2.2.3向量数乘运算及其几何意义(教学设计)

SCH 高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A 版必修4第二章）

2.2.3向量数乘运算及其几何意义（教学设计）

一、知识与能力：

1、理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。

2、理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。

3、通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。

二、过程与方法：

1． 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；

2．体会数形结合的数学思想方法.

三、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．

教学重点:实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件．

教学难点:向量共线的充要条件．

一、复习回顾，新课导入

探究：已知非零向量a ，作出a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a)，并说明它

们的几何意义. 类似数的乘法，把a+a+a 记作3a ，显然3a 的方向与a 的方向

相同，3a 的长度是a 的3倍，即|3a|=3|a|.

同样，(-a )+(-a )+(-a )=3(-a )，显然3(-a )的方向与a 的方向相反，3(-a )的长度是a 的3倍，这样3(-a )=-3a . 由学生作图，归纳几何意义，教师补充完善，引出本节课所学的内容。

二、师生互动，新课讲解

1．定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，称为向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：

（1）|λa |=|λ||a |；

（2）当λ>0时，λa 的方向与向量a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反.

2． 特别地，当λ=0或a=0时，λa=0；当λ=-1时，(-1)?a=-a ，就是a 的相反向量.

3． 实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么

（1）λ(μa )=( λμ)a ；（结合律）

（2）(λ+μ)a=λa+μa ；（第一分配律）

（3）λ(a+b )= λa+λb .（第二分配律）

结合律证明：

如果λ=0，μ=0，a =至少有一个成立，则①式成立

如果λ≠0，μ≠0，a ≠有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a |

|(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a

| ∴|λ(μa )|=|(λμ)a |

SCH 高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A 版必修4第二章）

如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a 同向；

如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a

反向。

从而λ(μa )=(λμ)a

第一分配律证明：

如果λ=0，μ=0，a =至少有一个成立，则②式显然成立

如果λ≠0，μ≠0，a ≠

当λ、μ同号时，则λa 和μa

同向，

∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |

|λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |

∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a

同向

即：|(λ+μ)a |=|λa +μa |

当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa 同向

当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa 同向

还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa |

∴②式成立

第二分配律证明：

如果a =，b =中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立 当a ≠，b ≠且λ≠0，λ≠1时 1?当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O

， 作=OA a =AB b =1OA λa =11B A λb

则=OB a

+b =1OB λa +λb

由作法知：AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A |

==111λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1

=||1OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1

因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λ|

1OB 与λ方向也相同

λ(a +b )=λa +λb 当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa +λb

∴ ③式成立

特别地，有 (-λ)a=-(λa )= λ(-a )，λ(a -b ）=λa -λb .

例1（课本P88例5） 计算：

（1）(-3)?4a ;

（2）3(a+b )-2(a-b )-a ;

（3）(2a +3b -c )-(3a -2b +c ).

解：（1）原式=(-3?4)a =-12a ;

O A B

B 1

A 1

1

（2）原式=3a +3b -2a +2b -a =5b ;

（3）原式=2a +3b -c -3a +2b -c =-a +5b -2c .

变式训练1：设a 、b 是两个不平行的向量，且x (2a+b)+y (3a-2b)=7a , x,y ∈R ，则x =____，y =_____. (x=2,y=1)

4. 向量共线定理（等价条件或充要条件）

思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？

对于向量a (a ≠0)、b ，如果有一个实数λ，使b =λa ，那么由向量数乘的定义知：a 与b 共线；

反过来，已知向量a 与b 共线，a ≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a 与b 同向时，有b=μa ，当a 与b 反向时，有b =-μa .

向量共线定理（向量共线的充要条件）：向量a(a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使

b=λa .

例2（课本P89例6） 已知任意两个非零向量a 、b ，且OA =a+b ，

=a+2b , =a+3b ，判断A 、B 、C 三点之间的位

置关系.

解：因为

=a+2b-(a+b)=b ，

=a+3b-(a+b)=2b ， 于是，所以A 、B 、C 三点共线. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a ±μ2b )= λμ1a ±λμ2b .

