立体几何期末复习2
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.空间四个点O 、A 、B 、C ,OA →,OB →,OC →
为空间的一个基底,则下列说法不正确的是( B )
A .O 、A 、
B 、
C 四点不共线B .O 、A 、B 、C 四点共面,但不共线 C .O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线
D .O 、A 、B 、C 四点不共面
2.已知a +3b 与7a -5b 垂直,且a -4b 与7a -2b 垂直,则〈a ,b 〉等于( B )
A .30°
B .60°
C .90°
D .45°
3.已知A (2,-5,1),B (2,-2,4),C (1,-4,1),则向量AB →与AC →
的夹角为( C )
A .30°
B .45°
C .60°
D .90°
4.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点,如果AB →=(2,-1,-4),AD →=(4,2,0),AP →
=(-1,2,-1).对
于结论:①AP ⊥AB ;②AP ⊥AD ;③AP →是平面ABCD 的法向量;④AP →∥ BD →
.其中正确的个数是( C )
A .1
B .2
C .3
D .4
5.以下命题中,不正确的个数为( C )
①|a |-|b |=|a +b |是a ,b 共线的充要条件;②若a ∥b ,则存在唯一的实数λ,使a =λb ;③若a·b =0,b·c =0,则a =c ;④若{a ,b ,c }为空间的一个基底,则{a +b ,b +c ,c +a }构成空间的另一个基底; ⑤|(a·b )·c |=|a |·|b |·|c |. A .2 B .3 C .4 D .5
6.若平面α的法向量为n ,直线l 的方向向量为a ,直线l 与平面α的夹角为θ,则下列关系式成立的是( D )
A .cos θ=n·a |n||a |
B .cos θ=|n·a||n||a |
C .sin θ=n·a
|n||a | D .sin θ=|n·a||n||a |
7.若两点A (x,5-x,2x -1),B (1,x +2,2-x ),当|AB →
|取最小值时,x 的值等于( C )
A .19
B .-87 C.87D.19
14
8.如图所示,在四面体P —ABC 中,PC ⊥平面ABC ,AB =BC =CA =PC ,那么二面角B —AP —C 的余弦值为( C )
A.22
B.33
C.77
D.57
9.如图所示,在直二面角D —AB —E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,△AEB 是等腰直
角三角形,其中∠AEB =90°,则点D 到平面ACE 的距离为( B )
A.33
B.233
C.3D .2 3
10.已知OA →=(1,2,3),OB →=(2,1,2),OP →=(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,则当QA →·QB →
取得最小值时,点Q 的坐标为( C )
A.????12,34,13
B.????12,32,34
C.????43,43,83
D.????43,43,73
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
11.若a =(2,-3,5),b =(-3,1,-4),则|a -2b |=____258____.
12.如图所示,已知正四面体ABCD 中,AE =14AB ,CF =1
4
CD ,则直线DE 和BF 所成角的
余弦值为_____4
13
___.
13.平面α的法向量为(1,0,-1),平面β的法向量为(0,-1,1),则平面α与平面β所成二面角的大小为___.π3或
2π
3
_____.
14.如图所示,已知二面角α—l —β的平面角为θ???
?θ∈????0,π2,AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,AB 在平面β内,BC 在l 上,CD 在平面α内,若AB =BC =CD =1,则AD 的长为__3-2cos θ____
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
15.(12分)如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是棱BC ,CC 1上的点,CF =AB =2CE ,AB ∶AD ∶AA 1=1∶2∶4.
(1)求异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值;
(2)证明AF ⊥平面A 1ED ;
(3)求二面角A 1—ED —F 的正弦值. 15.(1)解
如图所示,建立空间直角坐标系,点A 为坐标原点.设AB =1,依题意得D (0,2,0),F (1,2,1),
A 1(0,0,4),E ????1,3
2,0. 易得EF →
=???
?0,12,1, A 1D →
=(0,2,-4),
于是cos 〈EF →,A 1D →
〉=
=-35.
所以异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值为3
5
.
