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二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质同步测试

23.3二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质同步练习

第31题. （济宁课改）二次函数26y x x =+-的图象与x 轴交点的横坐标是（）

A ．2和3-

B ．2-和3

C ．2和3

D ．2-和3-

答案：A

第32题. （荆州课改）已知y 关于x 的函数：()()22211y k x k x k =---++中满足3k ≤．

（1）求证：此函数图象与x 轴总有交点．

（2）当关于z 的方程

2233

z k z z -=+--有增根时，求上述函数图象与x 轴的交点坐标．

答案：（1）当2k =时，函数为23y x =-+，图象与x 轴有交点．

当2k ≠时，()()()241421412k k k k =---+=-+△

当3k ≤时，0△≥，此时抛物线与x 轴有交点．

因此，3k ≤时，y 关于x 的函数()()22211y k x k x k =---++的图象与x 轴总有交点．（2）关于z 的方程去分母得：226z k z -=+-，4k z =-．

由于原分式方程有增根，其根必为3z =．这时1k =（6分）

这时函数为22y x =-+．它与x 轴的交点是()和)

第33题. （苏州课改）抛物线2

245y x x =++的对称轴是x =______．

答案：1-

第34题. （安徽课改）抛物线2(1)y x m x m =-+-+与y 轴交于(03)，点．（1）求出m 的值并画出这条抛物线；

（2）求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标；

（3）x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？

（4）x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？

【解】

答案：解：（1）由抛物线2(1)y x m x m =-+-+与y 轴交于(03)，，得：3m =． ∴抛物线为223y x x =-++．图象略．

（2）由2230x x -++=，得121

3x x =-=，． ∴抛物线与x 轴的交点为(1

0)(30)-，，，． 2223(1)4y x x x =-++=--+，

∴抛物线顶点坐标为(1

4)，．（3）由图象可知：当13x -<<时，抛物线在x 轴上方．

（4）由图象可知：当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小．

第35题. （贺州课改）已知抛物线268y ax x =+-与直线3y x =-相交于点(1

)A m ，．（1）求抛物线的解析式；

二次函数单元测试卷(含答案)

二次函数单元测试卷一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 当-2≤ x ≦1,二次函数y=-（x-m ）2 + m 2 +1有最大值4，则实数m 值为（） A.-4 7 B. 3或-3 C.2或-3 D. 2或3或- 4 7 2. 函数 2 2y mx x m =+-（m 是常数）の图像与x 轴の交点个数为（） A. 0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3. 关于二次函数 2 y ax bx c =++の图像有下列命题：①当0c =时，函数の图像经过原点；②当0c >，且函数の图像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等の实根；③函数图像最高点の纵坐标是 2 44ac b a -；④当0b =时，函数の图像关于y 轴对称．其中正确命题の个数是（） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 关于x の二次函数 2 2(81)8y mx m x m =+++の图像与x 轴有交点，则m の范围是（） A ． 1 16m <- B ． 116m - ≥且0m ≠ C ． 1 16m =- D ． 1 16m >- 且0m ≠ 5. 下列二次函数中有一个函数の图像与x 轴有两个不同の交点，这个函数是（） A ．2 y x = B ．24y x =+ C ．2325y x x =-+ D ．2 351y x x =+- 6. 若二次函数2 y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（） A ．a c + B ．a c - C ．c - D ．c 7. 下列二次函数中有一个函数の图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（） A ．1x y 2 —= B ．24y x =+ C ．1x 2x y 2+=— D ．2 351y x x =+- 8. 抛物线2 321y x x =-+-の图象与坐标轴交点の个数是（） A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．有且只有两个交点 D ．有且只有三个交点 9. 函数2 y ax bx c =++の图象如图所示，那么关于x の一元二次方程2 30ax bx c ++-=の根の情况是（） A ．有两个不相等の实数根 B ．有两个异号の实数根