变式训练2：设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________.

解析 由题意知：a ＋λb ＝k (2a －b )，则有：?????

1＝2k ，λ＝－k ，∴k ＝12，λ＝－12.答案 －12 例3 平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且

=a ，=b ，试用a 、b 表示、、、.

解：

=a+b ，=a-b , =(a+b )=a - b

12(a-b )= 12a -12b ; 12MC AC ==12a +12

b ; 12MD MB DB =-=-=-12a +12

b .

变式训练3：设AM 是ABC ?中线，求证：()12AM AB AC =+.

证明：因为,AM AB BM AM AC CM =+=+，

所以()()()()2AM AB BM AC CM AB AC BM CM =+++=+++

因为AM 是ABC ?中线，所以BM CM BM MB +=+=0，

因而2AB M A A C =+，所以()1

2AB A AC M =+.

课堂练习：（课本P90练习 NO ：1；2；3；4；5；6）

三、课堂小结，巩固反思

1． 理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积的模及方向与这个向量的模及方向间的关系；

2． 能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算；

3． 能表述一个向量与非零向量共线的充要条件；

4． 会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量是否共线.

四、课时必记

1、实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么

（1）λ(μa )=( λμ)a ；（结合律）

（2）(λ+μ)a=λa+μa ；（第一分配律）

（3）λ(a+b )= λa+λb .（第二分配律）

2、向量共线定理（向量共线的充要条件）：

向量a(a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b=λa .

五、分层作业：

A 组：

1、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：9）

2、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：10）

3、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：11）

4、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：12）

5、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：13）

B 组：

1、（课本P91习题2.2 B 组 NO ：3）

2、（课本P91习题2.2 B 组 NO ：4）

3、（课本P91习题2.2 B 组 NO ：5）

C 组：

1、设两个非零向量a 与b 不共线．

(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．

求证：A ，B ，D 三点共线；

(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．

分析： (1)先证明AB →，BD →共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向量定理列出方程组求k .

(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．

∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →.

∴AB →，BD →共线，又它们有公共点，∴A ，B ，D 三点共线．

(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，

∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，

即(k －λ)a ＝(λk －1)b .

又a ，b 是两不共线的非零向量，

∴k －λ＝λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.

向量数乘运算及其几何意义(教学设计)

2.2.3向量数乘运算及其几何意义（教学设计） 一、知识与能力： 1、理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。 2、理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。 3、通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。 二、过程与方法： 1． 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程； 2．体会数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点:实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件． 教学难点:向量共线的充要条件． 一、复习回顾，新课导入 探究：已知非零向量a ，作出a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a)，并说明 它们的几何意义. 类似数的乘法，把a+a+a 记作3a ，显然3a 的方向与a 的方向 相同，3a 的长度是a 的3倍，即|3a|=3|a|. 同样，(-a )+(-a )+(-a )=3(-a )，显然3(-a )的方向与a 的方向相反，3(-a )的长度是a 的3倍，这样3(-a )=-3a . 由学生作图，归纳几何意义，教师补充完善，引出本节课所学的内容。 二、师生互动，新课讲解 1．定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，称为向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （1）|λa |=|λ||a |； （2）当λ>0时，λa 的方向与向量a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反. 2． 特别地，当λ=0或a=0时，λa=0；当λ=-1时，(-1)?a=-a ，就是a 的相反向量. 3． 实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 （1）λ(μa )=( λμ)a ；（结合律） （2）(λ+μ)a=λa+μa ；（第一分配律） （3）λ(a+b )= λa+λb .（第二分配律） 结合律证明： 如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则①式成立 如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a | |(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a |

7.5平面向量的数乘运算-教学设计公开课

【课题】7.1.5平面向量的数乘运算 江夏职业技术学校吴婷 【教学目标】 （1）理解向量的数乘运算的定义 （2）掌握共线向量的基本定理 【教学重点】数乘运算的定义 【教学难点】对向量线性表示的理解和运用 【课时安排】2课时 【教学过程】 一、创设情境兴趣导入 观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且 OC ＝3a ． 图7?15 二、新授知识 1.数乘运算的定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa 大小：||||||a a λ=λ（7．3） a a a a O A B C

