量子力学复习提纲
量子力学复习提纲
一、简答题
1、什么是黑体？
答：在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。
2、简述光的波粒二象性。
答：吸收、发射以微粒形式，传播 c 。描述波动性的力学量λν,与描述粒子的力学量p E ,之间的联系为νh E =，λ
h
p =
。
3、试简述Bohr 的量子理论。 答：（1）定态假设：电子只能在一组特殊的轨道上运动，在这组轨道上电子处
于稳定状态，简称定态。
（2）频率条件：当电子从一个定态跃迁到另一个定态时，吸收或发射的辐射
频率满足：νh E E n m =- 。 （3）量子化条件：电子在轨道上运动时，其角动量必须是h 的整数倍。
4、简述德布罗意假设。 答：具有能量
E 和动量P
的自由粒子与一个频率为ν、波长为λ的平面波相联系。
ν
h E =，λ
h
p =
。
5、粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短?
答：由基本假设p
h =λ，波长仅取决于粒子的动量而与粒子本身线度无必然联系。
6、波函数模的平方()2
,t r
ψ的物理意义是什么？
答：()
2,t r ψ表示在t 时刻r
点附近单位体积中粒子出现的概率，即概率密度。
7、按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件。 答：波函数应满足的条件是：连续，有限，单值。
8、简述态叠加原理。
答：若n ψψψ,,,21 是体系的可能状态，则n n C C C ψψψψ+++= 2211也是体系的可能状态。这一结论称为态叠加原理。
9．何谓定态？
答：能量具有确定值的状态称为定态。它用定态波函数()()
iEt e
r t r -
=ψψ,描写。
10、简述定态的特性。 答：定态的特性有：
①能量具有确定值。
②几率密度及几率流密度不随t 变化。 ③任何力学量（不含t ）的平均值不随t 变化。 ④任何力学量（不含t ）取各种可能测量值的几率分布不随t 变化。
11、简要解释一维线性谐振子的零点能。 答：一维线性谐振子的零点能为ω
210=
E ，它是谐振子基态的能量，是一种量
子效应，是测不准关系所要求的最小能量，是粒子具有波粒二象性的具体体现，谐振子永远不会静止。
12、一维定态解包括几个量子数？量子数数目取决于什么？
答：一维定态解只是有一个能量量子数。一般说来，量子态的量子数数目等于体系的自由度数目，也即等于描述体系状态的力学量完全集中所包含的力学量数目。
13、量子力学定态解在什么条件下过渡到经典解？
答：量子力学的定态解在量子数∞→n 时，即过渡到经典解，此即玻尔对应原理。
14、什么是束缚态？它有何特性？
答：当粒子被外力（势场）约束于特定的空间区域内，即在无穷远处波函数等于零的态叫束缚态。束缚态的能级是离散的。
15、是否当入射粒子由低势能区射向高势能区时会在交界面发生反射，而由高势能区射向低势能区时不会发生反射？
答：无论粒子由低势能区射向高势能区，或由高势能区射向低势能区，都会发生反射。
16、何谓势垒贯穿？ 答：微观粒子在能量E 小于势垒高度U 0时仍能贯穿势垒的现象，称为势垒贯穿。
17、为什么表示力学量的算符必须要求是线性厄米算符？
答：表示力学量的算符必须是线性算符。这是由态叠加原理所要求的。真实力学量的任何测量值当然必须是实数，这就决定了力学量必须由厄米算符来表达。
18、什么是算符的本征值方程、本征值和本征函数？
答：含有算符F ?的方程n n n F ?λ?=?称为算符F ?的本征值方程，而n λ则称为算符F ?的本征值，函数n ?则称为属于本征值n λ的本征函数。
19、厄米算符有那些特性？ 答：厄米算符有如下性质：
（1）厄米算符的本征值是实数；
（2）厄米算符在任何态的平均值也为实数；
（3）厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交； （4）描写力学量的厄米算符的本征函数是完全系。
20、简述算符与力学量的关系。
答：量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系。
当体系处于算符F ?的本征态n ?时，测量力学量F 的数值是确定的，恒等于n λ；当体系处于波函数∑=
n
n n
C
?ψ所描写的状态时，测量力学量F 所得的数值，必
定是算符F ?的本征值之一，测得n λ的概率是2
n
C 。
21、试述力学量完全集的概念。
答：能够完全描述体系状态的、彼此相互对易的一组力学量称为力学量完全集。它的特点是：（1）力学量完全集的共同本征函数系构成一个希尔伯特空间；（2）力学量完全集所包含力学量的数目等于量子数组（ ,,21n n ）所包含的量子数数目，即体系的自由度数；（3）力学量完全集中所有力学量是可以同时测量的。
22、试给出不确定关系（测不准关系）的数学表达式。
答：若ik G F
=]?,?[，则：4
)?()?(2
2
2
k
G F ≥???，称为不确定关系（测不准关系）。
23、如何用矩阵表示量子态与力学量，并说明理由。
答: 矩阵表示一般用于本征值为分立谱的表象（相应希尔伯特空间的维数是可数的）。具体说，如果力学量A 的本征函数为n ??? ,,21，相应本征值为n A A A ,,21。任意态矢ψ可展开为
∑=
n
n
n a ψ
ψ
态矢ψ在A 表象的表示为展开系数{}n a 组成的一列矩阵
????
??
?
??=n a a a 21ψ
其意义是：在ψ态中，力学量A 取值n A 的几率为2
n a ，与坐标表象波函数的意义相类似。
力学量用厄密矩阵表示
????
??
?
?
?=nn n n n n A A A A A A A A A A
2
1
2222111211 ),(j i ij A A ??= 可见列矩阵与方阵维数与希尔伯特空间维数相同。
用矩阵表示力学量，理由如下：
（1）可以反映力学量作用一个量子态而得到另一个量子态的事实。设
)()(x A x ψ?=，则
??????? ??n b b b
21??????
?
??=nn n n n n A A A A A A A A A
2
1
22221
11211????
??
