三角形专题复习课

三角形专题复习

【自主探究】

1.下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（）

A．B．C． D．

2.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A．垂线段最短B．两点之间线段最短

C．两点确定一条直线D．三角形的稳定性

3.若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）

A．2 B．3 C．4 D．5

4.如图所示，△ABC中AB边上的高用线是（）

A．线段AG B．线段BD C．线段BE D．线段CF

5.BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差

是．

6.如图，点E在△ABC边BC的延长线上，CD平分∠ACE，若∠A=70°，

∠DCA=65°，则∠B的度数是．

7. AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=130°，

∠C=30°，则∠DAE的度数是．

8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上一点，PE⊥AD交

BC的延长线于点E，若∠B=35°，∠ACB=85°，则∠E= ．

9.若正n边形的内角为140°，边数n为．

10.一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边

形边数为．

11.若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角的度数为 .

【合作探究】

专题一三角形的三边关系

例：三角形的三边长是三个连续的自然数，且三角形的周长小于20，求三边的长．

变式: 小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米．

①用含m的式子表示第三条边长；

②第一条边长能否为10米？为什么？

③若第一条边长最短，求m的取值范围

专题二三角形内角和、外角及其相关定理

例：如图，在△ABC中，∠B=∠C=45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE=

∠AED，连结DE．

（1）当∠BAD=60°，求∠CDE的度数；

（2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试写出∠BAD与∠CDE

的数量关系，并说明理由．

变式：1.已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，

分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．

2.如图，AE、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，

求证：∠1=∠2．

3.已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直

角边DE，DF恰好分别经过点B、C．

（1）∠DBC+∠DCB=度；

（2）过点A作直线直线MN∥DE，若∠ACD=20°，试求∠CAM的大小．

4. 如图，在平面直角坐标系中，∠ABO=2∠BAO，P为x轴正半轴一动点，BC平分∠ABP，PC 平分∠APF，OD平分∠POE

（1）求∠BAO的度数；

（2）求值：∠C=15°+∠OAP；

（3）P在运动中，∠C+∠D的值是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求其值．

专题三多边形内角和及外角和

例：如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．

（1）小明一共走了多少米？

（2）这个多边形的内角和是多少度？

专题四 本章中的思想方法

方程思想

例：如图，在△ABC 中， ∠C=∠ABC,BE ⊥AC , △BDE 是等边三角形， 求∠C 的度数.

分类讨论思想

例：已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则三角形的周长是 ． 变式：1.已知BD 、CE 是△ABC 的两条高，直线BD 、CE 相交于点H ．

（1）如图，①在图中找出与∠DBA 相等的角，并说明理由；

②若∠BAC=100°，求∠DHE 的度数；

（2）若△ABC 中，∠A=50°，直接写出∠DHE 的度数是 ．

2. 已知△ABC 中，∠A=70°，∠ACB=30°，D 为BC 边延长线上一点，BM 平分∠ABC ，E 为射线BM 上一点．

（1）如图1，连接CE ，

①若CE ∥AB ，求∠BEC 的度数；②若CE 平分∠ACD ，

求∠BEC 的度数．

（2）若直线CE 垂直于△ABC 的一边，请直接写出

∠BEC 的度数．

化归思想（化为基本图形）

∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F = ， .

