关于一个等边三角形绕顶点逆时针旋转120度`后每个内角和边长大小问题的解答

一个等边三角形绕一个顶点逆时针旋转一百二十度每个内角的度数是多少？每边的长度是多少？

解：根据旋转的性质，旋转后的图形与原图形全等。所以一个等边三角形绕一个顶点逆时针旋转一百二十度后每个内角的度数应为60度每条边的边张应等于原等边三角形的边长。

共顶点等腰三角形产生相似三角形模型

共顶点等腰三角形产生相似三角形模型 今天研究一个难度较低但结论还比较有趣的模型。前面研究过两个有点类似的模型，当时起名个人是从模型构造出发分别叫旋转放缩对称直角三角形和互补旋转放缩等腰三角形模型，现在想想既复杂拗口，又没点穿本质，还不如直接叫共顶点直角三角形产生等腰三角形和共顶点等腰三角形产生直角三角形模型好点。所以今天这个就直接叫共顶点等腰三角形产生相似三角形模型了。 模型构造：一：任意作一等腰三角形ABC，∠A为顶角。然后将其绕A旋转180°得△AED。 二：将△AED绕A进行旋转及放缩，得到新的等腰三角形AED 三：连BD，CE（注意对应，不是BE和CD），分别作其中垂线，交于F点。

结论：△DFB∽△EFC，且∠DFB=∠EFC=180°-∠BAC。 证明：由边角边基本全等模型易证△EAB∽△DAC① 则有BE=DC，可推出△EFB≌△CFD②，从而∠EFB=∠CFD即∠DFB=∠CFE，△DFB ∽△EFC。

接下来推为什么产生的两新的相似的等腰三角形顶角和原等腰三角形顶角互补：由①，∠ADG=GEH，则∠GHE=∠DAE；由②，∠ HEI=∠FCI，则∠EHI=∠EFC。又∠EHI+∠GHE=180°，则有∠EFC+∠DAE=∠EFC=∠BAC=180°。 由于等腰△ABC形状可以改变，△ADE可以任意旋转放缩，给出的图形是否以偏概全结论是否任意情况都成立呢？应该是都成立的。尽管形状改变，过程和推导都大同小异，仅再举一情形进行证明。 在此图延长BE和DC交于G。由△AED≌△ADC，可推∠EGD=∠BAC。再由△EBF≌△CDF，可推∠GDF+∠EBF=180°，所以在四边形GBFD中，∠BFD+∠EGD=∠BFD+∠

等腰三角形中的分类讨论问题

关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨所谓分类讨论思想，就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想。 对于分类讨论问题，初中教学阶段虽然没有对此方面的教学要求，但是需要用分类讨论的思想去解决的问题却经常遇见，华东师大版七年级下册教材中典型的分类讨论问题是在“等腰三角形”一节中，主要有由于几何图形性质不明确而需分类讨论的问题和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题。下面举例简要论述这两类问题： 一、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 例1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。 （2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。 分析：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。 解（1）因为8+8>10，10+10>8，则在这两种情况下都能构成三角形； 当腰长为8时，周长为8+8+10=26； 当腰长为10时，周长为10+10+8=28； 故这个三角形的周长为26cm或28cm。 解（2）当腰长为3时，因为3+3<7，所以此时不能构成三角形； 当腰长为7时，因为7+7>3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周 长为：7+7+3=17； 故这个三角形的周长为17cm。 注意：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。 二、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论 例2、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数； 分析：题目没有指明“顶角是底角的4倍”，还是“底角是顶角的4倍”因此必须进行分类讨论。

三角形内三个顶点分别在三角形三边上且周长最小的三角形(垂足三角形)

