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2013年高考数学一轮复习 第四篇 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理教案 理 新人教版

2013年高考数学一轮复习 第四篇 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理教案 理 新人教版
2013年高考数学一轮复习 第四篇 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理教案 理 新人教版

第6讲 正弦定理和余弦定理

【2013年高考会这样考】

1.考查正、余弦定理的推导过程.

2.考查利用正、余弦定理判断三角形的形状. 3.考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法. 【复习指导】

1.掌握正弦定理和余弦定理的推导方法.

2.通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换,解题过程中做到正余弦定理的优化选择.

基础梳理

1.正弦定理:a sin A =b sin B =c

sin C =2R ,其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以

变形为:

(1)a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C ; (2)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C ;

(3)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c

2R

等形式,以解决不同的三角形问题.

2.余弦定理:a 2

=b 2

+c 2

-2bc cos_A ,b 2

=a 2

+c 2

-2ac cos_B ,c 2

=a 2

+b 2

-2ab cos_C .余弦

定理可以变形为:cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 2

2ab

.

3.S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =abc 4R =1

2

(a +b +c )·r (R 是三角形外接圆半径,

r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R ,r .

4.已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a ,b ,A ,则

A 为锐角

A 为钝角或直

图形

关系

式 a <b sin A a =b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b a ≤b

解的 个数

无解 一解 两解 一解 一解 无解

一条规律

在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A >B ?a >b ?sin A >sin B . 两类问题

在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一边,求其它边或角;(2)已知两边及一边的对角,求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、两解、无解,应注意区分.余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角;(2)已知三边,求各角. 两种途径

根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径:

(1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.

双基自测

1.(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中,A =60°,B =75°,a =10,则c 等于( ). A .5 2 B .10 2 C.1063

D .5 6

解析 由A +B +C =180°,知C =45°, 由正弦定理得:a sin A =c

sin C

, 即10

32=c 2

2

.∴c =1063.

答案 C

2.在△ABC 中,若sin A a =cos B b

,则B 的值为( ).

A .30°

B .45°

C .60°

D .90° 解析 由正弦定理知:

sin A sin A =cos B

sin B ,∴sin B =cos B ,∴B =45°. 答案 B

3.(2011·郑州联考)在△ABC 中,a =3,b =1,c =2,则A 等于( ). A .30° B .45° C .60° D .75°

解析 由余弦定理得:cos A =b 2+c 2-a 22bc =1+4-32×1×2=1

2

∵0<A <π,∴A =60°. 答案 C

4.在△ABC 中,a =32,b =23,cos C =1

3,则△ABC 的面积为( ).

A .3 3

B .2 3

C .4 3 D. 3 解析 ∵cos C =1

3,0<C <π,

∴sin C =22

3,

∴S △ABC =1

2

ab sin C

=12×32×23×223=4 3. 答案 C

5.已知△ABC 三边满足a 2

+b 2

=c 2

-3ab ,则此三角形的最大内角为________. 解析 ∵a 2

+b 2

-c 2

=-3ab ,

∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =-32

故C =150°为三角形的最大内角. 答案 150°

考向一 利用正弦定理解三角形

【例1】?在△ABC 中,a =3,b =2,B =45°.求角A ,C 和边c .

[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这个三角形,但要注意解的判断.

解 由正弦定理得a sin A =b sin B ,3sin A =2

sin 45°

∴sin A =

32

. ∵a >b ,∴A =60°或A =120°.

当A =60°时,C =180°-45°-60°=75°,

c =b sin C sin B =6+22

当A =120°时,C =180°-45°-120°=15°,

c =b sin C sin B =6-22

.

(1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即

可.

(2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点,应引起注意.

【训练1】 (2011·北京)在△ABC 中,若b =5,∠B =π

4

,tan A =2,则sin A =________;

a =________.

解析 因为△ABC 中,tan A =2,所以A 是锐角, 且sin A cos A

=2,sin 2A +cos 2A =1, 联立解得sin A =25

5,

再由正弦定理得

a sin A =b

sin B

, 代入数据解得a =210. 答案

25

5

210 考向二 利用余弦定理解三角形

【例2】?在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且cos B cos C =-b

2a +c .

