2005杭州二中高二期末考试数学试题(理)

2005杭州二中高二期末考试数学试题（理）

2005杭州二中高二期末考试数学试题（理）

考试时间：120分钟 满分150分

一．选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．集合{}1

23,22x A x x B x

x ?

-?

=-≤=≤??-??，则R A B = e （A ）A （B ）B （C ）R A e （D ）?

2．设地球的半径为R ，若在东经0110的经线上有北纬030的点A 和南纬015的点B ，则A 、B 两点的球面距离是 （A ）

12

R π

（B ）

3

R π

（C ）

6

R π

（D ）

4

R π

3．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若16x x S S -=，

11m S S =()*,x m N ∈，则m 的值是

（A ）4 （B ）5 （C ）7 （D ）8

4．已知点()()()1,2,11,4,2,3,,,15A B C x y -三点共线，那么,x y 的值分别为 （A ）1,42

-

- （B ）1,8 （C ）

1,42

（D ）1,8--

5．在A B C ?中，已知tan sin 2

A B C +=，则：①tan cot 1A B =；②sin cos 0A B -=；

③22sin cos 1A B +=；④222

cos cos sin A B C +=；⑤0sin sin A B <+≤

．其中正

确的是

（A ）①②④ （B ）②③⑤ （C ）②④⑤ （D ）①③⑤

6．设有如下三个条件：:p 相交直线,m n 都在平面α内，且都不在平面β内；:q 直线,m n 之中至少有一条与平面β相交；:r 平面α与平面β相交．当p 成立时，q 是r 的 （A ）充分非必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分且必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

7．椭圆的中心在原点，焦点,E F 在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且P E x ⊥轴，()PF AB R λλ=∈

，则此椭圆的离心率等于

8．甲、乙两人同时独立地打靶，谁先打中谁胜（如两人在同一次都打中，则为和局，比赛结束），已知甲命中概率为23

，乙命中概率为

34

，则第二轮分出胜负的概率为

（A ）

5144

（B ）512

（C ）118

（D ）

172

9．设0,

2x π?

?

∈?

??

?

，则函数()()()10

10

1sin 1sin f x x x =++-的最大值是

（A ）9

2 （B ）10

2 （C ）11

2 （D ）10

10

3122??

??+ ?

???

??

10．关于x 的方程cos 2cos x x k +=在[]0,2π有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是

（A ）[]1,3- （B ）(]1,3 （C ）(){}1,30 （D ）(]{}1,30

二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．请把答案填在题中的横线上． 11．棱长为a 的正方体的外接球的表面积是 ．

12．已知()8

8

0191ax a a x a x +=+++ ，若129

255a a a +++= ，则实数a = ． 13．已知某篮球选手罚球投蓝的命中概率为45

，在进行三次罚蓝中命中两次的概率为

（用数字做答）．

14．已知球内接正方体，则下列图形中可以是过球心的截面的序号是 ．

2005杭州二中高二期末考试数学答题卷

二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．

11． 12．

13． 14．

三．解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（本小题14分）解不等式2

2

212128

x x x x +-≤--．

16．（本小题14分）已知数字1，2，3，4，5，6，7，8，9． （Ⅰ）能组成多少个数字不重复的四为位偶数？

（Ⅱ）能组成多少个百位数字大于十位数字且十位数字大于个位数字的三位数？ （Ⅲ）如果把9个数字平均分成三组，求三组都成等差数列的概率．

17．（本小题14分）在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，A B C ∠=0

90,ADC ∠=

120,BAD ∠=AD AB a ==，若()0PA a λλ=>．

（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）当λ=

A 到平面PDC 的距离；

（Ⅲ）当λ为何值时，点A 在平面PBD 的射影恰好是PBD ?的重心．

18．（本小题14分）某学校的甲同学参加智力竞赛，乙同学参加演讲比赛，竞赛组委会规定每项竞赛只设金、银两个奖项，已知甲同学获金牌的概率为35

，获银牌的概率为

15

，乙

同学获金牌的概率为

13

，获银牌的概率为

13

，为鼓励学生获得好成绩，学校决定：如果学

生获金牌则奖励助学金2万元，如果学生获银牌则奖励助学金1万元，不获奖则不发助学金．求学校奖金数ξ（万元）的概率分布列及数学期望．

19．（本小题14分）已知函数()()10,0x f x x a a ax

=

+>>的最小值为1．

（Ⅰ）若不等式()1f x m >-对任意[]2,3x ∈恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）设数列{}n a 中，()11a a a =>，且满足：()()*1n n a f a n N +=∈，用数学归纳法证明：()*1n a n N >∈．

D

C

20．（本小题14分）已知点P ()()0,0x y x y >>，是直线x y a +=上的一动点，由点P 向圆O ：222x y b +

=(

)

0a >>引两条切线，切点分别为A 、B ，直线AB 与,x y 轴

分别交于点M 、N ．

（Ⅰ）求O M N ?的面积的最小值；

（Ⅱ）是否存在点P ，使得0PA PB =

，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．

数学试卷评分细则

一．1~5 C D B A C 6~10 C B A B D

二．11．2

3a π；12．1a =或3a =-；13．

48125

；14．（1）（2）（4）．

三．15．原不等式

2

2

212128

x x x x +-≤--等价于

2

2

2121028

x x x x +--≤--， 3分

即

()()

()()

2

2

41340028

42x x x x x x x x +-+-≤?

