对偶联
岱宗夫如何？齐鲁青未了祖国山河壮；人民岁月新。
山美水美，山水美，哪有英雄心灵美
日高月高，日月高，何及战士风格高
边关御寇，火中屡建千秋功业
大地迎春，天下同歌一代英雄
莫辜负四围香稻、万顷晴沙、九夏芙蓉、三春杨柳
只赢得几杵疏钟、半江渔火、两行秋雁、一枕清霜
知多世事胸襟阔
阅尽人情眼界宽
家居绿水青山畔
人在春风和气中
翠阁我迎宾，数不尽甘脆肥浓，色香清雅
园庭花胜景，祝一杯富强康乐，山海腾欢
东临碣石涛声旧
西近阳关柳色新
皓月仰中天，自有清辉周四海
黄花香晚节，俨然正色傲三秋
苏学士前传谪宦
孟夫子后拜先生
金石文章空八代
江山姓氏著千秋
起八代衰，自昔文章尊北斗
兴四门学，即今俎豆重东胶
修就一番新气象
剪去千缕旧东西
不教白发催人老
更喜春风满面生
技术革新，头头是道
容光焕发，面面皆春
一年欣有首
四海幸无波
三疏流传，枷锁当年称义士
一官归去，锦衣此日愧先生
三面湖光，四围山色
一帘松翠，十里荷香
一楼云鹤，双流帆影
三楚精神，四海联情
四海五湖，擎三杯美酒，回首八七年六谷飘香，九州增彩
千帆百轲，乘万丈春潮，同心十亿人双舞龙凤，一览江天
三更半夜三更半
八月中秋八月中
堤畔莺花桥畔月
竹边歌曲柳边舟
进门易入门不易
论道难悟道更难
为政戒贪：贪利贪，贪名亦贪，勿务声华忘政本
养廉惟俭：俭己俭，俭人非俭，还从宽大保廉隅
春光播福
和气致祥
天地英雄气
风云浩荡春
顺雨调风龙气象
锦山绣水凤文章
乾坤交泰
琴瑟合谐
交颈鸳鸯并蒂花下立
协翅紫燕连理枝头飞
银花火树开佳节
玉液琼酥作寿杯(正月) 瑶岛香浓芝草圃
玉楼人醉杏花天(二月) 修褉良辰开绮席
悬弧令旦晋琼觞(三月) 蓬矢风搴春尚驻
椿荫云护夏方新(四月) 正交端午作生日
惟有昌阳可引年(五月) 椿树大年宜有庆
莲花生日正当时(六月) 坐看溪云望牛女
笑扶鸠杖话桑麻(七月) 清秋此日逢华诞
佳气如云护直庐(八月) 东篱满绽黄金菊
北海欣开白玉樽(九月) 梅占阳春人益寿
筹添海屋算长绵(十月) 三祝正逢人应瑞
一阳乍启日添筹(十一月) 青山有雪存松性
碧落无云称鹤心(十二月)
构造对偶式
构造对偶式的八种途径 在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和,差,积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。 一． 和差对偶 对于表达式()()u x v x ±，我们可构造表达式()()u x v x 作为它的对偶关系式。 例１若02 π θ<< ，且3sin 4cos 5θθ+=，求tan θ的值。 解析：构造对偶式：3sin 4cos y θθ-= 则3sin 4cos 5,3sin 4cos y θθθθ+=??-=?得5sin 6 5cos 8y y θθ+? =??∴?-?= ?? 再由22sin cos 1θθ+=，得：73,tan 5 4 y θ=- ∴= 。 点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。 例２已知：,,,a b c d R ∈，且22221a b c d +++≤， 求证：444444()()()()()()6a b a c a d b c b d c d +++++++++++≤。 解： 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ()()()()()():()()()()()() M a b a c a d b c b d c d N a b a c a d b c b d c d =+++++++++++=-+-+-+-+-+-设,构造对偶式 则有： 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6(222222)6()6 M N a b c d a b a c a d b c b d c d a b c d +=+++++++++=+++≤ 又0N ≥，故6M ≤，即原不等式成立。 例３解方程： 2 2 82182110x x x x +++ -+= 解：构造对偶式：2 2 821821x x x x a ++- -+=，再由原方程联立可解得： 2 210821,(1)2 10821,(2) 2 a x x a x x +?++=??? -?-+=?? 那么22 (1)(2)+得：2 2 1242(100),(3)2 x a += +
线性规划的对偶原理