二次函数的图象和性质

二次函数的图象和性质教学目标 1、知道二次函数的意义； 2、会用描点法画出二次函数的图象； 3、掌握二次函数的两种表达形式：一般式和顶点式. 会用配方法将一般式转化为顶点式； 4、能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置和最值； 5、会根据已知条件求出二次函数的解析式. 知识讲解 1、二次函数的一般形式为y＝ax2＋bx＋c (a、b、c是常数，a≠0)其特点是：解析式是自变量的整式表达式，自变量最高次数是二次，二次项系数必须不为零。当b＝c＝0时，就是一个特殊的二次函数y＝ax2(a≠0)，我们首先学习的就是这类最简单的二次函数，y＝ax2的图象是一条顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线.当a>0时抛物线开口向上，函数有最小值当x＝0时，最小值是0；当a<0时，抛物线的开口向下，函数有最大值当x＝0时，最大值是0。 2、二次函数的顶点式为y＝a(x－h)2＋k (a≠0)，顶点的坐标为(h，k)，对称轴为x＝h，当 a>0时，抛物线开口向上，此时，当x＝h时y有最小值为k；当a<0时，抛物线开口向下，此时当x＝h时y有最大值k.。例题讲解

例3、根据下列条件，分别求二次函数的解析式： ⑴顶点为(2，3)，图象经过点(0，1) ⑵当x＝4时，函数有最小值－3，且图象经过点(1，0) ⑶对称轴为x＝2，图象经过(1，4)，(5，0) ⑷形状与y＝3x2相同，当x＝－1时，y有最大值2

巩固练习： 1．二次函数y=2x 2－4x+3通过配方化为顶点式为y=______． 2．将函数y=－2x 2 +8x －7，写成y=a （x －h ）2 +k 的形式为_______，其顶点坐标是______，对称轴是_______． 3．已知抛物线y=x 2－6x+5的部分图象如图1，则抛物线的对称轴为直线x=_______．?满足y<0的x 的取值范围是________，将抛物线y=x 2－6x+5向________平移______?个单位，可得到抛物线y=x 2 －6x+9． 4．老师给出一个二次函数,甲,乙,丙三位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图像经过第一、二、四象限；乙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小．丙：函数的图像与坐标轴．．．只有两个交点．已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数___________________． 5．不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的值恒大于0的条件是． 6．如图，如果抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，? 与y 轴交于C 点，且OB=OC= 12 OA ，那么b= _______________． 7．以下画抛物线y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的步骤，顺序正确的是（） ①利用函数的对称性列表；②确定抛物线的开口方向；③描点画图；?④将y=ax 2+bx+c 配方成y=a （x －h ）2+k 的形式 A ．③②①④ B ．④②①③ C ．②④①③ D ．③②④① 8．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2－3x+5，则有（） A ．b=3，c=7 B ．b=－9，c=－15 C ．b=3，c=3 D ．b=－9，c=21 9．抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象如图2，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a> 12 ；④b<1．其中正确的结论是（） A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④ 10．满足a<0，b>0，c=0的函数y=ax 2 +bx+c 的图象是图中的（）

【精编】人教版九年级数学上册专题六二次函数的应用同步测试及答案

二次函数的应用一二次函数的实际应用 (教材P51探究3) 图1中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m 时，水面宽4 m ．水面下降1 m 时，水面宽度增加多少？图1 解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系(如图)，可设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2. 由抛物线经过点(2，－2)，可得－2＝a ×22，a ＝－12 . 这条抛物线表示的二次函数为y ＝－12 x 2. 当水面下降1 m 时，水面的纵坐标为y ＝－3. 由y ＝－3解得x 1＝6，x 2＝－6，所以此时水面宽度为2 6 m ，所以水面宽度增加(26－4)m. 【思想方法】建模：把问题中各个量用两个变量x ，y 来表示，并建立两种量的二次函数关系，再求二次函数的最大(小)值，从而解决实际问题．应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润，最节省方案等问题．注意：建立平面直角坐标系时，遵从就简避繁的原则，这样求解析式就比较方便．某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图2所示． (1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数解析式； (2)某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，集装箱宽3 m ，车与集装箱共高4.5 m ，此车能否通过隧道？并说明理由．图2 解：(1)设抛物线对应的函数解析式为y ＝ax 2 抛物线的顶点为原点，隧道宽6 m ，高5 m ，矩形的高为2 m ，所以抛物线过点A (－3，－3)，代入得－3＝9a ，解得a ＝－13 所以函数关系式为y ＝－x 2 3 . (2)如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，

