算法分析与设计基础

算法分析与设计基础（清华版）

Taken from "Introduction to The Design and Analysis of Algorithms" by Anany Levitin

节选自《算法设计与分析基础》潘彦译

蛮力法

就像宝剑不是撬棍一样，科学也很少使用蛮力。

——Edward Lytton (1830 - 1873)，leila，第二卷，第一章

认真做事常常是浪费时间。

——Robert Byrne，撞球大师，台球选手和作家

人们是这样描述它的：蛮力法是一种简单直接地解决问题的方法，常常直接基于问题的描述和所涉及的概念定义。这里的“力”是指计算机的能“力”，而不是人的智“力”。我们也可以用“直接做吧！”来描述蛮力法的策略。而且一般来说，蛮力策略也常常是最容易应用的方法。虽然巧妙和高效的算法很少来自于蛮力法，但我们不应该忽略它作为一种重要的算法设计策略的地位。第一，和其他某些策略不同，我们可以应用蛮力法来解决广阔领域的各种问题（实际上，它可能是惟一一种几乎什么问题都能解决的一般性方法）。具体来说，蛮力法常常用于一些非常基本、但又十分重要的算法，比如计算n个数字的和，求一个列表的最大元素，等等。第二，对于一些重要的问题来说（比如：排序、查找、矩阵乘法和字符串匹配），蛮力法可以产生一些合理的算法，它们多少具备一些实用价值，而且并不限制实例的规模。第三，如果要解决的问题实例不多，而且蛮力法可以用一直能够接受的速度对实例求解，那么，设计一个更高效算法所花费的代价很可能是不值得的。第四，即使效率通常很低，仍然可以用蛮力算法解决一些小规模的问题实例。最后，一个蛮力算法可以为研究或教学目的服务，例如，它可以作为准绳，来衡量同样问题的更高效算法。

下列这些著名的算法可以看作是蛮力法的例子：基于定义的矩阵乘法算法；选择排序；顺序查找；简单的字符串匹配算法。穷举查找是解组合问题的一种蛮力方法。它要求生成问题中的每一个组合对象，选出其中满足该问题约束的对象，然后找出一个期望的对象。旅行商问题、背包问题和分配问题是典型的能够用穷举查找算法求解的问题，至少在理论上是这样的。除了相关问题的一些规模非常小的实例，穷举查找法几乎是不实用的。

分治法

无论人们在祈祷什么，他们总是在祈祷一个奇迹。每一个祈祷都可以简化为：伟大的上帝呀，请让两个二相加不等于四吧。

——伊万·屠格涅夫（1818 －1883），俄国作家和短篇小说家

分治法可能是最著名的通用算法设计技术了。虽然它的名气可能和它那好记的名字有关，但它的确是当之无愧的：很多非常有效的算法实际上是这个通用算法的特殊实现。其实，分治法是按照以下方案工作的：

?将问题的实例划分为同一个问题的几个较小的实例，最好拥有同样的规模。

?对这些较小的实例求解（一般使用递归方法，但在问题规模足够小的时候，有时也会使用一些其他方法）。

?如果必要的话，合并这些较小问题的解，以得到原始问题的解。

不是所有的分治算法都一定比简单蛮干更有效。但是，通常我们向算法女神所做的祈祷都被应允了，因而，使用分治法往往比使用其他方法效率更高。实际上，分治法孕育了计算机科学中许多最重要和最有效的算法。虽然我们通常只考虑顺序算法，但要知道，分治法对于并行算法是非常理想的，因为各个子问题都可以由不同的CPU同时计算。许多分治算法的时间效率T(n)满足方程T(n)=aT(n/b)+f(n)。

一些应用分治法的案例：

合并排序是一种分治排序算法。它把一个输入数组一分为二，并对它们递归排序，然后把这两个排好序的子数组合并为原数组的一个有序排列。在任何情况下，这个算法的时间效率都是Θ(nlogn)，而且它的键值比较次数非常接近理论上的最小值。它的主要缺点是需要相当大的额外存储空间。

快速排序是一种分治排序算法，它根据元素值和某些事先确定的元素的比较结果，来对输入元素进行分区。快速排序十分有名，这不仅因为对于随机排列的数组，它是一种较为出众的nlogn效率算法，而且因为它的最差效率是平方级的。

折半查找是一种对有序数组进行查找O(logn)效率算法。它是应用分治技术的一个非典型案例，因为在每次迭代中，它只需要解决两个问题的一个。

二叉树的经典遍历算法——前序、中序、后序和其他类似的算法都需要递归处理左右两棵子树，它们都可以当作是分治技术的例子。用一些特定的外部顶点来替代给定树的空子树，有助于对这些算法进行分析。

有一种处理两个n位整数相乘的分治算法，大约需要做n(index:1.585)次一位数乘法。Strassen算法只需要做7次乘法就能计算出两个2桔方阵的积，但比基于定义的算法要做更多次的加法。利用分治技术，该算法计算两个n阶方阵的积，但比基于定义的算法要做更多次的加法。利用分治技术，该算法计算两个n阶方阵的乘法时需要做n(index:2.807)次乘法。

分治技术可以成功地应用于两个重要的计算几何问题：最近对问题和凸包问题。

减治法

普卢塔克说，萨特斯为了告诉他的士兵坚忍和智慧比蛮力更重要的道理，把两匹马带到他们面前，然后让两个人拔光马的尾毛。一个人是魁梧的大力士，他用力地拔了又拔，但一点效果也没有；另一个人是一个精美的、长相矫捷的裁缝，他微笑着，每次拔掉一根毛，很快就把尾巴拔得光秃秃的。

——E. Cobham Brewer，《惯用语和寓言词典》，1898

减治技术利用了一种关系：一个问题给定实例的解和同样问题较小实例的解之间的关系。一旦建立了这样一种关系，我们既可

以从顶至下（递归地），也可以从底至上（非递归地）地来运用。减治法有3种主要的变种：

?减去一个常量；

?减去一个常数因子；

?减去的规模是可变的。

在减常量变种中，每次算法迭代总是从实例规模中减去一个规模相同的常量。一般来说，这个常量等于一，但减二的情况偶尔也会发生，例如，有的算法会根据实例规模为奇数和偶数的不同情况，分别做不同的处理。

减常因子技术意味着在算法的每次迭代中，总是才实例的规模中减去一个相同的常数因子。在大多数应用中，这样的常数因子等于二。

最后，在减治法的减可变规模变种中，算法在每次迭代时，规模减小的模式都是不同的。计算最大公约数的欧几里德算法是这种情况的一个很好的例子。回想一下，这个算法是基于这个公式的：

gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)

虽然等号右边的那些参数总是小于等号左边的参数（至少从该算法的第二次迭代开始），但它们既不是以常数也不是以常数因子的方式减小的。

一些应用减治法的案例：

插入排序是减（减一）治技术在排序问题上的直接应用。无论在平均情况还是最差情况下，它都是一个Θ(n2)的算法，但在平均情况下的效率大约要比最差情况快两倍。该算法一个较为出众的优势在于，对于几乎有序的数组，它的性能是很好的。

深度优先查找(DFS)和广度优先查找(BFS)是两种主要的图遍历算法。通过把图表示成深度优先森林或者广度优先森林的形式，有助于对图的许多重要特性进行研究。两种算法都有着相同的时间效率：对于邻接矩阵表示法来说是Θ(|V|2)；对于邻接链表表示法来说是

