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城地下-10弹塑性力学B--简化--答案要点

城地下-10弹塑性力学B--简化--答案要点
城地下-10弹塑性力学B--简化--答案要点

中南大学考试试卷

(B 卷)

2009 -- 2010 学年 2 学期 时间100分钟

弹塑性力学 课程 40 学时 2.5 学分 考试形式:闭 卷

专业年级: 城地0801-0803 总分100分,占总评成绩70 %

注:此页不作答题纸,请将答案写在答题纸上 一、判断题(本题18分,每小题3分)

1、弹性力学中两个必须满足的假设是弹性假设和均匀性假设。 (×)

2、应力-应变关系曲线不论是否呈直线性,只要荷载卸除以后,应变能够完全恢复, 便说介质呈现弹性。 (√)

3、弹塑性假设是弹塑性力学与弹性力学的基本区别。 (√)

4、平面问题平衡微分方程为 00xy

x xy y X x y Y x

y τστσ???++=????

????++=???? (√)

5、极坐标系下的弹性力学方程只能用来描述具有轴对称性的受力物体。 (×)

6、平面应力问题和平面应变问题都要求中应变在一个平面内 (×) 二、概念解释(本题12分,每小题2分)

1、弹性;

2、塑性;

3、外力(即外荷载);

4、内力;

5、主应力,主方向;

6、应力不变量 三、简答题(本题21分)

1、简述弹性力学中应力分量和应变分量的符号规定。(6分)

答案要点:正面上,应力分量沿着坐标轴正向为正,负面上应力分量沿着坐标轴负方向为正;应变分量,拉应变为正,剪应变以使直角减少为正。

2、弹性力学中包含哪几类边界条件。 (5分)

答案要点:(1)位移边界条件,(2)应力边界条件(3)混合边界条件。

3、简述圣维南原理及其作用。(5分)

答案要点:圣维南原理:若把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布不同但静力等效的面力,则近处的应力分布将有显著改变,而远处所受的影响可忽略不计。可以推广为:

如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系(主矢量及主矩都等于零),那么,这个面力就只会使近处产生显著的应力,而远处的应力可以不计 .

圣维南原理的用途:具有广泛用途。例如:(1)对复杂的力边界,用静力等效的分布面力代替。(2)有些位移边界不易满足时,也可用静力等效的分布面力代替。

4、简述什么是弹性力学的位移解法和应力解法。(5分)

答案要点:(1)位移解法:

位移解法即按位移求解,它以位移(分量)为基本未知函数,将控制方程和边界条件

用位移表出,求出位移后,再利用几何方程、物理方程求出力与应变分量。

(2)应力解法

即按应力求解,以应力分量 为基本未知函数,将所有方程都用应力分量表示,并求出应力分量 ,再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。

四、计算题(本题39分)

1、已知一点处在某直角坐标系下的应力分量为:366620x xy xy

y σττσ????

=????????, 求:(1)主应力1σ、2σ; (2)主方向; (3)应力第一不变量; (4)13

22

n i j =

+截面上的正应力和剪应力。 (本题12分) 解答:

(1)

18

38

36

220362203622212

2

2

21===>+??? ??-±+=+???

? ?

?-±+=σστσσσσσσxy y x y x

(2)y

xy xy x

σσττσσα-=-=

111tan 或 y

xy xy x

σσττσσα-=-=222tan 或

(3)56211=+=σσI

(4)[]{}??????++=???

????

??

??

???

??????==310333182321206636n t σ 3324152

3

6931033318232

1

+=++=?????

?++????

??=?=n t n σ 343)3324()3103()3318(222+=+-+++=n τ

或者

332462

3

21220433641222+=???+?+?=

++=xy y x n lm m l τσσσ ()()3

3433464341)16(4322+=--=???

?

??-+-?=-+-=n xy x y n m l lm ττσστ

2、图1为某矩形截面混凝土挡土墙的一个截面,半宽度为h/2,其上面受到向下的堆载

作用,右侧受到来自土的压力,且底端压力为γ,下端固定,请写出该挡土墙的应力边界条件。(注:挡土墙就是用来阻挡土体,防止土体滑坡的结构。) (本题7分)

解答:

00

2

2

2

2

0

0

y xy y y h h x xy x x h h x

xy x x q y

l

στστσγ

τ=====-

=-

=-====-=

3、给定如下式的平面应力场,试判定它是否是某单连通物体的可能应力场。

22433

1, , 24

x y xy x y y xy σστ=-=-= (本题10分)

解答:

将式代入平衡方程

0=+??+??X y x xy x τσ0=+??+??Y y x y yx στ???

???=-=+-00

33332

2y y xy xy 满足; 将原式代入相容方程,0)(2222=+????

????+??y x y x σσ

)4

1

23(422y y x y x +-=+σσ,

=+???

?

????+??)(2222y y y x σσ 03332

2

2

≠---=y x y

∴ 式(a )不是一组可能的应力场。

4、如图所示悬臂梁,长度为l ,高为h (h l ≥),在上表面受均布荷载q 的作用,试检验应力函数y Ex Dx Cy y Bx Ay 2

2

3

3

2

5

++++=?能否成为该问题的解?如果可以,试求出应力分量。 (本题10分)

解答:(1)

x

y

O h

l

q

图2

04

4=??x

?

,By y x 12224=????,Ay y 12044=??? 应力函数表示的相容方程

024422444=??+???+??y

y x x ??? 将应力函数代入上述方程验证可知,

+By 24Ay 120=0

05=+A B 即)(5

1

a B A -=是上述应力函数可以作为该问题解的条

件。

(2)应力分量:

Cy y Ax Ay y

x 630202322+-=??=?

σ

Ey D Ay x

y 2210322++-=??=?