≤---+ 7分

用根轴法得不等式的解为[)[)4,21,4-- 14分

x

（注：没有挖去2,4-的扣2分）

16．（Ⅰ）个位数为偶数字1

4C ，再从剩下的8个数中选3个进行排列38A ，

即满足条件的数共有13

481344C A = 4分

（Ⅱ）满足题意的三位数等价于从9个数字中任意选择3个进行组合， 即所求的个数为3984C = 8分 （Ⅲ）将9个数字平均分成三组的分法总数有

3

3

3

963

3

3280C C C A

= 10分

三组都成等差数列的情况有：公差为1的1种{}{}{}1,2,34,5,67,8,9 公差为1或2的有2种{}{}{}1,3,52,4,67,8,9{}{}{}1,2,34,6,85,7,9 公差为1或4的有1种{}{}{}1,5,92,3,46,7,8 公差为3的有一种{}{}{}1,4,72,5,83,6,9 所以所求的概率为51280

56

P =

= 14分

17．解法（一）连接,AC BD 交于O ，以O 为原点，CA 为x 轴，DB 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系o xyz - 2分 （Ⅰ）根据题意知

(

)0,0,0,,0,0,,0,

2230,,0,,0,,,0,0222a O A B a D a P a C a λ????

? ? ?????????

??

-- ? ? ? ?????

??

平面PAC 的法向量为()0,1,0BD =

，设平面PBD 的 法向量为(),,n x y z = ，则0,0n BD n PB ==

则()2,0,1n λ=- ，因为()()2,0,10,1,00n BD λ=-=

所以n BD ⊥

，故平面PAC ⊥平面PBD ． 6分 （Ⅱ）设平面PCD 的法向量为(),,m x y z = ，则0,0n C D n P D ==

(

)()3,,,00,,,,02222a x y z a a x y z λ????-== ? ? ? ?????

)

3,2m =- ，所以点A 到平面PCD 的距离为

2

AP m d a m

===

10分

（Ⅲ）根据题意得三角形PBD 的重心G 的坐标为,0,

6

3a a G λ??

???

，由于A G ⊥平面PBD

，所以()///,0,2,0,1332a a A G n A G n λμμλλ???=?-=-?= ?

??

14分 解法（二）（Ⅰ）连接,AC BD 交于O ，根据题意A C B D ⊥，而PA BD BD ⊥?⊥ 平面PAC ，因为BD ?平面PBD ，因此，平面PAC ⊥平面PBD ． 3分 （Ⅱ）因为,DC AD PA DC DC ⊥⊥?⊥平面PAD ， ∴平面PAD ⊥平面PCD

过A 向PD 作垂线AH ，垂足为H ，则AH ⊥平面PCD ，

∴ AH 就是点A 到平面PDC 的距离．

6分

∵22

a PD AH PA AD AH a a

=?=

=

8分

（Ⅲ）连接OP ，重心G 在OP 上，且PG=2GO ，连接

AG ，根据题意知，AG ⊥平面PBD ，

10分 因此，2

2

23

P A P

G P O P O ==

，

因为()2

2

2

,2

4

a a

PA a OA PO a λλ==

?=+

，

∴ ()()2

22

2342

a a a λλλ??+=?=??

?? 14分

18．解：根据题意ξ的可能取值为4，3，2，1，0

4分

当4ξ=，则甲、乙都得金牌，311535

P =

?= 5分

当3ξ=，则甲得金牌且乙得银牌或乙得金牌且甲得银牌，31114535315

P =?+?= 6分

当2ξ=，则甲得金牌乙不得牌或乙得金牌甲不得牌或甲、乙都得银牌 311111

1

5353533

P =

?+?+?= 7分 当1ξ=，则甲得银牌乙不得牌或乙得银牌甲不得牌，11112533515

P =?+?= 8分

当0ξ=，则甲、乙都不得牌，1113

5

15

P =?

=

9分

随机变量ξ的分布列为

因此，141

2112432105

15

3

15

15

5

E ξ=?

+?

+?+?

+?

=

13分

答：学校奖金数ξ的数学期望为

125

万元． 14分

19．解：因为()112x f x a a

ax

=+

≥=?= 2分

（1）()122x f x x

=

+

，当[]2,3x ∈时，()m in 524

f f ==

所以不等式()1f x m >-对任意[]2,3x ∈恒成立，只要514

m >-

即1944

m -

<<

5分

（2）()()*1n n a f a n N +=∈，即112

2n n n

a a a +=+ 7分

下面用数学归纳法证明：1n a >

①当1n =时，由已知11a a => 9分 ②假设n k =时，命题成立，即1k a > 10分 当1n k =+时，有2

1112

22k k k k

k

a a a a a ++=

+

=

11分

因为1k a >，则()2

2

1012k k k a a a ->?+>，则11k a +>．

即命题也成立． 13分 根据①②知，命题对任何自然数n ≥1都成立． 14分

20．（1）设点P 的坐标为()00x y ，，则AB 的方程为2

00x x y y b += 3分

所以220000b b M N x y ??

?? ? ????

?，，，，()444

20000112222M ON b b b

S OM ON x y x a x a ?==

=≥- 当且仅当02

a x =

时，取到等号． 6分

（2）假设存在()00P x y ，，满足0PA PB =

，连接AO 、BO ，根据题意知四边形OAPB

是正方形，则OP =，根据几何意义知圆心O 到直线x y a +=

2

8分

22

a a

b <

?>时，不存在满足条件的点P ； 9分

当2a b =时，有一个点,22a a

P ??

???

满足条件； 11分

2a b <<时，存在两个点12

2

P a ?-

??

，

22

2

a a P a ?--

-

??

?

满足条件． 14分