三角形内三个顶点分别在三角形三边上且周长最小的三角形 如图1所示，做一个任意锐角△ABC,分别以AC 、AB 为对称轴向外做△ABC 的轴对称图形△CAN 、△ABM ，G 、H 分别为D 的对称点，连接G 、H ，则(1)GH=FD+ED+EF （2)GH 是BC 上别于D 点用同样方法所得的线段中最短的，也即△DEF 为△内三个顶点分别在三角形三边上周长最小的三角形。（3）当△ABC 为锐角三角形时，△DEF 周长为 8()()() p p a p b p c abc ---(其中p= 12 ()a b c ++) 证明(1)首先证明G 、F 、E 、H 在一直线上。 连接GH ，分别与AC 、AB 交于E ′、F ′， ∵∠AEN=AGN=90°∴∠AEGN 四点共圆∴∠1=∠2， ∵∠BAN ＝2∠BAC ，AB=AN ∴ ∠1=90°-∠BAC 。 ∵∠HAG ＝2∠BAC ，AH=AG ∴ ∠AGE ′=90°-∠BAC 。 ∴∠AGE ′=∠2，∴E 与E ′重合。 同理 F 与F ′重合。 所以，G 、F 、E 、H 在一直线上。 根据作图知，FD=FH,ED=EG,∴GH=FD+ED+EF, 也即△DEF 为△内三个顶点分别在三角形三边上周长最小的三角形。 （2）如图2，D ′是异于D 点（不与B 、C 重合）的任意一点 M B C E ′ D F A N G H ’ D ’ G ’ H E F ′ 图 2 M B C E D F A N G H O 1 2 图1

G ′、H ′分别为D ′的对称点，连接G ′、H ′， G ′H ′，分别与AC 、AB 交于E ′、F ′，△D ′E ′F ′的周长等于G ′H ′的长 在△HAG 与△H ′AG ′中，∵∠HAG=∠H ′AG ′=2∠BAC,AH=AG=AD, AH ′=AG ″=AD ″,且AD ＜AD ″ ∴GH ＜G ′H ′ 因此GH 最短，也即△DEF 为△内三个顶点分别在三角形三边上周长最小的三角形。 （3）∵11sin 2 2A B C S bc A a A D == ?△ ∴sin bc A D A a = 过A 做AQ 与GH 交于Q, ∵AH=AG=AD ，∠HAG ＝2∠BAC ，∴ GH=2QG 在Rt △AQG 中，GQ=AG ·sinA=AD ·sinA= sin bc A a ·sinA= b c a 2 sin A ………………..① 由余弦定理得： cos A = 2 2 2 2b c a bc +- 两边平方得： 2 2222 cos 2b c a A bc ??+-= ??? 则22 sin 1cos A A =-=1-2 2222b c a bc ??+- ???=222222 1122b c a b c a bc bc ????+-+-+- ? ????? = () 2 2 2 222 2222bc b c a bc b c a bc bc -+-++-? = ()() 2 2 2 2 2 2 2222bc b c a a b c bc bc bc ++--+-? M B C E D F A N G H 图 3 Q

图形变换共顶点旋转.习题集(2014-2015)

【例1】 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）． （2013北京中考） 【答案】A 【例2】 在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=（?<

∴ADB ADC ∠=∠， ∴150ADB ∠=?， ∵60ABE DBC ∠=∠=?， ∴ABD EBC ∠=∠， 又∵150BD BC ADB ECB =∠=∠=?，， ∴ABD EBC ≌ △△， ∴AB EB =， ∴ABE △是等边三角形． B C E D A （3）∵BDC ?是等边三角形， ∴60BCD ∠=?， ∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=?， 又∵45DEC ∠=?， ∴CE CD BC ==， ∴15EBC ∠=?， ∵302 EBC ABD α ∠=∠=?-， ∴30α=?． 一、旋转的概念和性质 【例3】 下图中，不是旋转对称图形的是（ ）． 【答案】B 【例4】 有下列四个说法，其中正确说法的个数是（ ）． 课堂练习