σ

()

Ex Axy Ex Axy y

x xy

230230222-=+--=???-=?τ

(3)边界条件

)...(0415

....0....)..(2.45

2210...)..(02810

(022)

332

32

d Ah E c q Eh D Ah Ey D Ay q b Eh D Ah h

y xy h y y h

y y

=-=-=-+=++--==++-

=±=-==τσσ

在次要边界上,应用圣维南原理:

如果(a)-(e)都满足,那么该应力函数就在圣维南原理的意义下成为该问题的解。 解(a)-(e)得:

()

()()

满足

得到满足

0)...(02

0,00

2

/2

/350

2

/2/0

2

/2/==+===-=-=-???dy e Ch Ah ydy dy x h h xy

x h h x x h h x

τσσ

h

q

E q D h q C h q B h q A 43,4,10,,533=

-=-=-==

因此,各个应力分量为:

???

?

??--=2

2

226534h x h

y h y q x σ ???

?

??+--=334312h y h y q y σ ???

?

??--

=22

4123h y h x q xy

τ 五、分析思考题(本题10分)

谈谈你对应用弹性力学方法解决实际问题的过程的理解; 并扼要谈谈对这门课程教学的建议。 答案要点: (1) 关于第一问

弹性力学实质上是一套数学模型,从数学模型应用的过程谈。 (2)关于第二问

略。

武汉大学弹塑性力学简答题以及答案

弹塑性力学简答题 2002年 1什么是偏应力状态?什么是静水压力状态?举例说明? 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用,偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2从数学和物理的不同角度,阐述相容方程的意义。 从数学角度看,由于几何方程是6个,而待求的位移分量是3个,方程数目多于未知函数的数目,求解出的位移不单值。从物理角度看,物体各点可以想象成微小六面体,微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”,即产生不连续。 3两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力(且体积力为常数)等都完全相同的线弹性平面问题,它们的应力分布是否相同?为什么? 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件,未涉及本构方程,与材料性质无关。 4虚位移原理等价于哪两组方程?推导原理时是否涉及到物理方程?该原理是否适用于塑性力学问题? 平衡微分方程和静力边界条件。不涉及物理方程。适用于塑性力学问题。 5应力状态是否可以位于加载面外?为什么? 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量、、不是互相独立的,而是相关,否则导致位移不单值,不连续。 6什么是加载?什么是卸载?什么是中性变载?中性变载是否会产生塑性变形?加载:随着应力的增加,应变不断增加,材料在产生弹性变形的同时,还会产生新的塑性变形,这个过程称之为加载。

卸载:当减少应力时,应力与应变将不会沿着原来的路径返回,而是沿接近于直线的路径回到零应力,弹性变形被恢复,塑性变形保留,这个过程称之为卸载。 中性变载:应力增量沿着加载面,即与加载面相切。应力在同一个加载面上变化,内变量将保持不变,不会产生新的塑性变形,但因为应力改变,会产生弹性应变。 7用应力作为未知数求解弹性力学问题时,应力除应满足平衡方程外还需要满足哪些方程?协调方程和边界条件。 8薄板弯曲中,哪些应力和应变分量较大?哪些应力和应变分量较小? 平面内应力分量最大,最主要的是应力,横向剪应力较小,是次要的应力;z方向的挤压应力最小,是更次要的应力。 9什么是滑移线?物体内任意一点沿滑移线的方向的剪切应力是多少? 在塑性区内,将各点最大剪应力方向作为切线而连接起来的线,称之为滑移线。 剪切应力是最大剪应力。 10什么是随动强化?试用单轴加载的情况加以解释? 2004 1对于各项同性线弹性材料,应用广义胡克定律说明应力与应变主轴重合? ,当某个面上的剪切应力为零时,剪应变也为零,这说明应力的主方向与应变的主方向重合。 2应力边界条件所描述的物理本质是什么? 物体边界点的平衡条件。 3虚位移原理等价于哪两组方程?这说明了什么?

弹塑性力学复习思考题 (1)

研究生弹塑性力学复习思考题 1. 简答题: (1) 什么是主平面、主应力、应力主方向?简述求一点主应力的步骤? (2) 什么是八面体及八面体上的剪应力和正应力有何其特点 (3) 弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么? (4) 偏应力第二不变量J 2的物理意义是什么? (5) 什么是屈服面、屈服函数?Tresca 屈服条件和Mises 屈服条件的几何 与物理意义是什么? (6) 什么是Drucker 公设?该公设有何作用?(能得出什么推论?) (7) 什么是增量理论?什么是全量理论? (8) 什么是单一曲线假定? (9) 什么是平面应力问题?什么是平面应变问题?在弹性范围内这两类问题之间有 和联系和区别? (10) 论述薄板小挠度弯曲理论的基本假定? 二、计算题 1、For the following state of stress, determine the principal stresses and directions and find the traction vector on a plane with unit normal (0,1,1)n = 3 111 021 2 0ij σ?? ??=?????? 2、In suitable units, the stress at a particular point in a solid is found to be 2 141 404 01ij σ-?? ??=????-?? Determine the traction vector on a surface with unit normal (cos ,sin ,0)θθ,where θ is a general angle in the range 0θπ≤≤。Plot the variation of the magnitude of the traction vector n T as a function of θ.

