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梅涅劳斯定理与塞瓦定理

塞瓦定理设O 是△ABC 内任意一点，

AB 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

（Ⅰ）本题可利用梅内劳斯定理证明：

∵△ADC 被直线BOE 所截，

∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①

而由△ABD 被直线COF 所截，∴ BC/CD*DO/OA*AF/DF=1②

①÷②:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

（Ⅱ）也可以利用面积关系证明

∵BD/DC=S △ABD/S △ACD=S △BOD/S △COD=(S △ABD-S △BOD)/(S △ACD-S △COD)=S △AOB/S △AOC ③

同理 CE/EA=S △BOC/ S △AOB ④ AF/FB=S △AOC/S △BOC ⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

塞瓦定理：

=???RB

AR QA

CQ PC

BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 的充要条件是

三线共点

、、边上的点，则、、的分别是、、设

11BC M AC M ABP BM P ABM AC P

C M P

AC M

ABM

BC M

A P

B Q

C R M S S S S S B P C Q A R P C

S S S Q A

S R B

S B P C Q A R

P C Q A R B B P C Q A R A P B Q M C M A B R P C Q A R B

B P

C Q A R A R P C Q A R B ??????????=====????=??=‘

拻

‘证：先证必要性：设、、相交于点，则：理：

以上三式相乘，得：＝再证充分性：若

，设与相交于，且直线交于，由塞瓦定理有：，于是：A R R R R B R B A B R R A P B Q C R M ’

‘’

因为和都在线

段上，所以必与重合，故、、相交于一点点；交于一点；：证明：三角形的中线

例1

111

111111111

111111,,1AC BA C B ABC AA BB C C C B A C B A

AC BA C B AC C B BA A C C B B A ABC ???====??=∴?证明：记的中线，，，我们只须证明

而显然有：即成立，交于一点；

】证明：三角形的角平【练习1】证明：锐角三角形的

【练习22ABC C AB L L AC BC M N AN BM P C P AB

?∠⊥例：在锐角中,角的平分线交于于，从作边和的垂线，垂足分别是和，设和的交点是，证明：111

C K AB C K BM AN P C K BM AN AM C N BK

M C C N

M C N B AK AM BK AM AL

AM L AK C AK N B AK AC BK BC AL BC BN L BK C N B

⊥??==?=????=

∴????

=?= 证：作下证、、三线共点，且为点，要证、、三线共点，依塞瓦定理即要证：又即要证明：即要证

AL BC AC

C K BM AN P C P AB

=∴∴⊥依三角形的角平分线定理可知：

、、三线共点，且为点3.AD ABC D BC P AD BP C P AC AB E F ED A FD A

?∠∠例设是的高，且在边上，若是上任一点，、分别与、交于和，则＝A AD DE DF M N EDA FDA ∠=∠证：过作的垂线，与、的延长线分别交于、。欲证， AM AN =可以转化为证明

//,,,1

AD BC M N BC AM E C D E AN F BD F AM AE AN AF AE C D AF BD AM AN C D

C E

BD C E AF

AD BE C F P D C EA FB

AE C D AF BD AM AN ED A FD A

C E

⊥????????∴===

??=??∴

∴=∴∠=∠ 故，可得，于是、、共点于，根据塞瓦定理可得：

3,,ABC M N R BAR C AN C BM ABR AC N BC M AM BN C R αβγ?∠=∠=∠=∠=∠=∠=【练习】已知外有三点、、，且，证明：、、三线共点；

1111111111111114.sin sin sin sin sin sin ABC BC C A AB A B C AC BA C B AC C BAA C BB C B A C B A C C B A AC B BA ?∠∠∠??=??

∠∠∠例在的边、、上取点、、，

证明：

1111

1111111111111111111111sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ,sin sin sin sin sin AC C BC C AC AC C C C AC AC C B

B C C

A C B

C C B C B C C B A BA BAA C B C BB C A A C A AC B B A B BA C

AC BA C B C B A C B A ??∠∠∠∠=

∠∠∠∠∠∠∠∠=

?=?

∠∠∠∠??=证：如图对和应用正弦定理，可得：即：同理：

从而

111111sin sin sin sin sin AC C BAA C BB C C B A AC B BA

∠∠∠??∠∠∠

1111112224ABC BC CA AB A B C AA BB CC AA BB CC ?【练习】在的边、、上取点、、，使、、相交于一点，

证明，关于角平分线对称于这些直线的直线、、也相交于一点；

课外作业：

三线共点；、

、直线的切点，证明

、、的内切圆与边是、、设111111:.1CC BB AA AB CA BC ABC C B A ?

；

过点，证明，直线相交于点和，相交于

和，直线和弧上取点。在引切线，相交于点

、从圆上的点

S PQ Q CD AB P BD AC C B AD S D A .2 相交于一点；

、、证明，直线

的对边的中点，

、、是正方形的边

、、的边上向外作正方形，在111111.3CC BB AA AB CA BC C B A ABC ?