小学六年级数学图形的变换训练一

小升初数学之图形的变换 一．填空题（共1小题） 1．（1）由①图到②图是向_________平移_________格． （2）由①图到③图是向_________平移_________格． （3）把②图向左平移3格，画出平移后的图形． （4）把③图向上平移2格，画出平移后的图形． 二．解答题（共13小题） 2．（2008?南靖县）（1）0A为对称轴，画出图形另一半，成为图形1． （2）将画好的整个图形向右平移4格，再画出来． （3）将图形1绕O点顺时针旋转90°，并画出来． 3．（2007?惠山区）①画出下面三个图形中轴对称图形的对称轴． ②将梯形围绕A点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形． ③将平行四边形先向右平移5格，再向下平移2格，画出平移后的图形．

4．（2009?兴国县模拟）（1）以0A为对称轴，画出图形另一半，成为图形A． （2）将画好的图形A向右平移4格，得到图形B． （3）将图形A绕O点顺时针旋转90°，得到图形C． 5．图形A向右平移5格得到图形B，图形B向下平移2格得到图形C，请在图中画出图形B和图形C． 6．图中，图形A是如何变换得到图形B？ 7．请画出先向右平移8格，再向下平移2格后得到的图形．

8．按要求画一画． （1）在方格子中画出图①绕O点顺时针方向旋转90°后的图形．（2）画出将图②向右平移7格，再向上平移3格后的图形．（3）画出图③的另一半，使它成为轴对称图形． 9．按要求画图． （1）将图形A向上平移5格，再向右平移7格，得到图形B．（2）以横虚线为对称轴，画出和图形A对称的图形． （3）以竖虚线为对称轴，画出和图形C对称的图形． 10．先画出图形： （1）向下平移3小格后的图形 （2）再画出图形①绕顶点A逆时针旋转90度后的图形③．

等腰三角形基础试题

等腰三角形基础试题

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等腰三角形基础练习题 一、填空题 1.一个等腰三角形可以是________三角形，________三角形，_________三角形. 2.一个等腰三角形底边上的_____、________和顶角的_________互相重合. 3.如图，已知AB=AC，∠1=∠2，BD=5cm.那么BC________. 4.如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，∠C=30°，BD=3cm，那么BC=________. 5.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是________________. 6.三角形一个角的平分线垂直于对边，那么，这个三角形是_____________. 7.等边三角形两条中线相交所成的钝角的度数为_________. 8.已知等腰三角形一个角为75°，那么，其余两个角的度数是_________. 9.一个等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍.那么腰长是，底边长是_______. 10.如图，已知AB=AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于F点，过F点作DE∥BC，那么图中的等腰三角形有____个，它们是_________.

11.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，那么______AB，如果D是AB的中点，那么____是等腰三角形，_______是等边三角形. 12.如图，已知△ABC的边AB、BC的垂直平分线DE、MN交于O点，那么有OA=___=______，如果OH⊥AC，H为垂足，那么直线OH是AC的________. 13.如图，已知AB=BC=CD=CE，∠CAE=25°，那么∠CEN=_______，∠MCE=_____. 14.已知等腰三角形顶角是底角的10倍，腰长为10cm，那么这个三角形腰上的高为______. .15.在线段、角、等腰三角形、直角三角形中，轴对称图形是________. 二、选择题 1、如图1-4-21，已知∠ABC=∠C=72°，BD是△ABC的平分线，那么图中等腰三角形有（）. （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

形的各顶点均在三角形三边上

形的各顶点均在三角形三边上) 思考：（1）与同学交流,你们的内接三角形位置相同吗? （2）你能作多少个不同的内接等边三角形? 2、小试牛刀：如图,你能作出已知?ABC的内接正方形吗? 思考：（1）你能作几个不同的内接正方形? （2）若?ABC为直角三角形呢？（点A为直角顶点） 考考你：若此直角?ABC尺寸如图所示(单位:m),你能判断哪个内接正方形面积更大吗?说说你的方法 三、合作探究 轻轨时代：(1) 如果列车截面看成宽、高度之比为14:19的长方形,你能画出此隧道内可行驶最大尺寸的列车示意图吗? A D H G A B D G A D F