应用弹塑性力学习题解答

应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 设某点应力张量的分量值已知,求作用在过此点平面上的应力矢量,并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 利用上题结果求应力分量为时,过平面处的应力矢量,及该矢量的法向分量及切向分量。 解求出后,可求出及,再利用关系

可求得。 最终的结果为 已知应力分量为,其特征方程为三次多项式,求。如设法作变换,把该方程变为形式,求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中:是三个应力不变量,并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式,可令代入,正好项被抵消,并可得关系 代入数据得,, 已知应力分量中,求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为, ,特征方程变为 求出三个根,如记,则三个主应力为 记 已知应力分量 ,是材料的屈服极限,求及主应力。 解先求平均应力,再求应力偏张量,, ,,,。由此求得 然后求得,,解出 然后按大小次序排列得到 ,,

已知应力分量中,求三个主应力,以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记,则其解为,,。对应于的方向余弦,,应满足下列关系 (a) (b) (c) 由(a),(b)式,得,,代入(c)式,得 ,由此求得 对,,代入得 对,,代入得 对,,代入得 当时,证明成立。 解 由,移项之得 证得 第三章习题答案 取为弹性常数,,是用应变不变量表示应力不变量。

解:由,可得, 由,得 物体内部的位移场由坐标的函数给出,为, ,,求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。 解:首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 转动矢量的分量为 ,, 该点处微单元体的转动角度为 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置,同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示,在一点的3个方向分别粘贴应变片,若测得这3个应变片的相对伸长为,,,,求该点的主应变和主方向。 解:根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变,将,,,,,代入其 中,可得 则主应变有 解得主应变,,。由最大主应变可得上式只有1个方程式独立的,可解得与轴的夹角为 于是有,同理,可解得与轴的夹角为。 物体内部一点的应变张量为 试求:在方向上的正应变。

弹塑性断裂力学考试题

注:自己多改改啊,6月18日早上交。 1.在例3.2中,更精确地分析是假定悬臂梁在长度a+a 0处固定,根据实验测定a 0取h/3较合适。并考虑变形引起的位移,取V=1/3,试求能量释放率。 解:根据题意 V EBh a a p V EJ a a p ++=++=?3 3030)(83)(2 试件柔度 p V EBh a a p c ++=?=3 30)( 所以G I =3 22 22)3(1221h EB p h a d d p B a c += 2.某发电机转子在动平衡时发生断裂。断裂后发现垂直于最大拉应力方向的一个圆形片状缺陷。直径约在2.5~ 3.8cm 之间。缺陷处的最大拉应力为350MPa 。试估算转子的临界裂纹尺寸。经测定,转子材料的断裂韧度k 1c =(34~59)MPa m 。 解:缺陷处应力强度因子为 a k πσπ 2 1= 又k 1c =(34~59)MPa m ,350=σMPa a=(0.74~2.2)cm 所以裂纹直径为1.5~4.4cm 3.气瓶内径D=508mm ,壁厚t=35.6mm ,纵向有表面裂纹,深度a=16mm ,长度2L=508mm ,材料的屈服极限0σ=538MPa ,断裂韧度k 1c =110MPa m ,试求爆破压力。假设为理想塑性材料,考虑塑性区修正。 解:利用半椭圆表面裂纹应力强度因子 )(/]})(241[{1.121 211k E k a k s σππ+= =c a 254 16=0.063 ,查表得)(k E =1.008 21 211]})(241[{1.1) (s c k a k E k σππσ+= =21)]}8.53110(24116[{1.1110008.1ππ+ ?=14.2 kg/mm 2

弹塑性断裂力学结课报告.

弹塑性断裂力学 在本文总共分四部分,第一部分断裂力学习题,第二部分为断裂力学在岩石方面的研究及应用,第三部分为断裂力学的学习总结,第四部分为个人总结及建议。 一、断裂力学习题 1、某一合金构件,在275℃回火时,01780MPa σ=,52k K MPa m =,600℃回火时,01500MPa σ=,100Ic K MPa m =,应力强度因子的表达式为 1.1I K a σπ=,裂纹长度a=2mm ,工作应力为00.5σσ=。试按断裂力学的观点评 价两种情况下构件的安全性。(《断裂力学》 徐振兴 湖南大学出版社 P7) 解:由断裂失稳判据K<错误!未找到引用源。c ,临界条件K=错误!未 找到引用源。c 且a=2mm ,工作应力0=0.5σσ错误!未找到引用源。, 1.1I K a σπ=得 在275℃回火时,152Ic K MPa m =,得 111.117800.50.00277.6I Ic K MPa m K π=????=> 在600℃回火时,2100Ic K MPa m =,得 221.115000.50.00265.4I Ic K MPa m K π=????=< 由断裂准则可知,在275℃时K >错误!未找到引用源。c ,即裂纹会发 生失稳破坏;在600℃回火时K<错误!未找到引用源。K c ,即裂纹不会 发生失稳破坏。 2、有一长50cm 、宽25cm 的钢板,中央有长度2a =6cm 的穿透裂纹。已知材料的K Ic =95MPa m ,其屈服强度为ys δ=950MPa 。试求裂纹起裂扩展时的应力。(《工程断裂力学》 郦正能 北京航空航天大学出版社 P51) 解:(1)不考虑塑性区修正,但考虑有限宽度修正