Θ(|V|+|E|)。

一个有向图是一个对边指定了方向的图。拓扑排序要求按照这种次序列出它的顶点，使得对

?变换为同样问题的一个更简单或者更方便的实例——我们称之为实例化简；

?变换为同样问题的不同表现——我们称之为改变表现。

?变换为另一个问题的实例，这种问题的算法是已知的——我们称之为问题化简。

一些应用变治法的案例：

堆是一棵基本完备二叉树，它的键都满足父母优势要求。虽然定义为二叉树，但一般用数组来实现堆。堆对于优先队列的高效实现来说尤为重要；同时，堆还是堆排序的基础。

堆排序在理论上是一种重要的排序算法，它的基本思路是，在排好堆中的数组元素后，再从剩余的堆中连续删除最大的元素。

无论在最差情况下还是在平均情况下，该算法的运行时间都属于Θ(nlogn)，而且，它还是

在位的排序算法。

AVL树是一种在二叉树可能达到的广度上尽量平衡的二叉查找树。平衡是由四种称为旋转

的变换来维持的。AVL树上的所有基本操作都属于Θ(logn)；它消除了经典二叉查找树在最差效率上的弊端。

2-3树是一种达到了完美平衡的查找树，它允许一个节点最多包含两个键和三个子女。这个

思想推而广之，会产生一种非常重要的B树。

高斯消去法是一种解线性方程组的算法，它是线性代数中的一种基本算法。它通过把方程组变换为反向替换法求解。高斯消去法大约需要1/3n3次乘法运算。

在无需对系数进行预处理的多项式求解算法中，霍纳法则是最优的。它只需要n次乘法和n 次加法。它还有一些有用的副产品，比如综合除法算法。

两种计算a(index:n)的二进制幂算法。它们使用了指数n的二进制表示，但它们按照相反的方向对其进行处理：从左到右和从右到左。

线性规划关心的是最优化一个包含若干变量的线性函数，这个函数受到一些形式为线性等式和线性不等式的约束。有一些高效的算法可以对这个问题的庞大实例求解，它们包含了成千上万的变量和约束，但不能要求变量必须是整数。如果变量一定要是整数，我们称之为整数线性规划问题，这类问题的难度要高很多。

时空权衡

最重要的事情永远不能受次要事情的支配。

——Johnn Wolfgang von Goethe (1749 - 1832)

无论对于计算机理论工作者还是计算机实践工作者来说，算法设计中的时空权衡都是一个总所周知的问题。作为一个例子，考虑一下在函数定义域的多个点上计算函数值的问题。如果运算时间更为重要的话，我们可以事先把函数值计算好并将它们存储在一张表中。这就是在电子计算机发明前，“人工计算机”所做的工作，那时的图书馆也被厚重的数学用表堆满了。虽然随着电子计算机的广泛应用，这些数学用表失去了大部分的吸引力，但事实正面，在开发一些用于其他问题的重要算法时，它们的基本思想还是非常有用的。按照一种更一般的表述，这个思想是对问题的部分或全部输入做预处理，然后对获得的额外信息进行存储，以加速后面问题的求解。我们把这个方法称为输入增强。其他采用空间换时间权衡思想的技术简单地使用额外空间来实现更快和（或）更方便的数据存取。我们把这种方法称为预构造。这个名字强调了这种空间换时间权衡技术的两个方面：所讨论问题在实际处理之前，已经做过某些处理了；但和输入增强技术不同，这个技术只涉及存取结构。还有一种和空间换时间权衡思想相关的算法设计技术：动态规划。这个策略的基础是把给定问题中重复子问题的解记录在表中，然后求得所讨论问题的解。

最后还要对算法设计中时间和空间的相互作用作两点说明：首先，并不是在所有的情况下，时间和空间这两种资源都必须相互竞争。实际上，它们可以联合起来，使得一个算法无论在运行时间上还是消耗的空间上都达到最小化。具体来说说，这种情况出现在一个算法使用了一种空间效率很高的数据结构来表示问题的输入，这种结构又反过来提高算法的时间效率。作为一个例子，考虑一下图的遍历问题。回忆一下两种主要的遍历算法（深度优先查找和广度优先查找），它们搜时间效率依赖于表示图的数据结构：对于邻接矩阵表示法是Θ(n2)，对于邻接链表表示法是Θ(n+m)，其中n和m分别是顶点和边的数量。如果输入图是稀疏

的，也就是说，相对于顶点的数量来说，边的数量并不多（比方说，m∈O(n)），无论从空间角度还是从运行时间的角度来看，邻接链表表示法的效率都会更高一些。在处理稀疏矩阵和稀疏多项式的时候也会有相同的情况：如果在这些对象中，0所占的百分比足够高，在表示和处理对象时把0忽略，我们既可以节约空间也可以节约时间。

其次，在讨论空间换时间权衡的时候，我们无法不提到数据压缩这个重要领域。然而，我们必须强调，数据压缩的主要目的是节约空间而不是作为解决另一个问题的一项技术。

一些应用时空权衡的案例：

分布计数是一种特殊的方法，用来对元素取值来自于一个小集合的列表排序。

用于串匹配的Horspool算法可以看作是Boyer-Moore算法的一个简化版本。两个算法都以输入增强思想为基础，并且从右向左比较模式中的字符。两个算法都是用同样的坏符合移动表；Boyer-Moore算法还使用了第二个表，称为好后缀移动表。

散列是一种非常高效的实现字典的方法。它的基本思想是把键映射到一张一维表中。这种表在大小上的限制使得它必须采用一种碰撞解决机制。散列的两种主要类型是开散列又称为分离链（键存储在散列表以外的链表中）以及闭散列又称为开式寻址（键存储在散列表中）。平均情况下，这两种算法的查找、插入和删除操作的效率都是属于Θ(1)的。

B树是一颗平衡查找树，它把2-3树的思想推广到允许多个键位于同多节点一个节点上。它的主要应用是维护存储在磁盘上的数据的类索引信息。通过选择恰当的树的次数，即使对于非常大的文件，我们所实现的查找、插入和删除操作也只需要执行很少几次的磁盘存取。

动态规划

思想，就像幽灵一样……在它自己解释自己之前，必须先告诉它些什么。

——查尔斯·狄更斯(1812-1870)

动态规划(dynamic programming)是一种算法设计技术，它有着相当有趣的历史。作为一种使多阶段决策过程最优的通用方法，它是在20世纪50年代由一位卓越的美国数学家Richard Bellman所发明的。因此，这个技术名字中的"programming"是计划和规范的意思，不是代表计算机中的编程。它作为一种重要的工具在应用数学中的价值被大家认同以后，起码在计算机科学的圈子里，人们不仅用它来解决特定类型的最优问题，而且最终把它作为一种通用的算法设计技术来使用。在这里，我们正是从这个角度来考虑这种技术的。

如果问题是由交叠的子问题所构成的，我们就可以用动态规划技术来解决它。一般来说，这样的子问题出现在对给定问题求解的递推关系中，这个递推关系中包含了相同类型的更小子问题的解。动态规划法建议，与其对交叠的子问题一次又一次地求解，还不如对每个较小的子问题只求解一次并把结果记录在表中，这样就可以从表中得出原始问题的解。一般来说，一个算法如果基于经典从底向上动态规划方法的话，需要解出给定问题的所有较小子问题。动态规划法的一个变种试图避免对不必要的子问题求解，它利用了一种所谓的记忆功能，可以把它看作是动态规划的一种从顶至下的变种。但无论我们使用动态规划的经典从底至上版

