实验6数据拟合及参数辨识方法(精)

实验6 数据拟合及参数辨识方法

一、实验目的及意义

[1] 了解最小二乘拟合的基本原理和方法；

[2] 掌握用MATLAB作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法；

[3] 通过实例学习如何用拟合方法解决实际问题，注意与插值方法的区别。

[4] 了解各种参数辨识的原理和方法；

[5] 通过范例展现由机理分析确定模型结构，拟合方法辨识参数，误差分析等求解实

际问题的过程；

通过该实验的学习，掌握几种基本的参数辨识方法，了解拟合的几种典型应用，观察不同方法得出的模型的准确程度，学习参数的误差分析，进一步了解数学建模过程。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。

二、实验内容

1．用MATLAB中的函数作一元函数的多项式拟合与曲线拟合，作出误差图；

2．用MATLAB中的函数作二元函数的最小二乘拟合，作出误差图；

3．针对预测和确定参数的实际问题，建立数学模型，并求解。

三、实验步骤

1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；

2．根据各种数值解法步骤编写M文件

3．保存文件并运行；

4．观察运行结果(数值或图形)；

5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。

四、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）

应用实验

1．旧车价格预测

某年美国旧车价格的调查资料如下表，其中x i表示轿车的使用年数，y i表示相应的平均价格。试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并预测使用4.5年后轿车的平均价

格大致为多少？

由题意知用matlab编程：

t=1:1:10;

r=[2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204];

aa=polyfit(t,r,2);

a=aa(1)

b=aa(2)

c=aa(3)

y=polyval(aa,t);

plot(t,r,'k+',t,y,'r')

z=a*4.5*4.5+b*4.5+c

图像如下：

z = 955.7047

从而可知第4.5年的预测结果为956辆

2．机器人识别定形工具柄问题

机器人在不同层次上应用于工业生产、水下探测、核点开发、军事研究等领域和部门。当一个机器人工作时，经常需要识别那些从外形上看来是圆形或椭圆形的仪器或工具柄等基本设备，以便执行进一步的操作。通常在所需操纵的工具柄上放置适当数量的传感器，这些传感器不断向四周发射电信号，机器人身上安置有接收电信号的硬件装置，根据这些信号，机器人将估算出各个传感器当时所在的位置，然后，再利用这些数据获得工具柄的位置。由于硬件设备的限制和测量的随机偏差，所获得的传感器位置数据是有误差的。因此，为了增强识别的准确性和可靠性，工具柄上放置的传感器应多于确定该定形曲线所需的最少点数。

（能否获得比较准确的工具柄位置，对机器人能否有效抓握、操作该工具柄起着关键的作用。）

现有一个圆形工具柄，其边缘上放置了6个传感器，一机器人在某一个时刻测得这些传感器的位置坐标为：(1,7),(2,6),(5,8),(7,7),(9,5),(3,7),如何确定该圆形工具柄的圆心坐标和半径。

用matlab编程如下：

xdata=[1,2,5,7,9,3]';

ydata=[9,6,8,7,5,7]';

B=-(xdata.^2+ydata.^2);

A=[xdata,ydata,ones(6,1)];

X=A\B;

a=-1/2*X(1)

b=-1/2*X(2)

r=sqrt(-X(3)+1/4*(X(1)^2+X(2)^2))

alpha=0:pi/20:2*pi;

R=r;

x=a+R*cos(alpha);

y=b+R*sin(alpha);

plot(xdata,ydata,'o',x,y,'r')

axis equal

运行结果：

a =4.8007

b =6.2908

r =3.1901

图像：

3．经济增长模型

增加生产、发展经济所依靠的主要因素有增加投资、增加劳动力以及技术革新等，在研究国民经济产值与这些因素的数量关系时，由于技术水平不像资金、劳动力那样容易定量化，作为初步的模型，可认为技术水平不变，只讨论产值和资金、劳动力之间的关系。在科学技

术发展不快时，如资本主义经济发展的前期，这种模型是有意义的。

用Q，K，L分别表示产值、资金、劳动力，要寻求的数量关系Q(K,L)。经过简化假设与分析，在经济学中，推导出一个著名的Cobb-Douglas生产函数：

Q(K,L) = aKαLβ， 0<α,β<1 （*）

式中α,β，a要由经济统计数据确定。现有美国马萨诸塞州1900—1926年上述三个经济指数的统计数据，如下表，试用数据拟合的方法，求出式（*）中的参数α,β，a。

提示：由于（*）式对参数α,β，a是非线性的，因此，可以有两种方式进行拟合，一是直接使用MATLAB软件中的曲线或曲面拟合命令。另一个是将非线性函数转化成线性函数的形式，使用线性函数拟合。

曲线拟合的数值计算方法实验

曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过 实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i ，Y i )（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或 拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c 1，c 2 ，…c n )是一些待定参 数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在

数据处理的基本方法

第六节数据处理的基本方法 前面我们已经讨论了测量与误差的基本概念，测量结果的最佳值、误差和不确定度的计算。然而，我们进行实验的最终目的是为了通过数据的获得和处理，从中揭示出有关物理量的关系，或找出事物的内在规律性，或验证某种理论的正确性，或为以后的实验准备依据。因而，需要对所获得的数据进行正确的处理，数据处理贯穿于从获得原始数据到得出结论的整个实验过程。包括数据记录、整理、计算、作图、分析等方面涉及数据运算的处理方法。常用的数据处理方法有：列表法、图示法、图解法、逐差法和最小二乘线性拟合法等，下面分别予以简单讨论。 列表法是将实验所获得的数据用表格的形式进行排列的数据处理方法。列表法的作用有两种：一是记录实验数据，二是能显示出物理量间的对应关系。其优点是，能对大量的杂乱无章的数据进行归纳整理，使之既有条不紊，又简明醒目；既有助于表现物理量之间的关系，又便于及时地检查和发现实验数据是否合理，减少或避免测量错误；同时，也为作图法等处理数据奠定了基础。 用列表的方法记录和处理数据是一种良好的科学工作习惯，要设 计出一个栏目清楚、行列分明的表格，也需要在实验中不断训练，逐步掌握、熟练，并形成习惯。 一般来讲，在用列表法处理数据时，应遵从如下原则：

