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1997考研数三真题及解析

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) (1) 设()(ln )f x y f x e =,其中f 可微,则dy =___________. (2)

若1201()()1f x f x dx x

++,则10()f x dx =?___________. (3) 差分方程12t t t y y t +-=的通解为___________.

(4) 若二次型222

1231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的,则t 的取值范围是

___________.

(5) 设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布2

(0,3)N ,而19,

,X X 和19,,Y Y 分

别是来自总体X Y 和的简单随机样本,

则统计量U =

服从___________

分布(2分),参数为___________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设56

1cos 2

()sin ,()56

x x f x t dt g x -=

=+?

,则当0x →时,()f x 是()g x 的 ( )

(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小

(2) 若()()()f x f x x -=-∞<<+∞,在(,0)-∞内()0f x '>,且()0f x ''<,则在(0,)

+∞内有 ( ) (A) ()0f x '>,()0f x ''< (B) ()0f x '>,()0f x ''> (C) ()0f x '<,()0f x ''< (D) ()0f x '<,()0f x ''>

(3) 设向量组1α,2α,3α线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( )

(A) 12αα+,23αα+,31αα- (B) 12αα+,23αα+,1232ααα++ (C) 122αα+,2323αα+,313αα+

(D) 123ααα++,1232322ααα-+,123355ααα+-

(4) 设,A B 为同阶可逆矩阵,则 ( )

(A) AB BA = (B) 存在可逆矩阵P ,使1

P AP B -=

C AC B = (D) 存在可逆矩阵P 和Q ,使PAQ B = (5) 设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布：{}{}1

11,2

P X P Y =-==-=

{}1P X = {}1

12P Y ===

,则下列各式中成立的是 ( ) (A) {}1

2P X Y == (B) {}1P X Y ==

14P XY ==

三、(本题满分6分)

在经济学中,称函数

1()[(1)]x

Q x A K

L δδ-

--=+-

为固定替代弹性生产函数,而称函数

1Q AK L δδ-=

为Cobb-Douglas 生产函数(简称C —D 生产函数).

试证明：但0x →时,固定替代弹性生产函数变为C —D 生产函数,即有

lim ()x Q x Q →=.

四、(本题满分5分)

设(,,)u f x y z =有连续偏导数,()y y x =和()z z x =分别由方程0xy

e y -=和

0x e xz -=所确定,求

du dx

五、(本题满分6分)

一商家销售某种商品的价格满足关系70.2p x =-(万元/吨),x 为销售量(单位：吨),商品的成本函数31C x =+(万元).

(1) 若每销售一吨商品,政府要征税t (万元),求该商家获最大利润时的销售量； (2) t 为何值时,政府税收总额最大.

六、(本题满分6分)

设函数()f x 在[0,)+∞上连续、单调不减且(0)0f ≥,试证函数

1(),0,()0,0,x n

t f t dt x F x x x ?>?

=??=?

?若若在[0,)+∞上连续且单调不减(其中0n >).

七、(本题满分6分)

从点1(1,0)P 作x 轴的垂线,交抛物线2

y x =于点1(1,1)Q ；再从1Q 作这条抛物线的切线

与x 轴交于2P ,然后又从2P 作x 轴的垂线,交抛物线于点2Q ,依次重复上述过程得到一系列的点1122,;,;

;,;

n n P Q P Q P Q .

(1) 求n OP ；

(2) 求级数1122n n Q P Q P Q P ++

的和.

其中(1)n n ≥为自然数,而12M M 表示点1M 与2M 之间的距离.

八、(本题满分6分)

设函数()f t 在[0,)+∞上连续,且满足方程

44()t x y t f t e f dxdy π+≤=+

, 求()f t .

九、(本题满分6分)

设A 为n 阶非奇异矩阵,α为n 维列向量,b 为常数.记分块矩阵

0,T T E A P Q A

A b ααα*

????

==????-??

，其中A *

是矩阵A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵. (1) 计算并化简PQ ；

(2) 证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是1

A b αα-≠.

十、(本题满分10分)

设三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3；矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是

12(1,1,1),(1,2,1)T T αα=--=--.

(1) 求A 的属于特征值3的特征向量； (2) 求矩阵A .

十一、(本题满分7分)

假设随机变量X 的绝对值不大于1；11

{1},{1}84

P X P X =-=

==；在事件 {11}X -<<出现的条件下,X 在(1,1)-内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长

度成正比.试求X 的分布函数(){}F x P X x =≤.