?可行的：即它必须满足问题的约束。

?局部最优：它是当前步骤中所有可行选择中最佳的局部选择。

?不可取消：即选择一旦做出，在算法的后面步骤中就无法改变了。

这些要求对这种技术的名称作出了解释：在每一步中，它要求“贪婪”地选择最佳操作，并希望通过一系列局部的最优选择，能够产生一个整个问题的（全局的）最优解。我们尽量避免从哲学的角度来讨论贪婪是好不好。（如果大家还没有看过本章的引语中提到的那部电影，我可以告诉大家，影片中男主人公的结局并不大好。）才我们算法的角度来看，这个问题应该是，贪婪算法是否是有效的。就像我们将会看到的，的确存在某些类型问题，一系列局部的最优选择对于它们的每一个实例都能够产生一个最优解。然而，还有一些问题并不是这种情况。对于这样的问题，如果我们关心的是，或者说我们能够满足于一个近似解，贪婪算法仍然是有价值的。作为一种规则，贪婪算法看上去既诱人又简单。尽管看上去它们并不复杂，但在这种技术背后有着相当复杂的理论，它是基于一种被称为“拟阵”的抽象组合结构。

一些应用贪婪技术的案例：

Prim算法是一种为加权连通图构造最小生成树的贪婪算法。它的工作原理是向前面构造的一颗子树中添加离树中顶点最近的顶点。

Kruskal算法是另一种最小生成树问题的算法它按照权重的增序把边包含进来，以构造一颗最小生成树，并使得这种包含不会产生一条回路。为了保证这种检查的效率，需要应用一种所谓的union-find算法。

Dijkstra算法解决了单起点最短路径问题，该问题要求出从给定的顶点（起点）出发通过加权图或者有向图的其他所有顶点的最短路径。它的工作过程和Prim算法是一样的，不同点在于它比较的是路径的长度而不是边的长度。对于不含负权重的图，

Dijkstra算法总是能够产生一个正确的解。

哈夫曼树是一颗二叉树，它使得从根出发到包含一组预定义权重的叶子之间的加权路径长度达到最小。哈夫曼树的最重要的应用是哈夫曼编码。

哈夫曼编码是一种最优的自由前缀变长编码方案，它基于字符在给定文本中的出现频率，把比特串赋给字符。这是通过贪婪地构造一颗二叉树来完成的，二叉树的叶子代表字母表中的字符，而树中的边则标记为0或者1。

回溯法和分支限界法

关注那些不断已被他人成功应用的新思路。你的原创思想只应该应用在那些你正在研究的问题上。

——托马斯·爱迪生(1847-1931)

回溯和分支限界都是以构造一颗状态空间树为基础的，树的节点反映了对一个部分解所作的特定选择。如果可以保证，节点子孙所对应的选择不可能得出问题的一个解，两种技术都会立即停止处理这个节点。两种技术的区别在于它们能够处理的问题类型不同。分支限界法只能应用于最优问题，因为它基于针对一个问题的目标函数，计算其可能值的边界。回溯法并不受这种要求的制约，但在大多数情况下，它处理的是非优化问题。回溯法和分支限界法的另一个区别在于它们生成状态空间树的节点顺序不同。对于回溯法来说，它的树的生长顺序常常是深度优先的（也就是和DFS类似）。分支限界法可以根据多种规则生成节点，如最佳优先原则。

回溯的主要思想是每次只构造解的一个分量，然后按照下面的方法来评估这个部分构造解。如果一个部分构造解可以进一步构造而不会违反问题的约束，我们就接受对解的下一个分量所做的第一个合法选择。如果无法对下一分量进行合法的选择，就不必在剩下的任何分量再做任何选择了。在这种情况下，该算法进行回溯，把部分构造解的最后一个分量替换为它的下一个选择。通过对所做的选择构造一颗所谓的状态空间树，我们很容易实现这种处理。树的根代表了在查找解之前的初始状态。树的第一层节点代表了对解的第一个分量所做的选择，第二层节点代表了对解的第二个分量所做的选择，以此类推。如果一个部分构造解仍然有可能导致一个完整解，我们说这个部分解在树中的相应节点是有希望的；否则，我们说它是没希望的。叶子则要么代表了没希望的死胡同，要么代表了算法找到的完整解。在大多数情况下，一个回溯算法的状态空间树是按照深度优先的方式来构造的。如果当前节点是有希望的，

通过向部分解添加下一个分量的第一个合法选择，就生成了节点的一个子女，而处理也会转向这个子女节点。如果当前节点变得没希望了，该算法回溯到该节点的父母，考虑部分解的最后一个分量的下一个可能选择；如果这种选择不存在，它再回溯到树的上一层，以此类推。最后，如果该算法找到了问题的一个完整解，它要么就停止了（如果只需要一个解），要么回溯之后继续查找其他可能的解。

和回溯法相比，分支限界法需要两个额外的条件：

?对于一颗状态空间树的每一个节点所代表的部分解，我们要提供一种方法，计算出通过这个部分解繁衍出的任何解在目标函数上的最佳值边界。

?目前求得的最佳解的值。

如果可以得到这些信息，我们可以拿某个节点的边界值和目前求得的最佳解进行比较：如果边界值不能超越（也就是说，在最小化问题中不小于，在最大化问题中不大于）目前的最佳解，这个节点就是一个没有希望的节点，需要立即中止（也有人说把树枝剪掉），因为从这个节点生成的解，没有一个能比目前已经得到的解更好。这就是分支限界技术的主要思想。一般来说，对于一个分支限界算法的状态空间树来说，只要符合下面三种中的一种原因，我们就会中止掉它的在当前节点上的查找路径：

?该节点的边界值不能超越目前最佳解的值。

?该节点无法代表任何可行解，因为它已经违反了问题的约束。

?该节点代表的可行解的子集只包含一个单独的点（因此无法给出更多的选择）。

在这种情况下，我们拿这个可行解在目标函数上的值和目前求得的最佳解进行

比较，如果新的解更好一些的话，就用前者替换后者。

一些应用案例：

最近邻居是一种简单的贪婪算法，用来对旅行商问题近似求解。该算法的性能比是没有上界的，哪怕对一种重要的子集——欧几里德图来说，也是如此。

饶树两周也是旅行商问题的一种近似算法，对于欧几里德图来说，它的性能比是2。该算法的基本思想是在围绕最小生成树散步的时候走捷径。

背包问题有一种巧妙贪婪算法，它的基本思想是，按照价值重量比的降序处理输入物品。对于该问题的连续版本来说，该算法总能生成一个精确的最优解。

背包问题的多项式近似方案是一种参数可调的多项式时间算法，可以按照预定义的任意精度生成近似解。

解非线性方程是数值分析中最重要的领域之一。虽然我们没有非线性方程的求根公式（只有少数例外），但有若干算法可以对它们近似求解。

平方法和试位法分别是连续版本的折半查找和插值查找。它们的主要优势在于，算法在每次迭代时，都会把根括在某个区间里。

牛顿法会生成近似根的一个序列，它们都是函数图像的切线在x轴上的截距。如果选择了一个较好的初始近似值，该算法一般只需要很少的几次迭代，就能给出方程根的一个高精度近似值。

算法设计与分析(作业三)

