b
9、二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的图象如图2
，下列结论： ①c ＜0; ②b ＞0 ③4a+2b+c ＞0 ④(a+b)2＜b 2,其中正确的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
10、二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象如图3，则函数值y ＜0时，x 的取值范围（ ）
A 、-3＜x ＜1
B 、x ≥1
C 、x ≤-3
D 、3＜x ＜5 （三）、解答题：
11、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m （件）与每件的售价x （元）满足一次函数：m=162-3x
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 之间的函数关系式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价为多少最合适？最大销售利润为多少？
三、结合练习，查缺补漏：
1、你觉得自己对本章哪些知识已掌握、能应用？
2、将你认为自己还没掌握的知识点和解题中的易错点做成数学卡片，并及时解决。
四、回顾总结：
1、二次函数的概念、表示；
2、二次函数的性质归纳；
3、二次函数知识的综合应用。
五、布置精选作业：
1、将你在本节课中的收获写在作业本中；
2、将自己在本节课中发现的问题写下来，并及时解决。
初中数学二次函数复习求函数解析式优质课教案优质课教案教学设计
二次函数专题（一）——求二次函数表达式教学目标 会通过待定系数法求二次函数的关系式； 教学过程 二次函数是初中数学的一个严重内容，也是高中数学的一个严重基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的严重保证。 二次函数的解析式有三种基本形式： 1、大凡式：y=ax2 +bx+c (a≠0)。 2、顶点式：y=a(x－m)2 +k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。 3、交点式：y=a(x－x 1)(x－x 2) (a≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x轴的交点的横坐标。 求二次函数的解析式大凡用待定系数法，但要根据例外条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设大凡式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。 探究问题，典例指津：
例1、已知二次函数的图象经过(0,1),(2,4)，(3,10)三点,请你用待定系数法求这个函数的解析式。 例2、已知二次函数的图象经过(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个函数的解析式。 练习、已知抛物线的顶点在原点,且过(2,8),求这个函数的解析式。 例3、已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并经过M(0，1)，求抛物线的解析式． 练习1：根据下列已知条件，求二次函数的解析式： (1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5) (2)抛物线顶点为M(－1,2)且过点N(2,1) (3)抛物线过原点，且过点(3,－27),(-1,1) (4)已知二次函数的图象经过点（1，0），(3，0),(0，6)求二次函数的解析式。 例4、已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式． 练习2：根据下列已知条件，求二次函数的解析式： (1)抛物线y=ax2+bx+c经过(0，0)与（12，0），最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。 (2)已知当x=2是，函数有最小值为3，且过点（1,5） (3)二次函数的图像经过点（3，-8）对称轴为直线x=2，抛物线与X轴两个交点之间的距离为6课堂小结 本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意根据例外的条件选择适合的解析式形式
5.4 二次函数与一元二次方程导学案
.3.1二次函数与一元二次方程 班级 姓名 【学习目标】 1.经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数之间的联系； 2.理解抛物线与x 轴公共点的个数与相应的一元二次方程根的对应关系； 3.会求抛物线与坐标轴的交点坐标. 【课前自习】 2 . 2.二次函数的顶点式是 ，其中顶点坐标是 ，对称轴是 . 3.解下列一元二次方程： ①0322 =--x x ②0962 =+-x x ③0322 =+-x x 4.对于任何一个一元二次方程02 =++c bx ax ，我们可以通过表达式 的值判断方程的根的情况如下：当 >0时，方程有 实数根； 当 =0时，方程有 实数根； 当 <0时，方程 实数根.
