《从位移、速度、力到向量》
教学设计
本节课的内容是北师大版数学必修4,第二章《平面向量》的引言和第一节《从位移、速度、力到向量》两部分,所需课时为1课时。
一、教材分析
向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁,对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。向量集数与形于一身,有着极其丰富的实际背景,在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景,有向线段是它的几何背景。向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念,经过研究,建立起完整的知识体系之后,向量又作为数学模型,广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题,因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。
本课是“平面向量”的起始课,具有“统领全局”的作用。本节概念课,重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念,而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路,进而提高提出问题,解决问题的能力。
二、学情分析
在学生的已有经验中,与本课内容相关的有:数的抽象过程、实数的绝对值(线段的长度)、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。
三、目标定位
根据以上的分析,本节课的教学目标定位:
1)、知识目标
⑴通过对位移、速度、力等实例的分析,形成平面向量的概念;
⑵学会平面向量的表示方法,理解向量集形与数于一身的基本特征;
⑶理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
2)、能力目标
⑴培养用联系的观点,类比的方法研究向量;
⑵获得研究数学新问题的基本思路,学会概念思维;
3)、情感目标
⑴运用实例,激发爱国热情;
⑵使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”;
⑶让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中,享受寓教于乐。
重难点:
重点:向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念;
难点:让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程;
四、教学过程概述:
4.1 向量概念的形成
4.1.1 让学生感受引入概念的必要性
引子:在世博园内,有位同学在参观完了中国馆后将要去德国馆参观,由位置的变化引出位移。
意图:向量概念不是凭空产生的。用这一简单直观的问题让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在,自然引出学习内容,学生会有亲切感,有助于激发学习兴趣。
问题1 你能否再举出一些既有大小又有方向的量?
意图:激活学生的已有相关经验。
进一步直观演示,加深印象。
追问:生活中有没有只有大小没有方向的量?请举例。
意图:形成区别不同量的必要性。概念抽象需要典型丰富的实例,让学生举例可以观察到他们对概念属性的领悟,形成对概念的初步认识,为进一步抽象概括做准备。
类比数的概念获得向量概念的定义(板书)。
4.1.2 向量的表示方法
问题2 数学中,定义概念后,通常要用符号表示它。怎样把你举例中的向量表示出来呢
意图:让学生先练习力的表示,让错误呈现,激发认知冲突,最后自觉接受用带有箭头的线段(有向线段)来表示向量。(教师引导学生进一步完善)几何表示法:记作A B|A B|为AB的长度(又称模)。
字母表示法:a、b、c……或a、b、c……
4.1.3 单位向量、零向量的概念:
问题3用有向线段表示向量,学生演板,提出问题,大家画得线段长度长短不一怎么回事?如何解决这问题?由单位长度引入单位向量
意图:这样过渡学生不会感觉新的概念是从天而降,而是进一步学习的需要归纳小结:单位向量——长度等于1个单位长度并与a同向的向量叫做a方向上的单位向量.
让演板学生回到座位之后利用这个情境提出问题,他位移的大小是什么?
归纳小结:零向量——长度(模)为0的向量,记作0,它的方向是任意的。
提问:你们认为零向量和单位向量特殊吗?它们的特殊性体现在哪?类比实数集合中的0和1.
4.2 相等向量、平行(共线)向量概念的形成
设计活动:传花游戏
意图:通过游戏调动学生的兴趣和积极性,让学生通过亲身经历去体会相等向量与平行向量的本质特征。
归纳:
1、从“方向”角度看,有方向相同或相反的非零向量就是平行向量。
记作:a ∥b ∥c
任一组平行向量都可移到同一条直线上,所以平行向量也叫共线向量。
2、从“长度”角度看,有模相等的向量,︱a︱=︱b︱
3、既关注方向有又关注长度有相等向量:记作:a =
a
b
c
规定:0 与任一向量都平行或(共线)。
教师通过动画演示深化上述两个概念
问题4 由相等向量的概念知道,向量完全有它的方向和大小确定。由此,你能说说数学中的向量与物理中的矢量的异同吗?另外,向量的平行、共线与线段的平行、共线有什么区别与联系?
意图:让学生注意把向量概念与物理背景、几何背景明确区分,真正抓住
向量的本质特征,完成“数学化”的过程。
4.3 课堂练习:
1、 概念辨析
1) 两个长度相等的向量一定相等.
2) 相等向量的起点必定相同.
3) 平行向量就是共线向量.
4) 若 AB 与 CD 共线,则 A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上.
5) 向量 a 与 b 平行,则向量 a 与 b 的方向相同或相反.
2、 教材例题
如图 2 - 7,D ,
E ,
F 依次等边三角形 ABC 的边AB ,
BC ,AC 的中点.在以 A ,B ,C ,D ,E ,F 为起点或终点的向量中,
(1) 找出与向量 DE 相等的向量;
(2) 找出与向量 DF 共线的向量.
