圆锥曲线专题(含答案)

高三圆锥曲线专题复习

1.已知)(y x P ，是椭圆19

162

2=+y x 上的一个动点，则y x +的最大值是 ．

答案：5

2．已知椭圆C ：22

12

x y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交椭圆C 于B ，若3FA FB = ，则||

AF 等于（ ）

A B ．2

C

D ．3

答案：A

3.已知两点(1,0),(1,0),A B -且点(,)C x y 1

,2

=则AC BC +=（ ） .6.2.4A B C .D 不能确定

答案：C

4．设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF （O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ） A ．24y x = B.28y x = C.24y x =± D.28y x =±

答案：D

5．已知点P 是抛物线x y 22

=上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） A ．

2

17 B ．3

C ．5

D ．

2

9 答案：A

6.已知点P 是抛物线2

4y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是（4，a ），则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是 ．

1

7．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使1||||O

P O F =

（O 为原点），且12|||PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）

A

．

1

2

B

1

C

．

1

2

D

1

答案：D

8．已知双曲线的中心在原点，焦点x 轴上，它的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且4

3

π

π

α<<

，则双曲线的离心

率的取值范围是（ ） A

．( B

．)

2 C ．()1,2 D

．(2,

【答案】B

9.设A 、B 为双曲线x 2

a 2－y

2

b

2 ＝1同一条渐近线上的两个不同的点，若|AB|＝6，AB 在向量m ＝(1,0)上的射影为3，

则双曲线的离心率e 等于( ) A.2

C.2

D.2

【答案】A

【解析】向量AB

在x 轴上的射影长为3而|AB|＝6，因此A 、B 点所在的渐近线与x 轴的夹角为60?.有

b a ＝tan60? ? b

a,所以c 2＝a 2＋b 2＝4a 2

? e ＝c a

＝2 10.设A 、B 为双曲线x 2

a 2－y

2

b 2 ＝λ(λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点，已知向量m ＝(1,0)，|AB|＝6，||

AB m m

＝

3，则双曲线的离心率e 等于( ) A.2

B.

3 C.2

D.2

或3

11．已知12,F F 分别是双曲线22

3575x y -=的左右焦点，P 是双曲线上的一点，且12F PF ∠=120?，求12F PF ?的面积.

解：双曲线可化为22

12515

x y -=,

设12122PF m PF n F F c ====由题意可得2

2

2

12210

2cos120m n a F F m n mn ?

-==?

=+-?

?

即2222

2100160m n mn m n mn ?+-=?++=?

所以20mn =

121

sin1202

F PF S mn ?=?=

12．已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(2

2

=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，

（1）如果3

2

4||=

AB ，求直线MQ 的方程； （2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程. 解:（1）由3

24||=

AB ，可得,31)322(1)2||(||||2222

=-=-=AB MA MP 由射影定理，得 ,3|||,|||||2

=?=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中，

523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，故55-==a a 或，

所以直线AB 方程是:;0525205252=+-=-+y x y x 或 （2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由点M ，P ，Q 在一直线上， 得(*),2

2x y a -=-由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ?= 即

(**),14)2(222=+?-+a y x 把（*）及（**）消去a ，

并注意到2

1

)4

7

(2

2

≠=

-+y y x 13．设点P(x ，y)(x ≥0)为平面直角坐标系xOy 中的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M(1

2，0)的距离比

点P 到y 轴的距离大1

2．

（Ⅰ）求点P 的轨迹方程：

（Ⅱ）若直线l 与点P 的轨迹相交于A 、B 两点，且0=?OB OA ，点O 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程． 解：（I ）用直接法或定义法求得点P 轨迹方程为y 2

=2x

（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，由题设可知直线l 的方程是x=2，此时，A(2，48)，B(2，-48)，不符合0=?OB OA

当直线l 的斜率存在时，设方程为y=kx+b(k ≠0，b ≠0)，

{

022222=+-?+==b y ky b kx y x

y

设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1y 2=k

b

2∵022212

2212121=+?=+=?y y y y y y x x OB OA

∴y 1y 2=-4，∴b+2k=0 ① 又点O 到直线l 距离为2得

21

2

=+k b ②

由①②解得k=1,b=-2或k=-1,b=2，所以直线l 的方程为y=x-2或y=-x+2

14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C 满足条件：△ABC 的周长为2＋2 2.记动点C 的轨迹为曲线W. (Ⅰ) 求W 的方程；