(2)证明 易知AF →
=(1,2,1),
EA 1→=????-1,-32,4,ED →
=????-1,12,0, 于是AF →·EA 1→=0,AF →·ED →=0. 因此,AF ⊥EA 1,AF ⊥ED .
又EA 1∩ED =E ,所以AF ⊥平面A 1ED . (3)设平面EFD 的法向量u =(x ,y ,z ),
则
即???
1
2y +z =0,-x +1
2y =0.
不妨令x =1,可得u =(1,2,-1),
由(2)可知,AF →
为平面A 1ED 的一个法向量,
于是cos 〈u ,AF →
〉==23,
从而sin 〈u ,AF →
〉=53
.
所以二面角A 1—ED —F 的正弦值为
53
. 16.(12分)如图,四棱锥S —ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P 为侧棱SD 上的点. (1)求证:AC ⊥SD ;
(2)若SD ⊥平面P AC ,求二面角P —AC —D 的大小;
(3)在(2)的条件下,侧棱SC 上是否存在一点E ,使得BE ∥平面P AC .若存在,求SE ∶EC 的值;若不存在,试说明理由.
16.(1)证明 连结BD ,设AC 交BD 于点O ,由题意知SO ⊥平面ABCD ,以O 点为坐标原
点,OB →、OC →、OS →
分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示.
设底面边长为a ,则高SO =6
2
a .
于是S (0,0,62a ),D ????-22a ,0,0,C ???
?0,2
2a ,0,
B ??
?
?22a ,0,0,
OC →=??
??0,22a ,0,
SD →=??
??-22
a ,0,-62a ,
∴OC →·SD →=0.
∴OC ⊥SD ,即AC ⊥SD . (2)解 由题意知,平面P AC 的一个法向量DS →
=????22
a ,0,62a ,平面DAC 的一个法向量
OS →=?
?
??0,0,62a ,
设所求二面角为θ,则cos θ=
=3
2,
故所求二面角P —AC —D 的大小为30°.
(3)解 在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面P AC .
由(2)知DS →
是平面P AC 的一个法向量,
且DS →=????22a ,0,62a ,CS →
=?
???0,-22a ,62a ,
BC →=??
?
?-22a ,22a ,0,
设CE →=t CS →,
则BE →=BC →+CE →=BC →+t CS →
=????-22
a ,22a (1-t ),6
2at .
由BE →·DS →
=0,得t =13,
即当SE ∶EC =2∶1时,BE →⊥DS →
而BE 不在平面PAC 内,故BE ∥平面PAC .
17.如图,已知四棱台1111ABCD A B C D -上、下底面分别是边长为3和6的正方形,16AA =,
且1AA ⊥底面ABCD ,点P ,Q 分别在棱1DD ,BC 上. (1)若P 是1DD 的中点,证明:1AB PQ ⊥;
(2)若//PQ 平面11ABB A ,二面角P QD A --的余弦值为
3
7
,求四面体ADPQ 的体积.
17.解法1:由题设知,1,,AA AB AD 两两垂直。以A 为坐标原点,
1,,AB AD AA 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图b 所示的空间直
角坐标系,则相关各点的坐标为1(0,0,0),(3,0,6)A B , D(0,6,0),1D (0,3,6),Q(6,m ,0),其中m=BQ,06m ≤≤
(1)若P 是1DD 的中点,则P (0,9
2
,3),9(6,,3)2
P
Q m =- 1AB =(3,0 ,6),于是1AB PQ
?
=18-18=0,所以1AB ⊥PQ
,即1AB PQ ⊥;
(2)由题设知,DQ
=(6,m-6,0),1DD =(0,-3,6)是平面PQD 内的两个不共线向量.
设1n =(x ,y ,z )是平面PQD 的一个法向量,则1110
n DQ n DD ??=???=?? ,即6(6)0360x m y y z +-=??-+=?,
取y=6,得1n =(6-m ,6,3).又平面AQD 的一个法向量是2n =(0,0,1),所以 cos<1n ,2n >=
1212||||n n n n ??
