拉普拉斯变换 习题集

1. 求下列函数的拉式变换。

（1） t t cos 2sin +

（2）

()t e t 2sin - （3）

()[]t e t βα--cos 1 （4）

()t e t 732--δ （5）

()t Ω2cos （6）

()()t e t ωαcos +- （7） ()t

t αsin 2. 求下列函数的拉式变换，注意阶跃函数的跳变时间。

（1）

()()()t u e t f t 2--= （2）

()()()12sin -?=t u t t f （3） ()()()()[]211----=t u u u t t f

3. 求下列函数的拉普拉斯逆变换。

（1） ()

512+s s （2） ()()

243+++s s s （3）

1112++s （4） ()

RCs s RCs +-11 （5） ()()()

2133+++s s s （6）

22K s A + （7） ()(

)[]22βα+++s a s s （8） ()

142+-s s e s

（9） ??

? ??+9ln s s 4. 分别求下列函数的逆变换的初值和终值。

（1） ()()()

526+++s s s （2） ()()()

2132+++s s s 5. 如图1所示电路，0=t 以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；0=t 时，开关打开，求

()t v r 并讨论R 对波形的影响。

6. 电路如图2所示，0=t 以前开关位于”“1，电路以进入稳定状态，0=t 时开关从

”“1倒向”“2，求电流()t i 的表示式。

7. 电路如图3所示，0=t 以前电路原件无储能，0=t 时开关闭合，求电压()t v 2的表示

式和波形。

8. 激励信号()t e 波形如图()a 4所示电路如图()b 4所示，起始时刻L 中无储能，求()t v 2得表示式和波形。

9. 电路如图5所示，注意图中()t Kv 2是受控源，试求

（1） 系统函数()()()

s V s V s H 13=； （2） 若2=K ，求冲激响应。

10. 将连续信号()t f 以时间间隔T

进行冲激抽样得到

()()()()()∑∞=-==0

,n T T s nT t t t t f t f δδδ，求：

（1） 抽样信号的拉氏变换()[]t f s L

； （2） 若()()t u e t f t α-=，求()[]t f s L 。

11. 在图6所示网络中，Ω===10,1.0,2R F C H L 。

（1） 写出电压转移函数()()()

s E s V s H 2=； （2） 画出s 平面零、极点分布；

（3） 求冲激响应、阶跃响应。

12. 如图7所示电路，

（1） 若初始无储能，信号源为()t i ，为求()t i 1（零状态响应），列出转移函数()s H ；

（2） 若初始状态以()01i ，()02v 表示（都不等于0），但()0=t i （开路），求()t i 1（零

输入响应）。

13. 已知网络函数的零、极点分布如图8所示，此外()5=∞H ，写出网络函数表示式()s H 。

14. 已知网络函数()s H 的极点位于3-=s 处，零点在α-=s ，且()1=∞H 。此网络的阶

跃响应中，包含一项为t e K 31-。若α从0变到5，讨论相应的1K 如何随之改变。

15. 如图9反馈系统，回答下列各问：

（1） 写出()()()s V s V s H 12=

； （2） K 满足什么条件时系统稳定？

（3） 在临界稳定条件下，求系统冲激响应()t h 。

16. 已知信号表示式为

()()()t u e t u e t f t t αα-+-=

式中0>α，试求()t f 的双边拉氏变换，给出收敛域。

拉普拉斯变换及逆变换

第十二章 拉普拉斯变换及逆变换 拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。 第一节 拉普拉斯变换 在代数中，直接计算 32 8 .95781 2028.6?? =N 5 3)164.1(? 是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 164 .1lg 53 )20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N 。 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。 一、拉氏变换的基本概念 定义12.1 设函数()f t 当0t ≥时有定义，若广义积分 ()pt f t e dt +∞ -? 在P 的某一区域内 收敛，则此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作()F P ，即 dt e t f P F pt ? ∞ +-= 0)()( （12.1） 称（12.1）式为函数()f t 的拉氏变换式，用记号[()]()L f t F P =表示。函数()F P 称为() f t 的拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换（或称为()F P 象原函数） ，记作 )()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=。 关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明： （1）在定义中，只要求()f t 在0t ≥时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0t <时，()0f t =。 （2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。为了方便起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。 （3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。 例12.1 求斜坡函数()f t at = （0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。 解：00 00[]()[]pt pt pt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞ +∞+∞---+∞-= =- =-+? ?? 2020 ][0p a e p a dt e p a pt pt =-=+ =∞ +-∞+-? ) 0(>p

