截面形心和惯性矩的计算
工程构件典型截面几何性质的计算
2.1面积矩
1．面积矩的定义
图2-2.1任意截
面的几何图形
如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。定义：积分和
分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1)
(2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。
2．面积矩与形心
平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)
(2—2.2)
或改写成，如式(2—2.3)
(2—2.3)
面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。图形形心相对于某一坐标距
离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。
3．组合截面面积矩和形心的计算
组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。如式(2—2.4)
(2—2.4)式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。
(2—2.5)
2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积
1．极惯性矩
任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6)
(2—2.6)
极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。
(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7)
(2—2.7)
(2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2—2.8)
(2—2.8)
式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。
2．惯性矩
在如图6-1所示中，定义积分，如式(2—2.9)
(2—2.9)
称为图形对z轴和y轴的惯性矩。惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。
同一图形对一对正交轴的惯性矩和对坐标原点的极惯性矩存在着一定的关系。
如式2—2.10)
I P=I z+I y (2—2.10)
上式表明，图形对任一点的极惯性矩，等于图形对通过此点且在其平面内的任一对正交轴惯性矩之和。
表6-1给出了一些常见截面图形的面积、形心和惯性矩计算公式，以便查用。工程中使用的型钢截面，如工字钢、槽钢、角钢等，这些截面的几何性质可从附录的型钢表中查取。
3．惯性积
如图2—32所示，积分定义为图形对y，、z轴的惯性积，用符号I
表示，如式(2—11)
yz
(2—11)
图2-2.2具有轴对称的图形
惯性积是对于一定的一对正交坐标轴而言的，即同一图形对不同的正交坐标轴的惯性积不同，惯性积的数值可正、可负、可为零，其量纲和单位与惯性矩相同。
由惯性积的定义可以得出如下结论：若图形具有对称轴，则图形对包含此对称轴在内的一对正交坐标抽的惯性积为零。如图2-32所示，y 为图形的对称轴.则整个图形对y 、z 轴的惯，性积等于零。
常见图形的面积、形心和惯性矩
表2—2.1 序
号
图 形 面 积
形 心 位
置
惯性矩(形心轴
)
1
2
3
4
5
6
2．3
组合截面的惯性矩
1．惯性矩和惯性积的平行移轴公式
任意平面图
图2-33所示。z、y
对正交的形心轴，
y
为与形心轴平行的另
1
一对正交轴，平行轴间
的距离分别为a和b。
已知图形对形心轴的
惯性矩I z、I y和惯性积
I
，现求图形对z1、y1
zy
轴的惯性矩I z1、I y1和惯
性积I z1y1。有惯性矩和
惯性积的平行移轴公
式如式(2—2.12)和式
(2—2.13)
(2—2.12)
I z1y1=I zy+abA (2—2.13)
可见，图形对于形心轴的惯性矩是对所有平行轴的
惯性矩中最小的一个。在应用平行移轴公式(2—2.12)
时，要注意应用条件，即y、z轴必须是通过形心的轴，
且z1、y1轴必须分别与z、y轴平行。在应用式(2—2.13)
计算惯性积时，还须注意a、b的正负号，它们是截面
形心c在z1oy1坐标系中的坐标值。
2．组合截合惯性矩计算
组合图形对某一轴的惯性矩，等于其各组成部分简
单图形对该轴惯性矩之和，如式(2—2.14)
(2—2.14)
在计算组合图形对z、y轴的惯性矩时，应先将组
合图形分成若干个简单图形，并计算出每一简单图形对
平行于z、y轴的自身形心轴的惯性矩，然后利用平行
移轴公式(2—2.12)计算出各简单图形对z、y轴的惯性矩，最后利用式(2—2.14)求总和。
2.4主惯性轴和主惯性矩
过图形上任一点都可得到一对主轴，通过截面图形
形心的主惯性轴，称为形心主轴，图形对形心主轴的惯
性矩称为形心主惯性矩。在对构件进行强度、刚度和稳
定计算中，常常需要确定形心主轴和计算形心主惯性
矩。因此，确定形心主轴的位置是十分重要的。由于图
形对包括其对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积为
零，所以对于如图6-4所示具有对称轴的截面图形，可
根据图形具有对称轴的情况，观察确定形心主轴的位
置。
(1)如果图形有一根对称轴，则此轴必定是形心主轴、而另一根形心主轴通过形心，并与对称轴垂直，如
图2-34 b)、d)所示。
(2)如果图形有两根对称轴，则该两轴都为形心主轴，如图6-4 a)、c)所示。
(3)如果图形具有3根或更多根对称轴，过图形形心
的任何轴都是形心主、轴，且图形对其任一形心主轴的
惯性矩都相等，如图6-4 e)、f)所示。
图2-2.4具有
称轴的截面图
抗弯截面系数
在横截面上离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大，其值为
比值Iz/ymax仅与截面的形状与尺寸有关，称为抗弯截面系数，并用Wz表示，即Wz=Iz/ymax 由公式可见，最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯截面系数成反比。抗弯截面系数Wz综合反映了横截面的形状与尺寸对弯曲正应力的影响。一些常用抗弯截面系数
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式