十二、(本题满分6分)

游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行. 假设一游客在早晨八点的第X 分钟到达底层候梯处,且X 在[0,60]上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望.

十三、(本题满分6分)

两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动.

试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度()f t 、数学期望和方差.

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)

(1)【答案】

()()()()1

[ln ln ]f x e f x f x f x dx x

''+ 【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下：

由()(ln )f x y f x e = 可知

()()()()()()()()()1

ln ln 1

[ln ln ].

f x f x f x dy f x e dx f x e f x dx x

e f x f x f x dx x

''=

+''=+

(2)【答案】

4π

【分析】本题中1

()f x dx ?

是个常数,只要定出这个数问题就解决了.

【解析】令

()f x dx A =?

则2

1()1f x x

++两边从0到1作定积分得

2001dx A A x =++?

?10arctan 444

x A A πππ=+=+, 解得4A π

【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.

本题中出现的积分

表示单位圆

在第一象限部分的面积,可直接根据几何意义求得.考生务必注意这种技巧的应用. (3)【答案】(2)2t t y C t =+-

【解析】对应的齐次差分方程是10t t y y +-=,显然有不恒等于零的特解1t y =. 因方程的右端函数()2t

f t t =,可设非齐次差分方程的特解有形式

()2t y At B *=+,

代入方程得 (2)22,

0,1,2,

At A B t t ++==由于20t ≠,于是

2,0,1,2,

.At A B t t ++==

可确定1,2A B ==-,即非齐次差分方程有一个特解是(2)2t

y t *=-. 从而,差分方程的通解是(2)2t t y C t =+-. (4)【答案

】t <<

【解析】二次型123(,,)f x x x 对应的矩阵为

2101

12012

t A t ????????=???????

. 因为f 正定?A 的顺序主子式全大于零.又

2123211

211112

,,A t ?=?=

=?==-, 故f 正定?2

1102

t -

即t <(5)【答案】t 分布,参数为9 【解析】由19,

,X X 是来自总体X 的简单随机样本,故19,,X X 独立,且都服从正态

分布2

(0,3)N .类似有19,

,Y Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N .

又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布,即

219~(,)X X X N '=+

+μσ.

其中19()()E X E X X '==+

+μ,219()()D X D X X σ'==+

+. 由期望的性质,19129()()0E X E X X EX EX EX '==+

+=++

+=μ；

由独立随机变量方差的性质,21919()()81D X D X X DX DX σ'==++=++=,

故2

~(0,9)X N '.

因219,

,~(0,3)Y Y N ,故

~(0,1),(1,2,,9)3

i Y N i -=,所以,

21~(9)3i i Y Y χ=??

'= ???

∑.

由t 分布的定义,现已有2

~(0,9)X N ',将其标准化得0~(0,1)9X N '-,

~(9)X t '-.

~(9)t ,

~(9)t =

【相关知识点】1.数学期望的性质：()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,其中,,a b c 为常数.

2.方差的性质：X 与Y 相互独立时,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.

3.2χ分布的定义：若1,

,n Z Z 相互独立,且都服从标准正态分布(0,1)N ,则

~(1)i

Z χ,221

~()n

i i Z n χ=∑.

4.若2

~(,)Z N u σ,则

~(0,1)Z u

N σ

5.t 分布的定义：若~(0,1)X N ,2~()Y n χ,,X Y 独立,

则~()T t n =

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)【答案】(B)

【分析】只要求出极限 0

()

lim

()

x f x g x →就能判断出正确的选项. 【解析】用变上限积分求导公式及重要的等价无穷小关系,得

1cos 220

56400052

44000sin ()(sin )sin(1cos )lim lim lim ()(1)

5611(1cos )4lim lim lim 0,1x

x x x x x x t dt f x x x x x g x x x x x x x x

x -→→→→→→-==++-===+?

故应选(B).

【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()

()

()()t t F t f x dx βα

=?,()t α,()t β均一

阶可导,则

[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=?-?.

2.无穷小的比较：

设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()

lim ()

x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()

()x x αβ；

(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若()

lim

()

x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (2)【答案】(C)

【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题.

方法1：由()()f x f x -=(,)-∞+∞知,()f x 的图形关于y 轴对称.由在(,0)-∞内,

()0f x '>且()0f x ''<知,()f x 的图形在(,0)-∞内单调上升且是凸的；由对称性知,在

(0,)+∞内,()f x 的图形单调下降,且是凸的,所以应选(C).