3、教材第79页,B 组第一题(选择此题,可以进一步理解位移概念,又能为后一步的学习做好铺垫)
4.4 课堂小结 (引导学生小结)
问题5 欣赏一首关于向量的诗,布置任务能否用拟人的方式把你对向量的认识做个概述呢?
结束语:略
板书设计
B A
C
五、教学反思
5.1 起始课应有“统领全局”的作用和地位
本节是“平面向量”的第一堂课,具有“统领全局”的作用。因此,本课的目标应体现这一地位。具体有如下三个方面:
(1)形成平面向量的概念,特别是要让学生体会“向量集形与数于一身”的基本特征
(2)让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量。
(3)通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路。
5.2概念课的主旋律是让学生参与概念本质特征的概括活动
让学生参与概念本质特征的概括活动是使概念课生动活泼、优质高效的关键。这就要求我们一方面充分利用新旧知识蕴含的矛盾,激发认知冲突,让学生融入其中;
另一方面让学生有参与的时间与机会,特别是有思维的实质性参与。
5.3概念教学要使学生自然地、水到渠成地实现“概念的形成”。
本课的教学,我们应力求使学生了解向量概念的背景和形成过程,了解为什么要引入这个概念,怎样定义这个概念,怎样入手研究一个新的问题。
5.4“创造性的使用教材”的前提是深刻理解教材。
相等和平行(共线向量)概念的给出我是设置了一个游戏情境,游戏中将呈现通过学生之间传递花朵所产生的位移向量,让他们从大小和方向两个方面展开思考,教师适时介入,强化本质特征、规范概念表达,与学生一起完成概念的定义。
5.5明确零向量的意义和作用,不过分纠缠于细节。
首先,规定零向量与任何向量平行是完善概念系统的需要。其次,就像数零的作用在于运算一样,零向量的作用在于运算及其表达的几何意义。因此孤立地讨论零向量与任何向量平行没有多少意义,也不必耗费过多时间。
总之,作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后,给中学数
学带来了无限生机。这节“概念课”,概念的理解无疑是重点,也是难点。概念的教学应在概念的发生发展过程中揭示它的本来面目。要让学生参与概念本质特征的概括活动过程,这也是培养学生创新精神和实践能力的必由之路!
2.2《平面向量的线性运算》教学设计 【教学目标】 1.掌握向量的加、减法运算,并理解其几何意义; 2.会用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解决问题的能力; 3.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法; 4.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律,会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算; 5.理解两个向量平行的充要条件,能根据条件判断两个向量是否平行; 6.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了解事物运动变化的辩证思想. 【导入新课】 设置情景: 1、 复习:向量的定义以及有关概念 强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下,移到任何位置 2、 情景设置: (1)某人从A 到B ,再从B 按原方向到C , 则两次的位移和:AC BC AB =+ (2)若上题改为从A 到B ,再从B 按反方向到C , 则两次的位移和:=+ (3)某车从A 到B ,再从B 改变方向到C , 则两次的位移和:=+ (4)船速为AB ,水速为,则两速度和:AC =+ 新授课阶段 一、向量的加法 A B C A C A B C
O A a a a b b b 1.向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 2.三角形法则(“首尾相接,首尾 连”) 如图,已知向量a 、b.在平面内任取一点A ,作AB =a ,BC =b,则向量AC 叫做a 与b的和,记作a +b,即 a +bAC BC AB =+=,规定: a + 0-= 0 + a. 探究:(1)两相向量的和仍是一个向量; (2)当向量a 与b 不共线时,a +b 的方向不同向,且|a +b |<|a |+|b |; (3)当a 与b 同向时,则a +b 、a 、b 同向,且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时,若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同,且 |a +b |=|a |-|b |;若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同,且|a +b|=|b |-|a |. (4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到n 个向量连加. 例1 已知向量a 、b ,求作向量a +b . 作法:在平面内取一点,作a OA = b AB =,则b a OB +=. 4.加法的交换律和平行四边形法则 问题:上题中b +a 的结果与a +b 是否相同? 验证结果相同 从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应); A B C a +b a +b a a b b a b b aa
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
§2.4平面向量的数量积 教学目的: 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学生 推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识 点:平面向量数量积的定义及几何意义;平面向量数量积的5个重要性质;平面向量数量积 的运算律. 教学过程: 一、复习引入: 1. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ, 使b =λa . 2.平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使a =λ11e +λ22e 3.平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ,由平面 向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ,使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的(直角)坐标,记作),(y x a = 4.平面向量的坐标运算 若),(11y x a =,),(22y x b =,则b a +),(2121y y x x ++=,b a -),(2121y y x x --=,),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=