? ??n
a a a 21
简记为Aa b =； （2）矩阵乘法一般不满足交换律，这恰好能满足两个力学量一般不对易的要求；
（3）厄密矩阵的性质能体现力学量算符的厄密性。
24、算符（力学量）在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?
答：力学量本征值是分立谱时，它在其自身表象中的表示是对角化的，对角元素就是它的本征值。
????
??
?
?
?=n A A A A
000021 本征矢为单一元素列矩阵。
?
?
????
?
??=0011
? ????
??? ??=0102 ? ………
25、狄拉克符号中，引入了右矢
>
，为什么又引入左矢<，右矢和左矢能够
相加吗？
答：在量子力学中，态空间是具有内积的矢量空间，类似于希尔伯特空间波函
数?和ψ的内积?=τψ?ψ?d *),(，>?|和>ψ|的内积记为><ψ?|，|?<是对应于>?|的左矢，属于伴随空间的一个矢量。由于左矢和右矢是分属于不同空间的矢量，它们不能相加。
26．简述定态微扰论的基本思想。
答：量子力学体系的哈密顿算符∧
H 不是时间的显函数时，通过求解定态薛定谔方程，讨论定态波函数。除少数特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解。求解定态薛定谔方程 ψψE H =∧时，若可以把不显函时间的∧
H 分为大、小两部分∧
∧∧
'+=H H
H )
0( ||||)
0(∧
∧'>>H H
，其中 )0()
0()
0()
0(n
n n
E H
ψ
ψ=∧，即
∧)
0(H
的本征值)0(n E 和本征函数)0(n ψ是可以精确求解的，或已有确定的结果。
满足上述条件的基础上，常引入一个很小参数λ（10<<λ），将微扰写成 ∧
'H λ，以逐步近似的精神求解薛定谔方程。将能级和波函数以λ的幂级数展开
???+++=+++=
)
2(2)1()0()
2(2)1()0(n n n n
n n n n E E E E ψλλψψψλλ )0(n
E
与)0(n
ψ
称为零级近似能量和零级近似波函数，是未受微扰时∧
)
0(H 的本征能量
和本征函数，也是我们求解微扰问题的必备基本条件，后面各项按λ的幂次称为一级修正、二级修正、…。
27．非简并定态微扰论的适用条件是什么？
答：非简并定态微扰论的适用条件为||||)
0()0(m n mn
E E H -<<'，一是要求微扰本身应很小，二是要求能级间隔||)
0()0(m
n E E -较大。
28．简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是什么？什么条件下，简并能级情况
可用非简并态微扰处理？
答：简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是零级近似能量给定后，对应的零级近似波函数一般说来是不能完全确定的。对于f 度简并能级,)0(k E 如选择的
f
个独立的)0(αψk 已使H '对角化，即αβαββαδψψH H k k '>='<)0()0(||，此时αααH E k '=)
1(，
对应的零级近似波函数为)
0(αψk ，虽然能级)0(k E 是简并的，仍可用非简并定态微扰
论处理一级近似问题。
29、研究微观粒子间的碰撞现象有什么意义？
答：微观粒子（单一的及复合的）间的碰撞实验是量子物理中最重要的实验技术，是研究物质结构、深刻认识微观过程的重要手段。历史上，由于α粒子散射实验，建立了原子的有核模型。电子与原子的碰撞实验（夫兰克-赫兹实验）证实了原子中定态能级的存在。原子核及基本粒子的许多重要性质都是经过各种碰撞实验得出的，并且碰撞实验也是产生基本粒子的主要方法。
量子碰撞理论是量子物理中一个非常重要的分支。
30、一维势垒贯穿中，是否存在散射截面的概念？
答：一维势垒问题中，只有两个方向，所以，不存在散射截面的概念，与之相当的概念为反射系数。
31．自旋可在坐标空间中表示吗？它与轨道角动量性质上有何差异？
答：（1）自旋是内禀角动量，它不能在坐标空间中表示出来。
（2）轨道角动量是微观粒子的外部空间角动量，它可在坐标表象中表示出来，量子数为整数，本征态为球谐函数；自旋是内禀角动量，量子数为整数或半奇整数，自旋函数需用多分量波函数表示。此外，二者的旋磁比不同。
32．量子力学中，角动量是如何定义的？
答：量子力学中，角动量是按下式定义
?×J ?=i J ?
任何满足此式的算符所代表的力学量，都可以认为是角动量。此定义较之角动
量的仿佛经典定义L ?=r ?×p ?更具普遍性。后者只能适用于轨道角动量而不能适
用于自旋。
33．电子z S 的本征态常被写为?
??
?
??=01α，?
???
??=10β；它们的含义是什么？
答：z S 的本征态是自旋波函数????
??=b a χ的特例。由于在z S 的本征态中，本征
值仅有2
±
与量子数21
±
=s m 对应，分别记为???? ??==01)(21αχz s ，????
??==-10)(2
1βχz s ；βα,是电子的两个线性独立的自旋态，组成一组正交完备基矢，以此为基矢的
表象为z S 表象。任一自旋态???
?