方向：若||λ≠a 0，则 当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同， 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反． 一般地，有0a =0,λ0=0． 2.共线向量的基本定理：对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ?=a b a b ∥（7．4） 3.向量的数乘运算法则： ()()111a a a a ，　；=-=-()()()()2a a a ； λμλμμλ== ()()3a a a λμλμ+=+ ；()a b a b （4）．λλλ+=+ 4.向量的线性表示：一般地，λa ＋μb 叫做a ,b 的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如 果l ＝λa ＋μb ，则称l 可以用a ，b 线性表示． 5.向量的线性运算：向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算． 三、注意：向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的． 四、巩固知识典型例题 例6在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a ,b 表示向量AO 、OD ． 分析因为12AO AC =,12 OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .

《空间向量的数乘运算》教学设计

教学设计 3．1.2空间向量的数乘运算 整体设计 教材分析 本节课是在学习了空间向量的相关概念和空间向量加减法法则的基础上学习的，是空间向量加减法法则的进一步应用和补充．本节课在介绍实数与向量乘积的意义的基础上引入空间向量共线定理，类比平面向量基本定理得到空间向量共面定理，为后面将要学习的空间向量基本定理打下基础，具有承上启下的重要作用． 因为空间向量的数乘运算以及空间向量共线定理与平面向量数乘运算以及共线定理完全一样，空间向量共面定理其实就是平面向量基本定理的逆定理，所以在教学中仍应采用类比、比较的教学方法，通过问题驱动、启发式、自主探究式的教学方法引导学生自主地完成本节课的学习． 课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1．掌握空间向量的数乘运算及其运算律． 2．理解共线向量定理和向量共面定理． 过程与方法 1．运用类比方法，经历向量的数乘运算和向量共线定理由平面向空间推广的过程； 2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数乘运算及其运算律的意义． 情感、态度与价值观 1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生的空间想象能力，能借助图形理解空间向量数乘运算及其运算律的意义； 3．培养学生空间向量的应用意识． 重点难点 教学重点： 1．空间向量的数乘运算及其运算律、几何意义；

2．空间向量的加减运算在空间几何体中的应用； 3．空间向量共线定理和共面定理． 教学难点： 1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用； 2．空间向量的数乘运算及其几何的应用和理解； 3．空间向量共线定理和共面定理的理解． 教学过程 引入新课 提出问题：请同学们回忆“平面向量的数乘运算”的意义是什么，有什么性质，满足什么运算律． 活动设计：首先同学之间相互交流，教师适时介入，并一一板书出来． 活动结果：(板书) 1．实数λ和向量a的乘积λa是一个向量． 2.||λa＝||λ||a. 3．λa的方向 ①当λ>0时，λa的方向和a方向相同； ②当λ<0时，λa的方向和a方向相反． 4．数乘运算的运算律： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②λ(a＋b)＝λa＋λb. 设计意图：这既复习了“平面向量的数乘运算”的意义、性质和运算律，又为类比得出“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律作好了准备，而且在下面得出“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律时，只需将“平面向量的数乘运算”中的“平面”换成“空间”即可．何乐而不为呢！ 探究新知 提出问题1：上节课我们已经学习了空间向量的加减法运算，请同学们类比“平面向量的数乘运算”的意义、性质和运算律，猜想(给出)“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律．即实数λ和向量a的乘积(λa)的意义是什么？有什么性质？满足什么运算律？ 活动设计：教师从2a，－2a的意义中发现并类比平面中数乘的意义对学生进行引导，学生自己画出2a，－2a并总结λa的意义和运算律，然后自由发言，教师进行补充．师生发

平面向量数乘运算及其意义试题(含答案)4

…………………………装…………………………订…………………………线………………………… 向量数乘运算及其几何意义 班级 姓名 学号 年级 学科 一、概念回顾（认真阅读课本第63,64,65页，回答下面问题） 1．设实数 与量a 的积记为 ，它仍表示向量，它的长度是 ；它的方向

