五年级春季基地班(6)---枚举法

枚举法

姓名

【知识概述】：枚举法是一种既简单又朴实的思维方法，用途却十分广泛，无论是在初

等数学，高等数学以及日常生活、工作中。由于它的朴实与广泛，因此不太引起关注与

重视。

【解题关键】用枚举法解题就是将问题涉及的对象不重复、不遗漏地一一列举出来。为

做到“不重复、不遗漏”，就必须将涉及的对象进行按顺序、分步、分类计算，这是用

枚举法解题的关键。

【经典例题】

例1：从分别写有1、2、3、5、7、11的卡片中，每次取出两张来组成一个真分数。那

么，一共可以组成多少个不同的真分数？

思考：真分数的分母大于分子，因此可按分母从大到小的顺序分类，一一列举。

模仿练习1：从1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数中，取出三个数来组成一组，使

每组中三个数之和为15（取出的三个数相同的视为一种取法，与取出的先后顺序无关）。

那么，共有多少种不同的取法？

模仿练习2：在下面算式中的每一个“□”内填入一个数字，使之组成一个三位数与两

位数之差是一位数的减法算式。那么，不同的正确算式共有多少种？

□□□－□□=□

例2、如图2—1是某市商业街道示意图，某人从街口A沿商业街道走到街口B。如果要

求所走的路线最短，那么不同的最短路线共有多少条？

模仿练习1：如图是某商城镇的街道示意图，某人从街口A沿街道走到街口B。如果要

求所走的路线最短，那么不同的最短路线共有多少

条？

模仿练习2：一只青蛙在A、B、C这三点之间跳跃，如果它从A点起跳，跳四次仍然回

到A点，那么不同的跳法共有多少种？

例3：由三个边长为1的正方形拼成如图所示的左右对称图形，以图中正方形的10个

顶点为顶点可得到许多不同的三角形。那么，这些三角形中，面积为1的三角形共同有

多少个（面积为1的三角形的三条边中，至少有一条边是水平或垂直的）？

思考：为叙述方便，在图中各顶点处标上字母。可以将所画的三角形分成如下两类。

第一类：底为1，高为2。第二类：底为2，高为1

模仿练习:如图,大三角形由九个形状相同的等边三角形组成，共有10个顶点。如果以这些顶点构成三角形，那么与图中阴影三角形形状相同且面积相等的三角形（包括阴影三角形）共有多少个？

【拓展训练】：

1、 有一类三位数，其三个数位上数字之积，等于24，那么，这样的三位数共有多少个？

2、 把80个小球放入六个相同的盒子里。每个盒子至少放10个小球，且各盒中的个数互不相同。那么，共有多少种不同的教法？

3、 把10个苹果分给甲、乙、丙三人，要求是甲至少得3个苹果，乙至少得2个苹果，丙至多得3个苹果，那么，符合要求的不同分配方案共有多少种？

【课外作业】

1、有一类自然数，从第三个数字开始。每个数字都恰好是它前面两个数字之和，如、347、1459等，那么，种类数共有多少个？

2、把一根圆木棍分成等长的四节，每节用红、黄、蓝三种颜色中的一种来涂，且三种颜色都要用上。那么，不同的涂法共有多少种（如果两木棍可以经过翻转使得颜色顺序相同，则认为这两根木棍是同一种涂法）？

【挑战】：

从1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字中，取出三个不同的数字，使其和能被4整除，使其乘积能被6整除。那么，不同的选发共有多少种？（被选取的三个数字相同，只有顺序不同的视为同一种）？

列表枚举法(二年级培优)学生版

将问题的所有可能的答案一一列举，然后根据条件判断此答案是否合适，合适就保留，不合适就丢弃,这种归纳方法叫做枚举法。 如右图所示，ABCD是一个正方形，沿着图中线段从A到D的最短路线共有多少条？请画出来。 备用图 下图中有6个点，9条线段，一只甲虫从A点出发，要沿着线段爬到F 点。行进中甲虫只能向右、向下或向右下方运动。问这只甲虫有多少种不同的走法？

把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请列出。 将15分拆成不大于9（0除外）的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请列出。 小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两 天不做同一门。如果小明第一天做语文，第五天也做语文。这五天作业他共有多少种不同的安排？ 小胖有10块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？

12枚硬币的总值是4元，其中只有5角和1角的两种，问每种硬币各多少个？ 有四种不同面值的游戏币各一枚，它们的形状也不相同，用它们共能组成多少种不同钱数？ 在一个停车场上，停着小轿车和摩托车一共12辆，这些车一共有40个轮 子。求小轿车和摩托车各有多少辆？ 笼子中有一些鸡和兔，小红数了数，它们的头共有15个，它们的脚共有40只。请小朋友算一算，笼子中鸡和兔各有多少只？