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惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式 截面图形的几何性质 一.重点及难点： (一).截面静矩和形心 1.静矩的定义式 如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即 ydA dSx xdA dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 ??==A A y ydA Sx xdA S （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1 设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0 A S y x = ， A S x y = （I-2） 推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。 推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。 3.组合图形的静矩和形心 设截面图形由几个面积分别为n A A A A ??321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为??332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为
∑∑∑∑========n i n i i i xi x n i i i n i yi y y A S S x A S 11 11 S （I-3） 截面图形的形心坐标为 ∑∑===n i i n i i i A x A x 11 ， ∑∑===n i i n i i i A y A y 11 （I-4） 4.静矩的特征 (1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 (2) 静矩有的单位为3m 。 (3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。 （二）.惯性矩 惯性积 惯性半径 1. 惯性矩 定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对O 点的极惯性矩定义为 ?=A p dA I 2ρ （I-5） 图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为 ?=A y dA x I 2 ， dA y I A x ?=2 （I-6） 惯性矩的特征 （1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐 标轴定义的。 （2） 极惯性矩和轴惯性矩的单位为4m 。
惯性矩的计算方法
I等．I等是从不同角度反映了截 S，其数学表达式 (4 -1a ) (4-1b) (4 -2a )
(4-2b) 式中y、z 为截面图形形心的坐标值．若把式(4-2) 改写成 (4-3) 性质： ?若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心． ?若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零． ?由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。 4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形( 如矩形、圆形等) 组合 而成的．对于这样的组合截面图形，计算静矩(S) 与形心坐标(y、z ) 时，可用以下公式 (4-4) (4-5) 式中A，y ，z 分别表示第个简单图形的面积及其形心坐标值，n 为组成组合图形的简单图形个数． 即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和．组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积．组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的． 例4-1 已知T 形截面尺寸如图4-2 所示，试确定此截面的形心坐标值．
、两个矩形，则 设任一截面图形( 图4 — 3) ，其面积为A ．选取直角坐标系yoz ，在坐标为(y 、z) 处取一微小面积dA ，定义此微面积dA 乘以到坐标原点o的距离的平方，沿整个截面积分，为截面图形的极惯性矩I．微面积dA 乘以到坐标轴y 的距离的平方，沿整个截面积分为截面图形对y 轴的惯性矩I．极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩． 数学表达式为
极惯性矩(4-6) 对y 轴惯性矩(4 -7a ) 同理，对z 轴惯性矩(4-7b) 由图4-3 看到所以有 即(4-8) 式(4 — 8) 说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。 在任一截面图形中( 图 4 — 3) ，取微面积dA 与它的坐标z 、y 值的乘积，沿整个截面积分，定义此积分为截面图形对y 、z 轴的惯性积，简称惯积．表达式为 (4-9) 惯性矩、极惯性矩与惯性积的量纲均为长度的四次方．I,I,I恒为正值．而惯性积I其值能为正，可能为负，也可能为零．若选取的坐标系中，有一轴是截面的对称轴，则截面图形对此轴的惯性积必等于零． 当截面图形对某一对正交坐标轴的惯性积等于零时，称此对坐标轴为截面图形的主惯性轴．对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩．而通过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴( 或称主形心惯轴) ．截面对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩( 或称主形心惯矩) ．例如，图4-4 中若这对yz 轴通过截面形心，则它们就是形心主惯性轴．对这两个轴的惯性矩即为形心主惯性矩．
极惯性矩常用计算公式
极惯性矩常用计算公式：Ip=∫Aρ^2dA 矩形对于中线(垂直于h边的中轴线)的惯性矩：b*h^3/12 三角形：b*h^3/36 圆形对于圆心的惯性矩：π*d^4/64 环形对于圆心的惯性矩：π*D^4*（1-α^4)/64;α=d/D §16-1 静矩和形心 平面图形的几何性质一般与杆件横截面的几何形状和尺寸有关，下面介绍的几何性质表征量在杆件应力与变形的分析与计算中占有举足轻重的作用。 静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图Ⅰ-1所示。 定义式： ，(Ⅰ-1） 量纲为长度的三次方。 由此可得薄板重心的坐标为 同理有 所以形心坐标 ，（Ⅰ-2） 或 ，