是 ． 2．根据向量数乘的定义，可以证明向量数乘有如下运算律： （1） ；（2） ；（3） ． 3．向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点： 相同 点 ； 不同 点 ． 二、理解与应用 1．已知R λ∈，则下列命题正确的是 （ ） A ．a a λλ= B ．a a λλ= C ．a a λλ= D ．0a λ> 2．已知E 、F 分别为四边形ABCD 的边CD 、BC 边上的中点，设AD a = ，BA b = ，则 EF = （ ） A ．1()2 a b + B ．1()2a b -+ C ．1()2a b -- D ．1()2 b a - 3 ． 若 a b =+化简 3(2 )a b b c a +-+-+ （ ） A ．a B ．b C ．c D ． 以上都不对 4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、

C ），则AP = （ ） A ．().(0,1)A B AD λλ+∈ B ．().AB B C λλ+∈ C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈ D ． ().AB BC λλ-∈ 5．已知m 、n 是实数，a 、b 是向量，对于命题： ①()m a b ma mb -=- ②()m n a ma na -=- ③若ma mb =，则a b = ④若ma na =，则m n = 其中正确命题为_____________________． 6．计算： （1）3(53)2(6)--+a b a b =__________； （2）4(35)2(368)-+---+a b c a b c =__________． 7．已知向量a ，b ，且3()2(2)4(++---+=0x a x a x a b ，则 x =__________． 8．若向量x 、y 满足+=-=23,32x y a x y b ，a 、b 为已知向量，则 x =__________； y =___________．

高中数学——平面向量数量积的教学设计

《2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义》 教学设计 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计 一、教材分析 1.地位与作用 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4第二章《平面向量》的第4节内容。本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。向量数量积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。

2.学情分析 学生在学习本节内容之前，已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。学生会产生这样的疑问——平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。 二、教学目标 1.知识与技能 ⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义； ⑵掌握平面向量数量积的性质与运算律； ⑶会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； ⑷以数学知识的教学为载体，为学生创造学习数学英语知识的环境，进而了解数学专业术语的英语表示，能用英语进行数学方面的交流，培养学生的跨文化意识与双思维，提高英语理解能力。 2.过程与方法 本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习“投影”后，通过设置例1让学生练习计算数量积与投影，并引导学生观察完成的表格发现数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究数量积的性质与运算律。设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。采用双语教学，不仅达到学习数学知识的目的，同时还提高了学生的英语理解能力，激发了学生学习的兴趣。 3.情感态度与价值观 通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。 三、教学重难点 重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角,判断向量的

向量减法及其几何意义

§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 教学目标： 1. 了解相反向量的概念； 2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间 可以相互转化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 授课类型：新授课 教学思路： 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算 定律： 例：在四边形中，=++BA BA CB . 解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++ 二、 提出课题：向量的减法 1．用“相反向量”定义向量的减法 （1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1?表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图 较繁，但最后作图可统一. O A B a B’ b -b b a + (- b ) a b A B D C O a b B a b a -b

向量数乘运算及其几何意义 说课稿 教案 教学设计

数乘运算及其几何意义 整体设计 教学分析 向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系． 三维目标 1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律． 2．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行．3．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用． 重点难点 教学重点：1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用． 教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a＋a＋a＝3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算．思路2.一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课． 推进新课 新知探究 提出问题 ①已知非零向量a，试一试作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).

