数字逻辑-实验报告(二进制数比较,求平方,立方)

实验报告

学院：计算机科学学院专业：计算机应用技术2013年05 月24 日

（2）求一个2位二进制数的平方和立方。

②2位二进制数的立方

自然数平方数列和立方数列求和公式

自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？即： (1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 推导过程如下： 一. 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+... +n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 证明如下： (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1)

前n个自然数的平方和及证明

帕斯卡与前n 个自然数的平方和 十七世纪的法国数学家帕斯卡（Pascal B.，1623.6.19~1662.8.19）想出了一个新的很妙的方法能求出前n 个自然数的平方和。这个方法是这样的： 利用和的立方公式，我们有 （n ＋1）3＝n 3＋3n 2＋3n ＋1， 移项可得 （n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1， 此式对于任何自然数n 都成立。 依次把n ＝1,2，3，…，n －1，n 代入上式可得 23 －13＝3?12＋3?1＋1， 33 －23＝3?22＋3?2＋1， 43 －33＝3?32＋3?3＋1， …………………………… n 3－（n －1）3＝3（n －1）2＋3（n －1）＋1， （n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1， 把这n 个等式的左边与右边对应相加，则n 个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n ＋1）3 － 1；而n 个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n 个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n 个自然数的和，第三列是n 个1。因而我们得到 （n ＋1）3 －1＝3S n ＋ 2)1(3+n n ＋n ， 现在这里S n ＝12＋22＋…＋n 2。 对这个结果进行恒等变形可得 n 3＋3n 2＋3n ＝3S n ＋ 2)1(3+n n ＋n ， 2n 3＋6n 2＋6n ＝6S n ＋3n 2＋3n ＋2n 移项、合并同类项可得 6S n ＝2n 3＋3n 2＋n ＝n （n ＋1）（2n ＋1）， ∴S n ＝ 61n （n ＋1）（2n ＋1）， 即 12＋22＋32＋…＋n 2＝6 1n （n ＋1）（2n ＋1）。 这个方法把所要计算的前n 个自然数的平方和与已知的前n 个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。

100以内的平方数与立方数

平方表 平方根平方数平方根平方数平方根平方数平方根平方数 1 1 26 676 51 2601 76 5776 2 4 27 729 52 2704 77 5929 3 9 28 78 4 53 2809 78 6084 4 16 29 841 54 2916 79 6241 5 25 30 900 55 3025 80 6400 6 36 31 961 56 3136 81 6561 7 49 32 1024 57 3249 82 6724 8 64 33 1089 58 3364 83 6889 9 81 34 1156 59 3481 84 7056 10 100 35 1225 60 3600 85 7225 11 121 36 1296 61 3721 86 7396 12 144 37 1369 62 3844 87 7569 13 169 38 1444 63 3969 88 7744 14 196 39 1521 64 4096 89 7921 15 225 40 1600 65 4225 90 8100 16 256 41 1681 66 4356 91 8281 17 289 42 1764 67 4489 92 8464 18 324 43 1849 68 4624 93 8649 19 361 44 1936 69 4761 94 8836 20 400 45 2025 70 4900 95 9025 21 441 46 2116 71 5041 96 9216 22 484 47 2209 72 5184 97 9409 23 529 48 2304 73 5329 98 9604 24 576 49 2401 74 5476 99 9801 25 625 50 2500 75 5625 100 10000

自然数的和,平方和,立方和

For personal use only in study and research; not for commercial use 求：①自然数（一次方）的和，即：n ++++ 321 ②自然数平方（二次方）的和，即：2222321n ++++ ③自然数立方（三次方）的和，即：3333321n ++++ 求①式可用2)1(+n 来计算；求②式可用3)1(+n 来计算；求③式可用4)1(+n 来计算 ① ∵12)1(22++=+n n n ∴ 1121222+?+= …… 将以上等式两边相加得： ∴ n ++++ 3212 )1(+= n n ② ∵3)1(+n = 13323+++n n n ∴ 1131312233+?+?+= …… 3)1(+n = 13323+++n n n 将以上等式两边相加得： )321(32222n ++++? = 3)1(+n —?? ????++?+n n n 2)1(313 ∴ 2222321n ++++ = 6 )12)(1(++n n n ③ 用同样的方法，可得： 3333321n ++++ = 4)1(22+n n = 22)1(?? ? ??+n n 自然数的立方和等于自然数和的平方。 利用上面三个结论，我们就可以计算下面数列的和了。 ④ )321()321()21(1n +++++++++++ ∵n ++++ 3212)1(+=n n = n n 2 1212+

