06第六章 动量

动量

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第一节动量与冲量

一、动量的概念

1．定义：物体的_________________________叫做动量。

2．公式：_______________(写出矢量式)

3．物理意义：描述运动物体的作用效果，是物体机械运动的量度。4．性质

(1)矢量性

P

①大小：mv

单位：动量的单位取决于质量的单位和速度的单位。在国际单位制中，动

量的单位是千克·米／秒，符号为kg ·m/s 。

②方向：即速度的方向，亦即运动的方向。

③运算：遵守平行四边形定则，可分解与合成。

思考：改变动量的因素有哪些？

例1．关于动量，以下说法正确的是：（ ）

A ．做匀速圆周运动的质点，其动量不随时间发生变化

B ．单摆摆球每次经过最低点时的动量均相同

C ．匀速飞行的巡航导弹巡航时动量始终不变

D ．平抛运动的质点在竖直方向上的动t 与运动时间成正比

【解析】动量是矢量，有大小也有方向，A 、B 均忽略了动量的方向，故错误；巡航导弹巡航时虽然速度不变，但由于燃料不断燃烧（导弹中燃料占其总质量的相当一部分），从而使导弹的质量不断减小，所以导弹的动量变小，C 错。平抛运动在竖直方向上的分运动是自由落体运动．，故做平抛运动的物体在竖直方向上的分动量mgt mv p y y ==，D 正确。

例2．一质量m=1.0kg 的物体以v 0=20m/s 的初速度水平抛出；抛出点距地面的高度h=20m ，求物体落地时的动量。（不计空气阻力）

(2)瞬时性

动量定义中的速度即瞬时速度，计算物体的动量一定要明确是哪一时刻或哪一位置的动量。所以动量是状态量。

(3)相对性

由于物体的运动速度与参考系的选取有关，故物体的动量也与参考系的选取有关。通常情况下以地面为参考系，即物体相对地面的动量。

4．动量与动能的区别与联系

（1）动量的大小与动能的关系

由mv p =及22

1mv E k =易导出下列两个反映动量大小和动能关系的常用公式：

k mE p 2= 或 m p E k 22= (2)动量是矢量，动能是标量，因此物体的动量变化时动能未必变化，物体的动能变化时动量必变化。

例3．关于动量和动能，以下说法正确的是( )

A ．动量大的物体动能也大

B ．动能大的物体动量也大

C ．动量和动能均相同的两物体的速度一定相同

D ．物体的动能与动量大小成正比

例4．以下有关动能与动量的说法正确的是：（ ）

A ．动能相同的两物体的动量大小与其质量成正比

B ．动量相同的两物体的动能与其质量成反比

C ．运行的空间站中一磁铁穿过弥漫着细铁屑的空间时，磁铁及被吸附其上面的铁屑组成的整体的动能将逐渐减小

D ．选项C 中的磁铁及附着铁屑组成的整体由于质量不断变大而使其动能变大

5．动量的变化及其计算

动量的变化(也叫动量的变化量、动量的改变量、动量的增量等) ① 定义：动量的变化=变化后的动量-变化前的动量。

② 表达式：00)(mv mv p p mv p t t -=-=?=?

③ 动量变化的方向。物体动量的变化是个矢量，其方向与物体速度的变化量v ?的方向相同。在合外力为恒力的情况下，物体动量变化的方向也是物体加速度的方向，即物体所受合外力的方向。物体在一条直线上运动：若运动方向不变：若加速，则Δp 的方向与运动方向相同；若减速，则Δp 的方向与运动方向相反；若运动方向改变，Δp 的方向与末速度方向相同。

④ 在计算时注意：若初、末动量均在一条直线上，首先以某一动量的方向为正方向，则该动量为正值。另一动量若与该动量同向，则其为正值，否则为负值。这样就将一维情况下的矢量运算转化为代数运算，即

12p p p -=?。

若Δp>0，则动量的变化Δp 与所选正方向同向，若Δp<0，则动量的变化Δp 与所选正方向反向。

例5．一塑料球质量为0.lkg ，此球竖直下落，以50m/s 的速度撞到水泥地面上，随后又以40m/s 的速度被反弹起来。求塑料球与地面碰撞过程中动量的变化。

(2)应用动量定理Δp=Ft，求合外力为恒力情况下动量的增量。

例9．一质量m=1吨的质点做直线运动，其速度随时间的变化关系如上图所示。求该质点第1秒内、第3秒内、第3秒末到第5秒末三段时间内的动量变化的方向。

点拔：

第二节冲量

一、冲量的概念

1．定义：___________________________________。

2．公式：_______________(写出矢量式)

3．物理意义：表示力对时间的积累效应。

4．性质

(1)矢量性

①大小：I=Ft

单位：冲量的单位由力的单位和时间的单位决定。在国际单位制中，冲量的单位是牛顿·秒，符号为N·s。

②方向：即力的方向或动量改变的方向。

③运算：遵守平行四边形定则，可分解与合成。

例1．下面关于冲量的说法，正确的是：（）

A．物体受到很大的冲力时，该冲力的冲量一定很大

B．当力跟位移垂直时，该力的冲量为零

C．不管物体做什么运动，在相同时间内重力的冲量相同

D．只要力的大小恒定，其冲量就等于力与时间的乘积

例2．一质点受到两个力作用处于平衡状态，这两个力在同一段时间内的冲量一定相同。对吗？

例3．一对作用力和反作用力的冲量之和一定为零。对吗？

(2)时间性

冲量是力在时间上的积累，讨论冲量一定要明确是哪个力在哪段时间上的冲量，所以冲量是过程量。

例4．两个力的冲量之和为零，那么这两个力一定是一对平衡力，对吗？

(3)绝对性

由于力和时间的数值都跟参考系的选取无关，所以冲量也跟参考系的

选取无关。

(4)冲量的计算

①恒力的冲量：直接用I=Ft 计算

②方向不变的变力冲量：若力随时间均匀变化，即力为时间的一次函数(F=F0+kt)，则力F在某段时间t内的冲量I=(F1+F2)t/2，其中F1,、F2为该段时间内初、末两时刻力的大小。

③用F-t图中的“面积”求方向不变情况下的变力冲量

④用动量定理I=Δp求冲I（后面即将复习到）。

例5．如下图所示，图线I、II分别代表F1、F2随时间的变化关系。求出力F1在第2秒末到第4秒末的冲量，并比较两力前4秒内冲量的大小。

(5)冲量与功有重要区别

冲量和功都是过程量，都要在一段时间内产生，它们都是______量。冲量与物体是否运动无关，但功则不然，运动是功不为零的前提。一个力的冲量_________不为零(填“一定”或“可能”)，一个力的功_________不为零。

例6．一个质量为ｍ的物体，放在倾角为a的斜面上，求下列两种情况下支持力的冲量及物体所受合外力的冲量。

（1）物体静止在斜面上，历时为t。

（2）若斜面光滑，物体沿斜面下滑，历时为t。

例7．在离地面高度为h的地方，将一个质量为m的小球以相同的速率按竖直向上、水平、竖直向下三种方向抛出，对于在从抛出到落地的过程中的下列说法中正确的是(不计空气阻力)( )

A．竖直向上抛出情况下，重力做功最多

B．竖直向上抛出情况下，重力冲量最大

C．竖直向上抛出情况下，小球落地时的速率最大

D．落地时，三种情况下的动能都相等。

例8．如下图所示，水平面上有两个物体A、B，质量均为m。A以

角速度

绕半径为R的圆做逆时针匀速圆周运动，当它经过P点时刻，0

物体B在恒力F作用下开始运动，F方向与A物体在P点时刻的速度方向垂直。当F满足什么条件时，两物体在运动过程中的某时刻具有相同的动量？

例9．自P点以某一速度竖直向上抛出小球，小球从抛出点P上升到最高点Q，又从Q点返回P点的过程中，空气阻力的大小不变，关于冲量的下列说法中正确的是( )

A．上升过程重力的冲量等于下降过程重力的冲量

B．上升过程重力的冲量小于下降过程重力的冲量

C．上升过程空气阻力的冲量等于下降过程空气阻力的冲量

D．整个过程中合力的冲量等于零

例10．斜向上抛出一个物体，不计阻力，物体在运动过程中(取竖直向上的方向为正) ①请画出动量的变化量随时间的变化图线；②请画出动量的变化率随时间的变化图线。

(6)动量与冲量的比较

①由于力和时间都跟参考系的选取无关，所以力的冲量也与参考系的选取无关，即冲量具有绝对性；由于物体的运动速度与参照系的选取有关，故物体的动量变与参考系的选取有关，在通常情况下是指物体相对地面的动量，即动量具有相对性。

