极限与连续
高等数学函数极限与连续习题及答案
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
极限与连续基础练习题含解答
第二章 极限与连续 基础练习题（作业） §2.1 数列的极限 一、观察并写出下列数列的极限： 1．468 2, ,,357 极限为1 2．1111 1,,,,,2345 --极限为0 3．21 2212?-??=?+???n n n n n n a n 为奇数为偶数极限为1 §2.2 函数的极限 一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞ x x e 极限为零 2．2 lim tan x x π → 无极限 3．lim arctan →-∞ x x 极限为2 π- 4．0 lim ln x x + → 无极限，趋于-∞ 二、设2 221, 1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+? ，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？ 2 1 1 lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11 lim ()lim(21)3x x f x x -- →→=+= 22 2 lim ()lim(1)3x x f x x ++ →→=-=；222 lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2 lim ()x f x →∴不存在。 三、设()1 11x f x e = +，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在．
lim ()x f x →∴不存在。 四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在 §2.3 无穷小量与无穷大量 一、判断对错并说明理由： 1．1 sin x x 是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当 0x →时，1sin 0x x →；当1x →时，1 sin sin1x x →不是无穷小量。 2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量． 对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。 3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量． 对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。 二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量： 1． 22 1 x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。 2．1ln tan x , k Z ∈ ()2x k ππ-→+时，tan x →+∞，则ln tan x →+∞，从而+1 0ln tan x →为无穷小量； x k π+→时，tan 0x +→，则ln tan x →-∞，从而1 0ln tan x -→为无穷小量； 4x k ππ→+时，tan 1x →，则ln tan 0x →，从而1 ln tan x →∞为无穷大量； 三、当0+ →x 时，2 x ，阶的无穷小量分别是谁？ 2 00lim lim 01x x x ++→→==，所以当0+→x 时，2x 22 300lim lim 0 1 x x x x ++→→==，所以当0+→x 时，2x 的高阶无穷小量。
极限的概念_函数的连续性详解
第二章.极限概念函数的连续性 对于函数的概念，我们总是能够从日常直观出发，就能很好地加以理解， 因为毕竟因果关系的观念在我们的意识当中是非常深根蒂固的。那么要真正 严格地理解极限的观念，就不是那么自然的了。 对于极限的观念，最为关键的问题是，如何定量地加以描述，并把这种描述作为一般的判别标准。 这个问题实际上困扰了人们几百年，一直到19世纪才加以解决的。 数列的极限描述（数列存在极限判别定理，定义法、柯西法、子数列法、夹逼法、单调有界法） 设存在一个数列，也就是一个数值的集合，这个集合的元素可以一个一个的数出来，同时每一个元素都可以加上唯一的标志，而自然数是最为适宜 作这件工作的。比如说，把一个数列写成这样的样子：a i,a2，a3,?…，或者简单地记成｛a n｝。 观察这个数列取值变化，有的数列变化具有下面的变化规律： 对于数列a i，a2,a3,.…，假设存在一个确定的常数a，现在我们考虑变量a n a （显然这是一个反映数列数值变化的，随着n而发生变化的变量。），如果我们任意找到一个数，无论它的数值有多么大或者多么小， 我们总是能够在这个数列当中找到一个元素a N，使得在这个a N元素后面 的所有的数列元素，都使得相应的变量a n a的值小于， 换一句话来说，对于任意的，总是存在一个N，当n>N时， 总是有a n a成立 这时我们就把a称为数列a1, a2,a3，...的极限。并且称数列 lim a n a a i，a2，a3,.…收敛于极限a。我们使用记号n 来表示该数列极限。 否则我们就说数列｛a n｝是发散的。