(2)经测算知： B′C′=3.36m ,FG=2.8m，你能求出实际列车的高度吗? 四、谈谈你的收获: ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 五、课后作业： 1、完成《综合与实践活动》P27活动创新 2、如图，已知Rt?ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，请在图中作出有一边与BC边平行的内接等边三角形，并求出其边长（结果保留根号） B C 3、探究题： 问题1：如图,在直角坐标系里有?AOB,各顶点坐标:A（1，2）、 O（0，0）、B（3，1），以原点O为位似中心将?AOB放大为原来的3倍，并读出放大后三顶点的坐标。 规律：原?AOB上任 一点P （a,b）经过此变 化后坐标是 ____________ 问题2：如图，若现以B为位似中心将?ABC放大为原来的3倍，得?A′B′C′，则：点A′（_____ ，______）,点B′（_____ ，______），点C′（_____ ，______）

第三章《图形的平移与旋转》专题复习(含答案)

第三章《图形的平移与旋转》专题专练 专题一 图形的平移概念 重点知识回顾 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移. 注意：（1）平移过程中，对应线段可能在一条直线上. （2）平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上. 2.平移的两个基本要素： “平移的方向”和“平移的距离”.图形的平移是由它的移动方向和移动距离决定的.当图形平移的方向没有指明时，就需要认真观察图形的形状和位置的变化特征，根据平移的性质先确定平移的方向，再确定对应点、对应线段和对应角. 3.图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出平移性质的依据. 典型例题剖析 例1 生活中有很多平移的例子，下列物体的运动是平移的是（ ） A.水中小鱼的游动 B.天空中划过的流星的运动 C.出膛的子弹沿水平直线的运动 D.小华在跳高时的运动 分析：正确判断物体是否为平移运动关键是理解和掌握平移的概念和特征.看物体是否在同一个平面内运动，是否沿某个方向平行移动一定的距离，而“水中小鱼的游动”、“天空中划过的流星的运动”、“小华在跳高时的运动”显然不符合平移的概念，只有“出膛的子弹沿水平直线的运动”才是平移运动. 点悟：识别平移现象的关键是抓住平移的特征：物体必须在平面内运动，在曲面上运动物体一定不是平移，平移是直线的运动，平移只与物体的位置有关，与速度无关，平移只关注物体的位置变化. 例2 （2008年福建省泉州市）在图1的方格纸中，ABC △向右平移 格后得到111A B C △． 分析：因为△A 1B 1C 1是△ABC 平移后得到的图形，所以点A 1与点 A 、 B 1与B 、 C 1与C 分别是对应点，故只需随便数一数一对对应点之间的格数，即为平移 图1

等腰三角形基础练习题解析

等腰三角形基础练习题 一、填空题 1.一个等腰三角形可以是________三角形，________三角形，_________三角形. 2.一个等腰三角形底边上的_____、________和顶角的_________互相重合. 3.如图，已知AB=AC，∠1=∠2，BD=5cm.那么BC________. 4.如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，∠C=30°，BD=3cm，那么 BC=________. 5.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是________________. 6.三角形一个角的平分线垂直于对边，那么，这个三角形是_____________. 7.等边三角形两条中线相交所成的钝角的度数为_________. 8.已知等腰三角形一个角为75°，那么，其余两个角的度数是_________. 9.一个等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍.那么腰长是，底边长是 _______. 10.如图，已知AB=AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于F点，过F点作DE∥BC，那么图中的等腰三角形有____个，它们是_________.

11.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，那么______AB，如果D 是AB的中点，那么____是等腰三角形，_______是等边三角形. 12.如图，已知△ABC的边AB、BC的垂直平分线DE、MN交于O点，那么有OA=___=______，如果OH⊥AC，H为垂足，那么直线OH是AC的________. 13.如图，已知AB=BC=CD=CE，∠CAE=25°，那么∠CEN=_______，∠MCE=_____. 14.已知等腰三角形顶角是底角的10倍，腰长为10cm，那么这个三角形腰上的高为______. .15.在线段、角、等腰三角形、直角三角形中，轴对称图形是________. 二、选择题 1、如图1-4-21，已知∠ABC=∠C=72°，BD是△ABC的平分线，那么图中等腰三角形有（）.