(1) 栏目条理清楚，简单明了，便于显示有关物理量的关系。 (2) 在栏目中，应给出有关物理量的符号，并标明单位(一般不重复写在每个数据的后面)。 (3) 填入表中的数字应是有效数字。 (4) 必要时需要加以注释说明。 例如，用螺旋测微计测量钢球直径的实验数据列表处理如下。 用螺旋测微计测量钢球直径的数据记录表 从表中，可计算出 D i D = n = 5.9967 ( mm)

比对试验数据处理的3种方法

比对试验数据处理的3种方法 摘要引入比对试验的定义，结合两个实验室进行的一组比对试验数据实例，介绍比对试验数据处理的3种基本方法，即(:rubbs检验、F检验、t检验，并阐述三者关系。 在实验室工作中，经常遇到比对试验，即按照预先规定的条件，由两个或多个实验室或实验室内部 对相同或类似的被测物品进行检测的组织、实施和评价。实验室间的比对试验是确定实验室的检测能 力，保证实验室数据准确，检测结果持续可靠而进行的一项重要的试验活动，比对试验方法简单实用，广 泛应用于企事业、专业质检、校准机构的实验室。国家实验室认可准则明确提出，实验室必须定期开展 比对试验。虽然比对试验的形式较多，如:人员比对、设备比对、方法比对、实验室间比对等等，但如何 将比对试验数据归纳、处理、分析，正确地得出比对试验结果是比对试验成败的关键。 以下笔者结合实验室A和B两个实验室200年进行的比对试验中的拉力试验数据实例，介绍比对试验数据处理的3种最基本的方法，即格鲁布斯(Grubbs)检验、F检验、t检验。 1 数据来源情况 试样 在实验室的半成品仓库采取正交方法取样，样品为01. 15 mm制绳用钢丝。在同一盘上截取20 段长度为lm试样，按顺序编号，单号在实验室A测试，双号在实验室B测试。 试验方法及设备 试验方法见 GB/T 228-1987，实验室A : LJ-500(编号450);实验室B : LJ-1 000(编号2)。 测试条件 两实验室选择有经验的试验员，严格按照标准方法进行测试，技术人员现场监督复核，确认无误后 记录。对断钳口的试样进行重试。试验时两实验室环境温度(28 T )、拉伸速度(50 mm/min )、钳口距 离(150 mm)相同。 试验数据 测试得出的两组原始试验数据见表to 表1 实验室A,B试验数据

实验数据处理的基本方法

实验数据处理的基本方法 数据处理是物理实验报告的重要组成部分，其包含的容十分丰富，例如数据的记录、函数图线的描绘，从实验数据中提取测量结果的不确定度信息，验证和寻找物理规律等。本节介绍物理实验中一些常用的数据处理方法。 １列表法 将实验数据按一定规律用列表方式表达出来是记录和处理实验数据最常用的方法。表格的设计要求对应关系清楚、简单明了、有利于发现相关量之间的物理关系；此外还要求在标题栏中注明物理量名称、符号、数量级和单位等；根据需要还可以列出除原始数据以外的计算栏目和统计栏目等。最后还要求写明表格名称、主要测量仪器的型号、量程和准确度等级、有关环境条件参数如温度、湿度等。 本课程中的许多实验已列出数据表格可供参考，有一些实验的数据表格需要自己设计，表１．７—１是一个数据表格的实例，供参考。 表１．７—１数据表格实例 氏模量实验增减砝码时，相应的镜尺读数

２作图法 作图法可以最醒目地表达物理量间的变化关系。从图线上还可以简便求出实验需要的某些结果（如直线的斜率和截距值等），读出没有进行观测的对应点（插法），或在一定条件下从图线的延伸部分读到测量围以外的对应点（外推法）。此外，还可以把某些复杂的函数关系，通过一定的变换用直线图表示出来。例如半导体热敏电阻的电阻与温度关系为，取对数后得到 ，若用半对数坐标纸，以lgＲ为纵轴，以１／Ｔ为横轴画图，则为一条直线。 要特别注意的是，实验作图不是示意图，而是用图来表达实验中得到的物理量间的关系，同 时还要反映出测量的准确程度，所以必须满足一定的作图要求。 １）作图要求 （１）作图必须用坐标纸。按需要可以选用毫米方格纸、半对数坐标纸、对数坐标纸或极坐标纸等。

曲线拟合的方法及过程

一、课程设计题目： 对于函数 x e x x f --=)( 从00=x 开始，取步长1.0=h 的20个数据点，求五次最小二乘拟合多项式 5522105)()()()(x x a x x a x x a a x P -++-+-+= 其中 ∑ ===19 95.020 i i x x 二、原理分析 （1）最小二乘法的提法 当数据量大且由实验提供时，不宜要求近似曲线）（x y φ=严格地经过所有数据点),(i i y x ，亦即不应要求拟合函数）（x ?在i x 处的偏差（又称残差） i i i y x -=)(φδ (i=1,2,…,m) 都严格的等于零，但是，为了使近似曲线能尽量反应所给数据点的变化趋势，要求偏差i δ适当的小还是必要的，达到这一目标的途径很多，例如，可以通过使最大偏差i δmax 最小来实现，也可以通过使偏差绝对值之和∑i i δ最小来实 现……，考虑到计算方便等因素，通常用使得偏差平方和∑i i 2δ最小（成为最小 二乘原则）来实现。 按最小二乘原则选择近似函数的方法称为最小二乘法。 用最小二乘法求近似函数的问题可以归结为：对于给定数据),(i i y x (i=1,2,…,m)，要求在某个函数类Φ中寻求一个函数）（x * ?，使 [][]2 1 )(2 1 * )()(mi n ∑∑=Φ∈=-=-m i i i x m i i i y x y x ??? （1-1） 其中）（x ?为函数类Φ中任意函数。 （1）确定函数类Φ，即确定）（x ?的形式。这不是一个单纯的数学问题，还与其他领域的一些专业知识有关。在数学上，通常的做法是将数据点),(i i y x 描

