数学组初高中衔接校本教材
一、数与式的运算
一）、必会的乘法公式
【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++
ca
bc ab c b a c bc ac b ab a 2222222
22222+++++=+++++=
∴等式成立
【例1】计算：22
)31
2(+-
x x
解：原式=22
]3
1)2([+-+x x
9
1
3223822)
2(3
1
2312)2(2)31()2()(234222222+
-+-=-??+?+-++-+=x x x x x x x x x x
说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)
证明: 3
3
3
2
2
2
2
3
2
2
))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2.
【例2】计算： （2a+b ）（4a 2-2ab+b 2）=8 a 3+b 3
【公式3】3
3
2
2
))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)
1．计算
（1）（3x+2y ）（9x 2-6xy+4y 2）= （2）（2x-3）（4x 2+6xy+9）=
（3）)916141(312
1
2++??? ??-m m m =
（4）（a+b ）（a 2-ab+b 2）（a-b ）（a 2+ab+b 2）=
2．利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m 3-n 3=
（2）27m 3-8
1
n 3=
（3）x 3-125= （4） m 6-n 6=
【公式4】3
3
3
2
2
()33a b a b a b ab +=+++
【公式5】33223()33a b a a b ab b -=-+- 【例3】计算：
（1）)416)(4(2m m m +-+
（2）)4
1
101251)(2151(22n mn m n m ++-
（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解：（1）原式=3
3
3
644m m +=+ （2）原式=3
33
3
8
11251)2
1()5
1
(n m n m -=
- （3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+
63362332)(y y x x y x ++=+=
说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式
的结构．
（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、
4、…、10的立方数，是非常有好处的．
【例4】已知2
310x x -+=，求3
3
1
x x +
的值． 解：2
310x x -+= 0≠∴x 31=+∴x
x
原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2
222=-=-++=+-+x x x x x
x x x
说明：本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．
【例5】已知0=++c b a ，求
111111
()()()a b c b c c a a b
+++++的值． 解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0
∴原式=ab
b
a c ac c a
b b
c c b a +?++?++?
333
()()()a a b b c c a b c bc ac ab abc
---++=++=- ①
abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+
abc c b a 3333=++∴ ②，把②代入①得原式=33-=-
abc
abc
说明：注意字母的整体代换技巧的应用．
二）、根式
0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：
【例6】化简下列各式：
(1)
(2)
1)x ≥
解：(1) 原式=2|1|211-+==
(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)
|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)
x x x x x x x x -+-=->?-+-=?---=≤≤?
说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．
【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)
8
3
(2)
(3)
(4) -+解：(1)
8
3=
4
6
282383=
??=
(2) 原式6=
=-
(3) 原式=
(4) 原式==说明：
(1)二次根式的化简结果应满足：
①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． (2)二次根式的化简常见类型有下列两种：
①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；
②分母中有根式(
或被开方数有分母(．形式(
化为
) ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采
取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(
2+
2-)．
有理化因式和分母有理化
有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两
个代数式叫做有理化因式。如a 与a ；
y b x a +与y b x a -互为有理化因式。
分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。
【例8】计算：
(1) 21)(1++--
(2)
+
解：(1) 原式=22(1()21a b a +--+=--+
(2) 原式
+
=
+
)=
说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．
【例9】设x y =
，求33x y +的值．
解：77 14,123
x y x y xy =
=+=-?+==-
原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=
说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．
练 习
1a =-成立的条件是( )
A ．0a >
B ．0a <
C ．0a ≤
D ．a 是任意实数
2．若3x <|6|x -的值是( ) A ．－３
B ．３
C ．－９
D ．９
3．计算： (1) 2(34)x y z --
(2) 2(21)()(2)a b a b a b +---+
(3) 222()()()a b a ab b a b +-+-+
(4) 22
1(4)(4)4
a b a b ab -++
4．化简(下列a 的取值范围均使根式有意义)：
(1) (2) a
(3)
(4)
+
-
5．化简：
(1)
102m (2)
0)x y >> 6．若
112x y -=，则33x xy y
x xy y +---的值为( )： A ．
3
5
B ．35
-
C ．53
-
D ．
53
7．设
x y ==，求代数式22
x xy y x y +++的值．
8．已知111
20,19,21202020
a x
b x
c x =+=+=+，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值．
9．设x =
42
21x x x ++-的值． 10．化简或计算：
(1)
3+÷
(2)
(3)
-
答案：
1． C 2． A
3． (1) 2
2
2
9166824x y z xy xz yz ++--+
(2) 22
353421a ab b a b -++-+
(3) 22
33a b ab --
(4)
3
31164
a b - 4
．21--
5
． 6． D 7．
8． 3
9
．3- 10
．-
三）、分式
当分式
A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A
B
就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．
【例10】化简
11x
x x x x
-+
-
解法一：原式=
222(1)11(1)1(1)(1)11
x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
++=====--?+-+-+
++--+ 解法一：原式=
22
(1)1
(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
++====-?-+--+++--?