∴ 12 112112?+?= …… n ++++ 321 = n n 2 1212+ 将上面各式左右两边分别相加，得： )321()321()21(1n +++++++++++ = )321(2 12222n ++++ = ?? ? ??++++2)1(6)12)(1(21n n n n n = 6 )2)(1(++n n n ⑤ )1(433221+++?+?+?n n = 3 )2)(1(++n n n ⑥ )2)(1(543432321++++??+??+??n n n = 4)3)(2)(1(+++n n n n

最新常用自然数平方立方表

静安区2019学年第一学期教学质量检测 高三语文试卷2019.12 考生注意： 1．本场考试时间150分钟，满分150分。

2．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位。在试卷上作答一律不得分。 3．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题。 一积累应用10分 1．按要求填空。（5分） (1) ，尘满面，鬓如霜。（苏轼《·乙卯正月二十日夜记梦》） (2)纵豆蔻辞工，，难赋深情。（姜夔《扬州慢》） (3)本来是自己思念对方，却描写对方如何思念自己，有人将这种手法命名为叫“从 对面写起”；柳永《八声甘州·对潇潇暮雨洒江天》中运用这种手法的句子是：“，、”。 2．按要求选择。（5分） （1）在横线上填入合适的名句，最合适的一项是( )。（2分） 每一个人的人格都应受到尊重。自尊、自重，就意味着尊重他人，自主、自由，就意味着尊重他人的自由权利。我们常常发现，标榜者与者发生在一个人身上，唯命是听的人往往不负责任。与完全相反，宽以待己者往往严以对人。这正是因为自尊者尊重人，自由选择的人是负责的人，而又决不强人所难，自爱的人爱人，他们懂得。 ①摧眉折腰事权贵②己所不欲，勿施予人③不为五斗米折腰④躬自厚而薄责于人 A.③①②④ B.①③④② C.③①④② D.①③②④ (2)青年作者王俐平在一次座谈会上认识了《文学月刊》的编辑李格非老师，王俐平为了投稿和请教方便，主动加了李格非老师的微信。某日，王俐平将自己的短篇小说用微信发送给李格非老师，微信是这样写的：尊敬的李老师，奉上一篇小作，请您多加指教；如有可能发表在贵刊，将是我莫大的荣幸。李格非因为工作调动，不再担任该刊编辑，于是回复道：谢谢您的信任，很抱歉，我已调离编辑部。 下面是几位同学替王俐平拟定回复李老师的微信，最恰当的一项是（）。（3分）

1-100平方、立方表

1*1=1 2*2=4 3*3=9 4*4=16 5*5=25 6*6=36 7*7=49 8*8=64 9*9=81 10*10=100 11*11=121 12*12=144 13*13=169 14*14=196 15*15=225 16*16=256 17*17=289 18*18=324 19*19=361 20*20=400 21*21=441 22*22=484 23*23=529 24*24=576 25*25=625 26*26=676 27*27=729 28*28=784 29*29=841 30*30=900 31*31=961 32*32=1024 33*33=1089 34*34=1156 35*35=1225 36*36=1296 37*37=1369 38*38=1444 39*39=1521 40*40=1600 41*41=1681 42*42=1764 43*43=1849 44*44=1936 45*45=2025 46*46=2116 47*47=2209 48*48=2304 49*49=2401 50*50=2500 51*51=2601 52*52=2704 53*53=2809 54*54=2916 55*55=3025 56*56=3136 57*57=3249 58*58=3364 59*59=3481 60*60=3600 61*61=3721 62*62=3844 63*63=3969 64*64=4096 65*65=4225 66*66=4356 67*67=4489 68*68=4624 69*69=4761 70*70=4900 71*71=5041 72*72=5184 73*73=5329 74*74=5476 75*75=5625 76*76=5776 77*77=5929 78*78=6084 79*79=6241 80*80=6400 81*81=6561 82*82=6724 83*83=6889 84*84=7056 85*85=7225 86*86=7396 87*87=7569 88*88=7744 89*89=7921 90*90=8100 91*91=8281 92*92=8464 93*93=8649 94*94=8836 95*95=9025 96*96=9216 97*97=9409 98*98=9604 99*99=9801 100*100=10000 1——100的平方表