线性规划的对偶原理 3.1 线性规划的对偶问题 一、 对偶问题的提出 换位思考 家具厂的线性规划问题，该问题站在家具厂管理者的角度追求销售收入最大 213050max x x z += ?? ? ??≥≤+≤+0 ,50212034212121x x x x x x 某企业家有一批待加工的订单，有意利用该家具厂的木工和油漆工资源来加工他的产品。他 需要与家具厂谈判付给该厂每个工时的价格。如果该企业家已对家具厂的经营情况有详细了 解，他可以构造一个数学模型来研究如何才能既让家具厂觉得有利可图，肯把资源出租给他， 又使自己付的租金最少。 目标:租金最少；1y -付给木工工时的租金；2y -付给油漆工工时的租金 2150120min y y w += 所付租金应不低于家具厂利用这些资源所能得到的利益 1）支付相当于生产一个桌子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个桌子的收 入 502421≥+y y 2）支付相当于生产一个椅子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个椅子的收 入 30321≥+y y 3）付给每种工时的租金应不小于零 0,021≥≥y y 二、 原问题与对偶问题的数学模型 1. 对称形式的对偶
原问题和对偶问题只含有不等式约束时，一对对偶问题的模型是对称的，称为对称形式的对偶。 原问题： ?? ? ??≥≥=0min X b AX CX z 对偶问题： ?? ? ??≥≤=0max Y C YA Yb w 2. 非对称形式的对偶 若原问题的约束条件全部是等式约束（即线性规划的标准型），即 ?? ? ??≥==0min X b AX CX z 则其对偶问题的数学模型为 ?? ? ??≤=是自由变量Y C YA Yb w max 可把原问题写成其等价的对称形式： min z =CX AX ≥b AX ≤b X ≥0 即 min z =CX ? ? ????-A A X ≥??????-b b X ≥0 设Y 1=(y 1,y 2,…,y m ), Y 2=(y m+1,y m+2,…,y 2m )。根据对称形式的对偶模型，写出上述问题的对偶问题：
第二章 线性算子与线性泛函
第二章 线性算子与线性泛函 第一节 有界线性算子 一、线性算子 本段中只需假设,,X Y Z 等是K 上的向量空间。 定义： 若一个映射:T X Y →满足 ()(,,,)T x y Tx Ty x y X αβαβαβ+=+∈∈K ， 则称T 为从X 到Y 的线性算子。 容易看出，上述等式可推广到更一般的情形：( )i i i i i i T x Tx αα=∑∑。 命题2.1.1 设:T X Y →是一线性算子，则以下结论成立： （1）任给子空间A X ?与子空间B Y ?，TA 与1T B -分别为Y 与X 的子空间。特别， (0)0T =与()R T TX =（值域）是Y 的子空间；1()(0)N T T -是X 的子空间（称为T 的 核或零空间）。 （2）若向量组{}i x X ?线性相关，则{}i Tx 亦线性相关；若A 是X 的子空间且 dim A <∞，则dim dim TA A <。 （3）T 是单射(){0}N T ?=。 说明：若0()Tx Y x X ≡∈∈，则称T 为零算子，就记为0；若(),Tx x x X αα≡∈∈K 为常数，则称T 为纯量算子（或相似变换，若0α≠），记作I α，当0α=与1时，I α分别是零算子和单位算子。 对线性算子可定义两种自然的运算：线性运算与乘法。若,:T S X Y →是线性算子， ,αβ∈K ，则:T S X Y αβ+→是一个线性算子，它定义为 ()(). (2.1.2)T S x Tx Sx x X αβαβ+=+∈ 若:R Y Z →是另一个算子，则由 ()()().(2.1.3)RT x R Tx x X =∈ 定义出一个线性算子:RT X Z →，称它为R 与T 的乘积。实际上，线性算子的乘积就是它们的复合。容易原子能正验证，如上定义的运算有以下性质： 11(), ()(); R T S RT RS R R T RT R T +=+?? +=+?分配律
电磁力中的对偶
电、磁、力中的对偶 刘红 摘要：本文从对偶的角度解释了电、磁、力之间的关系，总结了高扬提出的用于全局优 化的典范对偶理论及利用它解决非线性非凸问题的主要思路和优点。 引言 电、磁、力三大物理分支存在对偶关系。透过它们之间的不同外部现象，抽象出数学 模型，看到他们的本质却是相同的。三大系统的物理量间又存在着对偶关系，这就是典范对偶理论。非线性的变量关系或非凸性的能量函数是造成系统复杂性的关键原因。典范对偶理论旨在利用非线性变换，凸化的手段，把原空间中不便于处理的问题转化到对偶空间中来处理。这就是把“不美”的东西转化为“美”的东西，然后处理“美”的东西，最后通过能量守恒的原理把处理的结果反馈回原空间中。而三个驻点对偶定理提供了能量在原空间和对偶空间中进行的最优化的理论基础。 本文先从最简单的线性电阻电路模型开始，表示出在线性情况下的典范对偶模型。描述这种电路的数学模型是线性方程组。解这类线性方程组等价于二次规划的最优解。线性模型对应线性算子，非线性模型对应非线性算子。通过非线性变换，以及利用任何函数都可以分解为凸函数之差的方法，可将非线性非凸问题转换为线性的凸的问题。