==
而二面角P-QD-A 的余弦值为37
,因此=
.解得m=4,或m=8(舍去),此时Q (6,4,0)
设1(01),DP DD λλ=<≤ 而1(0,3,6)DD =-
,由此得点(0,63,6)P λλ-,
所以因为PQ//平面11ABB A ,且平面11ABB A 的一个法向量是3(0,1
,0)n =, 所以30PQ n ?=
,即3λ-2=0,亦即2
3λ=
,从而P (0,4,4),于是,将四面体ADPQ 视为△ADQ 为底面的三菱锥P-ADQ,则其高h =4,故四面体ADPQ 的体积111
66424332
ADQ V S h =?=????= .
解法二 (Ⅰ)如图c ,取1A A 的中点R ,连结PR,BR,因为1A A ,1D D 是梯形11A AD D 的两腰,P 是1D D 的中点,所以PR//AD ,于是由AD//BC 知,PR//BC,所以P ,R,B,C 四点共面.
由题设知,BC ⊥AB,BC ⊥1A A ,所以BC ⊥平面11ABB A ,因此BC ⊥1AB ○1
因为tan ABR ∠=
AR AB =36=1
1AB A A
=tan 11A AB ∠,所以tan ABR ∠=tan 11A AB ∠,因此 1ABR BAB ∠+∠=111A AB BAB ∠+∠=90o ,于是1AB ⊥BR ,再由○1即知1
AB ⊥平面PRBC ,又PQ ?平面PRBC ,故1AB ⊥PQ.
(Ⅱ)如图d ,过点P 作PM//1A A 交AD 于点M ,则PM//平面11ABB A .
因为1A A ⊥平面ABCD ,所以OM ⊥平面ABCD,过点M 作MN ⊥QD 于点N ,连结PN ,则PN ⊥QD ,PNM ∠为二面角P-QD-A 的平面角,所以cos PNM ∠=
37,即MN PN =37,
从而PM MN =. ○
3 连结MQ ,由PQ//平面11ABB A ,所以MQ//AB ,又ABCD 是正方形,所以ABQM 为矩形,故MQ=AB=6. 设MD=t ,则
○4过点1D 作11//D E A A 交AD 于点E ,则11AA D E 为矩形,
所以1D E =1A A =6,AE=11A D =3,因此ED=AD-AE=3,于是
16
23
D E PM MD ED ===,所以PM=2MD=2t , 再由○3○4
3,解得t=2,因此PM=4.故四面体ADPQ 的体积
111
66424332
ADQ V S PM =?=????= .
18.如图,在四棱锥中,平面平面,
,,,,,
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在点,使得平面
?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
18.【解】⑴∵面PAD 面ABCD AD =
面PAD ⊥面ABCD
P ABCD -PAD ⊥ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD =AC CD ==PD ⊥PAB PB PCD PA M //BM PCD AM
AP
∵AB ⊥AD ,AB ?面ABCD ∴AB ⊥面PAD ∵PD ?面PAD ∴AB ⊥PD 又
PD ⊥PA ∴PD ⊥面PAB
⑵取AD 中点为O ,连结CO ,PO
∵CD AC ==CO ⊥AD ∵PA PD =∴PO ⊥AD 以O 为原点,如图建系
易知(001)P ,,,(110)B ,,,(010)D -,,,(200)C ,,,
则(111)PB =- ,,,(011)PD =-- ,,,(201)PC =- ,,,(210)CD =-- ,,
设n
为面PDC 的法向量,令00(,1)n x y = , 011,120
n PD n n PC ??=???
?=-? ????=??
,,则PB 与面PCD 夹角θ有
sin cos ,n θ=< ⑶假设存在M 点使得BM ∥面PCD 设AM AP
λ=,()0,','M y z
由(2)知()0,1,0A ,()0,0,1P ,()0,1,1AP =- ,()1,1,0B ,()0,'1,'AM y z =-
有()0,1,AM AP M λλλ=?-
∴()1,,BM λλ=--
∵BM ∥面PCD ,n
为PCD 的法向量 ∴0BM n ?=
即1
02λλ-++=
∴1=4
λ
∴综上,存在M 点,即当1
4
AM AP =时,M 点即为所求.
