奇偶性并予以证明；

（3）当a>1时，求使f x<0成立的x的取值范围．

43. 已知函数f x=e x?ax，a∈R．

（1）若a=1，求函数f x的单调递增区间；

（2）若函数f x在区间1,3上单调递减，求实数a的取值范围．

44. 已知函数f x=a x?1 a>0且a≠1

（1）若函数y=f x的图象经过P3,4，求a的值；

（2）比较f lg1

100

与f?2.1大小，并写出比较过程；

（3）若f lg a=100，求a的值.

45. 已知F x=f x?g x，其中f x=log a x?b，当且仅当点x0,y0在f x的图象上时，

点2x0,2y0在y=g x的图象上 b>1,a>0且a≠1．

（1）求y=g x的解析式；

（2）当a>1，求不等式F x≥0的解．

46. 已知集合A= x1

2x2?x?6

<1，B=x log4x+a<1，若A∩B=?，求实数a的取

值范围．

47. 已知集合A是函数f x=log1x?1的定义域．

（1）求集合A，并求出满足不等式log1

2

x?1>1的x的取值范围；

（2）若集合B是函数g x=2x,x∈?1,2的值域，求出集合B，并求出A∪B．48. 已知函数f x=log3x2?4x+m的图象过点0,1．

（1）求实数m的值；

（2）解不等式：f x≤1．

49. 已知9x?10?3x+9≤0，求函数y=1

4x?1

?41

2

x

+2的最大值和最小值．

50. 已知函数f x=2x?1

2 x

．

（1）若f x=2，求x的值；

（2）若2t f2t+mf t≥0对于t∈1,2恒成立，求实数m的取值范围．

51. 已知函数f x=3?2log2x，g x=log2x．

（1）当x∈1,4时，求函数 x=f x+1?g x的值域；

（2）如果对任意的x∈1,4，不等式f x2?f x >k?g x恒成立，求实数k的取值范围．52. 已知函数f x=b?a x（其中a，b为常数且a>0，a≠1）的图象经过点A1,6，B3,24．

（1）试确定f x；

（2）若不等式1

a x

+1

b

x

?m≥0在x∈?∞,1上恒成立，求实数m的取值范围．

53. 已知函数f x=log a2+x

2?x

0

（1）试判断f x的奇偶性；

（2）解不等式：f x≥log a3x．

54. 设复数z=lg m2?2m?2+m2+3m+2i m∈R，当m取何值时，

（1）z是纯虚数?

（2）z是实数?

（3）复数z的对应点在第二象限?

55. 已知函数f x=log a1?x，a>0且a≠1．

（1）求f x的定义域；

（2）判断f x的奇偶性并予以证明；

（3）当a>1时，求使f x>0的x的解集．

56. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入

生产，到当年年底资金增长了50%．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同，公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n万元．

（1）用d表示a1与a2，并写出a n+1与a n的关系式．

（2）如果企业的生产规模仅与投入的资金有关，为保证企业生产规模持续扩大，求d的取值范围．

（3）当d=500万元时，公司经过多少年可使得剩余资金不少于4000万元?