方法2：由()()f x f x -=可知()(),()()f x f x f x f x ''''''--=-=.

当(0,)x ∈+∞时,(,0)x -∈-∞,此时由题设知()0f x '->,()0f x ''-<,则

()0,()0,(0,)f x f x x '''<<∈+∞,

故应选(C).

方法3：排除法.取2

()f x x =-,易验证()f x 符合原题条件,计算可知(A)、(B)、(D)三个选

项均不正确,故应选(C).

方法4：由题设可知()f x 是一个二阶可导的偶函数,则()f x '为奇函数,()f x ''为偶函数,又在(,0)-∞内()0,()0f x f x '''><,则在(0,)+∞内()0,()0f x f x '''<<,故应选(C). (3)【答案】(C)

【分析】这一类题目最好把观察法与123123(,,)(,,)C βββααα=技巧相结合. 【解析】对于(A),()()()1223310αααααα+-++-=,即存在一组不全为零的数1, -1,1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知122331,,αααααα++-线性相关,排除(A)；

对于(B),()()()122312320ααααααα+++-++=,即存在一组不全为零的数1,1,

-1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知1223123,,2ααααααα++++线性相关,排除(B)；

对于(C),简单的加加减减得不到零,就不应继续观察下去,而应立即转为计算行列式.设有数123k ,k ,k ,使得

()()()11222331322330k k k αααααα+++++=,

整理得 ()()()13112223322330.k k k k k k a αα+++++=

已知1α,2α,3α线性无关,上式成立,当且仅当13122

30220330

k k k k k k +=??

+=??+=? ①

因①的系数行列式101

20120033

=≠,故①有唯一零解,即1230k k k ===.故原向量组

122αα+,2323αα+,313αα+线性无关.应选(C).

或者也可以将122αα+,2323αα+,313αα+用123,,ααα线性表出,且写成矩阵形式,有

[][][]1223311231231012,23,3,,220,,033C αααααααααααα??

+++==??????

记

120C =≠,则C 可逆,故两向量组是等价向量组,由1α,2α,3α线性无关知122αα+, 2323αα+,313αα+线性无关.

(4)【答案】(D)

【解析】方法1：用排除法.任意两个同阶可逆矩阵不具备乘法的交换律,不一定相似,也不一定合同.

例如,若10100302A ,B -????

==?

???

????

,由于特征值不同,故不相似,又对应二次型的正、负惯性指数不同,故也不合同,(B)、(C)不成立；

若10100302A ,B -????

==?

???

????

,则 111012030206AB --??????

==??????

??????

101111020306BA ,---??????==??????

??????

AB BA ≠. 故(A)不成立；应取(D).

方法2：因,A B 是同阶(设为n )可逆阵,故有()()r A r B n,==而

()()r A r B =?,A B 等价?存在可逆阵P,Q 使得PAQ B.=

(这里只需取1P A ,Q B,-==既有1PAQ A BA B -==成立),故应选(D). 或者,因,A B 是同阶可逆阵,故,A B 均可以通过初等行变换化成单位阵,

A E,

B E,→→行变换行变换

即存在初等阵1212s r P P,P ,

P ,W W ,W W ,==使得

PA E,WB E ==,

从而有PA E WB ==,得1

PAW PAQ B -==()

1W Q -=.故(D)成立.

(5)【答案】(A)

【解析】因X 和Y 相互独立, 而

{}{}{}{}11

11,1122

P X P Y P X P Y =-==-=====,

故有：

{}{}{}111

1,111224P X Y P X P Y =-=-==-=-=?=；

{}{}{}111

1,111224P X Y P X P Y =-===-==?=；

{}{}{}111

1,111224P X Y P X P Y ==-===-=?=；

{}{}{}111

1,111224

P X Y P X P Y ======?=；

{}{}{}111

1,11,1442

P X Y P X Y P X Y ===-=-+===+=,

故(A)正确,(B)错；

{}{}{}11101,11,1442

P X Y P X Y P X Y +===-=+=-==

+=, 故(C)错；

{}{}{}11111,11,1442

P XY P X Y P X Y ===-=-+===

+=, 故(D)错.

三、(本题满分6分.)