19.如图所示,平面ABDE ⊥平面ABC ,△ABC 是等腰直角三角形,AC =BC =4,四边形ABDE 是直角梯形,BD ∥AE ,
BD ⊥BA ,BD =1
2
AE =2,O ,M 分别为CE ,AB 的中点.
(1)求证:OD ∥平面ABC ;
(2)求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值;
(3)能否在EM 上找一点N ,使得ON ⊥平面ABDE ?若能,请指出点N 的位置,并加以证明;若不能,请说明理由. 19.(1)证明 如图,取AC 中点F ,连接OF ,FB
.
∵F 是AC 中点,O 为CE 中点, ∴OF ∥EA 且OF =1
2EA .
又BD ∥AE 且BD =1
2AE ,
∴OF ∥DB 且OF =DB ,
∴四边形BDOF 是平行四边形,∴OD ∥FB . 又∵FB ?平面ABC ,OD ?平面ABC , ∴OD ∥平面ABC .
(2)解 ∵平面ABDE ⊥平面ABC ,平面ABDE ∩平面ABC =AB ,DB ?平面ABDE ,且BD ⊥BA , ∴DB ⊥平面ABC .
∵BD ∥AE ,∴EA ⊥平面ABC .
又△ABC 是等腰直角三角形,且AC =BC , ∴∠ACB =90°,
∴以C 为原点,分别以CA ,CB 所在直线为x ,y 轴,以过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
∵AC =BC =4,∴C (0,0,0),A (4,0,0),B (0,4,0),D (0,4,2),E (4,0,4),O (2,0,2),M (2,2,0), ∴CD →=(0,4,2),OD →=(-2,4,0),MD →
=(-2,2,2). 设平面ODM 的法向量为n =(x ,y ,z ),
则由n ⊥OD →,n ⊥MD →
,可得?
????
-2x +4y =0,-2x +2y +2z =0.
令x =2,得y =1,z =1,∴n =(2,1,1). 设直线CD 和平面ODM 所成角为θ, 则sin θ=|n ·CD →
|
|n ||CD →|=|(2,1,1)×(0,4,2)|22+12+12×02+42+22 =
66×25=30
10
.
∴直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值为
3010
. (3)解 当N 是EM 中点时,ON ⊥平面ABDE . 由(2)设N (a ,b ,c ),
∴MN →=(a -2,b -2,c ),NE →
=(4-a ,-b,4-c ).
∵点N 在ME 上,∴MN →=λNE →
, 即(a -2,b -2,c )=λ(4-a ,-b,4-c ),
∴????
?
a -2=λ(4-a ),
b -2=λ(-b ),
c =λ(4-c ),
解得?????
a =4λ+2λ+1
,
b =2
λ+1,c =4λλ+1.
∴N (4λ+2λ+1,2λ+1,4λλ+1
).
∵BD →
=(0,0,2)是平面ABC 的一个法向量, ∴ON →⊥BD →
,∴4λλ+1=2,解得λ=1.
∴MN →=NE →
,即N 是线段EM 的中点, ∴当N 是EM 的中点时,ON ⊥平面ABDE .