这种转换，有别于泰勒展开后取线性部分近似。这里不是近似而是变换，所以能得到更准确的效果。 1. 线性电阻电路的数学描述 考虑如图1所示的电路。此电路中，节点为1，2，3，4。令[]1234U ,,,T U U U U =为各节点的电位，假设节点4的电位为零，[]1234f=,,,T f f f f 分别从节点1，2，3，4流进电路的电流，设网络除节点4外没有其它的接地点，所以40f =。[]12345I ,,,,T I I I I I =为各支路的电流，[]12345V ,,,,T V V V V V =为各支路电阻上的电压。 各支路上电阻的电压与电流取关联参考方向。 图 1 一个电路 该电路各变量之间的关系可由下列三式描述。 由基尔霍夫电压定律可得： 12 341100001100V U b 001100 101010016t U U U U -??????????-?????? ??????=Λ+=+-?????? -????????????-???? （1） 由欧姆定律可得：
电与磁对偶性原理
课程研究报告（课程设计） 电与磁的对偶性 姓名 学号 课程名称 专业 同组同学 得分 电与磁的对偶性 摘要：电荷及电流产生的电磁场和磁荷及磁流产生的电磁场之间存在着对应关系。只要将其结果表示式中各个对应参量用对偶原理的关系置换以后，所获得的表示式即可代表具有相同分布特性的磁荷与磁流
产生的电磁场。 关键词：电荷、磁荷、对偶、电磁场 题目内容： 假设自然界存在磁荷和磁流，磁荷产生磁场与电荷产生电场满足相同的规律，磁流产生电场与电流产生磁场满足相同的规律，导出在这一前提下电磁场的Maxwell 方程组表达式，证明电荷、电流激发的电磁场满足的方程与磁荷和磁流激发电磁场满足的方程互为对偶方程。 1、 无源区麦克斯韦方程组： 如果把其中的两个按如下方式写成一组： 0E H E t μ ??=?????=-??? 0H E H t ε ??=?????=??? （1） 得到两组完全相同的方程组，它们关于E 和H （除了有一负号）是对称的。这种对称性使得对其中一组作E H → 、H E →- 、 εμ→、με→代换，得到另外一组方程。 0E H E t μ??=?????=-??? →,,E H H E εμμε??→→-??→→?? 0H E H t ε??=?????=??? (2) 它们仍然是麦克斯韦方程组，并与原方程相同。数学上成这种具有相同形式的两组方程为对偶方程容易证明两组对偶的互为对偶的方程，其解也具有对偶性。 2、 广义麦克斯韦方程（有源区） 在有源区，麦克斯韦方程组不是对称的，其原因是自然界还没有发现类似于电荷的磁荷，也没有发现类似于“电流”的“磁流”，其激发的电磁场与电荷荷电流激发的电磁场相互对偶，则推
拉格朗日对偶问题解读
2 拉格朗日对偶（Lagrange duality） 先抛开上面的二次规划问题，先来看看存在等式约束的极值问题求法，比如下面的最优化问 题： 目标函数是f(w)，下面是等式约束。通常解法是引入拉格朗日算子，这里使用来表示算子， 得到拉格朗日公式为 L是等式约束的个数。 然后分别对w和求偏导，使得偏导数等于0，然后解出w和。至于为什么引入拉格朗日 算子可以求出极值，原因是f(w)的dw变化方向受其他不等式的约束，dw的变化方向与 f(w)的梯度垂直时才能获得极值，而且在极值处，f(w)的梯度与其他等式梯度的线性组合 平行，因此他们之间存在线性关系。（参考《最优化与KKT条件》） 然后我们探讨有不等式约束的极值问题求法，问题如下： 我们定义一般化的拉格朗日公式 这里的和都是拉格朗日算子。如果按这个公式求解，会出现问题，因为我们求解的是最 小值，而这里的已经不是0了，我们可以将调整成很大的正值，来使最后的函数结 果是负无穷。因此我们需要排除这种情况，我们定义下面的函数：
这里的P代表primal。假设或者，那么我们总是可以调整和来使得有最大值为正无穷。而只有g和h满足约束时，为f(w)。这个函数的精妙之处在于，而且求极大值。 因此我们可以写作 这样我们原来要求的min f(w)可以转换成求了。 我们使用来表示。如果直接求解，首先面对的是两个参数，而也是不等式约束，然后再在w上求最小值。这个过程不容易做，那么怎么办呢？ 我们先考虑另外一个问题 D的意思是对偶，将问题转化为先求拉格朗日关于w的最小值，将和看作是固定值。之后在求最大值的话： 这个问题是原问题的对偶问题，相对于原问题只是更换了min和max的顺序，而一般更换顺序的结果是Max Min(X) <= MinMax(X)。然而在这里两者相等。用来表示对偶问题如下： 下面解释在什么条件下两者会等价。假设f和g都是凸函数，h是仿射的（affine， ）。并且存在w使得对于所有的i，。在这种假设下，一定存在使得是原问题的解，是对偶问题的解。
拉普拉斯算子