由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零，即， ；，则；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。 如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第i块分图形的面积为，形心坐标为，则其静矩和形心坐标分别为 ，（Ⅰ-3） ，（Ⅰ-4） 【例I-1】求图Ⅰ-2所示半圆形的及形心位置。 【解】由对称性，，。现取平行于轴的狭长条作为微面积 所以 读者自己也可用极坐标求解。
【例I-2】确定形心位置，如图Ⅰ-3所示。 【解】将图形看作由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成，在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别为 矩形Ⅰ：mm2 mm，mm 矩形Ⅱ：mm2 mm，mm 整个图形形心的坐标为 §16-2 惯性矩和惯性半径 惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图Ⅰ-4所示。 ，(Ⅰ-5) 量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义 ，(Ⅰ-6) 为图形对轴和对轴的惯性半径。
截面形心和惯性矩的计算
截面形心和惯性矩的计算
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工程构件典型截面几何性质的计算 2.1面积矩 1．面积矩的定义 图2-2.1任意截 面的几何图形 如图2-31所示为一任意截面的 几何图形(以下简称图形)。定义：积分和 分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1) (2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。 2．面积矩与形心 平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2) (2—2.2) 或改写成，如式(2—2.3) (2—2.3) 面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐
标轴之间距离的远近程度。图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。 图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。 3．组合截面面积矩和形心的计算 组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。如式(2—2.4) (2—2.4)式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。 (2—2.5) 2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积 1．极惯性矩 任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6) (2—2.6) 极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。极惯性矩恒为正，
截面惯性矩计算
截面的几何性质 15-1(I-8) 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的轴的惯性矩。 解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理，可求得 截面对形心轴的惯性矩 所以 再次应用平行轴定理，得 返回 15-2(I-9) 试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距1 m。 解：知半圆形截 面对其底边的惯性矩是，用 平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩
再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩 返回 15-3(I-10) 试求图示组合截面对于形心轴的惯性矩。 解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴的距离是 上面一个圆的圆心到轴的距离是。 利用平行轴定理，得组合截面对轴的惯性矩如下： 返回 15-4(I-11) 试求图示各组合截面对其对称轴的惯性矩。
解：（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是。 利用平行轴定理得组合截面对轴的惯性矩 （b）等边角钢的截面积是，其形心距外边缘的距离是28.4 mm，求得组合截面对轴的惯性矩如下： 返回 15-5(I-12) 试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴的惯性矩。关于形心位置，可利用该题的结果。 解：形心轴位置及几何尺寸如图所示。惯性矩计算如下： 返回 15-6(I-14) 在直径的圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所示， 试求截面对其水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩和。 解：先求形心主轴的位置 即
15-7(I-16) 图示由两个20a号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴 的惯性矩和相等，则两槽钢的间距应为多少？ 解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴、的惯性矩是， ；横截面积为；槽钢背到其形心轴的距离 是。 根据惯性矩定义和平行轴定理，组合截面对，轴的惯性矩分别是 ； 若 即 等式两边同除以2，然后代入数据，得 于是 所以，两槽钢相距
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式 截面图形的几何性质 一.重点及难点： (一).截面静矩和形心 1.静矩的定义式 如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即 ydA dSx xdA dS y ==整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 ??==A A y ydA Sx xdA S （I-1）2.形心与静矩关系 图I-1 设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0 A S y x = ， A S x y = （I-2） 推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。 推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。 3.组合图形的静矩和形心 设截面图形由几个面积分别为n A A A A ??321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为??332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为