断裂力学答案

( ( = K I + K I(2) 1.简述断裂力学的发展历程(含3-5 个关键人物和主要贡献)。 答:1)断裂力学的思想是由Griffith 在1920 年提出的。他首先提出将强度与裂纹长度定量 地联系在一起。他对玻璃平板进行了大量的实验研究工作,提出了能量理论思想。(2)断裂 力学作为一门科学,是从1948 年开始的。这一年Irwin 发表了他的第一篇经典文章“Fracture Dynamic(断裂动力学)”,研究了金属的断裂问题。这篇文章标志着断裂力学的诞生。(3) 关于脆性断裂理论的重大突破仍归功于Irwin。他于1957 年提出了应力强度因子的概念,在 此基础上形成了断裂韧性的概念,并建立起测量材料断裂韧性的实验技术。这样,作为断裂 力学的最初分支——线弹性断裂力学就开始建立起来了。(4)1963 年,Wells 提出了裂纹张 开位移(COD)的概念,并用于大范围屈服的情况。研究表明,在小范围屈服情况下COD 法与LEFM 是等效的。(5)1968 年,Rice 等人根据与路径无关的回路积分,提出了J 积分 的概念。J 积分是一个定义明确、理论严密的应力应变参量,它的实验测定也比较简单可靠。 J 积分的提出,标志着弹塑性断裂力学基本框架形成。 2.断裂力学的定义,研究对象和主要任务。 答:1)断裂力学的定义:断裂力学是一门工程学科,它定量地研究承载结构由于所含有的 一条主裂纹发生扩展而产生失效的条件。 (2)研究对象:断裂力学的研究对象是带有裂纹的承载结构。 (3)主要任务:研究裂纹尖端附近应力应变分布,掌握裂纹在载荷作用下的扩展规律;了 解带裂纹构件的承载能力,进而提出抗断设计的方法,保证构件安全工作。 3.什么是平面应力和平面应变状态,二者有什么特点?请举例说明之。 答:(1)平面应力:薄板问题,只有xoy 平面内的三个应力分量σ x、σ y、τ xy; ε z ≠ 0, 属三向应变状态。 (2)平面应变:长坝问题,与oz 轴垂直的各横截面相同,载荷垂直于z 轴且沿z 轴方向无 变化; ε z = 0, σ z ≠ 0,属三向应力状态;材料不易发生塑性变形,更具危险。 4.什么是应力强度因子的叠加原理,并证明之。掌握工程应用的方法。 答:(1)应力强度因子的叠加原理:复杂载荷下的应力强度因子等于各单个载荷的应力强 度因子之和。 (1) 在外载荷T2作用下,裂纹前端应力场为 σ2,则相应的应力强度因子为K I(2) = σ 2 π a 如果外载荷T1和T2联合作用,则裂纹前端应力场为 σ1+ σ2,则相应的应力强度因子为 K I = (σ 1 + σ 2 ) π a = σ 1 π a + σ 2 π a (1) 6.为什么裂纹尖端会发生应力松弛?如何对应力强度因子进行修正? 答:裂纹尖端附近存在着小范围的塑性区(设塑性区是以裂纹尖端为圆心,半径为r0 的圆 π a 形区域),材料屈服后,多出来的应力将要松驰(即传递给r>r0 的区域),使r0 前方局部地 区的应力升高,又导致这些地方发生屈服。即屈服导致应力松弛。 Irwin 提出了有效裂纹尺寸的概念a eff = a + r y对应力强度因子进行修正,在小范围条件下,

弹塑性力学习题及答案

1 本教材习题和参考答案及部分习题解答 第二章 2.1计算:(1)pi iq qj jk δδδδ,(2)pqi ijk jk e e A ,(3)ijp klp ki lj e e B B 。 答案 (1)pi iq qj jk pk δδδδδ=; 答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-; 解:(3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。 2.2证明:若ij ji a a =,则0ijk jk e a =。 (需证明) 2.3设a 、b 和c 是三个矢量,试证明: 2[,,]??????=???a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 证:因为1 231 111232221 2 33 3 3i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ???? ??????=?????????????????? , 所以 1 231111232221 2 33 3 3 1 231 1112322212 333 3det det()i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ??????????==??? ??????????????? 即得 123111 2 123222123333 [,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ??????=???==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。 2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量,证明: ()()()()()()???=??-??a b c d a c b d a d b c 证明:()()??=a b c d ?

断裂力学答案

( ( = K I + K I(2) 1.简述断裂力学的发展历程(含 3-5 个关键人物和主要贡献)。 答: 1)断裂力学的思想是由 Griffith 在 1920 年提出的。他首先提出将强度与裂纹长度定量 地联系在一起。他对玻璃平板进行了大量的实验研究工作,提出了能量理论思想。(2)断裂 力学作为一门科学,是从 1948 年开始的。这一年 Irwin 发表了他的第一篇经典文章“Fracture Dynamic (断裂动力学)”,研究了金属的断裂问题。这篇文章标志着断裂力学的诞生。(3) 关于脆性断裂理论的重大突破仍归功于 Irwin 。他于 1957 年提出了应力强度因子的概念,在 此基础上形成了断裂韧性的概念,并建立起测量材料断裂韧性的实验技术。这样,作为断裂 力学的最初分支——线弹性断裂力学就开始建立起来了。(4)1963 年,Wells 提出了裂纹张 开位移(COD )的概念,并用于大范围屈服的情况。研究表明,在小范围屈服情况下 COD 法与 LEFM 是等效的。(5)1968 年,Rice 等人根据与路径无关的回路积分,提出了 J 积分 的概念。J 积分是一个定义明确、理论严密的应力应变参量,它的实验测定也比较简单可靠。 J 积分的提出,标志着弹塑性断裂力学基本框架形成。 2.断裂力学的定义,研究对象和主要任务。 答: 1)断裂力学的定义:断裂力学是一门工程学科,它定量地研究承载结构由于所含有的 一条主裂纹发生扩展而产生失效的条件。 (2)研究对象:断裂力学的研究对象是带有裂纹的承载结构。 (3)主要任务:研究裂纹尖端附近应力应变分布,掌握裂纹在载荷作用下的扩展规律;了 解带裂纹构件的承载能力,进而提出抗断设计的方法,保证构件安全工作。 3.什么是平面应力和平面应变状态,二者有什么特点?请举例说明之。 答:(1)平面应力:薄板问题,只有 xoy 平面内的三个应力分量σ x 、σ y 、τ xy ; ε z ≠ 0 , 属三向应变状态。 (2)平面应变:长坝问题,与 oz 轴垂直的各横截面相同,载荷垂直于 z 轴且沿 z 轴方向无 变化; ε z = 0 , σ z ≠ 0 ,属三向应力状态;材料不易发生塑性变形,更具危险。 4.什么是应力强度因子的叠加原理,并证明之。掌握工程应用的方法。 答:(1)应力强度因子的叠加原理:复杂载荷下的应力强度因子等于各单个载荷的应力强 度因子之和。 (1) 在外载荷 T 2 作用下,裂纹前端应力场为 σ2,则相应的应力强度因子为 K I(2) = σ 2 π a 如果外载荷 T 1 和 T 2 联合作用,则裂纹前端应力场为 σ1+ σ2 ,则相应的应力强度因子为 K I = (σ 1 + σ 2 ) π a = σ 1 π a + σ 2 π a (1) 6.为什么裂纹尖端会发生应力松弛?如何对应力强度因子进行修正? 答:裂纹尖端附近存在着小范围的塑性区(设塑性区是以裂纹尖端为圆心,半径为 r0 的圆 π a 形区域),材料屈服后,多出来的应力将要松驰(即传递给 r>r0 的区域),使 r0 前方局部地 区的应力升高,又导致这些地方发生屈服。即屈服导致应力松弛。 Irwin 提出了有效裂纹尺寸的概念 a eff = a + r y 对应力强度因子进行修正,在小范围条件下,

