高中数学第一章-集合
§01. 集合与简易逻辑 知识要点
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分:
二、知识回顾: (一) 集合
1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用.
2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质:
①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ?; ②空集是任何集合的子集,记为A ?φ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果B A ?,同时A B ?,那么A = B. 如果C A C B B A ???,那么,.
[注]:①Z = {整数}(√) Z ={全体整数} (3)
②已知集合S 中A 的补集是一个有限集,则集合A 也是有限集.(3)(例:S=N ; A=+N ,则C s A= {0}) ③ 空集的补集是全集.
④若集合A =集合B ,则C B A = ?, C A B = ? C S (C A B )= D ( 注 :C A B = ?). 3. ①{(x ,y )|xy =0,x ∈R ,y ∈R }坐标轴上的点集. ②{(x ,y )|xy <0,x ∈R ,y ∈R
}二、四象限的点集.
③{(x ,y )|xy >0,x ∈R ,y ∈R } 一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集. 例: ?
?
?=-=+1323
y x y x 解的集合{(2,1)}.
②点集与数集的交集是φ. (例:A ={(x ,y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?)
4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n -1个. ③n 个元素的非空真子集有2n -2个.
5. ?①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例:①若325≠≠≠+b a b a 或,则应是真命题.
解:逆否:a = 2且 b = 3,则a+b = 5,成立,所以此命题为真. ②
且21≠≠y x 3≠+y . 解:逆否:x + y =3
x = 1或y = 2.
2
1≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分,又不是必要条件.
?小范围推出大范围;大范围推不出小范围. 3. 例:若255 x x x 或,?. 4. 集合运算:交、并、补.
{|,}{|}{,}
A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈? U 交:且并:或补:且C 5. 主要性质和运算律 (1) 包含关系:
,,,,
,;,;,.
U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ?Φ??????????? C
(2) 等价关系:U A B A B A A B B A B U ??=?=?= C (3) 集合的运算律:
交换律:.;A B B A A B B A ==
结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律:,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ=== 等幂律:.,A A A A A A ==
求补律:A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U
反演律:C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )
6. 有限集的元素个数
定义:有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数,记为card( A)规定 card(φ) =0.
基本公式:
(1)()()()()
(2)()()()()
()()()
()
card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+
(3) card ( U A )= card(U)- card(A)
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法(零点分段法)
①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式,并将各因式x 的系数化“+”;(为了统一方便)
②求根,并在数轴上表示出来;
③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?);
④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.
x
(自右向左正负相间)
则不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n 的解可以根据各区间的符号确定.
特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论;
②一元二次不等式ax 2
+box>0(a>0)解的讨论.
原命题若p 则q 否命题
若┐p 则┐q 逆命题
若q 则p
逆否命题若┐q 则┐p 互为
逆否互
逆
否互
为逆否互互否互2.分式不等式的解法 (1)标准化:移项通分化为
)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0);)()(x g x f ≥0(或)
()
(x g x f ≤0)的形式, (2)转化为整式不等式(组)???≠≥?≥>?>0
)(0)()(0)
()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f
3.含绝对值不等式的解法
(1)公式法:c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.
(2)定义法:用“零点分区间法”分类讨论.
(3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax 2
+bx+c=0(a ≠0) (1)根的“零分布”:根据判别式和韦达定理分析列式解之. (2)根的“非零分布”:作二次函数图象,用数形结合思想分析列式解之. (三)简易逻辑
1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题: “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式:p 或q(记作“p ∨q ” );p 且q(记作“p ∧q ” );非p(记作“┑q ” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断
(1)“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反; (2)“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为
真,其他情况时为假; (3)“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真.
4、四种命题的形式:
原命题:若P 则q ; 逆命题:若q 则p ;
否命题:若┑P 则┑q ;逆否命题:若┑q 则┑p 。
(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题; (2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题;
(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题. 5、四种命题之间的相互关系:
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:(原命题?逆否命题) ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真,它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。
6、如果已知p ?q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件,记为p ?q.
