量子力学练习题
第 五 篇
第 一 章 波粒二象性 玻尔理论
一、选择题
1. 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出电势是U 0 (使电子从金属逸出需作功eU 0)，则此单色光的波长λ必须满足： [ A ] (A) 0eU hc ≤
λ (B) 0
eU hc
≥λ (C) hc eU 0≤λ (D) hc eU 0≥λ
解：红限频率与红限波长满足关系式hv 0=
λhc
=eU 0，即0
0eU hc =
λ 0λλ≤才能发生光电效应，所以λ必须满足0
eU hc
≤
λ 2. 在X 射线散射实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则入射光光子能量0ε与散射光光子能量ε之比ε0
为
[ B ] (A) 0.8 (B) 1.2 (C) 1.6 (D) 2.0
解： λ
εhc
=
，0
0λεhc
=
，02.1λλ= ，所以
2.10
0==λλεε 3. 以下一些材料的功函数(逸出功)为
铍 -----3.9 eV 钯 ---- 5.0 eV 铯 ---- 1.9 eV 钨 ---- 4.5 eV 今要制造能在可见光(频率范围为3.9×1014 Hz ~ 7.5×1014Hz)下工作的光电管，在这些材料中应选
[ C ] (A) 钨 (B) 钯 (C) 铯 (D) 铍
解：可见光的频率应大于金属材料的红限频率0νh , 才会发生光电效应。这些金属的红限频率由A h =0ν可以得到：
1419
34
)(01086.101063.610
6.15.4?=???=
--钨ν(Hz)
1419
34
)(01007.121063.610
6.10.5?=???=
--钯ν(Hz) 1419
34
) (01059.41063.610
6.19.1?=???=
--铯ν(Hz) 1419
34
)(01041.91063.610
6.19.3?=???=
--铍ν(Hz)
可见应选铯
4. 以一定频率的单色光照射在某种金属上，测出其光电流曲线在图中用实线表示。然后保持光的频率不变，增大照射光的强度，测出其光电流曲线在图中用虚线表示，满足题意的图是 [ B ]
解：
光的强度I=Nhv , 其中N 为单位时间内通过垂直于光线的单位面积的光子数。保持频率v 不变，增大光强
I ，则光子数N 增加，光电子数也随之增加，电流i 也增加，截止电压与频率有关，因之不变。所以选B
5. 氢原子从能量为 -0.85eV 的状态跃迁到激发能(从基态到激发态所需的能量)为10.19eV 的状态时，所发射的光子的能量为
[ A ] (A) 2.56eV (B) 3.41eV (C) 4.25eV (D) 9.95eV
解：激发态的能量 (eV)41.319.1036.11-=+-=?+=E E E n
发射出的光子能量为
(e V)
56.2)85.0(41.3=---=-=E E n ε
6. 假定氢原子原来是静止的，则氢原子从n =3的激发态直接通过辐射跃迁到基态的反冲速度大约为
[ C ] (A) 10m ?s -1 (B) 100 m ?s -1 (C) 4 m ?s -1 (D) 400 m ?s -1
(氢原子的质量m =1.67× 10-27
kg)
解：从 n = 3 到n = 1辐射光子的能量为13E E h -=ν,
动量大小为c
h h
p νλ
=
=
光， 氢原子辐射光子前后动量守恒，有 氢光p p -=0, 光氢p p =，
所以，反冲速度为 410
31067.1131
6.13 8
272=???-?-===-）（
氢氢氢m c h m p v ν
(m ?s 1-) 7. 静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长λ与速度v 有如下关系： [ C ] (A) v ∝λ (B) v 1
∝
λ (C) 2
211c
v -∝λ (D) 2
2v c -∝λ 解：由德布罗意公式和相对论质 — 速公式 2
201
1c v m mv h
p -=
==
λ
得2
20
1
1c v m h -
=λ，即2211c v -∝λ
(A)(B)(C)(D)
8. 不确定关系式 ≥???x p x 表示在x 方向上
[ D ] (A) 粒子位置不能确定 (B) 粒子动量不能确定
(C) 粒子位置和动量都不能确定 (D) 粒子位置和动量不能同时确定
9. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将 [ D ] (A) 增大2
D 倍。 (B) 增大2D 倍。 (C) 增大D 倍。 (D) 不变。
10. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：
)(23cos
1)(a x a a x a
x ≤≤-=
πψ
那么粒子在6
5a
x =处出现的概率密度为 [ A ] a 21(A)
a 1(B) a
21(C) a 1(D) 解：概率密度 )23(cos 1)(22
a
x
a x πψ=
将65a x =代入上式，得 a