这就是一个数列收敛于一个极限或者说存在一个极限的定义。 在这个定义里面，最为关键的地方，也是初学者最为困难的地方有两个： 1。数值是任意的。就是说只要存在一个的数值不满足定义的条件， 就不能说数列收敛于极限a。 这里初学者感到非常困难的地方是，我们是不是一定要对所有可能的 都进行检验，才能得到最后的判断呢？不是的，在实际问题中，由于我们的 目的是希望知道变量a n a是否越来越小，一般只要取大于0,并且足够小（我们在有关极限的定义当中，总是先假设了这点，），当然这样不能减少 我们对的任意取值进行验证的任务，但是我们所处理的数列，总是按照某 种特定的规律来变化，一般从这个数列的变化规律本身就可以找到由决定 的N的值，使得a n a小于，或者是找到反例。从而实现对所有可能的们进行判断?不过，我们的课程在这个方面的要求并不是过高的，因此我们只是需要 考虑一些比较简单的例子，而我们的精力应该集中在对于极限思想的理解。 2.满足条件的n必须取遍所有大于N的自然数。 初学者往往会觉得这是不可能的，实际上，我们并不需要对所有大于N 的n值进行检验，同样由于数列的变化是具有规律的，从数列本身的规律，我们一般总是能够通过有限的步骤，来得到所需要的判断。 那么数列的规律是什么呢？一般说来，一个数列的元素总是一个由变量 n决定的函数，这里变量n取遍自然数，就生成了数列的全部项。这个函数的表达式称 为通项a n的通项公式。 不过通项公式有时候并非完全只是n的函数，有时由变量n和第n项之 前的项所决定，这时，通项公式表现为一个递推公式，这种情况的处理比较 复杂，我们不过多的涉及。 利用极限的定义和应用不等式（绝对值不等式?）对一个数列进行检验是否存在极限，实际上是预先假设知道了这个极限是多少，所谓的检验只不过是证明这个数列的极限是否是这个给出的极限值。 答疑解难。 1 .数列的极限的定义当中，与N的取值是一一对应的吗？ ［答］:不是。 初学者对于极限的定义的叙述往往理解不够深入，并且常常产生歧义，这个问题就是最为典型的。 尽管在根据定义进行具体的极限分析时，常常是由推出N的表达式， 但这并不是意味着这两个变量之间具有一定的函数关系，这两个变量之间确 实是具有一定的关系，但决不是函数的关系，而是一种两个区间的相互影响与决定的关系，实际上，我们给出一个的意思，实际上是给出了一个区间， 同样由此而得到的N，也是一个区间的概念，而不是两个数值变量的关系，因此N的求法是很多形式的，实际问题当中，我们只是选择了最为方便的形式而已。 那么在不知道预先极限值时，有没有方法验证数列是否有极限，这就是相当重要的柯西收敛原理：
极限与连续的62个典型习题
极限与连续的62个典型习题 习题1 设m i a i ,,2,1,0 =>，求 n n m n n n a a a 121)(lim +++∞ → . 解 记},,,max{21m a a a a =，则有 a a a a a n n n n m n n =≥+++11 21)()( ，a a n =∞ →lim .另一方面 n n n n n m n n m a ma a a a 11121)()()(?=≤+++ . 因为 1)lim (lim 11==∞→∞→n n n n m m ，故 a m a n n =?∞→1lim .利用两边夹定理，知 a a a a n n m n n n =+++∞ →121)(lim ，其中 },,max{21m a a a a =. 例如 9)9531(lim 1 =+++∞ →n n n n n . 习题2 求 )2211(lim 222n n n n n n n n n +++++++++∞ → . 解 n n n n n n n n n n n n +++++++++<+++++2222221121 1 212+++++ 第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤ 高等数学竞赛极限与连续真题 1. 计算：22 2 sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→ 析： ),(08 21144 22 x x x x +-+=+ )(08 1 1124422x x x x +=+-+ 又)(02 3 )](01[)](0211[cos 2222224 x x x x x x e x x +-=++-+- =- 故22 2 sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→ 121sin )(023)(081lim sin 1)(023)(081lim 222244022 22 24 40-=?+-+=??+-+=→→x x x x x x x x x x x x x x x 2.计算求n n n n n n n ln )ln ln ( lim -+∞→的值。 （选自广东省大学生高等数学竞赛试题） 析：n n n n n n n ln )ln ln (lim -+∞→=n n n n n n n n n n ln 2ln 2ln ])ln ln 21[(lim --∞→-+ 令,ln t n n =则原式.)11(lim 21 0e t t t t =-++ → 3.计算：)1)1(31211(lim 1n n n -∞→-+++- 析： )21 4121(12131121312112n n n S n +++--+++=- -+-= =n n n n n n ++++++=+++-++++1 2111)214121(22131211 =)11 211111(1n n n n n ++++++ 第1章 函数、极限与连续 §1.1 函数 习题1-1 1．求下列函数的自然定义域： (1)1y x = (2)y =； (3)1 arcsin 2x y -=； (4)1arctan y x =； (5)y = ； (6)2 1log (16)x y x -=- (7)11ln 1x y x x -=+； (8)arcsin lg 10x y ??= ??? ． 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？ (1)2()lg f x x =与()2lg g x x =； (2)()f x x = 与2()g x =； (3)21y x =+与21x y =+； (4)y = y x =； (5)y = y = (6)1y =与22sec tan y x x =-． 3．设sin ,3 ()0,3x x x x π?