黎曼流形 维基百科，自由的百科全书 黎曼流形（Riemannian manifold）是一个微分流形，其中每点p的切空间都定义了点积，而且其数值随p平滑地改变。它容许我们定义弧线长度，角度，面积，体积，曲率，函数梯度及向量域的散度。 每个R n的平滑子流形可以导出黎曼度量: 把R n的点积都限制于切空间内。实际上，根据纳什嵌入定理, 所有黎曼流形都可以这样产生。 我们可以定义黎曼流形为和R n的平滑子流形是等距同构的度量空间,等距是指其内蕴度量(intrinsic metric)和上述从R n导出的度量是相同的。这对建立黎曼几何是很有用的。 黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可产生度量空间： 如果γ : [a, b] → M是黎曼流形M中一段连续可微分的弧线，我们可以定义它的长度L(γ) 为 （注意：γ'(t) 是切空间M在γ(t)点的元素; ||·||是切空间的内积所得出的范数。) 使用这个长度的定义,每个连通的黎曼流形M很自然的成为一个度量空间（甚至是长度度量空间）：在x与y两点之间的距离d(x, y) 定义为： d(x,y) = inf{ L(γ) : γ是连接x和y的一条光滑曲线}。 虽然黎曼流形通常是弯曲的，“直线”的概念依然存在:那就是测地线. 在黎曼流形中,测地线完备的概念，和拓扑完备及度量完备是等价的：每个完备性都可以推出其他的完备性，这就是Hopf-Rinow定理的内容.。 微分流形 维基百科，自由的百科全书
[] 可微流形的定义 设的自然数或者为，拓扑空间被称为是m维可微流形，如果， 1.为豪斯多夫空间 2.被m维坐标邻域所覆盖，换句话说，存在的m维坐标邻域族 ，使得 3.满足的任意，坐标转换 为映射。 ?当r = 0时，流形称为是拓扑流形；当时，流形称为是光滑流形。?拓扑空间 ?维基百科，自由的百科全书 ?汉漢▼ ?
基于对偶方法的变分光流改进算法
基于对偶方法的变分光流改进算法 陈兵 重庆理工大学 摘要： 光流模型一：CLG 模型+（灰度守恒假设+梯度守恒假设）+非二次惩罚+SOR ．．． = ),(v u 光流模型二：CLG 模型+（灰度守恒假设+Laplacian 守恒假设）+非二次惩罚+SOR ．．．= ),(''v u 最终光流：对偶迭代),(v u 与),(''v u 理论依据： 光流三要素：光流产生速度场；是一种携带信息并具有光学特性的载体，如像素等；是三维场景运动对二维平面的投影成像。是带有灰度的像素点在图像平面上的运动而产生的瞬时速度场。 1. CLG 光流模型 1981年，Horn 和Schunck[5]假设两帧图像时间间距很小，图像中某点亮度与物体上对应点处的表面的反射率成比例并假设反射率平滑变化没有空间不连续。在排除对象彼此遮挡的情况下提出了光流算法的经典模型。 设),,(t y x f 是图像像素点),(y x 在t 时刻的亮度。假设t+1时刻，此像素点运动到)1,,(+++t v y u x f ，且亮度保持不变。 则有： )1,,(),,(+++=t v y u x f t y x f 对上式Taylor 展开并忽略二阶及其高阶分量有： 0=??+??+??t f v y f u x f 其中，u 、v 是二维光流水平与垂直分量，f 为灰度图像。在此基础上假设图像又具有连续 性和平滑性，加入平滑权重因子α建立光流数学模型 dxdy f vf uf v u E t y x HS )||)((),(22ωα?+++= ?? Ω 其中，222||||||v u ?+?=?ω。上述模型是一种全局光流方法（H-S 方法），该方法也最终成为了变分方法的理论基础。尽管这种算法可以得到稠密的光流场，但对噪声的鲁棒性很差。 同样是1981年，Lucas 和Kanade[8]利用图像的空间强度梯度，使用牛顿-拉夫逊迭代法提出了一种图像配准技术——局部光流方法（L-K 方法），其模型为 2)(*),(t y x LK f vf uf K v u E ++=ρ 其中，ρK 是以ρ为标准差的Gaussian 函数。L-K 方法使得光流在噪声情况下具有很好的鲁 棒性，但也只是得到稀疏的光流场。 Bruhn 等人结合了H-S 方法和L-K 方法的优缺点提出了CLG 光流模型[7]:
对偶性质
对偶理论的性质及证明 性质1(对称性) 对偶问题的对偶问题是原问题 证明 设原问题为 max z ..0CX AX b s t X =≤??≥? (1) 对偶问题为 min ..0w Yb YA C s t X =≥??≥? (2) 对偶问题的对偶问题为 max ..0CU AU b s t U ?=≤??≥? (3) 比较式(1)和式(3), 显然二者是等价的, 命题得证. 性质2(弱对偶性) 设原问题为式(1),对偶问题为式(2),X 是原问题的任意一个可 行解,Y 是对偶问题的任意一个可行解,那么总有 CX Yb ≤ (4) 证明 根据式(1), 由于AX b ≤, 又由于0Y ≥, 从而必有 YAX Yb ≤ (5) 根据式(2), 由于YA c ≥, 又由于0X ≥, 从而必有 YAX CX ≥ (6) 结合式(5)和式(6), 立即可得CX Yb ≤,命题得证. 性质3(最优性) 设*X 原问题式(1)的可行解,*Y 是对偶问题式(2)的可行解,当是 **CX Y b =时,*X 是原问题式(1)的最优解,*Y 是对偶问题式(2)的最优解. 证明 设X 是式(1)的最优解, 那么有 *CX CX ≥ (7) 由于**CX Y b =,那么 *CX Y b ≥ (8) 根据弱对偶性质, 又有 *CX Y b ≤ (9)