a a a x 21)6523(cos 1)(22=?=πψ
11. 波长 λ = 5000 ?的光沿x 轴正方向传播，若光的波长的不确定量?λ=103
-?，则利用不
确定关系h p x x ≥???可得光子的x 坐标的不确定量至少为：
[ C ] (A) 25cm （B ）50cm (C) 250cm (D) 500cm 解：由公式p =
λ
h
知： △3
2
2
105000
-?-
=?-
=h h
p λλ 利用不确定关系h p x x ≥???，可得光子的x 坐标满足
91025?=?≥
?x
p h
x ?=250cm 二、填空题
1. 当波长为300nm (1nm =10-9
m) 的光照射在某金属表面时， 光电子的动能范围为0 ~ 4.0×10-19J 。此金属的遏止电压为|U a | = 2.5 V, 红限频率为0ν = 4.0×1014 Hz 。 (普朗克常量h = 6.63×10-34J·s ,基本电荷e =1.6×10
-19
C)
解：遏止电压为 |U a |=5.2106.1100.419
19
k =??=--e E m (V) 由光电效应方程 m E h h k 0+=νν, 得红限频率
14
34
1998k k 0100.410
63.610410300103?=??-??=-=-=---h E c h E hv m m λν(Hz) 2. 某光电管阴极对于λ = 4910 ?的入射光, 发射光电子的遏止电压为0.71伏。当入射光的波长为 3.82×103 ?时, 其遏止电压变为1.43伏。( e = 1.60×10
-19
C, h = 6.63×10-34J·s)
3. 康普顿散射中, 当出射光子与入射光子方向成夹角θ = π 时, 光子的频率减少得最
多；当θ = 0 时, 光子的频率保持不变。
4. 氢原子的部分能级跃迁示意如图。在这些能级跃迁中,
(1) 从 n = 4 的能级跃迁到 n = 1 的能级时
发射的光子的波长最短; (2) 从 n = 4 的能级跃迁到 n = 3 的能级
时所发射的光子的频率最小。 5. 氢原子从能级为 -0.85eV 的状态跃迁到能级为 -3.4eV
的状态时, 所发射的光子能量是 2.55 eV, 它是电子从n = 4 的能级到 n = 2 的能级的跃迁。
6. 处于基态的氢原子吸收了13.06eV 的能量后, 可激发到n = 5 的能级。当它跃迁回到基态时, 可能辐射的光谱线有 10 条。
7. 低速运动的质子和α粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动量之比=αP :p p 1:1 ；动能之比
=αP :E E 4:1 。
解：由p =
λ
h
知，动量只与λ有关，所以1:1:αP =p p ；
由非相对论动能公式m p E 22k =，且αp p p =，所以1:4:αP ==p
m m
E E α
8. 在B = 1.25×10
2
-T 的匀强磁场中沿半径为R =1.66cm 的圆轨道运动的α粒子的德布罗意
波长是 0.1 ? 。(普朗克常量h = 6.63×10-34J·s ,基本电荷e = 1.6×10
-19
C)
n =2 n =3 n =4 n =5 n
=1
2=1=n 4
=3=
解：由牛顿第二定律=
evB 2R
m v 2
得eBR mv p 2==，又由λh p =得
1.0(m)10998.010
66.11025.1106.121063.6211
2
21934≈?=???????===-----eBR h p h λ? 9. 若令c
m h
e c =
λ (称为电子的康普顿波长，其中m e 为电子静止质量，c 为光速，h 为普朗克常量)。当电子的动能等于它的静止能量时，它的德布罗意波长是λ= 3
1
λc 。
解：由题意,202k c m mc E -= 所以220222c m c m mc E e ===
又λ
h c m E E c p E c p E e ==-=
∴+=31,2
022
02
22
所以有c e c m h p h λλ3
1
3===
。 10. 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a = 0.1nm (1nm =10-9
m), 电子束垂直射在单缝上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量=?y p s N 1006.124
??-（或s N 1063.624??-）。
(普朗克常量h = 6.63×10-34J·s)
解：根据a y p y y =?≥???, ，得 24
9
341006.1101.01006.1---?=??=≥?a p y (N ?s)
若用公式h p y y ≥???，则可得 241063.6-?=≥
?a
h
p y (N ?s)
11. 德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是德布罗意波是概率波，波函数不表示某实在物理量在空间的波动，其振幅无实在的物理意义。
三、计算题 1.