小马虎给3个小朋友写信，由于粗心，把信装入信封时都给装错了，结果3个小朋友收到的都不是给自己的信，请问小马虎错装的情况共有多少种可能？ 如下图所示，从A地到B地，最近的道路有多少条？ 一个学生假期往A、B、C三个城市游览，相邻两天不在同一个城市，假如他第一 天在A市，第五天又回到A市。问他的游览路线共有几种不同的方案？ 三个自然数的乘积是24，问由这样的三个数所组成的数组共有多少个？（1，2，12） 和（2，12，1）是同一数组。

计数枚举法经典例题讲解

计数枚举法经典例题讲解 例1一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？（适于三年级程度） 解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。 个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。 十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。 10+10=20（个） 答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。 例2 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法？（适于三年级程度） 解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。 第一种走法：A ① B ④ C 第二种走法：A ① B ⑤ C 第三种走法：A ② B ④ C 第四种走法：A ② B ⑤ C 第五种走法：A ③ B ④ C 第六种走法：A ③ B ⑤ C 答：从A市经过B市到C市共有6种走法 例3 9○13○7=100 14○2○5=□ 把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？（适于四年级程度） 解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。 先看第一个式子：9○13○7=100 如果在两个圆圈内填上"÷"号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填"+"、"-"号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填"÷"号，也不能同时填"+"、"-"号。 要是在等式的一个圆圈中填入"×"号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入"+"和"×"号，就会凑出100了。 9+13×7=100 再看第二个式子：14○2○5=□ 上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下"÷"号和"-"号了。如果在第一个圆圈内填上"÷"号，14÷2得到整数，所以： 14÷2-5=2 即长方形中的数是2。 例4 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？（适于四年级程度）解：（1）数码一共有10个：0、1、2……8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。 （2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码是两位数的页有90页，用数码： 2×90=180（个）

数学2016年秋季精英版教案5年级-1用分类枚举法解决数学问题

《动态数学思维》教案 教材版精英版. 学校：. 课时2 课时课题第1 讲—用分类枚举法解决数学问题

第一课时

答：共有7 种不同的买法。 （3）小结师：这种列举的方法叫做图表法。师进一步提问：我们是按怎样的顺序一一列举的？生：先从5 元的开始，由多到少，再从2元由多到少，最后考虑1 元。（二）出示例题2 例2：把24 个边长是1 厘米的小正方形拼成一个大长方形，一共可以拼成多少种不同形状的长方形？ （1）学生小组合作 （2）汇报交流师：你能摆出多少种？试着摆一摆，并做好记录。 答案：给出拼成的这4 种图形。 答：一共可以拼成4 种不同形状的长方形。也可列表如下： 按一定规律排不易漏掉 （三）出示例题3 例3：用0 ，4 ，7 ，3 四个数字组成一个三位数，可以组成多少个数字不重复的偶数？师：要组成的是偶数，它的个位应是什么？生：个位是应该是4或0，当个位上是4时，把能组成的三位数一一列举出来，个位上是0 的方法同上。答案：

组成个位上是4 的偶数有：734，374，704，304； 组成个位上是0 的偶数有：470，740，430，340，370，730。所以共有：4+6=10（个） 答：可以组成10 个不同的偶数。三、运用、体验（一）拓展问题1 1．用2、3、4、5 四张数字卡片，每次取两张组成一个两位数，可以组成多少个不同的奇数？ （1）学生独立完成（2）汇报交流师：本题应注意什么？生：应注意组成的是两位数。答案： 组成个位上是3 的两位奇数有：23,43,53 ；组成个位上是5 的两位奇数有：25,35,45 。所以共有：3+3=6（个） 答：可以组成6 个不同的两位奇数。 （二）拓展问题2 2．刘阿姨家买了60 块边长1 分米的正方形瓷砖。她要把这些瓷砖在墙上贴成一个长方形图案，一共有多少种不同的贴法？ （1）学生独立完成（2）汇报交流答案：一共有6 种不同的贴法。

枚举算法 练习题

1.用50元钱兑换面值为1元、2元、5元的纸币共25张。每种纸币不少于1张，求出有多少种兑换方案？每种兑换方案中1元、2元、5元的纸币各有多少张？ 假设面值为1元、2元、5元的纸币分别是x、y、z张，兑换方案有k种，从题意可得出x、y、z满足的表达式为 x+y+z=25 x+2y+5z=50 解决此问题的Visual Basic程序如下，在(1)和(2)划线处，填入合适的语句或表达式，把程序补充完整。 Private Sub Command1_Click() Dim k As Integer Dim x As Integer, y As Integer, z As Integer k = 0 List1.Clear For y = 1 To 23 For z = 1 To 9 x = 25 - y - z If (1) Then List1.AddItem "1元" + Str(x) + "张 2元" + Str(y) + "张 5元" + Str(z) + "张" ____(2)___________ End If Next z Next y Label1.Caption = "共有" + Str(k) + "种兑换方案" End Sub 程序中划线处(1)应填入_____________ 程序中划线处(2)应填入_____________ 2.以下Visual Basic程序的功能是：计算表达式1+2+22+23+24+25+26+27+28+29+210的值，并在文本框Text1中输出结果。为了实现这一功能，程序中划线处的语句应更正为_____________。 Private Sub Command1_Click() Dim i As Integer,s As Long s = 0 k = 2 For i= 1 To 10 s = s + k k = k * 2 Next i Text1.Text=Str(s) End Sub