π? 是奇函数． 7．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)2 2 (1)y x x =-； (2)2 3 3y x x =-； (3)2 x x e e y -+= ； (4)cos sin x y x x e =； (5)tan sec 1y x x =-+； (6)(3)(3)y x x x =-+． 8．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： (1)cos(1)y x =-； (2)tan y x x =； (3)2sin y x =； (4)cos 4y x =； (5)cos y x x =； (6)1sin y x π=+． 9．设函数()f x 在数集X 上有定义，试证：函数()f x 在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界． 10．证明：()sin f x x x =在(0,)+∞上是无界函数． 11．某公司全年需购某商品1000台，每台购进价为4000元，分若干批进货，每批进货台数相同，一批商品售完后马上进下一批货，每进货一次需消耗费用2000元，如果商品均匀投放市场（即平均年存量为批量的一半），该商品每年每台库存费为进货价格的4﹪．试将该公司全年在该商品上的投资总额表示为批量的函数． 12．某运输公司规定某种商品的运输收费标准为：不超过200千米，每吨千米收费6元；200千米以上，但不超过500千米，每吨千米收费4元；500千米以上，每吨千米收费3元．试将每吨的运费表示为路程的函数． §1.2 初等函数 习题1-2 1．求下列函数的反函数： （1 ）y = （2） (0)ax b y ad bc cx d += -≠+； （3）11x y x -=+； （4）1ln(2)y x =++ ； （5）2sin 3 66y x x π π??=-≤≤ ??? ； （6）221x x y =+． 2．设1,0 ()0,00x f x x x ? ，求2 (1),(1)f x f x --． 第二章 极限与连续 一、教学要求 1.了解极限概念，了解无穷小量的定义与基本性质，掌握求极限的方法. 2.了解函数连续性的概念，掌握函数连续性的性质及运算. 重点：极限的计算，函数连续性的性质及运算。 难点：极限、连续的概念。 二、课程内容导读 1. 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。 例1 求下列极限： （1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =21613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即 x x x 10)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 （4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即 222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。 （5） 利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+? 2. 知道一些与极限有关的概念 (1) 知道数列极限、函数极限、左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等； (2) 了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质； (3) 了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点； 例2 填空、选择题 (1) 下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. )0(1ln +→x x B. )1(ln →x x C. )0(e 1 →-x x D. )2(422→--x x x 解 选项A 中：因为 +→0x 时， +∞→x 1，故 +∞→x 1ln ，x 1ln 不是无穷小量； 选项B 中：因为1→x 时，0ln →x ，故x ln 是无穷小量； 选项C 中：因为 +→0x 时，-∞→-x 1，故0e 1 →-x ；但是-→0x 时，x 1- +∞→，故+∞→-x 1 e ，因此x 1 e -当0→x 时不是无穷小量。 选项D 中：因为21422+=--x x x ，故当2→x 时，41422→--x x ，4 22--x x 不是无穷小量。 因此正确的选项是B 。 （2） 下列极限计算正确的是（ ）。 A.=→x x x 1sin lim 001sin lim lim 00=→→x x x x 第二章 极限与连续 本章教学内容 本章介绍了数列极限与函数极限的概念、基本知识和基本理论以及函数连续性的基本知识． 微积分是一门以变量（函数等）作为研究对象、以极限方法作为基本研究手段的数学学科，无论是微分学、积分学、还是无穷级数问题都需以极限为工具进行研究，整个微积分学就是建立在极限论的基础之上的． 连续性是函数的一个重要的分析性质，本章运用极限引入函数连续性的概念． 在微积分学中讨论的函数，主要是连续型的函数，它有许多良好的性质，它是本课程的主要研究对象． 教学思路 1． 学习微积分的一个直接的重要的目的是掌握研究函数的微观性态和宏观性态的方法．这一点无论对学术研究能力的培养还是对研究生入学应试，都是非常重要的．当然，学习微积分的目的还有其更重要的另外一面，那就是培养和训练思维与思考问题的模式，掌握学习未知世界的方法与技巧，不管你将来是否从事数学及其相关学科，如能达到上述境界，则必会长期受益． 2．极限的思想、概念与方法是分析数学问题的基本工具和语言．