拉普拉斯变换习题集

1. 求下列函数的拉式变换。 2. 求下列函数的拉式变换，注意阶跃函数的跳变时间。 3. 求下列函数的拉普拉斯逆变换。 4. 分别求下列函数的逆变换的初值和终值。 5. 如图1所示电路，0=t 以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；0=t 时，开关打开，求()t v r 并讨 论R 对波形的影响。 6. 电路如图2所示，0=t 以前开关位于”“1，电路以进入稳定状态，0=t 时开关从” “1倒向”“2，求电流()t i 的表示式。 7. 电路如图3所示，0=t 以前电路原件无储能，0=t 时开关闭合，求电压()t v 2的表示式和波形。 8. 激励信号()t e 波形如图()a 4所示电路如图()b 4所示，起始时刻L 中无储能，求()t v 2得表示式和波形。 9. 电路如图5所示，注意图中()t Kv 2是受控源，试求 （1） 系统函数()() () s V s V s H 13=； （2） 若2=K ，求冲激响应。 10. 将连续信号()t f 以时间间隔T 进行冲激抽样得到()()()()()∑∞ =-= =0 ,n T T s nT t t t t f t f δδδ，求： （1） 抽样信号的拉氏变换()[]t f s L ； （2） 若()()t u e t f t α-=，求()[]t f s L 。 11. 在图6所示网络中，Ω===10,1.0,2R F C H L 。 （1） 写出电压转移函数()() () s E s V s H 2= ； （2） 画出s 平面零、极点分布； （3） 求冲激响应、阶跃响应。 12. 如图7所示电路， （1） 若初始无储能，信号源为()t i ，为求()t i 1（零状态响应），列出转移函数()s H ； （2） 若初始状态以()01i ，()02v 表示（都不等于0），但()0=t i （开路），求()t i 1（零输入 响应）。

拉普拉斯变换公式总结

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域

若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存 在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移

拉普拉斯变换题库

六．拉普拉斯变换 ㈠选择 ㈡填空 1.)(2)(t t f δ=的拉普拉斯变换是_______________ 2.)1()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_________________. 3.)2()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_________________. 4.t e t t f 22)(+=的拉普拉斯变换是_______________. 5.)(5)(2t e t f t δ+=的拉普拉斯变换是_______________ 6.)2()(2-=t u e t f t 的拉普拉斯变换是________________. 7.k e t t f kt n ()(=为实数)的拉普拉斯变换是__________________. 8.t e t f t 3sin )(2-=的拉普拉斯变换是__________________. 9.t e t f 2)(-=的拉普拉斯变换是_________________. 10.t e t f 2)(=的拉普拉斯变换是__________________。 11.t t f =)(的拉普拉斯变换是________________ 12.t te t f -=)(的拉普拉斯变换是____________________. 13.t t f 2cos )(=的拉普拉斯变换是_____________. 14.at t f sin )(=的拉普拉斯变换是_________________. 15.t t t f cos sin )(=的拉普拉斯变换是___________________. 16. ()()sin f t u t t =的拉普拉斯变换是________________. 17. ()sin(2)f t t =-的拉普拉斯变换是________________. 18.t t f 2cos )(=的拉普拉斯变换是________________. 19.t t f 2sin )(=的拉普拉斯变换是_______________. 20.t e t f t sin )(-=的拉普拉斯变换是_________________.