1111111111

1111,,,,,1AC BA C B b c a ABC AA BB C C C B

a A C

b B A c

AC BA C B C B A C B A ?=

==∴??=∴ 练习答案：证：记的角平分线分别是三角形的角平分线交于一点；

111222

1111222

222

1112

111

111112,,,

,()2,222,122A B C A A B B C C a b c

C B x A B b x c b x B B a x C B x b

c b a

b c a

a c b

B A A

C C B b

c c

A C

B A

C B c a b

b a c

B A A

C a

C B

A C

B A

?+----==-?==+-+-+-=

+-+-=

∴

?=∴练习答案：证：记锐角的角平分线分别是设＝，那么＝则：则：同理可得：锐角三角形的三条高交于一点；

3','',1

sin()sin sin sin()1sin sin sin()

sin()sin sin()si ABM AC M AM BC M BN AC N C R AB R ABC A B C AB BM A S BM

AB BAM AB B AM C M

S AC C AM

AC C AC C M C AM

BM AB B C M AC βββγγγββ???∠∠∠??∠+?

∠?∠+=

=∠?∠+??∠+?

?∠+‘‘

‘‘

‘

‘练习的答案：证：设与交于与交于，与交于的三个内角分别记为、、即：＝'sin sin()sin sin(),n sin()'sin sin()sin sin()

C N BC C AR C A A C AN BA A BR C B B γγααγγααββ?∠+?∠+?∠+?∠+?∠+‘

‘

同理：＝＝

'''1,''''''

B M

C N A R A M B N C R C M A N B R ??将以上三式子相乘可得：＝根据塞瓦定理可知：、、三点共线。

222222222

22222222211121122

2244sin sin sin sin sin sin ,,sin sin sin sin A B C ABC AC BA C B AC C BAA C BB C B

A C

B A

C C B A AC B BA

AA BB C C AA BB C C AC C C C B AC C C C B AC C BAA C C B A A ?∠∠∠?

?=??∠∠∠∠=∠∠=∠∠∠∴

∠∠ 练习的答案：

证：、、位于的边上，根据例的结论有：又、、关于角平分线对称于、、，则21112111

111111

222

222222sin sin sin sin sin sin sin sin 1

1C BB C C B A AC B BA

C B BA

AC C BAA C BB C B A C B A

AC BA C B AC BA C B AA BB C C C B

A C

B A

∠∠∠∠?

∠∠∠∠=??=??=∴从而

、、三线共点

课后练习答案：

三线共点

、、即：证：显然1111111111111111

,.1CC BB AA A

B CB C

A BA B

C AC C

A C

B B

C BA A B AC =??∴===

位于一条直线上

、、又证：Q P S QSD

ASQ PSD

ASP QAS

PDA QDA

PAS DAQ

SDP SDQ DAP QDA

SDQ QAS CAQ QSC ASQ PPA SPP PAS DAP PSC ASP ∴∠∠=

∠∠∴

∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠∠∠?

∠∠?∠∠==∠∠∠∠?∠∠sin sin sin sin ,,,,sin sin sin sin sin sin 1sin sin sin sin sin sin .2

共点

、、＝得：

将上面三条等式相乘可同理：

＝其中＝

、、的交点分别为、、与边、、证：记直线

11122

222222

111

1222

221111

)

sin()sin()

sin()sin(2arctan )

sin()sin(sin sin .31

1CC BB AA B

C AC A B CB

A BA

B A BC

AC B

C AC A C AB BC A B CB

BCA CBA C B AC

AB ACA ABA CA BA AC

AB S S C

A BA C

B A AB CA B

C CC BB AA ACA ABA ∴?

+∠+∠?

==∠=∠+∠+∠?

=∠∠?

?=?????????

说明：赛瓦定理的逆定理是证明线共点类问题的一把利器！

如三角形中三条高、三条角平分线、三条中线共点都可以利用塞瓦定理的逆定理很轻松地解决。

说明：恰当的选择截线是应用梅涅劳斯定理的关键，其逆定理常用于证明点共线，应用很广泛。

解决比较复杂的问题时注意赛瓦定理与梅涅

劳斯定理联用。

一、选择题

1、如图：设一直线与△ABC 的边AB 、AC 及BC 延长线分别交于X 、Y 、Z ，则

CY AY ZC BZ XB

AX 与?的关系为（）

A 、

AY ZC

BZ XB

AX >

? B 、

AY ZC

BZ XB

AX =

C 、

AY ZC

BZ XB

AX <

D 、

不能确定

2、如图：设X 、Y 、Z 分别是△ABC 的边BC 、AC 、AB 上的点，AX 、BY 、CZ 相交于点O ，则YC

AY XC

BX ZB AZ 与

?的关系为（）

A 、

AY XC

BX ZB

AZ >

?； B 、YC

AY XC

BX ZB

AZ =? ； C 、

AY XC

BX ZB

AZ <

； D 、

不能确定

3、如图，在△ABC 中，F 点分AC 成1：2，G 是BF 的中点，AG 的延长线交BC 于E ，那么E 分BC 边所成的比为（）

A 、

1 B 、

1 C 、

2 D 、

4、如图，F 、D 、E 分等边△ABC 的三边AB 、BC 、CA 均为1：2两部分，AD 、BE 、CF 相交成△PQR 的面积是△ABC 面积的（）

A 、10

1 B 、9

1 C 、8

1 D 、7

第1题

C X

A C

第2题

第4题

A B

E F

Q 第3题