(1)求角B 的大小;

(2)若b =13,a +c =4,求△ABC 的面积.

[审题视点] 由cos B cos C =-b

2a +c

,利用余弦定理转化为边的关系求解.

解 (1)由余弦定理知:cos B =a 2+c 2-b 2

2ac ,

cos C =a 2+b 2-c 2

2ab

.

将上式代入cos B cos C =-b

2a +c

得:

a 2+c 2-

b 22a

c ·2ab a 2+b 2-c 2=-b

2a +c

, 整理得:a 2

+c 2

-b 2

=-ac .

∴cos B =a 2+c 2-b 22ac =-ac 2ac =-12

.

∵B 为三角形的内角,∴B =2

3π.

(2)将b =13,a +c =4,

B =23

π代入b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,

得b 2

=(a +c )2

-2ac -2ac cos B ,

∴13=16-2ac ? ??

??1-12,∴ac =3. ∴S △ABC =12ac sin B =33

4

.

(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的

关键.

(2)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用. 【训练2】 (2011·桂林模拟)已知A ,B ,C 为△ABC 的三个内角,其所对的边分别为a ,b ,

c ,且2cos 2 A

2

+cos A =0.

(1)求角A 的值;

(2)若a =23,b +c =4,求△ABC 的面积. 解 (1)由2cos 2

A

2+cos A =0,

得1+cos A +cos A =0, 即cos A =-1

2,

∵0<A <π,∴A =2π

3.

(2)由余弦定理得,

a 2=

b 2+

c 2-2bc cos A ,A =

2π3

, 则a 2

=(b +c )2

-bc , 又a =23,b +c =4,

有12=42

-bc ,则bc =4,

故S △ABC =1

2

bc sin A = 3.

考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状

【例3】?在△ABC 中,若(a 2

+b 2

)sin(A -B )=(a 2

-b 2

)sin C ,试判断△ABC 的形状. [审题视点] 首先边化角或角化边,再整理化简即可判断. 解 由已知(a 2

+b 2

)sin(A -B )=(a 2

-b 2

)sin C , 得b 2

[sin(A -B )+sin C ]=a 2

[sin C -sin(A -B )], 即b 2

sin A cos B =a 2

cos A sin B ,

即sin 2

B sin A cos B =sin 2

A cos

B sin B ,所以sin 2B =sin 2A , 由于A ,B 是三角形的内角. 故0<2A <2π,0<2B <2π. 故只可能2A =2B 或2A =π-2B , 即A =B 或A +B =π

2

.

故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

判断三角形的形状的基本思想是;利用正、余弦定理进行边角的统一.即将条件

化为只含角的三角函数关系式,然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;或将条件化为只含有边的关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系. 【训练3】 在△ABC 中,若a cos A =b cos B =c

cos C ;则△ABC 是( ).

A .直角三角形

B .等边三角形

C .钝角三角形

D .等腰直角三角形

解析 由正弦定理得a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径). ∴sin A cos A =sin B cos B =sin C cos C

. 即tan A =tan B =tan C ,∴A =B =C . 答案 B

考向三 正、余弦定理的综合应用

【例3】?在△ABC 中,内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ,b ,c ,已知c =2,C =π

3.

(1)若△ABC 的面积等于3,求a ,b ;

(2)若sin C +sin(B -A )=2sin 2A ,求△ABC 的面积.

[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ,b 的方程,通过方程组求解;第(2)问根据sin C +sin(B -A )=2sin 2A 进行三角恒等变换,将角的关系转换为边的关系,求出边a ,b 的值即可解决问题.

解 (1)由余弦定理及已知条件,得a 2+b 2

-ab =4.

又因为△ABC 的面积等于3,所以1

2ab sin C =3,得ab =4,联立方程组???

??

a 2

+b 2

-ab =4,ab =4,

解得???

??

a =2,

b =2.

(2)由题意,得sin(B +A )+sin(B -A )=4sin A cos A , 即sin B cos A =2sin A cos A . 当cos A =0,即A =π2时,B =π

6

a =

433,b =23

3

; 当cos A ≠0时,得sin B =2sin A , 由正弦定理,得b =2a .

联立方程组?

??

??

a 2

+b 2

-ab =4,b =2a ,

解得???