②冲量是过程量，谈到冲量时要明确是哪个力或哪几个力在哪一段时间内的冲量；动量是状态量，谈到动量时要明确是物体在哪一时刻或哪一位置的动量。

③在某些题目中有物体受到“瞬时冲量”的提法，从公式p

?可

=

F?

t

见，物体受到“瞬时冲量”意味着该物体的动量在“瞬时”(可理解为时间极短，可以不计)发生变化，也就是该物体的速度在“瞬间”发生了变化。

④冲量与动量的单位虽然相同，但不能混用。

第三节 动量定理

一．内容：物体所受__________的冲量___________物体动量的________。

二．公式：I=Ft=________________。其中F 是_______。

例1．玻璃杯从同一高度落下，掉在石板上比落在草地上易碎，这是由于玻璃杯与石板撞击的过程中，玻璃杯( )

A ．的动量较大

B ．受到的冲量较大

C ．的动量变化较大

D ．的动量变化较快

思考：破坏力是由冲量大小决定还是冲力的大小决定？

三．对动量定理I=Δp 的理解：

(1)各恒力存在时间相同：0021)(mv mv p p t F F F Ft t t n -=-=+++=

例2．滑块A 和B 用轻细线连接在一起后放在水平桌面上，水平恒力F 作用在B 上，使A 、B 一起由静止开始沿水平桌面滑动，如图所示。已知滑块A 、B 与水平桌面之间的动摩擦因数均为μ。力F 作用ts 时间后，A 、B 间连线断开，此后力F 仍作用于B 。试求：滑块A 刚刚停住时，滑块B 的速度为多大？(滑块A 、B 的质量分别为m A 、m B )。

评：动量定理的研究对象一般来说是单个物体，但有时为了解题方便，也可以灵活地将几个物体看作一个整体，对整体运用动量定理。把质点组作为整体处理时，物体间的相互作用力就是内力，内力对整体的动量变化贡献，可以不考虑。采用整体法的最大优越性应是不必考虑内力对整体动量的影响。

(2)各恒力存在时间不同：002211mv mv p p t F t F t F t t n n -=-=+++

例3．一个质量为l00g 的小钢球，从高5m 的高处自由下落，与地板碰撞后上升1.8m ，设碰撞时间为0.2s ，求钢球对地板的平均冲力。

(3)过程中有变力：002211mv mv p p I t F t F t t -=-=+++变

例4．质量为M 的物体悬挂在劲度系数为k 的轻质弹力下端，如图所示，现用力将物体向下拉动一小段距离后放手，物体沿竖直方向上、下振动起来，其振动周期为T 。求放手后物体从最低点第一次振动到最高点过程中，弹簧弹力的冲量。

例5．如图所示，劲度系数为k 的轻质弹簧，置于光滑水平桌面上，一端固定在墙上，另一端系一质量为m 的小球。现将弹簧拉离平衡位置

xm，然后释放，求小球运动回平衡位置时，弹簧弹力对小球的冲量。

例6．质量为m的物体，沿半径为R的轨道以速度v做匀速圆周运动，求物体所受的合外力在半个周期内的冲量。

四、动量定理的应用

1．利用动量定理计算平均作用力

例1．一辆轿车在高速公路上以高速强行超车时，与迎面驶来的辆轿车发生碰撞。两车相撞后连为一体，两车身因碰撞挤压，比缩短了0.5m 而静止。把测算相撞时两车车速约为108km/h，试求碰撞过程中车内质量约60kg的人受到的平均冲击力约为多大？

例2．据报道，1980年一架英国战斗机在威尔士上空与一只秃鹰相撞，战斗机坠毁。小小的飞鸟撞坏庞大、坚实的飞机，真难以想象。试通过估算，说明鸟类对飞机飞行的威胁，设飞鸟的质量m=1kg，飞机的飞行速度v=800m/s，若两者相撞，试估算鸟对飞机的撞击力。

2．用动量定理解决流体（水、空气）的问题(动态问题)

在用动量定理解决问题时，常会碰到一些水、空气的问题，它们与其他物体的作用是连续性的，总质量是不明确的。因此，在解决此类问题时，

不能把所有的流体当成一个整体来处理，而是取在时间内流体与物体发

生作用的部分质量作为一个研究对象来处理。

①如果在整个过程中，流体的是均匀的且以相对于物体v匀速运动的。那么在Δt时间内有长度为的流体与物体发生作用。若流体与物体的接触面积为S，则Δt时间内与物体发生作用的流体体积为

，其质量为，该部分流体的动量为

。

例1．国产水刀――超高压数控万能水切割机以其神奇的切割性能在北京国际展览中心举行的第五届国际机床展览会上引起轰动。它能切割40mm厚的钢板，50mm厚的大理石等材料。

水刀就是普通的水加压，使其从口径为0.2mm的喷嘴中以800m/s~1000m/s的速度射出的水射流。我们知道，任何材料承受的压强都有一定限度，下表列出了一些材料所能承受的压强限度。

设想有一水刀的水射流横截面积为S，垂直入射的速度v=800m/s，水射流与材料接触后，速度为零，且不附着在材料上，则此水刀不能切割上述材料中的__________。

例2．一艘帆船在静水中由于风力的推动作用做匀速直线运动，帆面的面积S=10m2，风速v1=10m/s，船速v2=4m/s，空气密度ρ=1.29kg/m3。帆船在匀速前进时帆面受到的平均风力大小为多少？

例3：宇宙飞船以v的速度在宇宙空间运动，飞船的横截面积为S，当进入有宇宙尘埃的区域时，每立方米中有n个小颗粒，每个小颗粒质量为m，若小颗粒碰到飞船时可认为是静止的，且碰上就粘在飞船上，为保持匀速运动，飞船发动机的牵引力大小等于多少？

例4：一水龙头以20m/s的速率喷出截面积为2×10－4m2的水柱，垂直冲向墙壁后，水向四周均匀飞溅，形成一个顶角为1200的圆锥面，如下图所示，若飞溅水滴的速率为10m/s，则水柱对墙壁的冲出力是多大？

②如果在整个过程中，流体是不均匀的且速度也是变化的（如下雨或水龙头滴水）。若流体的流量为V（单位时间内流出的体积），则Δt时间

内的体积为，其质量为，其动量

，其中v是流体与物体作用时的瞬间速度。如果知道下Array

雨的降雨量，如2h内降了7.2cm的雨，则时间内的降雨厚度：

。令L为单位时间内的降雨量，时间S面积内的质量：。

例5．一场雨的降雨量为2h内7.2cm积水高。设雨滴落地时的速度相当于它从61.25m高处自由下落时获得的速度，取g=10m/s2,求雨落地时对

每平方米地面产生的平均压力为多大？

例6．如图所示由高压水枪竖直身上喷出的水柱，将一质量为m 的小铁盒开口向下倒顶在空中。已知水以恒定速度v 0从横截面积为S 的水枪中持续不变喷出，向上运动并冲出铁盒，以不变的速率竖直返回，求稳定状态下铁盒距水枪口的高度h 。

3．不可伸长的轻绳伸直瞬间动量定理的应用

例1．长为L 的轻绳一端系于固定点O ，另一端系质量为m 的小球。将小球从O 点正下方L/4处，以一定水平初速度向右抛出，经一定时间绳被拉直以后，小球将以O 为支点在竖直平面内摆动。已知绳刚被拉直时，绳与竖直线成600角，如图所示。求：(1)小球水平抛出时的初速度v 0；(2)在绳被拉紧的瞬间，支点O 受到的绳的冲量I ；(3)小球摆到最低点时，绳所受拉力T 。

方法与技巧：解决该类问题的关键是确定绳伸直瞬间物体速度的方向。若与绳在一条直线上，则直接应用动量定理，小球的末动量必为零(除非绳断开)。若与绳有一定的夹角，需将速度沿绳和垂直绳两个方向分解的(//v 和⊥v )，伸直瞬间沿绳方向速度由//v 变为0，由动量定理可得绳对物体