F

E D C B A 130

E

F

D B

A

等腰三角形专项训练(经典习题)[1].docx

等腰三角形专项训练 一、选择与填空 1、一个等腰三角形的一个角是50° ,它的一腰上的高与底边的夹角是() A． 25°B． 40°C． 25°或 40°D．不确定 . 2、.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300,则顶角的度数为（） 0或 150 00或 120 0 0 B.1200 3、有一个等腰三角形的周长为25,一边长为 11,那么腰长为 () A． 11B． 7C．14D． 7 或 11 4、等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是() A． 105°B． 120°C． 135°D． 150° 5 、下列命题正确的个数是() ①如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等, 那么过这点与顶点的直线必垂直于底边 ;②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段, 那么延长线段的两个端点与顶点距离相等; ③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等; ④等腰三角形高上一点到底边的两端点距离相等. 个个个个 6、下列图形中一定有 4 条对称轴的是（） A.长方形 B.正方形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 7、下列图形 : ①两个点 ; ②线段 ; ③角 ;④长方形 ; ⑤两条相交直线 ; ⑥三角形 , 其中一定是轴对称图形的有（） 个个个个 8、等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴有（） 条条条条或3条 9、若点 P 为⊿ ABC 内部一点，且PA=PB=PC，则点 P 是⊿ ABC的（） （ A）三边中线的交点（B）三内角平分线的交点 （ C）三条高的交点（D）三边垂直平分线的交点 10 若△ ABC两边的垂直平分线的交点在三角形的外部，则△ABC 是（） A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．都有可能 11、等腰△ ABC中， AB=AC=10，∠ A=30 °，则腰 AB 上的高等于 ___________． 12、在△ ABC中 ,AB=AC,AD⊥ BC 于 D,由以上两个条件可得_________________.( 写出一个结论即可 )

解三角形的必备知识和典型例题及习题

解三角形的必备知识和典型例题及习题 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝2 1ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

等腰三角形经典练习题(有难度)

等腰三角形练习题 一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° C F D A B

4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 设∠A 为x ∠A= 7 180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15 B A B 2x x －15°

6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt △DBF 中, BD=2 1,DF=1 所以∠F =∠1=30° 7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED 由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 F A B C D E

有关三角形知识点

一、有关角的： 知识点1、三角形内角和定理：三角形的内角和等于180 知识点2：三角形外角性质：1）. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2）. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3）. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4）. 三角形的外角和等于360°。 二、重要的线 1.三角形的角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边中点（角平分 线上的点到角两边的距离相等）； 2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边的中点的线段； 3.三角形的高：从三角形的一个顶点向它对边所在的直线做垂线。 4、锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。直角三角形的直角边上的高分别与另一条 直角边重合，垂足都是直角的顶点。而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。 5.线段的垂直平分线： 6、角平分线的的性质： 7、中位线： 8、直角三角形斜边上的中线： 三：重要的三角形的角与线 1、直角三角形： 2、等腰三角形：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 3、等边三角形： 四：重要的定理 1、重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心. 2、外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心. 3、垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心. 4、内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心. 5、旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心．

解三角形典型例题

1．正弦定理和余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 1.在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A c; a-b

等腰三角形专题训练及标准答案

等腰三角形专题训练及答案 一、计算题： 1.如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A的度数 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A的度数 3.如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，求∠AFD的度数

4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求 ∠EDC 的度数 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=, DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 2 1

7.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若AC=AB+BD 求∠B：∠C的值 二、证明题： 8.如图，△ABC中，∠ABC,∠CAB的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别交BC、AC于点D、E求证：DE=BD+AE 9.如图，△DEF中，∠EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE间有什么样的大小关系

10.如图，△ABC中，∠B=60°，角平分线AD、CE交于点O 求证：AE+CD=AC 11.如图，△ABC中，AB=AC,∠A=100°，BD 平分∠ABC,求证：BC=BD+AD 12.如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点， 且∠ABD=∠ACD=60° 求证：CD=AB-BD

13.已知：如图，AB=AC=BD ，CE 为△ABC 中AB 边上的中线 求证：CE=CD 14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED 15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于 点D 求证：ED=FD 2 1

有关三角形知识点总结

有关三角形知识点总结

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三角形知识点汇总 1、三角形 一、三角形三边的关系 1、三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边。（判断三条线段能否组成三角形的依据） 2、已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b 3、给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长（提示：一定要记得分类讨论） 方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。 二、三角形的高、中线、角平分线 1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角 形的高.（90°角和互余关系） 锐角三角形锐角三角形的三条高都在三角形的内部，三条高的交点也在三角形内部. 直角三角形直角三角形的三条高交于直角顶点. 钝角三角形钝角三角形有两条高落在三角形外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点。