说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解
法二则是利用分式的基本性质A A m
B B m
?=?进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．
【例11】化简222
3961
62279x x x x x x x x
++-+-+-- 解：原式=222
3961161
2(3)3(3)(3)2(3)
(3)(39)(9)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=--+-+---++-
22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)
x x x x x
x x x x x +-------===
+-+-+ 说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分
解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．
四）、多项式除以多项式
做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺项也可以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐），要特别注意，得到每个余式的运算都是减
法。结果表示为：被除式=除式?商式+余式 【例1】
计算)3()3(24x x x -÷-
解：3
9
393333003003422
22
442--+----++-+++-x x x x x x x x x x
∴x x x x x 39)3()3()3(224-+--?-=-
计算
1．)32()2713103(223-+÷-++x x x x x 2．)1()22(232-÷-+x x x
3．已知1453,211221923234+--=-+--=x x x B x x x x A 求：2
2
B A ÷ 答案：
1．3
215
1443)32()2713103(22
2
3
-+-++=-+÷-++x x x x x x x x x
2．1
2)1()22(2
2
3
2
-++=-÷-+x x
x x x x 3．2
2
2
)23(-=÷x B A
二、因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．
一）、公式法
【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：
(1) 3
8x +
(2) 3
0.12527b -
分析： (1)中，3
82=，(2)中3
3
3
0.1250.5,27(3)b b ==．
练 习
解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+?+
2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++
说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如
3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，
一定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式：
(1) 3
4
381a b b -
(2) 76
a a
b -
分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现6
6
a b -，
可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．
解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．
(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-
22222
2
2
2
()()()()()()()()
a a
b a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+
二)、分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
1．分组后能提取公因式 【例3】把2105ax ay by bx -+-分解因式．
分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列，然
后从两组分别提出公因式2a 与b -，这时另一个因式正好都是5x y -，这样可以继续提取公因式．
解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--
说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试． 【例4】把2222
()()ab c d a b cd ---分解因式．
分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因
式．
解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+ 2222()()abc a cd b cd abd =-+-
()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+
说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．
2．分组后能直接运用公式
【例5】把22x y ax ay -++分解因式．
分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.
解：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+ 【例6】把2222428x xy y z ++-分解因式．
分析：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一
个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．
解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-
222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-
说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．
三)、十字相乘法
1．2
()x p q x pq +++型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．
22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++
因此，2
()()()x p q x pq x p x q +++=++
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例7】把下列各式因式分解：
(1) 2
76x x -+
(2) 2
1336x x ++
解：(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-?--+-=- 2 76[(1)][(6)](1)(6)
x x x x x x ∴-+=+-+-=--．
(2) 3649,4913=?+=
2 1336(4)(9)
x x x x ∴++=++ 说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项
系数的符号相同． 【例8】把下列各式因式分解：
(1) 2
524x x +-
(2) 2
215x x --
解：(1) 24(3)8,(3)85-=-?-+= 2 524[(3)](8)(3)(
8)
x x x x x x ∴+-=+-+=-+ (2) 15(5)3,(5)32-=-?-+=-
2 215[(5)](3)(5)(3)
x x x x x x ∴--=+-+
=-+ 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 【例9】把下列各式因式分解：
(1) 2
2
6x xy y +-
(2) 222
()8()12x x x x +-++
分析：(1) 把2
2
6x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是2
6y -，一次项系数是
y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．
(2) 由换元思想，只要把2
x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解
二次三项式2
812a a -+．
解：(1) 2
2
2
2
66(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+- (2) 2
2
2
2
2
()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-
(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-
2．一般二次三项式2
ax bx c ++型的因式分解
大家知道，2
112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．
反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++
我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成
11
2
2
a c a c ?
，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2
ax bx c ++的一次项系数b ，那么2
ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 【例10】把下列各式因式分解：
(1) 2
1252x x --
(2) 22568x xy y +-
解：(1) 2
1252(32)(41)x x x x --=-+
3
24
1-?
(2) 22
568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-
1 254y y -?