高三数学平面向量的概念及运算

平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有

向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x y x a 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 零向量a ＝0 ｜a ｜＝0。由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于 任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一 直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的 ⑤相等向量 长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记

向量的加减法运算及其几何意义

课题 向量的加减法运算及其几何意义 知识点一：向量的基本概念： （一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 （二）探究学习 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行， 要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a

向量减法运算及其几何意义教学设计.doc

向量减法运算及其几何意义教学设计 教学课题简介 学科数学教学题目向量减法运算及其几何意义教材普通高中课程标准实验教科书（必修4） 一、教学目标 1、知识与技能知道相反向量的定义；理解记住向量减法法则及其几何意义；能够用向量减法法 则及其几何意义求两向量的差. 2、过程与方法通过回顾向量运算与实数运算之间的联系分析归纳相反向量的的定义和向量的减 法运算；通过联系向量加法的作图方法观察并归纳向量减法的作图方法和要点， 体会向量减法的几何意义. 3、情感态度与 价值观通过阐述向量减法与数量减法的联系，培养学生类比的数学思想方法；由向量减法向加法的转化，让学生懂得从已知到未知这一转化思想；由作图了解向量减法的几何意义，培养学生作图能力，并从中体会数形结合的数学思想. 二、教学重点和难点 1．重点：向量减法法则及其几何意义． 2．难点：向量减法法则及其作图方法；向量减法几何意义的应用． 三、教学方法：互动探究式授课 通过引导让学生自主探究，合作交流，体验学习过程中涉及的转化和数形结合的数学思想，类比、观察、分析、归纳等数学方法． 四、教学使用工具 多媒体教学 五、课堂教学过程设计 （一）内容引入 类比数量加法的意义，我们联系实际了解了向量加法，并学习了向量加法法则和作图方法，那么你能否同样与数量减法相比较得到向量减法法则和其几何意义呢？这就是本节课将要探讨和学 习的主要内容． （二）、师生交流温故知新 1 回顾、类比、得新知——相反向量 问题1你是否还记得刚进初中时学习有理数减法时的减法法则？你能否由此联系思考向量减法的减法法则呢？ 我们知道，在数量中，减去一个数等于加上这个数的相反数，如果向量减法可以相应的也转化为向量的的加法，那么向量减法对于我们而言就不再是问题了！向量的减法法则，类比一下，可以

北师大版高中数学必修4第三章数乘向量教学设计

数乘向量 教学目标 一、知识与技能 1、掌握向量数乘运算概念及运算定律，理解向量共线定理。 2、会运用定义、运算律进行有关计算。 二、过程与方法 深入对定理的理解，会运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。 三、情感态度与价值观 由情景引入，由抽象到具体，由难到易，激发学生的数学兴趣，培养学生独立自主，自我发现，自我概括的能力，使得学生在以后的数学学习上能够自由，自主去探索去发现。 教学重点与难点 1.重点：向量数乘运算概念及运算定律，向量共线定理的运用。 2.难点：向量共线、三点共线、直线平行，以及数乘计算的问题。教学准备 多媒体课件、电脑画板 教学过程 一、情景引入 活动一：体会实际，感受新知 在疾风骤雨，雷电交加的晚上，我们都是先看到闪电，后来听到雷声？（展示所找到的关于雷电的影像进行播放）这是因为在同一方

向上光速远远大于声速。经测量,光速大小约为声速的5107.8?倍。 活动二：自我实验，学会新知 教师让学生准备小皮筋，自己进行拽拉，固定一边，朝同一方向，两边同时，朝不同方向，看看会发生什么有趣的现象（可以选号码为1-5的同学拍小视频进行讨论）。 组织学生在电脑面板上展示自己所做实验的答案，进行互相讨论以上两个活动有什么异同点。（学生自由在电脑面板进行发言，老师进行总结。） 由以上两个案例分析说明实际中存在这样的向量，他们是共线，而且大小之间存在倍数关系。因此，有必要定义实数与向量积的运算。 二、讲述新知，感悟理解 例如，对于向量3a ，我们都知道3个a 相加（可进行画图讲解）， 即3a =a +a +a .由向量的加法的意义可知，3a 仍是一个向量，它的长度为a 的三倍，方向与a 相同； 向量-3a 是3a 的相反向量，他的长度与3a 相同，也是a 的3 倍，它的方向与a 的方向相反。 三、新知概括，深入探究 1、a 请大家画出非零向量a ，并且做出3a 与0a ,-2a ,. a 。 (按照学生的编号，让5-10号码的同学进行回答。） 一般的，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ。它的长度为a a λλ=。 它的方向：当0>λ时，a λ与a 的方向相同； 21