【分析】要证明0

lim ()x Q x Q →=,只须证明0

lim ln ()ln x Q x Q →=即可,因为()Q x 为指数函数,因

此化为对数形式便于极限计算. 【解析】因为1

ln ()ln ln[(1)]x x Q x A K L x

--=-

+-δδ,而且 001ln[(1)]lim ln (1)ln lim (1)ln (1)ln ln(),

x x x x x x x x K L x

K K L L K L K L K L --→----→-+----=+-=---=-δδδδδδδδδδ

所以, 110

limln ()ln ln()ln()x Q x A K L

AK L --→=+=δδ

δδ,

于是, 10

lim ()x Q x AK L

Q -→==δδ

四、(本题满分5分.) 【解析】由题设有

du f f dy f dz dx x y dx z dx

???=++???. (*) 在0xy e y -=中,将y 视为x 的函数,两边对x 求导,得

()011xy xy

dy dy dy ye y e y x dx dx dx xe xy

+-=?==--. (1) 在0z

e xz -=中,将z 视为x 的函数,两边对x 求导,得

z dz dz dz z z e z x dx dx dx e x xy x

--=?==--. (2) 将(1)、(2)两式代入(*)式,得

21du f y f z f

dx x xy y xy x z

???=++

?-?-?. 【相关知识点】1.多元复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且

,z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y

??????????=+=+??????????.

五、(本题满分6分)

【分析】要求获得最大利润时的销售量,需写出利润与销售量之间的的关系()x π,它是商品销售总收入减去成本和政府税收.正确写出()x π后,满足0()0x π'=的0x 即为利润最大时的销售量,此时,0()x t 是t 的函数,当商家获得最大利润时,政府税收总额()T tx t =,再由导数知识即可求出既保证商家获利最多,又保证政府税收总额达到最大的税值t . 【解析】(1)设T 为总税额,则T tx =.商品销售总收入为

2(70.2)70.2R px x x x x ==-=-.

利润函数为 2270.2310.2(4)1R C T x x x tx x t x =--=----=-+--π.

令()0x π'=,即0.440x t -+-=,得45

(4)0.42

t x t -==-. 由于()0.40x π''=-<,因此,5

(4)2

x t =

-即为利润最大时的销售量. (2)将5(4)2x t =-代入T tx =,得5(4)2T t t =?-2

5102

t t =-.

由()1050T t t '=-=,得惟一驻点2t =；由于()50T t ''=-<,可见当2t =时T 有极大值,这时也是最大值,此时政府税收总额最大.

六、(本题满分6分)

【分析】当0x >时,()F x 显然连续,故只要证0

lim ()(0)x F x F +

→=,且当0x >时,()0F x ''≥即可.

【解析】方法1：显然0x >时,()F x 连续,又由洛必达法则知

()lim ()lim lim ()0(0)x

n n

x x x t f t dt F x x f x F x

→→→====?

, 所以()F x 在[0,)+∞上连续.

当(0,)x ∈+∞时,

110

()()()()(),0x

n n n n x f x t f t dt

x f x f x F x x x

++--'=

=<,从而()()n n

x f x f ≥ξξ.

于是有()()0

0F x x '≥<<+∞.故()F x 在[0,)+∞上单调不减.

方法2：连续性证明同上.由于

()()()()()[()()]0,

n n x

x x

n n

f x t f t dt

F x x

x f x dt t f t dt

x f x t f t dt

+-'=

--=

≥????

可见,()F x 在[0,)+∞上单调不减.

【评注】本题主要考查变上限定积分求导,洛必达法则.请考生注意本题两种证法中对于

()F x '的不同处理方法.

【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()

()

()()t t F t f x dx βα

=?,()t α,()t β均一

阶可导,则

[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=?-?.

七、(本题满分6分)

【分析】先作出草图,再求出曲线2y x =在任一点2(,)a a 上的切线方程及其与x 轴的交点,然后依此类推,得出一系列与x 轴交点的坐标.最后进行相应计算即可. 【解析】(1)由2y x =,得2y x '=.对于任意(01)a a <≤, 抛物线2

y x =在点2

(,)a a 处的切线方程为

22()y a a x a -=-.

且该切线与x 轴的交点为(,0)2

,故由11OP =可见

322111

221111,

22221

n n OP OP OP OP OP -====?==

(2)由于()

111

n n n n

n Q P OP --??

===

???

,可见 11101144m

n n n n n m Q P ∞

∞

-===??

== ???

∑∑∑.

利用几何级数求和公式

(1)1n n x x x

∞

<-∑即得 1011414314

n n n m Q P ∞

∞

==??

=== ???-∑∑. 【评注】本题是级数与微分学的综合题,本题中所得的级数仍为收敛的几何级数,利用几何级数求和公式即可求出它的和.