??

a =

233,b =433.

所以△ABC 的面积S =12a b sin C =233

.

正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立,通过这些等式就可

以把有限的条件纳入到方程中,通过解方程组获得更多的元素,再通过这些新的条件解决问题.

【训练3】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,且cos B =4

5

,b =2.

(1)当A =30°时,求a 的值;

(2)当△ABC 的面积为3时,求a +c 的值. 解 (1)因为cos B =45,所以sin B =3

5

.

由正弦定理a sin A =b sin B ,可得a sin 30°=10

3

所以a =5

3

.

(2)因为△ABC 的面积S =12ac ·sin B ,sin B =3

5,

所以3

10

ac =3,ac =10.

由余弦定理得b 2

=a 2

+c 2

-2ac cos B ,

得4=a 2+c 2-85ac =a 2+c 2-16,即a 2+c 2

=20.

所以(a +c )2

-2ac =20,(a +c )2

=40. 所以a +c =210.

阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错

【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大,但稍不注意,会出现“会而不对,对而不全”的情况,其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,

【防范措施】 解三角函数的求值问题时,估算是一个重要步骤,估算时应考虑三角形中的边角条件.

【示例】?(2011·安徽)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,a =3,b =2,1+2cos(B +C )=0,求边BC 上的高.

错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理,产生了增根. 实录 由1+2cos(B +C )=0, 知cos A =12,∴A =π

3,

根据正弦定理a sin A =b

sin B 得: sin B =

b sin A a =22,∴B =π4或3π

4

. 以下解答过程略.

正解 ∵在△ABC 中,cos(B +C )=-cos A , ∴1+2cos(B +C )=1-2cos A =0,∴A =π

3.

在△ABC 中,根据正弦定理a sin A =b

sin B

∴sin B =b sin A a =2

2

.

∵a >b ,∴B =π4,∴C =π-(A +B )=5

12

π.

∴sin C =sin(B +A )=sin B cos A +cos B sin A =

22×12+22×32=6+24

. ∴BC 边上的高为b sin C =2×

6+24=3+1

2

. 【试一试】 (2011·辽宁)△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a sin A sin B +b cos 2

A =2a . (1)求b a

(2)若c 2

=b 2

+3a 2

,求B . [尝试解答] (1)由正弦定理得, sin 2

A sin

B +sin B cos 2

A =2sin A ,即 sin

B (sin 2

A +cos 2

A )=2sin A . 故sin

B =2sin A ,所以b a

= 2.

(2)由余弦定理和c 2=b 2+3a 2

,得cos B =1+3a 2c .

由(1)知b 2

=2a 2

,故c 2

=(2+3)a 2

.

可得cos 2

B =12,又cos B >0,故cos B =22,所以B =45°.

2020年高考数学三角函数专题解题技巧

三角函数专题复习 在三角函数复习过程中,认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支,要注意与其它知识的联系。 一、研究考题,探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中,和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于:①课本是试题的基本来源,是高考命题的主要依据,大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴,有先例可循。 二、典例剖析 例1:函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A .2(,)33ππ B .(,)62ππ C .(0,)3π D .(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --,从复合函数的角度看,原函数看作2()1g t t t =--,cos t x =,对于2()1g t t t =--,当1[1,]2t ∈-时,()g t 为减函数,当1[,1]2 t ∈时,()g t 为增函数,当2(,)33x ππ∈时,cos t x =减函数,且11(,)22 t ∈-, ∴ 原函数此时是单调增,选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时,需掌握复合函数的性质,以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是:①求定义域;②确定复合过程;③根据外层函数f(μ)的单调性,确定φ(x)的单调性;④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子,并解出x 的范围;⑤得到原函数的单调区间(与定义域求交).求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=. (Ⅰ)求tan 4πθ??+ ??? 的值; (Ⅱ)求cos2θ的值. 【解析】 (Ⅰ)∵tan 2θ=, tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-

高中数学三角函数、解三角形知识点

三角函数、解三角形 1.弧长公式:r l α= 扇形面积公式:22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式: 平方关系:1cos sin 2 2 =+αα 商数关系:sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式(把角写成απ ±2 k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) 公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式: βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如: x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理: 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径) 8.余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc =+-A ,2 2 2 2cos b a c ac =+-B ,2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论:222cos 2b c a bc +-A =,222cos 2a c b ac +-B =,222 cos 2a b c C ab +-=.