的冲量//mv I =；垂直绳方向速度不变，即伸直后小球以速度⊥v 向上或向下

摆动，遵守机械能守恒定律。

例2．长为L的细绳，一端固定在天花板上的O点，另一端系质量为m的小球，现将小球拉至如图所示位置释放，问：(1)绳子刚被拉紧瞬间小球对绳子的冲量；(2)小球运动到最低点时对绳子的拉力。

例3．长为1.8m的细绳悬挂着质量为2kg的小球，另一端系在离地高3.6m的天花板上，现将小球从贴着天花板开始自由下落，细绳在被拉紧一瞬间断裂，接着小球竖直下落到地面，全过程历时1.2s。已知小球刚着地时速度大小为6.5m/s。不计空气阻力，求：

(1)细绳刚断裂时小球的速度；

(2)在细绳被拉断的过程中，绳子受到的平均作用力。

4．利用动量定理求解多物体、多过程是难点：

例1．物体A和B用轻绳相连，挂在轻质弹簧下静止不动，如图所示。A的质量为m，B的质量为M。当连接A、B的绳突然断开后，物体A上升，经某一位置时的速度大小为v。这时，物体B的下落速度大小为u，如图所示，在这段时间里，弹簧的弹力对物体A的冲量为____________。

例2．人和冰车的总质量为M，另有一质量为m的木球，M：m=31:2，人坐在静止于水平冰面的冰车上，以速度v(相对于地面)将原来静止的木球沿冰面推向正前方的固定挡板，不计一切摩擦。设球与挡板碰撞时无机械能的损失，人接住球后再以同样的速度(相对于地面)将球沿冰面向正前方推向挡板，求：人推多少次后不再能接住球。

例3．总质量为M的列车以不变的牵引力匀速行驶，忽然质量为m 的最后环节车厢脱钩，若司机发现事故关闭油门时已过时间T，求列车与车厢停止时运的时间差。（设列车所受阻力与其质量成正比）。

相向、相背、相对、相离

动量守但定律

一、动量守恒定律的推导

根据动量定理可知，＿＿＿＿＿＿＿＿的冲量是物体动量变化的原因。若研究对象是几个相互作用的物体组成的系统，且系统不受外力或所受外力的矢量和为零，尽管物体间存在着相互作用的内力，但总是成对出现的力只能改变单个物体的动量，＿＿＿＿＿＿（填“会”或“不会”）改变整个系统的动量，故系统的总动量＿＿＿＿＿＿＿＿。

下面请大家以两球的碰撞为例，推导出动量守恒定律。

一、内容

相互作用的物体系统若不受外力作用，或所受外力之和为零，则系统总动量保持不变。

二、动量守恒定律的数学表达式

1．p＝p’（系统相互作用前总动量p等于相互作用后总动量p’）。

2．＝0（系统总动量增量为零）。

3．1＝－2（相互作用的两个物体组成的系统，两物体动量增量大小相等方向相反）。

4．m1v1＋m2 v2＝m1v1’＋m2 v2’（相互作用的两个物体组成系统，碰撞前动量之和等于碰撞后动量之和）。

三、动量守恒定律的成立条件

1．系统不受外力或系统所受外力的合力为零。

2．系统所受的外力的合力虽不为零，但比系统内力小得多，如碰撞问题中的摩擦力，爆炸过程中的重力等，外力比起相互作用的内力来小得多，可近似认为系统的总动量守恒。

3．系统所受外力的合力虽不为零，但在某个方向上的分量为零，则在该方向上系统的总动量的分量保持不变。

判断系统动量是否守恒是重点

例1．把一支枪水平固定在小车上，小车放在光滑的水平地面上，枪发射出子弹时，关于枪、子弹、车的下列说法中正确的是（）A．枪和子弹组成的系统动量守恒

B．枪和车组成的系统动量守恒

C．若忽略不计子弹和枪筒之间的摩擦，枪、车和子弹组成的系统动量才近似守恒

D．枪、子弹、车组成的系统动量守恒

例2．如图所示，A、B两物体质量之比m A：m B＝3：2。原来静止在平板小车C上，A、B间有一根被压缩的弹簧，地面光滑，当弹簧突然释放后（）

A．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B组成的系统动量守恒。

B．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B、C组成的系统动量守恒。

C．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B组成的系统动量守恒。D．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B、C组成的系统动量守恒。

例3．如图所示的装置中，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩最短。现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象，则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧被压缩到最短的过程中（）

A．动量守恒，机械能守恒B．动量不守恒，机械能不守恒C．动量守恒，机械能不守恒D．动量不守恒，机械能守恒

例4．放在光滑水平面上的A、B两小车中间夹着一个压缩的轻质弹簧，用两手分别控制小车处于静止状态，下列说法中正确的是（）A．两手同时放开后，两车的总动量为零

B．先放开右手，后放开左手，两车的总动量为零

C．先放开左手，后放开右手，两车的总动量为零

D．两手同时放开，两车总动量守恒；两手放开有先后，两车总动量不守恒

例5．如图所示，在固定的水平光滑横杆上，套着一个轻环，一条线的一端连子轻环，另一端系小球，与球的质量比，轻环和线的质量可忽略不计．开始时，将系球图的线绷直并拉到与横杆平行的位置，然后释放小球，小球下行时悬线与横杆的夹角B逐渐增大．试问:e由00增大到900的过程中，小球速度的水平分量的变化情况是（）

A．一直增大 B.先增大后减小

C．始终为零D．以上说法都不对

例6．如图所示光滑平行金属轨道abcd，轨道的水平部分bcd处于竖直向上的匀强磁场中，bc部分平行导轨宽度是cd部分的2倍，轨道足够长一将质量相同的金属棒p和Q分别置于轨道的ab段和cd段。P棒位于距水平轨道高为h的地方，放开P棒，使其自由下滑，试问：P棒和Q棒组成的系统动量守恒吗？求P棒和C棒的最终速度。

自旋和角动量

第六章 自旋和角动量 一、填空 1. ______实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一.为了解释该实验，____和____提出了电子具有自旋角动量的说法. 2. 在),?(x 2σσ 的共同表象中，算符z y x σσσ、、对应的矩阵分别是_____、_____和_____. 二、概念与名词解释 1. 电子自旋 2. 泡利矩阵 3. 无耦合表象，耦合表象 4. 塞曼效应，正常塞曼效应和反常塞曼效应 三、计算 1. 求自旋角动量算符在(cos α, cos β, cos γ)方向的投影S n =S x cos α+S y cos β+S z cos γ的本征值和相应的本征矢. 在其两个本征态上，求S z 的取值概率及平均值. 2. 求下列状态中算符)S L J (J ,J z 2 +=的本征值： {} {}). ,()Y (S (4)),()Y (S ),()Y (S 231/ (3)),()Y (S ),()Y (S 231/ (2)) ,()Y (S (1)1- 1z 1/2- 41- 1z 1/2 10z 1/2- 311z 1/2- 10z 1/2211z 1/21?θχ=ψ?θχ+?θχ=ψ?θχ+?θχ=ψ?θχ=ψ 3. 对自旋态.)S ()S ( ,01)(S 2y 2x 21/2?????? ? ??=χ求 4. 一个由两个自旋为1/2的非全同粒子组成的体系. 已知粒子1处在S 1z =1/2的本征态，粒子2处在S 2x =1/2的本征态，取?＝1，求体系

总自旋S 2的可能值及相应的概率，并求体系处于单态的概率. 5. 考虑三个自旋为1／2的非全同粒子组成的体系. 体系的哈密顿量是 , S )S S B(S S A H 32121 ?++?=A 、B 为实常数，试找出体系的守恒量，并确定体系的能级和简并度(取?＝1为单位). 6. 设氢原子处于状态 ,)/2,((r)Y R 3-)/2,((r)Y R )r (10211121??? ? ???θ?θ=ψ 求轨道角动量z 分量 和自旋z 分量的平均值，进而求出总磁矩c /S e -c /2L -e μμ=μ 的z 分量的平均值. 7. 设总角动量算符为J ? ，记算符J 2与J z 的共同本征函数为|jm>，当j=1时： (1) 写出J 2、J x 的矩阵表示，并求出其共同本征矢|1m x >x ； (2) 若体系处于状态 ,2]/1-111[+=ψ求同时测J 2与J x 的取值概率； (3) 在|ψ>状态上，测量J z 得?时，体系处于什么状态上；在|ψ>状态上，计算J y 的平均值. 8. 在激发的氦原子中，若两个电子分别处于p 态和s 态，求出其总轨道角动量的可能取值. 9. 用柱坐标系，取磁场方向沿z 轴方向，矢势A φ=B ρ/2，A ρ=A z =0，求均匀磁场中带电粒子的本征能量. 10. 自旋为1/2的粒子，在均匀磁场中运动，磁场的绝对值不变，但各个分量随时间变化，满足B x =Bsin θcos ωt ，B y =Bsin θsin ωt ，B z ＝Bcos θ.设t=0时自旋在磁场方向上的分量等于1/2，求在时刻t 粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量等于-1/2的态中的概率. 11. 带电粒子在均匀磁场和三维谐振子势场U(r)=m e ω02r 2/2中运动，

