堆排序算法
堆排序
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前言
堆排序在面试中是经常会问到的，特别是应届毕业生找工作时，面试官最喜欢问这个了。当年百度二面的时候，也被这个算法给刷了，因为像我这种不入流的大学，平时所学习的算法只是讲讲基本原理，却没有真正要求动手去实现，因此到真正需要应用的时候，根本就不懂如何去应用。
今天，在回忆、学习完堆排序的相关知识后，希望通过写下本篇文章，将所有的理论知识使用笔者的语言来表达出来，希望能够让大家更容易理解和吸收。
基础知识
我们通常所说的堆是指二叉堆，二叉堆又称完全二叉树或者叫近似完全二叉树。二叉堆又分为最大堆和最小堆。
堆排序(Heapsort)是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。可以利用数组的特点快速定
位指定索引的元素。数组可以根据索引直接获取元素，时间复杂度为O（1），也就是常量，因此对于取值效率极高。最大堆的特性如下：
?父结点的键值总是大于或者等于任何一个子节点的键值?每个结点的左子树和右子树都是一个最大堆
最小堆的特性如下：
3
?父结点的键值总是小于或者等于任何一个子节点的键值?每个结点的左子树和右子树都是一个最小堆
算法思想
最大堆的算法思想是：
?先将初始的R[0…n-1]建立成最大堆，此时是无序堆，而堆顶是最大元素
?再将堆顶R[0]和无序区的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[0…n-2]和有序区R[n-1]，且满足R[0…
n-2].keys ≤R[n-1].key
?由于交换后，前R[0…n-2]可能不满足最大堆的性质，因此再调整前R[0…n-2]为最大堆，直到只有R[0]最后一个元素才调整完成。
最大堆排序完成后，其实是升序序列，每次调整堆都是要得到最大的一个元素，然后与当前堆的最后一个元素交换，因此最后所得到的序列是升序序列。
最小堆的算法思想是：
?先将初始的R[0…n-1]建立成最小堆，此时是无序堆，而堆顶元素是最小的元素
?再将堆顶R[0]与无序区的最后一个R[n-1]交换，由此得到新的无序堆R[0…n-2]和有序堆R[n-1]，且满足R[0…
n-2].keys >= R[n-1].key
?由于交换后，前R[0…n-2]可能不满足最小堆的性质，因此再调整前R[0…n-2]为最小堆，直到只有R[0]最后一个元
素才调整完成
最小堆排序完成后，其实是降序序列，每次调整堆都是要得到最小的一个元素，然后与当前无序堆的最后一个元素交换，所以所得到的序列是降序的。
提示：堆排序的过程，其实就是不断地扩大有序区，然后不断地缩小无序区，直到只有有序区的过程。
排序过程分析
因为算法比较抽象，这里直接通过举个小例子来说明堆排序的过程是如何的。下面我们用这个无序序列采用最大堆的进行堆排序，所得到的序列就是升序序列（ASC）。
无序序列：89,-7,999,-89,7,0,-888,7,-7
第一步：初始化建成最大堆：
第二步：将堆顶最大元素999与无序区的最后一个元素交换，使999成为有序区。交换后，-7成为堆顶，由于-7并不是无序区中最大的元素，因此需要调整无序区，使无序区中最大值89成为堆顶，所以-7与89交换。交换后导致89的右子树不满足最大堆的性质，因此要对右子树调整成最大堆，所以-7要与0交换，如下图：
3
从图中看到，当-7成89交换后，堆顶是最大元素了，但是-7的左孩子是0，右孩子是-888，由于-7<0，导致-7这个结点不满足堆的性质，因此需要调整它。所以，0与-7交换。
然后不断重复着第二步的过程，直到全部成为有序区。
最后：所得到的是升序序列
时间复杂度
堆排序的时间，主要由建立初始堆和反复调整堆这两部分的时间开销构成.由于堆排序是不稳定的，它得扭到的时间复杂度会根据实际情况较大，因此只能取平均时间复杂度。
平均时间复杂度为：O( N * log2(N) )
堆排序耗时的操作有：初始堆+ 反复调整堆，时间复杂度如下：
?初始建堆：每个父节点会和左右子节点进行最多2次比较和1次交换，所以复杂度跟父节点个数有关。根据2x<= n
（x为n个元素可以折半的次数，也就是父节点个数），得出x = log2n。即O ( log2n )
?反复调整堆：由于初始化堆过程中，会记录数组比较结果，所以堆排序对原序列的数组顺序并不敏感，最好情况和
最坏情况差不多。需要抽取n-1 次堆顶元素，每次取
堆顶元素都需要重建堆（O(重建堆) < O(初始堆)）。所
以小于O(n-1) * O(log2n)
使用建议：
由于初始化堆需要比较的次数较多，因此，堆排序比较适合于数据量非常大的场合（百万数据或更多）。由于高效的快速排序是基于递归实现的，所以在数据量非常大时会发生堆栈溢出错误。
C语言实现
基于最大堆实现升序排序
1
2 // 初始化堆
3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1void initHeap(int a[],int len){
// 从完全二叉树最后一个非子节点开始
// 在数组中第一个元素的索引是0
// 第n个元素的左孩子为2n+1，右孩子为2n+2，
// 最后一个非子节点位置在(n - 1) / 2
for(int i = (len - 1) / 2;i>= 0; --i){
adjustMaxHeap(a,len,i);
}
}
void adjustMaxHeap(int a[],int len,int parentNodeIndex){ // 若只有一个元素，那么只能是堆顶元素，也没有必要再排序了if(len<= 1){
return;
}
// 记录比父节点大的左孩子或者右孩子的索引
int targetIndex = -1;
// 获取左、右孩子的索引
int leftChildIndex = 2 * parentNodeIndex + 1;
int rightChildIndex = 2 * parentNodeIndex + 2;
7
1 8 1 9
2 0 2 1 2 2 2
3 2
4 2
5 2
6 2
7 2// 没有左孩子
if(leftChildIndex>= len){
return;
}
// 有左孩子，但是没有右孩子
if(rightChildIndex>= len){
targetIndex = leftChildIndex;
}
// 有左孩子和右孩子
else{
// 取左、右孩子两者中最大的一个
targetIndex = a[leftChildIndex]>a[rightChildIndex]?lef }
// 只有孩子比父节点的值还要大，才需要交换
if(a[targetIndex]>a[parentNodeIndex]){
int temp = a[targetIndex];
a[targetIndex] = a[parentNodeIndex];
a[parentNodeIndex] = temp;
8 2
9 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3
// 交换完成后，有可能会导致a[targetIndex]结点所形成的子树不// 若不满足堆的条件，则调整之使之也成为堆
