江苏省涟水县第一中学2019届高二下学期数学(理)期末考试模拟试卷7

2018-2019学年高二下学期期末数学（理）复习7

一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位金

榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”!

置上）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。最新试卷多少汗水曾洒下，多

少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

1．若复数z 满足2i 1i z z -=+（其中i 为虚数单位），则z = ．1

3i 22

-+ 2．上午4节课，一个教师要上3个班级的课，每个班1节课，都安排在上午，若不能3节连上，这个教师的课有 种不同的排法．12

3.若从4名数学教师中任意选出2人，再把选出的2名教师任意分配到4个班级任教, 且每人任教2个班级,则不同的任课方案有 种（用数字作答）．36

4. 化简310

10

1021011039C C C +?++＝ （用数式表示）. 1410

-

5．设423401234(21)x a a x a x a x a x +=++++，则01234a a a a a -+-+= ． 1 6. 若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－213()a a += . 625 7．函数ln(1)y x x =-+的单调递减区间为 ． (1,0)- 8.某篮球运动员投中篮球的概率为2

3

，则该运动员“投篮3次至多投中1次”的概率 是 .(结果用分数表示)

27

7 9. 随机变量X 的概率分布如下:

X 1 2 3 4 P

0.2

0.3

p

0.3

则()E X = . 2.6.

10.已知离散型随机变量X 的分布列如右表． 若0)(=X E ，1)(=X V ，则a 、b 、c 的值依次 为 .

4

1,41,125 11.设矩阵5173???

???的逆矩阵为a b c d ??

????

, 则a b c d +++＝___ 0 12．观察不等式：1

1112

12??

≥，11111(1)()33224++≥， 1111111

(1)(),4353246

?++++≥，

由此猜测第n 个不等式为

*1111111(1)()()1321242n n n n n

++++++∈+-N ≥ 13．已知x x x f cos sin )(1+=,且'21()()f x f x =,'32()()f x f x =,…,)()('1x f x f n n -=,…

*(,2)n n ∈N ≥,则122011()()()44

4f f f πππ

++

+= .0

14．已知数列{}n a 满足11a =，11

()2

n n n a a -+=*(,2)n n ∈N ≥，令21222n T a a =?+?+

2n

n a +?，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得132n n n T a +-?= ．

1n +

二．解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤）

15.给定矩阵A ＝????

?? 1 2－1 4，B ＝??????53. (1)求A 的特征值λ1，λ2及对应特征向量α1，α2；(2)求A 4B .

解：(1)设A 的一个特征值为λ，

由题知????

??λ－1 －2 1 λ－4＝0，(λ－2)(λ－3)＝0，λ1＝2，λ2＝3，

当λ1＝2时，由?????? 1 2－1 4??????x y ＝2????

??

x y ，

得A 的属于特征值2的特征向量为α1＝????

??21， 当λ2＝3时，由?????? 1 2－1 4??????x y ＝3????

??

x y ，

得A 的属于特征值3的特征向量为α2＝????

??11. (2)由于B ＝??????53＝2??????21＋????

??11＝2α1＋α2， 故A 4B ＝A 4(2α1＋α2)＝2(24α1)＋(34

α2)＝32α1＋81α2＝??????6432＋??????8181＝????

??145113.

16.已知二项式41()2n x x

+

的展开式中，前三项的系数成等差数列．

（1）求n ；

（2）求展开式中的一次项；

（3）求展开式中所有项的二项式系数之和．

解：（1）前三项的系数为012

11C ,

C ,C 24

n n n , ………………………1分 由题设，得 02

111C C 2C 42n n n +?=??， ………………………2分

即2980n n -+=，解得n ＝8或n ＝1（舍去）． ………………………4分

（2）348418

8

41

1C ()

()C ()22r

r r

r

r r r T x x

x --+==, ………………………6分 令3414

r

-

=，得4r =. ………………………8分 所以展开式中的一次项为44

58135()28

T C x x ==

. ………………………10分 （3）∵012

88

8888C C +C +

+C 2256+==，

∴所有项的二项式系数和为256. ……………………14分

17. 一袋子中装着标有数字1,2,3的小球各2个，共6个球，现从袋子中任取3个小球，每

个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球的数字之和，求： （1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ.