二次函数单元测试题A卷(含答案)

第22章二次函数单元测试题(A卷) (考试时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（） A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2 C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x2 2．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（） A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3．若将函数y=3x2的图象向左平行移动1个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（） A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2 4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（） A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D． 5．给出下列函数：①y=2x；②y=﹣2x+1；③y=（x＞0）；④y=x2（x＜﹣1）．其中，y随x 的增大而减小的函数是（） A．①②B．①③C．②④D．②③④6．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（） A．B． C．D．

7．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分的对应值如下表，则y＞0时，x的取值范围是（） A．﹣1＜x＜2 B．x＞2或x＜﹣1 C．﹣1≤x≤2D．x≥2或x≤﹣1 8．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（） A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点9．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y 与x的函数关系式为（） A．y=πx2﹣4 B．y=π（2﹣x）2C．y=﹣（x2+4）D．y=﹣πx2+16π10．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（） A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是． 12．二次函数y=x2﹣4x+5的最小值为． 13．抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为． 14．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价元，最大利润为元．

二次函数的性质与图像

第二章二次函数 1.二次函数所描述的关系一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，对一次函数、反比例函数的相关知识如：各种变量、函数的一般形式、图像、增减性等知识有一定基础，相关应用也较常见，学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些解决实际问题活动，感受到了函数反映的是变化过程，并可通过列表、解析式、图像了解变化过程，对各种函数的表达方法的特点有所了解，获得了探究学习新函数知识的基础；同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析本课的具体学习任务：本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系，并能利用尝试求值的方法解决实际问题．让学生通过分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系)，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值．在教学中，让学生通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。教学目标 (一)知识与技能 1．探索并归纳二次函数的定义． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系． (二)过程与方法 1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系． 2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题． (三)情感态度与价值观 1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用． 3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．

二次函数的图像与性质知识点及练习

第二节二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2 ，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质：

2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质：

二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．六、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

高中数学《二次函数的性质与图象》教案

§2.2.2 二次函数的性质与图象（教案）一、教学目标 1、知识目标（1）使学生掌握研究二次函数的一般方法——配方法（2）进一步掌握二次函数2(0) =++≠的性质及图象的画法。 y ax bx c a 2、能力目标（1）培养学生的观察分析能力，引导学生学会用数形结合的方法研究问题；（2）培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力。 3、情感目标（1）通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲；（2）通过合作学习，培养学生团结协作的思想品质。二、教学重点、难点运用配方法研究二次函数的性质。三、教学方法采用“问题引导——合作探究”的教学方式，通过创设一个个问题情境，引导和激发学生对知识进行思考、探索，从而完成新知识的建构，用学案提高课堂效益，用多媒体辅助教学，以增强直观性。四、教学过程 1、问题引入问题1：二次函数的定义，二次函数的图象是一条抛物线。 2、研究函数2(0) y ax a =≠的性质请同学们拿出预习时所做的8个二次函数图象，对照图象填写下表。函数2 y ax =的性质

目的：由特殊到一般，同时为配方法打下基础。 3、配方法的引入问题2：（1）函数2(1)(0)y a x a =-≠的图象可看作是函数2y ax =的图象怎样变换得到？平移后哪些性质将会发生改变？哪些性质没变？（2）函数2(1)2(0)y a x a =-+≠的图象可看作是函数2y ax =的图象怎样变换得到？将2(1)2y a x =-+展开得2222y ax ax a =-++即二次函数的一般形式了。因此要研究一般形式的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象及性质，我们可想法化为 2(1)y a x k =-+形式，那采用方法是：配方法 4、实例演练例1：（1）研究二次函数21()462 f x x x =++的性质和图象；（2）研究二次函数2()43f x x x =--+的性质和图象先研究第一题（1）配方：21()462 f x x x =++2211(8)6[(4)16]62 2 x x x =++=+-+ 21 (4)22 x =+- 图象开口方向向上，顶点（-4，-2）