adjustMaxHeap(a,len,targetIndex);
}
}
void heapSort(int a[],int len){
if(len<= 1){
return;
}
// 初始堆成无序最大堆
initHeap(a,len);
for(int i = len - 1;i>0; --i){
// 将当前堆顶元素与最后一个元素交换，保证这一趟所查找到的堆顶// 注意：这里所说的最后不是a[len - 1]，而是每一趟的范围中最// 为什么要加上>0判断？每次不是说堆顶一定是最大值吗？没错，// 但是，由于len的范围不断地缩小，导致某些特殊的序列出现异常// 比如说，5, 3, 8, 6, 4序列，当调整i=1时，已经调整为3,4,5
9 4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 7
// 但是导致了a[i]与a[0]交换，由于变成了4,3,5,6,8反而变成无if(a[0]>a[i]){
int temp = a[0];
a[0] = a[i];
a[i] = temp;
}
// 范围变成为：
// 0...len-1
// 0...len-1-1
// 0...1 // 结束
// 其中，0是堆顶，每次都是找出在指定的范围内比堆顶还大的元素adjustMaxHeap(a,i - 1,0);
}
}
基于最小堆实现降序排序
1
2 // 初始化堆
3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1void initHeap(int a[],int len){
// 从完全二叉树最后一个非子节点开始
// 在数组中第一个元素的索引是0
// 第n个元素的左孩子为2n+1，右孩子为2n+2，
// 最后一个非子节点位置在(n - 1) / 2
for(int i = (len - 1) / 2;i>= 0; --i){
adjustMinHeap(a,len,i);
}
}
void adjustMinHeap(int a[],int len,int parentNodeIndex){ // 若只有一个元素，那么只能是堆顶元素，也没有必要再排序了if(len<= 1){
return;
}
// 记录比父节点大的左孩子或者右孩子的索引
int targetIndex = -1;
// 获取左、右孩子的索引
int leftChildIndex = 2 * parentNodeIndex + 1;
int rightChildIndex = 2 * parentNodeIndex + 2;
7
1 8 1 9
2 0 2 1 2 2 2
3 2
4 2
5 2
6 2
7 2// 没有左孩子
if(leftChildIndex>= len){
return;
}
// 有左孩子，但是没有右孩子
if(rightChildIndex>= len){
targetIndex = leftChildIndex;
}
// 有左孩子和右孩子
else{
// 取左、右孩子两者中最上的一个
targetIndex = a[leftChildIndex] // 只有孩子比父节点的值还要小，才需要交换 if(a[targetIndex] int temp = a[targetIndex]; a[targetIndex] = a[parentNodeIndex]; a[parentNodeIndex] = temp; 8 2 9 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 // 交换完成后，有可能会导致a[targetIndex]结点所形成的子树不// 若不满足堆的条件，则调整之使之也成为堆 adjustMinHeap(a,len,targetIndex); } } void heapSort(int a[],int len){ if(len<= 1){ return; } // 初始堆成无序最小堆 initHeap(a,len); for(int i = len - 1;i>0; --i){ // 将当前堆顶元素与最后一个元素交换，保证这一趟所查找到的堆顶// 注意：这里所说的最后不是a[len - 1]，而是每一趟的范围中最// 为什么要加上>0判断？每次不是说堆顶一定是最小值吗？没错，// 但是，由于len的范围不断地缩小，导致某些特殊的序列出现异常// 比如说，5, 3, 8, 6, 4序列，当调整i=1时，已经调整为3,4,5 9 4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 7 4 8 4 9 5 // 但是导致了a[i]与a[0]交换，由于变成了4,3,5,6,8反而变成无if(a[0] int temp = a[0]; a[0] = a[i]; a[i] = temp; } // 范围变成为： // 0...len-1 // 0...len-1-1 // 0...1 // 结束 // 其中，0是堆顶，每次都是找出在指定的范围内比堆顶还小的元素adjustMinHeap(a,i - 1,0); } } 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 5 9 6 0 6 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 6 9 7 0 7 1 7 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7 8 7 9 8 0 8 1 8 2 8 8 4 C语言版测试大家可以测试一下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 // int a[] = {5, 3, 8, 6, 4}; int a[] = {89,-7,999,-89,7,0,-888,7,-7}; heapSort(a,sizeof(a) / sizeof(int)); for(int i = 0;i } Swift版实现 基于最大堆实现升序排序 1 2 funcinitHeap(inout a: [Int]){ 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 for vari = (a.count - 1) / 2;i>= 0; --i{ adjustMaxHeap(&a,len: a.count,parentNodeIndex: i) } } funcadjustMaxHeap(inout a: [Int],len: Int,parentNodeIndex: // 如果len<= 0，说明已经无序区已经缩小到0 guard len>1else{ return } // 父结点的左、右孩子的索引 let leftChildIndex = 2 * parentNodeIndex + 1 // 如果连左孩子都没有，一定没有右孩子，说明已经不用再往下了guard leftChildIndex return } let rightChildIndex = 2 * parentNodeIndex + 2 // 用于记录需要与父结点交换的孩子的索引 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 var targetIndex = -1 // 若没有右孩子，但有左孩子，只能选择左孩子 if rightChildIndex>len{ targetIndex = leftChildIndex }else{ // 左、右孩子都有，则需要找出最大的一个 targetIndex = a[leftChildIndex]>a[rightChildIndex]?lef } // 只有孩子比父结点还要大，再需要交换 if a[targetIndex]>a[parentNodeIndex]{ let temp = a[targetIndex] a[targetIndex] = a[parentNodeIndex] a[parentNodeIndex] = temp // 由于交换后，可能会破坏掉新的子树堆的性质，因此需要调整以a 满足堆的性质 adjustMaxHeap(&a,len: len,parentNodeIndex: targetIndex } } 堆排序——C#实现 一算法描述 堆排序（Heap Sort）是利用一种被称作二叉堆的数据结构进行排序的排序算法。 二叉堆在内部维护一个数组，可被看成一棵近似的完全二叉树，树上每个节点对应数组中的一个元素。除最底层外，该树是满的。 二叉堆中，有两个与所维护数组相关的属性。Length表示数组的元素个数，而HeapSize则表示二叉堆中所维护的数组中的元素的个数（并不是数组中的所有元素都一定是二叉堆的有效元素）。因此，根据上述定义有： 0 = HeapSize = Length。 二叉堆可分为最大堆和最小堆两种类型。在最大堆中，二叉树上所有的节点都不大于其父节点，即 A[Parent(i)] = A[i]。最小堆正好相反：A[Parent(i)] = A[i]。 为维护一个二叉堆是最大（小）堆，我们调用一个叫做MaxHeapify （MinHeapify）的过程。以MaxHeapify，在调用MaxHeapify时，先假定根节点为Left(i)和Right(i)的二叉树都是最大堆，如果A[i]小于其子节点中元素，则交换A[i]和其子节点中的较大的元素。但这样一来，以被交换的子节点为根元素的二叉堆有可能又不满足最大堆性质，此时则递归调用MaxHeapify方法，直到所有的子级二叉堆都满足最大堆性质。如下图所示： 因为在调用MaxHeapify（MinHeapify）方法使根节点为A[i]的 二叉堆满足最大（小）堆性质时我们有其左右子堆均已满足最大（小）堆性质这个假设，所以如果我们在将一个待排序的数组构造成最大（小）堆时，需要自底向上地调用 MaxHeapify（MinHeapify）方法。 在利用最大堆进行排序时，我们先将待排序数组构造成一个最大堆，此时A[0]（根节点）则为数组中的最大元素，将A[0]与A[n - 1]交换，则把A[0]放到了最终正确的排序位置。然后通过将HeapSize 减去1，将（交换后的）最后一个元素从堆中去掉。然后通过MaxHeapify方法将余下的堆改造成最大堆，然后重复以上的交换。重复这一动作，直到堆中元素只有2个。则最终得到的数组为按照升序排列的数组。 二算法实现 1 注意到在C#中数组的起始下标为0，因此，计算一个给定下标的节点的父节点和左右子节点时应该特别小心。 private static int Parrent(int i) return (i - 1) - 2; private static int Left(int i) return 2 * i + 1; private static int Right(int i) return 2 * i + 2; 2 算法的核心部分是MaxHeapify（MinHeapify）方法，根据算法描述中的说明，一下代码分别实现了对整数数组的最大堆化和最小堆化方法，以及一个泛型版本。 算法复杂度分析 算法与程序设计2010-08-30 20:47:10 阅读13 评论0 字号：大中小 订阅 首先接触" 算法复杂度"这个术语是在数据结构这门课程中。数据结构主要是讲如何在计算机中存储.组织数据，对于相同的存储.组织数据方式，往往又有不同的实现方式(即算法)。对于精心实现的算法，往往可以带来更高的运行和存储上的效率，而评价一个实现方式(算法)是否高效就是通过" 算法复杂度"来评定的。目前算法的评定主要是从时间和空间上来评定，毕竟我们对计算机关心的一个是运行时间，另一个就是消耗的存储空间。从时间上评定算法的优劣称为"时间复杂度"，自然，从空间上评定算法的优劣就称为"空间复杂度"。 一.时间复杂度: 一个算法执行所用的时间，理论上讲是不能通过计算得出来的，因为它受多方面的影响，比如说不同的硬件，相同的算法在不同的硬件机器上执行，所消耗的时间是不同的。即使是在同一台机器上，一个算法在不同的时间执行，所消耗的时间也是不同的(当某个时刻计算机系统待处理的任务比较多时，这个时刻算法执行消耗的时间相对于计算机系统待处理任务较少时，所用的时间可能会多些)。我们使用"时间复杂度"并不是为了计算算法执行所消耗的时间，而是用于评定不同的算法之间在时间成本上，那个消耗的时间理论上少些，那个多些。背后的原理是这样的:如果有两个算法A,B，假如它们实现的功能都是在一个相同长度的数组内查找符合条件的一个元素位置。经过"时间复杂度"的评定，算法A 在时间成本上比算法B消耗的时间要少。那么在实际运行中算法A的执行应该会比算法B快。请注意我使用了"应该"这个词语，毕竟任何情况都有特殊的时候，不是吗？但毕竟特殊的情况属于少数，大多数情况下还是正常的。所以请不要认为"算法复杂度"是属于理论的东西，没有什么实际的意义。它在评定算法优劣上占有非常重要的地位。 讨论时间复杂度时，不得依次说明下面几个术语所表达的意思，当对这些术语背后表达的意思明白过后，"时间复杂度"也自然而然的明白了。 1.算法消耗时间. 一个算法执行所消耗的时间= 算法中所有语句执行的时间之和。 如果我们独立机器的软，硬件。假定语句执行一次所消耗的时间一样，并把语 数据结构课程设计设计说明书 内部堆排序算法的实现 学生姓名金少伟 学号1121024029 班级信管1101 成绩 指导教师曹阳 数学与计算机科学学院 2013年3月15日 课程设计任务书 2012—2013学年第二学期 课程设计名称：数据结构课程设计 课程设计题目：内部堆排序算法的实现 完成期限：自2013年3 月4日至2013年3 月15 日共 2 周 设计内容： 堆排序（heap sort）是直接选择排序法的改进，排序时，需要一个记录大小的辅助空间。n个关键字序列K1，K2，…，Kn称为堆，当且仅当该序列满足如下性质(简称为堆性质)：ki≤K2i且ki≤K2i+1 或(2)Ki≥K2i且ki≥K2i+1(1≤i≤ n) 若将此序列所存储的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉树的存储结构，则堆实质上是满足如下性质的完全二叉树：树中任一非叶结点的关键字均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在)结点的关键字。