数乘向量优秀教案

2.1.4数乘向量 教学目标： 1.掌握实数与向量积地定义，理解实数与向量积地几何意义； 2.掌握实数与向量地积地运算律 教学重点：掌握实数与向量积地定义，理解实数与向量积地几何意义 教学过程 一、复习引入： 1.向量地概念 2.向量地表示方法 3.向量地加法，减法及运算律 二、讲解新课： 1．实例引入：已知非零向量a ，作出a +a +a 和( a )+( a )+( a ) OC =BC AB OA =a +a +a =3a PN =MN QM PQ =( a )+( a )+( a )= 3a （1）3a 与a 方向相同且|3a |=3|a |；（2） 3a 与a 方向相反且| 3a |=3|a | 2．实数与向量地积地定义：实数λ与向量a 地积是一个向量，记作：λa ，λa 地长定义为|λa |=|λ||a |，λa 地方向定义为：λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反.λ=0或a =0时规定：λa =0 3．数乘地几何意义就是把向量a 沿向量a 地方向或反方向放大或缩小. 4．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ① 第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa ② 第二分配律：λ(a +b )=λa +λb ③ 例1 （1）;2 1)4(a （2）);(3)(2b a b a （3）);)(())((b a b a

变式训练：计算 8（2-+）-6（-2+）-2（2+）= 例2设是未知向量，解方程)(3)(5 例3凸四边形ABCD 地边AD 、BC 地中点分别为E 、F ，求证EF ＝ 2 1(AB +). 变式训练：已知任意两非零向量、，试作 , 2 ，3 .作图判断A 、B 、C 三点之间地位置关系？ 小结：实数与向量积地定义，理解实数与向量积地几何意义；实数与向量地积地运算律 课堂练习：第89页练习A 、B

《向量加法运算及其几何意义》教学设计

《向量加法运算及其几何意义》教学设计 一、教材分析 《普高中课程标准数学教科书数学（必修（4））》(人教（版）)。第二章2．2平面向量的线性运算的第一节“向量加法运算及其几何意义”（89--94页）。《向量》这一章是前一轮教材中新增的内容。高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。 二、学生学习情况分析 学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。 三、设计理念 教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。 四、教学目标

(完整版)2.2.2向量的减法运算及其几何意义教案

2.2.2向量的减法运算及其几何意义 教学目标： 1. 了解相反向量的概念； 2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转 化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 教学思路： 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律： 例：在四边形中，=++AD BA CB . 解： =+=++ 二、 提出课题：向量的减法 1． 用“相反向量”定义向量的减法 （1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a - b ∵(a -b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1?表示a - b. 强调：差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b) O A a B’ b -b b B a + (- b ) a b O a b B a b a -b

平面向量线性运算教案

适用
高中数学
适用年级
高一
学科
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 向量的加法；向量的减法；向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。
教学重点 向量的加减法的运算。
教学难点 向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
教学过程
一、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不 大，属于简单题。
二、知识讲解
（考1）点向1量向加量法加的法三法角则形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一 个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0 位移的合成可以看作 向量加法三角形法则的物理模型。
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（2）平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向，因此 a 和 a 互为相反向量。 于是 (a) a 。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a (a) (a) a 0 。 所以，如果 a, b 是互为相反的向量，那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律 设 ， 为实数，那么 (1) ( a) ()a ； (2) ( )a a a ； (3) (a b) a b . 特别地，我们有 ()a (a) (a) ， (a b) a b 。 向量共线的等价条件是：如果 a(a 0) 与 b 共线，那么有且只有一个实数 ，使 b a。
三 、例题精析 类型一 平面向量的坐标表示
例题 1
已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角．求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标．
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向量加法运算及其几何意义(教学设计)(精选、)

