求函数的极限论文
求函数极限的几种特殊方法
摘要：求解函数极限为高等数学研究的基本内容之一，但由于函数种类之多，所以求解函数极限的方法也很多，
下面主要是通过举例介绍求解函数极限的几种特殊方法. 关键词：函数 极限 特殊求法
函数是高等数学研究的基本对象之一,可是极限是其研究的重要工具，所以是大家所必须掌握的内容之一,但由于函数的种类繁多，因而在如何求解函数的极限问题上尤为困难，故掌握一定的求解函数极限的方法是十分必要的.下面是通过举例来介绍几种求解函数极限的特殊方法，试图扩大大家对求解函数极限进一步的认识.
一、利用洛必达法则求解函数极限
定理一 若函数()f x 和()g x 满足： （1）0
lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；
（2）在0()o U x 内两者都可导，且'()0g x ≠； （3）0
'()lim '()
x x f x A g x →=（A 为任意的实数，包括±∞或∞）
则 ：
00
()'()lim
lim
()
'()
x x x x f x f x A g x g x →→==.
定理二 若函数()f x 和()g x 满足： （1）0
lim ()lim ()x x x x f x g x →→==∞；
（2）在0()o U x 内两者都可导，且'()0g x ≠； （3）0
'()lim '()
x x f x A g x →=（A 为任意的实数，包括±∞或∞）
则：
00
()'()lim
lim
()
'()
x x x x f x f x A g x g x →→==.
洛必达法则常用来求不定式的极限，上面两个定理分别介绍了用洛达法则求关于
00
型和
∞∞
型不定式极限，对于其他形式的不定式极限，可以由这两种形式通过取对数
或取倒数进行转化而得到，在此不对其他形式的定理进行详述.但是在利用洛必达法则求解函数极限时要注意，洛必达法则是用来求解不定式的函数极限，对于不是不定式形式的函数极限，我们则不能采用洛必达法则进行求解.
例1：求下列函数的极限 ①2
22sin ()sin 5lim
1
x
x x x
e
π
π→--; ②2
ln 5lim (x x x →∞
+;
③320
lim (ln )x x x +
→.
解：① 本题为0
型的不定式的极限，根据洛必达法则可以求得.
2
22
sin ()sin 5lim
1
x
x x x
e
π
π→--2
sin ()()sin 5lim
1
x
x x x x
e
π
ππ→-+=-
2
sin 2()sin 5lim
1
x
x x x
e
π
ππ→-=-
2
sin sin 55()cos 52lim
2sin cos x
x x x x
x xe
π
ππ→+-=
10cos 525()sin 52lim
2cos 2x x x x
x
π
ππ→--=
10π=-.
② 本题为0∞型的不定式极限，可以通过取对数进行转化为
∞∞
型的极限来求
解，以便使此问题得到简化. 因为
2
ln 2ln(ln(ln x
x x x
++=
所以
2
ln ln(lim ln(2lim
ln x
x x x x x
→∞
→∞
++= 2lim
x x
→∞
=2=
因此得
2
2
ln
lim(x
x
x e
→∞
+=
故
2
2
ln
5lim(5
x
x
x e
→∞
+=.
③本题为0?∞型的不定式极限，因此可以通过取倒进行转化为∞
∞
型的函数极限，进而简化问题.
所以得
2
323
000
3
(ln)2
lim(ln)lim lim ln
13
x x x
x
x x x x
x
+++
→→→
==-
4
00
3
1
2ln2
lim lim
1
333
x x
x x
x
x
++
→→
=-=-
-
3
21
lim()0
33
x
x
+
→
=--=.
例2：求
sin
3
1
lim
arcsin
x x
x
e
x
-
→
-
.
分析：洛必达法则是求极限的一种有效方法，但有时计算过程较为麻烦，要注意及时化简并与求极限的其他方法相结合（如等价无穷小代换等），以便简化运算.
解：此题是一个0
型的不定式，可以先进行等价无穷小代换因为1~(0)
x
e x x
-→
所以sin1~sin(0)
x x
e x x x
---→,又因为a rc s in~(0)
x x x→ ,所以33
arcsin~(0)
x x x→
所以
sin
33
00
1sin
lim lim
arcsin
x x
x x
e x x
x x
-
→→
--
=
2
1cos
lim
3
x
x
x
→
-
=
sin
lim
6
x
x
x
→
=
cos
lim
6
x
x
→
=
1
6
=.