加减,平方,立方1-9次幂常用数据

判定个位数字规律： （1）2的1－9次方个位数字为：2－4－8－6依次循环； （2）3的1－9次方个位数字为：3－9－7－1依次循环； （3）4的1－9次方个位数字为：4－6依次循环； （4）5的任何（非0）次方个位数字均为5； （5）6的任何（非0）次方个位数字均为6； （7）7的1－9次方个位数字为：7－9－3－1依次循环； （8）8的1－9次方个位数字为：8－4－2－6依次循环； （9）9的1－9次方个位数字为：9－1依次循环。 （10）要判定一个数的个位数字是几，只需按照这个数的个位数字的n 次方除以4得出的余数即是这个数的个位数字在次方中的排序位置数字。（11）4的n次方，9的n次方只需除以2即可得出个位数字。 （12）1、5、6的n次方个位数字均为本身。

20以内加法. 5+ 6=11 6+ 6=12 4+ 7=11 5+ 7=12 6+ 7=13 7+ 7=14 3+ 8=11 4+ 8=12 5+ 8=13 6+ 8=14 7+ 8=15 8+ 8=16 2+ 9=11 3+ 9=12 4+ 9=13 5+ 9=14 6+ 9=15 7+ 9=16 8+ 9=17 9+ 9=18 . 20以内减法 11-2=911-3=811-4=711-5=611-6=511-7=411-8=311-9=2 12-3=912-4=812-5=712-6=612-7=512-8=412-9=3 13-4=913-5=813-6=713-7=613-8=513-9=4 14-5=914-6=814-7=714-8=614-9=5 15-6=915-7=815-8=715-9=6. 16-7=916-8=816-9=7. 17-8=917-9=8. 18-9=9. 19-10=9

自然数平方数列和立方数列求和公式

自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导即： (1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 推导过程如下： 一. 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 证明如下： (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1

自然数立方的规律研究

自然数立方的规律研究 我喜欢数学，因为在数学王国里有许多有趣的规律。上学期的一天，我在做正方体体积的计算练习，13=1、23=8、33=27、43=64、53=125……这些答案是否存在什么规律呢？于是我开始仔细地研究。 我把这些答案的各个位数上的数字相加，直到求出的和是个位数时，就发现了一定的规律，于是我列了一张表，如下： 我归纳一下得出这样的普遍规律：自然数n除以3，当余数=1，n3的各个位数上的数字相加，直到求出的和是个位数时，结果得1；当余数=2，n3的各个位数上的数字相加，直到求出的和是个位数时，结果得8；当余数=0，n3的各个位数上的数字相加，直到求出的和是个位数时，结果得9。 这只是偶然吗？后面的自然数立方也遵循这个规律吗？于是我

开始验证我发现的规律。 验证结果让我太高兴了，我立刻把这个发现告诉全家人，大家纷纷拿笔来计算，最后也都符合我发现的这个规律。我太自豪了，这可是我自己动脑筋思考和研究的结果，也许这还是个伟大的发现呢！妈妈笑着提醒我，“你再研究研究，为什么自然数立方会有这样的规律呢？” 对呀，为什么呢？于是，我又进入了新一轮的苦思冥想，经过几番挫折，我都没有成功，后来我逐个突破，先从余数是0的开始，这个自然数n就是3的倍数，即n=3x（x=1，2，3，……），那么， n3=27x3=9×3x3，也就是说这类自然数的立方一定是9的倍数，9的倍数各个位数之和一定是9的倍数，所以将各个位数上的数字相加，