(整理)弹塑性力学答案

一、简答题 1答:(1)如图1所示,理想弹塑性力学模型: e s s e E E σε εεσεσεε=≤==>当当 (2)如图2所示,线性强化弹塑性力学模型: () 1e s s e E E σε εεσσεεεε=≤=+->当当 (3)如图3所示,幂强化力学模型:n A σε= (4)如图4所示,钢塑性力学模型:(a )理想钢塑性: s s εσσεσσ=≤=>当不确定 当 (b )线性强化钢塑性: ()0 /s s s E εσσεσσσσ=≤=->当当 图1理想弹塑性力学模型 图2线性强化弹塑性力学模型 图 3幂强化力学模型 (a ) (b ) 图4钢塑性力学模型 2答:

3答:根据德鲁克公设, ()00,0p p ij ij ij ij ij d d d σσεσε-≥≥。在应力空间中,可将0ij ij σσ-作为向量ij σ与向量0 ij σ之差。由于应力主轴与应变增量主轴是重合的,因此,在应力空间 中应变增量也看作是一个向量。利用向量点积的定义: ()0 0cos 0p p ij ij ij ij ij ij d σ σεσσε?-=-≥,?为两个向量的夹角。由于0ij ij σσ-和p ij ε都是 正值,要使上式成立,?必须为锐角,因此屈服面必须是凸的。 4 答:逆解法就是先假设物体内部的应力分布规律,然后分析它所对应的边界条件,以确定这样的应力分布规律是什么问题的解答。 半逆解法就是针对求解的问题,根据材料力学已知解或弹性体的边界形状和受力情况,假设部分应力为某种形式的函数,从而推断出应力函数,从而用方程和边界条件确定尚未求出的应力分量,或完全确定原来假设的尚未全部定下来的应力。如果能满足弹性力学的全部条件,则这个解就是正确的解答。否则需另外假定,重新求解。 二、计算题 1解:对于a 段有:0N a a a a F A E a a σσεε==?= ,对b 段有:0 N b b b b P F A E b b σσεε-==?= 又a b ?=? 则N bP F a b = + 2解:代入公式,116I =,227I =-,30I = 故117.5MPa σ=,20MPa σ=, 3 1.5MPa σ=- ()0123/3 5.33MPa σσσσ=++= 08.62MPa τ= = 3解:(1)代入公式,110I =,2200I =-,30I = 故主应力:120MPa σ=,20MPa σ=, 310MPa σ=-

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第二章 应力理论和应变理论 2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ,水的比重为γ1。己求得应力解为: σx =ax+by ,σy =cx+dy-γy , τxy =-dx-ay ; 试根据直边及斜边上的边界条件,确定常数a 、b 、c 、d 。 解:首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件: OA 边:l 1=-1 ;l 2=0 ;T x = γ1y ; T y =0 则σx =-γ1y ; τxy =0 代入:σx =ax+by ;τxy =-dx-ay 并注意此时:x =0 得:b=-γ1;a =0; OB 边:l 1=cos β;l 2=-sin β,T x =T y =0 则:cos sin 0 cos sin 0x xy yx y σβτβτβσβ+=??+=?……………………………… (a ) 将己知条件:σx= -γ1y ;τxy =-dx ; σy =cx+dy-γy 代入(a )式得: ()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=?? ? --+-=?? L L L L L L L L L L L L L L L L L L 化简(b )式得:d =γ1ctg 2β; 化简(c )式得:c =γctg β-2γ1 ctg 3β 2—17.己知一点处的应力张量为3 1260610010000Pa ??????????? 试求该点的最大主应力及其主方向。 解:由题意知该点处于平面应力状态,且知:σx =12× 103 σy =10×103 τxy =6×103,且该点的主应力可由下式求得: (()() 3 1.2333 3 121010 2217.0831******* 6.082810 4.9172410x y Pa σσσ?++?=±=????=?=±?=? 则显然: 3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=?=?= σ1 与x 轴正向的夹角为:(按材力公式计算) ()22612 sin 226 12102 cos 2xy x y tg τθθσσθ--?-++ = = ==+=--+ 显然2θ为第Ⅰ象限角:2θ=arctg (+6)=+80.5376° 题图 1-3

弹塑性力学试题答案完整版

弹塑性力学2008、2009级试题 一、简述题 1)弹性与塑性 弹性:物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。 塑性:物体在引起形变的外力被除去以后有部分变形不能恢复残留下来的这一性质。 2)应力和应力状态 应力:受力物体某一截面上一点处的内力集度。 应力状态:某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。 3)球张量和偏量(P25) 球张量:球形应力张量,即σ=0 00000m m m σσσ?????????? ,其中()13m x y z σσσσ=++ 偏量:偏斜应力张量,即x m xy xz ij yx y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ?? -?? =-????-? ?,其中()13 m x y z σσσσ=++ 4)描述连续介质运动的拉格朗日法和欧拉法 拉格朗日描述也被称为物质描述,同一物质点在运动过程中的坐标值不变,物质体变形表现为坐标轴变形、基矢量的随体变化。 采用拉格朗日描述时,在变形过程中网格节点和积分点始终与物质点一致,便于精确描述材料特性、边界条件、应力和应变率; 欧拉描述也被称为空间描述。在欧拉描述中,当前构形被离散化,初始构形(参考构形)是未知的。由于采用了物质对固定网格的相对运动,它具有以下优点: 欧拉描述便于对固定空间区域特别是包含流动、大变形和物质混合问题的建模。 5)转动张量:表示刚体位移部分,即 1102211022110 22u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ? ? ?? ??????--?? ? ? ??????? ???? ? ? ?????????? =-- ? ??? ? ??????????? ????????????-- ? ? ????????? ?? ?? 6)应变张量:表示纯变形部分,即