??=b a χ在z S 表象中可展开为βαχb a +=。
34．泡利矩阵中，x σ与z σ为实矩阵，y σ为纯虚矩阵。问：是否可经表象变换，使三个泡利矩阵都是实的；或者两个是虚的，另一个是实矩阵。
答：因为i z y x =σσσ???与表象无关。而乘积结果中i 的出现使在任何表象中，三个泡利矩阵x σ?、y σ?、z σ? 不可能都是实的，也不可能两个是纯虚数的另一个实矩阵。
35．何谓全同粒子？
答：所有固有物理性质如质量、电荷、自旋、磁矩、……均相同的粒子。
36．微观粒子的全同性原理表述为：“全同粒子体系中，体系的物理状态不因交
换任意两个粒子而改变”。问：
（1）“物理状态”是指宏观态还是微观态？ （2）“交换任意两个粒子”的准确含义是什么？ （3）它与全同粒子的不可区分性有什么联系？
答：（1）物理状态不变是指体系的微观态和宏观态都不因全同粒子间的交换而改变，全同性原理中强调的是微观态（量子态）的不变；
（2）交换任意两个粒子是指在描述全同粒子体系状态的波函数中交换两个粒子的包括自旋在内的全部坐标；
（3）实质相同。所以，全同性原理往往也被称为不可区分（分辨）原理。
37．简述pauli 原理。
答：在Fermi 子体系中，不允许有两个或两个以上的Fermi 子处于同一量子态。
二、证明题
1、设质量为m 的粒子在势场)(r V 中运动。(1)试证明粒子的能量平均值为
?=
τ
wd E ，其中，ψψψψ
V m
w *
*
+???=
22
(能量密度)。
(2)证明能量守恒公式
=?+??S t
w
。其中)(22*
*
???+???-=ψψψψt
t m S
(能流密度)。
证明：(1) 三维粒子的能量算符是:V m
H +?-
=∧
2
2
2
，
τψψψ
τψψ
τ
τ
d V m
d H E ??????+?-
=
=
∧
)2(2
2
*
*
由于ψ??ψ?-ψ?ψ?=ψ?ψ**2*)(，将此式代入前一式：
???
???
ψψ+
ψ??ψ?-ψ?ψ?-
=
r
r
d V d m
E τ
τ*
*
*
2
})({2
???
???
ψ?ψ?-??
?
? ??ψψ+ψ??ψ?=
r r
d m d V m ττ)(22*
2
**2
最末一式按高斯定理化为面积分：S d r d m
r
S
?ψ?ψ=
ψ?ψ
?-
?????
*
3
*
2
)(2，
由波函数的标准条件可知，0*lim =ψ?ψ∞
→r ，S 考虑为无限远处的界面。
结果证得。 (2)
...
2
**
...
.
.
2
*22**.
.
2
2
2
2
*
2222V V
t m t t t t
V V m t t t t t t s V V t m
t m s E ωψψψψψψψψψψψψψψψψ
ψψψψψψψψ??
??*??*???=???+???++?????????
??
?????*??*??*??? ? ?=???+?-?+?++?? ? ??????????
??
?
????
?*?=-??+-
?++-
?+ ? ?????
??
=-??+ ..
*
t t ψψψψ???*? ?
+ ?????
ρt E s ??+?-?=
（ρ ：几率密度）
s
?-?= （定态波函数，几率密度ρ不随时间改变）
所以
0=??+??s t
w
。
2、 一维粒子波函数)(x ψ是定态薛定谔方程的一个解，对应的能量本征值为E ，则)(x *ψ也是定态薛定谔方程的一个解，对应的能量本征值也为E 。
证明：定态薛定谔方程为： )()()(d d 22
22x E x x V x m ψψ=??
?
???+- 对方程两边取复共轭（E ，V 为实数），得：
)()()(d d 2*
*2
22x E x x V x m ψψ=??
????+- 说明*ψ也是方程的解，能量本征值还是E 。
3、 一维粒子波函数)(x ψ满足定态薛定谔方程，若、)(2x ψ都是方程的解，则有
无关）常数（与x ='-'122
1ψψψψ。 证明：按照假设
0)]([2''12
1=-+
ψψx V E m （1） 0)]([2''2
22=-+
ψ
ψx V E m
（2）
)2()1(12?-?ψψ，得：0''''2112=-ψψψψ或
0]''[d d 2112=-ψψψψx
，
积分，得：=-''1221ψψψψ常数 （与x 无关）。
4、证明在定态中，概率流密度与时间无关。
证明：对于定态，可令Et
i
e r t
f r t r -==ψ)()()(),(ψψ
()
)
()()()(2)()()()(2)
(2r r r r m
i e r e r e
r e r m i m
i J Et i
Et i
Et i Et i
ψψψ
ψψψψψ?-?=
???
? ?
?
???? ?
?????? ?
?-???? ???=ψ?ψ-ψ?ψ=**
-*
-*
--** 可见t J 与
无关。
5、证明算符)??(22x x p x x p
i -是厄密算符。 证明：[][][]x x x x x x x x p p x p i x p p i x p i p x x p i ?2?,?,??,?)??(222 =+==-，因为x
p ?是厄密算符，
所以)??(2
2
x x p x x p i -是厄密算符。
6、证明角动量算符p r
L ???
?=是厄密算符。 证明：对于,=?
L r p = , -x z y L yp zp
()()()+
===,+
+
+
++
=
----=x z y z y z
y z y x L yp zp p y
p z
p
y p z yp zp L
同理：,,++
==y y z z L L L L
所以，+
=?
=
L L r p 是厄密算符。
7、试证明：厄米算符的本征值必为是实数。
证明：设φψ= λφφ=F
?（即体系处于F ?算符的本征态） 由??*()*F
d F d φτφτψ=ψ??，左端???==ψ=τφλτφφλτφd d d F 2
*?* 右端=τφλτφφλτφφd d d F ?
??==2
****)?( 若F
?是厄米算符，则 左=右，∴*λλ= 证完
8、试证明：厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。
证明：设 ??,k 分别是属于厄米算符F ?本征值
λλ,k 的两个本征函数 则??k
k k
F F ?λ??λ?==
，且 λλ≠?≠k k
又F ?是厄米算符，则??=τ??τφ?d F
d F k l k **)?(? ① *
**
?
左＝k k k F d d d ?φτ?λ?τλ??τ=
=???
?()*()***
右＝k k
k k k F d d d φ?τλ
??τλ??τ==???
又∵厄米算符的本征值是实数 k k λλ=* 因此 τ??λτ??d d F k k k **)(??= 代入①得：??=τ??λτ??λd d k k k **
*
()0-=?l k k l d λλ??τ
∵k λλ≠ ∴0≠-k λλ
0*
=??τ??d l k
9、试证明：x
z y L i L L ?]?,?[ = 证明：??????[,]=-y z y z z y
L L L L L L )????)(????()????)(????(z x x y x y z x p x p z p y p x p y p x p x p z -----= z x x x z y x y x z y z x x y x p x p y p z p y p x p x p z p x p y p x p x p x p y p z p x p z
????????????????????????????????-++-+--= z x x y x z y x p x p y p z p x p y p x p x p z
????????????????--+==z x z x y x y x p y x p p y p x p z p x p z x p ????????????????-+-
=y x x z x x p z x p p x p y x p p x
??)????(??)????(---=)????)(????(y z x x p z p y x p p x -- =x
L i ?