数列极限和函数极限都是高等数学重要的基础，但相对而言，前者是训练和培养极限思维模式的基础．对数列极限的有关概念和方法，站到较高台阶上去思考，将有助于全部微积分内容的学习．因此，极限的基本概念要讲透，使学生能接受并理解其深刻的内涵．要使学生会熟练地求极限．可让学生适当地多做一些练习题． 3．用“N -ε”、“δε-”语言定义极限不能省略，不要求学生会做有关的习题，但要领会，以便理解有关的定理的证明． 4．函数的连续性作为承上（极限理论与方法）启下（微分、积分概念）的重要环节，它是用极限等工具研究函数局部性质与整体性质的开始．函数在一点处连续的概念描述了函数的局部性质，而在一个区间上的连续性则描述了一个函 极限与连续(包含第三章集合映射和函数) § 1函数及其特性 基本概念 1. 集合集合的表示方法集合的关系及运算(见书中概念) 2 ?映射 3. *函数定义域值域 函数的两要素：定义域对应法则 4. 反函数y=f(x) y= f_1(x) 注意(1)不是任一函数都存在反函数，反函数存在的条件； (2) 一个函数y=f(x)与它的反函数y= f _1(x)互为反函数; (3) y=f(x)与y二f'(x)图像关于直线y=x对称； (4) y = f (x)的定义域即为y二f」(x)值域，而y二f(x)的值域即为y二f '(X)的定义域。 5. 函数的基本性质 (1)有界性 界是不唯一的；函数的有界性与区间有关(如函数y二丄在区间(1, 2) x 有界，但在(0, 1)无界); (2)单调性函数的单调性在后面的导数应用中还会用到 函数的单调性也与区间有关(如函数y二x2在(」：,0)上是减函数， (0/ )上是增函数)；如一函数在某区间是严格增函数(或减函数)，则其必有 反函数。 (3)奇偶性(函数要定义在一对称区间上) 偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于坐标原点对称且f(0)=0;判断一函数的奇偶性只需验证f(x)与f(-x)关系. (4)周期性 f (x)= f (x+T)= f (x+ 灯) k 为整数 三角函数的周期性。 6. 幕函数，指数函数，对数函数 常用的指数函数：y二e x，常用的对数函数：y = In x ；指数函数与对数函 数互为反函数。 7. 基本初等函数 幕函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数统称为基本初等函数。 对于基本初等函数的图形及其基本特性必须熟练掌握。 8. 复合函数 掌握两个（或多个函数）是如何复合构成新函数的（即复合函数是如何复合而成的）。 9. 初等函数 10. 分段函数 分段函数不是两个或多个函数，它是一个函数，只是自变量在不同的取值范围其函数表达式不同。 分段函数在分段点处极限的存在性，连续性，可导性等都是难点。 § 2数列极限 基本概念 1. 数列极限 数列极限是一常数，是随着数列项数的增加通项的一种变化趋势 2. 数列极限的四则运算 数列极限的四则运算的前提两个数列极限都存在。 § 3函数极限 一、基本概念 1. 函数极限 自变量的变化趋势共有6种情形: f （x）在（a,=）上有定义； f （x）在（- ：,a）上有定义； f （x）在（-，-a）一（a,二）上有定义; 结论：limf(x)=A二lim f(x)= lim f(x) = A X ?二x、二X W 曲型： (a) lim arctan x ，lim arctan x - XT讼 2 i q 2 (1) lim f (x)二A XT讼 (2) lim f (x)二A X T-°O (3) lim f(x)二A X T^O 多元函数的极限与连续习题 1. 用极限定义证明:14)23(lim 1 2=+→→y x y x 。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）y x y x y x f +-=),(； (2) y x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=； (3) y x y x y x f ++=23 3),(； (4) x y y x f 1 s i n ),(=。 3. 求极限 （1）2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→； （2）1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ； （3）2 20 01 sin )(lim y x y x y x ++→→； （4）22220 0) sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数?? ???=≠+=0 0)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上是连续的。 1. 用极限定义证明:14)23(lim 2 1 2=+→→y x y x 。 因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2 2 -+-=-+y x y x |1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+- 基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、 已知四个命题：（1）若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x x →点必有极限 （2）若)(x f 在0x x →点有极限，则)(x f 在0x 点必连续 （3）若)(x f 在0x x →点无极限，则)(x f 在0x x =点一定不连续 （4）若)(x f 在0x x =点不连续，则)(x f 在0x x →点一定无极限。 