(完整word版)图形变换共顶点旋转.知识精讲(2014-2015).doc

共顶点旋转中考大纲 中考内容 A 了解图形的旋转，理解对应点 到旋转中心的距离相等、对应图形的旋转 点与旋转中心连线所成的角彼 此相等的性质；会识别中心对 称图形 中考要求 B C 能按要求作出简单平面图形旋转后的图能运用旋转的形，能依据旋转前、后的图形，指出旋知识解决简单转中心和旋转角问题 知识网络图 定义：绕定点旋转一定的角度 概念与性质 性质：旋转前后两个图形全等 中心对称：旋转 180 能重合 等边三角形 旋转 等腰三角形 共顶点旋转 等腰直角三角形 正方形 费马点与最值 知识精讲 一、旋转 1、定义 把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P ' ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图． P Q O P' Q' 【注意】 1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角． 2、每一组对应点所构成的旋转角相等． 2、性质 （ 1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角）

（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形） （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形） 3、作图的重要条件 由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件 （1）旋转中心 （2）旋转方向及旋转角度． 4、作图的基本步骤 具体步骤分以下几步 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心． 转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点． 连：即连接所得到的各点． 二、中心对称 1、中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转 180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图） A D O B C 【注意】 1、图形成中心对称是旋转角为定角（180）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系． 2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系． 2、中心对称的性质 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形． 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等． 如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称． 3、中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图） A D O B C

八下解题技巧专题：共顶点的等腰三角形

解题技巧专题：共顶点的等腰三角形 ——形成精准思维模式，快速解题 ◆类型一共顶点的等腰直角三角形 1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形． (1)求证：AD＝CE； (2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由． 2．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD，延长CA 至点E，使AE＝AC，延长CB至点F，使BF＝BC.连接BD，AD，AF，DF，EF.延长DB 交EF于点N.求证： (1)AF＝AD； (2)EF＝BD. ◆类型二共顶点的等边三角形

3．如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且P A⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有() A．0个B．1个C．2个D．3个 第3题图第4题图 4．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，交于点O，则∠AOB的度数为________． 5．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE. (1)△DBC和△EAC全等吗？请说明理由； (2)试说明AE∥BC的理由； (3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，其他条件不变，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想． 参考答案与解析

1．(1)证明：∵△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE ，∴AD ＝CE . (2)解：垂直．理由如下：延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F .由(1)知△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE .∵∠BAD ＋∠ABC ＋∠BGA ＝∠BCE ＋∠AFC ＋∠CGF ＝180°，∠BGA ＝∠CGF ，∴∠AFC ＝∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE . 2．证明：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝180°－∠ABC ＝135°，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD .∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，∴△ABF ≌△ACD (SAS)，∴AF ＝AD . (2)由(1)知△ABF ≌△ACD ，AF ＝AD ，∴∠F AB ＝∠DAC .∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝90°，∠EAB ＝∠EAF ＋∠F AB ＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD .∵AE ＝AC ，AB ＝AC ，∴AE ＝AB ，∴△AEF ≌△ABD (SAS)，∴EF ＝BD . 3．D 4．120° 解析：设AC 与BD 交于点H .∵△ACD ，△BCE 都是等边三角形，∴CD ＝CA ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠ACD ＋∠ACB ＝∠BCE ＋∠ACB ，即∠DCB ＝∠ACE ，∴△DCB ≌△ACE ，∴∠CDB ＝∠CAE .∵∠DCH ＋∠CHD ＋∠BDC ＝180°，∠AOH ＋∠AHO ＋∠CAE ＝180°，∠DHC ＝∠OHA ，∴∠AOH ＝∠DCH ＝60°，∴∠AOB ＝180°－∠AOH ＝120°. 5．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝60°，∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝60°－∠ACD ，∠ACE ＝60°－∠ACD ， ∴∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵?????BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ， ∴△DBC ≌△EAC (SAS)． (2)由(1)知△DBC ≌△EAC ，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC . (3)仍有AE ∥BC .证明如下：∵△ABC ，△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵?????BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ， ∴△DBC ≌△EAC (SAS)，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又 ∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .

三角形顶点绕着图形的一点旋转

三角形顶点绕着图形的一点旋转 Ⅰ．三角形绕着矩形的对称中心旋转 原型题1：一次数学兴趣活动，小明提出这样三个问题，请你解决： （1）把正方形ABCD 与等腰Rt △P AQ 如图（a ）所示重叠在一起，其中∠P AQ ＝90°，点Q 在边BC 上，连接PD ，求证：△ADP ≌△ABQ ． （2）如图（b ），O 为正方形ABCD 对角线的交点，将一直角三角板FPQ 的直角顶点F 与点O 重合，转动三角板使两直角边始终与BC 、AB 相交于点M 、N ，求证：OM ＝ON ． （3）试探究四边形ONBM 的面积是一个定值，并求出这个定值． 变式1：某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD 的对角线交点O 旋转（如图所示）．已知AB ＝8，BC ＝10，图中M 、N 分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD 的边CD 、BC 的交点．问：是否存在某一旋转位置，使得CM +CN 等于445？ 若存在，请求出此时DM 的长；若不存在，请说明理由． 变式2：如图所示，O 为矩形ABCD 的对称中心，将直角三角板的指教顶点与O 点重合，转动三角板使两直角边始终与BC 、AB 相交，交点分别为M 、N ．如果AB ＝6，AD ＝8，OM ＝x ，ON ＝y ，则y 与x 的关系是 ．（不填x 的取值范围）

表示出所有可能的OF的值． Ⅱ．三角形的顶点在矩形对角线交点上移动 原型题2．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q． （1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想． 变式1：如图1，直角∠EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合，两直角边PE，PF分别和AB，AD所在的直线交于点E和F．易得△PBE≌△PDF，故结论“PE＝PF”成立； （1）如图2，若点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由； （2）如图3将（2）中正方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变，若AB=m，BC=n，直接写 出PE PF的值．

图形变换共顶点旋转.知识精讲(2014-2015)

中考内容 中考要求 A B C 图形的旋转 了解图形的旋转，理解对应点 到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形 能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角 能运用旋转的知识解决简单问题 180???? ?? ?????? ?? ?? ?? ?? ??? ???定义：绕定点旋转一定的角度概念与性质性质：旋转前后两个图形全等中心对称：旋转能重合等边三角形旋转等腰三角形共顶点旋转等腰直角三角形正方形费马点与最值 一、旋转 1、定义 把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P 经过旋转变为点'P ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图． Q' P' Q P O 【注意】1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角． 2、每一组对应点所构成的旋转角相等． 2、性质 （1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角） 共顶点旋转 中考大纲 知识精讲 知识网络图

（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形） （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形） 3、作图的重要条件 由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件 （1）旋转中心 （2）旋转方向及旋转角度． 4、作图的基本步骤 具体步骤分以下几步 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心． 转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点． 连：即连接所得到的各点． 二、中心对称 1、中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180?，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图） A D O C B 【注意】1、图形成中心对称是旋转角为定角（180?）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系． 2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系． 2、中心对称的性质 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形． 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等． 如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称． 3、中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180?，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图） A D O C B

共顶点的等腰三角形的旋转探索

共顶点的等腰三角形的旋转探索 学习目标：1.学生能认识平面图形关于旋转中心的旋转； 2.学生熟悉旋转的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等； 3.通过本节课探索，学生掌握具有共顶点的等腰三角形与旋转之间的联系，从而利用旋转来转化线段，求线段的长度. 一、复习引入 二、例题与变式探究 例：如图，ABD ?、AEC ?都是等边三角形，BE 和CD 有什么关系？ 你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？（九年级数学上册第63页第10题） 变式一：如图，△ABD 、△ACE 都是等腰直角三角形，求证：BE=CD. 变式二：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，求BD 的长.