10、证明：在z l 的本征态下0
x
y l l ==。 证明：假设m ψ是z l 的本征态，相应的本征值是m ，z m m l ψm ψ= 。根据角动量
的对易关系，y z z y x
l l l l i l -= 可得：
(
)1x m
y z
z
y
m
l ψ
l l
l
l ψ
d x i *
=
-? 1
m y z m m
z
y
m
ψl l ψd x ψ
l l
ψd x
i **
??=-???? 1
()m y m z m y m m ψl ψdx l ψl ψdx i *
*
??=-?
??? 1y y m l l i ??=-??
0= 类似，利用z x x z y
l l l l i l -= ，可以证明 0y l =。
11、求证：iz y +=1ψ，ix z +=2ψ，iy x +=3ψ分别为角动量算符z y x l l l ?,?,?的本征值为 的本征态。
证明：因为????
??
??-??
-=y z z y i l x ?，???
????-??-=z x x z i l y ?，????
????-??-=x y y
x i l z ? 因此，11)()(?ψψ =+=+=+???
?
??
??-??
-=iz y y z i iz y y z z y i l x 可见，1ψ是x l ?的本征值为 的本征态。
同理可证明， 22?ψψ =y l ，33?ψψ =z l 。
12、设力学量A 不显含t ，H 为体系的Hamilton 量，证明：[]22
2
,,d A A H H dt
??-=?? 。
证明：对于不显含t 的力学量A ，有：
[]1,d A A H dt
i =
上式两边再对t 求导，则有：
[][][]22
21111,,,,,d d A A H A H H A H H dt
dt i i i ??
??=
=
=-??????
即：[]22
2
,,d A A H H dt
??-=??
13、设力学量A 不显含t ，证明在束缚定态下：0dA dt
=。
证明：定态ψ是能量本征态，满足H ψEψ=。对于束缚态，是可以归一化的，即
(),ψψ取有限值。而对于不显含t 的力学量A ，有：
[]1,dA A H dt
i =
因此，
[]()()1
,,/,dA ψA H ψψψdt
i =
()()()
1[,,]/,ψA H ψψH A ψψψi =
-
()()()1
[,,]/,ψA E ψH ψ
A ψψψi =-
()/,0
E
A A ψψi ??=-=??
14、设算符a
?具有性质{}1?,?,0?2==+a a a 。求证： （1）a a N
???+≡本征值必为实数。 （2）N N
??2= （3）N
?的本征值为0或者1。 证明：（1）因为N a a a a N
???)??(?===++++，所以N ?是一个厄米算符，它的本征值必为实数。 （2）N a a a a a a a a a a N
????)??1(??????2==-==+++++。 （3）设N
?的本征值为n ，本征矢量为n ，则因为：n N n N ??2= 所以，n n n n =2
从而得到n 2-n = 0,可见，N
?的本征值为n = 0或n = 1。
15、证明：非简并定态微扰中，基态能量的二级修正永为负值。 证明：能量的二级修正)
0()
0(2)2(||m
n
nm m
n
E E H E
-''
=
∑
，若)0(n E 为基态能量，当然其数值为
最小，因而在求和中n m ≠的任一项0)0()0(<-m n E E ，故)
2(n E 永为负值。
16、证明：对于自旋为1/2的粒子，使0===z y x S S S 的态???
?
??=b a χ是不存在的。
证明：首先令在???
?
??=b a χ态中，()
010012
2
**
=-=???
? ?????? ?
?-==+b
a b a b a z z χσχσ
设δ
i e b a 2
1,2
1=
=
，得???
? ??=
δχi e 121； 再由0cos 0=?=δσx
0s i n 0=?=δσy 由于δ无法同时满足0sin cos ==δδ，所以，对于自
旋为
12
的粒子，使0===z y x S S S 态是不存在的。
17、证明：0????=+x y y x σσσσ
证明：由对易关系： y z x x z i σσσσσ?2????=- ①
将①式两边左乖x σ?得：y x z x x x z x i σσσσσσσσ??2??????=- 即： y x z x x z x i σσσσσσσ??2?????2=- 又1?2=x σ ， y x z x z x i σσσσσσ
??2????=-∴
② 将①式两边右乖x σ?得：x y x z x x x z i σσσσσσσσ??2??????=- 即： x y x z x x z i σσσσσσσ??2?????2=- 又1?2=x σ ， x y x z x z i σσσσσσ
??2????=-∴
③ ②+③得： 0????=+x y y x σσσσ
18、证明： x y z i σ
σσ= 证明：由对易关系z x y y x i σσσσσ?2????=-及反对易关系0????=+x y y x σσσσ ，
得：
z y x i σσσ???=
上式两边左乘z σ?，得：
2
????z z y x i σσσσ
= 1?2=z σ
∴ i z
y x =σσσ???
三、计算题
1、设质量为m 的粒子在一维无限深方势阱?
??><∞≤≤=a x a x x U 0,x ,,
0,0)(中运动，试求
粒子的能量本征值和对应的本征函数。
2、绕一固定轴转动的刚性转子的转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是
I
L
H 22
=
，L 为角动量，求与此对应的量子体系的定态能量及波函数。
3、设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数)()(x a Ax x -=ψ描写，求：①归一化常数A ；②粒子的位置平均值；③粒子的能量平均值；④粒子的动量平均值。
4、一维谐振子处在基态t i x
e
x ωαπ
αψ2
2
2
2)(--
=，求：
(1)势能的平均值2
2
21x
m U ω=；
(2)动能的平均值m
p
T 22
=
；
(3)动量的几率分布函数。
5、氢原子处在基态0
/30
1
),,(a r e
a
r -=
π?θψ，求：(1) r 的平均值；(2)势能r
e
2
-
的
平均值；(3)最可几半径；(4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
6、设氢原子处于状态 )
,()(2
3),()(2
1),,(11211021?θ?θ?θψ--
=
Y r R Y r R r
求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
7、设粒子（能量0>E ）从左入射，碰到势阱??