∑∑∑∑========n i n i i i xi x n i i i n i yi y y A S S x A S 1 1 11S （I-3） 截面图形的形心坐标为 ∑∑=== n i i n i i i A x A x 1 1 ， ∑∑=== n i i n i i i A y A y 1 1 （I-4） 4.静矩的特征 (1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 (2) 静矩有的单位为3m 。 (3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。 （二）.惯性矩 惯性积 惯性半径 1. 惯性矩 定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对O 点的极惯性矩定义为 ?=A p dA I 2ρ （I-5） 图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为 ?=A y dA x I 2 ， dA y I A x ?=2 （I-6） 惯性矩的特征 （1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐
截面形心和惯性矩的计算
工程构件典型截面几何性质的计算 2.1面积矩 1．面积矩的定义 图2-2.1任意截 面的几何图形 如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。定义：积分和 分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1) (2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。 2．面积矩与形心 平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2) (2—2.2) 或改写成，如式(2—2.3) (2—2.3) 面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。图形形心相对于某一坐标距
离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。 图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。 3．组合截面面积矩和形心的计算 组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。如式(2—2.4) (2—2.4)式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。 (2—2.5) 2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积 1．极惯性矩 任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6) (2—2.6) 极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。 (1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7)
(2—2.7) (2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2—2.8) (2—2.8) 式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。 2．惯性矩 在如图6-1所示中，定义积分，如式(2—2.9) (2—2.9) 称为图形对z轴和y轴的惯性矩。惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。 同一图形对一对正交轴的惯性矩和对坐标原点的极惯性矩存在着一定的关系。 如式2—2.10) I P=I z+I y (2—2.10) 上式表明，图形对任一点的极惯性矩，等于图形对通过此点且在其平面内的任一对正交轴惯性矩之和。 表6-1给出了一些常见截面图形的面积、形心和惯性矩计算公式，以便查用。工程中使用的型钢截面，如工字钢、槽钢、角钢等，这些截面的几何性质可从附录的型钢表中查取。 3．惯性积 如图2—32所示，积分定义为图形对y，、z轴的惯性积，用符号I 表示，如式(2—11) yz
惯性矩的计算方法
I等． I等是从不同角度反映了截 S，其数学表达式 (4 -1a ) (4-1b) (4 -2a )
(4-2b) 式中 y、 z 为截面图形形心的坐标值．若把式 (4-2) 改写成 (4-3) 性质： ?若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心． ?若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零． ?由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。 4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形 ( 如矩形、圆形等 ) 组合而成的．对于这样的组合截面图形，计算静矩 (S) 与形心坐标 (y、 z ) 时，可用以下公式 (4-4) (4-5) 式中 A， y ， z 分别表示第个简单图形的面积及其形心坐标值， n 为组成组合图形的简单图形个数． 即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和．组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积．组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的． 例 4-1 已知 T 形截面尺寸如图 4-2 所示，试确定此截面的形心坐标值．