八、(本题满分6分)

【解析】将直角坐标化为极坐标,由于

2220004()2()22

t t x y t r r

f dxdy d f rdr rf dr +≤==??

???πθπ,

可得2

240()2()2t t r f t e

rf dr =+?ππ.在积分中作换元2r

s =,又有

200()4()2t t r

r f dr sf s ds =??.

于是,()f t 满足积分关系式2

()8()t

t f t sf s ds e

=+?ππ

在上式中令0t =得(0)1f =.利用变上限积分的求导公式,将上式两端对t 求导,得

4()8()8t f t tf t te '-=πππ.

上述方程为关于()f t 的一阶线性微分方程,利用一阶线性微分方程通解公式,得

24()(4)t f t t C e =+ππ,其中常数C 待定.

由(0)1f =可确定常数1C =,因此,2

24()(41)t f t t e =+ππ. 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()

()

()()t t F t f x dx βα

=?,()t α,()t β均一

阶可导,则

[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=?-?.

2. 一阶线性非齐次微分方程的标准形式为()()y p x y q x '+=,其通解公式为

()()(())p x dx p x dx

y e q x e dx C -??=+?,其中C 为常数.

九、(本题满分6分)

【解析】(1)由*

AA A A A E ==及1

A A A -=,有

()*1

0.0T T T

T T T E

A A PQ A A A A A A b A b A A b A ααααααααααα**-????

??==??????--+-+?

?????

=??-????

(2)用行列式拉普拉斯展开式及行列式乘法公式,有

0T E P A A A

α*

=-,

()

()2

A P Q PQ A

b A A b A α

ααα--==

=--

又因A 是非奇异矩阵,所以0A ≠,故(

)

T Q A b A αα-=-.

由此可知Q 可逆的充要条件是0Q ≠,即10T b A αα--≠,亦即1

T A b αα-≠. 评注：本题考查分块矩阵的运算,要看清1

A αα-是1阶矩阵,是一个数.

【相关知识点】1.两种特殊的拉普拉斯展开式：设A 是m 阶矩阵,B 是n 阶矩阵,则

*,*A O A A B B O B ==? ()*1*mn

A A A

B B B O

==-?. 2.行列式乘积公式：设,A B 是两个n 阶矩阵,则乘积AB 的行列式等于A 和B 的行列式的乘积,即AB A B =.

十、(本题满分10分)

【解析】(1)设A 的属于3λ=的特征向量为[]3123T

x ,x ,x =α,因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交,故

1312323123020T T

x x x ,

x x x .

?=--+=??=--=??αααα 解上述方程组,设方程组的系数矩阵为111121B --??

?--??

,对B 进行初等行变换：

111111101121030010B ----??????

=→→??????

---??????

, 系数矩阵的秩为2,根据基础解系的个数与系数矩阵秩之间的关系,我们得到基础解系的个数为1,解得 []101T

,,,即A 的对应于3λ=的特征向量为[]3101T

k ,,,α=其中k 为非零常

数.

(2)方法1：令[]123111120111P ,,-????==--????-??ααα,则有1

100020003P AP ,-????==Λ??????

即1

A P P -=Λ,其中1

P -计算如下：

[][][]()[][]

[][][]()[][]()[][][]()211311

31222313131121111100111100120010031110111001002

101111110333221101001111103010

102263600100

111110

0222P E +?-+????- ?+?-??+?-+?---????

????=--→---???

?????-????

??---??-????

→--→--??

????????2?????????????

???

得 1

21121

6303P --

-??

??=

--???

???

, 1

1111002221325111200201212102661110033035213A P P -----????????

????????=Λ=----=-?

???????????????-????????

方法2：因A 是对称矩阵,不同特征值对应的特征向量互相正交,故存在正交阵Q (对P 单位

化),使1T Q AQ Q AQ -==Λ,T A Q Q =Λ,其中0Q ?????=???????

100

0020

003

1325

02102

521

A Q Q

???

=Λ=???

???

???-

???

==-

???

方法3：由于矩阵A的特征值是1,2,3,特征向量依次为

123

ααα,利用分块矩阵有

123123

(,,)(,2,3)

αααααα.

因为

123

ααα是不同特征值的特征向量,它们线性无关,于是矩阵

123

(,,)

ααα可逆.故

123123

123111

(,2,3)(,,)140120

123111

1232221325

1401212102.

1233035213

????