例3：如果函数f在点a处具有连续的二阶导数，证明：
2
()()2()
lim''()
h
f a h f a h f a
f a
h
→
++--
=
分析：这是一个0
型的不定式极限，可以先运用洛必达法则进行求解，再运用导数的定义求导.
解： 原式=0
'()'()lim
2h f a h f a h h
→+--
=0
1'()'()
'()'()
lim (
)2
h f a h f a f a h f a h
h
→+---+
-
1(''()''())2
f a f a =
+''()f a =.
二、 利用泰勒公式求解函数极限
泰勒定理: 如果函数f 在点0x 处存在直到n 阶的导数，则有
0()()(())n
n f x T x o x x =+-，
即
(2
00000000''()()
()()'()()()()(())2!
!
n n
n
f x f
x f x f x f x x x x x x x o x x n =+-+
-++
-+- ）
上式则称为函数()f x 在点0x 处的泰勒公式.当0x ＝0时，泰勒公式又称为麦克劳林公式.我们把(2
0000000''()()
()()'()()()()2!
!
n n
n f x f
x T x f x f x x x x x x x n =+-+-++
- ）
叫
做函数()f x 在点0x 处的泰勒多项式.
泰勒公式的意义：泰勒公式给出了函数()f x 关于0x x -的一个n 次多项式()n T x ，它与函数()f x 的差0()(())n n R x o x x =-是比0()n x x -高阶无穷小，用它可以将一些特殊的函数展成一个形如0x x -的多项式的形式.
例4：求下列函数的极限 ①2
2
4
cos lim
x
x x e
x
-→- ; ②4
cos(sin cos lim
sin x x x
x
→-）.
解：①为了比较简单的来求解此题的函数极限，我们可以运用泰勒公式进行求解，可是又因为考虑到极限的分母为4x ，所以说在运用麦克劳林公式表示极限的分子时应让4n =.因为2
4
5cos 1()2
24
x
x
x x =-
+
+ ,又因为2
4
5
1()2
24
x
x
x
e x x =++
+
+ ,
所以2
2
4
5
2
1()2
8
x
x
x
e
x -
=-
+
+ ,故
2
2
4
cos lim
x
x x e
x
-
→-2
4
2
4
5
5
4
(1())(1())
2
24
2
8
lim
x x
x
x
x
x x x
→-+
+--
+
+=
4
5
4
()12
lim
x x
x x
→-+= 112
=-
.
②本题主要运用到了两个初等函数的麦克劳林公式：
3
5
21
1
2sin (1)
()3!5!(21)!
n n n
x
x
x
x x o x
n --=+
++-+- -
2
4
221
cos 1(1)
()2!
4!
(2)!
n
n
n x
x
x
x o x
n +=-
+
++-+
当0x →时sin ~x x ，则44(sin )~()(0)x x x οο→，又因为函数cos(sin x ）满足泰勒定理的条件，所以有：
4
2
4
1sin cos(sin 1sin (sin )2
24
x x x x ο=-
+
+）
3
3
42
444
111(())(())()
2
3!
24
3!
x x
x x x x x οοο=-
-
++
-
++
4
2
4
151()2
24
x
x x ο=-
+
+
又由于2
4
4
cos 1()2!
4!
x
x
x o x =-
+
+因为
4
2
4
2
4
4
15cos(sin )cos [1()][1()]2
24
2!
4!
x
x
x
x x x x o x ο-=-
+
+--
+
+4
4
()6
x
x ο=
+
所以
4
cos(sin cos lim
sin x x x
x
→-）4
4
4
4
4
()1()
16
lim lim (
6
6
x x x
x x x
x
οο→→+==+
=
）.
三、利用定积分的定义及其性质来求解函数极限
定义：设f 为定义在[,]a b 上的一个函数，J 为一个确定的实数，如果对于任意的正数ε，总是存在着这样的一个正数δ，使得对[,]a b 的任何分割T ，以及在其上的任意选取的点集{i ξ},只要满足x δ<，就有
1
()n
i i i f x J ξε
=?-<∑
则称为函数f 在区间[,]a b 上可积，数J 称为f 在[,]a b 上的定积分，记作
()b a
J f x dx =
?
上式通常也写作
1
lim
()()n
b i i a
T i J f x f x dx
ξ→==?=
∑
?