(Ⅱ) 经过点（0, 2）且斜率为k 的直线l 与曲线W 有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围；

(Ⅲ)已知点M （2，0），N （0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k ，使得向量OP OQ + 与MN

共线？如果存在，

求出k 的值；如果不存在，请说明理由．

解： (Ⅰ) 设C （x, y ）, ∵

2AC BC AB +=+＋2AB =, ∴

2AC BC +=>,

∴ 由定义知，动点C 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x 轴的两个交点. ∴

=1a c . ∴ 2221b a c =-=.∴ W: 2

212

x y += (0)y ≠.

(Ⅱ) 设直线l

的方程为y kx =

22(12

x kx +=.

整理，得221()102

k x +++=. ①

因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于 2221

84()4202

k k k ?=-+=->

，解得k <

k >∴ 满足条件的k 的取值范围为

,)()22

k ∈

-∞-+∞ （ （Ⅲ）设P （x 1,y 1）,Q(x 2,y 2),则OP OQ +

＝（x 1+x 2，y 1+y 2),

由①得12x x +=. ②,

又1212()y y k x x +=++③

因为 0)M ，(0, 1)N ，

所以( 1)MN =

.所以OP OQ + 与MN

共线等价于1212)x x y y ++.

将②③代入上式，解得k =15、设)0,1(F ，点M 在x 轴上，点P 在 y 轴上，且PF PM MP MN ⊥=,2 （1）当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；

（2）设),(),,(),,(332211y x D y x B y x A 是曲线C 上的点，且|||,||,|成等差数列，当AD 的垂直平分线与x 轴交于点)0,3(E 时，求B 点坐标.

解：（1）设(,)N x y ，则由2MN MP = 得P 为MN 中点，所以)2

,0(),0,(y

P x M -

又⊥得0PM PF ?= ，)2

,1(),2,(y

PF y x PM -=--=，

所以x y 42

=（0≠x ）.

（2）由（1）知)0,1(F 为曲线C 的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点),(000y x P 到F 的距离等于其到准线的距离，即2

||00p

x F P +=， 所以2

||,2||,2||321p x DF p x BF p x AF +=+=+

=， 根据|||,||,|DF BF AF 成等差数列，得2312x x x =+， 直线AD 的斜率为

3

12

1231313134

4

4y y y y y y x x y y +=--=--，所以AD 中垂线方程为)3(431-+-=x y y y ， 又AD 中点)2,2(

3131y y x x ++在直线上，代入上式得1312

x x

+=，即12=x ，所以点)2,1(±B . 16． 如图，已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右准线交x 轴于A ，虚轴的下端点为B ，过双曲线的右焦点(,0)

F c 作垂直于x 轴的直线交双曲线于P ，过点A 、B 的直线与FP 相交于点D ，且2OD OF OP =+

（O 为坐标原点）．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）若2a =，过点(0,2)-的直线l 交该双曲线于不同两点M 、N ，求OM ON ?

的取值范围．

解：（Ⅰ）点A 、B 、P 、F 的坐标分别为2(,0)a A c ，(0,)B b -，2(,)b P c a ，(,0)F c ，直线AB

的方程为21x y a b c

+=-，令x c =，则32b y a =，知3

2(,)b D c a ，∵2O D O F O P =+ ，

∴

3222(,)(,0)(,)b b c c c a a =+，则32

22b b a a =，∴2a b =

，∴c e a ==．

【另解】：点A 、B 、P 、F 的坐标分别为2(,0)a A c ，(0,)B b -，2

(,)b P c a ，(,0)F c ，

∵2OD OF OP =+ ，∴点D 的坐标为2

(,)2b c a

，2(,)a AB b c =-- ，22(,)2a b AD c c a =- ，

由AB 与AD 共线，得222

()()()2a a b c b c c a

-?-=-?，即有2a b =，

∴c e a ===．

（Ⅱ）∵2a =，∴1b =，双曲线的方程是2

214

x y -=，知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为2y kx =-，联立方

程组221,42,

x y y kx ?-=???=-?