直到求出的和是个位数时，结果一定是9。啊哈，我越来越接近成功了！ 再来看，当余数是1时，这个自然数n就是3的倍数加1，即n=3x+1（x=0，1，2，3，……），那么，n3=（3x+1）3=27x3+27x2+9x+1=9（3x3+3x2+x）+1，也就是说这类自然数的立方一定是9的倍数再加1，那么结果一定是9+1=10，1+0=1，哈哈，第二关闯关成功！ 最后看，当余数是2时，这个自然数n就是3的倍数减1，即n=3x-1（x=1，2，3，……），那么，n3=（3x-1）3=27x3-27x2+9x-1=9（3x3-3x2+x）-1，也就是说这类自然数的立方一定是9的倍数再减1，那么结果一定是9-1=8，哈哈，第三关闯关成功！耶！我兴奋地大叫并跳了起来。 学习数学真是一个快乐的过程，自然数立方的规律问题是我自己在平时学习中发现的，我联系所学的数学知识，仔细思考、归纳总结并想办法证明，让我体会到在数学海洋里遨游的无穷乐趣，我要是能掌握更多的数学知识，我一定会收获更多的快乐。 肖老师留言：下周一上交的是方案，类似于我昨天给你的样本那样简写即可。月底交的文章要详尽，可参考我刚才给你发的范文。

初中常用数的平方立方及开平方开立方表

精品文档 1—30 的平方 2 的1—10 次方 12 = 1 2 222= 484 21= 2 22 = 4 232= 529 22=4 32 = 9 242= 576 23=8 42 = 16 2 252= 625 24= 16 52 = 25 262= 676 25=32 62 = 36 272= 729 26= 64 72 = 49 282= 784 27= 128 82 = 64 2 292= 841 28= 256 92 = 81 2 302= 900 29= 512 102= 100 210 1024 11 2= 121 1—10 的立方 12 2= 144 13= 1 2 132= 169 23= 8 14 2= 196 33= 27 2 152= 225 43= 64 16 2= 256 53= 125 172= 289 63= 216 182= 324 73= 343 2 192= 361 383= 512 20 2= 400 393= 729 21 2= 441 103= 1000 精品文档 1欢迎。下载

1-20 平方根，1-10 立方根表 平方根VI= 1 V2 = 1.4142135623731 V3 = 1.73205080756888 V4 = 2 V5 = 2.23606797749979 V6 = 2.44948974278318 V7 = 2.64575131106459 V8 = 2.82842712474619 V9 = 3 V10 = 3.16227766016838 VII= 3.3166247903554 V12 = 3.46410161513775 V13 = 3.60555127546399 V14 = 3.74165738677394 V15 = 3.87298334620742 V16 = 4 V17 = 4.12310562561766 V18 = 4.24264068711928 V19 = 4.35889894354067 V20 = 4.47213595499958 立方根 3V1 = 1 3V2 = 1.25992104989487 3V3 = 1.44224957030741 3V4 = 1.5874010519682 3V5 = 1.7099759466767 3V6 = 1.81712059283214 3V7 = 1.91293118277239 3V8 = 2 3V9 = 2.0800838230519 3V10 = 2.15443469003188 2欢迎。下载

初中常用数的平方立方及开平方开立方表

1—30的平方 1 2= 1 22= 4 32= 9 42= 16 52= 25 62= 36 72= 49 82= 64 92= 81 102= 100 112= 121 122= 144 132= 169 142= 196 152= 225 162= 256 172= 289 182= 324 192= 361 202= 400 212= 441 222= 484 232= 529 242= 576 252= 625 262= 676 272= 729 282= 784 292= 841 302= 900 1—10的立方 13= 1 23= 8 33= 27 43= 64 53= 125 63= 216 73= 343 83= 512 93= 729 103＝1000 2的1—10次方 21= 2 22= 4 23= 8 24= 16 25= 32 26= 64 27= 128 28= 256 29= 512 210= 1024