（即如果按照线性存储该树，可得到一个不下降序列或不上升序列）。 本课程设计中主要完成以下内容： 1.设计堆排序算法并实现该算法。 2.对堆排序的时间复杂度及空间复杂度进行计算与探讨。 3.寻找改进堆排序的方法。 基本要求如下： 1.程序设计界面友好； 2.设计思想阐述清晰； 3.算法流程图正确； 4.软件测试方案合理、有效。指导教师：曹阳教研室负责人：申静 课程设计评阅 摘要 堆排序是直接选择排序法的改进。本课设以VC++6.0作为开发环境，C语言作为编程语言，编程实现了堆排序算法。程序运行正确，操作简单，易于为用户接受。 关键词：堆排序；C语言；时间复杂度 算法的含义 算法是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。 特征 一个算法应该具有以下六个重要的特征： 算法可以使用自然语言、伪代码、流程图等多种不同的方法来描述。 1、有限性 算法的有穷性是指算法必须能在执行有限个步骤之后终止； 2、确切性 算法的每一步骤必须有确切的定义； 3、输入 一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件； 4、输出一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的； 算法复杂度分析 通常一个算法的复杂度是由其输入量决定的，随着输入的增加，复杂度越大。一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑。 方法: 时间复杂度 （1）算法耗费的时间和语句频度 一个算法所耗费的时间=算法中每条语句的执行时间之和 每条语句的执行时间=语句的执行次数(即频度(Frequency Count))×语句执行一次所需时间算法转换为程序后，每条语句执行一次所需的时间取决于机器的指令性能、速度以及编译所产生的代码质量等难以确定的因素。 若要独立于机器的软、硬件系统来分析算法的时间耗费，则设每条语句执行一次所需的时间均是单位时间，一个算法的时间耗费就是该算法中所有语句的频度之和。 （2）问题规模和算法的时间复杂度 算法求解问题的输入量称为问题的规模(Size),一般用一个整数表示。 矩阵乘积问题的规模是矩阵的阶数。 一个图论问题的规模则是图中的顶点数或边数。 一个算法的时间复杂度(Time Complexity, 也称时间复杂性)T(n)是该算法的时间耗费，是该算法所求解问题规模n的函数。当问题的规模n趋向无穷大时，时间复杂度T(n)的数量级(阶)称为算法的渐进时间复杂度。 （3）渐进时间复杂度评价算法时间性能 主要用算法时间复杂度的数量级(即算法的渐近时间复杂度)评价一个算法的时间性能。 空间复杂度 与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。记作: S(n)=O(f(n)) 算法执行期间所需要的存储空间包括3个部分： ·算法程序所占的空间； 堆排序算法的基本思想及算法实现示例 堆排序 1、堆排序定义 n个关键字序列Kl，K2，…，Kn称为堆，当且仅当该序列满足如下性质(简称为堆性质)： (1) ki≤K2i且ki≤K2i+1 或(2)Ki≥K2i且ki≥K2i+1(1≤i≤ ) 若将此序列所存储的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉树的存储结构，则堆实质上是满足如下性质的完全二叉树：树中任一非叶结点的关键字均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在)结点的关键字。 【例】关键字序列(10，15，56，25，30，70)和(70，56，30，25，15，10)分别满足堆性质(1)和(2)，故它们均是堆，其对应的完全二叉树分别如小根堆示例和大根堆示例所示。 2、大根堆和小根堆 根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最小者的堆称为小根堆。 根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最大者，称为大根堆。 注意： ①堆中任一子树亦是堆。 ②以上讨论的堆实际上是二叉堆(Binary Heap)，类似地可定义k叉堆。 3、堆排序特点 堆排序(HeapSort)是一树形选择排序。 堆排序的特点是：在排序过程中，将R[l..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系【参见二叉树的顺序存储结构】，在当前无序区中选择关键字最大(或最小)的记录。 4、堆排序与直接插入排序的区别 直接选择排序中，为了从R[1..n]中选出关键字最小的记录，必须进行n-1次比较，然后在R[2..n]中选出关键字最小的记录，又需要做n-2次比较。事实上，后面的n-2次比较中，有许多比较可能在前面的n-1次比较中已经做过，但由于前一趟排序时未保留这些比较结果，所以后一趟排序时又重复执行了这些比较操作。 堆排序可通过树形结构保存部分比较结果，可减少比较次数。5、堆排序 堆排序利用了大根堆(或小根堆)堆顶记录的关键字最大(或最小)这一特征，使得在当前无序区中选取最大(或最小)关键字的记录变得简单。 （1）用大根堆排序的基本思想 堆排序 堆排序是利用堆的性质进行的一种选择排序，下面先讨论一下堆。 1.堆 堆实际上是一棵完全二叉树，其任何一非叶节点满足性质： Key[i]<=key[2i+1]&&Key[i]<=key[2i+2]或者Key[i]>=Key[2i+1]&&key>=key[2i+2] 即任何一非叶节点的关键字不大于或者不小于其左右孩子节点的关键字。 堆分为大顶堆和小顶堆，满足Key[i]>=Key[2i+1]&&key>=key[2i+2]称为大顶堆，满足Key[i]<= key[2i+1]&&Key[i]<=key[2i+2]称为小顶堆。由上述性质可知大顶堆的堆顶的关键字肯定是所有关键字中最大的，小顶堆的堆顶的关键字是所有关键字中最小的。 2.堆排序的思想 利用大顶堆(小顶堆)堆顶记录的是最大关键字(最小关键字)这一特性，使得每次从无序中选择最大记录(最小记录)变得简单。 其基本思想为(大顶堆)： 1)将初始待排序关键字序列(R1,R2....Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区； 2)将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时得到新的无序区(R1,R2,......Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2...n-1]<=R[n]; 3)由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R1,R2,......Rn-1)调整为新堆，然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2....Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成。 操作过程如下： 1)初始化堆：将R[1..n]构造为堆； 2)将当前无序区的堆顶元素R[1]同该区间的最后一个记录交换，然后将新的无序区调整为新的堆。 因此对于堆排序，最重要的两个操作就是构造初始堆和调整堆，其实构造初始堆事实上也是调整堆的过程，只不过构造初始堆是对所有的非叶节点都进行调整。 下面举例说明： 给定一个整形数组a[]={16,7,3,20,17,8}，对其进行堆排序。 首先根据该数组元素构建一个完全二叉树，得到 算法与数据结构程设计报告 一．设计题目： 堆排序的算法 二．运行环境： 1、硬件：计算机 2、软件：Microsoft Visual C++6.0 三．目的和意义： 目的：创建一个大堆，按从大到小顺序输出堆元素，实现堆排序。 意义：利用堆排序，即使在最坏情况下的时间复杂度也是O(nlog2n)，相对于快速排序来说，时间复杂度小，这是堆排序的最大优点，可用于对若干元素进行排序，加快排序速度。 四．算法设计的基本思想： 堆排序算法设计基本思想： 堆排序利用了大根堆堆顶记录的关键字最大这一特征，使得在当前无序区中选取最大关键字的记录变得简单。先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区。再将关键字最大的记录R[1](即堆顶)和无序区的最后一个记录r[n]交换，由此得到新的无序区r[1..n-1]和有序区r[n]，且满足r[1..n-1].keys≤r[n].key。由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区r[1..n-1]调整为堆。然后再次将r[1..n-1]中关键字最大的记录r[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区r[1..n-2]和有序区r[n-1..n]，且仍满足关系r[1..n-2].keys≤r[n-1..n].keys，同样要将r[1..n-2]调整为堆。直到无序区只有一个元素为止. . . 流程图3：打印数组函数print() 六．算法设计分析： 性能分析：堆排序的时间主要由建立初始堆和不断重复建堆这两部分的时间开销构成,它们均是通过调用Heapify实现的。其中：建立初始堆时，总共需进行的关键字比较次数≤ 4n =O(n) ;排序过程中进行n-1次重建堆所进行的总比较次数不超过下式：2*(└ log2(n-1) ┘+└ log2(n-2) ┘+…+ └ log22 ┘) < 2n └ log2n ┘=O(n log2n)因此堆排序总的时间复杂度是 O(n+ n log2n)= O(n log2n)。堆排序在最坏情况下的时间复杂度也是O(nlog2n)，相对于快速排序来说，这是堆排序的最大优点。另外，堆排序仅需一个记录大小供交换用的辅助空间。由于建初始堆所需的比较次数较多，所以堆排序不适宜于记录较少的文件，但对n较大的文件还是很有效的。堆排序是就地排序，辅助空间为O(1)，它是不稳定的排序方法。 堆的描述：堆排序(HeapSort)是一树形选择排序。堆是对基于数组的树的重要应用场合之一。它是节点间具有层次次序关系的完全二叉树。其中，父节点值大于或等于其孩子节点值的，叫“最大堆（maximum heap）”;父节点值小于或等于孩子节点值的，叫“最小堆（minimum heap）”.在最大堆中，根中的元素值最大；在最小堆中，根中的元素值最小。堆排序的特点是：在排序过程中，将R[l..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系，在当前无序区中选择关键字最大(或最小)的记录。 从算法描述来看，堆排序需要两个过程，一是建立堆，二是堆顶与堆的最后一个元素交换位置。所以堆排序有两个函数组成。一是建堆的渗透函数，二是反复调用渗透函数实现排序的函数。 堆的存储特点：在这里，讨论作为顺序表存储的堆。它是按某种次序将一系列数据以完全二叉树形式存放的一种表。它要求堆中的节点的值都大于或等于其孩子节点的值。 按照这种存储方式，可知第i个元素的左右儿子分别是第2i和第2i+1个元素，而它的父亲节点是第i/2个元素。由于父亲节点和儿子节点具有这样的顺序关系，所以可以方便地由父亲节点找到儿子节点，反之亦然。 可见，这种存储方式大大节省了存储空间，高效快速。 堆的相关操作：作为抽象表结构，堆允许增加和删除表项。插入过程不用假定新表项占有一个特定的位置而只需维持堆顺序。但是删除操作总是删去表中的最大项（根）。堆可以用于那些客户程序想直接访问最大（小）元素的场合。作为表，堆并不提供Find操作，而对表的直接访问是只读的。所有的堆处理算法都有责任更新树和维持堆顺序。 1.建堆：数组具有对应的树表示形式。一般情况下，树并不满足堆的条件。通过重新排列元素，可以建立一棵“堆化”的树。 2.插入一个元素：新元素被加入到表中，随后树被更新以恢复堆次序。例如，下面的步骤将15加入到表中。 3.删除一个元素：删除总是发生在根节点处。用表中的最后一个元素来填补空缺位置，结果树被更新以恢复堆条件。 在堆实现时我们是采用数组来存储堆的完全二叉树表示，并且用一种有效的算法来保证对堆的所有操作不破坏堆的性质。这种表示的主要问题在于数组的大小需要事先确定，这使得对堆的大小有了一个初始的限定。在堆中数据增长到 数据结构时间复杂度的计算 for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) for(k=1;k<=j;k++) x++; 它的时间复杂度是多少？ 自己计算了一下，数学公式忘得差不多了，郁闷； （1）时间复杂性是什么？ 时间复杂性就是原子操作数，最里面的循环每次执行j次，中间循环每次执行 a[i]=1+2+3+...+i=i*(i+1)/2次，所以总的时间复杂性=a[1]+...+a[i]+..+a[n]; a[1]+...+a[i]+..+a[n] =1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+n) =1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+...+n*(n-(n-1)) =n+2n+3n+...+n*n-(2*1+3*2+4*3+...+n*(n-1)) =n(1+2+...+n)-(2*(2-1)+3*(3-1)+4*(4-1)+...+n*(n-1)) =n(n(n+1))/2-[(2*2+3*3+...+n*n)-(2+3+4+...+n)] =n(n(n+1))/2-[(1*1+2*2+3*3+...+n*n)-(1+2+3+4+...+n)] =n(n(n+1))/2-n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2 所以最后结果是O(n^3)。 【转】时间复杂度的计算 算法复杂度是在《数据结构》这门课程的第一章里出现的，因为它稍微涉及到一些数学问题，所以很多同学感觉很难，加上这个概念也不是那么具体，更让许多同学复习起来无从下手，下面我们就这个问 题给各位考生进行分析。 首先了解一下几个概念。