从而*CX CX =, 也就是*X 是原问题式(1)的最优解。 同理，也可证明*Y 是对偶问题式(2)的最优解。 性质4(无界性) 设原问题为无界解，则对偶问题无解。 证明 用反证法证明。 设原问题为式(1)，对偶问题为式(2)。 假定对偶问题有解，那么存在一个可行解为Y 。这时对偶问题的目标函数值为Yb T =。 由于原问题为无界解，那么一定存在一个可行解X 满足CX T >，因此CX Yb >。 而根据弱对偶性，又有CX Yb ≤，发生矛盾。从而对偶问题没有可行解。 性质5(强对偶性、对偶性定理) 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且最优目标函数值相等。（复习矩阵算法） 证明 设B 为原问题式(1)的最优基，那么当基（1）实地访谈。选择不同地区、不同行业、不同发展规模、不同历史、不同风 格的企业高层管理人员或技术部门负责人，进行半结构化的访谈，进一步收集信息 并完善研究思路。 （2）协同学方法。运用协同学方法对装备制造业突破性创新系统的演进进行仿 真研究，通过对系统演化的轨迹及过程进行分析，从产业生命周期的四阶段提出装 备制造业突破性创新机制系统根据生命周期发展过程的不同策略。 （3）结构方程模型。通过规范的问卷调查程序和数据处理方法，建立起合乎研 究要求的数据库，再通过对获得的数据采用结构方程模型(SEM)等统计分析方法， 以验证提出的概念模型与假设是否成立。为B 时的检验数为1B C C B A --，其中B C 为由基变量的价值系数组成的价值向量。 既然B 为原问题式(1)的最优基，那么有10B C C B A --≤。 令1B Y C B -=，那么有0C YA YA C -≤?≥，从而1B Y C B -=是对偶问题式(2)的可行解。 这样一来，1B Y C B -=是对偶问题的可行解，1B X B b -=是原问题的最优基可行解。 由于1B B N N B CX C X C X C B b -=+=，而1B Y b C B b -=，从而有CX Yb =。根据性质3，命 题得证。 性质6(对偶松弛定理、松弛性) 若??, X Y 分别是原问题和对偶问题的可行解，那么?0s YX =和?0s Y X =，当且仅当??, X Y 为最优解。 证明 设原问题和对偶问题的标准型是 原问题 对偶问题
电于磁的对偶性
临沂大学课程研究报告/课程设计 临沂大学 YINYI UNIVERSITY 课程研究报告（课程设计） 电与磁的对偶性
摘要：假设自然界存在磁荷和磁流，磁荷产生磁场与电荷产生电场满足相同的规律，磁流产生电场与电流产生磁场满足相同的规律，，电荷、电流激发的电磁场满足的方程与磁荷和磁流激发电磁场满足的方程互为对偶方程。 关键字：Maxwell，对偶性，磁荷，磁流，电荷，电流 内容：
一、无源区的Maxwell 方程组 ｛ {0 E H E t μ ??=???=-? ｛ 0H E H t ε ??=???=? 以上两组方程形式完全相同，它们关于E 和H （除有一负号外）是对称的，对其中一组作 ,,,E H H E εμμε→→→→代换得到 ｛ E H H t μ ??=???=-?→→ ｛,, ,E H H E εμμε→→-→→｝→← ｛ 0H E H t ε ??=???=? 数学上称这种具有相同形式的两组方程为对偶方程。 二、有源区的Maxwell 方程 在有源区，由于在自然界还没有发现与电荷电流相对应的真实的磁荷、磁流，所以Maxwell 方程是不对称的。宏观电磁场运动中，Maxwell 方程的两个独立方程 { (2.1)(2.2) B E t D H J t ???=- ????=+? 对于线性均匀各向同性戒指，其结构方程,,D E B H J E εμσ===，所以有 { (2.3)(2.4) H E t E H E t μ σε???=-????=+? 对方程2.3两边求旋度，再利用2.4式和电场的高斯定理，得 22 2()(2.5)E J E t t ρ εμμε ???-=+??? 同样对2.4两边取旋度，并利用磁场的高斯定理得 22 2 (2.6)H H J t με??-=-??? 磁场的高斯定理表明，磁感应强度B 是一无散的矢量场，可用矢量位表示，设
§3 对偶算子 可能性