大学物理实验数据处理基本方法

实验数据处理基本方法 实验必须采集大量数据，数据处理是指从获得数据开始到得出最后结 论的整个加工过程，它包括数据记录、整理、计算与分析等，从而寻找出 测量对象的内在规律，正确地给出实验结果。因此，数据处理是实验工作 不可缺少的一部分。数据处理涉及的内容很多，这里只介绍常用的四种方 法。 1列表法 对一个物理量进行多次测量，或者测量几个量之间的函数关系，往往 借助于列表法把实验数据列成表格。其优点是，使大量数据表达清晰醒目， 条理化，易于检查数据和发现问题，避免差错，同时有助于反映出物理量 之间的对应关系。所以，设计一个简明醒目、合理美观的数据表格，是每 一个同学都要掌握的基本技能。 列表没有统一的格式，但所设计的表格要能充分反映上述优点，应注意以下几点：1．各栏目均应注明所记录的物理量的名称(符号 )和单位； 2．栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算顺序，力求简明、齐全、有条理； 3．表中的原始测量数据应正确反映有效数字，数据不应随便涂改，确实要修改数据时， 应将原来数据画条杠以备随时查验； 4．对于函数关系的数据表格，应按自变量由小到大或由大到小的顺序排列，以便于判 断和处理。 2图解法 图线能够明显地表示出实验数据间的关系，并且通过它可以找出两个 量之间的数学关系，因此图解法是实验数据处理的重要方法之一。图解法 处理数据，首先要画出合乎规范的图线，其要点如下： 1.选择图纸作图纸有直角坐标纸 ( 即毫米方格纸 ) 、对数坐标纸和 极坐标纸等，根据 作图需要选择。在物理实验中比较常用的是毫米方格纸，其规格多为17 25 cm 。 2.曲线改直由于直线最易描绘 , 且直线方程的两个参数 ( 斜率和截距 ) 也较易算得。所以对于两个变量之间的函数关系是非线性的情形，在用图解法时 应尽可能通过变量代换 将非线性的函数曲线转变为线性函数的直线。下面为几种常用的变换方法。 ( 1) xy c ( c 为常数 ) 。 令 z 1，则 y cz，即 y 与 z 为线性关系。 x ( 2) x c y ( c 为常x2，y 1 z ，即 y 与为线性关系。

实验数据处理的几种方法

实验数据处理的几种方法 物理实验中测量得到的许多数据需要处理后才能表示测量的最终结果。对实验数据进行记录、整理、计算、分析、拟合等，从中获得实验结果和寻找物理量变化规律或经验公式的过程就是数据处理。它是实验方法的一个重要组成部分，是实验课的基本训练内容。本章主要介绍列表法、作图法、图解法、逐差法和最小二乘法。 1.4.1 列表法 列表法就是将一组实验数据和计算的中间数据依据一定的形式和顺序列成表格。列表法可以简单明确地表示出物理量之间的对应关系，便于分析和发现资料的规律性，也有助于检查和发现实验中的问题，这就是列表法的优点。设计记录表格时要做到：（1）表格设计要合理，以利于记录、检查、运算和分析。 （2）表格中涉及的各物理量，其符号、单位及量值的数量级均要表示清楚。但不要把单位写在数字后。 （3）表中数据要正确反映测量结果的有效数字和不确定度。列入表中的除原始数据外，计算过程中的一些中间结果和最后结果也可以列入表中。 （4）表格要加上必要的说明。实验室所给的数据或查得的单项数据应列在表格的上部，说明写在表格的下部。 1.4.2 作图法 作图法是在坐标纸上用图线表示物理量之间的关系，揭示物理量之间的联系。作图法既有简明、形象、直观、便于比较研究实验结果等优点，它是一种最常用的数据处理方法。 作图法的基本规则是： （1）根据函数关系选择适当的坐标纸（如直角坐标纸，单对数坐标纸，双对数坐标纸，极坐标纸等）和比例，画出坐标轴，标明物理量符号、单位和刻度值，并写明测试条件。 （2）坐标的原点不一定是变量的零点，可根据测试范围加以选择。，坐标分格最好使最低数字的一个单位可靠数与坐标最小分度相当。纵横坐标比例要恰当，以使图线居中。 （3）描点和连线。根据测量数据，用直尺和笔尖使其函数对应的实验点准确地落在相应的位置。一张图纸上画上几条实验曲线时，每条图线应用不同的标记如“+”、“×”、“·”、“Δ”等符号标出，以免混淆。连线时，要顾及到数据点，使曲线呈光滑曲线（含直线），并使数据点均匀分布在曲线（直线）的两侧，且尽量贴近曲线。个别偏离过大的点要重新审核，属过失误差的应剔去。 （4）标明图名，即做好实验图线后，应在图纸下方或空白的明显位置处，写上图的名称、作者和作图日期，有时还要附上简单的说明，如实验条件等，使读者一目了然。作图时，一般将纵轴代表的物理量写在前面，横轴代表的物理量写在后面，中间用“～”

计算方法_数据拟合回顾

第三章数据拟合回顾 keywords 最小二乘法 转化的思想

使误差的平方和为最小: 按最小二乘法, 作直线拟合应使 ∑=+-=N i i i x y b a b a Q 1 2 )]([),(为最小，极小值点一阶导数为0：0,0=??=??b Q a Q 最小二乘法（least squares method ） 2min, ()i i e e y a bx i i i =∑=-+2i i i i i i aN b x y a x b x x y ?+=??+=??∑∑∑∑∑得正规方程组： 2i i i i i i i i i i i i a b x y a x b x x y ωωωωωω?+=??+=??∑∑∑∑∑∑加权正规方程组： IF Y*=a0+a1X1+a2X2+a3X3+……+akXk （n>k ）,THEN?