应用弹塑性力学习题解答

应用弹塑性力学习题 解答 Revised on November 25, 2020

应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 设某点应力张量的分量值已知,求作用在过此点平面上的应力矢量,并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 利用上题结果求应力分量为时,过平面处的应力矢量,及该矢量的法向分量及切向分量。

解求出后,可求出及,再利用关系 可求得。 最终的结果为 已知应力分量为,其特征方程为三次多项式,求。如设法作变换,把该方程变为形式,求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中:是三个应力不变量,并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式,可令代入,正好项被抵消,并可得关系 代入数据得,, 已知应力分量中,求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为, ,特征方程变为 求出三个根,如记,则三个主应力为 记 已知应力分量 ,是材料的屈服极限,求及主应力。 解先求平均应力,再求应力偏张量,,

,,,。由此求得 然后求得,,解出 然后按大小次序排列得到 ,, 已知应力分量中,求三个主应力,以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记,则其解为,,。对应于的方向余弦,,应满足下列关系 (a) (b) (c) 由(a),(b)式,得,,代入(c)式,得 ,由此求得 对,,代入得 对,,代入得 对,,代入得 当时,证明成立。 解 由,移项之得 证得

第三章习题答案 取为弹性常数,,是用应变不变量表示应力不变量。 解:由,可得, 由,得 物体内部的位移场由坐标的函数给出,为, ,,求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。 解:首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 转动矢量的分量为 ,, 该点处微单元体的转动角度为 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置,同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示,在一点的3个方向分别粘贴应变片,若测得这3个应变片的相对伸长为,, ,,求该点的主应变和主方向。 解:根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变,将,,,,,代入其中,可得 则主应变有

弹塑性力学思考题

弹塑性理论思考题 ⒈一点的应力状态? 通过一点P可做无穷多个截面,各个截面上应力状况的集合称为一点的应力状态。(通过一点P 的各个面上应力状况的集合。) ⒉一点应变状态? 代表一点P 的邻域内线段与线段间夹角的改变。(过P点所有方向上的线应变和角应变的集合。) ⒊(1)应力张量? 应力张量是应力状态的数学表示。数学上应力为二阶张量,三维空间中需九个分量(三个正应力分量和六个剪应力分量)来确定。在静力平衡(无力矩)状态下,剪应力关于对角对称,九个量中只有六个独立分量。(p17-p18) (2)应力张量的不变量? 应力张量是二阶对称张量,因此它同样存在三个不变量,分别用J1,J2,J3表示。 (3)应力球张量?应力偏张量? 应力球张量只能使物体产生体积变化 应力偏张量使物体产生形状变化,而不能产生体积变化,材料的塑性变形就是由应力偏张量引起的 (4)体积应力? 对弹性体施加一个整体的压强p,这个压强称为“体积应力”,弹性体的体积减少量(-dV)除以原来的体积V称为“体积应变”,体积应力除以体积应变就等于体积模量: K=P/(-dV/V)。 由体积应力和体积应变的关系,可得 由上述公式可知,如果体力为常量,体积应力和体积应变均满足拉普拉斯(Laplace)方程,即体积应力函数和体积应变函数均为调和函数。 (5)平均应力? 交变应力中,最大应力和最小应力的平均值。 (6)偏应力第二不变量J2的物理意义? 第二不变量是三个主应力两两相乘的和 (7)单向应力状态? 如果有两个主应力等于零称为单向应力状态 (8)纯剪应力状态的应力张量? 给出应力分量,计算第一,第二不变量。 应力偏张量是二阶对称张量,因此它同样存在三个不变量,分别用J1、J2、

弹塑性力学思考题答案

弹塑性理论思考题 ⒈ 一点的应力状态? 答:通过一点P 的各个面上应力状况的集合 ⒉ 一点应变状态? 答:[受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变与剪应变(任意两相互垂直方向所夹直角的改变量)的总和,就表示了该点的应变状态。] 代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变 ⒊ 应力张量?应力张量的不变量?应力球张量?体积应力?平均应力?应力偏张量?偏应力第二不 变量J2的物理意义?单向应力状态、纯剪应力状态的应力张量?给出应力分分量,计算第一,第二不变量。 答:应力张量:代表一点应力状态的应力分量,当坐标变化时按一定的规律变化,其变换关系符合 张量之定义,因此,表示点的应力状态的9个分量构成一个二阶张量,称为应力张量。一点的应力状态可以借用矩阵以张量σij 表示: 。其中:xz τ=zx τ,xy τ=yx τ,yz τ=zy τ。 应力张量的不变量:对于一个确定的应力状态,只有一组(三个)主应力数值,即J 1,J 2,J 3是不变量,不随 着坐标轴的变换而发生变化。所以J 1,J 2,J 3分别被称为应力张量的第一、第二、第三不变量。 应力张量可分解为两个分量 0-00+00m x m xy xz ij m yx y m yz m zx zy z m σσσττσστσστσττσσ????????=-????????-???? ,等式右端第一个张量称为应力球张量,第二个张量称为应力偏张量。 应力球张量:应力球张量,表示球应力状态(静水应力状态),只产生体积变形,不产生形状变形,任何切面上的切应力都为零,各方向都是主方向。 应力偏张量:应力偏张量,引起形状变形,不产生体积变形,切应力分量、主切应力、最大正应力 及主轴同原σij ,二阶对称张量,同样存在三个不变量J 1' ,J 2' ,J 3' 体积应力:P46 平均应力:12311 ()()33 m x y z σσσσσσσ=++=++,m δ为不变量,与坐标无关。 偏应力第二不变量J2的物理意义:形状变形比能。 单向应力状态:两个主应力为零的应力状态。 纯剪应力状态的应力张量: 给出应力分分量,计算第一,第二不变量。(带公式) ⒋ 应变张量?应变张量的不变量?应变球张量?体积应变?平均应变?应变偏张量? 应变张量:几何方程给出的应变通常称为工程应变,这些应变分量的整体,构成一个二阶的对称张 ??????????z zy zx yz y yx xz xy x στττστττσ[]=σ