§3 对偶算子可能性 4.3.1 定义对偶 (1) f是一元算子，定义f'α = d f?f?α，f'称为f的对偶。 (2) N是一元邻域映射，定义一元邻域映射N'如下：任给V(f?α)x∈W，都有N'(x) = {S | S?N(x)}，N'称为N的对偶。 例4.3.2如果N在x上是超越的(即N(x) = ?)，则N'在x上是矛盾的(即N'(x) = P(W))。如果N在x上是矛盾的(即N(x) = P(W))，则N'在x上是超越的(即N'(x) = ?)。 4.3.3 定理如果N是f的解释，则N'是f'的解释。 证x∈V(f'α) 当且仅当x∈V(?f?α) 当且仅当x?V(f?α) 当且仅当V(?α)?N(x) 当且仅当) Vα?N(x) 当且仅当V(α)∈N'(x)。■ ( 4.3.4 定理双重对偶性(N')' = N。 证由N'(x) = {S | S?N(x)}得S?N'(x) 当且仅当S∈N(x)，所以 S?N'(x) 当且仅当S∈N(x) 当且仅当S∈N(x)， 因此 S∈(N')'当且仅当S?N'(x) 当且仅当S∈N(x)。 即(N')' = N。■ 如果N满足N(x) = N'(x)，则称N在可能世界x上是自对偶的。如果任给x∈W，N在可能世界x上都是自对偶的，则称N是自对偶的。如果N是的自对偶，则称框架K =
可能也是对命题为真的一种肯定，所以也有单调性。 单调性比可能命题强的命题还是可能的。 和必然类似，虽然可能也有很多种，但在一个逻辑系统中刻画的是同一种可能。所以可能性也有单纯性。 单纯性是通过无关来表示的。对于可能性，我们采用另一种无关的概念。 如果能从S不是可能的得到“S并M”也不是可能的，则M 对于S是否是可能的毫无关系，所以可以称为： M相对于S(的可能性)是无关的。 在框架中的表示M相对于S是无关的就是： 如果S?N(x)，则S?M?N(x)。 显然，如果M ? S，则M相对于S一定是无关的。 用此无关性表示可能的单纯性： 单纯性如果S和Q都是不可能的，则相对于S无关的命题也相对于Q无关。 S和Q在x上都不是可能的表示为 S?N(x)和Q?N(x)， 在S?N(x)和Q?N(x)的情况下，M相对于S是无关的就是 S?M?N(x)， M相对于Q是无关的就是 Q?M?N(x)， 所以在框架中表示单纯性就是： 如果S?N(x)，Q?N(x)且S?M?N(x)，则Q?M?N(x)。 在单调性的前提下，以上条件等价于： 如果S?Q∈N(x)，则S∈N(x)或Q∈N(x)。 用单调性和单纯性可以对可能下一个严格的定义。 4.3.5 定义可能N是邻域映射。 (1) 如果N(x)满足： 1. 单调性如果S∈N(x)且S ? Q，则Q∈N(x)； 2
对偶
对偶的种类之一：流水对（高考指导3） 从下面对偶句中选出不同于其他三句的一项 A.明月松间照，清泉石上流。 B.山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村。 C.露从今夜白，月是故乡明。 D.大漠孤烟直，长河落日圆。 答案是B。为什么选B呢？这就涉及到对偶的修辞知识。关于对偶的种类（如借对、当句对等），有的比较复杂，可以不要求一般的高中生掌握。但是该题涉及到的“流水对”的知识最好能为学生接受。 流水对，也叫串对。对仗一般是平行的两句话，在形式上是并列结构。但是，也有一种对仗是一句话分成两句话说，两句话是一个整体，从结构上是并列关系，从语法上却是承接、转折、因果、假设等关系，或仅是一单句。这叫流水对。如杜甫《九日崔氏蓝田庄》：“羞将短发还吹帽，笑请旁人为正冠。”此为因果关系。白居易《古原草》：“野火烧不尽，春风吹又生。”此为承接关系。陆游《书愤》：“塞上长城空自许，镜中衰鬓已先斑。”此为转折关系。骆宾王《在狱咏蝉》：“不堪玄鬓影，来对白头吟。”此为一单句。周振甫在《诗词例话》中举王之涣《登鹳雀楼》“白日依山尽，黄河入海流。欲穷千里目，更上一层楼”为例说：这两联“好像不是对偶，实际上对得很工整，是流水对，是很好的对偶。因为对偶的好处是符合于美学上的所谓均齐，但过于求均齐又怕呆板……流水对既有均齐之美，又自然而不呆板，意思联贯而下并不损害内容，所以是很好的对偶。”在现行人教版高中教材中选收的陆游《临安春雨初霁》一诗中的“小楼一夜听春雨，深巷明朝卖杏花”，就是一副绝妙的流水对。 因此上面的试题，B属于流水对（串对），其他三联是普通的对偶。 高考大纲规定要“正确运用常见的修辞方法”，所谓常见修辞方法包括：比喻、比拟、借代、夸张、对偶、排比、设问、反问。了解有关修辞知识，对于文学鉴赏，也有一定的好处。不仅是近体诗中存在流水对，在一些以对偶形式组成的谚语、俗语中也包含有这种句子。如“前人种树，后人乘凉”就是承接关系；“贪看天上月，失却世上珍”，就是因果关系；“杀人可恕，情理难容”，就是假设关系（夸张性假设，相当于“即使……也……”）。这后一个例子，如果理解成并列关系，似乎认为“杀人”真的是可以“宽恕”的事，其实这前一句只是后一句的陪衬，含有即使杀人可恕（实际上不可恕），他的这种杀人的动机和手段也是决不可原谅的这样的意思。 