7、反证法:从命题结论的反面出发(假设),引出(与已知、公理、定理…)矛盾,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。
高中数学第二章-函数
考试内容:
映射、函数、函数的单调性、奇偶性. 反函数.互为反函数的函数图像间的关系.
指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数. 对数.对数的运算性质.对数函数. 函数的应用. 考试要求:
(1)了解映射的概念,理解函数的概念.
(2)了解函数单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法. (3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些简单函数的反函数. (4)理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像 和性质.
(5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质. (6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
§02.
函数 知识要点
一、本章知识网络结构:
F:A →B
二次函数
二、知识回顾:
(一) 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数
函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数
反函数的定义
设函数
))((A x x f y ∈=的值域是C ,根据这个函数中x,y 的关系,用y 把x 表
示出,得到x=?(y). 若对于y 在C 中的任何一个值,通过x=?(y),x 在A 中都有唯一
的值和它对应,那么,x=?(y)就表示y 是自变量,x 是自变量y 的函数,这样的函数x=?(y) (y ∈C)叫做函数
))((A x x f y ∈=的反函数,记作)(1y f x -=,习惯上改写成
)(1x f y -=
(二)函数的性质 ⒈函数的单调性
定义:对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ?若当x 1
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性
正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数)(x f 为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2))()(x f x f =-或)()(x f x f -=-是定义域上的恒等式。
2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形。反之亦真,因此,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减;偶函数在对称区间增减性相反. 4.如果)(x f 是偶函数,则|)(|)(x f x f =,反之亦成立。若奇函数在0=x 时有意义,则0)0(=f 。
7. 奇函数,偶函数: ?偶函数:)()(x f x f =-
设(b a ,)为偶函数上一点,则(b a ,-)也是图象上一点. 偶函数的判定:两个条件同时满足
①定义域一定要关于y 轴对称,例如:12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数.
②满足)()(x f x f =-,或0)()(=--x f x f ,若0)(≠x f 时,1)
()
(=-x f x f . ?奇函数:)()(x f x f -=-
设(b a ,)为奇函数上一点,则(b a --,)也是图象上一点. 奇函数的判定:两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称,例如:3x y =在)1,1[-上不是奇函数. ②满足)()(x f x f -=-,或0)()(=+-x f x f ,若0)(≠x f 时,
1)
()
(-=-x f x f . 8. 对称变换:①y = f (x ))
(轴对称
x f y y -=???→? ②y =f (x ))
(轴对称
x f y x -=???→? ③y =f (x ))
(原点对称x f y --=???→? 9. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如:
在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如:已知函数f (x )= 1+
x
x
-1的定义域为A ,函数f [f (x )]的定义域是B ,则集合A 与集合B 之间的关系是 .
解:)(x f 的值域是))((x f f 的定义域B ,)(x f 的值域R ∈,故R B ∈,而A {}1|≠=x x ,故A B ?.
11. 常用变换:
①)
()
()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-?=+. 证:)()(])[()()
()
()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=?=
- ②)()()()()()(y f x f y x f y f x f y
x
f +=??-= 证:)()()()(y f y
x f y y x f x f +=?= 12. ?熟悉常用函数图象:
例:|
|2x y =→||x 关于y 轴对称. |
2|21+?
?
?
??=x y →||21x y ??? ??=→|
2|21+?
?
? ??=x y
|122|2-+=x x y →||y 关于x 轴对称.
2
212221212
22
22121)()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-=+-+=-)(A B ?
?熟悉分式图象:
例:3
7
2312-+
=-+=
x x x y ?定义域},3|{R x x x ∈≠, 值域},2|{R y y y ∈≠→值域≠x 前的系数之比.