高中物理专题第六章动量守恒定律及“三类模型”问题.docx

第 2 讲动量守恒定律及“三类模型” 问题 一、动量守恒定律 1.内容 如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为零，这个系统的总动量保持不变. 2.表达式 (1)p＝ p′，系统相互作用前总动量p 等于相互作用后的总动量p′ . (2)m1v1＋ m2v2＝ m1v1′＋ m2v2′，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作 用后的动量和. (3)p1＝－ p2，相互作用的两个物体动量的变化量等大反向. (4)p＝ 0，系统总动量的增量为零 . 3.适用条件 (1)理想守恒：不受外力或所受外力的合力为零. (2)近似守恒：系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力. (3)某一方向守恒：如果系统在某一方向上所受外力的合力为零，则系统在这一方向上动量守 恒 . 自测 1关于系统动量守恒的条件，下列说法正确的是() A.只要系统内存在摩擦力，系统动量就不可能守恒 B.只要系统中有一个物体具有加速度，系统动量就不守恒 C.只要系统所受的合外力为零，系统动量就守恒 D.系统中所有物体的加速度为零时，系统的总动量不一定守恒 答案C 二、碰撞、反冲、爆炸 1.碰撞 (1)定义：相对运动的物体相遇时，在极短的时间内它们的运动状态发生显著变化，这个过程 就可称为碰撞. (2)特点：作用时间极短，内力(相互碰撞力 )远大于外力，总动量守恒. (3)碰撞分类 ①弹性碰撞：碰撞后系统的总动能没有损失. ②非弹性碰撞：碰撞后系统的总动能有损失. ③完全非弹性碰撞：碰撞后合为一体，机械能损失最大.

2.反冲 (1)定义：当物体的一部分以一定的速度离开物体时，剩余部分将获得一个反向冲量，这种现 象叫反冲运动. (2)特点：系统内各物体间的相互作用的内力远大于系统受到的外力.实例：发射炮弹、爆竹爆炸、发射火箭等. (3)规律：遵从动量守恒定律. 3.爆炸问题 爆炸与碰撞类似，物体间的相互作用时间很短，作用力很大，且远大于系统所受的外力，所 以系统动量守恒. 自测2如图1 所示，两滑块A、 B 在光滑水平面上沿同一直线相向运动，滑块 A 的质量为m，速度大小为2v0，方向向右，滑块 B 的质量为2m，速度大小为v0，方向向左，两滑块发 生弹性碰撞后的运动状态是() 图 1 A. A 和 B 都向左运动 B. A 和 B 都向右运动 C.A 静止， B 向右运动 D.A 向左运动， B 向右运动 答案D 解析以两滑块组成的系统为研究对象，两滑块碰撞过程动量守恒，由于初始状态系统的动 量为零，所以碰撞后两滑块的动量之和也为零，所以A、B 的运动方向相反或者两者都静止， 而碰撞为弹性碰撞，碰撞后两滑块的速度不可能都为零，则 A 应该向左运动， B 应该向右运动，选项 D 正确， A、 B、 C 错误 . 命题点一动量守恒定律的理解和基本应用 例 1 (多选 )如图 2 所示，A、 B 两物体质量之比m A∶ m B＝ 3∶2，原来静止在平板小车 C 上，A、B 间有一根被压缩的弹簧，地面光滑，当弹簧突然释放后，则() 图 2 A. 若 A、B 与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、 B 组成的系统的动量守恒

自旋和角动量-Oriyao

第六章 自旋和角动量内容简介：在本章中，我们将先从实验上引入自旋，分析自旋角动量的性质，然后讨论角动量的耦合，并进一步讨论光谱线在磁场中的分裂和精细结构。最后介绍了自旋的单态和三重态。 § 6.1 电子自旋 § 6.2 电子的自旋算符和自旋函数 § 6.3 角动量的耦合 § 6.4 电子的总动量矩 § 6.5 光谱线的精细结构 § 6.6 塞曼效应 § 6.7 自旋的单态和三重态 首先，我们从实验上引入自旋，然后分析自旋角动量的性质。 施特恩-盖拉赫实验是发现电子具有自旋的最早实验之一。如右图所示，由 源射出的处于基K 态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片PP 上。结果发现射线束方向发生了偏转，分裂成两条分立的线。这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生里偏转。由于这是处于s 态的氢原子，轨道角动量为零，s 态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生。这是一种新的磁矩。另外，由于实验上只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中的取向，是空间量子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为M ，则它在沿z 方向的外磁场H 中的势能为 cos U M H MH θ=-=- （6.1.1） θ为外磁场与原子磁矩之间的夹角。则原子z 方向所受到的力为 cos z U H F M z z θ??=- =?? （6.1.2） 实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于cos 1θ=+ 和cos 1θ=-两个值。 为了解释施特恩-盖拉赫实验，乌伦贝克和歌德斯密脱提出了电子具有自旋角动量，他们认为： ① 每个电子都具有自旋角动量S ，S 在空间任何方向上的投影只能取两个值。若将空间 的任意方向取为z 方向，则 2z S =± （6.1.3） ② 每个电子均具有自旋磁矩s M ，它与自旋角动量之间的关系为 s s e e M S M S m mc =-=- （SI ） 或 (C G S)（6.1.4） s M 在空间任意方向上的投影只能取两个值：

热力学与统计物理课后习题答案第六章

第六章 近独立粒子的最概然分布 6.1 试根据式（6.2.13）证明：在体积V 内，在ε到d ε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 ()()13 2232d 2d .V D m h πεεεε= 解: 式（6.2.13）给出，在体积3V L =内，在x p 到d ,x x y p p p +到 d ,y y x p p p +到d x x p p +的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为 3 d d d .x y z V p p p h （1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的量子态数为 2 34πd .V p p h （2） 上式可以理解为将μ空间体积元24d Vp p π（体积V ，动量球壳24πd p p ）除以相格大小3h 而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为 2 .2p m ε= 因此 d . p p p md ε== 将上式代入式（2），即得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 ()13 2232π()d 2d .V D m h εεεε= （3） 6.2 试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为 ()1 2 2d d .2L m D h εεεε?? = ???

解: 根据式（6.2.14），一维自由粒子在μ空间体积元d d x x p 内可能的量子态数为 d d .x x p h 在长度L 内，动量大小在p 到d p p +范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为 2d .L p h （1） 将能量动量关系 2 2p m ε= 代入，即得 ()1 2 2d d .2L m D h εεεε?? = ??? （2） 6.3 试证明，对于二维的自由粒子，在面积2L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为 ()2 22π.L D d md h εεε= 解: 根据式（6.2.14），二维自由粒子在μ空间体积元d d d d x y x y p p 内的量子态数为 21 d d d d .x y x y p p h （1） 用二维动量空间的极坐标,p θ描述粒子的动量，,p θ与,x y p p 的关系为 cos ,sin . x y p p p p θθ== 用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为 d d .p p θ 在面积2L 内，动量大小在p 到d p p +范围内，动量方向在θ到d θθ+范围内，二维自由粒子可能的状态数为 22 d d .L p p h θ （2）