三、课堂小结： 四、作业布置： 1..如图，△ABC 中，∠ABC ＝30，AB ＝６，BC ＝８，△ACD 是等边三角形，求BD 的长． 2. 如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线， ABC ?是等边三角形，30ADC ∠=，3AD =，5BD =，求四边形ABCD 的面积. 五、教学反思：通过本次微课，对于共本课题是学生学会《旋转》的图形的旋转及性质后，通过一个 课后习题引起的探究，意在通过基教材之根本，挖掘教材中典型，即由共顶点的两个等边三角形，通过旋转的性质可以得到线段之间的关系，进而联想到其它共顶点的等腰三角形是不是也可以通过旋转的性质得到呢？特别是在变式二的探究上是创新的，而且本微课通过动画演示，让学生更加清晰的看到旋转的本质，对学生不仅是直观感受颇深，而且对于旋转性质的理解与掌握甚至是灵活运用都起到良好的引导作用，最后的作业设计更是精心设计，第1小题力求达到巩固，第2小题稍有拓展，旨在培养学生深层次综合思维。

等腰三角形底边怎么算 听洪国华老师《等腰三角形存在性问题》心得体会

等腰三角形底边怎么算听洪国华老师《等腰三角形存在性问题》心得体会 小切口，大问题 听洪国华老师《等腰三角形存在性问题》心得体会 2017年12月13日，数学好课邀请赛第二轮如期举行。数学教研组的全体老师如约聚集在微格教室聆听参赛老师们的精彩展示。能进入第二轮的老师都是教学经验丰富、教学功底扎实的优秀老师，如这次上课的洪国华老师试图通过《等腰三角形存在性问题》向学生教授等腰三角形在顶点、腰不确定下进行分类讨论应注意的一些问题。 1、体现“以学生为主体，以教师为主导”的教学原则。 由于存在性问题是已知条件下的开放性问题，学生的思维角度各有不同。教学中洪老师留给学生充分探索空间，对提出的问题没有给出太多的解读，由学生自主探索。当发现学生学有所获，立刻请到黑板前板演展示，最后给出总结和点评，这正是“以学生为主体，以教师为主导”的充分体现。 2、教学中尊重“个体差异”的存在。 学生个体有差异，正如十个手指有长短一样是客观存在的。因此在教学设计中，应做充分的准备，使每个学生都得到充分发展。洪老师在教学中，设计了“试一试”、“比一比”、“议一议”、“学一学”等多个环节，使每个学生都有事可为，有事能为。既有利于夯实所有学生的基础，又可拓展提高部分学优生的深层次数学思维。 3、教学课件准备精心。 “工欲行其事，必先利其器”，充分利用多媒体等现代教学手段，是提高教学效率的有利保障。洪老师的课件从动点运动轨迹、不同情况的分类展示、教学结论的及时小结，都体现了激发学习兴趣，争取颗粒归仓的良苦用心。 当然，由于时间限制，个人认为有些环节可做适当改进。如‘小组合作’环节，适当降低问题难度或给予必要的指导，也许能更有效的得到开展，学生的探究能力得到训练，对问题的分析会更准确； 如分类讨论中点运动顺序与分类的条件相一致，学生的思路可能会更清晰。 感谢您的阅读！