五年级思维专项训练7 枚举法(原卷+解析版)全国通用

五年级思维训练7 枚举法 1. 今年是2002年，把2002年这样的年份称为“对称年”（年份的个位数字和千位数字相同，百位数字和十位数字相同），从2000年～2999年之间共有个“对称年”。 2. 在所有的三位数中，满足其数字和等于12的共有个。 3. 下边的加法运算，答案824正好和上面的加数428数字顺序相反，如果选出另外一个三位数加上396后，答案也正好和所选的三位数的数字顺序相反的话，可以选出若干个这样的三位数，这样的三位数还有（除去428）个。 428 +396 824 4. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9中选出7个数，使得它们的和是3的倍数，共有种不同选法。

5. 一次，齐王与大将田忌赛马。每人有四匹马，分为四等。田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等、二等、三等、四等，而且还知道这八匹马跑得最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等。田忌有种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛。 6. 小珊到邮局购买5张邮票，并要求这些邮票的式样都要相同且全部都要互相连接在一起（两张邮票之间只有顶点与顶点相连不算相连在一起）。现在邮局只存最后的9张邮票。如下图所示，为满足小珊的要求，请问邮局的职员有多少种不同的撕邮票的办法？ 7. 给定三种重量的砝码（每种数量都有足够多个）3kg、11kg、17kg，将它们组合凑成100kg 有种不同的方案（每种砝码至少有一块）。 8. 将下图中20张扑克牌分成10对，每对红心和黑桃各一张。问：你能分出几对这样的牌，使两张牌上的数的乘积除以10的余数是1？（将A看成1） 9. 有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、

列表枚举

列表枚举 教学内容：二年级第二学期P71 教学目标： 知识与技能：初步了解枚举法，并能通过列表枚举的方法解决简单实际问题。过程与方法：通过尝试、探究、学会用列表枚举法一一找到不确定的答案。 情感、态度与价值观：感悟数学的实用价值，激发学习数学的兴趣。 教学过程： 一、情境引入： 1、师：我们先来做个游戏，猜猜它们是谁。 （出示一些动物的图片，只有腿）通过看腿猜动物。 （青蛙、鸭子、羊） 你是怎么马上就知道它们是什么动物的？ 2、引入：小朋友真聪明，从腿部特征一下就能猜出是什么动物，今天我们 就要运用小动物的只数以及它们腿的条数来解决的问题。 二、新授 1、根据确定的只数计算腿数 （1）（口答：大声的说出□里填的数。） 1只青蛙4条腿，2只青蛙□条腿。□只青蛙20条腿。（5是怎么算出来的？）1只鸭子2条腿，5只鸭子□条腿。（10是怎么算出来的？） □只鸭子16条腿。（8的算式怎么表示？） （2）出示：5只羊和3只鸭，共有□条腿？ 师：你是怎么算出来的？能用算式表示吗？ 根据生答，出示 5×4 3×2 20 ＋ 6 = 26（条） 师：原来你是先算出了羊的腿数，再算出了鸭的腿数，最后把它们的腿数相加，所以求总腿数就是怎么求呢？

（板书：羊的总腿数+鸭的总腿数=总腿数） 师：今天，我们也要运用这个数量关系来解决问题。 2、根据不确定的只数算腿数 小胖也在算关于动物和腿的问题，他遇到困难了，你能帮助他吗？ （出示图片） 羊和鸭共有4只 一共有（）条腿 （1）师：一共有（）条腿？你能马上算出来吗？ 预设生：先要确定羊和鸭的只数。 根据生答，出示：□只羊和□只鸭， 师：想一想，现在，羊的只数和鸭的只数可不可以随便填呢？为什么不能随便填？ 预设生：要考虑他们一共有4只。 （2）我们在解决问题之前一定要审清题目的意思。请大家动笔完成。 （巡视，找到1种、2种或几种答案。） （3）反馈汇报。（根据学生的回答一一板书，不要按序。） 板书：羊的只数鸭的只数总腿数 （1）2只2只 2×4=8条2×2=4条12条 师：这种想法可以吗？你还有不同的想法吗？ （2）1只3只 1×4=4条3×2=6条10条 （3）3只1只 3×4=12条1×2=2条14条 师：三种想法都对吗？是不是都符合题目中的条件？