得22(14)16200k x kx -+-=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由222

140,(16)80(14)0,k k k ?-≠???=+->?? 解得254k <

且214

k ≠． ∴1221641k x x k +=-，1222041x x k =-．

2121212121212(2)(2)(1)2()4

OM ON x x y y x x kx kx k x x k x x ?=+=+--=+-++

，

2222222

20(1)3241617

4141414141

k k k k k k k ++=-+==+----， ∵2504k ≤<

且214

k ≠，∴21717

(,17](,)414k ∈-∞-+∞- ， 则OM ON ? 的范围是21

(,16](,)4

-∞-+∞ ．

17．已知常数m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以λa+b 为方向向量的直线与经过点B(- m, 0)，以λb - 4a 为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ． (1) 求点P 的轨迹E ；

(2) 若52=m ，F(4, 0)，问是否存在实数k 使得以Q(k, 0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E 交于M 、N 两点，并且|MF| + |NF| =53．若存在求出k 的值；若不存在，试说明理由． 解 (1) ∵λa+b = ( m,λ)，∴ 直线AP 方程为)(λ

m x m

y -=

；① 又λ b - 4a =(λm, - 4), ∴ 直线NP 方程为)(4

m x m

y +-

=λ；② 由①、②消去λ得 )(4

2

222

m x m y --=，即 142

22

=+y m

x ．

故当m = 2时，轨迹E 是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆：x 2 + y 2

= 4； 当m > 2时，轨迹E 是以原点为中心，以)0,4(2-±m 为焦点的椭圆：

当0 < m <2时，轨迹E 是以中心为原点，焦点为)4,0(2m -±的椭圆． (2) 假设存在实数k 满足要求，此时有圆Q ：(x - k)2

+ y 2

= (4- k)2

;

椭圆E ：142022=+y x ；其右焦点为F(4 , 0 )，且55

2

=e ．

由圆Q 与椭圆E 的方程联立得2y 2

- 5kx + 20k - 30 = 0, 设M(x 1, y 1), N(x 2, y 2), 则有k x x 2

5

21=+，③ △=25k 2

- 4×2(20k - 30)，又 |MF| =1552

52x -, |NF| =255

252x -, 而53||||=+NF MF ； ∴ 155252x -

+53552

522=-x ,由此可得 2

521=+x x ，④ 由③、④得k = 1，且此时△＞0．故存在实数k = 1满足要求．

18．已知动点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，且满足|AB|=2，点P 在线段AB 上，且).(是不为零的常数t t =设点P 的轨迹方程为c 。 （1）求点P 的轨迹方程C ；

（2）若t=2，点M 、N 是C 上关于原点对称的两个动点（M 、N 不在坐标轴上），点Q 坐标为),3,2

3

(求△QMN 的面积S

的最大值。

解:（1）设),(),,0(),0,(y x P b B a A

分

为轨迹方程点即由题意知则分即41)1(4)1(4:4

)1()1(42||,

0,1)1()(2),(),(,222

22222

222 =+++∴=+++=+∴=>??

????+=+=???-=-=-∴--=-=t t y t x C P y t

t x t b a AB t y t t b x

t a y b t y tx a x y b x t y a x PB t AP （2）t=2时，116

9492

2=+y x C 为 …………5分

112

1212112

121112

12121

211111

1

2121111194

998|323||

323

|

2217|323

|)0(,.2),,(),,(y x y x S x y y x x y y x S y x x y h MN Q x x x y y MN y x MN y x N y x M QMN QMN

-+

=-=+-?+?=∴+-=≠=+=--=?? 分分

距离为

到点的方程为设直线则则设

分的最大值为等号成立时即当且仅当

分

而又1222,2

1

,432311494

943232169491944

4991169491111121

11121211

1221212121 QMN QMN S y x y x y x y x y x y x y x S y x y x ??∴-==≤-∴-=??-≥+=-=∴=+∴=+

19．已知圆C 过定点F 1(,0)4-

，且与直线1

4

x =相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：(1)()y k x k R =+∈相交于A 、B 两点。 （I ）求曲线E 的方程；