?><-=0
,
00,
)(0x x U x U 。求阱壁处的
反射系数。
8、设粒子（能量0>E ）从左入射，碰到势阱??
?><=0
,
0,
0)(0x U x x U 。求阱壁处的
反射系数。
9、已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求：
1)、在A 表象中算符A
?、B ?的矩阵表示； 2)、在A 表象中算符B
?的本征值和本征函数； 3)、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。
10、 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε
中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
11、 设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201E E 及，现在受到微扰H
'?的作用，微扰矩阵元为b H H a H H ='='='='22112112
，；b a 、都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。
12、对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为2
e ,λx λ-为参数。用变分法求基态能量。
13、求???
?
??--=???? ??=00
2?01
10
2?i
i S S y
x
及的本征值和所属的本征函数。
14、设氢的状态是
?????
?
??-=),()(23),()(2
110211121?θ?θψY r R Y r R ①求轨道角动量z 分量z
L ?和自旋角动量z 分量z S ?的平均值； ②求总磁矩 S e L e M ??2?
μ
μ--=的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）
。
量子力学知识点总结(精.选)
1光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 2光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v 0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 3爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= h ν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子 4康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律：射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ；波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大 5戴维逊-革末实验证明了德布罗意波的存在 6波函数的物理意义：某时刻t 在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t 该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释，描写粒子的波是几率波 7波函数的归一化条件 1),,,( 2 ?∞=ψτd t z y x 8定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定
态波函数：描述定态的波函数称为定态波函定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。⑵粒子几率流密度不随时间改变。⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变 9算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。 10厄密算符的定义：如果算符 F ?满足下列等式() ? ?dx F dx F φψφψ**??=，则称F ?为厄密算符。式中ψ和φ为任意波函数，x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。 推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。 11厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。 12简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。简并度：对应于同一个本征值的本征函数的数目。 13量子力学中力学量运动守恒定律形式是： 01=??????+??=H F i t F dt F d ?,?η 量子力学中的能量守恒定律形式是01=??????=H H i dt H d ?,??η 14 15斯特恩-革拉赫实验证明电子存在自旋理由 16黑体辐射揭示了经典物理学的局限性。 17玻尔的量子化条件：在量子理论中，角动量必须是h 的整数 的近似求解方法。 求出，由求出微扰论：由n n n n E E ψψ)0()0(
量子力学主要知识点复习资料
大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分 1能量量子化 辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量ε 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,??? 对频率为ν 的谐振子, 最小能量ε为: νh =ε 2.波粒二象性 波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。 德布罗意公式h νmc E ==2 λ h m p = =v 3.波函数及其物理意义 在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程 0),()](2[),(2 2=-?+??t r r V m t r t i ψψ 粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅 表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。所以， 应 该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。 自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -?=ψ=ψ 波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义 常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z ) 附件出现概率的描述是相同的。 相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z )附 件出现概率的描述是相同的。 表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率。 表示点(x,y,z )处的体积元 中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1 必然有以下归一化条件 5. 力学量的平均值 既然 表示 粒子出现在点 附件的概率，那么粒子2|(,,)|x y z ψ2 |(,,)|x y z x y z ψ???x y z τ?=?? ?2 |(,,)|1 x y z dxdydz ψ∞=? (,,)x y z ψ(,,)c x y z ψαi e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ22|()||(,,)| r x y z ψψ=),,(z y x r = 23*3+∞+∞
量子力学知识总结