四年级奥数枚举法和列表法

枚举法 [知识要点] 一般地，根据问题要求，一一列举问题，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。 运用枚举法解决应用题时，必须注意无重复、无遗漏。为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。 [典型例题] 例1 用7、4、2三张数字卡片，能排成多少个无重复数字的三位数,它们分别是哪几个数？ 例2 用数字2，4，5，可以组成多少个无重复数字的三位数？分别是哪几个数？其中最大、最小各是多少？ 例3 小明有面值为5角邮票一枚、8角的邮票两枚，他用这些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数？）

2.用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不用其他物体当砝码），当砝码只能放在同一盘内时，可称出不同的重量有多少种？ 3．把6支相同的铅笔分给3个小朋友，使每个小朋友都分到铅笔，那么有多少种不同的分法？ 4.用2张10元和1张50元一共可以组成多少种币值（组成的钱数）？ 5.麦当劳推出一种优惠活动， 汉堡类有：A、鸡腿汉堡 B、麦辣鸡腿汉堡； 饮料类有：C、雪碧 D、可口可乐； 冰淇淋类有：（1）草莓冰淇淋（2）奶油冰淇淋 汉堡只能选一种，饮料只能选一种，冰淇淋只能选一种，每次各类选一种，有多少种不同的选择，它们分别是哪些？

1．用数字4，8，9，可以组成多少个无重复数字的三位数？分别是哪些数？ 2.用数字0，1，4可组成多少个无重复数字的三位数？分别哪些？ 3.由1角，2角，5角元的人民币各一张，一共可以组成多少种币值。（组成的钱数） 4.有7本相同的书，分别借给2名同学，每人至少借一本，有多少种不同的借法？

奥数 一年级 教案 第08讲 枚举法初步 教师版

第八讲 枚举法初步 新年到了，爸爸要给小昊买一个四阶魔方作为圣诞礼物，这个魔方的价格是28元8角。 小昊发现，可以有多种付钱方法： （1）2张10元，1张5元，3张1元，1张5角，3张1角； （2）1张10元，3张5元，3张1元，1张5角，1张2角，1张1角； （3）1张20元，4张2元，8张1角； （4）3张10元，收30元找回1元2角； 等等。 一般的，根据问题要求，一一列举问题的解答，或者为了解决问题的方便把问题分成不遗漏不重复的优先种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题解决问题的方法，称之为枚举法。 注意：运用枚举法解决问题时，必须注意无重复，无遗漏。为此必须要求有次序有规律的进行枚举。 把一个整数表示成若干个小于它的自然数值和，叫做整数的拆分。整数4有多少种 不同的拆分方法？ 解：分拆时，将自然数按从达到小的顺序出现，一共有4种不同的分拆方法：4=3+1，4=2+2，4=2+1+1，4=1+1+1+1。 用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物品当砝码） ，当砝码只能放在同一个盘内时，可以称出的重量有多少种？ 分析：共有三个重量不同的砝码，可以取出其中的一个，两个，三个来称量。一一来列举这三种情况 解：取一个砝码可称：1克、3克、9克。有3种。 取两个砝码可称：1+3=4（克）、1+9=10（克）、3+9=12 （克），3种。 取三个砝码可称：1+3+9=13（克），有1种。 注意到1、3、9、4、10、12、13各不相同，所以可以称出： 3+3+1=7（种）

来，然后每次余下的人中第一个开始站出来，隔一人站出来一个人，到第几次这些人全部站出来？最后站出的人应该是第几号？ 分析：根据题目的特点，先用排列法把题中的条件问题列出来，再用枚举法完成题目要求。 排好队的人依次是1，2，3，4，5，．．．．．．28，29，30 解： 从上面的列表中我们毫无遗漏的排列，得出到第五次这些人全部站出来，最后在个人是16号。 用1、2、3这三个数一共可以组成多少个不同的三位数？分别为哪几个？ 分析：根据百位上的数字不同，我们可以将它们分成三类 第一类：百位上数字为1，有123、132 第二类；百位上数字为2，有213、231 第三类：百位上数字为3，有312、321 解：可以组成123、132、213、231、312、321共6个不同数字 如图所示，数字1处有一颗棋子，现移动这颗棋子到数字5处。规定每次只能移动 到邻近一格，且总是向右移动，例如1→2→4→5就是一条路线。问有多少种不同 的移动路线？ 解：从1要移到5，从结果想，要移到5只有从4、3向右移动一格到邻近一格5，即5←4或5←3；要移到4，只有从3、2向右移动一格到邻近的4，即 4←3或4←2；．．．．．．用树形图填写如下

第十三讲枚举法(讲义)