2 、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的三 条中线交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3、三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。 4、方法利用：求三角形中未知的高或者底边的长度，可利用“等积法”将三角形的面积用两种方式表达，求其中未知的高或者底边的长度 三、三角形具有稳定性 1. 三角形具有稳定性 2. 四边形及多边形不具有稳定性 要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。 四、与三角形有关的角 1. 三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关。

解三角形典型例题答案

1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π= 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边 得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边， ∴)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．证明：∵△AB C 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2 A B π >-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222 A C A C B B +-=， ∴1sin cos 222B A C -==0,22 B π<<∴cos 2B = ∴sin 2sin cos 22244B B B ==?=839 5解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 6解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=-

2021年中考数学专题训练：等腰三角形(含答案)

2021中考数学专题训练：等腰三角形 一、选择题 1. 等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为() A.16 cm B.17 cm C.20 cm D.16 cm或20 cm 2. 如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于() A.15° B.30° C.45° D.60° 3. 如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC=8，BC=5，则△BEC的周长是() A.12 B.13 C.14 D.15 4. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形 的周长是() A. 20或16 B. 20 C. 16 D. 以上答案均不对 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于() A. 6 5 B. 9 5 C. 12 5 D. 16 5 6. 如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为 ()

A .(1，1) B .(1，) C .(，1) D .( ) 7. 如图，在△ ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N.若△AMN 的周长为18，BC=6，则△ABC 的周长为 ( ) A .21 B .22 C .24 D .26 8. △ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切 圆圆心，则∠AIB 的度数是( ) A. 120° B. 125° C. 135° D. 150° 9. (2019?梧州)如图，DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且85AC BC ==， ，则BEC △的周长是 A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 10. 如图，在五边形 ABCDE 中，AB ＝AC ＝AD ＝AE ，且AB ∥ED ，∠EAB ＝120°， 则∠BCD 的度数为( )

三角形及其性质(基础)知识讲解

三角形及其性质（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法． 2. 理解三角形内角和定理的证明方法； 3. 掌握并会把三角形按边和角分类 4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系． 5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法． 【要点梳理】 要点一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 要点二、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点三、三角形的分类 1.按角分类： ?? ?? ?? ?? 直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：

解三角形的必备知识和典型例题及习题

解三角形的必备知识和典型例题及习题

解三角形的必备知识和典型例题及习题 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2 －2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、

（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 6．求解三角形应用题的一般步骤： （1）分析：分析题意，弄清已知和所求； （2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出 已知与所求，并画出示意图； （3）求解：正确运用正、余弦定理求解； （4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。 二、典例解析 题型1：正、余弦定理 题型2：三角形面积 例2．在?ABC中，sin cos A A += 2 2 ，AC=2，3= AB，求A tan的值 和?ABC的面积。 点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？ 题型3：三角形中的三角恒等变换问题 例3．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C 的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc， 求∠A的大小及 c B b sin的值。

等腰三角形三线合一专题练习[1]

等腰三角形三线合一专题训练1 例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。 求证：BC=AB+DC。 变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。 变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. （1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.

变3：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90° ,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。 ⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。 (1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ． 求证：DE=DF ． D B C F A E M N D C B A M N D C B A

(2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点． 求证：BE=CF ． D B C F A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，?CF ⊥AB 于 F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？

变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。 Ｆ Ｆ 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（） A 17 B 22 C 17或22 D 13 根据等腰三角形的性质寻求规律 例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=1 2 ∠ABC，∠2= 1 2 ∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小 与∠A的大小有什么关系？ 若∠1=1 3 ∠ABC，∠2= 1 3 ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？ 若∠1=1 n ∠ABC，∠2= 1 n ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