答案

第一部分 1. B 2. C 3. A 4. D 【解析】对任意 x ，有 x ≤ x 恒成立．

5. C

6. A

7. B

【解析】由题意得 ?x 2+2ax <3x +a 2 恒成立，即 x 2+ 3?2a x +a 2>0 恒成

立．所以 Δ= 3?2a 2?4a 2<0，解得 a >3

4． 8. A 【解析】由 f 0 =0 得 a =?1．于是由 f x =lg 1+x 1?x

<0，得 0<1+x 1?x <1，解得 ?1

9. B

【解析】由 a = ?32

?3

，函数 f x =x

?3

在 ?∞,0 上递减，且 ?3

2

?3

>

?1 ?3，即 a >?1①；由 b =tan2，函数 g x =tan x 在 π2

,π 上递增，且 2<2π3

，得 tan2<

tan

2π3

=? 3，即 b

lg8

lg 1

=3lg2

?2lg2=?3

2，得 ? 3

b <

c

11. C 12. D 【解析】由 x =log 43，得 4x =3，即 2x = 3，2?x = 3

3

，所以 2x ?2?x 2=

2 33

2

=4

3．

13. C 【解析】对于命题 p : 因为 x >0，所以 x +4

x

≥2 x ?4

x

=4（当且仅当 x =2 时，等号成立），所以命题 p 为真命题；

对于命题 q : 因为 ?x ∈R ，2x >0，所以命题 q 为假命题，所以 ?q 为真命题．

14. B 【解析】令 2x =t ，则函数 y =4x +2x +1+1 可化为 y =t 2+2t +1= t +1 2 t >0 ．因为函数 y = t +1 2 在 0,+∞ 上递增，所以 y >1．所以所求值域为 1,+∞ ． 15. B

【解析】设该数列的前三项分别为 a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为 a 1q n?3，a 1q n?2，a 1q n?1 .

所以前三项之积 a 13q 3=2，后三项之积 a 13q 3n?6=4，两式相乘，得 a 16q 3 n?1 =8，即 a 12q n?1=2， 又 a 1?a 1q ?a 1q 2???a 1q n?1=64，

所以 a 1

n ?q

n n ?1 2

=64 ，即 a 12q n?1 n =642，即 2n =642，

所以 n =12 .

16. B 17. B 【解析】因为 b n =log 2a n ，且 a n 是以 a 1=2 为首项，q 为公比的等比数列， 所以 b n =log 2a n =log 2 a 1q n?1 =1+ n ?1 log 2q ， 所以 b n +1?b n =log 2q （常数）， 所以 b n 是等差数列．

因为数列 b n 的前 7 项之和 T 7 最大，且 T 7≠T 6．

所以 1+6log 2q >01+7log 2q <0 解得 ?16

7，

即 2?

16

17

．

第二部分

18. 2

19. log23

【解析】原方程可化为2x2?2?2x?3=0，2x+12x?3=0，所以2x=32x=?1舍去，

所以x=log23．

20. 1,2

21. x=0或x=log23

22. m∈2,+∞，t∈?∞,0

23. 12

【解析】因为f1=a+1

a =3，f0=a0+1

a0

=2，f2=a2+1

a2

= a+1

a

2

?2=7，

所以f0+f1+f2=12．

24. ?∞,?2

25. 0,10

26. log32

27. 26

15

,3

28. x3

【解析】原式转化为a log b x?30=log b10

所以0

所以3

29. 1

6

30. 1,2

【解析】根据分段函数单调性的性质则满足a?3<0,

a>1,

a?3+5≥2a?log a1,

即

a<3,

a>1,

a≤2,

解得1

31. 0,1

2

∪2,+∞

【解析】因为定义在R上的偶函数f x在0,+∞上单调递减，

所以在?∞,0上单调递增．又f1

2

=0，

所以f ?1

2=0，由f log1

4

x <0可得log1

4

x

2

或log1

4

x>1

2

，

解得x∈0,1

2

∪2,+∞．

32. 2或4，4

33. 3或1

3

【解析】y=a2x+2a x?1=a x2+2a x?1=a x+12?2．令a x=t t>0，则y=t+12?2．

①当a>1时，

因为?1≤x≤1，

所以1

a ≤a x≤a，即1

a

≤t≤a．

因为函数y=t+12?2的图象的对称轴为直线t=?1，所以当t=a时，y取得最大值．

所以a+12?2=14，解得a=?5（舍去）或a=3．②当0

因为?1≤x≤1,

所以a≤a x≤1

a ，即a≤t≤1

a

．

所以当t=1

a

时，y取得最大值．

所以1

a +1

2

?2=14．

解得a=?1

5（舍去）或a=1

3

．

所以a的值为3或1

3

．

34. 1

35. 12

【解析】首先由已知条件求出a n的公比与首项，然后根据求和公式和通项公式将不等式的两边求出，用n表示，得到关于n的不等式，然后对不等式进行转化，求得n的取值范围并进行估算和验证，从

而得到n的最大值．

设a n的公比为q q>0，则由已知可得

a1q4=1 ,

1

q+q2=3,解得

a1=1 32

,

q=2,于是

a1+a2+?+a n=1

32

1?2n

1?2

=

1

32

2n?1,

a1a2?a n=a1n q n n?12=1n

2n n?12.