、两个矩形，则 设任一截面图形 ( 图 4 — 3) ，其面积为 A ．选取直角坐标系 yoz ，在坐标为 (y 、 z) 处取一微小面积 dA ，定义此微面积 dA 乘以到坐标原点o的距离的平方，沿整个截面积分，为截面图形的极惯性矩 I．微面积 dA 乘以到坐标轴 y 的距离的平方，沿整个截面积分为截面图形对 y 轴的惯性矩 I．极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩． 数学表达式为
惯性矩、静矩,形心坐标公式
§I?1 截面的静矩和形心位置 如图I ?1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分 ? ??? ?==??A z S A y S A y A z d d （I ?1） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。 静矩可用来确定截面的形心位置。由静力学中确定物体重心的公式可得 ? ??? ???== ??A A z z A A y y A C A C d d 利用公式（I ?1），上式可写成 ? ??? ? ? ?====??A S A A z z A S A A y y y A C z A C d d （I ?2） 或 ? ? ?==C y C z Az S Ay S （I ?3） ???????= =A S z A S y y C z C （I ?4） 如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静 矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对 图I ?1
同一坐标轴的静矩的代数和。即： ?? ??? ?? ==∑∑==n i ci i y n i ci i z z A S y A S 11 （I ?5） 式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简 单图形的个数。 将式（I ?5）代入式（I ?4），得到组合图形形心坐标的计算公式为 ??????????? ?? ==∑∑∑∑====n i i n i ci i c n i i n i ci i c A z A z A y A y 11 1 1（I ?6） 例题I ?1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。 解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则 A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ =0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m 例题I ?1图
惯性矩总结含常用惯性矩公式
惯性矩总结含常用惯性矩 公式 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗扭动，扭转的能力。惯性矩的国际单位为(m^4)。 工程构件典型截面几何性质的计算 2.1面积矩 1．面积矩的定义 图2-2.1任意截面的几何图形 如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。定义：积分和 分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1) (2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。 2．面积矩与形心 平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2) (2—2.2) 或改写成，如式(2—2.3)
(2—2.3) 面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。 图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。 3．组合截面面积矩和形心的计算 组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。如式(2—2.4) (2—2.4) 式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。 (2—2.5) 2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积 1．极惯性矩 任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6) (2—2.6) 极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。
惯性矩总结(含常用惯性矩公式)
惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗扭动，扭转的能力惯性矩的国际单位为(m%)。 工程构件典型截面几何性质的计算 2.1面积矩 1?面积矩的定义 别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号和，来表示，如式(2 —2.1) (2 — 2.1) 面积矩的数值可正、可负，也可为零。面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单 3 3 位为m或o 2?面积矩与形心 平面图形的形心坐标公式如式(2 —2.2) 4 =— 」」(2 — 2.2) 或改写成，如式(2 —2.3) 亀二5 —2.3) 面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。图形 如图2-31所示为一任意截面的几何图形 (以下简称图形)。定义：积分和I二‘分 图2-2.1任意截面的几何图形
形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。 图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零, 该轴一定通过图形形心。 3?组合截面面积矩和形心的计算 组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。如式(2 — 2.4) = S5，ii , (2 — 2.4) 式中，A和、分别代表各简单图形的面积和形心坐标。组合平面图形的形心位置由 式(2 —2.5)确定。 占1西+舄阳+?* ? +4兀二名1 丿】+缶+…+哉V V" Ay =岀了】十爲丁2十-?.十爲丿击 = 台 2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积 1 ?极惯性矩 任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。定义：积分「川」称为图形对0点的 极惯性矩，用符号，表示，如式(2 —2.6) (2 — 2.6) 极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m或4。 (1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2 —7) --(2 — 2.7) (2)对于外径为D内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2 —2.8) 范(2 — 2.8) 式中，二二为空心圆截面内、外径的比值 (2 —2.5)