弹塑性力学习题解答

塑性:

弹性:

2-16设有任意形状的等厚度薄板,体力可以不计,在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q 试证q y x -==σσ 及0=xy τ能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件,也能满足位移单值条件,因而就是正确的解答。

证明: (1)将应力分量q y x -==σσ,0=xy τ和0==y x f f 分别代入平衡微分方程、相容方程 ????? ??=+??+??=+??+??00y x xy y y x y yx x x f f τ στσ (a ) 0)1())((22 22=??+??+-=+??+??)(y f x f y x y x y x μσσ (b ) 显然(a )、(b )是满足的 (2)对于微小的三角板dy dx A ,,都为正值,斜边上的方向余弦),cos(x n l =,),cos(y n m =,将q y x -==σσ,0=xy τ代入平面问题的应力边界条件的表达式 ???? ?=+=+) ()() ()(s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ (c ) 则有),cos(),cos(x n q x n x -=σ ),c o s (),c o s ( y n q y n y -=σ 所以q x -=σ,q y -=σ。 对于单连体,上述条件就是确定应力的全部条件。 (3)对于多连体,应校核位移单值条件是否满足。 该题为平面应力的情况,首先,将应力分量q y x -==σσ及0=xy τ代入物理方程,得形变分量q E x )1(-= με,q E y ) 1(-=με,0=xy γ (d ) 然后,将(d )的变形分量代入几何方程,得 q E x u ) 1(-=??μ,q E y v )1(-=??μ,0=??+??y u x v (e )

断裂力学试题

断裂力学形成和发展 1. 简述断裂力学的发展历程(含3-5个关键人物和主要贡献)。 答:(1)断裂力学的思想是由Griffith 在1920年提出的。他首先提出将强度与裂纹长度定量地联系在一起。他对玻璃平板进行了大量的实验研究工作,提出了能量理论思想。(2)断裂力学作为一门科学,是从1948年开始的。这一年Irwin 发表了他的第一篇经典文章“Fracture Dynamic (断裂动力学)”,研究了金属的断裂问题。这篇文章标志着断裂力学的诞生。(3)关于脆性断裂理论的重大突破仍归功于Irwin 。他于1957年提出了应力强度因子的概念,在此基础上形成了断裂韧性的概念,并建立起测量材料断裂韧性的实验技术。这样,作为断裂力学的最初分支——线弹性断裂力学就开始建立起来了。(4)1963年,Wells 提出了裂纹张开位移(COD )的概念,并用于大范围屈服的情况。研究表明,在小范围屈服情况下COD 法与LEFM 是等效的。(5)1968年,Rice 等人根据与路径无关的回路积分,提出了J 积分的概念。J 积分是一个定义明确、理论严密的应力应变参量,它的实验测定也比较简单可靠。J 积分的提出,标志着弹塑性断裂力学基本框架形成。 2. 断裂力学的定义,研究对象和主要任务。 答:(1)断裂力学的定义:断裂力学是一门工程学科,它定量地研究承载结构由于所含有的一条主裂纹发生扩展而产生失效的条件。 (2)研究对象:断裂力学的研究对象是带有裂纹的承载结构。 (3)主要任务:研究裂纹尖端附近应力应变分布,掌握裂纹在载荷作用下的扩展规律;了解带裂纹构件的承载能力,进而提出抗断设计的方法,保证构件安全工作。 线弹性断裂力学 3. 什么是平面应力和平面应变状态,二者有什么特点?请举例说明之。 答:(1)平面应力:薄板问题,只有xoy 平面内的三个应力分量 x σ、y σ、xy τ;0≠z ε, 属三向应变状态。 (2)平面应变:长坝问题,与oz 轴垂直的各横截面相同,载荷垂直于z 轴且沿z 轴方向无变化;0=z ε,0≠z σ,属三向应力状态;材料不易发生塑性变形,更具危险。

弹塑性断裂力学

《弹塑性断裂力学》 一、断裂力学研究现状与进展 断裂力学是近几十年才发展起来的一支新兴学科,也是固体力学的新分支,是二十世纪六十年代发展起来的一门边缘学科。它从宏观的连续介质力学角度出发,研究含缺陷或裂纹的物体在外界条件作用下宏观裂纹的扩展、失稳开裂、传播和止裂规律。断裂力学应用力学成就研究含缺陷材料和结构的破坏问题,由于它与材料或结构的安全问题直接相关,因此它虽然起步晚,但实验与理论均发展迅速,并在工程上得到了广泛应用。它不仅是材料力学的发展与充实,而且它还涉及金属物理学、冶金学、材料科学、计算数学等等学科内容。断裂力学的创立对航天航空、军工等现代科学技术部门都产生了重大影响。随着科学技术的发展,断裂力学这门新的学科在生产实践中得到越来越广泛的应用。 断裂力学包括线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、刚塑性断裂力学、粘弹性断裂力学、断裂动力学、复合材料断裂力学等分支。断裂力学的发展主要是线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、断裂动力学这三种经典断裂力学的发展。 1921年,Griffith用弹性体能量平衡的观点研究了玻璃、陶瓷等脆性材料中的裂纹扩展问题,提出了脆性材料裂纹扩展的能量准则。1955年,Irwin用弹性力学理论分析了裂纹尖端应力应变场后提出了对于三种类型裂纹尖端领域的应力场与位移场公式。弹塑性断裂与脆性断裂不同,在裂纹开裂以后出现明显的亚临界裂纹扩展(稳态扩展),