【课堂助学】 一、探索归纳： 2.对比《课前自习》第3题各方程的解，你发现什么？ 3.归纳： ⑴一元二次方程02 =++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2 与 x 轴交点的 . 的 ⑶二次函数c bx ax y ++=2 与y 轴交点坐标是 . 练习.判断下列函数的图象与x 轴是否有公共点，有几个公共点，并说明理由. ⑴x x y -=2 ； ⑵962 -+-=x x y ⑶11632 ++=x x y
二、典型例题： 例1、已知二次函数342+-=x x y .求该抛物线的图象与坐标轴的交点坐标. 归纳：⑴求抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点坐标只要令 ，转化为求对应 方程 的解；若对应方程的实数根为21x x 、，则抛物线与x 轴 的交点坐标是 ，特别当21 x x =时，这个交点就是抛物线的 . ⑵求抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点坐标只要令 ，该交点坐标是 . 这也是求任意函数的图象与坐标轴交点坐标的一般方法. 【课堂检测】 1.抛物线2 2x x y --=与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 . 2.抛物线c bx ax y ++=2的图象都在x 轴的下方，则函数值y 的取值范围是 . 3.抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴只有一个交点（-3，0），则它的顶点坐标是 . 4. 若抛物线42 ++=bx x y 与x 轴只有1个交点，求b 的值. . 求抛物线822 --=x x y 与x 轴的交点之间的距离. 【拓展提升】 利用下列平面直角坐标系求例①中抛物线342 +-=x x y 与坐标轴的交点围成的 △ABC 的周长和面积.
完整版公开课一等奖二次函数复习课教案.doc
《二次函数复习》教学案 班级：初三 18 班年级：九设计者：李玲时间： 2015 年 10 月 16 日课题二次函数课型复习课 知识技能掌握二次函数的图象及其性质，能灵活运用数形结合知识解一些实际问题． 数学思考通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力． 教学目标 解决问题学生亲自经历巩固二次函数相关知识点的过程，体会利用数形结合线索解决问题策略的多样性． 经历探索二次函数相关题目的过程，体会数形结合思想、化归思想 情感态度在数学中的广泛应用，同时感受数学知识来源于实际生活，反之，又服务于实际生活． 教学重点教学难点二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题．二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题． 课前准备 （教具、活制作课件 动准备等） 教学过程 教学步骤师生活动设计意图 如图是抛物线y ax2bx c a 0 的图像，通过一个具体二次函数， 请尽可能多的说出一些结论。请学生说出尽可能多的结论，主要让学生回忆二次函数有 基础知识之 关基础知识．同学们之间可以自我构建 相互补充，体现团结协作精 神．同时发展了学生的探究意 识，培养了学生思维的广阔 性． 二次函数是生活中最常 见的一类函数，它有着自己固 有的性质，反映的是轴对称性 和增减性； 我们要突出反映二次函数的 轴对称性、顶点坐标，我们就基础知识之可以把一般式改写成顶点式；基础演练如果想知道抛物线与 x 轴两 个交点的情况，我们可以把一 般式写出交点式； 刚刚我们回顾了二次函数的 性质，我们发现二次函数的图 像能够直观地反映函数的特 性，而数又能细致刻画函数图
一元函数微分学教案
第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左
2.1 二次函数 教学案(含答案)
2.1二次函数 一、课前热身 1.我们已经学过了一次函数，它是怎么下定义的？你能用类比的方法给二次函数下定义吗？例举几种你认为形式不同的二次函数. 2.函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，问当a,b,c满足什么条件时： (1)它是二次函数；(2)它是一次函数；(3)它是正比例函数。 我达标 1. 在下列函数关系式中，不是二次函数的是（） A. y=－2x2 B. y=2(x－1)2+3 C. y=(x+3)2－x2 D. y=a(8－a) 2. 在一定条件下，若物体运动的路程s(m)与时间t(s)的关系式为s=5t2 +2t,则当t=4s时，该物体运动的路程为（） A. 28m B. 48m C.68m D. 88m 3. 函数y=－(x－2)2+2化为y=ax2+bx+c的形式是.其中二次项系数是,一次项系数是, 常数项是. 4. 请写出一个y关于x的二次函数，使得函数的二次项系数为1，且当x=1时，y=2. 5. 有n 系式是. 6. (1)二次函数y=ax2 +c中,当x=3时，y=26；当x=2时，y=11. (2)二次函数y=ax2 +bx+c中,当x=0时，y=2；当x=1时，y=3；当x=－1时，y=－5.