1-20平方根，1-10立方根表 平方根 立方根 √1 = 1 √2 = 1.4142135623731 3√1 = 1 √3 = 1.73205080756888 3√2 = 1.25992104989487√4 = 2 3√3 = 1.44224957030741√5 = 2.23606797749979 3√4 = 1.5874010519682√6 = 2.44948974278318 3√5 = 1.7099759466767√7 = 2.64575131106459 3√6 = 1.81712059283214√8 = 2.82842712474619 3√7 = 1.91293118277239√9 = 3 3√8 = 2 √10 = 3.16227766016838 3√9 = 2.0800838230519√11 = 3.3166247903554 3√10 = 2.15443469003188√12 = 3.46410161513775 √13 = 3.60555127546399 √14 = 3.74165738677394 √15 = 3.87298334620742 √16 = 4 √17 = 4.12310562561766 √18 = 4.24264068711928 √19 = 4.35889894354067 √20 = 4.47213595499958

常用自然数平方立方标准表格.doc

常用自然数平方立方 平方立方 2 4 8 3 9 27 4 16 64 5 25 125 6 36 216 7 49 343 8 64 512 9 81 729 10 100 1000 11 121 1331 12 144 1728 13 169 2197 14 196 2744 15 225 3375 16 256 4096 17 289 4913 18 324 5832 19 361 6859 20 400 8000 21 441 9261 22 484 10648 23 529 12167 24 576 13824 25 625 15625 26 676 17576 27 729 19683 28 784 21952 29 841 24389

常用自然数平方立方 平方立方平方立方 2 4 8 16 256 4096 3 9 27 17 289 4913 4 16 64 18 324 5832 5 25 125 19 361 6859 6 36 216 20 400 8000 7 49 343 21 441 9261 8 64 512 22 484 10648 9 81 729 23 529 12167 10 100 1000 24 576 13824 11 121 1331 25 625 15625 12 144 1728 26 676 17576 13 169 2197 27 729 19683 14 196 2744 28 784 21952 15 225 3375 29 841 24389 常用自然数平方立方 平方立方平方立方 2 4 8 16 256 4096 3 9 27 17 289 4913 4 16 64 18 324 5832 5 25 125 19 361 6859 6 36 216 20 400 8000 7 49 343 21 441 9261 8 64 512 22 484 10648 9 81 729 23 529 12167 10 100 1000 24 576 13824 11 121 1331 25 625 15625 12 144 1728 26 676 17576 13 169 2197 27 729 19683 14 196 2744 28 784 21952 15 225 3375 29 841 24389

自然数平方之间的一些规律

自然数平方之间的一些规律 自然数平方之间的一些规律 内容摘要： 1、两个相邻自然数，它们平方数之间有一定的差值，这个差值正好 是这两个相邻自然数之和。 2、我们可以把任意一个被平方数的十位上看作a，个位看作b，那么 它的平方分解的代数式为： （10a＋b）2＝10a×（10a＋2b）＋b2 关键词:自然数平方规律 数学与我们的日常生活息息相关。我对数字（特别是自然数）有着特殊的爱好。我经常留意数字世界，发现它们原来有些有趣的内在规律，下面我就自然数平方之间的一些规律为大家作如下陈述： 一、相邻自然数平方之间的关系 两个相邻自然数，它们平方数之间有一定的差值，这个差值正好是这 两个相邻自然数之和。 如：两个相邻自然数3和4，它们的平方数：32＝9、42＝16，16与9的差是7，7正好是3与4之和。用代数式表示如下： a2－b2＝a＋b（a、b为相邻自然数，a-b=1） 知道了这个规律，我们就可以利用它快速计算出和整十整百数相邻自 然数的平方了。 如：要计算99的平方。想一想：99与100相邻。所以只需用100的平方10000减去99与100之和199，即可得出99的平方了。列式如

下： 992＝1002－（100＋99）＝10000－199＝9801； 如果要计算101的平方，想想，101的平方比100的平方大，所以只需用100的平方10000加上100与101之和201，即得出了101的平 方了。列式如下： 1012＝1002＋（100＋101）＝10000＋201＝10201。 二、两位自然数平方之间的规律 在我们已经熟记了10以内甚至20以内自然数的平方后，我们试图把我们对平方的认识再向上拓展拓展。今天我就两位自然数平方之间的 规律作如下列举说明： 1、十几的平方 112＝10×12＋12 122＝10×14＋22 132＝10×16＋32 142＝10×18＋42 152＝10×20＋52 162＝10×22＋62 172＝10×24＋72