一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。 当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中 频度最大的语句频度。 此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。 排序算法比较 主要内容： 1)利用随机函数产生10000个随机整数，对这些数进行多种方法排序。 2）至少采用4种方法实现上述问题求解（可采用的方法有插入排序、希尔排序、起泡排序、快速排序、选择排序、堆排序、归并排序），并把排序后的结功能果保存在不同的文件里。 3）给出该排序算法统计每一种排序方法的性能（以运行程序所花费的时间为准进行对比），找出其中两种较快的方法。 程序的主要功能： 1.随机数在排序函数作用下进行排序 2.程序给出随机数排序所用的时间。 算法及时间复杂度 （一）各个排序是算法思想： （1）直接插入排序：将一个记录插入到已排好的有序表中，从而得到一个新的，记录数增加1的有序表。 （2）冒泡排序：首先将第一个记录的关键字和第二个记录的关键字进行比较，若为逆序，则将两个记录交换，然后比较第二个记录和第三个记录的关键字。依此类推，直到第N-1和第N个记录的 关键字进行过比较为止。上述为第一趟排序，其结果使得关键字的最大纪录被安排到最后一个记录的位置上。然后进行第二趟起泡排序，对前N-1个记录进行同样操作。一共要进行N-1趟起泡排序。 （3）快速排序：通过一趟排序将待排记录分割成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分记录的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，已达到整个序列有序。 （4）选择排序：通过N-I次关键字间的比较，从N-I+1个记录中选出关键字最小的记录，并和第I（1<=I<=N）个记录交换。 时间复杂度分析 排序算法最差时间时间复杂度是否稳定？ 插入排序O(n2) O(n2) 稳定冒泡排序O(n2) O(n2) 稳定快速排序O(n2) O(n*log n) 不稳定 2 选择排序O(n2) O(n2) 稳定 算法的时间复杂度和空间复杂度-总结通常，对于一个给定的算法，我们要做两项分析。第一是从数学上证明算法的正确性，这一步主要用到形式化证明的方法及相关推理模式，如循环不变式、数学归纳法等。而在证明算法是正确的基础上，第二部就是分析算法的时间复杂度。算法的时间复杂度反映了程序执行时间随输入规模增长而增长的量级，在很大程度上能很好反映出算法的优劣与否。因此，作为程序员，掌握基本的算法时间复杂度分析方法是很有必要的。 算法执行时间需通过依据该算法编制的程序在计算机上运行时所消耗的时间来度量。而度量一个程序的执行时间通常有两种方法。 一、事后统计的方法 这种方法可行，但不是一个好的方法。该方法有两个缺陷：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，必须先依据算法编制相应的程序并实际运行；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优势。 二、事前分析估算的方法 因事后统计方法更多的依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优劣。因此人们常常采用事前分析估算的方法。 在编写程序前，依据统计方法对算法进行估算。一个用高级语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素： (1). 算法采用的策略、方法；(2). 编译产生的代码质量；(3). 问题的输入规模；(4). 机器执行指令的速度。 一个算法是由控制结构（顺序、分支和循环3种）和原操作（指固有数据类型的操作）构成的，则算法时间取决于两者的综合效果。为了便于比较同一个问题的不同算法，通常的做法是，从算法中选取一种对于所研究的问题（或算法类型）来说是基本操作的原操作，以该基本操作的重复执行的次数作为算法的时间量度。 1、时间复杂度 （1）时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。 （2）时间复杂度在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n))为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。 算法的时间复杂度 Prepared on 22 November 2020 时间复杂度：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数，T(n)称为这一算法的“时间复杂度”。渐近时间复杂度：当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂度”。 当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。 此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。 常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、对数阶 O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)。 下面我们通过例子加以说明，让大家碰到问题时知道如何去解决。 1、设三个函数f,g,h分别为 f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^+5000nlgn 请判断下列关系是否成立： （1） f(n)=O(g(n)) （2） g(n)=O(f(n)) （3） h(n)=O(n^ （4） h(n)=O(nlgn) 这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n))，这里的"O"是数学符号，它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤Cf(n)。"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0的常数。这么一来，就好计算了吧。 ◆ (1)成立。题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。 ◆（2）成立。与上同理。 ◆（3）成立。与上同理。 ◆（4）不成立。由于当n→∞时n^比nlgn递增的快，所以h(n)与nlgn的比值不是常数，故不成立。 2、设n为正整数，利用大"O"记号，将下列程序段的执行时间表示为n的函数。 (1) i=1; k=0 while(i 实验一算法的时间复杂度 一、实验目的与要求 熟悉C/C++语言的集成开发环境； 通过本实验加深对算法分析基础知识的理解。 软件环境：操作系统：windows7 旗舰版 集成开发环境：visual studio 2010 旗舰版 硬件环境：处理器：因特尔 Core i3 M 380 内存： 2GB 二、实验内容: 掌握算法分析的基本方法，并结合具体的问题深入认识算法的时间复杂度分析。 