运用定积分的定义求函数极限，关键在于将极限式转化为积分和1
()n
i i i f x ξ=?∑的形
式，从中判断出被积函数()f x 及其积分区间[,]a b .
例5：求3
3
3
4
1lim (123)n n n
→∞
++++ .
分析：3
3
3
4
1lim
(123)n n n
→∞
++++ 可以转化成某种积分和的形式，即：
3
3
3
4
1lim
(123)n n n
→∞
++++ =3
1
1
lim
()n
n i i n
n
→∞
=∑.
解：由于
333
3
4
1
11
lim
(123)lim
()n
n n i i n n
n
n
→∞
→∞
=++++=∑
取分割1i x n
?=，1[
,]i i i i
n
n n
ξ-=
∈（其中1,2,3,i n = ） 由此我们可以看出来该和式为函数3()f x x =在区间[]0,1上的一个积分和， 所以
1
4
1333
3
4
11lim
(123)4
4
n x
n x dx n
→∞
++++=
=
=
?
.
例6：求1
12lim (()()())n n n
g g g n n n
→∞
，其中函数()g x 在[]0,1上连续，且()0g x >.
分析：直接求很难求其极限，我们采用转化法，想法运用定积分来求解. 解：令 1
1
2
(()()())n n n
a g g g n
n
n
= ，则有：
1
12ln ln[()()()]n n a g g g n n n n =
112[ln ()ln ()ln ()]n g g g n n n n
=+++ 1
1ln ()n
i i g n
n ==∑
取分割1i x n
?=，1[
,]i i i i
n
n n
ξ-=
∈，(1,2,,)i n = ， 由此我们可以看出该和式为函数()ln ()f x g x =在区间[]0,1上的一个积分和. ∴ 10
1
1
lim ln lim
ln ()ln ()n
n n n i i a g g x dx
n
n
→∞
→∞
===
∑?
∴ 1
0ln ()lim g x dx
n n a e
→∞
?=
即
1
1
2
lim (()()())n n n
g g g n n n
→∞ 1
0ln ()g x dx
e ?=.
四、利用积分中值定理求解函数极限
积分第一中值定理：若f 在[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b ξ∈， 使得： ()()()b
a f x dx f
b a ξ=-?
推广的积分第一中值定理：若f 和g 都在[,]a b 上连续，且()g x 在[,]a b 上不变 则至少存在一点[,]a b ξ∈使得：
()()()()b b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=?
?
在这里我主要是探讨了运用积分第一中值定理来求函数极限.
例7：求10
lim 1
n
n x
dx x →∞
+?
.
分析：常规思路是先求出10
1
n
x
dx x +?的值，再求极限,但在此题中，运用求积分的
方法很难求出10
1
n
x
dx x +?
的值.
解：令()1f x x =+、()n g x x =，可以知道()f x 和()g x 在区间[0,1]上是连续的，
且()g x 在区间[0,1]上是不变号的.
∴ 根据第一积分中值定理，存在这样的一点[0,1]ξ∈使得，
110
11
1n
n
x
dx x dx x ξ
=
++?
?
∴ 10
lim 1
n
n x
dx x →∞
+?
10
1lim
1n
n x dx ξ→∞
=+?
1
1
11lim
.
lim
11
11
n n n n ξξ
→∞
→∞
==
++++
0=
即 10
lim 01
n
n x
dx x →∞
=+?
.
例8：设f 在[0,)+∞上连续，且lim ()x f x A →+∞
=，证明 0
1lim
()x x f t dt A
x
→+∞
=?
.
分析：本题是一道综合性很强的题目，考查的知识点范围广，难度较高，但只要认真分析，解决起来也是很简单的，运用积分中值定理是解决本题的关键.
证明：由积分区域可加性有：
111()()()x x f t dt f t dt f t dt
x
x
x
=
+
?
又 ∵ ()f x 在[0,)+∞上连续，根据连续函数的有界性我们可以知道()f x M ≤（M 为常数），又由定积分的性质，有
1
1
1
()()0()
M f t dt f t dt dt x x
x
x
x
≤
≤
=
=
→→+∞，
而对于
1
()x
f t dt x
，因为f 在[0,)+∞上连续，利用积分第一中值定理可以知道，存在
这样的(x ξθ=-
（01θ<<）有
1
1
()(()
x
f t dt x f x
x
ξ=
-
而当x →+∞时，ξ→+∞ 又 ∵lim ()x f x A →+∞
=
∴ 11lim
()lim
(()x
x x f t dt x f x
x
ξ→+∞
→+∞
=-lim ()(1lim ()x f f ξξξ→+∞
→+∞
=-
=A =
∴
1
1
1
lim
()lim
()lim
()x x x x x f t dt f t dt f t dt
x
x
x
→+∞
→+∞
→+∞
=+? 0A A =+=.