第十三讲数学问题常用方法（二） ——枚举法我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式，然后求出结果。但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。 例1 小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。 【分析与解】：将两枚骰子的点数和分别为7 与8 的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。用a＋b 表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b 的情况。出现7 的情况共有6 种，它们是：1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。出现8 的情况共有5 种，它们是：2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。所以，小明获胜的可能性大。注意，本题中若认为出现7 的情况有1＋6，2＋5，3＋4 三种，出现 8 的情况有2＋6，3＋5，4＋4 也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。 练习1 1.将6 拆成两个或两个以上的自然数之和，共有多少种不同拆法？ 【分析与解】：10 种。6=1＋5=2＋4=3＋3=1＋1＋4=1＋2＋3=2+2+2=1+1+1+3＝1+1+2+2 ＝1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。 2.小明有10 块糖，如果每天至少吃3 块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？ 【分析与解】：9 种。一天吃完有1 种：（10）。两天吃完有5 种：（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3）。三天吃完有3 种：（3，3，4），（3，4，3），（4，3，3）。共1+5+3=9（种）。 例2 数一数，右图中有多少个三角形。 【分析与解】：图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数 清楚。为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见 右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、 由3 部分组成的……再一类一类地列举出来。单个的三角形有6 个：1 ，2， 3，5，6，8。由两部分组成的三角形有4 个：（1，2），（2，6），（4，6）， （5，7）。由三部分组成的三角形有1 个：（5，7，8）。由四部分组成的 三角形有2 个：（1，3，4，5），（2，6，7，8）。由八部分组成的三角形 有1 个：（1，2，3，4，5，6，7，8）。总共有6＋4＋1＋2＋1=14（个）。 练习2 1.数数右图中共有多少个三角形？ 【分析与解】：10 个。由一块、两块、三块、四块组成的三角形依次有4， 3，2，1个，共有4＋3＋2＋1＝10（个）。

小学奥数专题枚举法_通用版

2019年小学奥数计数专题——枚举法1．如图，有8张卡片，上面分别写着自然数l至8．从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9．问有多少种不同的取法? 2．从l至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法? 3．现有1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法? 4．妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？ 5．有3个工厂共订300份《吉林日报》，每个工厂最少订99份，最多101份．问：共有多少种不同的订？ 6．在所有四位数中，各个数位上的数字之和等于34的数有多少个? 7．有25本书，分成6份．如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种分法? 8．小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书，共10册．已知甲、乙、丙、丁这4种书每本价格分别为3元、5元、7元、11元，而且每种书至少买了一本．那么，共有多少种不同的购买方法? 9．甲、乙、丙、丁4名同学排成一行．从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种? 10．abcd代表一个四位数，其中a，b，c，d均为l，2，3，4中的某个数字，但彼此不同，例如2134．请写出所有满足关系ae，c

★《枚举法》教学设计

课题：枚举法（一） 上课班级：高一（13）班 执教者：许骏 教材分析 枚举法求解问题是现实生活中经常用到的一种方法，是华师大版教材《算法与程序设计》（必修模块）算法实例中重要的知识点。课程标准要求学生能概括枚举算法的基本思想，分析其特征及关键步骤，运用该算法解决实际问题。因此枚举法的学习重点是如何判定某一问题是否适用枚举算法，如果适用再建立适当的数学模型、构造枚举的框架，使学生能真正灵活运用枚举法来解决实际问题。最终将所学知识转化为自己的信息处理能力，体现了本次的主题“把握科技本质，发展学生思维”中“致理”和“致用”的要求。本课就通过微视频进行课前导学及课前自测让学生了解枚举算法的基本概念、基本特征以及枚举法的适用情况；通过对简单枚举法的算法设计，学会归纳枚举法的基本实现方法。鼓励学生例举用枚举法解决实际问题的生活实例激发学生进一步探索的欲望。 学情分析 随着2017届高考改革政策的出炉，我校的课程改革也不断深入。本学期起采用学程制开展教学。信息科技学科在高一开设3个学程，每个学程10~11周，第一学程每周3课时，其余两个学程每周2课时。因此我校将“算法与程序设计”模块安排在课时最多的第一学程开设。 学生学习本节课之前已经完成了第一单元算法基础的学习，明确了算法设计的基本要求，能设计一些简单算法来解决实际问题，并能熟练运用三种执行流程设计算法。本学年学校积极开展翻转课堂的教学实践，我校学生已经养成了课前自主学习、自主测试，发现问题、提出问题；课知识内化，巩固探究的学习习惯。因此学生有较强的自主学习和探究的能力。 同时学生在学习本堂课时可能会遇到以下障碍和困难。 ①学生课前自学不充分，对枚举法的基本概念、枚举法的基本特征及枚举法 的适用情况掌握不牢固。 ②学生课前自学后未提出质疑，没有发现学习中存在的问题。 ③学生由于紧张，课堂气氛不够活跃，学习任务不能按时完成。