对偶是用字数相等，结构形式相同，意义对称的一对短语或句子来表达两个相对或相近意思的修辞方式。 （二）对偶的种类： 1、正对。上下句意思上相似、相近、相补、相衬的对偶形式。例如： a.墙上芦苇，头重脚轻根底浅；山间竹笋，嘴类皮厚腹中空。 2、反对。上下句意思上相反或相对的对偶形式。例如： b.横眉冷对千夫指，俯首甘为孺子牛。 3、串对（流水对）。上下句意思上具有承接、递进、因果、假设、条件等关系的对偶形式。例如： c.才饮长江水，又食武昌鱼。 根据上下句的形式又可以把对偶分为严式对偶和宽式对偶，严式对偶要求上下两句字数相等，词性相对、结构相同、平厌相对、不重复用字。如例句曲。宽式对偶对严式对偶五条要求只要有一部分达到就可以，不很严格，如例句c。 （三）对偶的结构： 1、成分对偶。例如： 然而我的坏处，是在论时事不留面子，泛铜弊常取类型，而后者尤与时宜不合。 2、句子对偶。例如： 秋水共长天一色，落霞与孤骛齐飞。 （四）对偶的作用： 便于吟诵，易于记忆；用于诗词、有音乐美；表意凝炼，抒情酣畅。 （五）对偶与对比的不同点； 1、对比的基本特点是“对立”，对偶的基本特点是“对称”。 2、对偶主要是从结构开工上说的，它要求结构相称，字数相等；对比是从意义上说的，它要求意义相反或相近，而不管结构形式如何。 3、对偶里的“反对”（如“横眉冷对千夫指，俯首甘为孺子牛”）就意义说是对比，就形式说是对偶，这是修辞手法的兼类现象。） 1
对偶单纯形法 哈工大
对偶单纯形法教案 一．教学目标： 通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解，让学生了解对偶单纯形法思想来源和原理和引入单纯形法的原因，了解对偶单纯形法和原始单纯形法各自特点和适用问题，掌握对偶单纯形法解题步骤并能熟练运用对偶单纯形法配合原始单纯形法解决一些线性规划问题。 二.教学内容： 1）.对偶单纯形法的思想来源(5 min) 2）对偶单纯形法原理（难点）(10 min) 3）用标准流程图表示对偶单纯形算法 4）结合实际案例讲解对偶单纯形法求解过程 5）对比分析单纯形法和对偶单纯形法，说明什么类型的问题适合转化为对偶问题求解 三．教学过程： 1）：思想来源 对偶单纯形法是美国数学家C.莱姆基于1954年提出的。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。 设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题（Dual Problem）为max{yb|yA≤c}。当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c ≤0。即知y=cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。 2）：对偶单纯形法原理 对偶单纯形法的原理，要用到前面讲到的几种性质： 弱对偶性原理：若X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解。则存
在X C ≦b Y 。 无界性原理： 若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。 最优性原理：如果x j （j=1，…，n)是原问题的可行解，y j （i=1，…，m ） 是其对偶问题的可行解，且有∑=n j j j x c 1 =∑=m i i i y b 1 ，则x j （j=1，…，n ）是原问题 的最优解， y j （i=1，…，m ）是其对偶问题的最优解。 性质6：线性规划问题的原问题及其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w. 前面已经讲到原问题与对偶问题的解之间的对应关系时指出：在单纯形表中进行迭代时，在b 列中得到的是原问题的基可行解，而在检验数行得到的是对偶问题的基解。通过逐步迭代，挡在检验数行得到对偶问题的解也是基可行解时，根据弱对偶性原理和无界性原理可知，已得到最优解。即原问题与对偶问题都是最优解。 根据对偶问题的对称性，也可以这样考虑：若保持对偶问题的解是基可行解，即j B P B c 1-≦0，而原问题在非可行解的基础上，通过逐步迭代达到基可行解，这样也得到了最优解。其优点是原问题的初始解不一定是基可行解，可从非基可行解开始迭代，方法如下。 设原问题 max z=CX AX=b X ≧0 又设B 是一个基。不失一般性，令B=（,,21P P …m P ），它对应的变量为 =B X （,,21x x …m x ）
间接效用函数与消费中的对偶性