命题得证.
五、用欧拉常数求解函数极限
已知111lim (1ln )2
3
n n c n
→∞
+
+
++
-= （1）
我们把c 叫做欧拉常数.它最早是由瑞士数学家昂哈德·欧拉在1735年所定义的，其数值约等于0.57721.
欧拉常数是一类特殊的常数，有着许多应用，在此运用欧拉常数来求一些特殊的极限.
例9：求11
1123
lim
ln n n n
→∞
+
+++
.
分析：由极限的定义，根据（1）式可以知道1111ln 23n
c n n
ε+
+++
=++ ，其中
lim 0n n ε→∞
=，由此可以对本题进行变形求解.
解：由于111lim (1ln )2
3
n n c n
→∞
+
+
++
-= ，
有1111ln 2
3
n
c n n
ε+
+
++
=++ ，其中lim 0n n ε→∞
=
∴ 11
1
12
3lim
ln n n n
→∞
+
+
++
ln lim lim (1)lim 11ln ln ln n n n n n n c n c c n n
n εεε→∞→∞→∞++++==+=+=
例10
：已知12!n n n
n
n n e
θ-+
=?，其中01n θ≤≤
，求111
lim 1
(1)
n
i
n i
i e
i
-
→∞
=+∏
.
分析：本题从表面上看起来比较复杂，无从下手，可是只要仔细的分析，还是可以做出来的.
解：由于111lim (1ln )2
3
n n c n
→∞
+
+
++
-=
有1111ln 2
3
n
c n n
ε+
+
++
=++ ，其中lim 0n n ε→∞
=
∴
111
lim 1
(1)
n
i
n i
i e
i
-
→∞
=+
∏
1
11(1)232
lim
2
3
1
()()
12n n
n n
e n n
-+
+++→∞
=+?
111
(1)23!lim
(1)
n n
n
n n e
n -+
+++→∞
=+
lim
(1)
n n
→∞
=
+
12
()
1
n
n
n c n
n
e e e
n
θ
ε
-
-
→∞
=???
+
1c
--
=.
本文通过举例介绍了用五种特殊方法求函数极限，但求函数极限的方法并不止此五种，希望大家不要拘泥于此，应继续深化研究，扩大知识面.
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].三版.北京：高等教育出版社，2001.
[2]刘敏思，何穗.数学分析选讲[M].武汉：华中师范大学出版社，2007.
[3]刘玉琏等.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1992.
[4]涂荣豹.数学教学认识论[M].南京：南京师范大学出版社，2003.
[5]张学元.高等数学能力解题[M].武汉：华中理工大学出版社，2001.
[6]吴炯圻.数学专业英语[M].北京：高等教育出版社，2005.
[7]张敏捷.函数极限的几种特殊求法[J].黄石理工学院学报，2008，24(2):56-58.
[8]储庆.例说求解极限的几种特殊方法[J].武汉电力职业技术学院学报，2008，6(4):3-4.
[9]司清亮.极限求法分析[J].新乡师范高等专科学校学报，2002，16(4):3-4.
[10]杨建荣.谈求极限的主要方法[J].科技信息，2007，30:533-561.
Getting Function Limit Of Some Special Methods Name:Liangrui Student Number:200729010119 Advisor:Liujing Abstract Getting function limit is one of basic content in researching of mathematical analysis. there are many methods to get the limit of functions, As there are many kinds of functions. Now ,we will introduce some special methods to get function limit.