解：（1）记“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件”为A ，

则111222

36

C C C 2().C 5P A == …………………………4分

（2）由题意ξ可能的取值为：4，5，6，7，8，且

(4)P ξ==212236110C C C =，(5)P ξ==211222223615C C C C C +=，1112223

62

(6)5C C C P C ξ===， (7)P ξ==122122223

615

C C C C C +=，(8)P ξ==1222361

10C C C =. 所以随机变量ξ的概率分布为：

ξ

4 5 6 7 8

P

1

10 15 25 15 110

…………………………10分

11211

4567861055510

E ξ=?

+?+?+?+?=. …………………………14分 18.如图，四棱锥S ABCD -的底面是矩形，SA ⊥底面ABCD ，1AB SA ==，2AD =，

且P 为BC 的中点．（1）求异面直线AP 与平面SPD 所成角的正弦值； （2）求二面角C SD P --的余弦值．

解：

C

D

A

B

S P

因为SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形， 所以,,AB AD AS 两两垂直，

以,,AB AD AS 所在直线为坐标原点建立如图所示的坐标系，………………1分 则各点坐标如下：

(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(0,0,1),(1,1,0)A B C D S P ……………………………2分

（1）(1,1,0)AP =，(1,1,0)PD =-，(0,2,1)SD =-，……………………………4分 设平面SPD 的一个法向量为1(1,,)n y z =， 由110,0n PD n SD ?=?=可得1,2y z ==，

平面SPD 的一个法向量为1(1,1,2)n =，……………………………7分 所以1222222

(1,1,2)(1,1,0)3

cos ,3

112110n AP ?<>=

=

++?++，…………………8分 则直线AP 与平面SPD 所成角的正弦值等于1cos ,n AP <>为

3

3

；…………9分 （2）(1,0,0)DC =，(0,2,1)SD =-，……………………………11分 设平面SPD 的一个法向量为2(,,2)n x y =， 由220,0n DC n SD ?=?=可得0,1x y ==，

平面SPD 的一个法向量为2(0,1,2)n =，……………………………14分 由（1）可知，平面SPD 的一个法向量为1(1,1,2)n =， 所以12222222

(1,1,2)(0,1,2)30

cos ,6

112012n n ?<>=

=

++?++，……………………15分 由图可知，二面角C SD P --为锐二面角，因此二面角C SD P --的余弦值为306

． …………………16分

19. （1）用二项式定理证明： 45322-+?+n n n ()

*∈N n 能被25整除；

（2）1

2

321

+<

?

?

? ??-n n （*,n N ∈且3≥n ）. 证明：

（1）1当1n =时，左边=25，显然成立. ……………2分

2当2n ≥时,45322-+?+n n n =4564-+?n n ……………………………3分

=()45154-++?n n

=()

0112214555554n n n n n n

n n n n C C C C C n ---?++???++++-…4分 =()

0213214255545454n n n n n

n

n n n n C C C C C n ----??++???++?+?+- =()

021*********n n n n

n n C C C n ---??++???++…………………………………7分 能被25整除……………………………………………………………………8分

（2）1

2

321

+<

?

?

?

??-n n （,*∈N n 且3≥n ）. 证明：要证12321

+<

?

?

?

??-n n 成立， 只需证2

1

231

+>

??

? ??-n n . ………………10分 当3n ≥时：

而1

1

21123--??

? ??+=??? ??n n =1

112

2111

01

212121------??? ???++??? ???+?+n n n n n n C C C

C

……13分

=2

1

21212111

2

2

1

+>

??

? ??++??? ???+-+--n C n n n ………………………15分 所以原不等式成立. ……………………………………………16分

20. 已知111

()1()23

f n n N n

*=+

+++

∈，()2(11)()g n n n N *=+-∈. (1)当n=1,2,3时，分别比较()f n 与()g n 的大小（直接给出结论）； (2)由(1)猜想()f n 与()g n 的大小关系，并证明你的结论.

解：（1）当1n =时， (1)1f =, (1)2(21)g =- ,(1)(1)f g > , 当2n =时，1

(2)12

f =+

,(2)2(31)g =-,(2)(2)f g >， 当3n =时，11(3)123

f =+

+,(3)2g =, (3)(3)f g > .--------------3分