图中所示为在一次光电效应实验中得出的曲线 (1) 求证：对不同材料的金属，AB 线的斜率相同．
(2) 由图上数据求出普朗克恒量h ． (基本电荷e =1.60×10-19
C)
解：(1) 由 A h U e a -=ν 得 e A e h U a //-=ν
3分
e h U a /d /d =ν (恒量)
由此可知，对不同金属，曲线的斜率相同． 3分
|14 Hz)
(2) h = e tg θ 14
10)0.50.10(0
0.2?--=e
2分
=6.4×10-
34 J ·s 2分
2. 设康普顿效应中入射X 射线(伦琴射线)的波长λ =0.700 ?，散射的X 射线与入射的X 射线垂直，求：
(1) 反冲电子的动能E K ． (2) 反冲电子运动的方向与入射的X 射线之间的夹角θ．
(普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，电子静止质量m e =9.11×10-31 kg)
解：令p 、ν和p '
、ν'分别为入射与散射光子的动量和频率，v m 为反冲电子的动量(如图)．因
散射线与入射线垂直，散射角φ =π / 2，因此可求得散射X 射线的波长 )A ( 0.724 )c o s 1( =-+='?λλc m h
e 2分 (1) 根据能量守恒定律
22mc h h c m e +'=+νν
且 22c m mc E e K -= 得 )/()(λλλλνν'-'='-=hc h h E K = 9.42×10-
17 J 4分
(2) 根据动量守恒定律 v
m p p +'=
则 2222)/()/(λλ''+='+=
h h p p m v 22)/()/(/cos λλλθ'+==h h h m p v 2)
/(11
λλ'+=
='+=-2
1
)
/(11cos λλθ44.0° 4分
3. 氢原子光谱的巴耳末线系中，有一光谱线的波长为4340 ?，试求： (1) 与这一谱线相应的光子能量为多少电子伏特？ (2) 该谱线是氢原子由能级E n 跃迁到能级E k 产生的，n 和k 各为多少？ (3) 最高能级为E 5的大量氢原子，最多可以发射几个线系，共几条谱线？ 请在氢原子能级图中表示出来，并说明波长最短的是哪一条谱线． 解：(1) ==λν/hc h 2.86 eV ． 2分
(2) 由于此谱线是巴耳末线系，其 k =2
2分 4.32/2
1-==E E K eV (E 1 =－13.6 eV) νh E n E E K n +==21/
51
=+=
ν
h E E n K ． 4分
(3) 可发射四个线系，共有10条谱线． 2分 见图 1分 波长最短的是由n =5跃迁到n =1的谱线． 1分
p '
4. α粒子在磁感应强度为B = 0.025 T 的均匀磁场中沿半径为R =0.83 cm 的圆形轨道运动． (1) 试计算其德布罗意波长．
(2) 若使质量m = 0.1 g 的小球以与α粒子相同的速率运动．则其波长为多少？
(α粒子的质量m α =6.64×10-27 kg ，普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，基本电荷e =1.60×10-19 C)
解：(1) 德布罗意公式：)/(v m h =λ
由题可知α 粒子受磁场力作用作圆周运动
R m B q /2v v α=，qRB m =v α
又 e q 2= 则 eRB m 2=v α 4分
故
nm 1000.1m 1000.1)2/(211--?=?==eRB h αλ 3分
(2) 由上一问可得 αm eRB /2=v 对于质量为m 的小球
αααλλ?=?==
m
m m m eRB h
m h 2v =6.64×10-34 m 3分
5. 一维运动的粒子，设其动量的不确定量等于它的动量，试求此粒子的位置不确定量与它的德布罗意波长的关系。（不确定关系式h p x x ≥???） 解：由h p x x ≥???得x
p h
x ?≥
? (1) 由题意，mv p x =?及德布罗意波长公式mv
h =λ得 x
p h
?=
λ (2) 比较(1)、(2)式，得到λ≥?x
6. 一粒子被限制在相距为l 的两个不可穿透的壁之间，如图所示。描写粒子状态的波函数为
)(x l cx -=ψ,其中c 为待定常量。求在l 3
1~0区间发
现该粒子的概率。
解：由归一化条件1d ||0
2
=?