最小二乘法的几何意义(p51) y=a0x0+a1x1+a2x2+a3x3+……+akxk（n>k）其中x0=(1,1,1,.....1)，x i=(xi1,xi2,xi3,.....,xin),i=1,2,3.....n

数据拟合方法一览表 线性关系直线拟合非线性关系曲线拟合 单变量直线拟合多 变 量 直 线 拟 合 多项式拟合非多项式拟合 变量 替换 转换 为直 线拟 合 多项 式拟 合的 最小 二乘 法 变量 替换 为多 变量 直线 拟合 方程 两边 取对 数转 换为 直线 拟合 正 交 多 项 式 拟 合 Y*=a0+a1X1+a2X2+a3X3+……+akXk（n>k）本

thank u

大学物理实验数据处理方法总结

有效数字 1、有效数字不同的数相加减时，以参加运算各量中有效数字最末一位位数最高的为准，最后结果与它对其，余下的尾数按舍入规则处理。 2、乘除法以参与运算的数值中有效位数最少的那个数为准，但当结果的第1位数较小，比如1、2、3时可以多保留一位（较小：结果的第一位数小于 有效数字最少的结果第一位数）！ 例如：n=tg56° θ=56° d θ=1° θθθθθ2cos d d d dtg dn == 为保留） （，带入848.156n 15605.018056cos 1cos 22=?=∴?=??=≈?=?= ?tg n θθπθθ 3、可以数字只出现在最末一位：对函数运算以不损失有效数字为准。 例如：20*lg63.4 可疑最小位变化0.1 Y=20lgx 01.04 .631.010ln 2010ln 20ln 10ln 20≈===x dx dx dx x d dy 04.364.63lg 20=∴ 4、原始数据记录、测量结果最后表示，严格按有效数字规定处理。（中间过程、结果多算几次） 5、4舍5入6凑偶 6、不估计不确定度时，有效数字按相应运算法则取位；计算不确定度时以不确定度的处理结果为准。 真值和误差 1、 误差=测量值-真值 ΔN=N-A 2、 误差既有大小、方向与政府。 3、 通常真值和误差都是未知的。 4、 相对约定真值，误差可以求出。 5、 用相对误差比较测量结果的准确度。 6、 ΔN/A ≈ΔN/N 7、 系统误差、随机误差、粗大误差 8、 随机误差：统计意义下的分布规律。粗大误差：测量错误 9、 系统误差和随机误差在一定条件下相互转化。 不确定度 1、P （x ）是概率密度函数 dx P dx x x P p )x (之间的概率是测量结果落在+当x 取遍所有可能的概率值为1. 2、正态分布且消除了系统误差，概率最大的位置是真值A 3、曲线“胖”精密度低“瘦”精密度高。 4、标准误差：无限次测量?∞∞-=-2 )()(dx X P A X x ）（σ 有限次测量且真值不知道标准偏

实验数据处理基本方法

实验数据处理基本方法 数据处理是指从获得数据开始到得出最后结论的整个加工过程，包括数据记录、整理、计算、分析和绘制图表等。数据处理是实验工作的重要内容，涉及的内容很多，这里介绍一些基本的数据处理方法。 一.列表法 对一个物理量进行多次测量或研究几个量之间的关系时，往往借助于列表法把实验数据列成表格。其优点是，使大量数据表达清晰醒目，条理化，易于检查数据和发现问题，避免差错，同时有助于反映出物理量之间的对应关系。所以，设计一个简明醒目、合理美观的数据表格，是每一个同学都要掌握的基本技能。 列表没有统一的格式，但所设计的表格要能充分反映上述优点，应注意以下几点： 1．各栏目均应注明所记录的物理量的名称(符号)和单位； 2．栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算顺序，力求简明、齐全、有条理； 3．表中的原始测量数据应正确反映有效数字，数据不应随便涂改，确实要修改数据时，应将原来数据画条杠以备随时查验； 4．对于函数关系的数据表格，应按自变量由小到大或由大到小的顺序排列，以便于判断和处理。 二. 图解法 图线能够直观地表示实验数据间的关系，找出物理规律，因此图解法是数据处理的重要方法之一。图解法处理数据，首先要画出合乎规范的图线，其要点如下： 1.选择图纸 作图纸有直角坐标纸(即毫米方格纸)、对数坐标纸和极坐标纸等，根据作图需要选择。在物理实验中比较常用的是毫米方格纸。 2.曲线改直 由于直线最易描绘,且直线方程的两个参数(斜率和截距)也较易算得。所以对于两个变量之间的函数关系是非线性的情形，在用图解法时应尽可能通过变量代换将非线性的函数曲线转变为线性函数的直线。下面为几种常用的变换方法。 (1)c xy =(c 为常数)。令x z 1 = ，则cz y =，即y 与z 为线性关系。 (2)y c x =(c 为常数)。令2x z =，则z c y 21 =，即y 与z 为线性关系。 (3)b ax y =(a 和b 为常数)。等式两边取对数得，x b a y lg lg lg +=。于是，y lg 与x lg 为线性关系，b 为斜率，a lg 为截距。 (4)bx ae y =(a 和b 为常数)。等式两边取自然对数得，bx a y +=ln ln 。于是，y ln 与 x 为线性关系，b 为斜率，a ln 为截距。 3.确定坐标比例与标度 合理选择坐标比例是作图法的关键所在。作图时通常以自变量作横坐标(x 轴)，因变量作纵坐标(y 轴)。坐标轴确定后，用粗实线在坐标纸上描出坐