高中数学专题练习-三角函数及解三角形

高中数学专题练习-三角函数及解三角形 1.【高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为 A.B. C.D. 【答案】D 【解析】由,得是奇函数,其图象关于原点对称,排除A.又,排除B,C,故选D. 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养,采取性质法或赋值法,利用数形结合思想解题.解答本题时,先判断函数的奇偶性,得是奇函数,排除A,再注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案. 2.【高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论: ①f(x)是偶函数②f(x)在区间(,)单调递增 ③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A.①②④B.②④ C.①④D.①③ 【答案】C 【解析】为偶函数,故①正确.当时,,它在区间单调递减,故②错误. 当时,,它有两个零点:;当时,

,它有一个零点:,故在有个零点:,故③错误.当时,;当时, ,又为偶函数,的最大值为,故④正确.综上所述,①④正确,故选C. 【名师点睛】本题也可画出函数的图象(如下图),由图象可得①④正确. 3.【高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中,以为周期且在区间(,)单调递增的是A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】作出因为的图象如下图1,知其不是周期函数,排除D; 因为,周期为,排除C; 作出图象如图2,由图象知,其周期为,在区间(,)单调递增,A正确; 作出的图象如图3,由图象知,其周期为,在区间(,)单调递减,排除B,故选A. 图1

图2 图3 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质,渗透直观想象、逻辑推理等数学素养,画出各函数图象,即可作出选择.本题也可利用二级结论:①函数的周期是函数周期的一半; ②不是周期函数. 4.【高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0,),2sin2α=cos2α+1,则sinα= A. B. C.D. 【答案】B 【解析】,, ,又,,又,,故选B. 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查,中等难度,判断正余弦的正负,运算准确性是关键,题目不难,需细心,解决三角函数问题,研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键,切记不能凭感觉.解答本题时,先利用二倍角公式得到正余弦关系,再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案. 5.【高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin()(>0),已知在有且仅有5个零点,下述四个结论: ①在()有且仅有3个极大值点 ②在()有且仅有2个极小值点

三角函数与解三角形

课程标题三角函数与解三角形 求三角函数得定义域实质就就就是解三角不等式(组)、一般可用三角函数得图象或三角函数线确定三角不等式得解、列三角不等式,既要考虑分式得分母不能为零;偶次方根被开方数大于等于零;对数得真数大于零及底数大于零且不等于1,又要考虑三角函数本身得定义域; 求三角函数得值域得常用方法:1、化为求得值域; ,引入辅助角,化为求解方法同类型。 2、化为关于(或)得二次函数式; ,设,化为二次函数在上得最值求之; 周期问题一般将函数式化为(其中为三角函数,)、 ) ②y=tanx图象得对称中心(,0) (二)主要方法: 1、函数得单调增区间可由 解出,单调减区间可由解出; 周期 2、函数得单调减区间可由 解出,单调增区间呢。(自己导出)周期 3、函数得单调增区间可由 解出。(无增区间,重点掌握) 周期 课堂练习: 1.已知函数得定义域为,值域为,求常数得值 (化为求得值域)、 2、函数得单调递减区间就就是 3、函数得单调增区间为 2、函数,、 (Ⅰ)求函数得最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上得最小值与最大值、(化为求得值域)、 3、函数得一个单调增区间就就是 ???? 4、若函数,则就就是 最小正周期为得奇函数最小正周期为得奇函数 最小正周期为得偶函数最小正周期为得偶函数 5、函数得最大值 6、当函数得最大值为时,求得值、