达到一定的长度后才发生失稳扩展而破坏.而脆性断裂无明显的临界裂纹扩展,裂纹开裂与扩展几乎同时发生。弹塑性断裂准则分为两类,第一类准则以裂纹开裂为根据,如COD准则,J积分准则;第二类准则以裂纹失效为根据,如R阻力曲线法,非线性断裂韧度G法。1965年Wells在大量实验的基础上,提出以裂纹尖端的张开位移描述其应力、应变场。1968年,Rice提出了J积分理论.以J积分为参数并建立断裂准则。弹塑性断裂力学的重要成就是HRR解。硬化材料I型裂纹尖端应力应变场的弹塑性分析是由Hutchinson,Rice与Rosengren(1968)解决的,故称为HRR理论。断裂动力学问题可分为两大类,其一是裂纹稳定而外力随时间迅速变化,其二是外力恒定而裂纹处于快速运动状态。在这种情形下,必须考虑材料的惯性效应。70年代初,Sih与Loeber导出了外载随时间变化而裂纹是稳定的情况的渐近应力场与位移场,Rice等多人先后导出了裂纹以等速传播情况的渐近应力场与位移场,并提出了裂纹稳定而外载随时间迅速变化情况下的裂纹开裂准则。对于很多工程材料,如聚合物、复合材料、混凝土等新型粘弹性材料,在常温下明显表现出时间相依性,这些材料的裂纹体可抽象为粘弹性体,与此相应的理论就是粘弹性断裂力学。对于缓慢亚临界裂纹扩展很明显的工程实际问题,必须考虑裂纹尖端塑性区或微裂区,按考虑裂尖衰坏区非线性效应的粘弹性断裂力学计算。对应力和位移场的求解,可采用弹性-粘弹性对应原理和Volterra 原理两类。裂纹模型,大多采用Dugdale-Barenblatt模型及其推广。 断裂力学的理论不仅产生于社会生产实践。而且它现在已经又作

应用弹塑性力学课后习题答案

附录Ⅱ习题解答提示与参考答案 第二章应力理论 2-1 ζn=ζ1l2+ζ2m2,;式中l、m、n为斜截面外法线的方向余弦。 2-2 p=111.5A;ζn=26A;ηn=108.5A 2-3 提示:平面Ax+By+C z+D=0的外法线的方向余弦为:(式中i=1,2,3或A,B,C) 答案: 2-4 略 2-5 (a)ζ1=738.5;ζ2=600;ζ3=-338.5;ηmax=538.5;应力单位为MPa。 (b)ζ1=700;ζ2=600;ζ3=-600;ηmax=650;应力单位为MPa。 2-6 ζ1=3.732η0;ζ2=-0.268η0;α=15o。 2-7 (材料力学解) 应力单位为MPa。 (弹塑性力学解) 应力单位为MPa。 2-8 ζ1=107.3a;ζ2=44.1a;ζ3=-91.4a; ζ1主方向:(±0.314,0.900,0.305); ζ2主方向:(±0.948,±0.282,±0.146); ζ3主方向:(0.048,±0.337,0.940)。 2-9 ;ζ2=0;ζ3=-ζ1。 2-10、2-11 略 2-12 (1)略;(2)ζ8=ζm=5.333MPa;η8=8.654MPa。 2-13 p8=59.5;ζ8=25.0a;η8=54.1a。 2-14 上式中S为静矩。材料力学解不满足平衡微分方程和边界条件。

2-15 ,Q为梁横截面上的剪力。提示:利用平衡微分方程求解。2-16 ζ1=17.083×103Pa;ζ2=4.917×103Pa;ζ3=0,?=40o16′。2-17 略2-18 2。2-19 提示:将三个主方向的三组方向余弦分别两两一组代人式(2-12)证之。2-20 。2-21 在AA′上:ζx=-γy,ηxy=0;在AB上:ηxy=0,ζy=-γh;在BB′上:l1=cosα,l2=-sinα,l3=0;则应力分量满足关系式:2-22 。2-23 。2-24 ηzx=-ζz tanα;ζx=ζz tan2α。2-25 在x=-ytanα处,在x=ytanβ处: 2-26 A=0;B=-ρ1g;C=ρgcotβ-2ρ1gcot3β;。 2-27 (1)ζ1=99.6A;ζ2=58.6A;ζ3=-138.2A;ηmax=118.9A。 (2)ζ1=99.6A;ζ2=58.6A;ζ3=-138.2A;ηmax=118.9A。

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第二章 应力理论和应变理论 2—3.试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°(应力单位为MPa )并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时,其符号及正负值应作何修正。 解:在右图示单元体上建立xoy 坐标,则知 σx = -10 σy = -4 τxy = -2 (以上应力符号均按材力的规定) 代入材力有关公式得: 3030cos 2sin 22 2 1041041 cos 602sin 607322226.768 6.77() 104sin 2cos 2sin 602cos 60 221 32 3.598 3.60() 22 x y x y xy x y xy MPa MPa σσσσσατα σστατα+-= + ----+= ++=--?+=----+=?+=?-=-?-?=-- 代入弹性力学的有关公式得: 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +2 3030( )cos 2sin 22 2 1041041cos 602sin 607322222 6.768 6.77() 104 sin 2cos 2sin 602cos 60 22132 3.598 3.60() 22 x y x y xy x y xy MPa MPa σσσσσατα σστατα+-= ++---+= ++=--?+?=----+=-?+=-?+=?+?= 由以上计算知,材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时,所使用的公式是不同的,所得结果剪应力的正负值不同,但都反映了同一客观实事。 2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下(如图所示)。材料比重为γ弹性模量为 E ,横截面面积为A 。试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。 解:据题意选点如图所示坐标系xoz ,在距下端(原点)为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得: c 截面的内力:N z =γ·A ·z ; c 截面上的应力:z z N A z z A A γσγ??= ==?; 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为: 题图 1-3

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