数据拟合法

第四章 数据拟合法 在科学实验和生产实践中，有许多函数关系仅能用由实验或观测得到的一组数据表 (,)(0,1, ,)i i x y i m =来表示，例如某种物质的化学反应，能够测得生成物的浓度与时间关 系的一组数据表.而它们的解析表达式)(t f y =是不知道的。但是为了要知道化学反应速度，必须要利用已知数据给出它的近似表达式，有了近似表达式，通过求导数便可知道化学反应速度。可见已知一组数据求它的近似表达式是非常有意义的.如何求它的近似表达式呢？第二章介绍的插值方法是一种有效的方法.但是由于数据(,)(0,1, ,)i i x y i m =是由测量或观测得 到的，它本身就有误差，作插值时一定要通过型值点),(i i y x 似乎没有必要；其次当m 很大时，采用插值（特别是多项式插值）很不理想（会出现龙格现象），非多项式插值计算又很复杂。为此，本章介绍一种“整体”近似的方法，即对于给定的数据(,),0,1,,i i x y i n =，选一个 线性无关函数系)(,),(),(10x x x n ??? ，以它们为基底构成的线性空间为 {}0span (), ,()n x x ??=Φ. 在此空间内选择函数 ()()n j j j x x ?α?==∑ 其中(0,1,,)j j n α=为待定常数。要求它逼近真实函数)(x f y =的误差尽可能小，这就是 数据拟合问题. §1 最小二乘法 一、最小二乘法 设有数据(,),0,1, ,i i x y i m =，令 ()(),0,1, ,n i i i i j j i j r y x y x i m ?α?==-=-=∑. 并称T m r r r r ),,,(10 =为残向量，用)(x ?去拟合)(x f y =的好坏问题变成残量的大小问题。 判断残量大小的标准，常用的有下面几种： (1) 确定参数(0,1, ,)j j n α=，使残量绝对值中最大的一个达到最小，即 i m i r ≤≤0max 为最小。 (2) 确定参数(0,1, ,)j j n α=，使残量绝对值之和达到最小，即 ∑=m i i r 为最小。 (3) 确定参数(0,1, ,)j j n α=，使残量的平方和达到最小，即

数值计算_第6章 曲线拟合的最小二乘法

第6章曲线拟合的最小二乘法 6.1 拟合曲线 通过观察或测量得到一组离散数据序列，当所得数据比较准确时，可构造插值函数逼近客观存在的函数，构造的原则是要求插值函数通过这些数据点，即。此时，序列与 是相等的。 如果数据序列，含有不可避免的误差（或称“噪音”），如图6.1 所示；如果数据序列无法同时满足某特定函数，如图6.2所示，那么，只能要求所做逼近函数最优地靠近样点，即向量与的误差或距离最小。按与之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数。 图6.1 含有“噪声”的数据 图6.2 一条直线公路与多个景点 插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。插值的目标是要插值函数尽量靠近离散点；拟合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。 向量与之间的误差或距离有各种不同的定义方法。例如： 用各点误差绝对值的和表示： 用各点误差按模的最大值表示： 用各点误差的平方和表示： 或（6.1）

其中称为均方误差，由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。按 均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线的方法。 在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是统计学中估计回归参数的最基本方法。 关于最小二乘法的发明权，在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和勒让德分别独立地提出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文，这时高斯指出，他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。 在实际问题中，怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线？关键在选择适当的拟合曲线类型，有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情况下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。 例如，某风景区要在已有的景点之间修一条规格较高的主干路，景点与主干路之间由各具特色的支路联接。设景点的坐标为点列；设主干路为一条直线 ，即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差最小值而确定直线方程（见图6.2）。 6.2线性拟合和二次拟合函数 线性拟合 给定一组数据，做拟合直线，均方误差为 （6.2） 是二元函数，的极小值要满足 整理得到拟合曲线满足的方程：

数据拟合方法

第二讲 数据拟合方法 在实验中，实验和戡测常常会产生大量的数据。为了解释这些数据或者根据这些数据做出预测、判断，给决策者提供重要的依据。需要对测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。数据拟合方法与数据插值方法不同，它所处理的数据量大而且不能保证每一个数据没有误差，所以要求一个函数严格通过每一个数据点是不合理的。数据拟合方法求拟合函数，插值方法求插值函数。这两类函数最大的不同之处是，对拟合函数不要求它通过所给的数据点，而插值函数则必须通过每一个数据点。例如，在某化学反应中，测得生成物的质量浓度y (10 –3 g/cm 3)与时间t （min ）的关系如表所示 显然，连续函数关系 y (t )是客观存在的。但 是通过表中的数据不可能确切地得到这种关系。何况，由于仪器和环境的影响，测量数据难免有误差。因此只能寻求一个近拟表达式 y = (t )