初三二次函数的图像与性质

龙文教育学科导学教师:学生:年级：日期: 星期: 时段: 学情分析二次函数部分内容中考难度不大，所以本套教案注重于基础知识的准确掌握。课题二次函数的图像与性质学习目标与考点分析学习目标：1、理解二次函数的概念；会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数； 2、熟练的画出各种抛物线的图像，根据解析式的变化判断图像的平移方法； 3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。学习重点图像的平移；待定系数法求解析式学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导学习内容与过程教学内容：知识回顾 1.一般地，形如y=ax2 +bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，x 是自变量， a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项. 2.二次函数的解析式及其对称轴（1）二次函数解析式的一般式（通式）：，它的顶点坐标为（，），对称轴为；（2）二次函数解析式的顶点式（通式）：，顶点坐标为（，）对称轴是；（3）二次函数解析式的交点式：。此时抛物线的对称轴为。其中，（x 1,0）（x 2 ,0）是抛物线与X轴的交点坐标。显然，与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的 3.二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质 4.二次函数的平移问题 5. 二次函数y=ax2 +bx+c中a，b，c的符号与图像性质的关系： 6.抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系

二次函数的常规解法：一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y＝ax2+bx+c(a≠0)求解。我们称y＝ax2+bx+c(a≠0)为一般式（三点式）。例：二次函数图象经过A(1，3)、B(-1，5)、C(2，-1)三点，求此二次函数的解析式。说明：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入y＝ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，可选用y＝a（x＋m）2+k (a≠0)求解。我们称y ＝a（x＋m）2+k (a≠0)为顶点式（配方式）。例：若二次函数图像的顶点坐标为（－2,3），且过点（－3,5）,求此二次函数的解析式。说明：由于顶点式中要确定a、m、k的值，而已知顶点坐标即已知了－m、k的值。用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的，不妨让学生尝试一下加深印象。三、若已知二次函数与X轴的交点坐标是A(x1,0) 、B(x2,0)时, 可选用y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)求解。我们称y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)为双根式（交点式）。例：已知一个二次函数的图象经过点A（－1，0）、B（3，0）和C（0，－3）三点，求此二次函数的解析式。说明：很多同学看到此例会想到使用一般式来解，将已知三点的坐标分别代入去求a、b、c的值来求此二次函数的解析式。往往忽略A、B两点的坐标就是二次函数图象与x轴的交点坐标，而用双根式来求解就相对比较简单容易。四、若已知二次函数在X轴上截得的线段长为d时，可选用或例：抛物线y＝2x2-mx-6在X轴截锝线段长为4，求此二次函数的解析式。说明：对于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长d的推导过程，记住公式套进去就行了。注意相互之间不要混淆。总之，要求一个二次函数的解析式，可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法，使计算过程简单化，达到迅速解题的目的。当然，也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数，才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法，提高解题能力。二次函数的概念如果y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)，那么y叫做x的二次函数注意：二次函数的表达形式为整式，且二次项系数不为0，b ，c可分别为0，也可同时为0 自变量的取值范围是全体实数练习：

二次函数单元测试卷(答案)