共顶点等边

共顶点等边（腰）三角形 基本图形：如图△ABD 和△ACE 都是等边三角形。 （1）求证：BE=CD ； （2）求∠BFC 的度数 （3）求证：AF 平分∠DFE （4）求证AF+BF=DF 1. 如图，D 为等边△ABC 边BC 上任一点，以AD 为边作等边△ADE 。（等边三角形的性质） （1）求证：CD+CE=AC ； （2）求∠ACE 的度数。 2. 如图,在△ABC 中,CA=CB,在△DCE 中,CD=CE,且∠ACB=∠DCE= α,连AD 、BE 相交于F,连CF 。 (1)如图1,当α =60°时,且点D 在BC 上,则∠CFE=_____ (2)如图2,当点D 不在BC 上时,求∠CFE 的度数,并予以证明。 3. 如图，在线段AB 上取一点C ，分别以AC 、CB 为边向上作等边△ ADC 和等边△CEB ，连接DB 、AE ，DB 与AE 交于点O ，AE 交CD 于M 点，BD 交CE 于N 点，连接MN 、OC ； ⑴求证：MN ∥AB ； ⑵求证：OC 平分∠AOB 。 4. （2016-2017黄陂区八上期末），如图，在平面直角坐标系中，点A 为x 轴负半轴上的一点，AB=m ，OA=n 。且m,n 满足m 2-4mn+4n 2=0. (1) 求∠BAO 的度数； D E C B A

(2)如图2，若P为OA延长线上的一点，以PB为边向上做等边△PBD，连接DA并延长交y 轴于Q，若AO=2， ①求AQ的长； ②如图3，若M为线段BQ上一动点，连接AM，将AM绕M点顺时针旋转120°到MN，A 2，求ON的最小值。（选做） 的对应点为N，若OB=3 5.如图，在等边△ABC中，在BC边上取一点P，过点C做 AB平行线，过P做AC平行线，过P做AC平行线，两线交 于Q （1）求证AP=BQ （2）点P在BC边上任意运动，延长AP交BQ于D，请画 出图形，问AD与BD+CD之间是否存在确定关系，请写出。 6.（2016-2017江汉区期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=θ（0°<θ<60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BD， （1）如图1，∠ABD的大小为； （2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明； （3）如图3，在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求θ的值。 图1 图2 图3

等腰三角形

等腰三角形 语录天下：I know someone in the world is waiting for me, although I've no idea of who he is. But I feel happy every day for this. 我知道这世上有人在等我，尽管我不知道谁在等我。但是因为这样，我每天都非常快乐。 知识点一：等腰三角形、腰、底边 有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角 如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 1．如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，请你设计三种不同的分法，把△ABC分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形。（在等腰三角形的两个底角处标明度数） 知识点二：等腰三角形的性质 1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 知识点三：等腰三角形的判定定理 1、定理内容及证明 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”），

2．如图，在△ABC中，D在BC上，且 AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数。 举一反三： 【变式1】如图3，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB=EC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC。 【变式2】如图，D、E在△ABC的边BC上，且BE=BA，CD=CA，若∠BAC=122°，求∠DAE的度数。 【变式3】在△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE， ∠BAD=30°，求∠EDC的度数。

图形变换—旋转综合题(含答案)-

图形变换—旋转综合题 1.如图，在△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D上，使三角板绕点D旋转。 （1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明。 （2）如图1,设AF=x，四边形CEDF的面积为y.求y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围. （3）在旋转过程中，当三角板一边DM经过点C时，另一边DN交CB延长线于点E,连结AE与CD延长线交于H,如图2，求DH的长。

2.如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，如图1，使它的斜边与BC交于点E，一条直角边与CD交于点F（E、F不与B、D重合），AE、AF分别与BD交于P、Q两点. （1）求证：△ABP∽△ACF，且相似比为1∶2； （2）请再在图1中（不再添线和加注字母）找出两对相似比为1∶2的非直角三角形的相似三角形；（直接写出） （3），如图2当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，连结ON,若ON=8,求MQ的长。

3.如图，操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与边DC或射线DC相交于点Q。 ①当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； ②当点Q在边CD运动上时，设四边形PBCQ的面积为S时，试用含有x的代数式表示S： ③当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。

等腰三角形知识点

等腰三角形 【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问

题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。求证：M 是BE 的中点。 E 例2. 如图，已知：AB C ?中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。 A B C D