寻求合理的近拟表达式，以反映数据变化的规律，这种方法就是数据拟合方法。数据拟合需要解决两个问题：第一，选择什么类型的函数)(t ?作为拟合函数（数学模型）；第二，对于选定的拟合函数，如何确定拟合函数中的参数。 数学模型应建立在合理假设的基础上，假设的合理性首先体现在选择某种类型的拟合函数使之符合数据变化的趋势（总体的变化规律）。拟合函数的选择比较灵活，可以选择线性函数、多项式函数、指数函数、三角函数或其它函数，这应根据数据分布的趋势作出选择。为了问题叙述的方 假设拟合函数是线性函数，即拟合函数的图形是一条平面上的直线。而表中的数据点未能精确地落在一条直线上的原因是实验数据的误差。则下一步是确定函数 y= a + b x 中系数a 和b 各等于多少从几何背景来考虑，就是要以a 和b 作为待定系数，确定一条平面直线使得表中数据所对应的10个点尽可能地靠近这条直线。一般来讲，数据点将不会全部落在这条直线上，如果第k 个点的数据恰好落在这条直线上，则这个点的坐标满足直线的方程，即 a + b x k = y k 如果这个点不在直线上，则它的坐标不满足直线方程，有一个绝对值为 k k y bx a -+的差异（残差） 。于是全部点处的总误差是 ∑=-+10 1 k k k y bx a 这是关于a 和b 的一个二元函数，合理的做法是选取a 和b ，使得这个函 数取极小值。但是在实际求解问题时为了操作上的方便，常常是求a 和b 使得函数 ∑=-+=10 12)(),(k k k y bx a b a F 达到极小。为了求该函数的极小值点，令 0=??a F ，0=??b F ， 得

实验数据处理的几种方法

1.4 实验数据处理的几种方法 物理实验中测量得到的许多数据需要处理后才能表示测量的最终结果。对实验数据进行记录、整理、计算、分析、拟合等，从中获得实验结果和寻找物理量变化规律或经验公式的过程就是数据处理。它是实验方法的一个重要组成部分，是实验课的基本训练内容。本章主要介绍列表法、作图法、图解法、逐差法和最小二乘法。 1.4.1 列表法 列表法就是将一组实验数据和计算的中间数据依据一定的形式和顺序列成表格。列表法可以简单明确地表示出物理量之间的对应关系，便于分析和发现资料的规律性，也有助于检查和发现实验中的问题，这就是列表法的优点。设计记录表格时要做到：（1）表格设计要合理，以利于记录、检查、运算和分析。 （2）表格中涉及的各物理量，其符号、单位及量值的数量级均要表示清楚。但不要把单位写在数字后。 （3）表中数据要正确反映测量结果的有效数字和不确定度。列入表中的除原始数据外，计算过程中的一些中间结果和最后结果也可以列入表中。 （4）表格要加上必要的说明。实验室所给的数据或查得的单项数据应列在表格的上部，说明写在表格的下部。 1.4.2 作图法 作图法是在坐标纸上用图线表示物理量之间的关系，揭示物理量之间的联系。作图法既有简明、形象、直观、便于比较研究实验结果等优点，它是一种最常用的数据处理方法。 作图法的基本规则是： （1）根据函数关系选择适当的坐标纸（如直角坐标纸，单对数坐标纸，双对数坐标纸，极坐标纸等）和比例，画出坐标轴，标明物理量符号、单位和刻度值，并写明测试条件。 （2）坐标的原点不一定是变量的零点，可根据测试范围加以选择。，坐标分格最好使最低数字的一个单位可靠数与坐标最小分度相当。纵横坐标比例要恰当，以使图线居中。 （3）描点和连线。根据测量数据，用直尺和笔尖使其函数对应的实验点准确地落在相应的位置。一张图纸上画上几条实验曲线时，每条图线应用不同的标记如“+”、“×”、“·”、“Δ”等符号标出，以免混淆。连线时，要顾及到数据点，使曲线呈光滑曲线（含直线），并使数据点均匀分布在曲线（直线）的两侧，且尽量贴近曲线。个别偏离过大的点要重新审核，属过失误差的应剔去。 （4）标明图名，即做好实验图线后，应在图纸下方或空白的明显位置处，写上图的名称、作者和作图日期，有时还要附上简单的说明，如实验条件等，使读者一目了然。

物理实验数据处理的基本方法

1引言 物理学的理论是通过观察、实验、抽象、假说等研究方法，并通过实验建立起来的。所以，物理学从根本上讲是一门实验科学，科学实验在物理学的形成和发展中处于主导地位。在物理学的发展中，人类积累了丰富的实验方法，创造出各种精密的仪器设备，促进了物理实验技术的提高。物理实验中的研究方法、观察与分析手段、各种常规和精密的仪器设备在现代科学和工程实践中均具有极大的普遍性、综合性、多样性和广延性，促进了物理学的发展、自然科学的变革、以及工业技术的革命。 物理实验是人为地创造出一种条件，按照预定计划，以确定顺序重现一系列物理过程或物理现象，其目的不仅要让学生受到严格的、系统的物理实验技能训练，掌握物理科学实验的基本知识、方法和技术，更重要的是要培养学生严谨的科学思维能力和创新精神，培养学生理论联系实际、分析和解决问题的能力。 科学实验的目的是为了找出事物的内在规律，或检验某种理论的正确性，或准备作为以后实践工作的依据。在物理实验中，我们要对一些物理量进行测量，得到与之相关的数据，而对实验数据进行记录、整理、计算、作图和分析，去粗取精，去伪存真，得到最终结论和实验规律的过程称为数据处理。数据处理是否科学，决定科学结论能否建立与推广，它是物理实验教学中培养学生实验能力和素质的重要环节。数据处理的中心内容是估算待测量的最佳值，估算测量结果的不确定度或寻求多个待测量间的函数关系。不会处理数据或数据处理方法不当，就得不到正确的实验结果。由此可知，数据处理在整个实验过程中有着举足轻重的地位。在物理实验中常用的数据处理方法有列表法、作图法、图解法、逐差法和最小二乘法（直线拟合）等，下面就各方法的内容作详细的介绍。 2列表法