算法设计与分析实验报告 学院信息科学与技术学院 专业班级软件工程3班 学号 20122668 姓名王建君 指导教师尹治本 2014年10月

实验四 矩阵相乘次序 一、问题提出 用动态规划算法解矩阵连乘问题。给定n 个矩阵{A 1,A 2,…,A n }，其中A i 与A i+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。要算出这n 个矩阵的连乘积A 1A 2…A n 。由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： （1）单个矩阵是完全加括号的； （2）矩阵连乘积A 是完全加括号的，则A 可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B 和C 的乘积并加括号，即A=(BC)。 例如，矩阵连乘积A 1A 2A 3A 4有5种不同的完全加括号的方式：（A 1（A 2（A 3A 4））），（A 1（（A 2A 3）A 4）），（（A 1A 2）（A 3A 4）），（（A 1（A 2A 3））A 4），（（（A 1A 2）A 3）A 4）。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。若A 是一个p ×q 矩阵，B 是一个q ×r 矩阵，则计算其乘积C=AB 的标准算法中，需要进行pqr 次数乘。 （3）为了说明在计算矩阵连乘积时，加括号方式对整个计算量的影响，先考察3个矩阵{A 1,A 2,A 3}连乘的情况。设这三个矩阵的维数分别为10×100，100×5，5×50。加括号的方式只有两种：（（A 1A 2）A 3），（A 1（A 2A 3）），第一种方式需要的数乘次数为10×100×5＋10×5×50＝7500，第二种方式需要的数乘次数为100×5×50＋10×100×50＝75000。第二种加括号方式的计算量时第一种方式计算量的10倍。由此可见，在计算矩阵连乘积时，加括号方式，即计算次序对计算量有很大的影响。于是，自然提出矩阵连乘积的最优计算次序问题，即对于给定的相继n 个矩阵{A 1,A 2,…,A n }（其中矩阵Ai 的维数为p i-1×p i ，i ＝1,2,…,n ），如何确定计算矩阵连乘积A 1A 2…A n 的计算次序（完全加括号方式），使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。 二、求解思路 本实验采用动态规划算法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。本实验的算法思路是： 1)计算最优值算法MatrixChain()：建立两张表（即程序中的**m 和**s ，利用二维指针存放），一张表存储矩阵相乘的最小运算量，主对角线上的值为0，依次求2个矩阵、3个矩阵…、直到n 个矩阵相乘的最小运算量，其中每次矩阵相乘的最小运算量都在上一次矩阵相乘的最小运算量的基础上求得，最后一次求得的值即为n 个矩阵相乘的最小运算量；另一张表存储最优断开位置。 2)输出矩阵结合方式算法Traceback()：矩阵结合即是给矩阵加括号，打印出矩阵结合方式，由递归过程Traceback()完成。分三种情况： （1）只有一个矩阵，则只需打印出A1； （2）有两个矩阵，则需打印出（A1A2）； （3）对于矩阵数目大于2，则应该调用递归过程Traceback()两次，构造出最优加括号方式。 三、算法复杂度 该算法时间复杂度最高为）（n 3 O 。 四、实验源代码

算法分析与设计(线下作业二)

《算法分析与设计》 学习中心： 专业： 学号： 姓名：

作业练习二 一、名词解释 1、MST性质 2、子问题的重叠性质 递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次，这种性质称为子问题的重叠性质。 二、简答题 1、简述动态规划算法求解的基本要素。 答：动态规划算法求解的基本要素包括： 1)最优子结构是问题能用动态规划算法求解的前提； 2)动态规划算法，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，当再次需要解此子问题时，只是简单地用常数时间查看一下结果，即重叠子问题。 2、备忘录方法和动态规划算法相比有何异同简述之。 答：备忘录方法是动态规划算法的变形。与动态规划算法一样，备忘录方法用表格保存已解决的子问题的答案，在下次需要解此问题时，只要简单地查看该子问题的解答，而不必重新计算。备忘录方法与动态规划算法不同的是，备忘录方法的递归方式是自顶向下的，而动态规划算法则是自底向上递归的。因此，备忘录方法的控制结构与直接递归方法的控制结构相同，区别在于备忘录方法为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看，避免了相同的子问题的重复求解，而直接递归方法没有此功能。

3、贪心算法求解的问题主要具有哪些性质简述之。 答：贪心算法求解的问题一般具有二个重要的性质： 一是贪心选择性质，这是贪心算法可行的第一个基本要素； 另一个是最优子结构性质，问题的最优子结构性质是该问题可用贪心算法求解的关键特征。 三、算法编写及算法应用分析题 1、设计求解如下最大子段和问题的动态规划算法。只需给出其递推计算公式即可。 最大子段和问题：给定由n 个整数（可能为负整数）组成的序列a1a2 … an，求该序列形如Σi≤k≤j ak的子段和的最大值。当所有整数均为负整数时定义其最大子段和为0。依次定义，所求的最优值为max{0, max1≤i≤j≤n Σi≤k≤j ak }。

算法设计与分析考试题及答案

算法设计与分析考试题 及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

一、填空题（20分） 1.一个算法就是一个有穷规则的集合，其中之规则规定了解决某一特殊类型问题的一系列运算，此外，算法还应具有以下五个重要特性:确定性 有穷性 可行性 0个或多个输入 一个或多个输出 2.算法的复杂性有时间复杂性 空间复杂性之分，衡量一个算法好坏的标准是 时间复杂度高低 3.某一问题可用动态规划算法求解的显着特征是 该问题具有最优子结构性质 4.若序列X={B,C,A,D,B,C,D}，Y={A,C,B,A,B,D,C,D}，请给出序列X 和Y 的一个最长公共子序列{BABCD}或{CABCD}或{CADCD ｝ 5.用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间，问题的解空间至少应包含一个（最优）解 6.动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干_子问题 ，先求解_子问题 ，然后从这些子问题 的解得到原问题的解。 7.以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为回溯法 背包问题的回溯算法所需的计算时间为o(n*2n ) ,用动态规划算法所需的计算时间为o(min{nc,2n }) 9.动态规划算法的两个基本要素是最优子结构 _和重叠子问题 10.二分搜索算法是利用动态规划法实现的算法。 二、综合题（50分） 1.写出设计动态规划算法的主要步骤。 ①问题具有最优子结构性质；②构造最优值的递归关系表达式； ③最优值的算法描述；④构造最优解； 2. 流水作业调度问题的johnson 算法的思想。 ①令N 1={i|a i =b i }；②将N 1中作业按a i 的非减序排序得到N 1’，将N 2中作业按b i 的非增序排序得到N 2’；③N 1’中作业接N 2’中作业就构成了满足Johnson 法则的最优调度。 3. 若n=4，在机器M1和M2上加工作业i 所需的时间分别为a i 和b i ，且 (a 1,a 2,a 3,a 4)=(4,5,12,10)，(b 1,b 2,b 3,b 4)=(8,2,15,9)求4个作业的最优调度方案，并计算最优值。 步骤为：N1={1，3}，N2={2，4}； N 1’={1，3}， N 2’={4，2}； 最优值为：38 4. 使用回溯法解0/1背包问题：n=3，C=9，V={6,10,3}，W={3,4,4},其解空间有长度为3的0-1向量组成，要求用一棵完全二叉树表示其解空间（从根出发，左1右0），并画出其解空间树，计算其最优值及最优解。 解空间为{(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1), (1,1,0),(1,1,1)}。 解空间树为： 该问题的最优值为：16 最优解为：（1，1，0） 5. 设S=｛X 1，X 2，···，X n ｝是严格递增的有序集，利用二叉树的结点来存储S 中的元素，在表示S 的二叉搜索树中搜索一个元素X ，返回的结果有两种情形，（1）在二叉搜索树的内结点中找到X=X i ，其概率为b i 。（2）在二叉搜索树的叶结点中确定X ∈（X i ，X i+1），其概率为a i 。在表示S 的二叉搜索树T 中，设存储元素X i 的结点深度为C i ；叶结点（X i ，X i+1）的结点深度为d i ，则二叉搜索树T 的平均路长p 为多少假设二叉搜索树T[i][j]=｛X i ，X i+1，···，X j ｝最优值为m[i][j]，W[i][j]= a i-1+b i +···+b j +a j ，则m[i][j](1<=i<=j<=n)递归关系表达式为什么 .二叉树T 的平均路长P=∑=+n i 1 Ci)(1*bi +∑=n j 0 dj *aj