(三)指数函数与对数函数
指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质
对数函数y =log a x 的图象和性质: 对数运算:
()n
a n a a a c
b a b b a N
a n a a n a a a a a a a a a a a a c
b a N
N N
a M
n M M n M N
M N M N M N M n a
1121log log ...log log 1
log log log log log log log 1
log log log log log log log log )(log 32log )12)1(=????=??=
==±=-=+=?-推论:换底公式:
(以上10且...a a ,a 1,c 0,c 1,b 0,b 1,a 0,a
0,N 0,M n 21≠≠≠≠
注?:当0, b a 时,)log()log()log(b a b a -+-=?.
?:当0 M 时,取“+”,当n 是偶数时且0 M 时,0 n M ,而0 M ,故取“—”.
例如:x x x a a a log 2(log 2log 2
≠中x >0而2log x a 中x ∈R ).
?x a y =(1,0≠a a )与x y a log =互为反函数.
当1 a 时,x y a log =的a 值越大,越靠近x 轴;当10 a 时,则相反. (四)方法总结
?.相同函数的判定方法:定义域相同且对应法则相同. ?对数运算:
()n
a n a a a c
b a b b a N
a n a a n a a a a
a a a a a a a a c
b a
N N N
a M n
M M n M N M N
M
N M N M n a
1121log log ...log log 1
log log log log log log log 1
log log log log log log log log )(log 32log )12)1(=????=??=
==±=-=+=?-推论:换底公式:
(以上10且...a a ,a 1,c 0,c 1,b 0,b 1,a 0,a 0,N 0,M n 21≠≠≠≠ ) 注?:当0, b a 时,)log()log()log(b a b a -+-=?.
?:当0 M 时,取“+”,当n 是偶数时且0 M 时,0 n M ,而0 M ,故取“—”. 例如:x x x a a a log 2(log 2log 2 ≠中x >0而2log x a 中x ∈R ). ?x a y =(1,0≠a a )与x y a log =互为反函数.
当1 a 时,x y a log =的a 值越大,越靠近x 轴;当10 a 时,则相反.
?.函数表达式的求法:①定义法;②换元法;③待定系数法.
?.反函数的求法:先解x,互换x 、y ,注明反函数的定义域(即原函数的值域). ?.函数的定义域的求法:布列使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0;②偶次根式中被开方数不小于0;③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;④零指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义等.
?.函数值域的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法”;③反函数法;④换元法;⑤不等式法;⑥函数的单调性法.
?.单调性的判定法:①设x 1,x 2是所研究区间内任两个自变量,且x 1<x 2;②判定f(x 1)与f(x 2)的大小;③作差比较或作商比较.
?.奇偶性的判定法:首先考察定义域是否关于原点对称,再计算f(-x)与f(x)之间的关系:①f(-x)=f(x)为偶函数;f(-x)=-f(x)为奇函数;②f(-x)-f(x)=0为偶;f(x)+f(-x)=0为奇;③f(-x)/f(x)=1是偶;f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
?.图象的作法与平移:①据函数表达式,列表、描点、连光滑曲线;②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换;③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
高中数学 第三章 数列
考试内容: 数列.
等差数列及其通项公式.等差数列前n 项和公式. 等比数列及其通项公式.等比数列前n 项和公式. 考试要求:
(1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.
(2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式,并能解决简单的实际问题.
(3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式,井能解决简单的实际问题.
§03. 数 列 知识要点
1. ?等差、等比数列:
?看数列是不是等差数列有以下三种方法: ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).
?看数列是不是等比数列有以下四种方法: ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n
②112-+?=n n n a a a (2≥n ,011≠-+n n n a a a )
①
注①:i. ac b =,是a 、b 、c 成等比的双非条件,即ac b =、b 、c 等比数列.
ii. ac b =(ac >0)→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要. iii. ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv. ac b ±=且0 ac →为a 、b 、c 等比数列的充要.
注意:任意两数a 、c 不一定有等比中项,除非有ac >0,则等比中项一定有两个. ③n n cq a =(q c ,为非零常数).
④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }(1 x )成等比数列.
?数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系:?