物理实验的基本方法及数据处理基本方法

摘要：物理学是实验性学科，而物理实验在物理学的研究中占有非常重要的地位。本文着重介绍工科大学物理实验蕴涵的实验方法，提出工科大学物理实验的新类型。并介绍相关的数据处理的方法。 关键词：大学物理实验方法数据处理 正文： 一、大学物理实验方法 实验的目的是为了揭示与探索自然规律。掌握有关的基本实验方法，对提高科学实验能力有重要作用。实验离不开测量，如何根据测量要求，设计实验途径，达到实验目的？是一个必须思考的重要问题。有许多实验方法或测量方法，就是同一量的测量、同一实验也会体现多种方法且各种方法又相互渗透和结合。实验方法如何分类并无硬性规定。下面总结几种常用的基本实验方法。 根据测量方法和测量技术的不同，可以分为比较法、放大法、平衡法、转换法、模拟法、干涉法、示踪法等。 （一）比较法 根据一定的原理，通过与标准对象或标准量进行比较来确定待测对象的特征或待测量数值的实验方法称为比较法。它是最普遍、最基本、最常用的实验方法，又分直接比较法、间接比较法和特征比较法。直接比较法是将被测量与同类物理量的标准量直接进行比较，直接读数直接得到测量数据。例如，用游标卡尺和千分尺测量长度，用钟表测量时间。间接比较法是借助于一些中间量或将被测量进行某种变换，来间接实现比较测量的方法。例如，温度计测温度，电流表测电流，电位差计测电压，示波器上用李萨如图形测量未知信号频率等。特征比较法是通过与标准对象的特征进行比较来确定待测对象的特征的观测过程。例如，光谱实验就是通过光谱的比较来确定被测物体的化学成分及其含量的。 （二）放大法 由于被测量过小，用给定的某种仪器进行测量会造成很大的误差，甚至小到无法被实验者或仪器直接感觉和反应。此时可以先通过某种途径将被测量放大，然后再进行测量。放大被测量所用的原理和方法称为放大法。放大法分累计放大法、机械放大法、电磁放大法和光学放大法等。 1、累计放大法在被测物理量能够简单重叠的条件下，将它展延若干倍再进行测量的方法称为累计放大法。例如，在转动惯量的测量中用秒表测量三线摆的周期。

曲线拟合方法浅析

曲线拟合方法概述 工业设计张静1014201056 引言：在现代图形造型技术中，曲线拟合是一个重要的部分，是曲面拟合的基础。现着重对最小二乘法、移动最小二乘法、NURBS 三次曲线拟合法和基于RBF 曲线拟合法进行 比较，论述这几种方法的原理及其算法，基于实例分析了上述几种拟合方法的特性，以分析拟合方法的适用场合，从而为图形造型中曲线拟合的方法选用作出更好的选择。 1 曲线拟合的概念 在许多对实验数据处理的问题中，经常需要寻找自变量和对应因变量之间的函数关系，有的变量关系可以根据问题的物理背景，通过理论推导的方法加以求解，得到相应关系式。但绝大多数的函数关系却很复杂，不容易通过理论推导得到相关的表达式，在这种情况下，就需要采用曲线拟合的方法来求解变量之间的函数关系式。 曲线拟合(Curve Fitting) ，是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之问的函数关系的一种数据处理方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对(X i,y i), i=1 , 2, 3…，m，其中各X i是彼此不同的。人们希望用一类与数据的规律相吻合的解析表达式y=f(x)来反映量x与y之间的依赖关系。即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x)称作拟合函数，似的图 像称作拟合曲线。 2 曲线拟合的方法 2.1 最小二乘法 最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，是进行曲线拟合的一种早期使用的方法一般最小二乘法的拟合函数是一元二次，可一元多次，也可多元多次。该方法是通过求出数据点到拟合函数的距离和 最小的拟合函数进行拟合的方法令f(x)=ax 2+bx+c ，计算数据点到该函数 所表示的曲线的距离和最小即：

数据拟合方法研究

数据拟合方法研究 中文摘要 在我们实际的实验和勘探中，都会产生大量的数据。为了解释这些数据或者根据这些数据做出预测、判断，给决策者提供重要的依据。需要对测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。 本文介绍了几种常用的数据拟合方法，线性拟合、二次函数拟合、数据的n次多项式拟合等。并着重对曲线拟合进行了研究，介绍了线性与非线性模型的曲线拟合方法，最小二乘法、牛顿迭代法等。在传统的曲线拟合基础上，为了提高曲线拟合精度，本文还研究了多项式的摆动问题，从实践的角度分析了产生这些摆动及偏差的因素和特点，总结了在实践中减小这些偏差的处理方法。采用最小二乘法使变量转换后所得新变量离均差平方和最小，并不一定能使原响应变量的离均差平方和最小，所以其模型的拟合精度仍有提高的空间。本文以残数法与最小二乘法相结合，采用非线性最小二乘法来得到拟合效果更好的曲线模型。随着计算机技术的发展，实验数据处理越来越方便。但也提出了新的课题，就是在选择数据处理方法时应该比以往更为慎重。因为稍有不慎，就会非常方便地根据正确的实验数据得出不确切的乃至错误的结论。所以提高拟合的准确度是非常有必要的 关键词：数据拟合、最小二乘法、曲线拟合、多项式摆动、残数法

Data Fitting Method Abstract In our experiments and exploration, it will produce large amounts of data. In order to explain these data to make predictions based on these data to determine, provide an important basis for policy makers .Need to fit the measured data to find a function to reflect data changes in the law.This article describes several commonly used data fitting methods, and focused on a nonlinear curve fitting of the model. This paper introduces some commonly used data fitting method, linear fitting, secondary function fitting, data n times polynomial fitting etc. T And focuses on the curve fitting, introduced the linear and nonlinear model of curve fitting method, the least square method, Newton iterative method, etc. In the traditional curve fitting basis, in order to improve the curve fitting precision, this paper also studies the polynomial swing, from the perspective of the practice the oscillation and deviation of factors and characteristics, and summarizes the decrease in practice the treatment method of these deviations. The least square method to variable after converting from new variables are the sum of squared residuals minimum, not necessarily make the original response from all the variables of the sum of squared residuals minimum, so the model fitting precision still has room to improve.Based on the number of residual method and least square method, and the combination of nonlinear least square method to get better fitting effect of curve model.With the development of computer technology, the experiment