二次函数单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分） 1. 已知点 )8,a （在二次函数2ax y =的图象上，则a 的值是（）。 A. 2 B. -2 C. ±2 D. 2± 2.已知二次函数的解析式为()122+-=x y ,则该二次函数图象的顶点坐标是 ( ) A. (-2,1) B. (2,1) C. (2,-1) D. (1,2) 3. 把抛物线23x y =先向左平移3个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线的解析式是( ) A.2)3(32-+=x y B.2)3(32++=x y C.2)3-(32-=x y D.2)3-(32+=x y 4. 下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0,1)的是（）。 A. 1)2(2+-=x y B. 1)2(2++=x y C. 3-)2(2-=x y D. 3-)2(2+=x y 5. 函数342--=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式是（）。 A. 1)2(2+-=x y B. 1)2(2++=x y C. 7-)2(2-=x y D. 7)2(2++=x y 6. 抛物线322--=x x y ，则图象与x 轴交点个数为( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 抛物线c bx x y ++-=22的顶点坐标是()21， ,则b 、c 的值分别是( ) A. 4,0 B. 4,1 C. -4,1 D. -4,0 8. 小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线5.32.02+-=x y 的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（）。 A. 3.5m B. 4m C. 4.5m D. 4.6m 9.已知二次函数的图象)30(≤≤x ，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）。 A. 有最小值0，有最大值3 B. 最小值-1，有最大值0 C. 有最小值-1，有最大值3 D. 有最小值-1，无最大值 10.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列结论： ①042>-ac b ；②abc<0；③8a+c>0；④9a+3b+c<0。其中，正确结论的个数是（）。 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 二次函数3)2(2+-=x y 的一般形式为 . 12. 写出一个开口向上，顶点坐标是（-2，1）的函数解析式 . 13. 已知一个二次函数图象的形状与抛物线24x y =相同,它的顶点坐标是（2,4）,求该二次函数的表达式为 . 14. 若抛物线)3(2+++=k kx x y 经过原点,则k= . 15. 已知 ),4(),,2(),1321y y y ---，（是抛物线m x x y +--=822上的点，那么321,,y y y 的大小关系是 . 16. 如图的一座拱桥，当水面宽AB 为12m 时，桥洞顶部离水面4m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是4)6(9 1 2+--=x y ，则选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式是_________. 17. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）关于水平距离x （m ）的函数表达式为3)4(12 1 2+--=x y (如图所示)，由此可知铅球推出的距离是_____ m. 18. 二次函数23 2x y =的图象如图所示，点0A 位于坐标原点，点1A ，2A ，3A ，…，2017A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，2017B 在二次函数2 3 2x y = 位于第一象限的图象上，若110A B A △，221A B A △，332A B A △，…，201720172016A B A △都为等边三角形，则110A B A △的边长=________，201720172016A B A △的边长=_______．

二次函数图像与性质总结

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -．六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

二次函数的图像及性质

《二次函数的图像及性质》教学案例及反思教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么？学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. （学生表现很踊跃，一下写出了十多个）教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型？学生：（讨论了3分钟）四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了！同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质！教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材！) 教师启发学生利用函数中的“列表，描点，连线”的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？学生；不一样. 教师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾）学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的）学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏）热烈讨论后，学生D回答并板书，当a>0时，图象在原点的上方，当a<0时，图象在原点的下方。学生E:当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! （这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路）教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？学生：（七嘴八舌）当a>0时，图象从左上向下走到原点后在向右上爬；当a<0时，图象从左下向上爬到原点后在向右下走（未出现教师所预期的结论）教师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？

第26章二次函数单元测试卷(含答案)

第二十六章二次函数单元测试卷班级姓名座号成绩一、选择题(每题5分,共30 分) 1.下列各式中,y 是x 的二次函数的是( B ) A.2 1xy x += B.220x y -+= C.21y x = D.243y x -= 2.抛物线2 2(3)4y x =-+-的顶点坐标是( A ) A.(-3, -4) B.(-3, 4) C.(3, -4) D.(-4, 3) 3.把二次函数23y x =的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得到的图象对应的二次函数表达式是( D ) A.23(2)1y x =-+ B.23(2)1y x =+- C.23(2)1y x =-- D.23(2)1y x =++ 4.二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论 ①0a >,②0c >,③240b ac ->,其中正确的有( C ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.根据下列表格中的二次函数2(0,)y ax bx c a a b c =++≠、、为常数的自变量x 与函数y 的2C.1.44＜x ＜1.45 D.1.45＜x ＜1.46 6.在同一直角坐标系中,一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =+的图象大致为( B ) 二、填空题(每题5分,共30分) 7.抛物线2245=++y x x 的对称轴是直线1x =-. 8.把二次函数247y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式是 2(2)3y x =-+. 9.抛物线294y x px =-+与x 轴只有一个公共点,则p 的值是12 ±. 10.汽车刹车后行驶的距离s (单位:m )与行驶的时间t (单位:s )的函数关系式是 2124s t t =-,汽车刹车后到停下来前进了9 m . 11.已知二次函数23(1)y x k =-+的图象上有三点1)A y ,2(2,)B y ,3()C y ,则1y 、 2y 、3y 的大小关系为 >> 321y y y . 12.二次函数223y x x =-++的图象与x 轴交于A B 、两点,P 为它的顶点,则PAB S ?= 8 . A B D