7．若函数 m m x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 . 8．观察下面的表格： 求a,b,c 的值，并在表格内的空格中填上正确的数. 9．如图，要建一个三面用木板围成的矩形仓库，已知矩形仓库一边靠墙（墙长16 m ），并在与墙平行的一边开一道1 m 宽的门，现在可围的材料为32 m 长的木板，若设与墙平行的一边长为x m ，仓库的面积为y m 2. （1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当x =4时，求y 的值.
二次函数复习课教学设计
二次函数复习课教学设计 一、教材分析： 函数是初中数学中最基本的概念之一，从八年级首次接触到函数的概念，就学习了正比例函数、一次函数，然后九年级上册学习了反比例函数，九年级下册学习了二次函数，函数贯穿于整个初中数学体系之中，也是生活实际中构建数学模型的重要工具之一。二次函数在初中数学教学中占有极其重要的地位，它不仅中初中代数内容的引申，更为高中学习一元二次不等式等内容打下基础。在历届中考试题中，二次函数都是压轴题中不可缺少的内容。二次函的图象和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起到了很好的推动作用。并且二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地对自己所学的知识融会贯通。 二、学情分析： 九年级的学生在新课的学习中已经掌握了二次函数的定义、会作二次函数的图象并能根据图象对二次函数的性质进行简单地分析。并且经过一段时间的练习，学生的分析能力和理解能力都较学习新课时有所提高，学生的学习热情较高，有了一定的自主探究和合作学习能力。不过，学生学习能力差异较大，两级分化过于明显。 三、复习目标： 知识与技能目标：1.回忆所学二次函数的基础知识，进一步理解掌握 2.灵活运用基础知识解决相关问题，提高学生解决问题的能 力 过程与方法目标：1.学生自查遗忘的知识点，回答问题，提出问题。 2. 经历例题习题的解答，提高技能。 3.讨论、交流，教师答疑、解惑、指导。 情感、态度与价值观目标：渗透二次函数在实践中的运用，使学生知道学为所用，树 立服务社会的思想。 四、复习重点、难点： 二次函数的基础知识回忆及灵活运用。 五、复习方法：自主探究、分组合作交流 六、复习过程： 一、知识梳理（学生以小组为单位，课前已独立完成） 学生分组汇报本章相关知识点，各组互相补充： （2）某纸箱厂的年利润为50万元，年增长率为x，第三年的利润为y万元，则y与x 之间的函数关系式为； （3）当m 时，函数5 4 )2 (2- + - =x x m y（m是常数）是二次函数。 教师强调：对于二次函数的一般式c bx ax y+ + =2，其二次项系数a必须不能为0。 2、二次函数的图象与性质： 填表：（屏幕显示）
高等数学教案--一元函数微分学的应用
高等数学教案—一元函数微分学的应用 课 时 授 课 计 划 第一课时 教学过程及授课内容 教学过程 一、柯西中值定理 定理1（柯西中值定理）如果函数)(x f 与 )(x F 满足下列条件：(1)闭区间 ],[b a 上连续； (2)在开区间),(b a 内可导； (3))('x F 在),(b a 内的每一点均不为零，那么，在),(b a 内至少有一点ξ，使得 二、洛必达法则 把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限称为00型或 ∞ ∞ 型不定式(也称为 0型或∞∞ 型未定型)的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的 极限方法． 定理2 (洛必达法则)若(1)0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x g x x ； (2))(x f 与)(x g 在0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)('≠x g ； (3)A x g x f x x =''→) () (lim 0(A 为有限数，也可为∞+或∞-)，则 A x g x f x g x f x x x x =''=→→) () (lim )()(lim 00 证 由于我们要讨论的是函数在点0x 的极限，而极限与函数在点0x 的值无关，所以我们可补充)(x f 与)(x g 在0x 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响。令0)()(00==x g x f ，则)(x f 与)(x g 在点0x 就连续了．在0x 附近任取一点x ，并应用柯西中值定理，得 .f(b)f(a)f ( )F(b)F(a)F () ξξ'-='-