2．2．1向量加法运算及其几何意义（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量； 2．能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行计算； 二、过程与方法： 1．经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程； 2．体会数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． [教学重点] 向量加法定义的理解；向量加法的运算律． [教学难点] 向量加法的意义 一、复习回顾，新课导入 1．物理学中，两次位移, OA AB的结果与位移OB是相同的。 2．物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合力如何求得？ 3．引入：两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出，本节将研究向量的加法。 二、师生互动，新课讲解 1．已知向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB BC AC += 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求作两个向量的方法叫做三角形法则，简记“首尾相连，首是首，尾是尾”。 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OABC，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量与任一向量a，规定a+0=0+a=a 例1（课本P81例1）已知向量a,b，用两种方法（三角形和平行四边形法则）求作向量a+b。 作法一：在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则OB=a+b. 作法二：在平面内任取一点O，做OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作OBCA，则OC=a+b。 变式训练1：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？ 2．归纳： 1.两个向量的和仍是一个向量。 2.当a,b不共线时，a+b的方向与a、b都不同向，且|a+b|<|a|+|b|. 3.当a与b共线时， (1)若a与b同向，则a+b的方向与a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|. (2)若a与b反向，当|a|>|b|时，a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；当|a|<|b|时，a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|. 3. 向量加法的运算律 探究：数的加法满足交换律与结合律，即对任意a,b∈R，有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)，任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律？ 要求学生画图进行探索. （1）如图作ABCD，使AB=a，AD=b，则BC=b，DC=a，

向量的减法及其几何意义

2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 一、学习目标: 1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义； 2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题. 二、重难点 : 1. 重点：向量减法的三角形法则及其应用； 2. 难点：对向量的减法定义的理解. 三、知识回顾: 1、向量加法的法则： 。 2、向量加法的运算定律： 。 四、探究新知： 1.用“相反向量”定义向量的减法 （1）“相反向量”的定义： 。 (2) 规定：零向量的相反向量仍是 . --=a a （ ）. 任一向量与它的相反向量的和是 +- =0a a （） 如果a 、b 互为相反向量，则=-,=-,+0a b b a a b = （3）向量减法的定义： . 即： 求两个向量差的运算叫做向量的减法. (4).用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b x a +=,则x 叫做a 与b 的差，记作 。 2.向量的减法的三角形法则： 特点：共起点，连终点，方向指向被减向量. 五、典例分析：

例1、已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a b -、c d -. 练习：已知向量，求作向量。 例2.化简:(AB →－CD →)－(AC →－BD → )． ,a b a b -

练习：化简：(1)AB →－CB →－DC →＋DE →＋F A → ； 例3、平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，用a 、b 表示向量、. 变式一：当a ，b 满足什么条件时，+a b 与a b -垂直？ 变式二：当a ，b 满足什么条件时，|+a b | = |a b -|？ 变式三：+a b 与a b -可能是相等向量吗？

数学选修2-1 3.1空间向量及其运算教案

第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：

① 几何表示法：_________________________ ② 字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ① 零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ② 单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③ 相等向量：____________________________ ④ 相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 数乘结合律：λ（a μ）=a )(λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。

向量的加法及其几何意义

向量的加法及其几何意义 一、教材分析 高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。 二、学生学习情况分析 学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。 三、设计理念

教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。 四、教学目标 根据新课标的要求: 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。及本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点，我把本节课的教学目的确定为： 1、理解向量加法的意义，掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的运算律。 2、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。 3、培养类比、迁移、分类、归纳等能力。 4、进行辩证唯物主义思想教育，数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。

向量的减法运算及其几何意义

向量的减法运算及其几何意义 向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义教学目标： 1.了解相反向量的概念； 2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律： 例：在四边形中， . 解： 二、提出课题：向量的减法

1．用“相反向量”定义向量的减法 （1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作a （2）规定：零向量的相反向量仍是零向量. ( a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + ( a) = 0 如果a、b互为相反向量，则a = b，b = a，a + b = 0 （3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差. 即：a b = a + ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b 3求作差向量：已知向量a、b，求作向量 ∵(a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点o， 作= a，= b 则= a b 即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 注意：1 表示a b.强调：差向量“箭头”指向被减数 2 用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + ( b) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一. 2．探究：