拉普拉斯变换及其逆变换表

拉普拉斯变换及其反变换表

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1 1 n 1 n n n 1 1 m 1 m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++= =----ΛΛ （m n >） 式中系数n 1 n 1 a ,a ,...,a ,a -，m 1 m 1 b ,b ,b ,b -Λ都是实常数；n m ,是正整数。按 代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2 2 1 1 s s c s s c s s c s s c s s c )s (F ΛΛ 式中，Sn 2S 1S ，，，Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c i s s i i -=→ 或 i s s i ) s (A ) s (B c ='= 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []t s n 1 i i n 1i i i 11i e c s s c L )s (F L )t (f -==--∑∑=??????-== 0)(=s A 有重根

设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) s s ()s s ()s s () s (B s F n 1 r r 1 ---= +Λ = n n i i 1 r 1 r 1 1 1 r 1 1 r r 1 r s s c s s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -+ +-++-+-++-+-++--ΛΛΛ 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算： )s (F )s s (lim c r 1 s s r 1 -=→ )]s (F )s s ([ds d lim c r 1 s s 1 r 1 -=→- M )s (F )s s (ds d lim !j 1c r 1 ) j () j (s s j r 1 -=→- )s (F )s s (ds d lim )!1r (1c r 1 ) 1r () 1r (s s 1 1 --=--→ 原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -= ?? ? ???-+ +-++-+-++-+-=++---n n i i 1 r 1 r 1 1 1 r 1 1 r r 1 r 1 s s c s s c s s c )s s (c ) s s (c )s s (c L ΛΛΛ t s n 1 r i i t s 1 2 2 r 1 r 1 r r 1e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+=---+?? ? ???+++-+-=Λ （F-6）

拉普拉斯逆变换

拉普拉斯逆变换 对于单边拉普拉斯变换，由式（8.1-9）知，象函数F(s)的拉普拉斯逆变换为 ????? ><=?∞ +∞-j 0 )(2 10,0)(σσj st t ds e s F j t t f ，π (8.3-1) 上述积分应在收敛域内进行，若选常数0σσ>[0σ为)(s F 的收敛坐标]，则积分路线是横坐标为σ，平行于与纵坐标轴的直线。实用中，常设法将积分路线变为适当的闭合路径，应用复变函数中的留数定理求得原函数。若F(s)是s 的有理分式，可将F(s)展开为部分分式，然后求得其原函数。若直接利用拉普拉斯逆变换表（见附录五），将更为简便。 如果象函数F(s)是s 的有理分式，它可写为 11 10 111F(s)a s a s a s b s b s b s b n n n m m m m ++++++++=---- （8.3-2） 式中各系数),,1,0(),,,1,0(a i m j b n i j ==均为实数，为简便且不失一般性，设1=n a 。若n m ≥，可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式)(s P 与有理真分式之和，即 ) () ()()(s A s B s P s F += （8.3-3） 式中)(s B 的幂次小于)(s A 的幂次。例如 6 1163 32261161531258)(23223234+++++++=+++++++=s s s s s s s s s s s s s s F

由于)(]1[1t δ=-￡，)(]['1t s δ=-￡，…，故上面多项式)(s P 的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数组成，容易求得。下面主要讨论象函数为有理真分式的情形。 一、查表法 附录五是适用于求拉普拉斯逆变换的表，下面举例说明它的用法。 例8.3-1 求2 35 2)(2+++= s s s s F 得原函数)(t f 。 解 )(s F 分母多项式0)(=s A 的根为2,121-=-=s s ，故)(s F 可写为 ) 2)(1(5 22352)(2+++=+++= s s s s s s s F 由附录五查得，编号为2-12的象函数与本例)(s F 相同，其中 2,1,5,201====βαb b 。将以上数据代入到相应的原函数表示式，得 0,3)(2≥-=--t e e t f t t 或写为 )()3()(2t e e t f t t ε---= 例8.3-2 求10 23 3)(2 +++= s s s s F 的原函数)(t f 。 解 )(s F 分母多项式0)(=s A 的根为312,1j s ±-=，故)(s A 可写为 2223)1(102)(++=++=s s s s A 于是)(s F 可写为 2 223 )1() 1(310233)(+++=+++= s s s s s s F 查表可得，编号2-6的象函数形式与本例相同，只是本例的系数为3，故得

拉普拉斯变换公式总结..

拉普拉斯变换公式总结..