2019届高考物理总复习第六章碰撞与动量守恒第二节动量守恒定律碰撞爆炸反冲测习题

第二节动量守恒定律碰撞爆炸反冲 [学生用书P112] 【基础梳理】 一、动量守恒定律 1．守恒条件 (1)理想守恒：系统不受外力或所受外力的合力为零，则系统动量守恒． (2)近似守恒：系统受到的合力不为零，但当内力远大于外力时，系统的动量可近似看成守恒． (3)分方向守恒：系统在某个方向上所受合力为零时，系统在该方向上动量守恒． 2．动量守恒定律的表达式：m1v1＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2或Δp1＝－Δp2. 二、碰撞爆炸反冲 1．碰撞 (1)碰撞现象：物体间的相互作用持续时间很短，而物体间相互作用力很大的现象． (2)特点：在碰撞现象中，一般都满足内力远大于外力，可认为相互碰撞的系统动量守恒． (3)分类 2.爆炸现象：爆炸过程中内力远大于外力，爆炸的各部分组成的系统总动量守恒． 3．反冲运动 (1)物体在内力作用下分裂为两个不同部分并且这两部分向相反方向运动的现象． (2)反冲运动中，相互作用力一般较大，通常可以用动量守恒定律来处理． 【自我诊断】 判一判 (1)两物体相互作用时若系统不受外力，则两物体组成的系统动量守恒．( ) (2)动量守恒只适用于宏观低速．( ) (3)当系统动量不守恒时无法应用动量守恒定律解题．( ) (4)物体相互作用时动量守恒，但机械能不一定守恒．( ) (5)若在光滑水平面上两球相向运动，碰后均变为静止，则两球碰前的动量大小一定相同．( ) (6)飞船做圆周运动时，若想变轨通常需要向前或向后喷出气体，该过程中动量守

恒．( ) 提示：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√(6)√ 做一做 (2018·安徽名校联考)如图所示，小车与木箱紧挨着静止在光滑的水平冰面上，现有一男孩站在小车上用力向右迅速推出木箱，关于上述过程，下列说法中正确的是( ) A．男孩和木箱组成的系统动量守恒 B．小车与木箱组成的系统动量守恒 C．男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒 D．木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量不相同 提示：选C.当把男孩、小车与木箱看做整体时水平方向所受的合外力才为零，所以选项C正确． 想一想 碰撞过程除了系统动量守恒之外，还需要满足什么条件？碰撞与爆炸在能量转化方面有何不同？ 提示：碰撞过程除了系统动量守恒之外，还要满足的条件：系统动能不增加；碰撞结果要符合实际情况．碰撞系统动能不增加，而爆炸系统动能增加，这是二者最大的不同． 对动量守恒定律的理解和应用[学生用书P113] 【知识提炼】 1．动量守恒定律常用的四种表达形式 (1)p＝p′：即系统相互作用前的总动量p和相互作用后的总动量p′大小相等，方向相同． (2)Δp＝p′－p＝0：即系统总动量的增加量为零． (3)Δp1＝－Δp2：即相互作用的系统内的两部分物体，其中一部分动量的增加量等于另一部分动量的减少量． (4)m1v1＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2，即相互作用前后系统内各物体的动量都在同一直线上时，作用前总动量与作用后总动量相等． 2．动量守恒定律的“五性”

2021高考物理一轮复习第6章动量守恒定律及其应用第1讲动量动量定理课时作业含解析新人教版

第1讲 动量 动量定理 时间：45分钟 满分：100分 一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～7题为单选，8～10题为多选) 1．下面关于物体动量和冲量的说法错误的是( ) A ．物体所受合外力的冲量越大，它的动量也越大 B ．物体所受合外力的冲量不为零，它的动量一定要改变 C ．物体动量增量的方向，就是它所受冲量的方向 D ．物体所受合外力越大，它的动量变化就越快 答案 A 解析 Ft 越大，Δp 越大，但动量不一定越大，它还与初态的动量有关，故A 错误；Ft ＝Δp ，Ft 不为零，Δp 一定不为零，B 正确；冲量不仅与Δp 大小相等，而且方向相同，C 正确；物体所受合外力越大，速度变化越快，即动量变化越快，D 正确。本题选说法错误的，故选A 。 2．将质量为0.5 kg 的小球以20 m/s 的初速度竖直向上抛出，不计空气阻力，g 取10 m/s 2 ，以下判断正确的是( ) A ．小球从抛出至最高点受到的冲量大小为10 N·s B ．小球从抛出至落回出发点动量的增量大小为0 C ．小球从抛出至落回出发点受到的冲量大小为0 D ．小球从抛出至落回出发点受到的冲量大小为10 N·s 答案 A 解析 小球在最高点速度为零，取向下为正方向，小球从抛出至最高点受到的冲量：I ＝0－(－mv 0)＝10 N·s，A 正确；因不计空气阻力，所以小球落回出发点的速度大小仍等于20 m/s ，但其方向变为竖直向下，由动量定理知，小球从抛出至落回出发点受到的冲量为：I ′＝Δp ＝mv 0－(－mv 0)＝20 N·s，则冲量大小为20 N·s，B 、C 、D 错误。 3．(2019·四川自贡高三一诊)校运会跳远比赛时在沙坑里填沙，这样做的目的是可以减小( ) A ．人的触地时间 B ．人的动量变化率 C ．人的动量变化量 D ．人受到的冲量 答案 B 解析 跳远比赛时，运动员从与沙坑接触到静止，动量的变化量Δp 一定，由动量定理可知，人受到的合力的冲量I ＝Δp 是一定的，在沙坑中填沙延长了人与沙坑的接触时间，即 t 变大，由动量定理：Δp ＝Ft ，可得 Δp t ＝F ，Δp 一定，t 越大，动量变化率越小，人受到的

2019版高考物理总复习第六章碰撞与动量守恒能力课动量和能量观点的综合应用学案

能力课 动量和能量观点的综合应用 [热考点]“滑块—弹簧”模型 [模型特点] 对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统在相互作用的过程中： (1)在能量方面，由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。 (2)在动量方面，系统动量守恒。 (3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统满足动量守恒，机械能守恒。 (4)弹簧处于原长时，弹性势能为零。 【例1】 如图1所示，质量分别为1 kg 、3 kg 的滑块A 、B 位于光滑水平面上，现使滑块A 以4 m/s 的速度向右运动，与左侧连有轻弹簧的滑块B 发生碰撞。求二者在发生碰撞的过程中。 图1 (1)弹簧的最大弹性势能； (2)滑块B 的最大速度。 解析 (1)当弹簧压缩最短时，弹簧的弹性势能最大，此时滑块A 、B 同速。系统动量守恒，以向右为正方向， 由动量守恒定律得m A v 0＝(m A ＋m B )v 解得v ＝ m A v 0m A ＋m B ＝1×4 1＋3 m/s ＝1 m/s 弹簧的最大弹性势能即滑块A 、B 损失的动能 E pm ＝1 2m A v 20－12 (m A ＋m B )v 2 ＝6 J 。 (2)当弹簧恢复原长时，滑块B 获得最大速度， 由动量守恒定律和能量守恒定律得m A v 0＝m A v A ＋m B v m 12m A v 20＝12m B v 2m ＋12m A v 2A

解得v m ＝2 m/s ，向右。 答案 (1)6 J (2)2 m/s ，向右 “滑块—弹簧”模型的解题思路 (1)应用系统的动量守恒。 (2)应用系统的机械能守恒。 (3)应用临界条件：两滑块同速时，弹簧的弹性势能最大。 【变式训练1】 (2017·江西南昌模拟)(多选)如图2甲所示，在光滑水平面上，轻质弹簧一端固定，物体A 以速度v 0向右运动压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x 。现让弹簧一端连接另一质量为m 的物体B (如图乙所示)，物体A 以2v 0的速度向右压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量仍为x ，则( ) 图2 A.A 物体的质量为3m B.A 物体的质量为2m C.弹簧压缩最大时的弹性势能为32mv 20 D.弹簧压缩最大时的弹性势能为mv 2 解析 对题图甲，设物体A 的质量为M ，由机械能守恒定律可得，弹簧压缩x 时弹性势能E p ＝12Mv 2 0；对题图乙，物体A 以2v 0的速度向右压缩弹簧，A 、B 组成的系统动量守恒，弹簧达到最大压缩量时，A 、B 二者速度相等，由动量守恒定律有M ·2v 0＝(M ＋m )v ，由能量守恒定律有E p ＝12M ·(2v 0)2－12(M ＋m )v 2 ，联立解得M ＝3m ，E p ＝12Mv 20＝32mv 20，选项A 、C 正确，B 、D 错误。 答案 AC 【变式训练2】 两物块A 、B 用轻弹簧相连，质量均为2 kg ，初始时弹簧处于原长，A 、B 两物块都以v ＝6 m/s 的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4 kg 的物块C 静止在前方，如图3所示。已知B 与C 碰撞后二者会粘在一起运动。在以后的运动中：