2015年算法分析与设计期末考试试卷B卷

西南交通大学2015 — 2016学年第(一)学期考试试卷 课程代码 3244152课程名称 算法分析与设计 考试时间 120分钟 阅卷教师签字： __________________________________ 填空题(每空1分，共15分) 1、 程序是 (1) 用某种程序设计语言的具体实现。 2、 矩阵连乘问题的算法可由 (2) 设计实现。 3、 从分治法的一般设计模式可以看出，用它设计出的程序一般是 (3) 4、 大整数乘积算法是用 (4) 来设计的。 5、 贪心算法总是做出在当前看来 (5) 的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优 考虑，它所做出的选择只是在某种意义上的 (6) o 6、 回溯法是一种既带有 (7) 又带有 (8) 的搜索算法。 7、 平衡二叉树对于查找算法而言是一种变治策略，属于变治思想中的 (9) 类型 8、 在忽略常数因子的情况下，0、门和0三个符号中， (10) 提供了算法运行时 间的一个上界。 9、 算法的“确定性”指的是组成算法的每条 (11) 是清晰的，无歧义的。 10、 冋题的(12) 是该冋题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。 11、 算法就是一组有穷 (13)，它们规定了解决某一特定类型问题的 (14) o 12、 变治思想有三种主要的类型：实例化简，改变表现， (15) o 、 ___________________________________________________________________________________ L 线订装封密 线订装封密 、 __________________ 二 线订装封密 级班 选择题(每题2分，共20 分)

算法分析与设计作业及参考答案样本

《算法分析与设计》作业( 一) 本课程作业由两部分组成。第一部分为”客观题部分”, 由 15个选择题组成, 每题1分, 共15分。第二部分为”主观题部分”, 由简答题和论述题组成, 共15分。作业总分30分, 将作为平时成 绩记入课程总成绩。 客观题部分: 一、选择题( 每题1分, 共15题) 1、递归算法: ( C ) A、直接调用自身 B、间接调用自身 C、直接或间接 调用自身 D、不调用自身 2、分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模 较小的字问题, 这些子问题: ( D ) A、相互独立 B、与原问题相同 C、相互依赖 D、相互独立且与原问题相同 3、备忘录方法的递归方式是: ( C ) A、自顶向下 B、自底向上 C、和动态规划算法相同 D、非递归的 4、回溯法的求解目标是找出解空间中满足约束条件的: ( A )

A、所有解 B、一些解 C、极大解 D、极小解 5、贪心算法和动态规划算法共有特点是: ( A ) A、最优子结构 B、重叠子问题 C、贪心选择 D、 形函数 6、哈夫曼编码是: ( B) A、定长编码 B、变长编码 C、随机编码 D、定 长或变长编码 7、多机调度的贪心策略是: ( A) A、最长处理时间作业优先 B、最短处理时间作业优 先 C、随机调度 D、最优调度 8、程序能够不满足如下性质: ( D ) A、零个或多个外部输入 B、至少一个输出 C、指令的确定性 D、指令的有限性 9、用分治法设计出的程序一般是: ( A ) A、递归算法 B、动态规划算法

C、贪心算法 D、回溯法 10、采用动态规划算法分解得到的子问题: ( C ) A、相互独立 B、与原问题相同 C、相互依赖 D、相互独立且与原问题相同 11、回溯法搜索解空间的方法是: ( A ) A、深度优先 B、广度优先 C、最小耗费优先 D、随机搜索 12、拉斯维加斯算法的一个显著特征是它所做的随机选性决策 有可能导致算法: ( C ) A、所需时间变化 B、一定找到解 C、找不到所需的解 D、性能变差 13、贪心算法能得到: ( C ) A、全局最优解 B、 0-1背包问题的解 C、背包问题的 解 D、无解 14、能求解单源最短路径问题的算法是: ( A ) A、分支限界法 B、动态规划 C、线形规划 D、蒙特卡罗算法 15、快速排序算法和线性时间选择算法的随机化版本是:

算法分析与设计试卷

《算法分析与设计》试卷(A) （时间90分钟满分100分） 一、填空题（30分,每题2分）。 1．最长公共子序列算法利用的算法是（ B ）。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法2．在对问题的解空间树进行搜索的方法中,一个活结点最多有一次机会成为活结点的是( B ). A.回溯法 B.分支限界法 C.回溯法和分支限界法 D.回溯法求解子集树问题 3．实现最大子段和利用的算法是（ B ）。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法4．.广度优先是（ A ）的一搜索方式。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法5．衡量一个算法好坏的标准是（ C ）。 A 运行速度快 B 占用空间少 C 时间复杂度低 D 代码短 6．Strassen矩阵乘法是利用（ A）实现的算法。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 7. 使用分治法求解不需要满足的条件是（ A ）。 A 子问题必须是一样的 B 子问题不能够重复 C 子问题的解可以合并 D 原问题和子问题使用相同的方法解 8．用动态规划算法解决最大字段和问题，其时间复杂性为( B ). A.logn B.n C.n2 D.nlogn 9.解决活动安排问题，最好用（ B ）算法 A.分治 B.贪心 C.动态规划 D.穷举 10.下面哪种函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略（ B ） A．递归函数 B.剪枝函数C。随机数函数 D.搜索函数11. 从活结点表中选择下一个扩展结点的不同方式将导致不同的分支限界法,以下除( C )之外都是最常见的方式. A.队列式分支限界法 B.优先队列式分支限界法 C.栈式分支限界法 D.FIFO分支限界法 12. .回溯算法和分支限界法的问题的解空间树不会是( D ). A.有序树 B.子集树 C.排列树 D.无序树 13.优先队列式分支限界法选取扩展结点的原则是（ C ）。 A、先进先出 B、后进先出 C、结点的优先级 D、随机14．下面是贪心算法的基本要素的是（ C ）。 A、重叠子问题 B、构造最优解 C、贪心选择性质 D、定义最优解15．回溯法在解空间树T上的搜索方式是( A ). A.深度优先 B.广度优先 C.最小耗费优先 D.活结点优先 二、填空题（20分,每空1分）。 1.算法由若干条指令组成的又穷序列，且满足输入、输出、 确定性和有限性四个特性。 2.分支限界法的两种搜索方式有队列式(FIFO)分支限界法、优先队列式分支限界法，用一个队列来存储结点的表叫活节点表。