三角形知识梳理

第五章三角形 [知识梳理] 1．知识结构与要点归纳 方法 （1）三角形三条边之间具有什么关系？怎样把握？ 三角形三条边之间有重要关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边．掌握和灵活运用这个关系可以解决与之相关的许多问题．注意已知三角形的两边长求第三边的取值范围时，一定要同时考虑第三边大于另两边之差，小于另两边之和．在解决等腰三角形有关的计算问题时，题目常常不明确指出某条线段是底边还是腰，往往导致多种情况出现，这时应注意运用分类讨论的方法． (2)怎样认识三角形的三个内角之间的关系？ “三角形三个内角和等于180°”，是三角形中角与角之间的一个重要关系，利用这个关系可知①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角和，三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角；③一个三角形中最多只有一个直角或钝角．因此，三角形按角的大小分类可以分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，三角形三个内角之间的关系有着广泛的应用．在解决和三角形有关的问题时，内角和等于180°，是一个非常重要的等量关系，我们常利用它来得到和角有关的等式方程组，从而可把和三角形有关的几何问题转化为方程或方程组的代数问题来解决． （3）三角形的角平分线、中线和高线有什么区别？ 三角形的角平分线、中线和高线都是三角形中的重要线段．每个三角形都有三条角平分

图5－5 ⑴ ⑶ ⑵ 线三条中线，它们之间的相同点：①都是线段；②都是从顶点画出；③都能交于一点． 不同点：①角平分线平分内角，中线平分边，高垂直于边；②三角形的角平分线和中线都是在三角形的内部，直角三角形有两条高都在边上，钝角三角形有两条高在三角形的外部，另外不等边三角形的中线、角平分线和高总条数共有9条；等腰三角形的这三种线段总条数为7条；等边三角形的这种三种线段的总数为3条． （4）怎样认识三角形全等的条件和特征？ 一般三角形全等的条件共有四种①SAS ②ASA ③AAS ④SSS ．即要使两个三角形全等必须具备三组元素（边或角）对应相等，其中至少有一条对应边相等，若有两条边和一个角对应相等，这两条边必须是对应角的两条夹边，“AAA ”和“SSA ”是不行的．如图（1） BC ∥B C ''，△ABC 与A B C '''?中A A '∠=∠， C B A B ''∠=∠，C AC B '∠=∠，符合条件 “AAA ”显然ABC ?与A B C '''?不全等． 如图(2)AC=AC ′,△ABC 与△ABC ′中，有AB=AB ， AC=AC ′∠B=∠B ′符合条件“SSA ”但△ABC 与△ABC ′不全等． 探索两个直角三角形全等是，除了运用条件“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”和“SSS ”外，还可运用条件“HL ”，这是探索两直角三角形全等的重要方法． 在探索三角形全等的解题过程中，要善于结合图形对已知条件进行 分析，理清“已知”与“可知”、“可知”与“需知”的关系． 两个三角形全等后，便具有两个特征：①对应边相等；②对应角相等． 综合运用三角形全等的条件和特征可以解决许多问题． （5）怎样认识全等三角形与图形变换？ 从两个全等三角形的不同位置关系可以看出其中一个是由另一个经过下列运动变换形成的： ① 翻折：如图5－2，△ABC ≌△DBC ，△DBC 可以看成 由△ABC 沿BC 向下翻折180°后而得． ② 平移：如图5－3,△DEF 可看成△ABC 沿BC 方向平行移 动而得． ③ 旋转：如图5－4,△EDC 可以看作△ABC 绕点C 旋转而得． 有些全等三角形则可以看成有上述三种运动变换综合作用的结果． （6）怎样判断两个三角形相似？ 判断两个三角形相似的方法主要有： ①两角对应相等的两个三角形相似； ②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； ③三边对应成比例的两个三角形相似． 如图5－5是几个重要的相似三角形的基本图形． 如图（1）在△ABC 中DE ∥BC ，则有△ADE ∽△ABC ； 如图（2）若AB ∥CD ，则有△ABO ∽△DCO 如图（3）在△ABC 中，若∠BAC=90°，AD ⊥BC ，则有△ABD ∽△CAD ∽△CBA ． 在解题时经常会遇到上述三种图形，一些复杂的图形则是由上述三种图形组合而成，只要我们能灵活运用这三种基本图形能很快地解决许多问题．另外在判断三角形相似时，重视公共角、对顶角的运用，会给解题带来很多方便． （7）相似三角形具有哪些性质？ 两三角形相似除了具有对应边成比例、对应角相等外，还有以下性质： 相似三角形对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 图5－2 图5－3 图⑴ 图⑵ 图5－1

等腰三角形练习题(含答案)

等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1．已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为________． 2．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD平分∠BAC，则BD＝________cm. 第2题图第3题图 3．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为() A．35° B．45° C．55° D．60° 4．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为() A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65° 5．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，求∠C的度数． 6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF. 求证：DE＝DF.