7、函数得最大值就就是 8、已知函数,、 (1)求得最大值与最小值;(2)f(x)得最小正周期。 (3)若不等式在上恒成立,求实数得取值范围、 解三角形 正弦定理:, 余弦定理: 推论:正余弦定理得边角互换功能 ① ,, ②,, ③== ④ (4)面积公式:S=ab*sinC=bc*sinA=ca*sinB 课堂练习: 1、在中,角得对边分别为,已知,则( ) A、1 ?B.2 C、???D、 2、在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上得高为( ) A、B、 C、D、 3、在ΔABC中,已知a=,b=,B=45°,求角A,角C得大小及边c得长度。 4、得内角A、B、C得对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且,则() A、 B、 C、D、 【填空题】 5、在中,分别就就是、、所对得边。若,,,则__________ 6、在锐角△ABC中,边长a=1,b=2,则边长c得取值范围就就是_______、 7、已知锐角得面积为,,则角得大小为( ) ?A、75°?B、60° ?C、45°D、30° 8、在△中,若,则等于、 9、在中,已知,则得大小为 ( ) ??? 【解答题】 10、在中,分别就就是三个内角得对边、若,,求得面积、 11、如图,就就是等边三角形,就就是等腰直角三角形,∠=,交于,、 ?(1)求∠得得值; (2)求、 12、在中,角A、B、C所对得边分别为a,b,c,且满足

高考数学三角函数知识点总结及练习

三角函数总结及统练 一. 教学内容: 三角函数总结及统练 (一)基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义(六种)——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀:一正二弦,三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系:商数关系: 倒数关系:1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀:凑一拆一;切割化弦;化异为同。 6. 诱导公式——口诀:奇变偶不变,符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2

正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换:令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式: 2cos 12 sin αα -± =;2cos 12cos αα+±=; αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan =

高考数学复习三角函数常用公式

2019年高考数学复习三角函数常用公式 常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。以下是三角函数常用公式,请打击学习记忆。 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)++sin[+2*(n-1)/n]=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)++cos[+2*(n-1)/n]=0 以及 sin^2()+sin^2(-2/3)+sin^2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式: sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b,则90C <;③若2 2 2 a b c +<,则90C >. 11、三角形的四心: 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点(重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1) 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点(外心到三顶点距离相等) 内心——三角形三内角的平分线相交于一点(内心到三边距离相等) 12同角的三角函数之间的关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1 (2)倒数关系:tanα·cotα=1 (3)商的关系:α α ααααsin cos cot ,cos sin tan ==

三角函数及解三角形知识点总结

1. 任意角的三角函数的定义: 设〉是任意一个角,p (x, y )是〉的终 边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦) + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin : cos : tan : 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一 诱导公式(把角写成2 …形式,利用口诀:奇变偶不变,符 (2)商数关 系: tan-E 屮一、 cos 。(用于切化弦) (1)平方关 系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」 那么 r 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点

5. 特殊角的三角函数值 度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀 度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝 迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念 力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限) sin (2k .亠 x ) = sin x cos (2k ■亠 x ) = cosx [)tan (2k ,亠 x )二 tanx sin ( -x ) - - sin x cos (-x ) =cosx H )tan (-x ) - - tanx m ) |sin (,亠 x ) = -sin x cos (m ) = - cosx tan (二 x ) IV ) Sin (兀 _x ) =sin x cos (兀—x ) = —cosx tan (兀一 sin (— -〉)= cos ..z sin (二:)=cos : V ) -?) = sin :

高考数学三角函数公式

高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系:平方关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα

高考数学三角函数复习专题

三角函数复习专题 一、核心知识点归纳: ★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ?? ≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当22 x k π π=+ () k ∈Z 时,max 1y =; 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时,min 1y =-. 当()2x k k π=∈Z 时, max 1y =; 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时,min 1y =-. 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,22 2k k π πππ? ? - + ??? ? ()k ∈Z 上是增函数;在 32,222k k ππππ??++??? ? ()k ∈Z 上是减函数. 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数;在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数. 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数. 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ? ?+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 ★★2.正、余弦定理:在ABC ?中有: 函 数 性 质