1000以内的平方数100以内的立方数

1000以内的平方数100以内的立方数 1 4 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 961 立方公式 长方体的立方即是体积：长×宽×高 正方体的立方即使体积：边长×3 100以内的立方数 乘数立方数乘数立方数乘数立方数乘数立方数 1 1 26 17576 51 132651 76 438976 2 8 27 1968 3 52 140608 77 456533 3 27 28 21952 53 148877 78 474552 4 64 29 24389 54 157464 79 493039 5 125 30 27000 55 166375 80 512000 6 216 31 29791 56 175616 81 531441 7 343 32 32768 57 185193 82 551368 8 512 33 35937 58 195112 83 571787 9 729 34 39304 59 205379 84 592704 10 1000 35 42875 60 216000 85 614125 11 1331 36 46656 61 226981 86 636056 12 1728 37 50653 62 238328 87 658503 13 2197 38 54872 63 250047 88 681472 14 2744 39 59319 64 262144 89 704969 15 3375 40 64000 65 274625 90 729000 16 4096 41 68921 66 287496 91 753571 17 4913 42 74088 67 300763 92 778688 18 5823 43 79507 68 314432 93 804357 19 6859 44 85184 69 328509 94 830584 20 8000 45 91125 70 343000 95 857375 21 9261 46 97336 71 357911 96 884736 22 10648 47 103823 72 373248 97 912673 23 12167 48 110592 73 389017 98 941192 24 13824 49 117649 74 405224 99 970299 25 15625 50 125000 75 421875 100 1000000

数字的平方、立方、平方根表

1——50的平方表 1*1=1 2*2=4 3*3=9 4*4=16 5*5=25 6*6=36 7*7=49 8*8=64 9*9=81 10*10=100 11*11=121 12*12=144 13*13=169 14*14=196 15*15=225 16*16=256 17*17=289 18*18=324 19*19=361 20*20=400 21*21=441 22*22=484 23*23=529 24*24=576 25*25=625 26*26=676 27*27=729 28*28=784 29*29=841 30*30=900 31*31=961 32*32=1024 33*33=1089 34*34=1156 35*35=1225 36*36=1296 37*37=1369 38*38=1444 39*39=1521 40*40=1600 41*41=1681 42*42=1764 43*43=1849 44*44=1936 45*45=2025 46*46=2116 47*47=2209 48*48=2304 49*49=2401 50*50=2500 1 —— 20 的立方表 1*1*1=1 2*2*2=8 3*3*3=27 4*4*4=64 5*5*5=125 6*6*6=216 7*7*7=343 8*8*8=512 9*9*9=729 10*10*10=1000 11*11*11=1331 12*12*12=1728 13*13*13=2197 14*14*14=2744 15*15*15=3375 16*16*16=4096 17*17*17=4913 18*18*18=5832 19*19*19=6859 20*20*20=8000 底数为2、3、4、5、6的多次方 底数 2 次 方 3次 方 4次 方 5次 方 6次 方 7次 方 8次 方 9次 方 10次 方 11次 方 12次 方 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 3 9 27 81 243 729 2187 6561 4 16 64 256 1024 4096 5 25 125 625 3125 6 36 216 1296 7776 46656 0----10的平方根 √0 = 0（表示根号0等于0，下同） √1 = 1√2 = 1.4142135623731 √3 = 1.73205080756888 √4 = 2 √5 = 2.23606797749979 √6 = 2.44948974278318 √7 = 2.64575131106459 √8 = 2.82842712474619 √9 = 3 √10 = 3.16227766016838 1