第六章第一讲冲量动量动量定理

第六章第一讲冲量、动量、动量定理 1.如图1所示，固定的光滑斜面倾角为θ.质量为m的物体由静 止开始，从斜面顶端滑到底端，所用时间为t.在这一过程中 () A．物体所受支持力的冲量为0 B．物体所受支持力的冲量大小为mg cosθ·t C．物体所受重力的冲量大小为mg·t D．物体动量的变化量大小为mg sinθ·t 解析：根据冲量的定义I＝Ft可得，物体所受支持力的冲量大小为mg cosθ·t，物体所受重力的冲量大小为mg·t，选项A错误，选项B、C正确；由v＝at得t秒时的速度为v＝g sinθ·t，故Δp＝m v－0＝mg sinθ·t，故选项D也正确． 答案：BCD 2．以初速度v0竖直向上抛出一个质量为m的物体，空气阻力不可忽略．关于物体受到的冲量，以下说法错误的是() A．物体上升和下降两个阶段受到重力的冲量方向相反 B．物体上升和下降两个阶段受到空气阻力的冲量方向相反 C．物体在下降阶段受到重力的冲量大于上升阶段受到重力的冲量 D．物体从抛出到返回抛出点，所受各力冲量的总和方向向下 解析：无论物体是上升还是下降，物体所受重力的方向都是向下的，故重力对物体的冲量也都是向下的，因此选项A是错误的． 物体向上运动时，空气阻力方向向下，因此阻力的冲量方向也向下；而当物体下落时，空气阻力方向向上，因此阻力的冲量方向也就向上，所以上升和下落这两个阶段中阻力的冲量方向相反，因此选项B是正确的． 在有阻力的情况下，由于上升阶段的加速度比下降时的大，且两次位移相等，故上升阶段所用时间t1比下降阶段t2短，则物体在下落阶段重力的冲量mgt2大于上升阶段重力的冲量mgt1，因此选项C是正确的． 由于物体在整个运动过程中，重力的方向都向下，阻力的方向在上升、下降两个阶

第六章 第1讲 动量 动量定理

[课时作业·巩固提升] 精选名校试题 考点全面覆盖 一、选择题 1．人从高处跳到低处时，为了安全，一般都是前脚掌先着地，并在着地的过程中屈腿下蹲，这是为了( ) A ．使人的动量变化量变得更小 B ．减小人脚所受的冲量 C ．延长人体速度变化所经历的时间，从而减小地面对人脚的作用力 D ．增大人对地的压强，使人站立得更稳，起到安全作用 解析：人在和地面接触时，人的速度减为零，由动量定理可知(F －mg )t ＝m Δv ，而脚尖着地屈腿下蹲可以增加人着地的时间，由公式可知可以减小人脚受到地面的冲击力，故C 正确，A 、B 、D 错误． 答案：C 2．(2020·安徽阜阳第三中学模拟)2019年阜阳三中科学晚会中，科技制作社团表演了“震撼动量球”实验．为感受碰撞过程中的力，在互动环节，表演者将球抛向观众，假设质量约为3 kg 的超大气球以2 m/s 的速度竖直下落到手面，某观众双手上推，使气球以原速度大小竖直向上反弹，作用时间为0.2 s ．忽略气球所受浮力及空气阻力，g 取10 m/s 2.则观众双手受的压力为( ) A ．30 N B ．60 N C ．90 N D ．120 N 解析：取竖直向下为正方向，对大气球由动量定理有(mg －F )·Δt ＝m v ′－m v ，代入数据解得F ＝90 N ，故C 正确． 答案：C 3．(2020·山西晋城高三模拟)太空中的尘埃对飞船的碰撞会阻碍飞船的飞行，质量为M 的飞船飞入太空尘埃密集区域时，需要开动引擎提供大小为F 的平均推力才能维持飞船以恒定速度v 匀速飞行．已知尘埃与飞船碰撞后将完全黏附在飞船上，则在太空尘埃密集区域单位时间内黏附在飞船上尘埃的质量为( ) A ．M ＋F v B.F v －M

高考物理总复习第六章第1节动量定理动量守恒定律练习(含解析)

高考物理总复习第六章第1节动量定理动量守恒定律练习（含解 析） 基础必备练 1.(2018·清华大学附中三模)如图所示,从地面上的A点以速度v竖直向上抛出一小球,上升至最高点B后返回,O为A,B的中点,小球在运动过程中受到的空气阻力大小不变.下列说法正确的是( C ) A.小球上升至O点时的速度等于0.5v B.小球上升至O点时的速度小于0.5v C.小球在上升过程中重力的冲量小于下降过程中重力的冲量 D.小球在上升过程中动能的减少量等于下降过程中动能的增加量 解析:小球上升时,受到向下的重力和向下的空气阻力,故小球匀减速上升,在上升到最高点的过程中,初速度为v,末速度为0,则其中间时刻的速度为=0.5v,而中间位移的速度为 =,它大于0.5v,故选项A,B错误;小球下降时受向下的重力和向上的空气阻力,则小球向上运动时的合力大于向下运动时的合力,故上升过程的加速度大于下降过程的加速度,由于位移相等,都可以看成是初速度为0,故物体向上运动时的时间小于下降的时间,而重力相等,故小球在上升过程中重力的冲量小于下降过程中重力的冲量,选项C正确;由功能关系可知,小球在上升过程中,动能的减少量ΔE k=mgh+f×AB,而下降过程中动能的增加量ΔE k′=mgh-f×AB,二者不相等,选项D错误. 2.(2019·黑龙江大庆实验中学高三考试)如图所示,斜面和水平面之间通过小圆弧平滑连接,质量为m的物体(可视为质点)从斜面上h高处的A点由静止开始沿斜面下滑,最后停在水平地面上的B点,要使物体能原路返回A点,在B点物体需要的最小瞬时冲量是( C ) A.m B.m C.2m D.4m 解析:物体从A到B过程,由动能定理得mgh-W f=0,物体从B到A过程,由能量守恒得 m=mgh+W f+mv2,当v=0时,在B点的瞬时冲量最小,即=mgh+W f=2mgh 解得p=2m,由动量定理得I=p=2m,故C正确.

第六章自旋与全同粒子

第六章：自旋与全同粒子 [1]在x σ ?表象中，求x σ?的本征态 （解） 设泡利算符2 σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 2 1 和()z s x 2 1 - （1） 或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σ ?的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σ ?的本征函数可表示： β αχ21c c += (2) 21,c c 待定常数，又设x σ ?的本征值λ，则x σ?的本征方程式是： λχχσ =x ? (3) 将（2）代入（3）： ()()βαλβασ 2121?c c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σ ?对z σ?表象基矢的运算法则是： βασ =x ? αβσ=x ? 此外又假设x σ?的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+ 比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有： ) 6()6() 6(12221 1 221c b a c c c c c c ------------------------------------??? ??=+==λλ 前二式得12 =λ，即1=λ，或1-=λ 当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12=

δ 是任意的相位因子。 当时1-=λ，代入（6a ）得 21c c -= 代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12- = 最后得x σ ?的本征函数： )(21βαδ+= i e x 对应本征值1 )(2 2βαδ-= i e x 对应本征值-1 以上是利用寻常的波函数表示法，但在2 ??σσ x 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。 ??????=01α ?? ? ???=10β ??????=21c c χ （7） x σ ?的矩阵已证明是 ?? ? ???=0110?x σ 因此x σ ?的矩阵式本征方程式是： ?? ????=?????????? ??21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σ ?本征矢的矩阵形式是： ??????=1121δi e x ?? ? ???-=1122δi e x [2]在z σ表象中，求n ?σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn 是) ,(?θ方向的单位矢。 （解） 方法类似前题，设n ?σ算符的本征矢是： βα21c c x += (1)

第六章 《动量 动量守恒定律》新情景题(能力卷B)(原卷版)