) () ()()()()()()(00ξξg f x g x g x f x f x g x f ''=--= (ξ在x 与0x 之间) . 由于0x x →时，0x ξ→，所以，对上式取极限便得要证的结果，证毕． 注：上述定理对∞→x 时的0 未定型同样适用，对于0x x →或∞→x 时的未定型 ∞ ∞ ，也有相应的法则． 例1 求1 2 3lim 2331+--+-→x x x x x x ． 解 123lim 2331+--+-→x x x x x x =12333lim 221---→x x x x =266lim 1-→x x x =46=2 3． 例2求x x x tan cos 1lim π+→． 解 x x x tan cos 1lim π+→=x x x 2πcos 1sin lim -→=0． 例3 求 x x x 1arctan 2 lim -+∞ →π 解 x x x 1arctan 2 lim -+∞ →π =221 11 lim x x x -+- +∞ →=22 1lim x x x ++∞→=1． 除未定型 00与∞ ∞ 之外，还有00,1,0,,0∞∞-∞∞?∞等未定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就∞-∞未定型再举一例． 例5 求??? ? ?--→x x x x ln 11lim 1． 解 这是∞-∞未定型，通过“通分”将其化为 未定型． x x x x x x x x x x ln )1()1(ln lim ln 11lim 11---=??? ??--→→x x x x x x x 1ln 1 ln 1 lim 1-+ -+=→
一元二次不等式及其解法导学案
一元二次不等式及其解法导学案 【使用说明及学法指导】 1.结合导学案，完成问题导学部分，并标记自己的疑难点； 2.若预习完可对合作探究部分认真审题，做不玩的正课时在做； 3.找出自己的疑惑和需要谈论的问题准备上课谈论质疑. 【学习目标】 1.复习二次函数图象； 2.根据二次函数图象解一元二次不等式；3.归纳一元二次不等式的解 法； 4.一元二次不等式的解法的综合运用. 【重难点】一元二次不等式的解法和综合运用 【问题导学】画二次函数图象应画清楚：1.开口方向，2.对称轴，3.顶点，4.与x 轴的交点（如果有的话） 情景：一名跳水运动员进行10米跳台跳水，在正常情况下，运动员必须在距水面5米以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。那么他最多有多长时间完成规定动作？假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距离水面的高度h(m)满足关系：2()5 6.510h t t t =-++ 1. 当x = 或 时，0y =，即2 230x x --=； 2. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的下方，则y 0，即2 23x x -- 0； （填≥、>、≤或<）. 所以不等式2 230x x --<的解集是 ； 3. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的上方，则y 0，即2 23x x -- 0； （填≥、>、≤或<）. 所以不等式2 230x x -->的解集是 ； 总结归纳：上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式2 0ax bx c ++>或2 0ax bx c ++<(0)a > 的解集； 问题3：完成下表格，并回答思考问题：
小结1：利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是： . 小结2：二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系是： . 例1：解下列不等式： （1）2340 x x -+>（3）2230 -+-> 4410 x x --≥（2）2 x x 解：解：解：
二次函数复习学案李艳云
九年级下册 第二章 《二次函数》单元复习学案 一.二次函数的概念 一般地,形如 的函数叫做x 的二次函数. 【典例导学】 1.下列函数中(x,t 是自变量),是二次函数的有 . ①2152 y x =-+;②23212y x x =-+;③2321y x =++;④21s t t =++ 2.若函数()2 221 3m m y m m x --=-是关于x 的二次函数，则m= . 二. 二次函数2y ax bx c =++的图象与性质 （1）二次函数的图象是一条 ,它是 对称图形. 【典例导学】 1.抛物线2y ax bx c =++经过点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） A ．x ＝4 B.x ＝3 C.x ＝－5 D.x ＝－1 2.根据下表中的二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图像与x 轴( ) x … －1 0 1 2 … y … －1 74 - －2 74 - … A.有两个交点，且它们均在y 轴同侧 B.有两个交点，且它们分别在y 轴两侧 C.只有一个交点 D.无交点 3.(A 层)已知一元二次方程230x bx +-=的一根为 -3，在二次函数23y x bx =+-的图象上有三点 1 4,5y -?? ???、25,4y -?? ? ??、31,6y ?? ??? ，y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ） A. 123y y y << B. 213y y y << C. 312y y y << D. 132y y y << （2）填表: 抛物线 2 (0) y ax bx c a =++> 2 (0)y ax bx c a =++< 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 当x> ,y 随x 的增大而 . 当x< ,y 随x 的增大而 . 当x> ,y 随x 的增大而 . 当x< ,y 随x 的增大而 . 最值 当x= 时,y 有最 值为 . 当x= 时,y 有最 值为 .