??≥-===-)2()
1(111n s s n a s a n n n
[注]: ①()()d a nd d n a a n -+=-+=111(d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等差数列)→若d 不为0,则是等差数列充分条件). ②等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ??? ??
-+??? ??=+=22122 →2d 可以为零也可不为零→为等差
的充要条件→若d 为零,则是等差数列的充分条件;若d 不为零,则是等差数列的充分条件.
③非零..
常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列)
2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列,其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --;
②若等差数列的项数为2()
+∈N n n ,则,
奇偶nd S S =
-1+=
n n a a S S 偶
奇;
③若等差数列的项数为()
+∈-N n n 12,则()n n a n S 1212-=-,且n a S S =-偶奇,1
-=n n S S 偶
奇 得到所求项数到代入12-?n n . 3. 常用公式:①1+2+3 …+n =()2
1+n n ②()()6
1213212222++=
+++n n n n
③()2
213213333??
?
???+=++n n n [注]:熟悉常用通项:9,99,999,…110-=?n n a ; 5,55,555,…()
1109
5-=
?n
n a . 4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题:
?生产部门中有增长率的总产量问题. 例如,第一年产量为a ,年增长率为r ,则每年的产量成等比数列,公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ,且过n 年后总产量为:
.)
1(1])1([)
1(...)1()1(1
2
r r a a r a r a r a a n n +-+-=+++++++-
?银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存a 元,利息为r ,每月利息按复利计算,则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此,第二年年初可存款:
)1(...)
1()1()1(10
11
12
r a r a r a r a ++++++++=
)
1(1]
)1(1)[1(12r r r a +-+-+. ?分期付款应用题:a 为分期付款方式贷款为a 元;m 为m 个月将款全部付清;r 为年利率.
()()
()
()()
()()()1
111111 (1112)
1
-++=?-+=+?++++++=+--m m m m
m m m
r r ar x r r x r a x r x r x r x r a
5. 数列常见的几种形式:
?n n n qa pa a +=++12(p 、q 为二阶常数)→用特证根方法求解.
具体步骤:①写出特征方程q Px x +=2(2x 对应2+n a ,x 对应1+n a ),并设二根21,x x ②若2
1x x ≠可设n n n x c x c a 2211.+=,若21x x =可设n n x n c c a 121)(+=;③由初始值21,a a 确定21,c c .
?r Pa a n n +=-1(P 、r 为常数)→用①转化等差,等比数列;②逐项选代;③消去常数n 转化为n n n qa Pa a +=++12的形式,再用特征根方法求n a ;④121-+=n n P c c a (公式法),21,c c 由21,a a 确定.
①转化等差,等比:1
)(11-=?-+=?+=+++P r x x Px Pa a x a P x a n n n n . ②选代法:=++=+=--r r Pa P r Pa a n n n )(21x P x a P r P P r a a n n n -+=---+=?--1111)(1
)1( r r P a P n n +++?+=--Pr 211 .
③用特征方程求解:
??
??
+=+=-+相减,
r Pa a r Pa a n n n n 111+n a 1111-+--+=?-=-n n n n n n Pa a P a Pa Pa a )(. ④由选代法推导结果:P
r
P P r a c P c a P r a c P r c n n n -+
-+=+=-+=-=
--111111112121)(,,. 6. 几种常见的数列的思想方法:
?等差数列的前n 项和为n S ,在0 d 时,有最大值. 如何确定使n S 取最大值时的n 值,有两种方法:
一是求使0,01 +≥n n a a ,成立的n 值;二是由n d
a n d S n )2
(212-+=
利用二次函数的性质求n 的值.
?如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前n 项和可依照等比数列前n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如:, (2)
1)12,...(413,211n n -?
?两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第
一个相同项,公差是两个数列公差21d d ,的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证)(
1
1---n n
n n a a a a 为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证212-++=n n n a a a N n a a a n n n ∈=++)(22
1都成立。
3. 在等差数列{n a }中,有关S n 的最值问题:(1)当1a >0,d<0时,满足??