第六章 《动量 动量守恒定律》新情景题（能力卷B ） 考试时间90分钟，满分100分 第一部分 选择题（共48分） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，第1～8题只有一项符合题目要求，第9～12题有多项符合题目要求。全部选对的得4分，选对但不全的得4分，有选错的得0分。 1、高空坠物极易对行人造成伤害。若一个50 g 的鸡蛋从一居民楼的25层坠下，与地面的撞击时间约为2 ms ，则该鸡蛋对地面产生的冲击力约为( ) A.10 N B. 102 N C. 103 N D. 104 N 2、最近，我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展。若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3 km/s ，产生的推力约为4.8×106 N ，则它在1 s 时间内喷射的气体质量约为（ ） A ．1.6×102 kg B ．1.6×103 kg C ．1.6×105 kg D ．1.6×106 kg 3、一质量为m 1的物体以v 0的初速度与另一质量为m 2的静止物体发生碰撞，其中m 2=km 1，k <1。碰撞可分为完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞以及非弹性碰撞。碰撞后两物体速度分别为v 1和v 2。假设碰撞在一维上进行，且一个物体不可能穿过另一个物体。物体1撞后与碰撞前速度之比0 1v v r =的取值范围是（ ） A ．111k r k -≤≤+ B ． C ． D ． 4、如图所示，质量为M 、半径为R 的四分之一光滑圆弧体静止在光滑的水平面上，圆弧面最低点刚好与水平面相切，在A 点的正上方h 高处由静止释放一个质量为m 的物块（可视为质点），物块下落后刚好从A 点无碰撞地进入圆弧面，当物块滑到B 点时，圆弧体向左滑动的距离为x ，则下列说法正确的是（ ） A ．h 越大，x 越大 B ．h 越小，x 越大

电子自旋角动量

第七章电子自旋角动量 实验发现，电子有一种内禀的角动量，称为自旋角动量，它源于电子内禀性质,一种非定域的性质，一种量级为相对论性修正的效应。 本来，在Dirac相对论性电子方程中，这个角动量很自然地以内禀方式蕴含在该方程的旋量结构中。在对相对论性电子方程作最低阶非相对论近似，以便导出Schrodinger 方程的时候，人为丢弃了这种原本属于相对论性的自旋效应。于是，现在从Schrodinger 方程出发研究电子非相对论性运动时，自旋作用就表现出是一种与电子位形空间运动没有直接关系的、外加的自由度，添加在Schrodinger 方程上。到目前为止，非相对论量子力学所拟定的关于它的一套计算方法，使人们能够毫无困难地从理论上预测实验测量结果并计算它在各种实验场合下运动和变化。但是，整个量子理论对这个内禀角动量（以及与之伴随的内禀磁矩）物理根源的了解依然并不很透彻1。 §7.1 电子自旋角动量 1, 电子自旋的实验基础和其特点 早期发现的与电子自旋有关的实验有：原子光谱的精细结构（比如，对应于氢原子21 的跃迁存在两条彼此很靠 p s 近的两条谱线，碱金属原子光谱也存在双线结构等）；1912 1杨振宁讲演集，南开大学出版社，1989年 155

156 年反常Zeeman 效应，特别是氢原子谱线在磁场中的偶数重分裂 ，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释，因为这只能将谱线分裂为()21l +奇数重；1922年Stern —Gerlach 实验，实验中使用的是顺磁性的中性银原子束，通过一个十分不均匀的磁场，按经典理论，原子束不带电，不受Lorentz 力作用。由于银原子具有一个永久磁矩，并且从高温下蒸发飞出成束时其磁矩方向必定随机指向、各向同性的。于是在穿过非均匀磁场时，磁矩和磁场方向夹角也是随机的。从而银原子束在通过磁场并接受非均匀磁场力的作用之后，应当在接受屏上相对于平衡位置散开成一个宽峰，但实验却给出彼此明显对称分开的两个峰，根据分裂情况的实测结果为 B ±μ，数值为 Bohr 磁子。 在上述难以解释的实验现象的压力下，1925年Uhlenbeck 和Goudsmit 大胆假设：电子有一种内禀的（相对 于轨道角动量而言）角动量,s ，其数值大小为2 ，这种内禀 角动量在任意方向都只能取两个值，于是有2 z s =± 。他们认 为这个角动量起源于电子的旋转，因此他们称之为自旋。为 使这个假设与实验一致，假定电子存在一个内禀磁矩μ 并且 和自旋角动量s 之间的关系为（电子电荷为-e ） （7.1） 这表明，电子自旋的廻磁比是轨道廻磁比的两倍。于是，电 子便具有了m,e,s,μ 共四个内禀的物理量。根据实验事实用外

动量和能量讲义汇总

第三讲 典型例题解析 教材范本：龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》，知识出版社，2002年8月第一版。 例题选讲针对“教材”第五、第六章的部分例题和习题。 第五部分 动量和能量 第一讲 基本知识介绍 一、冲量和动量 1、冲力（F —t 图象特征）→ 冲量。冲量定义、物理意义 冲量在F —t 图象中的意义→从定义角度求变力冲量（F 对t 的平均作用力） 2、动量的定义 动量矢量性与运算 二、动量定理 1、定理的基本形式与表达 2、分方向的表达式：ΣI x =ΔP x ，ΣI y =ΔP y … 3、定理推论：动量变化率等于物体所受的合外力。即t P ??=ΣF 外 三、动量守恒定律 1、定律、矢量性 2、条件 a 、原始条件与等效 b 、近似条件 c 、某个方向上满足a 或b ，可在此方向应用动量守恒定律 四、功和能 1、功的定义、标量性，功在F —S 图象中的意义 2、功率，定义求法和推论求法 3、能的概念、能的转化和守恒定律 4、功的求法 a 、恒力的功：W = FScos α= FS F = F S S b 、变力的功：基本原则——过程分割与代数累积；利用F —S 图象（或先寻求F 对S 的平均作用力） c 、解决功的“疑难杂症”时，把握“功是能量转化的量度”这一要点 五、动能、动能定理 1、动能（平动动能） 2、动能定理 a 、ΣW 的两种理解 b 、动能定理的广泛适用性

六、机械能守恒 1、势能 a 、保守力与耗散力（非保守力）→ 势能（定义：ΔE p = －W 保） b 、力学领域的三种势能（重力势能、引力势能、弹性势能）及定量表达 2、机械能 3、机械能守恒定律 a 、定律内容 b 、条件与拓展条件（注意系统划分） c 、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代数和。 七、碰撞与恢复系数 1、碰撞的概念、分类（按碰撞方向分类、按碰撞过程机械能损失分类） 碰撞的基本特征：a 、动量守恒；b 、位置不超越；c 、动能不膨胀。 2、三种典型的碰撞 a 、弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能损失。满足—— m 1v 10 + m 2v 20 = m 1v 1 + m 2v 2 21 m 1210v + 21 m 2220v = 21 m 121v + 2 1 m 222v 解以上两式（注意技巧和“不合题意”解的舍弃）可得： v 1 = 21201021m m v 2v )m m (++-， v 2 = 1 210 2012m m v 2v )m m (++- 对于结果的讨论： ①当m 1 = m 2 时，v 1 = v 20 ，v 2 = v 10 ，称为“交换速度”； ②当m 1 ＜＜ m 2 ，且v 20 = 0时，v 1 ≈ －v 10 ，v 2 ≈ 0 ，小物碰大物， 原速率返回； ③当m 1 ＞＞ m 2 ，且v 20 = 0时，v 1 ≈ v 10 ，v 2 ≈ 2v 10 ， b 、非（完全）弹性碰撞：机械能有损失（机械能损失的内部机制简介），只满足动量守恒定律 c 、完全非弹性碰撞：机械能的损失达到最大限度；外部特征：碰撞后两物体连为一个整体，故有 v 1 = v 2 = 2 120 2101m m v m v m ++ 3、恢复系数：碰后分离速度（v 2 － v 1）与碰前接近速度（v 10 － v 20）的比值，即： e = 20 101 2v v v v -- 。根据“碰撞的基本特征”，0 ≤ e ≤ 1 。 当e = 0 ，碰撞为完全非弹性； 当0 ＜ e ＜ 1 ，碰撞为非弹性； 当e = 1 ，碰撞为弹性。 八、“广义碰撞”——物体的相互作用 1、当物体之间的相互作用时间不是很短，作用不是很强烈，但系统动量仍然守恒时，碰撞的部分规律仍然适用，但已不符合“碰撞的基本特征”（如：位

第六章-动量(1)