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞-- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ =? （2） 定义域

若0 σσ>时，lim ()0 t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0 σσ>的全部范围内 收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换 存在。0 σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0 σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时，则 11221122[()()]()() f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ- =- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0) r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0- 时刻的取值。 （3） 原函数积分 若 [()]() f t F s ζ=，则 (1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+ ? 式中 (1)(0)()f f t dt ---∞ =? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则0 [()()]() st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移 若[()]()f t F s ζ=，则[()]() at f t e F s a ζ-=+ （6） 尺度变换

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换 Prepared on 22 November 2020

§13拉普拉斯变换 重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开 2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 难点： 1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法 2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 本章与其它章节的联系： 是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。 预习知识： 积分变换 §13－1拉普拉斯变换的定义 1.拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2.拉普拉斯变换的定义 一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为 式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为 式中c为正的有限常数。 注意： 1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即： 它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。 2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如 i(t),u(t)。 3）象函数F(s)存在的条件： 3.典型函数的拉氏变换 1)单位阶跃函数的象函数

(完整word版)典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换

成绩评定表

课程设计任务书

目录 1.Matlab介绍.............. 错误！未定义书签。 2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计 (5) 2.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制 (5) 2.2.拉普拉斯变化编程设计及实现 (7) 2.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现 (8) 3.总结 (14) 4.参考文献 (15)

1．Matlab介绍 MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件；它起源于矩阵运算，现已发展成一种高度集成的计算机语言；它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境，以及与其他程序和语言便捷接口的功能。 经过多年的开发运用和改进，MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。典型的用途包括以下几个方面： 1）数学计算； 2）新算法研究开发； 3）建模、仿真及样机开发； 4）数据分析、探索及可视化； 5）科技与工程的图形功能； 6）友好图形界面的应用程序开发。 1.1Matlab入门 Matlab7.0介绍 Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。 在国内外Matlab已经经受了多年的考验。Matlab7.0功能强大，适用范围很广。其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算，复数运算，高次方程求根，插值与数值微商运算，数值积分运算，常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等，即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算，均可用Matlab来解决。 MATLAB7.0提供了丰富的库函数（称为M文件），既有常用的基本库函数，又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。函数即是预先编制好的子程序。在编制程序时，这些库函数都可以被直接调用。无疑，这会大大提高编程效率。MATLAB7.0的基本数据编程单元是不需要指定维数的复数矩阵，所以在MATLAB环境下，数组的操作都如数的操作一样简单方便。而且，MATLAB7.0界面友好，用户使用方便。首先，MATLAB具有友好的用户

拉普拉斯变换 习题集

1. 求下列函数的拉式变换。 （1） t t cos 2sin + （2） ()t e t 2sin - （3） ()[]t e t βα--cos 1 （4） ()t e t 732--δ （5） ()t Ω2cos （6） ()()t e t ωαcos +- （7） ()t t αsin 2. 求下列函数的拉式变换，注意阶跃函数的跳变时间。 （1） ()()()t u e t f t 2--= （2） ()()()12sin -?=t u t t f （3） ()()()()[]211----=t u u u t t f 3. 求下列函数的拉普拉斯逆变换。 （1） () 512+s s （2） ()() 243+++s s s （3） 11 12++s （4） ()RCs s RCs +-11 （5） ()()() 2133+++s s s （6） 22K s A + （7） ()( )[]22βα+++s a s s （8） () 142+-s s e s

（9） ?? ? ??+9ln s s 4. 分别求下列函数的逆变换的初值和终值。 （1） ()()() 526+++s s s （2） ()()()2132+++s s s 5. 如图1所示电路，0=t 以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；0=t 时，开关打开，求 ()t v r 并讨论R 对波形的影响。 6. 电路如图2所示，0=t 以前开关位于”“1，电路以进入稳定状态，0=t 时开关从” “1倒向” “2，求电流()t i 的表示式。 7. 电路如图3所示，0=t 以前电路原件无储能，0=t 时开关闭合，求电压()t v 2的表示 式和波形。 8. 激励信号()t e 波形如图()a 4所示电路如图()b 4所示，起始时刻L 中无储能，求()t v 2得 表示式和波形。 9. 电路如图5所示，注意图中()t Kv 2是受控源，试求 （1） 系统函数()()() s V s V s H 13=； （2） 若2=K ，求冲激响应。 10. 将连续信号()t f 以时间间隔T 进行冲激抽样得到 ()()()()()∑∞ =-==0 ,n T T s nT t t t t f t f δδδ，求： （1） 抽样信号的拉氏变换()[]t f s L ； （2） 若()()t u e t f t α-=，求()[]t f s L 。 11. 在图6所示网络中，Ω===10,1.0,2R F C H L 。 （1） 写出电压转移函数()()() s E s V s H 2=； （2） 画出s 平面零、极点分布； （3） 求冲激响应、阶跃响应。