x l
ψ，
=5
=4 =3 =2 =1
即
1d )(220
2=-?
x x l x c l
，
可以解出5
30l
c =
， 2252
)(30||x l x l -=ψ l 31~0区间发现粒子的概率为8117d )(302
23/05
=-=?x x l x l P l
第 二 章 薛定谔方程
1. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为
a x
a x 23cos
1)(πψ= )(a x a ≤≤- 那么粒子在65a x =处出现的概率密度为 (A) )2(1a ; (B) a 1; (C) a 21; (D) a 1
. [ A ]
2. 粒子在一维无限深势阱中运动，图为粒子处于某一能态上的波函数)(x ψ的曲线。粒子出
现概率最大的位置为
(A) 2a ; (B) 65,6a a ; (C) 65,2,6a a a ; (D)a
a a ,32,3,0.。 [ C ]
3. 设粒子运动的波函数曲线分别如图（A ）（B ）（C ）（D ）所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？
[ A ] 4. 已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为：()a x a x
a x ≤≤=0)
sin(2)(πψ
(A) (B) (C) (D) X
X
X X
求：发现粒子几率最大的位置。 解：
a 21x a
x
2=
∴π=π
5.粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为
x a n a x )sin(2)(πψ=
)0(a x <<
若粒子处于1=n 的状态，在4~0a 区间发现该粒子的概率是多少？ （提示
c x x xdx +-=
?2sin 41
21sin
2
）
答案：0.091
第三章 原子中的电子
一、选择题
1. 氢原子中处于2 p 状态的电子，描述其量子态的四个量子数(s l m m l n ,,,)可能取的值为 [ C ] (A) (3, 2, 1,－
21
) (B) (2, 0, 0, 21) (C) (2, 1,－1, －21
) (D) (1, 0, 0,
2
1) 解：对于2 p 态，n = 2, l = 1, 1,0±=l m , 2
1±=s m
2. 在氢原子的L 壳层中，电子可能具有的量子数(s l m m l n ,,,)是
[ B ] ( A) (1, 0, 0, －
21
) (B) (2, 1, －1, 21) (C) (2, 0, 1, －2
1
) (D) (3, 1, －1,
2
1) 解：对于L 壳层，n = 2, l = 1,0，0,1±=l m ，2
1
±=s m
二、填空题
1. 根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩为 )1(+=l l L , 当主量子数n = 3时，电
子动量矩的可能取值为 6,2,0 。 解：当n =3时，l 可能取的值为0，1，2，
=0时，L = 0； =1时，L = 2； =2时，L = 6。
2. 根据泡利不相容原理，在主量子数n = 4的电子壳层上最多可能有的电子数为 32 个。 解：每一壳层中最多可容纳的电子数为 N = 2n 2
=32。
量子力学思考题及解答
1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
曾量子力学题库(网用).
曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？
量子力学试题
量子力学试题（一）及答案 一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 ()???><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212 1 31210,???ψ+-= 状态上，其中，()x n ?为粒子能量的第n 个本征态。 （1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率； （2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 ()x a n a x n n ma E n n π ?πsin 2,3,2,1 ,222 2 2=== （1） 首先，将()0,x ψ归一化。由 12131212222=???????????? ??+???? ??+???? ??c 可知，归一化常数为 13 12 =c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 32113 31341360,???ψ++-=
能量的取值几率为 ()()()13 3 ;13 4 ;136321=== E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。 （2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为 ()()()()?? ? ??-+?? ? ??-+??? ??-= t E x t E x t E x t x 332211i exp 133i exp 134i exp 136, ???ψ （3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。 二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱 ()?? ? ??>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00 ,0 .0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2 V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。 解：对于02 <- =V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()??? ??-===x B x kx A x x αψψψexp sin 03 21 其中， E m V E m k 2 ;) (20= += α 在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()()() a a a a '3 ' 2 32ψψψψ== 得到
量子力学习题集及解答
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目录 第一章量子理论基础 (1) 第二章波函数和薛定谔方程 (5) 第三章力学量的算符表示 (28) 第四章表象理论 (48) 第五章近似方法 (60) 第六章碰撞理论 (94) 第七章自旋和角动量 (102) 第八章多体问题 (116) 第九章相对论波动方程 (128)
第一章 量子理论基础 1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000 A （可见光），1 A （x 射线）以及0.001 A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？ [解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =22 1 υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即 λ νυhc h eV m ===221 ) (1024.1106.11031063.64 19834 A e hc V λλλ?=?????==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏） A 12=λ时 421024.1?=V （伏） A 001.03=λ时 731024.1?=V （伏） 2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。 [解] 普朗克公式为 1 8/33-?=kT hv v e dv c hv d πνρ 单位体积辐射的总能量为 ? ?∞∞-==0 0/331 3T hv v e dv v c h dv U κπρ 令kT hv y = ，则 4 40333418T T e dy y c h k U y σπ=? ??? ??-=?∞ （★） 其中 ?∞-=033341 8y e dy y c h k πσ （★★） （★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。其中σ是比例常数，可求出如下： 因为 )1()1(1 121 +++=-=-------y y y y y y e e e e e e
量子力学教程课后习题答案
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
量子力学导论习题答案(曾谨言)
第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。
量子力学习题答案
量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ?） ，故： 2e E P /(2)=μ 69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm --λ====?=?= 1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 102.07K 1K J 10381.12 3 2323123---?=????== kT E 于是有 一维谐振子处于22 /2 ()x x Ae αψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知：
22 *2x (x)(x)dx A e dx1 A/1 ∞∞ -α -∞-∞ ψψ== =α= ?? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4 A/ =απ 2. 2222 2222 2222 2222 22 2 *2x/2x/2 22 2x/2x/2 2 2x/22x/2 22 22x2x/2 22 242x2 T(x)T(x)dx A e(P/2)e dx d A e()e dx 2dx d A e(xe)dx 2dx A{xe(xe)dx} 2 A x e dx A 22 ∞∞ -α-α -∞-∞ ∞ -α-α -∞ ∞ -α-α -∞ ∞∞ -α-α -∞ -∞ ∞ -α -∞ =ψψ=μ =- μ =--α μ =--α--α μ =α= μμ ?? ? ? ? ? ＝（）＝＝ 22 2222 4x 2 2 24x x 2 22 222 24 2 1 ()xd(e) 2 1 A(){xe e dx} 22 1A A() 24 2 ∞ -α -∞ ∞∞ -α-α -∞ -∞ α- α =α--- μα ππαα α-- μμ α ? ? 若α，则该态为谐振子的基态，T 4 ω = 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 22 22 d 1 H x 2dx2 =-+μω μ 它的基态能量 1 E 2 =ω选择为参量，则:
周世勋量子力学习题及解答
1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5：x=0，取：x=4.97， xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = e p E μ22 = E=pc p h =λ nm m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296 6 2=?=????= ==--μμ 在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1 以及 eV c e 621051.0?=μ 最后，对 E c hc e 2 2μλ=
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曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问 题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在 ),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1= ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1 )(x x V μω= 的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？
最新量子力学导论习题答案(曾谨言)(1)
第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时，
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09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后， ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续. 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片. 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A A. *ψ 一定也是该方程的一个解； B. *ψ一定不是该方程的解； C. Ψ 与* ψ 一定等价； D.无任何结论. 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒. 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态.
量子力学习题答案
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2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论 （一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为
由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得
∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左 中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左右 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧z l
B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+2 3 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ；
量子力学期末考试试卷及答案
量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、
第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε
量子力学习题答案
量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ? ），故： 2e E P /(2)=μ 69 h /p h / hc / 1.2410/0.7110 m 0.71nm --λ====?=?=1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 10 2.07K 1K J 10 381.12 32 323 1 23 ---?=????= = kT E 于是有 一维谐振子处于2 2 /2 ()x x Ae α ψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知： 22 * 2x 2 (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ===α=? ? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4A /=απ 2.