==----

????

----

??????

=----=-

??????

αααααα

【评注】本题有两个难点,一是能否由“实对称矩阵”挖掘出隐含的信息,通过正交性求出

α,另一个难点就是反求矩阵A.

十一、(本题满分7分)

【分析】求分布函数(){}

F x P X x

=≤实质上是求{}

X x

≤的概率.

【解析】由X的绝对值不大于1,可得

当1

x<-时,{}

()0

F x P X x

=≤=；

当1

x≥时,{}

()1

F x P X x

=≤=；

又

{1},{1}

P X P X

=-===,则

115

{11}1{1}{1}1

848

P x P X P X

-<<=-=--==--=；

由题意X 在(1,1)-内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,那么当

X 的值属于(1,1)-的条件下,事件{}1X x -<≤的条件概率为：

{}(1)1

1|111(1)2

x x P X x X k

--+-<≤-<<==--(其中k 为比例正常数), 又 {}11|111P X X -<<-<<=,

而 {}11

11|112P X X k k +-<<-<<==, 所以1k =,故{}1

1|112

x P X x X +-<≤-<<=；

当11x -<<时,{}{}

{}1111X x X x X -<≤=-<≤-<<,

所以{}{}11,11P X x P X x X -<≤=-<≤-<<. 由条件概率公式,有

{}{}

{}11,111|11{11}1555

,2816

P X x P X x X P X x X P X x x -<≤=-<≤-<<=-<≤-<<-<<++=

?= {}{}{}()11F x P X x P X P X x =≤=≤-+-<≤,

而 {}{}{}11

111088

P X P X P X ≤-==-+<-=

+=, 所以 {}{}{}15557

()1181616

x x F x P X x P X P X x ++=≤=≤-+-<≤=+=,

故所求的X 的分布函数为0,1

57(),11161,1

x x F x x x <-??+?

=-≤

十二、(本题满分6分)

【解析】已知X 在[0,60]上均匀分布,则其密度函数为：

1,160,()60

x f x ?≤≤?=??? 其他.

设Y 表示游客等候电梯的时间(单位：分钟),由于电梯于每个整点的第5分钟,25分钟,

55分钟起行,则

当05X ≤≤时,游客需等候时间5Y X =-；当525X <≤时,游客需等候时间25Y X =-；当2555X <≤时,游客需等候时间55Y X =-；

当5560X <≤时,游客需等候时间60565Y X X =-+=-(这个时间段到达,就需要等下个整点的第５分钟,所以是605X -+).

故Y 是关于到达时刻X 的函数：5,05,

25,525,

()55,2555,65,

5560.

X X X X Y g X X X X X -≤≤??-<≤?

==?

-<≤??-<≤?

由随机变量函数期望的定义,有

25556005255511()()()()60601(5)(25)(55)(65)601

(12.520045037.5)11.67.60

EY g x f x dx g x dx g x dx x dx x dx x dx x dx +∞

+∞

-∞

===??=-+-+-+-????=+++=?

????? 【相关知识点】1.随机变量函数期望的定义：

若随机变量()Y g X =,且EY 存在,则有()()EY g x f x dx +∞-∞

=?.

十三、(本题满分6分)

【解析】设12X X 和表示先后开动的记录仪无故障工作的时间,则两台记录仪无故障工作的总时间为12T X X =+.

由于每台无故障工作的时间都服从参数为５的指数分布,则12X X 和的概率密度函数为

55,0()0,0x e x f x x -?>=?≤?

因为两台仪器是独立的,则其无故障工作的时间显然也是相互独立的,即12X X 和独立,应用两个独立随机变量之和的卷积公式：

当0t >时,T 的概率密度为

55()5120

()()()2525t

x t x t f t f x f t x dx e e dx te +∞

-----∞

=-==?

当0t ≤时,()0f t =,即

525,0,

()0,

0.t te t f t t -?>=?

≤? 由指数分布的期望和方差的结论,有

121

15EX EX λ==

=,1221125

DX DX λ===, 由期望的性质,有

1212112

()555ET E X X EX EX =+=+=

+=, 由独立随机变量方差的性质,有

1212112()252525

DT D X X DX DX =+=+=

+=. 【相关知识点】1.指数分布的期望和方差的结论：

若X 服从参数为λ的指数分布,则其期望1

EX λ

=,方差2

DX λ=

2. X 与Y 相互独立,数学期望和方差的性质:

()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,

22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,

其中,,a b c 为常数.