三、实验题 定义一个足够大的整型数组，并分别用起泡排序、简单选择排序、快速排序和归并排序对数组中的数据进行排序（按从小到大的顺序排序），记录每种算法的实际耗时，并结合数据结构中的知识对算法的时间复杂度分析进行说明。实验数据分两种情况： 1、数组中的数据随机生成； 2、数组中的数据已经是非递减有序。 四、实验步骤 理解算法思想和问题要求； 编程实现题目要求； 上机输入和调试自己所编的程序； 验证分析实验结果； 整理出实验报告。 五、实验程序 #include<> #include<> #include 由算法时间复杂度表分析，起泡排序在最好情况下时间性能好，最坏情况和平均情况和选择排序一样，选择排序的时间性能都不高，均为O(n２)，根据平均情况来看，快速排序和归并排序的时间性能一样，且最坏情况时归并排序优于快速排序。 对于随机数组序列，数组大小为10000，8000，5000时候，归并排序算法执行时间和快速排序时间都相对较短，简单选择排序缓慢，而起泡排序则是最耗时的。但是当数组由10000变到5000时，归并排序的时间性能变化不大，而快速排序时间性能提高很多，起泡排序时间性能下降慢，所以起泡排序在随机序列中的性能不高。 对于非递减数组序列，起泡排序时间消耗为均为0（0不代表没耗时，只是CPU处理速度太快，没法显示更精确的时间），而其他的快速排序，选择排序，归并排序和随机数组序列情况接近。所以起泡排序在非递减序列中的时间性能高。 基本思想 堆的定义： n个关键字序列Kl，K2，…，Kn称为堆，当且仅当该序列满足如下性质(简称堆性质)： (1) ki≤K2i且ki≤K2i+1 或(2)Ki≥K2i且ki≥K2i+1(1≤i≤FLOOR(n/2)) 若将此序列所存储的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉树的存储结构，则堆实质上是满足如下性质的完全二叉树：树中任一非叶结点的关键字均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在)结点的关键字。 根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最小者的堆称为小 根堆。 根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最大者，称为大根堆。 用大根堆排序的基本思想： (1) 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区; (2) 再将关键字最大的记录R[1](即堆顶)和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key; (3) 由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。 排序过程 假设待排序数组为array = {94,12,34,76,26,9,0,37,55,76,37,5,68,83,90,37,12,65,76,49}，数组大小为20。 （一）初始建堆 首先执行的初始建堆（在建堆的过程中需要调整堆）。过程如下： 1、求出当前堆中最后一个存在孩子结点的索引 这里，把数组array看做是一棵完全二叉树，这样数组每个索引位置上的元素都对应到二叉树中的结点，如图所示： 其中需要在这棵树中找到最后一个有孩子最大的一个结点的索引： pos = (array.length-1)/2 = (20-1)/2 = 9 也就是索引为9的array[9] = 76，由后至前层次遍历，从array[9]一直到array[0]，对初始堆进行调整。 2、对初始堆进行调整 如何计算时间复杂度 求解算法的时间复杂度的具体步骤是： ⑴ 找出算法中的基本语句； 算法中执行次数最多的那条语句就是基本语句，通常是最内层循环的循环体。 ⑵ 计算基本语句的执行次数的数量级； 只需计算基本语句执行次数的数量级，这就意味着只要保证基本语句执行次数的函数中的最高次幂正确即可，可以忽略所有低次幂和最高次幂的系数。这样能够简化算法分析，并且使注意力集中在最重要的一点上：增长率。 ⑶ 用大Ο记号表示算法的时间性能。 将基本语句执行次数的数量级放入大Ο记号中。 如果算法中包含嵌套的循环，则基本语句通常是最内层的循环体，如果算法中包含并列的循环，则将并列循环的时间复杂度相加。例如： for (i=1; i<=n; i++) x++; for (i=1; i<=n; i++) for (j=1; j<=n; j++) x++; 第一个for循环的时间复杂度为Ο(n)，第二个for循环的时间复杂度为 Ο(n2)，则整个算法的时间复杂度为Ο(n+n2)=Ο(n2)。 常见的算法时间复杂度由小到大依次为： Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2n)＜Ο(n!) Ο(1)表示基本语句的执行次数是一个常数，一般来说，只要算法中不存在循环 语句，其时间复杂度就是Ο(1)。Ο(log2n)、Ο(n)、Ο(nlog2n)、Ο(n2)和 Ο(n3)称为多项式时间，而Ο(2n)和Ο(n!)称为指数时间。计算机科学家普遍认为前者是有效算法，把这类问题称为P类问题，而把后者称为NP问题。 这只能基本的计算时间复杂度，具体的运行还会与硬件有关。 一、试验内容 内部排序算法效率比较平台的设计与实现 二、试验目的 问题描述：各种内部排序算法的时间复杂度分析结果只给出了算法执行时间的阶，或大概执行时间。试通过随机的数据比较几种主要的基本算法的关键字比较次数和关键字移动次数，以取得直观感受。 三、流程图 冒泡排序 否 是 否 否 开始 J=N-1 I=0 a[i]>a[i+1] a[i]与a[i+1]交换 I++ I=j J=J-1 J=0? 结束 简单选择排序 假 假 真 真 真 假 开 始 i 序 真 真 假 假 真 假 开始 i=2 i<=L.length L.r[i].key 序 假 真 真 真 假 假 真 假 开始 k=0 i<=L.length L.r[i].key 数据结构课程设计设计说明书 堆排序的算法的实现 学生姓名 学号 班级 成绩 指导教师 计算机科学与技术系 2011年3月4 日 数据结构课程设计评阅书 注：指导教师成绩60%，答辩成绩40%，总成绩合成后按五级制记入。 课程设计任务书 2010 —2011 学年第二学期 专业：学号：姓名： 课程设计名称：数据结构课程设计 设计题目：堆排序算法的实现 完成期限：自 2011年 2 月 19 日至 2011 年 3 月 4 日共 2 周 设计依据、要求及主要内容（可另加附页）： 堆实质上是满足如下性质的完全二叉树：树中任一非叶结点的关键字均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在)结点的关键字。如关键字序列(10，15，56，25，30，70)和(70，56，30，25，15，10)分别满足堆性质(1)和(2)，故它们均是堆。 