2222 2 2 22 2 2 22 22 22 22 2 * 2x /2 x /22 2 2 x /2 x /2 2 2 x /2 2x /2 2 222x 2x /2 2 2 24 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞-∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=- μ =- -αμ=- -α- -αμ = α = μμ ? ?? ? ? ? ＝（＝ ＝ 22 2 2 2 2 4 x 22 24 x x 2 2 22 24 21()xd(e ) 21A (){xe e dx}221A ()2442∞-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ α- α =α- -- μααα- - μ α μ μ α ? ? 若αT 4 ω= 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 2 2 22 d 1H x 2dx 2 =- + μωμ 它的基态能量01E 2 = ω 选择 为参量，则: 0dE 1d 2 = ω ； 2 2 2 d H d 2d 2()T d dx 2dx =- = - = μμ d H 20 0T d = 由F-H 定理知： 0dE d H 210 T d d 2= ==ω 可得： 1T 4 = ω
周世勋量子力学习题及解答
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?， 因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 在这里，利用了 以及 最后，对
陕西师范大学量子力学题库
1. 十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段，形成了三门经典学科。这三门经典学科分别是＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿. 2. 按经典的物质概念，物质可以分为两类，一类是＿＿＿＿，另一类是＿＿＿＿＿＿． 3. 二十世纪初，经典物理学遇到了无法克服的困难。这些困难分别是＿＿＿＿，＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿及＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 4. 经典物理中，对实物的运动采用＿＿＿＿＿来描述，实物的运动遵守＿＿＿＿＿＿。 5. 经典物理中，对辐射场的运动采用＿＿＿＿＿来描述，辐射场的变化遵守＿＿＿＿＿＿。 6. 在经典概念下，实物的基本特性是＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿＿． 7. 在经典概念下，辐射场的基本特性是＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿． 8. 在经典概念，粒子性是指＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿． 9. 在经典概念，波动性是指＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿． 10. 在经典概念，波动性和粒子性＿＿＿（填是否可以）统一于同一物质客体． 11. 光的波动性的理论基础是＿＿＿＿＿＿＿＿． 12. 光的波动性的实验证据是＿＿＿＿＿＿＿＿． 13. 光的粒子性的实验证据是＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿． 14. 光的粒子性的理论依据是＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿． 15. 微粒的粒子性是指微观粒子的＿＿＿＿＿＿，即＿＿＿＿＿＿＿以及＿＿＿＿＿＿． 16. 微粒的波动性是指＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 17. 微粒的粒子性的实验证据是＿＿＿＿＿＿．
18. 按照爱因斯坦光子假设，光子的能量E和动量P与光波的频率ν和波长 λ的关系为 E=＿＿＿＿，P=＿＿＿＿． 19. 按照德布洛依假设，能量为E、动量为P的自由粒子其相应的物质波的 波长λ=＿＿ ＿＿，频率ν=＿＿＿． 20. 自由粒子的动能为E，速度远小于光速，则德布罗依波长λ=＿＿＿＿． 21. 电子被电势差V（伏）加速，则德布罗依波长λ=＿＿＿＿． 22. 按照德布洛依假设，粒子的能量E、动量P与相应的物质波的频率ν， 波长λ的关 系是＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿． 23. 历史上第一个肯定光除了波动性之外还具有粒子性的科学家是＿＿＿＿． 24. 历史上第一次用实验证明实物具有波动性的科学家是＿＿＿＿＿＿＿＿． 25. 能量为E，动量为P的自由粒子的平面波的表达式是＿＿＿＿＿＿＿＿． 26. 玻尔的氢原子理论包含三条假设，分别是＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿． 27. 索末菲对玻尔的轨道量子化条件推广为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 28. 玻尔的频率条件表示为＿＿＿＿＿＿＿＿． 29. 任何态函数用动量本征函数展开的表达式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 30. 任何态函数在动量表象中的表达式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 31. 波函数是指＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
量子力学教程课后习题答案高等教育
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量） ； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λh P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