量子力学基础知识总结 一．微观粒子的运动特征 1.黑体辐射和能量量子化 黑体：一种能全部吸收照射到它上面的各种波长辐射的物体 普朗克提出能量量子化假设：定温下黑体辐射能量只与辐射频率有关，频率为ν的能量，其数值是不连续的，只能是hν的整数倍，称为能量量子化。 2.光电效应与光子学说 爱因斯坦将能量量子化概念用于电磁辐射，并用以解释光电效应。其提出了光子学说，圆满解释了光电效应。 光子学说内容： ①光是一束光子流，每一种频率的的光的能量都有一个最小单位，称为光子 光子能量ε＝hν/c ②光子质量m＝hν/c2 ③光子动量p=mc=hν/c= h/λ ④光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。光电效应： hν＝ W+E K ＝hν +2 1 mv2,W为脱出功,E k 为光电子的动能。 3.实物微粒的波粒二象性 德布罗意提出实物微粒也具有波性：E＝hν p＝h/λ 德布罗意波长：λ=h/p=h/(mv) 4. 测不准原理：?x?x p≥h?y?p y ≥h?z?p y ≥h?tE≥h 二、量子力学基本假设 1. 假设1：对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数ψ(x,y,z,t)来描述，它包括体系的全部信息。这一函数称为波函数或态函数，简称态。 不含时间的波函数ψ(x,y,z)称为定态波函数。在本课程中主要讨论定态波函数。 由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，即在该点附近找到粒子的几率正比于ψ*ψ，所以通常将用波函数ψ描述的波称为几率波。在原子、分子等体系中，将ψ称为原子轨道或分子轨道；将ψ*ψ称为几率密度，它就是通常所说的电子云；ψ*ψdτ为空间某点附近体积元dτ中电子出现的几率。 对于波函数有不同的解释，现在被普遍接受的是玻恩（M. Born）统计解释，这一解释的基本思想是：粒子的波动性（即德布罗意波）表现在粒子在空间出现几率的分布的波动，这种波也称作“几率波”。 波函数ψ可以是复函数， 合格（品优）波函数：单值、连续、平方可积。 2. 假设2：对一个微观体系的每一个可观测的物理量，都对应着一个线性自厄算符。 算符：作用对象是函数，作用后函数变为新的函数。
高等量子力学复习题
上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。
量子力学知识点总结
量子力学期末复习完美总结 一、 填空题 1．玻尔-索末菲的量子化条件为： pdq nh =?，（n=1,2,3,....)， 2．德布罗意关系为：h E h p k γωλ == = =； 。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为： 21 2 mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()2 r t ψ ，代表t 时刻，粒子在 空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。这 是量子力学的基本原理之一。波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。 5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。 6． ， 为单位矩阵，则算符 的本征值为： 1± 。 7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。 8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。即 ()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-??或 。 9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在()r t ψ，所描写 的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。 10. i ； ?x i L ； 0。 11．如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则 _0__。 12．坐标和动量的测不准关系是： () () 2 2 2 4 x x p ??≥ 。 自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子__角动量__守恒 13．量子力学中的守恒量A 是指:?A 不显含时间而且与?H 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。 14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。 15． 为氢原子的波函数， 的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。 16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2 n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的 耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。 17．设体系的状态波函数为 ，如在该状态下测量 力学量 有确定的值 ，则力学量算符 与态矢量 的关系为：?F ψλψ =。 18．力学量算符 在态 下的平均值可写 为 的条件为：力学量算符的本征 值组成分立谱，并且()r ψ是归一化波函数。 19．希尔伯特空间：量子力学中Q 的本质函数有无限多 个，所以态矢量所在的空间是无限维的函数空间。 20．设粒子处于态 ， 为 归一化波函数， 为球谐函数，则系数c 的取值为： 1 6 ， 的可能值为： 13 ， 本征值为 出现 的几率为： 1 2 。
高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)
2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2
量子力学期末考试知识点+计算题证明题
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
(完整版)人教版高中物理选修3-5知识点总结
人教版高中物理选修3-5知识点总结 一．量子论的建立黑体和黑体辐射Ⅰ （一）量子论 1.创立标志：1900年普朗克在德国的《物理年刊》上发表《论正常光谱能量分布定律》的论文，标志着量子论的诞生。 2.量子论的主要内容： ①普朗克认为物质的辐射能量并不是无限可分的，其最小的、不可分的能量单元即“能量子”或称“量子”，也就是说组成能量的单元是量子。 ②物质的辐射能量不是连续的，而是以量子的整数倍跳跃式变化的。 3.量子论的发展 ①1905年，爱因斯坦奖量子概念推广到光的传播中，提出了光量子论。 ②1913年，英国物理学家玻尔把量子概念推广到原子内部的能量状态，提出了一种量子化的原子结构模型，丰富了量子论。 ③到1925年左右，量子力学最终建立。 4.量子论的意义 ①与量子论等一起，引起物理学的一场重大革命，并促进了现代科学技术的突破性发展。 ②量子论的革命性观念揭开了微观世界的奥秘，深刻改变了人们对整个物质世界的认识。 ③量子论成功的揭示了诸多物质现象，如光量子论揭示了光电效应 ④量子概念是一个重要基石，现代物理学中的许多领域都是从量子概念基础上衍生出来的。 量子论的形成标志着人类对客观规律的认识，开始从宏观世界深入到微观世界；同时，在量子论的基础上发展起来的量子论学，极大地促进了原子物理、固体物理和原子核物理等科学的发展。（二）黑体和黑体辐射
1．热辐射现象 任何物体在任何温度下都要发射各种波长的电磁波，并且其辐射能量的大小及辐射能量按波长的分布都与温度有关。 这种由于物质中的分子、原子受到热激发而发射电磁波的现象称为热辐射。 ①.物体在任何温度下都会辐射能量。 ②.物体既会辐射能量，也会吸收能量。物体在某个频率范围内发射电磁波能力越大，则它吸收该频率范围内电磁波能力也越大。 辐射和吸收的能量恰相等时称为热平衡。此时温度恒定不变。 实验表明：物体辐射能多少决定于物体的温度（T）、辐射的波长、时间的长短和发射的面积。 2.黑体 物体具有向四周辐射能量的本领，又有吸收外界辐射 来的能量的本领。 黑体是指在任何温度下，全部吸收任何波长的辐射的 物体。 3．实验规律： 1）随着温度的升高，黑体的辐射强度都有增加； 2）随着温度的升高，辐射强度的极大值向波长较短方向移动。 二．光电效应光子说光电效应方程Ⅰ 1、光电效应
光量子即光子 量子力学知识点