Key words function limit special methods
函数与极限练习题
第一章 函数与极限 §1 函数 一、是非判断题 1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。 [ ] 2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有 B x f A ≤≤)( [ ] 3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。 [ ] 4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。 [ ] 5、任一周期函数必有最小正周期。 [ ] 6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3x f 必是奇函数。 [ ] 7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。 [ ] 8、f(x)=1+x+ 2 x 是初等函数。 [ ] 二．单项选择题 1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是 （A ）||ln x e y = （B ）2x y = （C ）44x y = （D ）x x y sgn = 2、下列函数中 既是奇函数，又是单调增加的。 （A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ??则函数==是 （A ）x 2log （B ）x 2 （C ）22log x （D ）2 x 4、若)(x f 为奇函数，则 也为奇函数。 (A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C) );()(x f x f + (D) )].([x f f - 三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。 1、 y=) 1arctan(+x e 2、 y=x x x ++ 3、 y=x ln ln ln
函数极限连续概念解析
函数、极限、连续概念解析 1、下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等。 A. x x g x x f ==)(,)()(2 B. 1)(,11)(2+=--=x x g x x x f C. x x g x x f ln 2)(,ln )(2== D. 1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f 分析：从函数的两个要素可知，两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则相同，而与自变量或因变量所用的字母无关。 正确答案：D 2、下列结论中正确的是（ ）。 A. 周期函数都是有界函数 B. 基本初等函数都是单调函数 C. 奇函数的图形关于坐标原点对称 D. 偶函数的图形关于坐标原点对称 分析：首先要清楚函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性的定义，还要知道奇偶函数的图形特点。 正确答案：C 3、周期函数是否一定有最小正周期？ 答：不一定有最小正周期．尽管我们所学的周期函数函数一般都有最小正周期，但周期函数不一定有最小正周期．例如常值函数()f x C =是一个以任意正数为周期的周期函数，它没有最小正周期。 4、判断下列数列的极限：（1）(1)n n ??-????， （2）1n e ???????? ?????? ?。 分析：本题只要求对数列的极限作出判断，根据数列极限的定义，利用观察法，看在n →∞的过程中数列通项n x 的变化趋势。 解：（1）因为n →∞时虽然(1)n n x n -=的符号时正时负，但(1)10n n n -=→，
所以数列(1)n n ??-????的极限为0。 （2）因为数列的通项11n n n x e e ??== ???，当n →∞时分母n e →∞，所以10n e →，故该数列的极限是0。 5、无界数列必发散吗？ 分析：已知性质：收敛数列必有界．用反证法。 正确答案：无界数列必发散。 6、发散数列一定无界吗？有界数列必收敛吗？ 分析：发散数列除了lim n n x →∞ =∞的情况外，还有其它情况。例如：数列(1)n n x =-发散，但有界。 正确答案：发散数列不一定无界，有界数列也不一定收敛。 7、无穷小量是很小的数，对吗？零是无穷小量吗？ 分析：无穷小量是指趋于零的变量。 正确答案：无穷小量不是很小的数，但零是无穷小量。 8、连续函数的三个要求缺一不可吗？ 分析：连续函数的三个要求为：①()f x 在0x 点有定义；②0lim ()x x f x →存在；③00lim ()()x x f x f x →=。三者如缺一，则为间断（不连续）。例如：①1()sin f x x =在0x =点无定义，故间断；②1sin ,0()1,0x f x x x ?≠?=??=? 在0x =点虽然有定义，01limsin x x →不存在，故也间断；③1sin ,0()1, 0x x f x x x ?≠?=??=? 在0x =点虽然有定义，且01lim sin 0x x x →=，但01lim sin 01(0)x x f x →=≠=，故间断。
数列、函数上下极限的性质及其应用文献综述