立体几何单元测验题 一、选择题:把每小题的正确答案填在第二页的答题卡中,每小题4分,共60分 1.一个圆锥的底面圆半径为3,高为4,则这个圆锥的侧面积为 A . 152 π B .10π C .15π D .20π 2.C B A ,,表示不同的点,l a ,表示不同的直线,βα,表示不同的平面,下列推理错误 的是 A .ααα??∈∈∈∈l B l B A l A ,,, B .,,,AB l l AB l αβαβαβ=⊥?⊥?⊥I C .,l A l A αα?∈?? D .βαβα与不共线,,且?∈∈C B A C B A C B A ,,,,,,重合 3.直线c b a ,,相交于一点,经过这3条直线的平面有 A .0个 B .1个 C .3个 D .0个或1个 4.下列说法正确的是 A .平面α和平面β只有一个公共点 B .两两相交的三条直线共面 C .不共面的四点中,任何三点不共线 D .有三个公共点的两平面必重合 5. 直线b a 与是一对异面直线,a B A 是直线,上的两点,b D C 是直线,上的两点, N M ,分别是BD AC 和的中点,则a MN 和的位置关系为 A .异面直线 B .平行直线 C .相交直线 D .平行直线或异面直线 6.已知正方形ABCD ,沿对角线ABC AC ?将折起,设AD 与平面ABC 所成的角为α,当α最大时,二面角D AC B --等于( ) A .0 90 B .0 60 C .0 45 D .0 30 7.已知异面直线b a ,分别在平面βα,内,且βαI c =,直线c A .同时与b a ,相交 B .至少与b a ,中的一条相交 C .至多与b a ,中的一条相交 D .只能与b a ,中的一条相交 8.一个平面多边形的斜二侧图形的面积是S ,则这个多边形的面积是 A B .2S C . D .4S
2015-2016学年第一学期立体几何测试 高二理科数学 参考公式: 圆柱的表面积公式:rl r S ππ222 +=,圆锥的表面积公式:rl r S ππ+=2 台体的体积公式h S S S S V )(3 1'' ++= ,球的表面积公式:24r S π= 圆台的表面积公式Rl rl R r S π+π+π+π=2 2,球的体积公式:33 4r V π= 一、选择题(每小题5分,共60分) 1.下列四个几何体中,是棱台的为( ) 2.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是( ) 3.给出下列命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②若直线a ,b ,c 满足a ∥b ,b ⊥c ,则a ⊥c ; ③若直线l 1,l 2是异面直线,则与l 1,l 2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4
4.空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为( ) A .96 B .136 C .152 D .192 5.若棱长为1的正方体的各棱都与一球面相切,则该球的体积为( ) A .3π2 B .2π3 C .2π12 D .π 6 6.对于直线m ,n 和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( ) A .m ⊥n ,m ∥α,n ∥β B .m ⊥n ,α∩β=m ,n ?α C .m ∥n ,n ⊥β,m ?α D .m ∥n ,m ⊥α,n ⊥β 7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A .10π+96 B .9π+96 C .8π+96 D .9π+80 8.m,n 是空间两条不同直线,α,β是空间两个不同平面,下面有四种说法: 其中正确说法的个数为 ( ) ①m ⊥α,n ∥β,α∥β?m ⊥n; ②m ⊥n,α∥β,m ⊥α?n ∥β; ③m ⊥n,α∥β,m ∥α?n ⊥β; ④m ⊥α,m ∥n,α∥β?n ⊥β. A.1 B.2 C.3 D.4
. .. . 2014 高考及模拟立体几何带答案 一.解答题(共17小题) 1.(2014?)如图,四棱锥P﹣ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC 的中点. (Ⅰ)求证:AP∥平面BEF; (Ⅱ)求证:BE⊥平面PAC. 2.(2014?)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形 (Ⅰ)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1; (Ⅱ)设D、E分别是线段BC、CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论. 3.(2014?)在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,E为PC中点,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2. (Ⅰ)求证:BE∥平面PAD; (Ⅱ)求证:BC⊥平面PBD; (Ⅲ)设Q为侧棱PC上一点,,试确定λ的值,使得二面角Q﹣BD﹣P为45°. 4.(2014?)如图,在三棱锥P﹣ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证: (1)直线PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC. 5.(2014?一模)如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,CD=2,E、F分别是AB、PD的中点.(1)求证:AF∥平面PCE; (2)求证:平面PCE⊥平面PCD; (3)求四面体PEFC的体积. 6.(2014?南海区模拟)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形,DC=4,O为BD的中点,E为PA的中点. (Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD; (Ⅱ)求证:OE∥平面PDC; (Ⅲ)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值. 7.(2014?天津模拟)如图,在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,下底ABCD是边长为2的正方形,上底A1B1C1D1是边长为1的正方形,侧棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2. (1)求证:B1B∥平面D1AC; (2)求证:平面D1AC⊥平面B1BDD1.