算法设计与分析考试题及答案

1.一个算法就是一个有穷规则的集合，其中之规则规定了解决某一特殊类型问题的一系列运算，此外，算法还应具有以下五个重要特性:_________,________,________,__________,__________。 2.算法的复杂性有_____________和___________之分，衡量一个算法 好坏的标准是______________________。 3.某一问题可用动态规划算法求解的显著特征是 ____________________________________。 4.若序列X={B,C,A,D,B,C,D}，Y={A,C,B,A,B,D,C,D}，请给出序列X 和Y的一个最长公共子序列_____________________________。 5.用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间，问题的解空间至少应包含___________。 6.动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干____________，先求解___________，然后从这些____________的解得到原问题的解。 7.以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为_____________。 8.0-1背包问题的回溯算法所需的计算时间为_____________,用动态规划算法所需的计算时间为____________。 9.动态规划算法的两个基本要素是___________和___________。 10.二分搜索算法是利用_______________实现的算法。 二、综合题（50分） 1.写出设计动态规划算法的主要步骤。 2.流水作业调度问题的johnson算法的思想。

最新算法分析与设计作业(一)及参考答案讲课讲稿

《算法分析与设计》作业（一） 本课程作业由两部分组成。第一部分为“客观题部分”，由15个选择题组成，每题1分，共15分。第二部分为“主观题部分”，由简答题和论述题组成，共15分。作业总分30分，将作为平时成绩记入课程总成绩。 客观题部分： 一、选择题（每题1分，共15题） 1、递归算法：（C ） A、直接调用自身 B、间接调用自身 C、直接或间接调用自身 D、不调用自身 2、分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的字问题，这些子问题：（D ） A、相互独立 B、与原问题相同 C、相互依赖 D、相互独立且与原问题相同 3、备忘录方法的递归方式是：（C ） A、自顶向下 B、自底向上 C、和动态规划算法相同 D、非递归的 4、回溯法的求解目标是找出解空间中满足约束条件的：（A ） A、所有解 B、一些解 C、极大解 D、极小解 5、贪心算法和动态规划算法共有特点是：（ A ） A、最优子结构 B、重叠子问题 C、贪心选择 D、形函数 6、哈夫曼编码是：（B） A、定长编码 B、变长编码 C、随机编码 D、定长或变长编码 7、多机调度的贪心策略是：（A） A、最长处理时间作业优先 B、最短处理时间作业优先 C、随机调度 D、最优调度 8、程序可以不满足如下性质：（D ） A、零个或多个外部输入 B、至少一个输出 C、指令的确定性 D、指令的有限性 9、用分治法设计出的程序一般是：（A ） A、递归算法 B、动态规划算法

C、贪心算法 D、回溯法 10、采用动态规划算法分解得到的子问题：（ C ） A、相互独立 B、与原问题相同 C、相互依赖 D、相互独立且与原问题相同 11、回溯法搜索解空间的方法是：（A ） A、深度优先 B、广度优先 C、最小耗费优先 D、随机搜索 12、拉斯维加斯算法的一个显著特征是它所做的随机选性决策有可能导致算法：（ C ） A、所需时间变化 B、一定找到解 C、找不到所需的解 D、性能变差 13、贪心算法能得到：（C ） A、全局最优解 B、0-1背包问题的解 C、背包问题的解 D、无解 14、能求解单源最短路径问题的算法是：（A ） A、分支限界法 B、动态规划 C、线形规划 D、蒙特卡罗算法 15、快速排序算法和线性时间选择算法的随机化版本是：（ A ） A、舍伍德算法 B、蒙特卡罗算法 C、拉斯维加斯算法 D、数值随机化算法 主观题部分： 二、写出下列程序的答案（每题2.5分，共2题） 1、请写出批处理作业调度的回溯算法。 #include #include using namespace std; class Flowing { friend int Flow(int ** ,int ,int []); private: //int Bound(int i); void Backtrack(int t); int **M;// int *x;//当前解

算法设计与分析课程设计(完整版)

HUNAN CITY UNIVERSITY 算法设计与分析课程设计 题目：求最大值与最小值问题 专业： 学号： 姓名： 指导教师： 成绩： 二0年月日

一、问题描述 输入一列整数，求出该列整数中的最大值与最小值。 二、课程设计目的 通过课程设计，提高用计算机解决实际问题的能力，提高独立实践的能力，将课本上的理论知识和实际有机的结合起来，锻炼分析解决实际问题的能力。提高适应实际，实践编程的能力。在实际的编程和调试综合试题的基础上，把高级语言程序设计的思想、编程巧和解题思路进行总结与概括，通过比较系统地练习达到真正比较熟练地掌握计算机编程的基本功，为后续的学习打下基础。了解一般程序设计的基本思路与方法。 三、问题分析 看到这个题目我们最容易想到的算法是直接比较算法：将数组的第 1 个元素分别赋给两个临时变量：fmax:=A[1]; fmin:=A[1]; 然后从数组的第 2 个元素 A[2]开始直到第 n个元素逐个与 fmax 和 fmin 比较，在每次比较中，如果A[i] > fmax，则用 A[i]的值替换 fmax 的值；如果 A[i] < fmin，则用 A[i]的值替换 fmin 的值；否则保持 fmax（fmin）的值不变。这样在程序结束时的fmax、fmin 的值就分别是数组的最大值和最小值。这个算法在最好、最坏情况下，元素的比较次数都是 2(n-1)，而平均比较次数也为 2(n-1)。 如果将上面的比较过程修改为：从数组的第 2 个元素 A[2]开始直到第 n 个元素，每个 A[i]都是首先与 fmax 比较，如果 A[i]>fmax,则用 A[i]的值替换 fmax 的值；否则才将 A[i]与 fmin 比较，如果 A[i] < fmin，则用 A[i]的值替换 fmin 的值。 这样的算法在最好、最坏情况下使用的比较次数分别是 n-1 和 2(n-1),而平均比较次数是 3(n-1)/2,因为在比较过程中，将有一半的几率出现 A[i]>fmax 情况。

(完整版)算法设计与分析期末考试卷及答案a

一．填空题(每空 2 分，共30分) 1．算法的时间复杂性指算法中的执行次数。 2．在忽略常数因子的情况下，O、和三个符号中，提供了算法运行时间的一个上界。 3．设D n表示大小为n的输入集合，t(I)表示输入为I时算法的运算时间, p(I)表示输入 I 出现的概率，则算法的平均情况下时间复杂性A(n)= 。 4．分治算法的时间复杂性常常满足如下形式的递归方程： f (n) d , n n0 f(n) af(n/c) g(n) , n n0 其中，g(n)表示。 5. 分治算法的基本步骤包括。6．回溯算法的基本思想是。 7．动态规划和分治法在分解子问题方面的不同点是。 8．贪心算法中每次做出的贪心选择都是最优选择。 9．PQ 式的分支限界法中，对于活结点表中的结点，其下界函数值越小，优先级 10．选择排序、插入排序和归并排序算法中，算法是分治算法。 11．随机算法的一个基本特征是对于同一组输入，不同的运行可能得到的结果。12. 对于下面的确定性快速排序算法，只要在步骤3 前加入随机 化步骤，就可得到一个随机化快速排序算法，该随机化步骤的功能是。 算法QUICKSORT 输入：n 个元素的数组A[1..n] 。 输出：按非降序排列的数组 A 中的元素

1. quicksort(1, n) end QUICKSORT ＿ ＿ 过程 quicksort(A, low, high) ＿ ＿ // 对 A[low..high] 中的元素按非降序排序。 ＿ 号 学 2. if low

算法设计与分析试卷(2010)