文献综述 数列、函数上下极限的性质及其应用 一、前言部分 极限的概念是数学分析中最基本的概念之一,也是高等数学中的一个最重要的理论部分.极限思想在数学中起着非常重要的作用.数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果.” 极限思想 揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想,人们可以从有限认识无限,从直线形认识曲线形从不变认识变,从量变认识质变,从近似认识精确. 极限思想是社会实践的产物.极限的思想可以追溯到古代,在我国春秋战国时期虽已有极限思想的萌芽.但从现在的史料来看,这种思想主要局限于哲学领域,还没有应用到数 学上,当然更谈不上应用极限方法来解决数学问题.直到公元3世纪，我国魏晋时期的数学 家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”．由于他所采用的圆的半径为1,这样 圆的面积在数值上即等于圆周率,所说刘徽成功地创立了科学的求圆周率的方法.刘徽采用的具体做法是:在半径为一尺的圆内,作圆的内接正六边形,然后逐渐倍增边数,依次算出内 接正6边形、正12边形、… 、直至562?(192)边形的面积。他利用公式22 n n r l s n ?=?(n l 为内接正n 边形的边长，2n s 为内接2n 边形的面积)来求正多边形的面积.他的极限思想是“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失”.第一个创造性地将极限思想应用到数学领域.这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础. 刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用:古希腊人的穷竭 法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”,他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明．到了16世纪,荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观运用极限思想思考问题 ，放弃 了归谬法的证明.如此,他在无意中将极限发展成为一个实用概念．从这一时期开始，极限与微积分开始形成密不可分的关系，并且最终成为微积分的直接基础。尽管极限概念被明确提出，可是它仍然过于直观，与数学上追求严密的原则相抵触.到18世纪时，罗宾斯、达朗贝尔与罗伊里艾等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础，并且都对极限做
归纳函数极限的计算方法
归纳函数极限的计算方法 1. 预备知识 1.1函数极限的εδ-定义]1[ 设函数f 在点0x 的某个空心邻域'0(;)U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的 0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数当趋于0 x 时以A 为极限，记作0 lim ()x x f x A →=或()f x A →0()x x →. 2.求函数极限的方法总结 极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极限，本着化繁为简的思想，产生了极限的四则运算法则；由“数列的单调有界准则”和“迫敛准则”产生了两个重要极限和无穷小量的性质—有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量；由中值定理得出了罗必达法则.以上也是我们求极限的理论依据，但在个依据下求极限又有各自的技巧. 2.1依据函数极限的迫敛性求极限 函数极限的迫敛性 设0 lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==，且在某'0(;)U x δ内有 ()()()f x h x g x ≤≤，则0 lim ()x x h x A →=. 例1求极限]1[lim 0x x x → 解：当0>x 时，有 1]1 [1≤<-x x x 而1)1(lim 0 =-+→x x ,由函数迫敛性可得 1]1 [lim 0=+→x x x 同理可得0
数列、函数上下极限的性质及其应用【文献综述】
毕业论文文献综述 数学与应用数学 数列、函数上下极限的性质及其应用 一、前言部分 极限的概念是数学分析中最基本的概念之一,也是高等数学中的一个最重要的理论部分.极限思想在数学中起着非常重要的作用.数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果.” 极限思想 揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想,人们可以从有限认识无限,从直线形认识曲线形从不变认识变,从量变认识质变,从近似认识精确. 极限思想是社会实践的产物.极限的思想可以追溯到古代,在我国春秋战国时期虽已有极限思想的萌芽.但从现在的史料来看,这种思想主要局限于哲学领域,还没有应用到数 学上,当然更谈不上应用极限方法来解决数学问题.直到公元3世纪，我国魏晋时期的数学 家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”．由于他所采用的圆的半径为1,这样 圆的面积在数值上即等于圆周率,所说刘徽成功地创立了科学的求圆周率的方法.刘徽采用的具体做法是:在半径为一尺的圆内,作圆的内接正六边形,然后逐渐倍增边数,依次算出内接正6边形、正12边形、… 、直至562?(192)边形的面积。他利用公式22 n n r l s n ?=?(n l 为内接正n 边形的边长，2n s 为内接2n 边形的面积)来求正多边形的面积.他的极限思想是“割 之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失”.第一个创造性地将极限思想应用到数学领域.这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础. 刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用:古希腊人的穷竭 法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”,他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明．到了16世纪,荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观运用极限思想思考问题 ，放弃 了归谬法的证明.如此,他在无意中将极限发展成为一个实用概念．从这一时期开始，极限与微积分开始形成密不可分的关系，并且最终成为微积分的直接基础。尽管极限概念被明确提
函数的上下极限和应用 数学毕业论文