间接效用函数与消费中的对偶性 （一）间接效用函数 1、直接效用函数：效用是消费量的函数，)(x u u =。 2、间接效用函数：令),(w p x x **=为效用最大化问题的解， )],([),(w p x u w p v *=为间接效用函数。w 为收入。 3、直接效用函数描述的偏好独立于市场，间接效用函数反映最优化程度和市 场价格。 4、推导罗伊恒等式 w w p v p w p v w p x j j ????-=),() ,(),(，n j ,,2,1 = 推导：由于)(max ),(x u w p v =，所以，),(w p v 关于w p ,得偏导数，按包络 定理等于求)(max x u 关于w p ,的导数，求导如下： )()(),(x p w x u x L ?-+=λλ ),(),(),(w p x x w x L w m p v =***=??=??λλ x p x L p m p v ?-=??=??***λλ),(),( x w m p v p m p v =????-) ,() ,( 罗伊恒等式的含义：如果间接效用函数已知，且连续可导，那么，就可 以求出马歇尔需求函数。 （二）对偶性定理 1、对偶性问题：是指一些成对的问题和概念，它们阐述的行为原则是一致的，只是（目标函数和约束条件的）表达正好相反。（见肖红叶著《高级微观经济学》35页。） 2、用对偶性定理描述直接效用函数与间接效用函数的关系，或直接效用函
数与间接效用函数间存在对偶关系。 显示偏好理论（46页）（参阅厉以宁《西方经济学》67-71页、肖红叶著《高级微观经济学》18页、黄亚钧、姜纬《微观经济学》第一版63-67页） 1、前面是从偏好（或效用函数）到最优选择，显示偏好理论则是从主体的选 择行为观察主体的偏好。 2、假定（见肖红叶著《高级微观经济学》18页。） （一）显示偏好弱公理 1、在0p 价格下，消费者既可以购买0q （这是一个商品组合！），也可以购买1q （这是一个商品组合！），但他购买了0q ，这一行为显示消费者相对于1q 更偏好0q 。假定消费者购买0q 正好花光了所有收入，即000y q p =。而 010y q p <。当价格变为1p 后（看来价格上升了） ，花光所有收入0y ，消费者也只能买1q ，即011y q p =（当然也可以假定111y q p =，由于价格上升了，由000y q p =可知，00001y q p q p =>，即在1p 价格下，消费者买不起0q 。由于011y q p =，所以，1101q p q p >，即不存在1101q p q p <。 2、上述情况对应于图1，0q 所在的预算约束线对应收入0y 和价格0p ，因为，当收入和价格给定时，就可以得到一条确定的预算约束线。1q 所在的预算约束线对应收入1y 和价格1p 。当预算线是0q 所在的预算约束线时，消费者既可以购买0q （000y q p =），也可以购买1q （010y q p <），但他购买了0q ，这一行为显示消费者相对于1q 更偏好0q 。当预算线是1q 所在的预算约束线时，消费者购买了1q ，没有购买0q ，这是因为在现在的预算约束下，他买不起0q ，而不是显示消费者相对于0q 更偏好1q 。偏好还是0q 优于1q 。也就是说，这两次购买行为中，消费者显示的偏好是一致的。
对偶原理
1、 （2013北大保送生测试）若{}1,2,3,4,5,6,7,8,9的某非空子集中所有元素的和为奇数， 则称之为奇子集。求该集合中子集的奇子集的个数 解：同理可定义偶子集。令{}=1,2,3,4,5,6,7,8,9A ，B A ?,B A B =-。则B B ?=?, B B A = 。A 为奇子集。将B 与B 进行配对，二者必定一奇一偶。故奇子集的个数为98 2=2=2562 2、 设X 为n 元集，其子集全体为12m ,,,A A A ，记号i A 表示集合i A 的元素个数，试求 i 1 =m i S A =∑ 法一：111 1 1 2n n k k n n n k k S kC nC n ---=== ==?∑∑ 法二：设i A X ?，i i A X A =-，则()() 111222n S A A A A n -=++++=? 3、 若1111231996n m + ++= ，其中(),1n m =，则()____mod1997n ≡ 解：112 1119961996n m ???? =++++ ? ????? 199719971997119962199519961=+++??? () 2 19971996!c = ()2 21996!1997n cm ?=，两边同时模1997 4、 定义集合{}1,2,4,6,9X =的交错和为964216-+-+=，单元素集的交错和为该元素， 空集交错和为0.求集合{}1,2,3,,Y n = 的所有子集的交错和的和 解:设A Y ?,{}12,,,k A a a a = ，若A 不含元素n ，则取{}12,,,,k B n a a a = ，否则就取{}B A n =-。则A 与B 的交错和之和为n 12n n -?