大根堆和小根堆：根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最小者的堆称为小根堆，又称最小堆。根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最大者，称为大根堆，又称最大堆。注意：①堆中任一子树亦是堆。②以上讨论的堆实际上是二叉堆(Binary Heap)， 大根堆排序的基本思想： ① 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆,此堆为初始的无序区。 ② 再将关键字最大的记录R[1](即堆顶)和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key。 ③由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。 要求：（1）给出一个符合堆序列的一组数，能够建立大根堆和小根堆。 （2）界面友好，可操作性强。 （3）能够实现数据个数的变化输入，并建立相应的堆。 指导教师（签字）：教研室主任（签字）： 批准日期：年月日 几种常见算法的介绍及复杂度分析 1.基本概念 1.1 稳定排序(stable sort)和非稳定排序 稳定排序是所有相等的数经过某种排序方法后，仍能保持它们在排序之前的相对次序，。反之，就是非稳定的排序。比如：一组数排序前是a1,a2,a3,a4,a5，其中a2=a4，经过某种排序后为a1,a2,a4,a3,a5，则我们说这种排序是稳定的，因为a2排序前在a4的前面，排序后它还是在a4的前面。假如变成a1,a4,a2,a3,a5就不是稳定的了。 1.2 内排序( internal sorting )和外排序( external sorting) 在排序过程中，所有需要排序的数都在内存，并在内存中调整它们的存储顺序，称为内排序；在排序过程中，只有部分数被调入内存，并借助内存调整数在外存中的存放顺序排序方法称为外排序。 1.3 算法的时间复杂度和空间复杂度 所谓算法的时间复杂度，是指执行算法所需要的计算工作量。一个算法的空间复杂度，一般是指执行这个算法所需要的内存空间。 2.几种常见算法 2.1 冒泡排序（Bubble Sort） 冒泡排序方法是最简单的排序方法。这种方法的基本思想是，将待排序的元素看作是竖着排列的―气泡‖，较小的元素比较轻，从而要往上浮。在冒泡排序算法中我们要对这个―气泡‖序列处理若干遍。所谓一遍处理，就是自底向上检查一遍这个序列，并时刻注意两个相邻的元素的顺序是否正确。如果发现两个相邻元素的顺序不对，即―轻‖的元素在下面，就交换它们的位置。显然，处理一遍之后，―最轻‖的元素就浮到了最高位置；处理二遍之后，―次轻‖的元素就浮到了次高位置。在作第二遍处理时，由于最高位置上的元素已是―最轻‖元素，所以不必检查。一般地，第i遍处理时，不必检查第i高位置以上的元素，因为经过前面i-1遍的处理，它们已正确地排好序。 冒泡排序是稳定的，算法时间复杂度是O(n ^2)。 2.2 选择排序（Selection Sort） 选择排序的基本思想是对待排序的记录序列进行n-1遍的处理，第i遍处理是将L[i..n]中最小者与L[i]交换位置。这样，经过i遍处理之后，前i个记录的位置已经是正确的了。 选择排序是不稳定的，算法复杂度是O(n ^2 )。 2.3 插入排序（Insertion Sort） 插入排序的基本思想是，经过i-1遍处理后,L[1..i-1]己排好序。第i遍处理仅将L[i]插入L[1..i-1]的适当位置，使得L[1..i] 又是排好序的序列。要达到这个目的，我们可以用顺序比较的方法。首先比较L[i]和L[i-1]，如果L[i-1]≤ L[i]，则L[1..i]已排好序，第i遍处理就结束了；否则交换L[i]与L[i-1]的位置，继续比较L[i-1]和L[i-2]，直到找到某一个位置j(1≤j≤i-1)，使得L[j] ≤L[j+1]时为止。图1演示了对4个元素进行插入排序的过程，共需要(a),(b),(c)三次插入。直接插入排序是稳定的，算法时间复杂度是O(n ^2) 。 2.4 堆排序 堆排序是一种树形选择排序，在排序过程中，将A[n]看成是完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系来选择最小的元素。 堆排序是不稳定的，算法时间复杂度O(nlog n)。 2.5 归并排序 设有两个有序（升序）序列存储在同一数组中相邻的位置上，不妨设为A[l..m]，A[m+1..h]，将它们归并为一个有序数列，并存储在A[l..h]。 其时间复杂度无论是在最好情况下还是在最坏情况下均是O(nlog2n)。 数据结构实验报告 八种排序算法实验报告 一、实验容 编写关于八种排序算法的C语言程序，要求包含直接插入排序、希尔排序、简单选择排序、堆排序、冒泡排序、快速排序、归并排序和基数排序。 二、实验步骤 各种部排序算法的比较： 1.八种排序算法的复杂度分析（时间与空间）。 2.八种排序算法的C语言编程实现。 3.八种排序算法的比较，包括比较次数、移动次数。 三、稳定性，时间复杂度和空间复杂度分析 比较时间复杂度函数的情况： 时间复杂度函数O(n)的增长情况 所以对n较大的排序记录。一般的选择都是时间复杂度为O(nlog2n)的排序方法。 时间复杂度来说： (1)平方阶(O(n2))排序 各类简单排序:直接插入、直接选择和冒泡排序； (2)线性对数阶(O(nlog2n))排序 快速排序、堆排序和归并排序； (3)O(n1+§))排序,§是介于0和1之间的常数。 希尔排序 (4)线性阶(O(n))排序 基数排序，此外还有桶、箱排序。 说明： 当原表有序或基本有序时，直接插入排序和冒泡排序将大大减少比较次数和移动记录的次数，时间复杂度可降至O（n）； 而快速排序则相反，当原表基本有序时，将蜕化为冒泡排序，时间复杂度提高为O（n2）； 原表是否有序，对简单选择排序、堆排序、归并排序和基数排序的时间复杂度影响不大。 稳定性： 排序算法的稳定性:若待排序的序列中，存在多个具有相同关键字的记录，经过排序，这些记录的相对次序保持不变，则称该算法是稳定的；若经排序后，记录的相对次序发生了改变，则称该算法是不稳定的。 稳定性的好处：排序算法如果是稳定的，那么从一个键上排序，然后再从另一个键上排序，第一个键排序的结果可以为第二个键排序所用。基数排序就是这样，先按低位排序，逐次按高位排序，低位相同的元素其顺序再高位也相同时是不会改变的。另外，如果排序算法稳定，可以避免多余的比较； 稳定的排序算法：冒泡排序、插入排序、归并排序和基数排序 不是稳定的排序算法：选择排序、快速排序、希尔排序、堆排序堆 排 序 算 法
算法复杂度分析
内部堆排序算法的实现课程设计说明书
算法的含义及算法复杂度分析方法
堆排序算法的基本思想及算法实现示例
堆排序算法分析(C语言版)
堆排序
数据结构时间复杂度的计算
排序算法时间复杂度比较
算法的时间复杂度和空间复杂度-总结
算法的时间复杂度
算法的时间复杂度实验报告
堆排序思想
如何计算时间复杂度
数据结构：简单选择,直接插入,快速排序,冒泡排序希尔排序,堆排序算法比较平台
堆排序算法课程设计
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排序算法实验报告