?≤≥+0
1m m a a 的项数m
使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时,满足??
?≥≤+0
1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝
对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 (三)、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于?
??
???+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列,c 为常数;部
分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列,{}n b 是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.
5.常用结论
1): 1+2+3+...+n =
2
)
1(+n n 2) 1+3+5+...+(2n-1) =2
n
3)2
3
3
3
)1(2121??
?
???+=+++n n n
4) )12)(1(6
1
3212
222++=
++++n n n n 5)
111)1(1+-=+n n n n
)21
1(21)2(1+-=+n n n n 6)
)()11(11q p q
p p q pq <--= 高中数学第四章-三角函数
考试内容:
角的概念的推广.弧度制.
任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.
两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.
正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角. 正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.
考试要求:
(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算.
(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义. (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. (4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图,理解A.ω、φ的物理意义.
(6)会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示. (7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. (8)“同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,sin α/cos α=tan α,tan α?cos α=1”.
§04. 三角函数知识要点
1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合):{}Z
k
k∈
+
?
=,
360
|α
β
β
②终边在x轴上的角的集合:{}Z
k
k∈
?
=,
180
|
β
β
③终边在y轴上的角的集合:{}Z
k
k∈
+
?
=,
90
180
|
β
β
④终边在坐标轴上的角的集合:{}Z
k
k∈
?
=,
90
|
β
β
⑤终边在y=x轴上的角的集合:{}Z
k
k∈
+
?
=,
45
180
|
β
β
⑥终边在x
y-
=轴上的角的集合:{}Z
k
k∈
-
?
=,
45
180
|
β
β
⑦若角α与角β的终边关于x轴对称,则角α与角β的关系:β
α-
=k
360
⑧若角α与角β的终边关于y轴对称,则角α与角β的关系:β
α-
+
=
180
360k
⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:β
α+
=k
180
⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系:
90
360±
+
=β
αk
2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π180°=π1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式:1rad=
π
180°≈57.30°=57°18ˊ.1°=
180
π≈0.01745(rad)3、弧长公式:r
l?
=|
|α. 扇形面积公式:2
11
||
22
s lr r
α
==?
扇形
4、三角函数:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于
原点的)一点P(x,y)P与原点的距离为r,则=
α
sin
r
x
=
α
cos
;
x
y
=
α
tan;
y
x
=
α
cot;
x
r
=
α
sec;. α
csc
5、三角函数在各象限的符号:
正切、余切
余弦、正割
正弦、余割
SIN\COS
1、2、3、4表示第一、二、三、
四象限一半所在区域
6、三角函数线
正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.
8、同角三角函数的基本关系式:αα
αtan cos sin =
αα
α
c o t s i n c o s =
1cot tan =?αα 1sin csc =α?α 1c o s s e c
=α?α 1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα
9、诱导公式:
2
k παα±把
的三角函数化为的三角函数,概括为:
“奇变偶不变,符号看象限”
三角函数的公式:(一)基本关系
公式组二 公式组三
x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ x x x x x
x x x c o t
)c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=-=--=-
公式组四 公式组五 公式组六 x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x x x x x c o t )2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (-=--=-=--=-ππππ x x x x x
x x x c o t )c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=--=-=-ππππ
(二)角与角之间的互换
公式组一 公式组二
βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααc o s s i n
22s i n = βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ α
α
α2t a n 1t a n 22t a n -=
βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2
c o s
12
s i n αα
-±= 公式组一sin x 2csc x =1tan x =x
x cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x 2sec x x =x
x sin cos 1+tan 2x =sec 2x tan x 2cot x =1 1+cot 2x =csc 2x =1
βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+ 2
cos 12cos α
α+±=
βαβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
- 公式组三 公式组四 公式组五
2tan 12tan
2sin 2ααα+= 2tan 12tan
1cos 22ααα+-=
2tan 12tan
2tan 2ααα-=
4
2675cos 15sin -=
= ,4
2615cos 75sin +== ,3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +== .