惯性矩的定义和计算公式
惯性矩的定义 ●区域惯性矩-典型截面I ●区域惯性矩，一个区域的惯性矩或典型截面轮廓的第二个区域惯性矩 ●面积惯性矩或面积惯性矩-也称为面积二阶矩-I，是用于预测梁的挠度、弯曲和 应力的形状特性。 ●面积惯性矩-英制单位 ●inches4 ●面积惯性矩-公制单位 ●mm4 ●cm4 ●m4 ●单位转换 ● 1 cm4 = 10-8 m4 = 104 mm4 ● 1 in4 = 4.16x105 mm4 = 41.6 cm4 ●示例-惯性单位面积矩之间的转换 ●9240 cm4 can be converted to mm4 by multiplying with 104 ●(9240 cm4) 104 = 9.24 107 mm4 ●区域惯性矩（一个区域或第二个区域的惯性矩） ● ●绕x轴弯曲可表示为 ●I x = ∫ y2 dA (1) ●其中
●I x =与x轴相关的惯性矩面积(m4, mm4, inches4)●y =从x轴到元件dA的垂直距离(m, mm, inches)●dA =基元面积(m2, mm2, inches2) ●绕y轴弯曲的惯性矩可以表示为 ●I y = ∫ x2 dA (2) ●其中 ●I x =与y轴相关的惯性矩面积(m4, mm4, inches4)●x =从轴y到元件dA的垂直距离(m, mm, inches)●典型截面I的面积惯性矩 ●典型截面II的面积惯性矩 ●实心方形截面 ● ●实心方形截面的面积惯性矩可计算为 ●I x = a4 / 12 (2) ●其中 ● a = 边长(mm, m, in..) ●I y = a4 / 12 (2b) ●实心矩形截面
惯性矩、静矩,形心坐标公式
§I ?1 截面的静矩和形心位置 如图I ?1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分 ? ??? ?==??A z S A y S A y A z d d （I ?1） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。 静矩可用来确定截面的形心位置。由静力学中确定物体重 心的公式可得 ? ??? ??? == ??A A z z A A y y A C A C d d 利用公式（I ?1），上式可写成 ???? ? ? ?==== ??A S A A z z A S A A y y y A C z A C d d （I ?2） 或 ? ? ?==C y C z Az S Ay S （I ?3） 图I ?1
???????= = A S z A S y y C z C （I ?4） 如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。即： ?? ??? ?? ==∑∑==n i ci i y n i ci i z z A S y A S 11 （I ?5） 式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。 将式（I ?5）代入式（I ?4），得到组合图形形心坐标的计算公式为 ??? ? ????????? ==∑∑∑∑====n i i n i ci i c n i i n i ci i c A z A z A y A y 111 1 （I ?6） 例题I ?1 图a 所示为对称T 型截面，求该截 面的形心位置。 解：建立直角坐标系 zOy ，其中y 为截面的对 称轴。因图形相对于y 轴
材料力学--计算机计算惯性矩和抗弯截面系数方法(精)
材料力学—计算机计算惯性矩和抗弯截面系数方法 1 在AutoCAD中绘制需要计算的截面图形或导入图形，如图1所示。 图1 2 创建面域 面域创建的方式主要有两种： （1）reg命令。输入reg并回车或在菜单栏点选“绘图”→“面域”，按提示选择需要计算的截面图形线条；右键或Enter键确定。会建立两个面域（外围边框和内部边框）； （2）bo命令。在命令行输入bo并回车或在菜单栏点选“绘图”→“边界”，弹出如图2所示“边界创建”对话框。选择创建“对象类型”为“面域”，勾选“孤岛检测”，点击“拾取点”返回绘图界面，用十字光标拾取截面图形内部任意一点，右键或Enter键确定。也会建立两个面域（外围边框和内部边框）。 图2 3 面域差集计算 将建立的两个面域进行差集计算。在命令行输入subtract并回车或在菜单栏点选“修改”→“实体编辑”→“差集”，按提示选择要从中减去的实体或面域（外围边框）并回车，再选择要减去的实体或面域（内部边框）并回车，会将两个面域合成一个整体面域。 4 查询计算 （1）在命令行输入massprop 并回车或在菜单中选择“工具”→“查询”→“面积／质量特性”； （2）选择刚创建的面域并回车，弹出如图3所示的文本对话框； 图
3 （3）得到截面面积=37.7mm2，截面形心坐标为（88.11，211.48）。截面惯性矩、惯性积、主力矩。 5 对截面形心坐标轴的惯性矩、惯性半径、抗弯截面系数查询计算 （1）从主力矩与质心的X-Y方向可以得出： Ix=188.5mm4, Iy=188.5mm4 （2）利用刚得到的截面形心坐标为（88.11，211.48），命令行输入ucs→（88.11，211.48），将用户ucs坐标原点移动到截面形心，如图4； 图4 （3）命令行输入massprop并回车，弹出如图5所示的文本对话框； 图5 （4）可得：截面对形心轴的惯性矩Ix=188.5mm4、Iy=188.5mm4，惯性积Ixy=0（由图5可知，形心轴y轴为截面图形的对称轴，所以截面图形对形心轴x、y轴的惯性积恒等于零）。 由图5可知，截面图形边界框值为x：-4—4、y：-4—4， 抗弯截面系数计算如下： Wx1=Ix/ymax=188.5/4=47.13mm3 Wx2= Ix/ymin=188.5/4=47.13mm3 Wy1= Iy/xmax=188.5/4=47.13mm3 Wy2= Iy/ymin=188.5/4=47.13mm3 6 相同的计算方法就可以计算各种复杂截面的零件的惯性矩和抗弯截面系数，只是在计算中要注意截面面域的选择要正确，截面差集要准确。
惯性矩计算方法