第2课时等腰三角形的判定 1．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，则△ABC为() A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．钝角三角形 2．已知△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，AB＝5cm，则AC＝________． 3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，使其可以确定△ABC为等腰三角形，则添加的条件是________． 第3题图第4题图 4．如图，已知△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有________个等腰三角形． 5．如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE＝DF.求证：AB＝AC. 6．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G. 求证：△EFG是等腰三角形．

与三角形有关的角知识点归纳

6x Ｂ Ｄ Ａ 第(3)题 第(4) 与三角形有关的角知识点归纳 知识点篇: 知识点一：三角形的内角和定理:三角形内角和为180° 知识点二:三角形外角的性质:1.三角形的一个外角与相邻的内角互补;2.三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和;3. 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角. 基础篇: (1)在△ABC 中，若7836A '∠=o ，5724B '∠=o ，则C ∠= ． (2) 在ABC △中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，A ∠越来越小，B C ∠∠，越来越大．若A ∠减少α度，B ∠增加β度，C ∠增加γ度，则αβγ，，三者之间的等量关系是 ． (3)如图，在Rt ADB △中，90D ∠=o ，C 为AD 上一点，则x 可能是 （ ） Ａ.10o Ｂ20o Ｃ.30o Ｄ40o (4)如图， 在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，? 且CD 、BE 交于一点P ， 若∠A=50°，则∠BPC 的度数是（ ） （A ）150° （B ）130°（C ）120°（D ）100° (5)四边形ABCD 中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B 的度数是（ ） （A ）80° （B ）90°（C ）170°（D ）20° (6)若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是( ) （A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6 方法篇: A.注意方程思想的应用 例题1．已知△ABC 中, (1)∠A=20°,∠B －∠C=40°,则∠B=____°; (2)∠A=120°,2∠B+∠C=80°,则∠B=___°; (3)∠B=∠A+40°,∠C=∠B-50°,则∠B=_____°; (4)∠A:∠B:∠C=1:3:5,则∠B=_____°. B β 2β 3β

等腰三角形典型例题练习(含答案)#(精选.)

等腰三角形典型例题练习

等腰三角形典型例题练习 一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（） A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定 2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论： ①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB 其中正确结论的个数是（） A．0B．1C．2D．3 二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC的面积之比等于_________． 三．解答题（共15小题） 4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证 DE=DF． 5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．

6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由． 7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD． 9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF． 10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E， 求证：BD=2CE．

三角形基础知识归纳总结

三角形基础知识归纳总结 一、知识归纳： 1、三角形的三边关系 任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 . 2、三角形的高、中线、角平分线 （1）三角形的高、中线、角平分线都是线段 . （2）交点情况： ①三条高所在的直线交于一点： 三角形是锐角三角形时交点位于三角形的内部； 三角形是直角三角形时，交点位于直角三角形的直角顶点； 三角形是钝角三角形时，交点位于三角形的外部 . 三角形的高

②三角形的三条中线交于一点，交点位于三角形的内部，每条中线都把三角形分成面积相等的两个三角形 . 三角形的中线 ③三角形的三条角平分线交于一点，交点位于三角形的内部 . 3、三角形的内角和 三角形内角和定理：任何三角形的内角和都等于180° . 三角形的三个内角 用数学符号表示为：在△ABC 中，∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° . 4、三角形的外角与内角的关系 （1）等量关系：

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的外角和为360° . （2）不等量关系： 三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角 . 5、多边形 多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的图形叫做多边形 . 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段 .