2012届本科毕业论文 函数的上下极限及其应用 学 院： 数学科学学院 专业班级：数学与应用数学08班 学生姓名： 指导教师： 答辩日期：2012年5月 3 日 新疆师范大学教务
目录 引言 (1) 1. 数列上下极限的基本概念 (1) 2．函数上下极限的定义及等价述 (2) 3．单侧上，下极限 (6) 4.函数上，下极限的不等式 (6) 总结 (6) 5.函数得上下极限列题 (6) 参考文献 (8)
函数的上下极限及其应用 摘要：数列的上、下极限和函数的上、下极限是数列极限和函数极限的进一步加深和推广，所以我们将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题. 关键词：函数；数列；上极限；下极限
引言 数列的上、下极限对于研究数列的性质有重要作用，本文将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题. .1数列上下极限的基本概念 定义：数列{}n x 的上，下极限可用εδ-语言来描述如下：数lim n x μ=意指如下两条件成立： a ）ε?> 0，n x 终<εμ+（即ε?> 0，?N> 0当n > N 时，恒有n x <εμ+） （此条等价于：?c>μ，n x 终
函数的极限(一)
函数的极限（一） 首先要求同学们用自己的语言，将数列和函数的极限在自变量一定趋向下的极限定义，准确地写在自己的笔记本上，并画出极限的几何意义，结合做习题，仔细体会其中的几套特殊N X εεεδ---“”，“”，“” 数学语言的含义，在逻辑上弄清哪个在先，哪个在后，哪个是前提，哪个是结果。更重要的是，应努力使自己理解极限的动态过程，区别这样的研究方式与中学所学习的内容的研究方式究竟有什么不同，其本质在哪里？ 第二，要把极限的性质（以几个定理形式出现），无穷大与无穷小，无穷小运算法则，极限的运算法则，和极限存在的两个著名准则等，逐步去理解，自己给自己多提些疑问。（说到这里，我还是感觉到大多数同学还不会提问，他只能按书上的话去划线打杠杠，这实在令人失望。你没有自己的语言吗？不会用自己的语言把书上的内容讲出来，等于没有学明白！） 总之，使自己能尽快适应大学的学习内容和学习方式，否则，你很快就会落后，从差不多同一个起跑线上拉下来。 这个材料，我想针对我的教学体会，通过例子的形式，讲一些书上没有的东西，讲一些大家通常容易犯的毛病，重点在基本概念和方法。我想，通过近一个星期的教学活动，大家对极限有了初步的认识，这个材料正逢其时，讲早了，不行，讲晚了，也不行，因为后面的内容还多着呢，大家来不及消化。 我还是先把数列极限的概念进行再次消化。我提醒过大家：不要追求学习速度，把书看得飞快，只以会做书上的习题为衡量尺码，不求深入理解，这样的学习要不得。与其讲速度，不如追求深度！ 好，请大家现在消化吧！ 一．有关数列极限概念的一些问题 例1.1 若不管ε是怎样的正数，在A 的ε邻域内总有数列的无穷多个项，那么能否讲数列{}n a 以A 为极限？ 解：粗看似乎数列{}n a 应以A 为极限，其实不然。按照数列极限的定义，,()n a A n →→∞是要求当n 充分大后，所有的项()n a n N >都落在A 的ε邻域内，几何上是落在y A ε=±两条平行线构成的带子内。现在题目说，在这个带子内有无穷多项。但是这里笼统地说无穷多项，并没有一定包括了n 充分大以后的项，很可能有项序数小于N 的项，所以，还不能说{}n a 以A 为极限。例如下列数列： 1234(1)1,1,1,1,,1,23451 n n n -- + - + + + 可以看出，在2的ε邻域内（不管ε是怎样的正数）总有数列的无穷多项，但是此数列不以A=2为极限，它在点O 的ε邻域内总有其无穷个项，此数列是发散的（为什么？明白吗？）。 例1.2 若存在一个正数0ε，在A 的0ε邻域里只存在数列{}n a 有限多个项，那么能否讲数列{}n a 不以A 为极限？ 解：除了常数列外（包括当n 充分大后数列为常数的情况），可以这样讲，因为不管n 取多大，总有数列的项不在A 的0ε邻域之内，这样，当n N >时，总有数列中的项，使得||n a A -<0ε，
数列、函数上下极限的性质及其应用【开题报告】
毕业论文开题报告 数学与应用数学 数列、函数上下极限的性质及其应用 一、选题的背景、意义 众所周知，极限理论是高等数学的基础，其地位的重要性毋庸多言.极限思想在数学中起着非常重要的作用.数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果.” 极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺，中国古代的惠施、刘徽、祖冲之等为代表。提到极限思想，就不得不提到由古希腊的著名哲学家芝诺提出的著名的阿基里斯悖论——一个困扰了数学界十几个世纪的问题。无独有偶，我国春秋战国时期的哲学名著《庄子》记载着惠施的一句名言“一尺之锤，日取其半，万事不竭.”这更是从直观上体现了极限思想。我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是极限思想的一种基本应用.以上诸多内容可以上溯到2000多年前，都是极限思想萌芽阶段的一些表现，尽管在这一阶段人们没有明确提出极限这一概念，但大致在16、17世纪真正意义上的极限得以产生.从这一时期开始，极限与微积分开始形成密不可分的关系，并且最终成为微积分的直接基础。尽管极限概念被明确提出，可是它仍然过于直观，与数学上追求严密的原则相抵触.到18世纪时，罗宾斯、达朗贝尔与罗伊里艾等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础，并且都对极限做出了定义.然而他们仍然没有摆脱对几何直观的依赖. 直至19世纪，维尔斯特拉斯提出了极限的静态定义.在这一静态定义中，“无限”“接近”等字眼消失了，取而代之的是数字及其大小关系.它的“ε－N”定义远没有建立在运动和直观基础上的描述性定义易于理解.这也体现出了数学概念的抽象性，越抽象越远离原型，然而越能精确地反映原型的本质. 而上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数收敛性的判别法的重要作用，成为数学分析中重要的理论部分.此外，由于上下极限的引入，使得极限多了一条判别定理，对于某些定理和题目的证明开通了一条全新的思路，都有着重要的意义.正确地理解和认识数列、函数的上、下极限，有利于更好地认清数列、函数尤其是非收敛数列、函数的