E*dv表示在频率范围（v,v+dv）中的黑体辐射能量密度。 λ—辐射波长(μm) T—黑体绝对温度(K、T=t+273k) C—光速(2.998×10^8m·s ) h—普朗克常数，6.626×10^-34 J·S K—玻尔兹曼常数(Boltzmann)，1.3806505*10^-23J/K基本物理常数 玻尔兹曼常数（Boltzmann constant）（k 或kB）是有关于温度及能量的一个物理常数。玻尔兹曼是一个奥地利物理学家，在统计力学的理论有重大贡献，波兹曼常数具有相当重要的地位。光量子即光子。能量的传递不是连续的，而是以一个一个的能量单位传递的。这种最小能量单位被称作能量子（简称量子）。 原始称呼是光量子（light quantum），电磁辐射的量子，传递电磁相互作用的规范粒子，记为γ。其静止质量为零，不带电荷，其能量为普朗克常量和电磁辐射频率的乘积，E=hv，在真空中以光速c运行，其自旋为1，是玻色子。 光子是光线中携带能量的粒子。一个光子能量的多少正比于光波的频率大小，频率越高, 能量越高。当一个光子被原子吸收时，就有一个电子获得足够的能量从而从内轨道跃迁到外轨道,具有电子跃迁的原子就从基态变成了激发态。 光子具有能量，也具有动量，更具有质量，按照质能方程，E=MC^2=hν，求出M=hν/C^2, 光子由于无法静止，所以它没有静止质量，这儿的质量是光子的相对论质量。光就既具有波动性（电磁波），也具有粒子性（光子），即具有波粒二象性 玻色子是依随玻色-爱因斯坦统计，自旋为整数的粒子。玻色子不遵守泡利不相容原理，在低温时可以发生玻色-爱因斯坦凝聚。玻色子包括：.胶子-强相互作用的媒介粒子，它们具有整数自旋（0，1，……），它们的能量状态只能取不连续的量子态，但允许多个玻色子占有同一种状态。，有8种；光子-电磁相互作用的媒介粒子，这些基本粒子在宇宙中的“用途”是构成实物的粒子(轻子和重子)和传递作用力的粒子（光子、介子、胶子、w和z玻色子）。在这样的一个量子世界里，所有的成员都有标定各自基本特性的四种量子属性：质量、能量、磁矩和自旋。如光子、粒子、氢原子等， Bose-Einstein condensation (BEC) 玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)是科学巨匠爱因斯坦在80年前预言的一种新物态。这里的“凝聚”与日常生活中的凝聚不同，它表示原来不同状态的原子突然“凝聚”到同一状态（一般是基态）。即处于不同状态的原子“凝聚”到了同一种状态。即当温度足够低、原子的运动速度足够慢时，它们将集聚到能量最低的同一量子态。此时，所有的原子就象一个原子一样，具有完全相同的物理性质。 磁光阱是一种囚禁中性原子的有效手段。它由三对两两相互垂直．具有特定偏振组态井且负失谐的对射激光束形成的三维空间驻波场和反向亥姆雹谊线圈产生的梯度磁场构成．磁场的零点与光场的中心重合，负失谐的激光对原子产生阻尼力．梯度磁场与激光的偏振相结合产生了对原子的束缚力．这样就在空间对中性原子构成了一个带阻尼作用的简谐势阱。 量子力学是描写微观物质的一个物理学理论，与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱 普朗克常数记为h ，是一个物理常数，用以描述量子大小。在量子力学中占有重要的角色，马克斯·普朗克在1900年研究物体热辐射的规律时发现，只
量子力学期末考试试卷及答案
量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、
第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε
量子力学知识点小结(良心出品必属精品)
第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=hν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 ⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出
现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为 E= h ν 的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v 0：由上式明显看出，当h ν- W 0 ≤0时，即ν≤ν0 = W 0 / h 时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h 在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性 ⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。 ???? ? ???? ======n k h k n h P h E λππλων2 ,2
高等量子力学考试知识点
1、黑体辐射： 任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。 光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。 2、光电效应（条件）： 当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。 临界频率v0满足 （1）存在临界频率v0，当入射光的频率v 7、一维无限深势阱（P31） 8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。 一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。 从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足 即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。 9、谐振子（P35） 10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。 11、半壁无限高（P51例2） 12、玻尔磁子 13、算符 对易子 厄米共轭算符 厄米算符：若，则称算符为自厄米共轭算符，简称厄米算符 性质：（1）两厄米算符之和仍为厄米算符 （2）当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符，因为 只在时，，才有，即仍为厄米算符 《量子力学》考试知识点 第一章：绪论―经典物理学的困难 考核知识点： （一）、经典物理学困难的实例 （二）、微观粒子波－粒二象性 考核要求： （一）、经典物理困难的实例 1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。 2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。 第二章：波函数和薛定谔方程 考核知识点： （一）、波函数及波函数的统计解释 （二）、含时薛定谔方程 （三）、不含时薛定谔方程 考核要求： （一）、波函数及波函数的统计解释 1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波 2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程 1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理 2.简明应用：量子力学的初值问题 （三）、不含时薛定谔方程 1. 领会：定态、定态性质 2. 简明应用：定态薛定谔方程 第三章：一维定态问题 一、考核知识点： （一）、一维定态的一般性质 （二）、实例 二、考核要求： 1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振 2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、 第四章量子力学中的力学量 一、考核知识点： （一）、表示力学量算符的性质 （二）、厄密算符的本征值和本征函数 （三）、连续谱本征函数“归一化” （四）、算符的共同本征函数 （五）、力学量的平均值随时间的变化 二、考核要求： （一）、表示力学量算符的性质 1.识记：算符、力学量算符、对易关系 2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系 （二）、厄密算符的本征值和本征函数 1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性 2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。 （三）、连续谱本征函数“归一化” 1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2 1.爱因斯坦关系是什么什么是波粒二象性 答：爱因斯坦关系：?? ? ??========k n n h n c h n c E p h hv E ρηρηρρρρηηλπλνπω 22 其中 波粒二象性：光不仅具有波动性，而且还具有质量、动量、能量等粒子的内禀属性，就 是说光具有波粒二象性。 2.