六边形 多边形对角线条数探索： 归纳总结： （1）n 边形的内角和是（n - 2）180°，外角和是360°；正n 边形的每个内角是：

（2）从n 边形的一个顶点出发，可做( n - 3 )条对角线，把n 边形分成( n - 2 ) 三角形，所以n 边形的内角和是( n - 2 )180°； 一个n 边形一共有n ( n - 3 ) / 2条对角线( n ≥3 ) . （3）如果一个角的两边分别平行于另一角的两边，则这两个角相等或互补； 如果一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等或互补. 二、习题练习 【三角形定义】 1．如图，图中直角三角形共有（C） A．1个B．2个C．3个D．4个 【三边关系】 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（B） A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm

解三角形经典例题及解答

知识回顾: 4、理解定理 (1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数 k 使 a ksinA ， ________________ ， c ksinC ； （2）」 b J 等价于 ______________________ sin A sin B sin C (3) 正弦定理的基本作用为: 正弦、余弦定理 1、直角三角形中，角与边的等式关系：在 Rt ABC 中，设 BC=a ，AG=b , AB=c , 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 -sin A ，- sin B ，又sinC 1 -，从而在直角三 c c c 角形ABC 中，-?- sin A b sin B c si nC 2、当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是CD 根据任意角三角函数的定义, 有 CD=asinB bsinA ，则 一- b ，同理可得一 sin A sin B sin C b sin B 从而」- sin A b sin B c sin C 3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 ____ 的比相等，即旦 sin A b sin B c sin C c b a c sin C sin B ' sin A sin C

① 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a bsinA ； b sin B ② 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如 sin A a sin B ； sinC . b (4) 一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作 解三角形? 5、知识拓展 6、 勾股定理： ___________________________________ 7、 余弦定理：三角形中 __________ 平方等于 _______________________ 减去 _____________ ______________ 的两倍，即a 2 b 2 8、余弦定理的推论: cosC ____________________________ 。 9、在 ABC 中，若a 2 b 2 c 2,则 ______________________ ，反之成立; 典型例题: a b sin A sin B c si nC 2R ，其中2R 为外接圆直径. c 2 cosA cosB

等腰三角形综合练习题

等腰三角形综合练习卷 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是 ( ) A．线段 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．圆 2．若等腰三角形的两边长分别为4和9，则周长为( ) A．17 B．22 C．13 D．17或22 3．如果三角形一边上的高平分这条边所对的角，那么此三角形一定是 ( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4．小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角板拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BD⊥AC，DE⊥BC，D，E为垂足，下列结论正确的是( ) 1BD D．BC=2BD A．AC=2AB B．AC=8EC C．CE= 2 6．有四个三角形，分别满足下列条件：(1)一个角等于另外两个内角

之和；(2)三个内角之比为3：4：5；(3)三边之比为5：12：13； (4)三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC，D为AB的中点，有以下判断：①DE=AC；②DE⊥AC；③∠CAB=30°；④∠EAF=∠ADE．其中正确结论的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，以点A和点B为两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出 ( ) A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 9．如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D， M为AD上任一点，则MC2=MB2等于 ( ) A．9 B．35 C．45 D．无法计算 10．若△ABC是直角三角形，两条直角边分别为5和12，在三角形内有一 点D，D到△ABC各边的距离都相等，则这个距离等于 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题(每小题4分，共24分) 11．已知等腰三角形中顶角的度数是底角的3倍，那么底角的度数是________． 12．已知等腰△ABC的底边BC=8cm，且|AC-BC|=2cm，那么腰AC的长为__________．

特殊三角形基本知识点整理讲解学习

特殊三角形的定义、性质及判定

等腰三角形 1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3. 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 4. 等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 5. 等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6. 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 等边三角形 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. （2）等边三角形的性质： ①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°； ②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.（3）等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）两个重要结论 ①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的

一半. ②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°. 两个重要结论的数学解释：Array已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，则： ①如果AB＝2BC，那么∠A＝30°； ②如果∠A＝30°，那么AB＝2BC. 直角三角形 1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。 按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。 如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。 2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。 3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。 4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。 5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。难点： 1在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜 边上的中线。