抗弯惯距和抗扭惯距的计算 2009-10-20 09:54 计算过上部的人都知道，在计算横向力分布系数和冲击系数的时候都需要计算截面的抗弯惯距和抗扭惯距，下面就介绍几种方法来计算抗弯惯距和抗扭惯距（本教程拿30米简支转连续箱梁截面做样例）： 一、在AUTOCAD中有一个命令massprop可以计算截面的面积、周长、质心、惯性矩 操作简介：1、首先在CAD中画出如下图的图形；2、用region命令将图形转化成内外两个区域；3、用subtract命令求内外区域的差集；4、用move命令将图形移动至（0，0，0），用scale命令将图形单位调整为米；5、用massprop命令计算截面性质（可惜这个命令不能计算抗扭惯距） Command: mas MASSPROP Select objects: 1 found Select objects: ---------------- REGIONS ---------------- Area（面积）: 1.2739 Perimeter（周长）: 13.7034 Bounding box（边缘）: X: -1.7000 -- 1.7000 Y: 0.0000 -- 1.6000 Centroid（质心）: X: 0.0000 Y: 1.0458 Moments of inertia: X: 1.7883 Y: 0.7922 Product of inertia: XY: 0.0000 Radii of gyration: X: 1.1848 Y: 0.7886 Principal moments and X-Y directions about centroid: I: 0.3950 along [1.0000 0.0000]这就是惯距 J: 0.7922 along [0.0000 1.0000] 第二种方法：采用桥博计算截面惯距 操作简介：本人使用的是桥博3.03，大家可以新建一个项目组，在新建项目上右键选择截面设计，选择C:\Program Files\TongHao\DoctorBridge30\EXAMPLES\Tool\DbDebug2.sds,当前任务类型选择截面几何特征，在截面描述中清除当前截面（包括附加截面还有主截面里面的钢筋），选择“斜腹板单箱单室”（大家在可根据自己计算的截面选择相应的截面，如果桥博内置的截面没有的话，可以选用从CAD中导入，ＣＡＤ导入将在后面的教程中介绍）输入截面相应的数据（附图） 输出结果附后 <<桥梁博士>>---截面设计系统输出 文档文件: C:\Program
截面惯性矩
计算过上部的人都知道，在计算横向力分布系数和冲击系数的时候都需要计算截面的抗弯惯距和抗扭惯距，下面就介绍几种方法来计算抗弯惯距和抗扭惯距（本教程拿30米简支转连续箱梁截面做样例）： 一、在AUTOCAD中有一个命令massprop可以计算截面的面积、周长、质心、惯性矩 操作简介：1、首先在CAD中画出如下图的图形；2、用region命令将图形转化成内外两个区域；3、用subtract命令求内外区域的差集；4、用move命令将图形移动至（0，0，0），用scale命令将图形单位调整为米；5、用massprop命令计算截面性质（可惜这个命令不能计算抗扭惯距） Command: mas MASSPROP Select objects: 1 found Select objects: ---------------- REGIONS ---------------- Area（面积）: 1.2739 Perimeter（周长）: 13.7034 Bounding box（边缘）: X: -1.7000 -- 1.7000 Y: 0.0000 -- 1.6000 Centroid（质心）: X: 0.0000 Y: 1.0458 Moments of inertia: X: 1.7883 Y: 0.7922 Product of inertia: XY: 0.0000 Radii of gyration: X: 1.1848 Y: 0.7886 Principal moments and X-Y directions about centroid: I: 0.3950 along [1.0000 0.0000]这就是惯距 J: 0.7922 along [0.0000 1.0000] 第二种方法：采用桥博计算截面惯距 操作简介：本人使用的是桥博3.03，大家可以新建一个项目组，在新建项目上右键选择截面设计，选择C:\Program Files\TongHao\DoctorBridge30\EXAMPLES\Tool\DbDebug2.sds,当前任务类型选择截面几何特征，在截面描述中清除当前截面（包括附加截面还有主截面里面的钢筋），选择“斜腹板单箱单室”（大家在可根据自己计算的截面选择相应的截面，如果桥博内置的截面没有的话，可以选用从CAD中导入，ＣＡＤ导入将在后面的教程中介绍）输入截面相应的数据（附图） 输出结果附后 <<桥梁博士>>---截面设计系统输出 文档文件: C:\Program Files\TongHao\DoctorBridge30\EXAMPLES\Tool\DbDebug2.sds 文档描述: 桥梁博士截面设计调试 任务标识: 任务类型: 截面几何特征计算 ------------------------------------------------------------
惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式 截面图 形的几何性质 一.重点及难点： （一）.截面静矩和形心 1?静矩的定义式 如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积 dA ，定义它对任意轴的 一次矩为它对该轴的静矩，即 dS y =xdA dSx 二 ydA 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 S y = A XdA （I ） Sx ydA 、A 2. 形心与静矩关系 设平面图形形心C 的坐标为y C , z C S x S y y - ， x （ I-2） A A 推论1如果y 轴通过形心（即x = 0），则静矩S y =0 ;同理，如果x 轴 通过形心（即y = 0），则静矩Sx=o ；反之也成立。 推论2如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果 y 轴为图形对称轴，贝昭形形心必在此轴上。 3. 组合图形的静矩和形心 设截面图形由几个面积分别为 A,A 2,A3……A n 的简单图形组成，且一直 各族图形的形心坐标分别为 丘局乂2*2；壬3,『3"…=，则图形对y 轴和x 轴 的静矩分别为 图I-1 则 0