巧记常用平方立方数的数学知识记忆方法

巧记常用平方立方数的数学知识记忆方法 记数字，对任何人来说都可以很轻松，只要掌握了秘密武器：图像记忆法!众所周知，数字可以转化成编码，编码即图像，从而变得生动具体。那么数字是如何转化成图像的呢?通过谐音、象形、组合等形式，就可以转化成图像。比如：12-婴儿，13-医生，谐音法。11-筷子，22-鸳鸯，象形法。20-耳环，50-五环，组合。 利用数字编码，可以做到很多看似不可能做到的，如轻松牢记数百数千位圆周率，一 分钟牢记百个随机无序数字，几分钟记住一幅扑克牌的顺序……记电话号码这些，当然更 不在话下了。近来看到很多人在为数列犯难，尤其是平方数和立方数形成的数列，要求看 到数列就能反应出原始数字。死记效率低，而且也忘得快。因此总结了常用的有难度的平 方数和立方数。 巧记常用平方立方数，用的就是数字编码加谐音联想的方法。记忆时，一定要在大脑 中想像图像，想像情景，这才是增强记忆的不二法门： 11——21的平方 11=121——11121原地踏步走时，喊的口号 12=144——婴儿咬狮子 13=169——医生咬牛角 14=196——钥匙依旧溜 15=225——鹦鹉鸳鸯舞 16=256——要留二胡留 17=289——遗弃恶霸脚 18=324——篱笆塞耳屎 19=361——泥鳅山鹿咬 20=400 21=441——鳄鱼撕司仪 为了与平方数区分开，立方数的原数放在后面

5——21的立方 125=5——婴儿呜呜哭 216=6——鳄鱼溜溜球 343=7——绅士扇妻 512=8——我要爱爸 729=9——企鹅救舅 1331=11——医生杀鱼用筷子 1728=12——遗弃恶霸选婴儿 2197=13——鳄鱼就吃医生 2744=14——爱妻时时丢钥匙 3375=15——蝴蝶欺负鹦鹉 4096=16——司令酒楼种杨柳 4913=17——四舅一生娶一妻 5832=18——我把扇儿做篱笆 6859=19——喇叭胡椒泡药酒 8000=20 9261=21——球儿轮椅追鳄鱼 中学数学中，有些方法如果能编成顺口溜或歌诀，可以帮助记忆。例如，根据一元二 次不等式ax2+bx+c>0a>0，△>0与ax2+bx+c<0a>0，△>0的解法，可编成乘积或分式不等 式的解法口诀：“两大写两旁，两小写中间”。即两个一次因式之积或商大于0，解答在 两根之外;两个一次因式之积或商小于0，解答在两根之内。当然，使用口诀时，必先将各个一次因式中X的系数化为正数。利用口诀时，必先将各个一次因式中X的系数化为正数。利用这一口诀，我们就很容易写出乘积不 有些知识，如果能借助图形，可以加强记忆。例如，化函数y=asinx+bcosxa>0，b>0 为一个角的三角函数，可以用a、b为直角边作 数和对数函数的图象，可帮助记忆其性质、定义域和值域;利用三角函数的图象，可 帮助记忆三角函数的性质、符号、定义、值域、增减性、周期性、被值;利用二次函数的 图象，可帮助记忆抛物线的性质――开口、顶点、对称轴和极值。

自然数的平方和立方的一些规律及其证明

平方和公式：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 立方和公式：1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 首先给出网上的推导： 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)=(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 ...... (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 (n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 平方和的经典题目： 立方和的另类推导： (1)

自然数平方数列和立方数列求和公式

自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？ 即： (1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 推导过程如下： 一. 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 证明如下： (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1

由自然数平方和公式推导自然数立方和公式

自然数平方和公式Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6 怎么推导？ 利用(n+1)3-n3=3n2+3n+1即可 13-03=3×02+3×0+1 23-13=3×12+3×1+1 33-23=3×22+3×2+1 43-33=3×32+3×3+1 …… (n+1)3-n3=3n2+3n+1 ∴(n+1)3＝3Sn+3(1+2+……+n)+(n+1) …… Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6 设S=1^2+2^2+....+n^2 (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1 ... .. ... 2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n 所以S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1) 方法1：由（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1,利用叠加法可得 3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n=（n+1）^3-1. 由此等式可得1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6. 方法2:由组合数性质可得:C(2,2)+C(2,3)+C(2,4)+...C(2,n)=C(3,n+1), 即2×1/2+3×2/2+4×3/2+...+n(n-1)/2=(n+1)n(n-1)/6 整理得(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-(1+2+3+...+n)=(n+1)n(n-1)/3, 所以1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n+1)n(n-1)/3+(1+2+3+...+n)=...