2018版高考数学复习平面向量课时达标检测二十五解三角形应用举例理

课时达标检测（二十五） 解三角形应用举例

[练基础小题——强化运算能力]

1.如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在

观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B

的( )

A ．北偏东10°

B ．北偏西10°

C ．南偏东80°

D ．南偏西80°

解析：选D 由条件及图可知，∠A ＝∠CBA ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.

2．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )

A ．240(3－1)m

B ．180(2－1)m

C ．120(3－1)m

D ．30(3＋1)m

解析：选C ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°

＝2－3，∴BC ＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)，故选C.

3.如图，某工程中要将一长为100 m ，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜

坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.

解析：设坡底需加长x m ，由正弦定理得100sin 30°＝x sin 45°

，解得x ＝100 2.

答案：100 2

4．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两

点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，

DA ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为________km.

解析：∵82＋52－2×8×5×cos(π－D )＝32＋52－2×3×5×cos D ，∴cos D ＝－12

.∴AC ＝49＝7(km)．

答案：7

5.如图，已知在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，

测得一轮船在海岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得

该船在海岛北偏西60°，俯角为60°的C 处．轮船沿BC 行驶一段时间后，

到达海岛的正西方向的D 处，此时轮船距海岛A 有________千米．

解析：由已知可求得AB ＝3，AC ＝33，BC ＝303

，所以sin ∠ACB ＝31010，cos ∠ACB ＝1010

.在△ACD 中，∠DAC ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝180°－∠ACB ，sin ∠ADC ＝sin(∠ACD ＋∠DAC )＝sin ∠ACD ·cos∠DAC ＋sin ∠DAC cos ∠ACD ＝330－1020，由正弦定理可求得AD ＝

AC ·sin∠ACD sin ∠ADC ＝9＋313. 答案：9＋313

[练常考题点——检验高考能力]

一、选择题

1．已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )

A ．10 km

B ．10 3 km

C ．10 5 km

D ．107 km

解析：选 D 如图所示，由余弦定理可得：AC 2＝100＋400－

2×10×20×cos 120°＝700，

∴AC ＝107(km)．

2．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往

河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从

码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的

速度为( )

A ．8 km/h

B ．6 2 km/h

C ．234 km/h

D ．10 km/h

解析：选B 设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速

度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得? ????110v 2＝? ??

??110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2

km/h.

3．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )

A ．10 2 海里

B ．10 3 海里

C ．20 3 海里

D ．20 2 海里

解析：选A 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB

＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°

，解得BC ＝102(海里)．

4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )

A ．50 m

B ．100 m

C ．120 m

D ．150 m 解析：选A 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠

BAC ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝

h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h

＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.

5．如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处

出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B 处时，发

现北偏西45°方向有一艘船C ，若船C 位于A 的北偏东30°方向上，则

缉私艇所在的B 处与船C 的距离是( )

A ．5(6＋2)km

B ．5(6－2)km

C ．10(6－2)km

D ．10(6＋2)km

解析：选C 由题意，知∠BAC ＝60°－30°＝30°，∠ABC ＝30°＋45°＝75°，则∠ACB ＝180°－75°－30°＝75°，∴AC ＝AB ＝40×12＝20(km)．由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos∠BAC ＝202＋202－2×20×20×cos 30°＝800－4003＝400(2－3)，∴BC ＝－3＝3－2＝102(3－1)＝10(6－2)km.故选C.

6.(2016·武汉武昌区调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头

南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )

A ．14 h

B ．15 h

C ．16 h

D ．17 h

解析：选B 记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得OB 2＝6002＋400t 2

－2×600×20t ×22，令OB 2≤4502，即4t 2－1202t ＋1 575≤0，解得302－152≤t ≤302＋152，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为302＋152－302－152

＝15(h)．

二、填空题

7.(2016·河南调研)如图，在山底A 点处测得山顶仰角∠CAB ＝

45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠

DSB ＝75°，则山高BC 为________米．

解析：由题图知∠BAS ＝45°－30°＝15°，∠ABS ＝45°－(90°

－∠DSB )＝30°，∴∠ASB ＝135°，

在△ABS 中，由正弦定理可得

1 000sin 30°＝AB sin 135°， ∴AB ＝1 0002，∴BC ＝

AB 2＝1 000(米)． 答案：1 000

8.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m 的铁塔AA 1和BB 1.已知从塔AA 1的底部看

塔BB 1顶部的仰角是从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角的2倍，从两

塔底部连线中点C 分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB 1的底

部看塔AA 1顶部的仰角的正切值为________；塔BB 1的高为________m.

解析：设从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角为α，则AA 1＝60tan

α，BB 1＝60tan 2α.

∵从两塔底部连线中点C 分别看两塔顶部的仰角互为余角，

∴△A 1AC ∽△CBB 1，

∴AA 1

30＝30

BB 1，∴AA 1·BB 1＝900，

∴3 600tan αtan 2α＝900，

∴tan α＝13，tan 2α＝34

， 则BB 1＝60tan 2α＝45(m)．

答案：13

45 9．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.

解析：如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，

ON ＝AO tan 30°＝30×33＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得，

MN ＝ 900＋300－2×30×103×32

＝300＝103(m)．

答案：10 3

10．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m

．(取 2＝1.4, 3＝1.7)

解析：如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝

15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°.AB ＝50×420＝21 000(m)．又

在△ABC 中，BC

sin A ＝AB

sin ∠ACB ，∴BC ＝21 0001

2

×sin 15°＝10 500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin∠DBC ＝10 500(6－2)×

22＝10 500(3－1)＝7 350(m)．

故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)．

答案：2 650

三、解答题

11.已知在岛A 南偏西38° 方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私

艇．岛A 处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22° 方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？

?

????参考数据：sin 38°＝5314，sin 22°＝3314

解：如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，

缉私艇的速度为每小时x 海里，则BC ＝0.5x ，AC ＝5海里，依题意，∠

BAC ＝180°－38°－22°＝120°，

由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°，

所以BC 2＝49，BC ＝0.5x ＝7，解得x ＝14. 又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin∠BAC BC ＝5×327＝5314

， 所以∠ABC ＝38°，

又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，

故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．

12.已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一个发射塔A ，B ，塔顶A ，B 的海拔

高度分别为AM ＝100米和BN ＝200米，一测量车在小山M 的正南方向

的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向

行驶了1003米后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B 处的仰角为θ，

且∠BQA ＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A ，B 之间的距离．

解：在Rt △AMP 中，∠APM ＝30°，AM ＝100，

∴PM ＝100 3.连接QM (图略)，

在△PQM 中，∠QPM ＝60°，又PQ ＝1003，

∴△PQM 为等边三角形，

∴QM ＝100 3.

在Rt △AMQ 中，由AQ 2＝AM 2＋QM 2，得AQ ＝200.

在Rt △BNQ 中，tan θ＝2，BN ＝200，

∴BQ ＝1005，cos θ＝

55. 在△BQA 中，BA 2＝BQ 2＋AQ 2－2BQ ·AQ cos θ＝50 000，

∴BA ＝100 5.

即两发射塔顶A ，B 之间的距离是1005米．