排列组合问题1：枚举法

排列组合问题(一) 枚举法 枚举法 导言： 当计算的总数量不多时，我们通常把要计数的所有对象一一列举出来，从而求出其总数，这种最简单、最基本的计数方法叫做枚举法，或穷举法、列举法、分组法 使用枚举法计数时，要注意以下几点：①初步估计，总的数目不太多，又没有更简捷的办法②为了使枚举的结果不重复又不遗漏，我们要抓住对象的特征，选择适当的标准分类，有次序、有规律地列举 例1．现有1克、2克、4克、10克的砝码各一个，那么在天平上能称出多少不同重量的物体（只允许砝码放在天平的右边的盘子里） 解析：按使用砝码的个数进行分类列举 （1）、若使用一个砝码能称：1克、2克、4克、10克，共4种重量物体

（2）、若使用二个砝码能称：1+2；1+4；1+10；2+4；2+10；4+10克，共6种重量 （3）、若使用三个砝码能称：1+2+4；1+2+10；1+4+10；2+4+10克，共4种重量 （4）若使用四个砝码能称：1+2+4+10=17克，共1种重量物体 所以，总共能称：4+6+4+1=15种不同重量的物体 思考：如果把题目中括号里的条件去掉，又能称多少种不同重量的物体？ 例2、有一张五元、4张贰元和8张一元人民币，从中取出9元，共有多少种不同的取法？ 解析：按从大到小，从少到多的次序，先取五元，再取贰元，后取一元的顺序，把所有情况通常列表的形式一一列举出来

从上面的列举中可以看出:取9元钱共有7种不同的取法 例3、从1—10的10个数中，每次取2个数，要使它们的和大于10，一共有多少种取法？ 解析：可从小到大依次思考 ① 1+10 ② 2+9，2+10 ③ 3+8，3+9，3+10 ④ 4+7，4+8，4+9，4+10 ⑤ 5+6，5+7，5+8，5+9，5+10 ⑥ 6+7，6+8，6+9，6+10 ⑦ 7+8，7+9，7+10 ⑧ 8+9，8+10 ⑨ 9+10

小学奥数专题-枚举法通用版

2015年小学奥数计数专题——枚举法 1．如图，有8卡片，上面分别写着自然数l至8．从中取出3，要使这3卡片上的数字之和为9．问有多少种不同的取法? 2．从l至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法? 3．现有1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法? 4．妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？ 5．有3个工厂共订300份《日报》，每个工厂最少订99份，最多101份．问：共有多少种不同的订？ 6．在所有四位数中，各个数位上的数字之和等于34的数有多少个? 7．有25本书，分成6份．如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种分法? 8．小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书，共10册．已知甲、乙、丙、丁这4种书每本价格分别为3元、5元、7元、11元，而且每种书至少买了一本．那么，共有多少种不同的购买方法? 9．甲、乙、丙、丁4名同学排成一行．从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种? 10．abcd代表一个四位数，其中a，b，c，d均为l，2，3，4中的某个数字，但彼此不同，例如2134．请写出所有满足关系ae，c

计数枚举法例题讲解

计数枚举法例题讲解 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

计数枚举法经典例题讲解 例1一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字（适于三年级程度）解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。 个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。 十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。 10+10=20（个） 答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。 例2 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法（适于三年级程度） 解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。 第一种走法：A ① B ④ C 第二种走法：A ① B ⑤ C 第三种走法：A ② B ④ C 第四种走法：A ② B ⑤ C 第五种走法：A ③ B ④ C 第六种走法：A ③ B ⑤ C 答：从A市经过B市到C市共有6种走法

例3 9○13○7=100 14○2○5=□ 把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几（适于四年级程度） 解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。 先看第一个式子：9○13○7=100 如果在两个圆圈内填上"÷"号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填"+"、"-"号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填"÷"号，也不能同时填"+"、"-"号。 要是在等式的一个圆圈中填入"×"号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入"+"和"×"号，就会凑出100了。 9+13×7=100 再看第二个式子：14○2○5=□ 上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下"÷"号和"-"号了。如果在第一个圆圈内填上"÷"号，14÷2得到整数，所以： 14÷2-5=2 即长方形中的数是2。 例4 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页（适于四年级程度）解：（1）数码一共有10个：0、1、2……8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。

数学：第五讲《枚举法的妙用》讲义

二年级提高班第五讲 枚举法的妙用 【例1】艾迪在路上碰到一个小朋友，他要从3片一样的枫树叶和2片一样的杨树叶中挑出一些拍照片，请你帮他算一算，他有多少种同的挑选方法？ 【分析】这道题的情况非常多，我们可以把挑选的情况一一枚 举出来． ⑴只挑选枫树叶有3种不同的方法：1片，2片，3片． ⑵只挑选杨树叶有2种不同的方

法：1片，2片． ⑶两种树叶搭配挑选可以有6种不同的方法： ①1片枫树叶和1片杨树叶 ②2片枫树叶和1片杨树叶 ③3片枫树叶和1片杨树叶 ④1片枫树叶和2片杨树叶 ⑤2片枫树叶和2片杨树叶 ⑥3片枫树叶和2片杨树叶 所以，共有32611 ++=（种）不同的挑选方法．另外这道题我们也可以通过表格的方法进行枚举．【例2】把12个同样大小的正方形拼成1个长方形，可以拼成几