6.3 二次函数和一元二次方程(2)--学案巩固案
课型：新授课 主备：谢辉 审核：孙祥 时间：2012-1-26 学生姓名__________ 一、学习目标： 1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．体验数形结合思想； 2.通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x 轴的交点横坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。 二、学习重点和难点： 学习重点：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会数形结合思想。 2．能够利用二次函数的图象求相应的一元二次方程的近似根。 学习难点：利用二次函数的图象求相应的一元二次方程的近似根。 三、自学质疑与合作探究： 1.自学指导：预习课本P 23-24相关内容，建议你在学习本节时和八（上）探索2的近似值“类比．．”进行学习。 2．合作探究： 问题1：请你画出二次函数522-+=x x y 的图象 问题2：你能说出二次函数y=x 2+2x-5 的图象与一元二次方程x 2+2x-5=0的关系吗？ 问题3：二次函数y ＝x 2＋2x －5的图象与x 轴交点的函数值有何特征？交点附近点的函数值有何特征？ 问题4：从图象上来看，二次函数y ＝x 2＋2x －5的图象与x 轴交点的横坐标分别在哪两个整数之间？具备 问题．．3． 中发现的特征吗？ 问题5：为了进一步缩小探索的范围，如何在确定的两个整数之间继续取值，从而逐渐逼近使函数值y=0时的自变量x 的值，有何运算技巧吗？ 试试看！ 3．实践与探索： （1）你能仿照课本P23的方法确定方程x 2+2x-5=0的另一根x 2的近似值吗?试试看！(精确到0.1) （2）用求根公式求出方程x 2+2x-5=0的两根(精确到0.1)，与上述结果相同吗？请你算算看！ 四、自学检测：P24练习1、2
二次函数复习导学案Word版
二次函数复习导学案（第1课时） 复习要点： 1．能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系；2．能作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，并逐步积累研究一般函数性质的经验； 3．能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。 一、 二、知识点回顾 知识点1、二次函数的定义：一般地,形如(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数. 练习1：下列函数中哪些是二次函数？（） ①y=ax2+bx+c②y=2x2③y=-5x2+6 ④y=(x+1)(x-2) ⑤y=2x(x+1)2-2x2 ⑥y=2 3 2- -x x⑦ x y 2 =⑧ 2 6 x y= 知识点2、二次函数的图象与性质 （一）抛物线y = ax 2(a≠0) 的图象特点 增减性： （二）抛物线y = ax 2+k(a≠0) 的图象特点 增减性： 知识框架 二次函数 定义 图象 相关概念 抛物线 对称轴 顶点 性质和图象 开口方向、对称轴、顶点坐标 增减性 解析式的确定 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y=a(x-h)2+k 交点式y=a(x-x 1 )(x-x2) 关联二次函数与一元二次方程的关系
（三）抛物线y = a(x-h)2 ( a≠0 ) 的图象特点 增减性： (四) 抛物线y = a(x-h)2 +k(a≠0) 的图象特点 增减性： （五）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 练习2．二次函数的图象和性质练习 （1）抛物线y =x2的开口向,对称轴是,顶点坐标是,图象过第象限； （2)已知y = -nx2(n＞0) , 则图象( )（填“可能”或“不可能”）过点A（-2，3）。 （3）抛物线y =x2+3的开口向,对称轴是,顶点坐标是,是由抛物线y =x2向平移个单位得到的； （4）已知抛物线y = ax2+k的图象，过A (0,-2) 和B (2,0) ，则a = ,k = ；函数关系式是y = 。 （5）抛物线y=2(x -0.5)2+1 的开口向, 对称轴, 顶点坐标是 （6）若抛物线y=a(x+m) 2+n开口向下，顶点在第四象限，则a0, m0, n0。 （7）若无论x取何实数，二次函数y=ax2+bx+c的值总为负，那么a、c应满足的条件是（） A.a>0且b2-4ac≥0 B.a>0且b2-4ac>0 C.a<0且b2-4ac<0 D.a <0且b2-4ac≤0
第九章多元函数微分法及其应用教案
第九章多元函数微分法及其应用 【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法； 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社
2014-2015东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--二次函数(1)
二次函数(1)(教案) 一、知识梳理 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延． 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题． 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础．因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了． 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征． 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法． 1、二次函数解析式的三种形式 一般式：()()02 ≠++=a c bx ax x f 顶点式：()()2()0f x a x h k a =-+≠ 零点式：()()02 ≠++=a c bx ax x f 存在零点21,x x ， 则有()()12()()0f x a x x x x a =--≠ 2、二次函数的图象和性质 （1）、二次函数的图象是一条抛物线，抛物线 的对称轴是 ，顶点的坐标 ，因此对任意的实数x ，都有 。 当a >0 时，抛物线开中方向 ，在区间 上是递增，在区间 上 ，是递减，因此抛物线在 处，取得最小值 。 当a <0 时，抛物线开中方向 ，在区间 上是递增，在区间 上 ，是递减，因此抛物线在 处，取得最大值 。 （2）、二次函数的图象与x 轴的位置关系：由判别式判定 3、二次函数，二次方程，二次不等式的关系 一般地，设二次函数f x =ax 2+bx +c ，二次方程ax 2+bx +c =0的根的差别式 ?=b 2?4ac ，我们可以利用二次方程ax 2+bx +c =0的根求出不等式ax 2+bx +c >0,或ax 2+bx +c <0,解集，它们的关系如下表：