其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、若a x f x x =→)(lim 0 ，则下列说法正确的是（ C ） A 、)(x f 在0x x =处有意义 B 、a x f =)(0 C 、)(x f 在0x x =处可以无意义 D 、x 可以只从一侧无限趋近于0x 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点0x 处连续的充要条件是在点0x 左、右连续 B 、函数)(x f 在点0x 处连续，则)lim ()(lim 0 0x f x f x x x x →→= C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数)(x f 有)()(lim 00 x f x f x x =→ 4、已知x x f 1)(=，则x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0的值是（ C ） A 、21x B 、x C 、21x - D 、x - 5、下列式子中，正确的是（ B ） A 、1lim 0=→x x x B 、1)1(21lim 21=--→x x x C 、111lim 1=---→x x x D 、0lim 0=→x x x 6、51lim 21=-++→x b ax x x ，则b a 、的值分别为（ A ） A 、67和- B 、67-和 C 、67--和 D 、67和 7、已知,2)3(,2)3(-='=f f 则3 )(32lim 3--→x x f x x 的值是（ C ） A 、4- B 、0 C 、8 D 、不存在 8、=--→33lim a x a x a x （ D ） 第一节极限的定义二、两个重要极限三、无穷小的比较二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质五、函数连续性的定义***** 六、函数的间断点间断点分类: 例如: 内容小结练习备用题确定函数间断点的类型. 2. 求三、极限3. 无穷小例6. 求下列极限：令例7. 确定常数a , b , 使显然为其可去间断点. (4) (5) 为其跳跃间断点. 左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式⑸利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限；⑹利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限；⑺利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；⑻利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4. 定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性, 极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 二、学法建议1 ．本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念，特别是求极限的方法，灵活多样．因此要掌握这部分知识，建议同学自己去总结经验体会，多做练习．2 ．本章概念较多，且互相联系，例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界;无穷大, 极限，无穷小，连续等．只有明确它们之间的联系，才能对它们有深刻的理解，因此同学们要注意弄清它们之间的实质关系．3 ．要深刻理解在一点的连续概念，即极限值等于函数值才连续．千万不要求到极限存在就下连续的结论; 特别注意判断分段函数在分段点的连续性．三、例题精解例1 求下列极限: (1) (2) (3) (4) (5) 例2 设问当为何值时， 第二章 极限与连续 第一节 极限的定义 思考题： 1. 在)(lim 0 x f x x →的定义中，为何只要求)(x f 在0x 的空心邻域),?(0δx N 内有定义？ 答：因为0x x →表示x 无限接近0x 而不等于0x ，故)(lim 0 x f x x →与)(x f 在0x 点有无定 义无关. 2. x x x sin lim +∞→是否存在，为什么？ 答：存在且为0. 因为01lim =+∞ →x x ，且1sin ≤x ，由无穷小的性质知0sin lim =+∞→x x x . 习作题： 1. 设?? ?><+=, 0,, 0, 1)(2x x x x x f 画出)(x f 的图形，求)(lim 0x f x -→及)(lim 0x f x +→并问)(lim 0 x f x →是否存在. 解：)(x f 的图像如下： )(l i m 0 x f x -→=)1(lim 2 +- →x x =1, )(lim 0 x f x +→=x x + →0 lim =0, )(lim 0 x f x -→≠)(lim 0 x f x + →. ∴ )(lim 0 x f x →不存在. 2. 函数1 1 )(-+=x x x f 在什么条件下是无穷大量，什么条件下是无穷小量？为什么？ 答：)(x f 当1→x 时是无穷大量, 当1-→x 时是无穷小量. 011l i m 1=-+-→x x x , ∞=-+→1 1 lim 1x x x . 3.举例说明A x f A x f A x f x x x ===∞ →-∞ →+∞ →)(lim ,)(lim ,)(lim 的几何意义. 解：例如：对x y 1= , 01 lim =+∞→x x 表示当x 沿x 轴的正向远离原点时, 曲线x y 1=无限靠近直线y =0; 01 lim =-∞→x x 表示当x 沿x 轴的负方向远离原点时, 曲线x y 1=无限靠近直线 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数: 求极限的常用方法 ① 利用极限的定义 数列极限的定义：lim 0,0,n n x a N n N ε→∞ =??