①正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===(R 为ABC ?外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =??=??=? ? sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ? =?? ? =?? ? =?? 注意变形应用 ②面积公式:111 sin sin sin 222 ABC S abs C ac B bc A ?= == ③余弦定理: 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? ? 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 二、练习题 1、角α的终边过点 b b 则且(,5 3 cos ),4,--=α的值( ) A 、3 B 、-3 C 、3± D 、5 2、已知2π θπ<<,3 sin()25 πθ+=-,则tan(π-θ)的值为( ) A .34 B .43 C .34- D .4 3 - 3、2(sin cos )1y x x =--是 ( ) A .最小正周期为2π的偶函数 B .最小正周期为2π的奇函数 4、为得到函数πcos 3y x ? ?=+ ?? ?的图象,只需将函数sin y x =的图像( ) A .向左平移π 6个长度单位 B .向右平移 π 6 个长度单位 C .向左平移5π 6 个长度单位 D .向右平移 5π 6 个长度单位 5、()sin()(0,0,||)2 f x A x A ωφωφπ =+>>< 是( ) A. y = 2sin(x -4π) B. y = 2sin(x +4π) C. y = 2sin (2x -8π) D. y = 2sin (2x +8 π )

(完整版)高中数学三角函数历年高考题汇编(附答案)

三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、(2009)函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A .最小正周期为π的奇函数 B .最小正周期为π的偶函数 C .最小正周期为 2π的奇函数 D .最小正周期为2 π 的偶函数 2、(2008)已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈,则()f x 是( ) A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.(2009浙江文)已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能... 是( ) 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.(2009江西卷文)函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A .2π B . 32π C .π D . 2 π 6.(2009全国卷Ⅰ文)如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称,那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.(2008海南、宁夏文科卷)函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为( ) A. -3,1 B. -2,2 C. -3, 3 2 D. -2, 32 8.(2007海南、宁夏)函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ,的简图是( )

三角函数与解三角形知识点总结

1. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异 于原点),它与原点的距离是 0r =>,那么 sin ,cos y x r r αα= =, () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦) + + - + - + - - - + + - sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= (2)商数关系: sin tan cos α αα= (用于切化弦) ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式(把角写成α π±2k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) Ⅰ)?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ)?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ) ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ)?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ)???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ)???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(

高考数学总复习三角函数

高三数学二轮专题复习教案――三角函数 一、本章知识结构: 二、重点知识回顾 1、终边相同的角的表示方法:凡是与终边α相同的角,都可以表示成k ·3600+α的形式,特例,终边在x 轴上的角集合{α|α=k ·1800,k ∈Z},终边在y 轴上的角集合{α|α=k ·1800+900,k ∈Z},终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k ·900,k ∈Z}。在已知三角函数值的大小求角的大小时,通常先确定角的终边位置,然后再确定大小。 理解弧度的意义,并能正确进行弧度和角度的换算; ⑴角度制与弧度制的互化:π弧度ο 180=, 1801π = ο弧度,1弧度 ο )180 ( π ='1857ο≈ ⑵弧长公式:R l θ=;扇形面积公式: Rl R S 21212==θ。 2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、 诱导公式: (1)三角函数定义:角α中边上任意一点P 为),(y x ,设r OP =||则: ,cos ,sin r x r y == ααx y =αtan (2)三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦; (3)特殊角的三角函数值 α 6π 4π 3π 2π π 23π 2π sin α 0 21 22 23 1 -1 cos α 1 23 22 21 0 -1 0 1

tan α 0 33 1 3 不存在 0 不存在 0 (3)同角三角函数的基本关系: x x x x x tan cos sin ; 1cos sin 22==+ (4)诱导公式(奇变偶不变,符号看象限): sin(πα-)=sin α,cos(πα-)=-cos α,tan(πα-)=-tan α sin(πα+)=-sin α,cos(πα+)=-cos α,tan(πα+)=tan α sin(α-)=-sin α,cos(α-)=cos α,tan(α-)=-tan α sin(2πα-)=-sin α,cos(2πα-)=cos α,tan(2πα-)=-tan α sin(2k πα+)=sin α,cos(2k πα+)=cos α,tan(2k πα+)=tan α,()k Z ∈ sin(2 π α -)=cos α,cos(2 π α -)=sin α sin(2 π α +)=cos α,cos(2 π α +)=-sin α 3、两角和与差的三角函数 (1)和(差)角公式 ①;sin cos cos sin )sin(βαβαβα±=± ②;sin sin cos cos )cos( βαβαβαμ=±③βαβ αβαtan tan 1tan tan )tan(μ±= ± (2)二倍角公式 二倍角公式:①αααcos sin 22sin =; ②ααααα2 222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=;③ ααα2tan 1tan 22tan -= (3)经常使用的公式 ①升(降)幂公式: 21cos 2sin 2αα-= 、21cos 2cos 2αα+=、1 sin cos sin 22ααα =; ②辅助角公式:sin cos )a b ααα?+=+(?由,a b 具体的值确定); ③正切公式的变形:tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-?. 4、三角函数的图象与性质 (一)列表综合三个三角函数sin y x =,cos y x =,tan y x =的图象与性质,并挖掘: ⑴最值的情况; ⑵了解周期函数和最小正周期的意义.会求sin()y A x ω?=+的周期,或者经过简单的恒等变形可化为上