高数多元函数微分学教案 第一讲 多元函数的基本概念
第八章 多元函数微分法及其应用 第一讲 多元函数的基本概念 授课题目： §8.1多元函数的基本概念 教学目的与要求： 1、理解多元函数的概念． 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质． 教学重点与难点： 重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容： 一、平面点集 n 维空间 1、平面点集 平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即 R 2=R ?R={(x , y )：x , y ∈R } 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作 E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }. 例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C ={(x , y )：x 2+y 2如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U ．. 点与点集之间的关系： 任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种： （1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )?E , 则称P 为E 的内点． （2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )?E =?, 则称P 为E 的外点． （3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点． E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作?E ． E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ． （4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点． 由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ． 例如, 设平面点集E ={(x , y )|1二次函数学案(全章)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 【最新整理，下载后即可编辑】 第1课时 二次函数的概念 一、学习准备 1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。 2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。 二、解读教材——数学知识源于生活 3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么y= 。 4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后,银 行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。 5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？ 一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。它 例1 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2 32 1x y +- = (2)112+= x y (3)x y 222 += (4)1t s +=(5)22)3(x x y -+= (6)210r s π= 即时练习(1)2x y = (2)212= x y (3)) 1(+=x x y (4)1132 --=）（x y (5)c ax y -=2 (6)12+=x s 三、挖掘教材 6．对二次函数定义的深刻理解及运用 例2 若函数1232 ++=+-kx x y k k 是二次函数，求k 的值。 分析：x 的最高次数等于2，即k 2-3k+2=2，求出k 的值即可。 解： 即时练习：若函数1)3(232 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数，则k 的值为 。 四、反思小结 1．我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。 2．定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。 3．二次函数y=ax2+bx+c(a，b ，c 是常数，a≠0)的几种不同表示形式： (1) y=ax2 (a≠0)； (2) y=ax2+c (a≠0且c≠0)； (3) y=ax2+bx (a≠0且b≠0)。 4．二次函数定义的核心是关键字“二”，即必须满足自变量最高次项的指数为_____，且______项系数不为_____的整式。 第2课时 二次函数y ＝ax 2的图象与性质 一、学习准备 1．正比例函数y=kx(k ≠0)是图像是 。 2．一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是 。 3．反比列函数y=k x (k ≠0)的图像是 。 4．当我们还不了解一种函数图像的形状时，只能用描点法研究，描点法的一般步骤 是： ， ， 。 二、解读教材 2值） （2）根据图像，进行小结：
二次函数复习导学案