个不同的长方形？ 【分析】本题可以按行分类，121122634 =×=×=×．如图所示，共3种拼法： 【例3】用分别写着0,5,6的三张卡片，可以组成多少个不同的三位数？ 【分析】0不能在百位，那么百位的数只能是5，6．百位上是5的三位数有：506，560；百位上

是6的三位数有605，650；这样 用0，5，6三张卡片，可以组成×=（个）不同的三位数．因224 为是卡片，所以可以旋转，如果 6当9用，又可以组成4个三位 数，所以一共有448 +=（个）不同的三位数． 【例4】天梯的一段有5级台阶， 规定一步只能登上一级或两级 台阶，武西走完这个台阶共有多 少种不同的走法？ 【分析】如下图，我们可以按顺 序把这些方法用数组比较出来，

具体分析如下： 见上图⑴，用数组表示不同的走法．（1，1，1，1，1）表示每步只上一级，只有1种上法．见上图⑵，①（2，1，1，1）②（1，2，1，1）③（1，1，2，1）④（1，1，1，2）表示有一步上两个台阶，其他几步都各上一个台阶，共有4种走法． 见上图⑶，①（2，2，1）②（1，2，2）③（2，1，2）表示有两步各上两个台阶，有一步上一个

计数枚举法经典例题讲解讲课教案

计数枚举法经典例题 讲解

计数枚举法经典例题讲解 例1一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？（适于三年级程度）解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。 个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。 十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。 10+10=20（个） 答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。 例2 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法？（适于三年级程度） 解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。 第一种走法：A ① B ④ C 第二种走法：A ① B ⑤ C 第三种走法：A ② B ④ C 第四种走法：A ② B ⑤ C 第五种走法：A ③ B ④ C 第六种走法：A ③ B ⑤ C 答：从A市经过B市到C市共有6种走法

例3 9○13○7=100 14○2○5=□ 把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？（适于四年级程度）解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。 先看第一个式子：9○13○7=100 如果在两个圆圈内填上"÷"号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填"+"、"-"号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填"÷"号，也不能同时填"+"、"-"号。 要是在等式的一个圆圈中填入"×"号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入"+"和"×"号，就会凑出100了。 9+13×7=100 再看第二个式子：14○2○5=□ 上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下"÷"号和"-"号了。如果在第一个圆圈内填上"÷"号，14÷2得到整数，所以： 14÷2-5=2 即长方形中的数是2。 例4 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？（适于四年级程度）解：（1）数码一共有10个：0、1、2……8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。 （2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码是两位数的页有90页，用数码： 2×90=180（个） （3）还剩下的数码： 1890-9-180=1701（个）

五年级 第三讲 枚举法解决问题

第三讲枚举法解决问题 【例题】 例1、如下图所示，已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能形状？哪种形状的长方形面积最大？（注意:正方形可以说成是长与宽相等的长方形） 解：由于长方形的周长是20厘米，可知它的一条长与一条宽之和为（）cm。下面列举出符合这个条件的各种长方形。其中面积最大的是（）cm2 例2、如下图所示，ABCD是一个正方形，边长为1厘米，沿着图中线段从A到D的最短长度为4厘米。问这样的最短路线共有（）条。请一一画出来。 例3、强强的爸爸是做售后服务工作的，最近业务繁忙，经常要根据客户的需求在在杭州、金华、宁波这三个城市来回跑。他今天在这个城市，明天就到另一个城市。10月22日（周一）在杭州市，10月26日（周五）又回到了杭州市，这几天中，强强爸爸在这三个城市之间可能有几种不同的行程，请你一一写下来。 例4、哥哥和弟弟两人玩一种跳棋游戏，两人商定游戏规则：谁先连胜头两盘谁赢；如果两人都不能连胜头两盘，谁先累计胜三盘谁赢，请问两兄弟玩，共有多少种可能？（备注：不产生和棋）长（cm） 宽（cm） 面积（cm2）

例5、1995各个数位上的数之和为1+9+9+5=24，那么在小于2000的四位数中有多少个数的数字之和为24？ 例6、一条直线把一个圆分成两部分，两条直线最多把这个圆分为4部分，10条直线最多把这个圆分为几部分？ 【池中戏水】 1．两个自然数的积是96，它们的和是20，这两个自然数分别是（）和（）； 两个自然数之积为144，差为10，这两个数是（）和（）。 2．有红、黄、蓝色的小旗各一面，从中选用1面、2面或3面升上旗杆，都可以代表不同的信号，那么，用这三面小旗共可以作出（）种不同的信号。 3．如图，一只小甲虫从A点出发沿着线段爬到B点。要求任何点和线段都不重复经过，问这只小甲虫有多少种不同的走法？ 4．100条直线最多可以把一个平面分成几个部分？