三角函数及解三角形知识点总结

三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

1. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意 一点(异于原点),它与原点的距离是0r =>,那么 sin ,cos y x r r αα= =,()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦) + + - + - + - - - + + - sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系:22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= (2)商数关系:sin tan cos α αα = (用于切化弦) ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式(把角写成 απ ±2 k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) Ⅰ)??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ)?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ) ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ)?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ)???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ)??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin(

高三数学三角函数经典练习题及答案精析

1.将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示,则?的值为( ) A 2.为了得到()sin 2g x x =的图象,则只需将()f x 的图象( ) A C 3 ,则sin cos αα=( ) A 1 D -1 4 ) A 5.记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A . C .21k k -- 6 .若sin a = -a ( ) (A )(B (C (D 7,则α2tan 的值为( )

A 8.已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=,则下列结论正确的是( ) A .)(x f 的周期为π B .)(x f 在 C .)(x f 的最大值为.)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9.如图是函数y=2sin (ωx+φ),φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2,φ D.ω=2,10的图象,只需要将函数sin 4y x =的图象( ) A B C D 11.要得到12cos -=x y 的图象,只需将函数x y 2sin =的图象( ) A 个单位,再向上平移1个单位 B 个单位,再向下平移1个单位 C 个单位,再向上平移1个单位 D 个单位,再向下平移1个单位 12.将函数()cos f x x =向右平移个单位,得到函数()y g x =

于() A 13.同时具有性质①最小正周期是π; 增函数的一个函数为() A C 14则tanθ=() A.-2 D.2 15) A 16.已知tan(α﹣)=,则的值为() A. B.2 C.2 D.﹣2 17) A.1 D.2 18.已知角α的终边上一点的坐标为(,则角α值为 19) A 20) A..

专题 三角函数及解三角形(解析版)

专题 三角函数及解三角形 1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )= 在[,]-ππ的图像大致为 A . B . C . D . 2.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论: ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间( 2 π,π)单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A .①②④ B .②④ C .①④ D .①③ 3.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中,以2 π为周期且在区间( 4 π, 2 π)单调递增的是 A .f (x )=|cos2x | B .f (x )=|sin2x | C .f (x )=cos|x | D .f (x )=sin|x | 4.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0, 2 π),2sin2α=cos2α+1,则sin α= A . 15 B . 5 C 3 D 5 5.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin (5 x ωπ + )(ω>0),已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点,下述四个结论: ①()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2π)有且仅有2个极小值点 2 sin cos ++x x x x

③()f x 在(0, 10 π )单调递增 ④ω的取值范围是[1229 510 ,) 其中所有正确结论的编号是 A .①④ B .②③ C .①②③ D .①③④ 6.【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?=+>><π是奇函数,将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π ,且4g π?? = ???38f π??= ??? A .2- B . C D .2 7.【2019年高考北京卷理数】函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________. 8.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π 6,2,3 b a c B === ,则ABC △的面积为_________. 9.【2019年高考江苏卷】已知 tan 2π3tan 4αα=-??+ ?? ?,则πsin 24α? ?+ ???的值是 ▲ . 10.【2019年高考浙江卷】在ABC △中,90ABC ∠=?,4AB =,3BC =,点D 在线段AC 上,若 45BDC ∠=?,则BD =___________,cos ABD ∠=___________. 11.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设 22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-. (1)求A ; (2 2b c +=,求sin C . 12.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin sin 2 A C a b A +=. (1)求B ;