S y = " S yi = ' A i X i i 4 i 4 n n S x = ' S xi = ' A i y i i 4 i 4 截面图形的形心坐标为 、' A i X i 4. 静矩的特征 （1）界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 （2）静矩有的单位为m 3 （3）静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定 为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 ⑷ 若已知图形的形心坐标。则可由式（1-1）求图形对坐标轴的静矩。 若已 知图形对坐标轴的静矩，则可由式（1-2）求图形的形心坐标。组 合图形的形心位置，通常是先由式（1-3）求出图形对某一坐标系的静 矩，然后由式（1-4）求出其形心坐标。 （二）■惯性矩惯性积惯性半径 1. 惯性矩 定义 设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3），则图形对0点的极 惯性矩定义为 I p = A '2dA （1-5） 图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为 I y 「A X 2dA ， I x 「A y 2dA （ I-6） 惯性矩的特征 （1）界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的； 轴惯性矩是对某一坐 标轴 定义的。 （2）极惯性矩和轴惯性矩的单位为m 4 (1-3) 、A i y i (1-4)
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式
一.重点及难点： (一).截面静矩和形心 1.静矩的定义式 如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即 ydA dSx xdA dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 ??==A A y ydA Sx xdA S （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1 设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0 A S y x = ， A S x y = （I-2） 推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。 推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。 3.组合图形的静矩和形心 设截面图形由几个面积分别为n A A A A ??321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为??332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为 ∑∑∑∑========n i n i i i xi x n i i i n i yi y y A S S x A S 11 11 S （I-3） 截面图形的形心坐标为
∑∑===n i i n i i i A x A x 11 ， ∑∑===n i i n i i i A y A y 11 （I-4） 4.静矩的特征 (1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 (2) 静矩有的单位为3m 。 (3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。 （二）.惯性矩 惯性积 惯性半径 1. 惯性矩 定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对O 点的极惯性矩定义为 ?=A p dA I 2ρ （I-5） 图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为 ?=A y dA x I 2 ， dA y I A x ?=2 （I-6） 惯性矩的特征 （1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐 标轴定义的。 （2） 极惯性矩和轴惯性矩的单位为4m 。 （3） 极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。 （4） 图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标原 点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即 ??+=+==A x y A p I I dA y x dA I )(222ρ （I-7）
惯性矩的计算方法 (2)
第1节静矩和形心 4.1 静矩和形心 任何受力构件的承载能力不仅与材料性能和加载方式有关，而且与构件截面的几何形状和尺寸有关．如：计算杆的拉伸 与压缩变形时用到截面面积A ，计算圆轴扭转变形时用到横截面的极惯性矩I等．A 、I等是从不同角度反映了截面的几何特性，因此称它们为截面图形的几何性质． 4.1 静矩和形心 设有一任意截面图形如图4 — 1 所示，其面积为A ．选取直角坐标系yoz ，在坐标为(y,z) 处取一微小面积dA ，定义微面积dA 乘以到y 轴的距离z ，沿整个截面的积分，为图形对y 轴的静矩S，其数学表达式 (4 -1a ) 同理，图形对z 轴的静矩为 (4-1b) 图4-1 截面静矩与坐标轴的选取有关，它随坐标轴y 、z 的不同而不同．所以静矩的数值可能是正，也可能是负或是零．静矩的量纲为长度的三次方． 确定截面图形的形心位置( 图4-1 中C 点): (4 -2a ) (4-2b)
式中y、z 为截面图形形心的坐标值．若把式(4-2) 改写成 (4-3) 性质： ?若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心． ?若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零． ?由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。 4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形( 如矩形、圆形等) 组合而成的．对于这样的组合截面图形，计算静矩(S) 与形心坐标(y、z ) 时，可用以下公式 (4-4) (4-5) 式中A，y ，z 分别表示第个简单图形的面积及其形心坐标值，n 为组成组合图形的简单图形个数． 即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和．组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积．组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的． 例4-1 已知T 形截面尺寸如图4-2 所示，试确定此截面的形心坐标值．