动量

冲量和动量 一、单项选择题(共23题，合计44分) 1.从同一高度以相同速率分别抛出质量相同的三个小球，一球竖直上抛，一球竖直下抛，一球平抛，则：A．三球落地时动量相同 B．三球落地时动量不相同 C．从抛出到落地过程，三球受到的冲量相同 D．从抛出到落地过程，三球受到的冲量不相同 2.一个质量是0.05 kg的网球，以20 m/s的水平速度飞向球拍，被球拍打击后，反向水平飞回，飞回的速度的大小也是20 m/s．设网球被打击前的动量为p，被打击后的动量为p′，取打击后飞回的方向为正方向，关于网球动量变化的下列计算式，正确的是： A．p′－p=1 kg·m/s－(－1kg·m/s)=2kg·m/s． B．p－p′=－1kg·m/s－1kg·m/s=－2kg·m/s． C．p′－p=－1kg·m/s－1kg·m/s=－2kg·m/s． D．p－p′=1 kg·m/s－1kg·m/s=0． 3.竖直上抛一小球，小球又落回地面，空气阻力大小不变，则在此过程中： A．重力冲量为零 B．空气阻力冲量为零 C．空气阻力做功为零 D．上升过程比下降过程动量增量数值大 4.竖直上抛一质量为m的小球，经t秒小球重新回到抛出点，若取向上为正方向，那么小球的动量变化为：A．－mgt B．mgt C．0 D．－mgt/2 5.质量为m的物体做竖直上抛运动，从开始抛出到落回抛出点用时间为t，空气阻力大小恒为f。规定向下为正方向，在这过程中物体动量的变化量为： A．(mg+f)t B．mgt C．(mg-f)t D．以上结果全不对 6.某物体在水平桌面上，受到一个推力F作用时间t后，物体没有移动，则F的冲量为： A．0 B．Ft C．mgt D．无法计算 7.质量为m的物体放在光滑水平地面上，在与水平方向成θ角的恒定推力F作用下，由静止开始运动，在时间t内推力的冲量和重力的冲量大小分别为： A．Ft；0 B．Ftcosθ；0 C．Ft；mgt D．Ftcosθ；mgt 8.玻璃杯从同一高度落下掉在石头上比掉在草地上容易碎是由于玻璃杯与石头撞击过程中： A．玻璃杯的动量较大B．玻璃杯受到的冲量较大 C．玻璃杯的动量变化较快D．玻璃杯的动量变化较大 9.如图所示，质量为2kg的物体A静止在光滑的水平面上，与水平方向成300角的恒力F=3N作用于该物体，历时10s，则： A．力的冲量大小为零 B．力F对物体的冲量大小为30Ns 3Ns D．物体动量的变化量为153kg·m/s C．力F对物体的冲量大小为15 10.在距地面h高处以v0水平抛出质量为m的物体，当物体着地时和地面碰撞时间为Δt，则这段时间内物体

第六章 第2讲 动量守恒定律及其应用

[课时作业·巩固提升]精选名校试题考点全面覆盖 [基础题组] 一、单项选择题 1．(2020·山东菏泽模拟)如图所示，装有弹簧发射器的小车放在水平地面上，现将弹簧压缩锁定后放入小球，再解锁将小球从静止斜向上弹射出去，不计空气阻力和一切摩擦．从静止弹射到小球落地前的过程中，下列判断正确的是() A．小球的机械能守恒，动量守恒 B．小球的机械能守恒，动量不守恒 C．小球、弹簧和小车组成的系统机械能守恒，动量不守恒 D．小球、弹簧和小车组成的系统机械能守恒，动量守恒 解析：小球从静止弹射到落地前的过程中，弹簧的弹力对小球做功，小球的机械能不守恒；小球所受外力不等于零，其动量不守恒，故A、B错误．小球、弹簧和小车组成的系统，只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，系统竖直方向的合外力不为零，所以系统的动量不守恒，故C正确，D错误． 答案：C 2.如图，两滑块A、B在光滑水平面上沿同一直线相向运动，滑块A的质量为m，速度为2v0，方向向右，滑块B的质量为2m，速度大小为v0，方向向左，两滑块发生弹性碰撞后的运动状态是() A．A和B都向左运动 B．A和B都向右运动 C．A静止，B向右运动 D．A向左运动，B向右运动 解析：取向右为正方向，根据动量守恒定律得m×2v0－2m v0＝m v A＋2m v B，因碰前系统总动量为零，所以碰后总动量也为零，即A、B的运动方向一定相反，所以D正确，A、B、C错误． 答案：D

3．(2020·河南鹤壁段考)有一只小船停靠在湖边码头，小船又窄又长(估计重一吨左右)．一位同学想用一个卷尺粗略测定它的质量．他进行了如下操作：首先将船平行于码头自由停泊，轻轻从船尾上船，走到船头停下，而后轻轻下船．用卷尺测出船后退的距离d ，然后用卷尺测出船长L .已知他的自身质量为m ，水的阻力不计，则船的质量为 ( ) A.m (L ＋d )d B.m (L －d )d C.mL d D.m (L ＋d )L 解析：设人走动的时候船的速度为v ，人的速度为v ′，人从船尾走到船头用时为t ，人的位移为L －d ，船的位移为d ，所以v ＝d t ，v ′＝L －d t .以船后退的方向为正方向，根据动 量守恒有M v －m v ′＝0，可得M d t ＝m (L －d ) t ，则小船的质量为M ＝m (L －d )d ，故B 正确． 答案：B 4．(2020·山东日照校际联合质检)沿光滑水平面在同一条直线上运动的两物体A 、B 碰撞后以共同的速度运动，该过程的位移—时间图象如图所示．则下列说法正确的是 ( ) A ．碰撞前后物体A 的运动方向相同 B ．物体A 、B 的质量之比为1∶2 C ．碰撞后A 的动能变大，B 的动能减小 D ．碰前物体B 的动量较小 解析：由题图可得，碰撞前v A ＝20－302 m/s ＝－5 m/s ，碰撞后v A ′＝20－10 2 m/s ＝5 m/s ， 则碰撞前后物体A 的运动方向相反，故A 错误；由题图可得，碰撞前v B ＝20－0 2 m/s ＝10 m/s ， 根据动量守恒定律得m A v A ＋m B v B ＝(m A ＋m B )v A ′，代入数据得m A ∶m B ＝1∶2，故B 正确；碰撞前后物体A 速度大小相等，则碰撞后物体A 的动能不变，故C 错误；碰前物体A 、B 速度方向相反，碰后物体A 、B 速度方向与物体B 碰前速度方向相同，则碰前物体B 的动量较大，故D 错误． 答案：B

第六章 自旋和角动量

第六章自旋和角动量 非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功。用薛定谔方程算出的谱线频率,谱线强度也和实验结果相符。但是，更进一步的实验事实发现，还有许多现象，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细给构等，用前面几章的理论无法解择，根本原因在于，以前的理论只涉及轨道角动量。新的实验事实表明，电子还具有自旋角动量。 在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加的量子数引入的。本章只是根据电子具有自旋的实验事实，在定薛谔方程中硬加入自旋。本章的理论也只是局限在这样的框架内。以后在相对论量子力学中，将证明，电子的自旋将自然地包含在相对论的波动方程—狄拉克方程中。电子轨道角动量在狄拉克方程中不再守恒，只有轨道角动量与自旋角动量之和，总角动量才是守恒量。 本章将先从实验上引入自旋，分析自旋角动童的性质，建立包含自旋在内的非相对论量子力学方程—泡利方程。然后讨论角动量的藕合，并进一步讨论光错线在场中的分裂和精细结构，此外还会对电子在磁场中的一些其他的有趣的重要现象作些探讨。 §6. 1电子自旋 施特恩(Stern)一盖拉赫(Gerlach)实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一，如图6.1.1，由K源射出的处于s态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片PP上，结果发现射线束方向发生偏转，分裂成两条分立的线.这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生偏转.由于这是处于s态的氢原子，轨道角动量为零,s态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生，这是一种新的磁矩.另外，由于实验上只发现只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中只有两种取向，是空间量子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为M，则它在沿z方向的外磁场中的势能为 U= -M =Mcos (6.1.1) 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。按(6.1.1)式，原子在z方向所受的力是 F z=-=Mcos (6.1.2) 实验证明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于cos=+1和-1两个值。 为了解释旋特恩一格拉赫实验，乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)提出了电子具有自旋角动量的说法，他们认为: (1) 每个电子都具有自旋角动量S,S在空间任何方向上的投影只能取两个值.若将空间的任意方向取为z方向，则 S z=±/2 (6.1.3) (2) 每个电子均具有自旋磁矩M s，它与自旋角动量之间的关系是