傅里叶变换拉普拉斯变换的物理解释及区别

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。

傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换最全攻略

傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换最全攻略 傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系?他们的本质和区别是什么?为什么要进行这些变换。研究的都是什么?从几方面讨论下。 这三种变换都非常重要!任何理工学科都不可避免需要这些变换。 傅立叶变换，拉普拉斯变换， Z变换的意义 【傅里叶变换】在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值(或频率值)，我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系吗?信号前一段的相位(频域)与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波(或者余弦波)信号。也就是说，用无数的正弦波采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性(见信号流程图、动态结构图)、分析控制系统的运动过程(见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法)，以及综合控制系统的校正装置(见控制系统校正方法)提供了可能性。

很好的拉普拉斯变换讲解

拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．拉氏变换的基本概念 在代数中，直接计算 是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 ， 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数． 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法．7.1.1 拉氏变换的基本概念 定义设函数当时有定义，若广义积分在的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为的函数，记作，即 （7-1）称（7-1）式为函数的拉氏变换式，用记号表示．函数称为的拉氏变换(Laplace) (或称为的象函数)．函数称为的拉氏逆变换（或称为象原函数），记作 ，即． 关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明： (1) 在定义中，只要求在时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在时，．（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用． （3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的． 例7-1 求一次函数（为常数）的拉氏变换． 解 ． 7.1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换 在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流，以表示上述电路中的电量，则

拉普拉斯变换及其逆变换表

拉普拉斯变换及其反变换表 1. 表A-1 拉氏变换的基本性质 1 L [ af ( t )] aF ( s ) 齐次性 线性定理L [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] F 1 ( s ) F 2 ( s ) 叠加性 L [ df ( t ) ]sF ( s ) f ( 0 ) L [ d dt 2 f ( t ) dt 2 ] s 2 F ( s ) sf ( 0 ) f （0 ） L d n f ( t ) n dt n s n F ( s ) s n k f ( k 1 ) ( 0 ) k 1 f ( k 1 ) ( t ) d k 1 f dt ( t ) k 1 2 微分定理一般形式 初始条件为0 时L [ d n f ( t ) dt n ] s n F ( s ) L[ f (t )dt ] F ( s) s [ f (t )dt ]t 0 s [ 2 L[ f ( t)( dt ) ] 2 F ( s) s 2 f (t) d t ]t 0 s [ 2 f (t )(dt ) ]t 0 s 共n个共n个 L[ f (t)(dt )n ] F ( s) s n n k 1 s 1 n k 1 [ f (t)(dt ) n ] t 0 一般形式 共n个 3 积分定理 初始条件为0 时L[ f ( t)( dt) n ] F ( s) s n Ts 4 延迟定理（或称t 域平移定理） L[ f (t T)1(t T )] e F ( s) 精品资料

精品资料 5 衰减定理（或称 s 域平移定理） L[ f (t )e at ] F ( s a) 6 终值定理 lim f ( t ) lim t s sF ( s) lim f (t ) lim sF(s) 7 初值定理 t 0 s 8 卷积定理 t L[ f 1( t ) f 2 ( ) d ] t L[ f 1( t ) f 2 ( t ) d ] F 1 (s) F 2 ( s ) 2. 表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表 序号 拉氏变换 F(s) 时间函数 f(t) Z 变 换 F(z) 1 1 δ(t) 1 1 2 1 e Ts T ( t) (t nT ) z n 0 z 1 1 1(t ) z s z 1 1 4 s 2 t Tz ( z 1)2 1 t 5 s 3 2 T 2 z(z 1) 2( z 1) 1 t n 6 n 1 lim ( 1) z n ( aT ) s n! a 0 n! a z e 1 7 s a e at z z e 1 at Tze 8 ( s a) 2 te a at ( z e (1 e aT ) 2 aT ) z 9 s(s a) 1 e (z 1)( z 2 3 n ) 3 n aT aT e aT