归纳函数极限的计算方法
归纳函数极限的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求极限的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 The sum of the Method of Computing Function Limit Abstract ：The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on. Key Words ：Function Limit ；Computing method ；L’Hospita l rules; Four fundamental rules 前言 极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念，极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具，因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法，对学好数学分析是十分重要的.求极限的方法很多且非常灵活，本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1函数极限的εδ-定义]1[ 设函数f 在点0x 的某个空心邻域'0(;)U x δ 内有定义，A 为定数，若对任给的 0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数当趋于0x 时以A 为极限，记作0 lim ()x x f x A →=或()f x A →0()x x →. 2.求函数极限的方法总结 极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极限，本着化繁为简的思想，产生了极限的四则运算法则；由“数列的单调有界准则”和“迫敛准则”产生了两个重要极限和无穷小量的性质—有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量；由中值定理得出了罗必达法则.以上也是我们求极限的理论依据，但在个依据
求函数极限的方法总结
求函数极限的方法总结 求函数极限的方法总结： 利用函数连续性：直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0；通过已知极限：两个重要极限需要牢记；采用洛必达法则求极限：洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。 函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。 1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，前提是必须证明拆分后极限依然存在，e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。 2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假
如告诉你g（x），没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。 3、泰勒公式（含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E的x展开sina，展开cosa，展开ln1+x，对题目简化有很好帮助。 4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法，取大头原则最大项除分子分母！看上去复杂，处理很简单！ 5、无穷小于有界函数的处理办法，面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的.函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！ 6、夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7、等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）。
求函数极限的几种方法及其应用
龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/3811366263.html, 求函数极限的几种方法及其应用 作者：李宜丹 来源：《文存阅刊》2017年第01期 摘要：在数学分析中，函数极限思想贯穿于始末，求函数极限的方法也显得至关重要。本文主要探讨、总结求函数极限的一般方法，而且把每一种方法的特点及注意事项作了详细重点说明，并以实例加以例解。由于本文通过总结、研究对求函数极限的各种方法的很多细节作了具体注解，使方法更具针对性、技巧性，因此，克服了遇到问题无从下手的缺点，能够做到游刃有余。结合例题，本文阐述了求函数极限的几种方法，包括利用四则运算及性质、两个重要极限、洛必达法则求极限。无论是在中学数学还是大学数学中，极限的概念和思想都非常重要，从量变中认识质变，都要用到极限，因此，极限概念是研究函数的重要概念，具有一定的理论意义和现实意义。 关键词：函数；函数极限；洛必达法则 一、利用函数极限的四则运算及性质求函数极限 应用函数极限的四则运算法则，其前提条件是参加运算的函数首先是收敛函数，其次在做除法运算时，要求必先使分母的极限不为0，因此，为了利用四则运算定理计算函数极限成为收敛函数，需以原分子、原分母中随或增大最快的项除分子、分母，使恒等变形后的分子、分母为满足函数极限四则运算定理条件的收敛函数，值得我们注意的是在应用函数极限的四则运算前，先把所给的商式消去分子分母的公共零因子。 函数极限的四则运算：设，，则 （1）； （2）； （3）. 函数极限具有的性质： 性质1（唯一性）：如果存在，则必定唯一。 性质2（局部有界性）：若存在，则在的某空心邻域内有界。 性质3（保序性）：设. 性质4（迫敛性）：设，且在某内有，则.