由a1+a2+?+a n>a1a2?a n可得

1

2n?1>1n

2n n?1,

整理得

2n?1>21n2?11n+5.由2n>21n2?11n+5可得

n>1

2

n2?

11

2

n+5,

即

n2?13n+10<0,

解得

13?129

2

13+129

2

,

取n=12，可以验证当n=12时满足

a1+a2+?+a n>a1a2?a n,n≥13

时不满足

a1+a2+?+a n>a1a2?a n,

故n的最大值为12．

36. 5

2

【解析】因a n=2?3n?1，S n=3n?1，由log31

2

a n?S4m+1=9得到log33n?1?34m=9，所以34m+n?1=39，所以4m+n=10，所以

1 n +

4

m

=

1

n

+

4

m

4m+n?

1

10

=16+1+

4n

m

+

4m

n

?

1

10≥

25

10

=

5

2

,

当且仅当m=n=2时取等号．故1

n +4

m

的最小值为5

2

．

37. 3

【解析】由题意可得点A的坐标为 p+3,q+1，

将点A，B的坐标分别代入函数y=log24x，得q+1=log24 p+3, q=log24p.

即q+1=log2 p+3+2, q=log2p+2.

解得p=3．38. 4

【解析】设数列a n的公比为q，由a2?a4=a32=4及a3>0得a3=2，再由2

q2+2

q

+2=14得

q=1

2或q=?1

3

（舍）．因此a n=2?1

2

n?3

=24?n．又因a n?a n+1?a n+2>1

9

，即a n+1

3>1

9

，所以

233?n>1

9，即83?n>1

9

，故n的最大值为4．

第三部分

39. （1）因为任取x<0，则?x>0，所以f?x=log1?x．

又因为f x为奇函数，所以f x=?f?x=?log1

2?x．故当x<0时，f x=?log1

2

?x．

（2）由题意，原不等式等价于

x>0,

log1x≤2.或x<0,

?log1?x≤2.或x=0．

解得x≥1

4

或?4≤x<0或x=0，

故原不等式的解集为 x x≥1

4

或?4≤x≤0 .

40. 函数的定义域为R．

因为x2+1≥1，

所以0<1

x+1

≤1，所以20<21x2+1≤1 . 即函数的值域为y∈1,2 .

41. （1）因为f x是奇函数，

所以f0=0，

当x<0时，?x>0，

所以f?x=log2?x，

又f x是奇函数，

所以f x=?f?x=?log2?x，

综上，f x=log2x,x>0 0,x=0?log2?x,x<0

．

（2）由（1）得f x≤1

2等价于

x>0,

log2x≤1

2

或

x=0,

0≤1

2

或

x<0,

?log2?x≤1

2

,

解的0

2

，

即所求x的集合为 x0≤x≤2或x≤?2

2

．

42. （1）由f x=log a x+1?log a1?x，可得不等式组x+1>0, 1?x>0.

解得?1

故所求定义域为x?1

（2）由（1）知f x的定义域为x?1

对任意x∈x?1

所以f x为奇函数．

（3）由（1）可得，f x=log a x+1

1?x

，其中?1

所以f x<0，即为log a x+1

1?x

<0．

即log a x+1

1?x 1时，函数y=log a x是增函数，所以有

?1

x+1

1?x

<1,解得?1

所以使f x<0成立的x的取值范围是x?1

43. （1）求导得f?x=e x?1，令f?x>0，得e x?1>0，

解得x>0，

所以单调递增区间为0,+∞．

（2）求导得f?x=e x?a，函数f x在区间1,3上单调递减，

即f?x≤0在区间1,3上恒成立．

即e x?a≤0，也就是e x≤a．

易知函数y=e x，x∈1,3的最大值为e3，

所以a≥e3．

44. （1）因为函数y=f x的图象经过P3,4，所以a3?1=4，即a2=4，又a>0，所以a=2．