拉普拉斯变换及其逆变换表

拉普拉斯变换及其反变换表 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = - =][ '- -=-=----=-∑1 1) 1() 1(1 22 2)()() 0()() (0)0()(])([) 0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时 )(]) ([ s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ

拉普拉斯变换及其逆变换表

拉普拉斯变换及其逆变换 表 Newly compiled on November 23, 2020

拉普拉斯变换及其反变换表 2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 n 1n n n 0 11m 1m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==---- （m n >） 式中系数n 1n 10a ,a ,...,a ,a -，m 1m 10b ,b ,b ,b - 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2211s s c s s c s s c s s c s s c )s (F 式中，Sn 2S 1S ，，， 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： 或 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 =n n i i 1r 1r 111 r 11r r 1r s s c s s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++-- 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算： 原函数)(t f 为 t s n 1r i i t s 122r 1r 1r r 1e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+=---+??????+++-+-= （F-6）

拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

目录 引言 ............................................... 错误!未定义书签。 1 拉普拉斯变换以及性质 (1) 拉普拉斯变换的定义 ...................................................................................... 错误!未定义书签。拉普拉斯变换的性质 ...................................................................................... 错误!未定义书签。 2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 ........................... 错误!未定义书签。 3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 ........................... 错误!未定义书签。初值问题与边值问题 ...................................................................................... 错误!未定义书签。常系数与变系数常微分方程........................................................................ 错误!未定义书签。含 函数的常微分方程.................................................................................. 错误!未定义书签。常微分方程组 .................................................................................................... 错误!未定义书签。拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 ........................ 错误!未定义书签。拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 ...................................... 错误!未定义书签。 4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 ........................... 错误!未定义书签。齐次与非齐次偏微分方程............................................................................. 错误!未定义书签。有界与无界问题................................................................................................ 错误!未定义书签。 5 综合比较，归纳总结 ............................................................... 错误!未定义书签。结束语 ........................................................................................... 错误!未定义书签。参考文献 ....................................................................................... 错误!未定义书签。英文摘要 (21) 致谢 ............................................................................................... 错误!未定义书签。

Laplace变换习题课

《Laplace 变换》习题课 一、 基本要求 1. 理解并记住Laplace 变换及其逆变换的定义；了解Laplace 变换存在定理； 2. 理解Laplace 变换的性质，并会证明积分性质和微分性质； 3. 熟练掌握Laplace 变换及其逆变换的计算方法； 4. 理解卷积的定义与卷积定理，会计算两个函数的卷积； 5. 掌握Laplace 变换在求解线性微分方程（组）的求解方法 二、 内容提要 1. Laplace 变换及其逆变换的定义； 0()()st F s f t e dt +∞ -=?； )]([)(1s F L t f -== 1()2i st i F s e ds i ββπ+∞-∞?（右端成为反演积分） 2. Laplace 变换的性质； 线性性质；微分性质；积分性质；位移性质；延迟性质 3. Laplace 逆变换的计算方法； 重要定理： 若1s 、2s ……n s 是函数)(s F 的所有奇点（包含在β<)Re(s 的范围内），且0)(lim =∞→s F s ，则∑==n k k st s e s F s t f 1 ],)([Re )(,其中)]([)(t f L s F =。 有了以上定理，就可以利用复变函数求留数的方法来求像原函数)(t f ，下面就函数)(s F 是有理函数的情形来给出计算方法，即 ()()/()F s A s B s = 分两种情形考虑： 4. 卷积的定义与卷积定理； )(1t f 与)(2t f 的卷积（t>=0）定义为：?-=*t d t f f t f t f 02121)()()()(τττ 卷积定理： 1212[()*()]()()L f t f t F s F s =? 或 =*)()(21t f t f 112[()()]L F s F s -?