内部资料，转载请注明出处，谢谢合作。 算法设计与分析试卷(A 卷) 一、 选择题 （ 选择1-4个正确的答案, 每题2分，共20分） （1）计算机算法的正确描述是： A ．一个算法是求特定问题的运算序列。 B ．算法是一个有穷规则的集合，其中之规则规定了一个解决某一特定类型的问题的运算序列。 C ．算法是一个对任一有效输入能够停机的图灵机。 D ．一个算法，它是满足5 个特性的程序，这5个特性是：有限性、确定性、能 行性、有0个或多个输入且有1个或多个输出。 （2）影响程序执行时间的因素有哪些？ A ．算法设计的策略 B ．问题的规模 C ．编译程序产生的机器代码质量 D ．计算机执行指令的速度 （3）用数量级形式表示的算法执行时间称为算法的 A ．时间复杂度 B ．空间复杂度 C ．处理器复杂度 D ．通信复杂度 （4）时间复杂性为多项式界的算法有： A ．快速排序算法 B ．n-后问题 C ．计算π值 D ．prim 算法 （5）对于并行算法与串行算法的关系，正确的理解是： A ．高效的串行算法不一定是能导出高效的并行算法 B ．高效的串行算法不一定隐含并行性 C ．串行算法经适当的改造有些可以变化成并行算法 D. 用串行方法设计和实现的并行算法未必有效 （6）衡量近似算法性能的重要标准有： A ．算法复杂度 B ．问题复杂度 C ．解的最优近似度 D ．算法的策略 （7）分治法的适用条件是，所解决的问题一般具有这些特征： A ．该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； B ．该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题； C ．利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解 D ．该问题所分解出的各个子问题是相互独立的。 （8）具有最优子结构的算法有： A ．概率算法 B ．回溯法 C ．分支限界法 D ．动态规划法 （9）下列哪些问题是典型的NP 完全问题： A ．排序问题 B ．n-后问题 C ．m-着色问题 D ．旅行商问题 （10）适于递归实现的算法有： A ．并行算法 B ．近似算法 C ．分治法 D ．回溯法 二、算法分析题（每小题5分，共10分） （11）用展开法求解递推关系： （12）分析当输入数据已经有序时快速排序算法的不足，提出算法的改进方案。 ???>+-==1 1)1(211)(n n T n n T

算法设计心得体会(2)

算法设计心得体会 算法设计与分析学习心得 班级：物联网1201 姓名：刘潇学号：29 一、实验内容： 这学期的算法与设计课，老师布置了这四个问题，分别是货郎担问题，动态生成二维数组，对话框下拉列表，排序问题。 二、学习掌握： 基本程序描述： 货郎担问题：货郎担问题属于易于描述但难于解决的著名难题之一，至今世界上还有不少人在研究它。货郎担问题要从图g的所有周游路线中求取具有最小成本的周游路线，而由始点出发的周游路线一共有！条，即等于除始结点外的n一1个结点的排列数，因此货郎担问题是一个排列问题。货郎担的程序实现了利用穷举法解决货郎担问题，可以在城市个数和各地费用给定的情况下利用穷举法逐一计算出每一条路线的费用，并从中选出费用最小的路线。从而求出问题的解 费用矩阵：费用矩阵的主要内容是动态生成二维数组。首先由键盘输入自然数，费用矩阵的元素由随机数产生，并取整，把生成的矩阵存放在二维数组中，最后把矩阵内容输出到文件和屏幕上。它采用分支界限法，分支限界法的基本

思想是对包含具有约束条件的最优化问题的所有可行解的解空间进行搜索。该算法在具体执行时，把全部可行的解空间不断分割为越来越小的子集，并为每个子集内的解计算一个下界或上界。动态生成二维n*n的数组程序利用指针表示数组的行和列，并逐一分配空间，在输入n的数值后，系统自动分配空间，生成n*n的数组，并产生随机数填充数组，最后将结果输入到指定文件中。 Mfc：在下拉列表框中添加内容程序，在下拉列表对应的函数中利用addstring添加需要的内容。首先定义下拉列表框为ccombox型，并定义其属性名，利用addstring函数可以任意添加需要的内容。a排序问题:快速排序的运行时间与划分是否对称有关，其最坏情况发生在划分过程中产生的两个区域分别包含n-1个元素和1个元素的时候。其算法的时间复杂度为O(n 2),在最好的情况下每次划分的基准恰好为中值，可得其算法时间复杂度为O(n㏒n)。算法的实现和理解和代码实现完全是两回事，想要完全掌握一种算法，需要动手实践，用代码实现，才能理解透彻，真正掌握。b 对话框下拉列表：这个项目简单易懂，轻松实现。 三.疑问与总结： 货郎担的问题，我认为穷举法相对比而言是比较初级的方法，费时耗力，适合在练习时选用，但是在实际问题中不建议采用。克鲁斯卡尔或者普里姆算法求取最小生成树的方

算法设计与分析试卷及答案

湖南科技学院二○年学期期末考试 信息与计算科学专业年级《算法设计与分析》试题 考试类型:开卷试卷类型:C卷考试时量:1２０分钟 题号一二三四五总分统分人 得分 阅卷人 复查人 一、填空题(每小题3 分，共计30 分) １、用O、Ω与θ表示函数f与g之间得关系＿__________＿__＿_＿_＿＿_＿__＿___＿＿。 2、算法得时间复杂性为,则算法得时间复杂性得阶为_＿__＿＿____＿_＿_＿____＿＿_＿__＿。 3、快速排序算法得性能取决于_＿_____＿_______＿__＿__＿_＿___＿__。 4、算法就是__＿_＿______＿＿_＿＿__＿________＿___＿___＿___＿___＿_＿_＿_＿＿_＿__。 5、在对问题得解空间树进行搜索得方法中,一个活结点最多有一次机会成为活结点得就是＿_______＿__＿____________＿。 6、在算法得三种情况下得复杂性中,可操作性最好且最有实际价值得就是__＿_＿情况下得时间复杂性。 7、大Ω符号用来描述增长率得下限,这个下限得阶越__＿________,结果就越有价值。。 8、_＿_＿__＿_＿____＿________＿_____就是问题能用动态规划算法求解得前提。 9、贪心选择性质就是指_＿____________＿______＿_＿__＿__＿______＿________________＿__＿_____＿____＿____＿_＿______＿__＿__＿___＿_＿__＿___＿_＿＿＿________＿__。 1０、回溯法在问题得解空间树中,按______＿＿＿_＿__＿策略,从根结点出发搜索解空间树。 二、简答题(每小题10分,共计3０分) １、试述回溯法得基本思想及用回溯法解题得步骤。 2、有８个作业{１,２,…,8}要在由2台机器M1与Ｍ２组成得流水线上完成加工。每个作业加工得顺序都就是先在M1上加工,然后在M2上加工。M１与M2加工作业ｉ所需得时间分别为: M１10 2 8 12 6 ９４14

《算法分析与设计》作业参考答案

《算法分析与设计》作业参考答案 作业一 一、名词解释： 1.递归算法：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。 2.程序：程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。 二、简答题： 1.算法需要满足哪些性质？简述之。 答：算法是若干指令的有穷序列，满足性质： （1）输入：有零个或多个外部量作为算法的输入。（2）输出：算法产生至少一个量作为输出。 （3）确定性：组成算法的每条指令清晰、无歧义。 （4）有限性：算法中每条指令的执行次数有限，执行每条指令的时间也有限。 2.简要分析分治法能解决的问题具有的特征。 答：分析分治法能解决的问题主要具有如下特征： （1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； （2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质； （3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； （4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。 3.简要分析在递归算法中消除递归调用，将递归算法转化为非递归算法的方法。 答：将递归算法转化为非递归算法的方法主要有： （1）采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。该方法通用性强，但本质上还是递归， 只不过人工做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。（2）用递推来实现递归函数。 （3）通过Cooper 变换、反演变换能将一些递归转化为尾递归，从而迭代求出结果。 后两种方法在时空复杂度上均有较大改善，但其适用范围有限。 三、算法编写及算法应用分析题： 1.冒泡排序算法的基本运算如下： for i ←1 to n-1 do for j ←1 to n-i do if a[j]