()()[]()()[]
()()[]
()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 21sin sin cos cos 2
1cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21
cos sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin β
αβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2
sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-α
α
αααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=ααπsin )2
1cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-
注意:①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反;x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相反.一般地,若)(x f y =在],[b a 上递增(减),则)(x f y -=在],[b a 上递减(增).
②x y sin =与x y cos =的周期是π.
③)sin(
?ω+=x y 或)cos(?ω+=x y (0≠ω)的周期ω
π
2=T .
2tan
x y =的周期为2π(πω
π
2=?=T T ,如图,翻折无效).
④)sin(
?ω+=x y 的对称轴方程是2
ππ+=k x (Z k ∈),对称中心(0,πk );)c o s (?ω+=x y 的
对称轴方程是πk x =(Z k ∈),对称中心(0,2
1ππ+k );)t a n (
?ω+=x y 的对称中心
(0,2
π
k ). x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=???→?=原点对称
⑤当αtan ·
,1tan =β)(2
Z k k ∈+=+π
πβα;αtan ·
,1tan -=β)(2
Z k k ∈+=-π
πβα.
⑥x y cos =与??
? ??++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(?ω+=x y 是偶函数,则
)cos()2
1
sin()(x k x x y ωππω?ω±=++=+=.
⑦函数x y tan =在R 上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,
x y tan =为增函数,同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:)()(x f x f =-,奇函数:)()(x f x f -=-)
奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:x y tan =是奇函数,)3
1
tan(π+=x y 是非奇非偶.(定
义域不关于原点对称)
奇函数特有性质:若x ∈0的定义域,则)(x f 一定有0)0(=f .(x ?0的定义域,则无此性质)
⑨x y sin =不是周期函数;x y sin =为周期函数(π=T );
x y cos =是周期函数(如图)
;x y cos =为周期函数(=T 2
12cos +=x y 的周期为π(如图)
,并非所有周期函数都有最小正周期,例如: R k k x f x f y ∈+===),(5)(.
⑩a
b
b a b a y =
+++=+=??αβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. 11、三角函数图象的作法:
1)、几何法:
y=|cos2x +1/2|图象
2)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).
3)、利用图象变换作三角函数图象.
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.
函数y =Asin (ωx +φ)的振幅|A|,周期2||
T πω=,频率1||2f T
ωπ
==,相位;x ω?+初相?
(即当x =0时的相位).(当A >0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号),
由y =sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y =Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换.(用y/A 替换y )
由y =sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的1||ω
倍,得到y =sin ω x 的图象,叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换.(用ωx
替换x)
由y =sinx 的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y =sin (x +φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移.(用x +φ替换x)
由y =sinx 的图象上所有的点向上(当b >0)或向下(当b <0)平行移动|b |个单位,得到y =sinx +b 的图象叫做沿y 轴方向的平移.(用y+(-b)替换y )
由y =sinx 的图象利用图象变换作函数y =Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0)(x ∈R )的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x 轴量伸缩量的区别。
4、反三角函数: 函数y =sin x ,???? ?
?
??????-∈22ππ,x 的反函数叫做反正弦函数,记作y =arcsin x ,它的定义域是[-1,
1],值域是??
???
?22ππ,-.
函数y =cos x ,(x ∈[0,π])的反应函数叫做反余弦函数,记作y =arccos x ,它的定义域是[-1,1],值域是[0,π].
函数y =tan x ,???? ?
?
??? ??-∈22ππ,x 的反函数叫做反正切函数,记作y =arctan x ,它的定义域是(-
∞,+∞),值域是??
? ??-22ππ,.
函数y =ctg x ,[x ∈(0,π)]的反函数叫做反余切函数,记作y =arcctg x ,它的定义域是(-∞,+∞),值域是(0,π).
高中数学第五章-平面向量
考试内容:
向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面向量的数量积.平面两点间的距离、平移. 考试要求:
(1)理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念.