>?>>当时，有ε <-a x n ； 函数极限的定义（ x x → ）： 0lim ()0,0,0|n f x A x x εδδ→∞ =??>?><-当|<时，有()f x A ε-<. 类似可定义其它形式下的函数极限. ② 利用单调有界准则和夹逼准则 熟悉数列极限和函数极限的单调有界准则. 利用夹逼准则可以证明下面的极限. 1lim 1(0),lim 1(0).x n n x a a a a →∞ →+∞ =>=> 这一结论可以推广为： 111lim max ,x k k i i x i k i a a →+∞≤≤=??= ??? ∑和111lim min .x k k i i x i k i a a →-∞≤≤=?? = ??? ∑ ③ 利用两个重要极限 0sin lim 1x x x →=，1lim 1e n n n →∞?? += ??? 或1lim 1x x x 骣÷?+÷?÷?桫=e . 01 、由重要极限及变量替换可以求下列极限： 0sin ()lim 1,()x x x x ??→= ()01()lim 1(),x x x x e j j ?+= ()0()() lim 1().g x x A x x x e j j ?+= 其中， lim ()0,lim ()x x x x x g x A ?→→==，极限过程 x x → 改为其它情形也有类似的结论. 02、 设 lim ()1,lim ()x x x x f x g x →→==∞ ，则利用重要极限有： 1 ()(()1)()()1 lim ()lim[1()1] . g x f x g x A f x x x x x f x f x e ??--→→=+-= 其中 lim ()(f(x)1). x x g x A →-=. ④ 利用无穷小的性质和等价无穷小替换求极限 01 、无穷小量乘以有界函数仍是无穷小量； 02 、熟悉常见的无穷小量：当0→x 时,有 x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(+x ～1-x e ；2 11cos ~ 2 x x -； 函数、极限、连续概念解析 1、下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等。 A. x x g x x f ==)(,)()(2 B. 1)(,11)(2+=--=x x g x x x f C. x x g x x f ln 2)(,ln )(2== D. 1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f 分析：从函数的两个要素可知，两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则相同，而与自变量或因变量所用的字母无关。 正确答案：D 2、下列结论中正确的是（ ）。 A. 周期函数都是有界函数 B. 基本初等函数都是单调函数 C. 奇函数的图形关于坐标原点对称 D. 偶函数的图形关于坐标原点对称 分析：首先要清楚函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性的定义，还要知道奇偶函数的图形特点。 正确答案：C 3、周期函数是否一定有最小正周期？ 答：不一定有最小正周期．尽管我们所学的周期函数函数一般都有最小正周期，但周期函数不一定有最小正周期．例如常值函数()f x C =是一个以任意正数为周期的周期函数，它没有最小正周期。 4、判断下列数列的极限：（1）(1)n n ??-????， （2）1n e ???????? ?????? ?。 分析：本题只要求对数列的极限作出判断，根据数列极限的定义，利用观察法，看在n →∞的过程中数列通项n x 的变化趋势。 解：（1）因为n →∞时虽然(1)n n x n -=的符号时正时负，但(1)10n n n -=→， 所以数列(1)n n ??-????的极限为0。 （2）因为数列的通项11n n n x e e ??== ???，当n →∞时分母n e →∞，所以10n e →，故该数列的极限是0。 5、无界数列必发散吗？ 分析：已知性质：收敛数列必有界．用反证法。 正确答案：无界数列必发散。 6、发散数列一定无界吗？有界数列必收敛吗？ 分析：发散数列除了lim n n x →∞ =∞的情况外，还有其它情况。例如：数列(1)n n x =-发散，但有界。 正确答案：发散数列不一定无界，有界数列也不一定收敛。 7、无穷小量是很小的数，对吗？零是无穷小量吗？ 分析：无穷小量是指趋于零的变量。 正确答案：无穷小量不是很小的数，但零是无穷小量。 8、连续函数的三个要求缺一不可吗？ 分析：连续函数的三个要求为：①()f x 在0x 点有定义；②0lim ()x x f x →存在；③00lim ()()x x f x f x →=。三者如缺一，则为间断（不连续）。例如：①1()sin f x x =在0x =点无定义，故间断；②1sin ,0()1,0x f x x x ?≠?=??=? 在0x =点虽然有定义，01limsin x x →不存在，故也间断；③1sin ,0()1, 0x x f x x x ?≠?=??=? 在0x =点虽然有定义，且01lim sin 0x x x →=，但01lim sin 01(0)x x f x →=≠=，故间断。大一高数第一章--函数、极限与连续
高等数学竞赛极限与连续真题
第1章 函、极限与连续
高等数学基础极限与连续
(完整版)极限与连续
极限与连续部分基本概念(20200511213748)
(整理)多元函数的极限与连续习题.
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高等数学课件-- 极限与连续(可编辑)
极限与连续典型习题
大学高等数学函数极限和连续
知识点一(极限与连续)
函数极限连续概念解析