说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．
四)、其它因式分解的方法
1．配方法
【例11】分解因式2
616x x +-
解：2
2
2
2
2
2
616233316(3)5x x x x x +-=+??+--=+-
(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-
说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．
2．拆、添项法
【例12】分解因式3
2
34x x -+
分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．
解： 3
2
3
2
34(1)(33)x x x x -+=+--
22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--
22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-
说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将2
3x -拆成224x y -，将多项式分成两组32()x x +和2
44x -+．
一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；
(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； (3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解； (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
1．把下列各式分解因式：
(1) 3
27a +
(2) 3
8m -
(3) 3
278x -+
2．把下列各式分解因式：
(1) 34xy x +
(2) 33n n x x y +-
(3) 2232(2)y x x y -+
3．把下列各式分解因式：
(1) 2
32x x -+ (2) 2
627x x --
(3) 22
45m mn n --
4．把下列各式分解因式： (1) 5
4
3
1016ax ax ax -+ (2) 2
126n n n a a b a b +++- (3) 22(2)9x x --
(4) 2
2
82615x xy y +-
(5) 2
7()5()2a b a b +-+-
5．把下列各式分解因式：
(1) 2
33ax ay xy y -+-
(2) 3
2
8421x x x +-- (3) 2
51526x x xy y -+-
(4) 22
414xy x y +-- (5) 4
32
22
4
a b a b a b ab +--
(6) 663
21x y x --+
(7) 2
(1)()x x y xy x +-+
6．已知2
,23
a b ab +=
=，求代数式22222a b a b ab ++的值． 7．证明：当n 为大于2的整数时，5
3
54n n n -+能被120整除．
8．已知0a b c ++=，求证：3223
0a a c b c abc b ++-+=．
练 习
答案：
1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++
2．2222()(),()(),n x x y y xy x x x y x xy y +-+-++ 22432(1)(4321)y x x x x x --+++ 3．(2)(1)x x --，(9)(3)x x -+， (5)()m n m n -+
4．3(2)(8)ax x x -- ；(3)(2)n a a b a b +- ；2(3)(1)(23)x x x x -+-+；
(2)(415),x y x y -+ (772)(1)a b a b +++-
5．2()(3),(21)(21),(3)(52)x y a y x x x x y -++--+；(12)(12),x y x y -++-
23333()(),(1)(1),()(1)ab a b a b x y x y x x y x y +----+-++．
6．
283
7．5354(2)(1)(1)(2)n n n n n n n n -+=--++ 8．322322()()a a c b c abc b a ab b a b c ++-+=-+++
三、一元二次方程根与系数的关系
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．
一）、一元二次方程的根的判断式
一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠，(1) 当2
40b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：
(2) 当2
40b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：(3) 当2
40b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
由于可以用2
4b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把2
4b ac -叫
做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：2
4b ac ?=-
【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：
(1) 2
2310x x -+=
(2) 24912y y +=
(3) 25(3)60x x +-=
解：(1) 2 (3)42110?=--??=> ，∴ 原方程有两个不相等的实数根． (2) 原方程可化为：241290y y -+=
2
(12)4490?=--??= ，∴ 原方程有两个相等的实数根．
(3) 原方程可化为：2
56150x x -+=
2 (6)45152640
?=--??=-< ，∴ 原方程没有实数根． 说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．
【例2】已知关于x 的一元二次方程2
320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：
(1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根；
(4) 方程无实数根．
解：2(2)43412k k ?=--??=- (1) 141203k k ->?<
； (2) 141203k k -=?=
； (3) 1
41203
k k -≥?≥；
(4) 1
41203
k k -
【例3】已知实数x 、y 满足2
2
210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值． 解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：2
2
(2)10x y x y y --+-+=
由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：
222[(2)]4(1)300y y y y y ?=----+=-≥?=，
代入原方程得：2
2101x x x ++=?=-． 综上知：1,0x y =-=
二）、一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：
x x ==
所以：1222b b b
x x a a a
-+--+=+=-，
22122
2()422(2)4b b b ac c
x x a a a a a
-+---?=?===
定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：
说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此
定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0?≥．
【例4】若12,x x 是方程2
220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：
(1) 2212x x +；
(2)
12
11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．
分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．
解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)
1212121122
20072007
x x x x x x +-+===
- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=- (4) 12||x x -=
===说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
222121212()2x x x x x x +=+-，
12
1212
11x x x x x x ++=
，22121212()()4x x x x x x -=+-， 12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，
33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．
【例5】一元二次方程042
=+-a x x 范围。
解一：由??
?<-->?0)3)(3(021
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