枚举法

浅谈数学枚举法思想 【摘要】 数学思想方法是数学中的理性认识，是数学的本质，是数学中高度抽象概括的内容，它蕴含于数学问题的解决过程中，它从教学内容中抽象和概括出来，是数学知识的精髓，是知识转化成能力的桥梁。枚举法就是一种重要的数学解题思想。 【关键字】 枚举法数学思想解题思想 【正文】 19世纪数学家西尔维斯特指出：“置身于数学领域中不断地探索和追求，能把人类的思维活动升华到纯净而和谐的境界。”阿巴斯诺特说：“数学知识是思维增加活力，使之摆脱偏见、轻信和迷信的束缚。”塞劳尔说：“正如文学诱导人们的情感一样，数学则启发人们的想象与推理。”总之，数学能令人的思维纯净、和谐，会为思维增添活力。 著名的日本科学家米山国藏指出：“作为知识的数学，出校门不到两年可能就忘了，深深铭记在头脑中的唯有数学的精神、数学的思想研究方法和着眼点，这些都随时随地发生动作，使人们终身受益。”【１】数学的精髓不在于知识本身，而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法。枚举法、类比法、归纳法、分析法、综合法、化归法数学模型法等都是比较常见的数学思想方法，在这里，我将简单的谈一谈枚举法。 枚举法起源于原始的计数方法，即数数。在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事情的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结果是可靠的，这种方法叫做枚举法。从这里可以看出枚举法要将问题的所有可能的答案一一列举，然后根据条件判断此答案是否合适，合适就保留，不合适就丢弃。因而枚举法具有以下三个特点：第一，通过枚举法得到的结果肯定是正确的；第二，枚举法要将所有可能的答案列举出来，效率必然低下，浪费时间；第三，枚举法会涉及到求极值。 枚举法的这些特点，并不就意味着它是没有头绪的尝试、瞎蒙瞎撞，枚举法也有它的解题思路。首先要确定枚举对象、枚举范围和判定条件，其次要一一列举可能的解，验证是否是问题的正确的解。【2】 以百钱买鸡的题目为例，“一只公鸡，价值三元钱；一只母鸡，价值两元钱；三只小鸡，价值一元钱。百钱买百鸡，，问公鸡、母鸡、小鸡各可以买多少只？”这条题目很显然需要用枚举法来解答，枚举对象即为公鸡、母鸡、小鸡，将它们分别设为a、b、c，以三种鸡的总数a＋b＋c和买鸡用去的钱3a+2b＋（c÷3），并且a、b、c均为小于100的正整数作为判定条件枚举公鸡、母鸡、小鸡的个数。除此之外，三种鸡的总数是固定不变的，那么我们可以只枚举公鸡a和母鸡b，小鸡就可以根据约束条件求得为c=100-a-b，这样可以缩小枚举的范围，最终可通过分析枚举求得： 公鸡a 母鸡b小鸡c

小学奥数枚举法题及答案

小学奥数枚举法题及答案【三篇】 【篇一】 枚举法问题 在一个圆周上放了1个红球和1994个黄球。一个同学从红球开始，按顺时针方向，每隔一个球，取走一个球；每隔一个球，取走一个球；……他一直这样操作下去，当他取到红球时就停止。你知道这时圆周上还剩下多少个黄球吗？ 答案与解析： 根据题中所说的操作方法，他在第一圈的操作中，取走的是排在黄球中第2、4、6、……1994位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下1994÷2=997个黄球。 在第二圈操作时，他取走了这997个黄球中，排在第1、3、5、7、……995、997位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下997—(997+1)÷2=498个黄球。 他又要继续第三圈操作了，他隔过红球，又取走了这498个黄球中，排在第1、3、5、……495、497的位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下498÷2=249个黄球。 因为在上一圈操作时，排在这498个黄球中最后一个位置上的黄球没有被取走，所以他再进行操作时，第一个被取走的就是那个红球，这时，他的操作停止，圆周上剩下249个黄球。 【篇二】 在一个圆周上放了1个红球和1994个黄球。一个同学从红球开始，按顺时针方向，每隔一个球，取走一个球;每隔一个球，取走一个球;……他一直这样操作下去，当他取到红球时就停止。你知道这时圆周上还剩下多少个黄球吗? 答案与解析：

根据题中所说的操作方法，他在第一圈的操作中，取走的是排在黄球中第2、4、6、……1994位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下1994÷2=997个黄球。 在第二圈操作时，他取走了这997个黄球中，排在第1、3、5、7、……995、997位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下997—(997+1)÷2=498个黄球。 他又要继续第三圈操作了，他隔过红球，又取走了这498个黄球中，排在第1、3、5、……495、497的位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下498÷2=249个黄球。 因为在上一圈操作时，排在这498个黄球中最后一个位置上的黄球没有被取走，所以他再进行操作时，第一个被取走的就是那个红球，这时，他的操作停止，圆周上剩下249个黄球。 【篇三】