大学物理实验_常用的数据处理方法

1.7 常用的数据处理方法 实验数据及其处理方法是分析和讨论实验结果的依据。在物理实验中常用的数据处理方法有列表法、作图法、逐差法和最小二乘法（直线拟合）等。 1.7.1 列表法 在记录和处理数据时，常常将所得数据列成表。数据列表后，可以简单明确、形式紧凑地表示出有关物理量之间的对应关系；便于随时检查结果是否合理，及时发现问题，减少和避免错误；有助于找出有关物理量之间规律性的联系，进而求出经验公式等。 列表的要求是： （1）要写出所列表的名称，列表要简单明了，便于看出有关量之间的关系，便于处理数据。 （2）列表要标明符号所代表物理量的意义（特别是自定的符号），并写明单位。单位及量值的数量级写在该符号的标题栏中，不要重复记在各个数值上。 （3）列表的形式不限，根据具体情况，决定列出哪些项目。有些个别的或与其他项目联系不大的数据可以不列入表内。列入表中的除原始数据外，计算过程中的一些中间结果和最后结果也可以列入表中。 （4）表中所列数据要正确反映测量结果的有效数字。 列表举例如表1-2所示。 表1-2铜丝电阻与温度关系 1.7.2 作图法 作图法是将两列数据之间的关系用图线表示出来。用作图法处理实验数据是数据处理的常用方法之一，它能直观地显示物理量之间的对应关系，揭示物理量之间的联系。 1．作图规则 为了使图线能够清楚地反映出物理现象的变化规律，并能比较准确地确定有关物理量的量值或求出有关常数，在作图时必须遵守以下规则。 （1）作图必须用坐标纸。当决定了作图的参量以后，根据情况选用直角坐标纸、极坐标纸或其他坐标纸。 （2）坐标纸的大小及坐标轴的比例，要根据测得值的有效数字和结果的需要来定。原则上讲，数据中的可靠数字在图中应为可靠的。我们常以坐标纸中小格对应可靠数字最后一位的一个单位，有时对应比例也适当放大些，但对应比例的选择要有利于标实验点和读数。最小坐标值不必都从零开始，以便做出的图线大体上能充满全图，使布局美观、合理。 （3）标明坐标轴。对于直角坐标系，要以自变量为横轴，以因变量为纵轴。用粗实线在坐标纸上描出坐标轴，标明其所代表的物理量（或符号）及单位，在轴上每隔一定间距标明

大学物理实验_常用的数据处理方法

常用的数据处理方法 实验数据及其处理方法是分析和讨论实验结果的依据。在物理实验中常用的数据处理方法有列表法、作图法、逐差法和最小二乘法（直线拟合）等。 列表法 在记录和处理数据时，常常将所得数据列成表。数据列表后，可以简单明确、形式紧凑地表示出有关物理量之间的对应关系；便于随时检查结果是否合理，及时发现问题，减少和避免错误；有助于找出有关物理量之间规律性的联系，进而求出经验公式等。 列表的要求是： （1）要写出所列表的名称，列表要简单明了，便于看出有关量之间的关系，便于处理数据。 （2）列表要标明符号所代表物理量的意义（特别是自定的符号），并写明单位。单位及量值的数量级写在该符号的标题栏中，不要重复记在各个数值上。 （3）列表的形式不限，根据具体情况，决定列出哪些项目。有些个别的或与其他项目联系不大的数据可以不列入表内。列入表中的除原始数据外，计算过程中的一些中间结果和最后结果也可以列入表中。 （4）表中所列数据要正确反映测量结果的有效数字。 列表举例如表1-2所示。 表1-2铜丝电阻与温度关系 铜丝电阻R / 作图法 作图法是将两列数据之间的关系用图线表示出来。用作图法处理实验数据是数据处理的常用方法之一，它能直观地显示物理量之间的对应关系，揭示物理量之间的联系。

1．作图规则 为了使图线能够清楚地反映出物理现象的变化规律，并能比较准确地确定有关物理量的量值或求出有关常数，在作图时必须遵守以下规则。 （1）作图必须用坐标纸。当决定了作图的参量以后，根据情况选用直角坐标纸、极坐标纸或其他坐标纸。 （2）坐标纸的大小及坐标轴的比例，要根据测得值的有效数字和结果的需要来定。原则上讲，数据中的可靠数字在图中应为可靠的。我们常以坐标纸中小格对应可靠数字最后一位的一个单位，有时对应比例也适当放大些，但对应比例的选择要有利于标实验点和读数。最小坐标值不必都从零开始，以便做出的图线大体上能充满全图，使布局美观、合理。 （3）标明坐标轴。对于直角坐标系，要以自变量为横轴，以因变量为纵轴。用粗实线在坐标纸上描出坐标轴，标明其所代表的物理量（或符号）及单位，在轴上每隔一定间距标明该物理量的数值。 （4）根据测量数据，实验点要用“+”“×”“☉”“Δ”等符号标出。 （5）把实验点连接成图线。由于每个实验数据都有一定的误差，所以图线不一定要通过每个实验点。应该按照实验点的总趋势，把实验点连成光滑的曲线（仪表的校正曲线不在此列），使大多数的实验点落在图线上，其他的点在图线两侧均匀分布，这相当于在数据处理中取平均值。对于个别偏离图线很远的点，要重新审核，进行分析后决定是否应剔除。 在确信两物理量之间的关系是线性的，或所有的实验点都在某一直线附近时，将实验点连成一直线。 （6）作完图后，在图的明显位置上标明图名、作者和作图日期，有时还要附上简单的说明，如实验条件等，使读者能一目了然，最后要将图粘贴在实验报告上。 图1-5为铜丝电阻与温度之间的关系曲线。