算法分析与设计复习题及答案

算法分析与设计复习题及答案一、单选题 1．D 2．B 3．C 4．D 5．D 6．D 7．C 8．D 9．B 10．C 11．D 12．B 13．D 14．C 15．C 16．D 17．D 18．D 19．D 20．C 1．与算法英文单词algorithm具有相同来源的单词是（）。 A logarithm B algiros C arithmos D algebra 2．根据执行算法的计算机指令体系结构，算法可以分为（）。 Ａ精确算法与近似算法Ｂ串行算法语并行算法 Ｃ稳定算法与不稳定算法Ｄ３２位算法与６４位算法 3．具有１0个节点的完全二叉树的高度是（）。 Ａ６Ｂ５Ｃ3Ｄ 2 4．下列函数关系随着输入量增大增加最快的是（）。 Ａlog2n B n2 C 2n D n! 5．下列程序段的S执行的次数为( )。 for i ←0 to n-1 do for j ←0 to i-1 do s //某种基本操作 A.n2 B n2/2 C n*(n+1) D n(n+1)/2 6．Fibonacci数列的第十项为( )。 A 3 B 13 C 21 D 34 7．4个盘子的汉诺塔，至少要执行移动操作的次数为( )。 A 11次 B 13次 C 15次 D 17次 8．下列序列不是堆的是（）。 A 99，85，98，77，80，60，82，40，22，10，66 B 99，98，85，82，80，77，66，60，40，22，10 C 10，22，40，60，66，77，80，82，85，98，99 D 99，85，40，77，80，60，66，98，82，10，22 9．Strassen矩阵乘法的算法复杂度为（）。 ＡΘ(n3)ＢΘ(n2.807) ＣΘ(n2) ＤΘ(n) 10．集合A的幂集是（）。 A．A中所有元素的集合 B. A的子集合 C． A 的所有子集合的集合 D. 空集 11．与算法英文单词algorithm具有相同来源的单词是（）。 A logarithm B algiros C arithmos D algebra 12．从排序过程是否完全在内存中显示，排序问题可以分为（）。 Ａ稳定排序与不稳定排序Ｂ内排序与外排序 Ｃ直接排序与间接排序Ｄ主排序与辅助排序 13．下列（）不是衡量算法的标准。 Ａ时间效率Ｂ空间效率 Ｃ问题难度Ｄ适应能力 14．对于根树，出度为零的节点为（）。 Ａ０节点Ｂ根节点Ｃ叶节点Ｄ分支节点 15．对完全二叉树自顶向下，从左向右给节点编号，节点编号为１0的父节点编号为（）。 Ａ０Ｂ２Ｃ４Ｄ６ 16．下列程序段的算法时间的复杂度为（）。 for i ←0 to n do for j ←0 to m do

算法设计与分析学习总结

算法分析与设计 学习总结 题目:算法分析与设计学习总结 学院信息科学与工程学院专业2013级计算机应用技术 届次 学生姓名 学号2０１31１0６57 二○一三年一月十五日

算法分析与设计学习总结 本学期通过学习算法分析与设计课程，了解到:算法是一系列解决问题的清晰指令,代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。算法能够对一定规范的输入,在有限时间内获得所要求的输出。如果一个算法有缺陷，或不适合某个问题,执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂性和时间复杂度来衡量。算法可以使用自然语言、伪代码、流程图等多种不同的方法来描述。计算机系统中的操作系统、语言编译系统、数据库管理系统以及各种各样的计算机应用系统中的软件，都必须使用具体的算法来实现。算法设计与分析是计算机科学与技术的一个核心问题。 设计的算法要具有以下的特征才能有效的完成设计要求，算法的特征有：（1）有穷性。算法在执行有限步后必须终止。(2)确定性。算法的每一个步骤必须有确切的定义。(3)输入。一个算法有0个或多个输入,作为算法开始执行前的初始值，或初始状态。(4）输出。一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的。 (5)可行性。在有限时间内完成计算过程。 算法设计的整个过程,可以包含对问题需求的说明、数学模型的拟制、算法的详细设计、算法的正确性验证、算法的实现、算法分析、程序测试和文档资料的编制。算法可大致分为基本算法、数据结构的算法、数论与代数算法、计算几何的算法、图论的算法、动态规划以及数值分析、加密算法、排序算法、检索算法和并行算法。 经典的算法主要有: 1、穷举搜索法 穷举搜索法是对可能是解的众多候选解按某种顺序进行逐一枚举和检验，bing从中找出那些符合要求的候选解作为问题的解。 穷举算法特点是算法简单，但运行时所花费的时间量大。有些问题所列举书来的情况数目会大得惊人，就是用高速计算机运行,其等待运行结果的时间也将使人无法忍受。我们在用穷举算法解决问题是，应尽可能将明显不符合条件的情况排除在外，以尽快取得问题的解。 2、迭代算法 迭代法是数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题（一般是解方程或方程组)的过程，为实现这一过程所使用的方法统称为迭代法。迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为ｆ(ｘ)=0,用某种数学方法导出等价的形式x=g(x),然后按以下步骤执行： （1）选一个方程的近似根，赋给变量x0。 (2)将ｘ0的值保存于变量x1，然后计算g(x1),并将结果存于变量x0。 (3）当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（２）的计算。 若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛,则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。 3、递推算法 递推算法是利用问题本身所具有的一种递推关系求问题解的一种方法。它把问题分成若干步，找出相邻几步的关系,从而达到目的。 4、递归算法 递归算法是一种直接或间接的调用自身的算法。 能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为ｎ的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模

《算法分析与设计》期末试题及参考答案

《算法分析与设计》期末试题及参考答案 一、简要回答下列问题： 1.算法重要特性是什么？ 1.确定性、可行性、输入、输出、有穷性 2. 2.算法分析的目的是什么？ 2.分析算法占用计算机资源的情况，对算法做出比较和评价，设计出额更好的算法。 3. 3.算法的时间复杂性与问题的什么因素相关？ 3. 算法的时间复杂性与问题的规模相关，是问题大小n的函数。 4.算法的渐进时间复杂性的含义？ 4．当问题的规模n趋向无穷大时，影响算法效率的重要因素是T(n)的数量级，而其他因素仅是使时间复杂度相差常数倍，因此可以用T(n)的数量级(阶)评价算法。时间复杂度T(n)的数量级(阶)称为渐进时间复杂性。 5.最坏情况下的时间复杂性和平均时间复杂性有什么不同？ 5. 最坏情况下的时间复杂性和平均时间复杂性考察的是n固定时，不同输入实例下的 算法所耗时间。最坏情况下的时间复杂性取的输入实例中最大的时间复杂度： W(n) = max{ T(n，I) } , I∈Dn 平均时间复杂性是所有输入实例的处理时间与各自概率的乘积和： A(n) =∑P(I)T(n，I) I∈Dn 6.简述二分检索（折半查找）算法的基本过程。 6. 设输入是一个按非降次序排列的元素表A[i：j] 和x，选取A[(i+j)/2]与x比较， 如果A[(i+j)/2]=x，则返回(i+j)/2，如果A[(i+j)/2]