α粒子散射与夫兰克-赫兹实验结果验证了什么 答：α粒子散射实验验证了原子的核式结构，夫兰克-赫兹实验验证了原子能量的量子化 3.波尔理论的内容是什么波尔氢原子理论的局限性是什么 答：波尔理论： （1）原子能够而且只能够出于一系列分离的能量状态中，这些状态称为定态。出于定态时，原子不发生电磁辐射。 （2）原子在两个定态之间跃迁时，才能吸收或者发射电磁辐射，辐射的频率v 由式 12E E hv -=决定 （3）原子处于定态时，电子绕原子核做轨道运动，轨道角动量满足量子化条件：ηn r m = υ 局限性： （1）不能解释较复杂原子甚至比氢稍复杂的氦原子的光谱； （2）不能给出光谱的谱线强度（相对强度）； （3）从理论上讲，量子化概念的物理本质不清楚。 4.类氢体系量子化能级的表示，波数与光谱项的关系 答：类氢体系量子化能级的表示：()2 2202 442n Z e E n ηπεμ-= 波数与光谱项的关系Λ,4,5.3,3,5.2,121 ?22=?? ? ??-=n n R v 5.索莫菲量子化条件是什么，空间取向量子化如何验证 答：索莫菲量子化条件是nh q p =?d 空间取向量子化通过史特恩-盖拉赫（Stern-Gerlach ）实验验证。、 6.碱金属的四个线系，选择定则，能级特点及形成原因 答：碱金属的四个线系：主线系、第一辅线系（漫线系）、第二辅线系（锐线系）、柏格曼系（基线系） 碱金属的选择定则：1,0,1±=?±=?j l 碱金属的能级特点：碱金属原子的能级不但与主量子数n 有关，还和角量子数l 有关；且对于同一n ，都比氢(H)能级低。 形成原因：原子实外价电子只有一个，但是原子实的极化和轨道的贯穿产生了影响，产生了与氢原子能级的差别 7.自旋假设内容，碱金属光谱精细结构特点 2008~2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业 光电子方向量子力学试题（A 卷） （说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分） 计分人： 复查人： 一、填空题：（每题 4 分，共 40 分） 1. 微观粒子具有 波粒 二象性。 2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为： E=h ν, p=/h λ 。 3．根据波函数的统计解释，dx t x 2 ),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。 4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。 5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i =h 。 6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量 F 所得的数值，必定是算符F ?的 本征值 。 7．定态波函数的形式为： t E i n n e x t x η -=)(),(?ψ。 8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。 9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。 10．每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2 η± 。 二、证明题：（每题10分，共20分） 1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明： z y x L i L L? ] ?, ?[η = ] ? ? , ? ? [ ] ?, ?[ z x y z y x p x p z p z p y L L- - = ] ? ? , ? [ ] ? ? , ? [ z x y z x z p x p z p z p x p z p y- - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p y+ - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x z p x p z p z p y+ = y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p y?] ? , [ ] ? , ?[ ?] ? , [ ] ? , ?[+ + + = y z x z p p x z p z p y?] ? , [ ] ? , ?[+ = y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p yz? ?] , [ ?] ?, [ ?] , ?[ ] ?, ?[+ + + = y x p i x p i y?) ( ?) (η η+ - = ] ? ? [ x y p y p x i- =η z L i?η = 前三章知识点总结 1、著名天文学家、自然科学先驱哥白尼用“日心说”否定了影响人类千年之久的托勒密的“地心说” 2、伽利略率先用望远镜观察天空，由此得到天体的运行的结果支持了哥白尼的日心说，后被判为终 生 监禁。牛顿奠定了具有划时代意义的经典物理学基础。普朗克、波尔等量子力学主要奠基人发现了微观世界和宏观世界有很大差异。 3、物理学是研究自然界的物质，相互作用和运动规律的自然科学 4、科学探究的七个环节：提出问题、猜想与假设、设计实验与制定计划、进行实验与搜集证据、分析与讨论、评估、交流与合作。 5、机械运动：在物理学中，把一个物体相对于另一个物体位置的改变称为机械运动，简称运动，被选作参照标准的物体叫做参照物 6、判断物体是运动还是静止①选取参照物②看研究物体与参照物是否发生位置变化 7、参照物选取说明 ①参照物是任意选择的，既可以是运动的也可以是静止的，要视具体情况、研究方便而定 ②同一物体由于选择不同的参照物，其运动状态的描述结果往往不同 ③参照物的选择并不唯一，但是参照物一旦被选定，就认为它是静止的 ④参照物不能选择对象本身，因为以研究对象本身为参照物，则物体永远是静止的 ⑤地面常作为参照物 注：一般以题目给的物体作为参照物 8、长度测量的工具是刻度尺，长度的国际基本单位是米，符号是m；常用单位还有千米(km)、分米(dm)、厘米(cm)、毫米(mm)、微米(μm)、纳米(nm)等。换算关系： 1km=1000m 1m=10dm 1dm=10cm 1m=1000mm 1mm=1000μm 1μm=1000nm 9、进行单位换算的步骤：1、数字不变 2、 乘以进率 3、加上目标单位 10、刻度尺是学习和生活中常用的测量长度的工具，常用刻尺的分度值是1mm和1cm 分度值为1mm时估读到0.1mm也就是0.01cm（百分位），分度值为1cm估读到0.1cm（十分位） 11、测量时间的工具是停表或者秒表，时间的国际基本单位是秒，符号是s；常用的单位还有小时(h)、分(min)等。它们之间的换算关系是 高等量子力学复习 主讲老师：张盈 记录整理：王宏辉 开始第一节课我们告诉大家了，什么是高等量子学，它和普通量子学的一个区别。其实按理说这门课学完，我们应该回过头来想一想，为什么？至少你可以通过描述一个问题来回答清楚，比如说量子力学适用于研究怎样的对象？ 这个问题并不是那么好回答，不能简单的说低速的就可以，微观的就行，不是这么简单。那么它有几个层次。 一个就是量子力学和薛定谔方程实际上是不一样，不能把薛定谔方程适用的对象看成是量子力学的对象。这个我给大家说过吧，因为你像狄拉克方程啊，克莱因-戈登方程都属于量子力学。所以量子力学适用于研究的对象是量子力学搭建的这个理论构架所适用研究的对象。这是我们说的第一个层次，你要区分量子力学和薛定谔方程。 第二个层次，你要从量子力学的基本原理，或者说薛定谔方程里面，其他的方面看出来，它适用研究的对象，为什么具有这个特点。也就是说，你说它适用于微观，我们从薛定谔方程或者狄拉克方程里面，怎么能看出来它适用微观。你说它适用于也就是这种粒子数不变的体系，你要能说明这一点，这个方程的体系里面，要能把这些东西对应上。这是第二个层次。 所以回答这个问题的时候应该是站在高等量子的高度，从你们学过的这个课程的基础之上来回答，不再是像以前那个量子力学低速微观OK。简单是这样子。所以这个问题有时候蛮复杂的。 首先我们说这门课的时候，你要理清几个大块，也就是我们这几章。 在第一个大章里面，我们给大家介绍的是量子力学的一个理论的构架。在这个理论构架里面，我们先给大家讲了三条基本假设，大家还能举起来吗？第一条：态，就是关于希尔伯特空间的。第二条：厄米算符是力学量的候选者，第三条：统计解释。 那么我们一个一个来回顾一下。 第一条假设，物理的状态对应希尔伯特空间中的一个矢量，更准确的说，实《量子力学》考试知识点(精心整理)
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