二次函数复习导学案 一、课前热身 1、二次函数y=-(x-1)2 +3的图象的顶点坐标是（ ） A 、（-1，3） B 、（1，3） C 、（-1，-3） D 、（1，-3） 2、把二次函数y=x 2 -2x-1配方成顶点式为（ ） A 、y=（x-1）2 B 、y=（x-1）2 -2 C 、y=（x+1）2 +1 D 、y=（x+1）2 -2 3、二次函数y=x 2+bx+c 的图象上有两点（3，-8）和（-5，-8），此抛物线的对称轴是直线（ ） A 、x=4 B 、x=3 C 、x=-5 D 、x=-1 4、已知点A ()1,1y 、B () 2,2y -、C ()3,2y -在函数()2 1 122 - +=x y 上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）。 A 、321y y y >> B 、132y y y >> C 、213y y y >> D 、2y 5、二次函数2 y ax bx c =++的图象如下图, 则方程2 0ax bx c ++=当x 为 时，20ax bx c ++>;当x 为 时，2 0ax bx c ++<6.抛物线y=2x 2+6x+5的对称轴是直线x=________________. 7.将抛物线y=x 2 向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是___________。 典例解析 例题1：二次函数()02 ≠++=a c bx ax y ab 、ac 、c b a +-、ac b 42 -、b a +2中，值大于0的有（ A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 知识梳理1：a 、b 、c 符号的判别： x
一元函数微分学知识点
第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞∞或00型，) ()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算：
基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法
新人教版九年级数学下册 学案：22-1二次函数学案2
新人教版九年级数学上册学案：22-1二次函数 学习目标 1、学习利用二次函数解决实际问题 2、学习分析问题解决问题的能力 学习内容 基本要求 1.体现学习的主要内容； 2.典型例题； 3.精选练习； 4.课堂达标检测。 学习的主要内容学习笔记 一、前置练习 1.抛物线的顶点坐标是( ). (A)(-1,-3) (B)(1,3) (C)(-1,8) (D)(1,-8) 2.在同一直角坐标系中，抛物线与坐标轴的交点个数 是( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 3.已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示， 则有（） (Ａ) a＜0,b＜0,c＞0 (Ｂ) a＜0,b＜0,c＜0 (C) a＜0,b＞0,c＞0 (D) a＞0,b＜0,c＞0 4、已知实数 y x y x x y x+ = - + +则 满足,0 3 3 ,2的最大值为 . 5、二次函数y=x2-4x-5的图像与x轴的交点A(m,0),B(n,0) ()()3 1 2- + =x x y 5 4 2- + =x x y
(m二次函数全章导学案(不分版本,通用)
26.1二次函数 §26.1.1《二次函数》导学案 【学习目标】 1. 了解二次函数的有关概念. 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 【学法指导】 类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。 【学习过程】 【活动一】知识链接（5分钟） 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2. 形如___________ y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数；形如 0)k ≠（的函数是反比例函数。 【活动二】自主交流 探究新知（25分钟） 1.用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。 分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________. 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？ 。 5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________. 【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟） （1）二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。 （2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 答： . 【活动四】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟.） 1.观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④ 32y x x =-；⑤213y x x =-+；⑥()2 21y x x =+-.这六个式子中二次函 数有 。（只填序号） 2.2 (1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________. 3.二次函数23y x bx =-++.当x ＝2时，y ＝3，则这个二次函数解析式 为 . 【活动五】拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟） 1.二次函数2 ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）. （1）求a 、b 的值； （2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小. 2. 已知二次函数22y x =. （1）当1x =-时，求y 的值； （2）当8y =时，求x 的值. （3）若点C 的坐标为（0,8），过C 作x 轴的平行线，交二次函数的图象于A ，B 两点（A 在B 的左边），求AB 的长，并求出△ABC 的面积S △ABC .