高考数学-三角函数大题综合训练

三角函数大题综合训练 1.(2016?白山一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知= (1)求角C的大小, (2)若c=2,求使△ABC面积最大时a,b的值. 2.(2016?广州模拟)在△ABC中,角A、B、C对应的边分别是a、b、c,已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A.(I)求角A的大小; (Ⅱ)若△ABC的面积S=5,b=5,求sinBsinC的值. 3.(2016?成都模拟)已知函数f(x)=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x. (Ⅰ)求函数f(x)取得最大值时x的集合; (Ⅱ)设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角,若cosB=,f(C)=﹣,求sinA的值. 4.(2016?台州模拟)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,且c2=a2+b2﹣ab. (1)求角C的值; (2)若b=2,△ABC的面积,求a的值. 5.(2016?惠州模拟)如图所示,在四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,cosB=. (Ⅰ)求△ACD的面积; (Ⅱ)若BC=2,求AB的长. 6.(2015?山东)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosB=,sin (A+B)=,ac=2,求sinA和c的值. 7.(2015?新课标I)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC. (Ⅰ)若a=b,求cosB; (Ⅱ)设B=90°,且a=,求△ABC的面积. 8.(2015?湖南)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA. (Ⅰ)证明:sinB=cosA; (Ⅱ)若sinC﹣sinAcosB=,且B为钝角,求A,B,C. 10.(2015?湖南)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角. (Ⅰ)证明:B﹣A=; (Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围. 11.(2015?四川)已知A、B、C为△ABC的内角,tanA,tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0(p∈R)两个实根.(Ⅰ)求C的大小 (Ⅱ)若AB=3,AC=,求p的值.

高考数学压轴专题专题备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编及答案

新高考数学《三角函数与解三角形》练习题 一、选择题 1.在ABC ?中,060,10,A BC D ∠==是边AB 上的一点,2,CD CBD =?的面积为 1, 则BD 的长为( ) A .32 B .4 C .2 D .1 【答案】C 【解析】 1210sin 1sin 25 BCD BCD ???∠=∴∠= 2 2 2 2102210425 BD BD ∴=+-??? =∴=,选C 2.如图,直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3,AB BC ⊥,3AB BC ==,点E ,F 分别是棱AB ,BC 上的动点,且AE BF =,当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时,则异面直线A F '与AC 所成的角为( ) A . 2 π B . 3 π C . 4 π D . 6 π 【答案】C 【解析】 【分析】 设AE BF a ==,1 3 B EBF EBF V S B B '-'= ??V ,利用基本不等式,确定点 E ,F 的位置,然后根据//EF AC ,得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角,再利用余弦定理求解. 【详解】 设AE BF a ==,则()()2 3119333288B EBF a a V a a '-+-?? =???-?≤=???? ,当且仅当3a a =-,即3 2 a = 时等号成立, 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时,点E ,F 分别是棱AB ,BC 的中点,

方法一:连接A E',AF,则 3 5 2 A E'=, 3 5 2 AF=,22 9 2 A F AA AF '' =+=,132 22 EF AC ==, 因为// EF AC,所以A FE ' ∠即为异面直线A F'与AC所成的角, 由余弦定理得 222 81945 2 424 cos 93 22 22 22 A F EF A E A FE A F EF +- '' +- ' ∠=== ' ???? , ∴ 4 A FE π ' ∠=. 方法二:以B为坐标原点,以BC、BA、BB'分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则() 0,3,0 A,() 3,0,0 C,() 0,3,3 A', 3 ,0,0 2 F ?? ? ?? , ∴ 3 ,3,3 2 A F ?? '=-- ? ?? u u u u r ,() 3,3,0 AC=- u u u r , 所以 9 92 2 cos, 92 32 2 A F AC A F AC A F AC + '? '=== '?? u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r, 所以异面直线A F'与AC所成的角为 4 π . 故选:C 【点睛】 本题主要考查异面直线所成的角,余弦定理,基本不等式以及向量法求角,还考查了推理论证运算求解的能力,属于中档题. 3.在ABC ?中,角,, A B C所对的边分别为,, a b c满足,222 b c a bc +-=, AB BC ?> u ur u u r u u , 3 a=b c +的取值范围是( ) A. 3 1, 2 ?? ? ?? B. 33 22 ?? ? ? ?? C. 13 , 22 ?? ? ?? D. 3 1, 2 ?? ? ??

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