（II ）当△OAB

k 的值；

（III ）在曲线E 上是否存在与k 的取值无关的定点M ，使得MA ⊥MB ？若存在，求出所有符合条件的定点M ；若不存在，请说明理由。

解：(Ⅰ)由题意，点C 到定点F(－

41，0)和直线x ＝4

1的距离相等，所以点C 的轨迹方程为x y -=2

(Ⅱ)由方程组???+=-=)1(2x k y x y 消去x 后，整理得 0

2

=-+k y ky 设A(x 1，y 1），B(2x ，2y )，由韦达定理有 12221t y y t +=-+＝

k 1-，1222

1

y y t =-+－1，

故存在唯一的合乎题意的点M （0，0）.

20．在平面直角坐标系xOy 中，已知三点A （-1，0），B （1，0），)2

3

,1(-C ，以A 、B 为焦点的椭圆经过点C 。 （I ）求椭圆的方程；

（II ）设点D （0，1），是否存在不平行于x 轴的直线l 与椭圆交于不同两点M 、N ，使0)(=?+MN DN DM ？若

存在，求出直线l 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由：

（III ）对于y 轴上的点P （0，n ）)0(≠n ，存在不平行于x 轴的直线l 与椭圆交于不同两点M 、N ，使

0)(=?+，试求实数n 的取值范围。

解：（I ）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，据)23

,1(),0,1(),0,1(--C B A 知，

???

??==???????

=-=+-341

1)23()1(2

22

22222b a b a b a 解得∴所求椭圆方程为13422=+y x

（II ）||||0)(DM ==?+等价于条件

∴若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，否则与点D （0，1）不在x 轴上矛盾。 ∴可设直线)0(:≠+=k m kx y l

由?????=++=134

2

2y x m kx y 得01248)43(222=-+++m kmx x k 由2

2

2

2

2

2

340)124)(43(464m k m k m k >+>-+-=?得

设),(),,(2211y x N y x M ，MN 的中点为),,(00y x Q 则.433,43422

02210k m

m kx y k km x x x +=+=+-=+=

又||||= k k

km k m

k x y 1

4341433,112200-=+--+-=-∴即,解得：243k m --=

（将点的坐标代入0)(=?+亦可得到此结果）

由22222)43(3434k k m k +>+>+得得，,242

-

,100k x n y -=-可推出,31422-

2≠>-n n n ∴的取值范围是)3

3,0()0,33( -

21、已知离心率为

2

5

的双曲线C 的中心在坐标原点，左、右焦点F 1、F 2在x 轴上，双曲线C 的右支上一点A 使021=?AF AF 且21AF F ?的面积为1。

（1） 求双曲线C 的标准方程；

（2） 若直线m kx y l +=:与双曲线C 相交于E 、F 两点（E 、F 不是左右顶点），且以EF 为直径的圆过双曲线C

的右顶点D 。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解： （1）由题意设双曲线的标准方程为)0,0(122

22>>=-b a b y a x ，由已知得：2

5

22=+=

=a b a a c e 解得b a 2=

∵021=?AF AF 且21AF F ?的面积为1 ∴1||||2

1

,2||||212121=?=

=-?A F A F S a A F A F AF F ,2212221||||||F F A F A F =+

∴2

2221444|)||(|a c A F A F =-=- ∴2,1==a b

∴双曲线C 的标准方程为14

22

=-y x 。

（2）设),(),,(2211y x F y x E ，联立?????=-+=14

2

2y x m kx y 得0448)14(2

22=+++-m kmx x k 显然2

1

±

≠k 否则直线l 与双曲线C 只有一个交点。 0)14)(44(4)8(222>-+-=?k m km 即01422<--m k

则???

????

-+=--=+144414822

21221k m x x k km x x 又2

21212

2121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++= ∵以EF 为直径的圆过双曲线C 的右顶点D(2,0) ∴0=?即0),2(),2(2211=-?-y x y x ∴04))(2()1(2

21212

=+++-++m x x km x x k

∴041

48)2(1444)1(22

222

=++--?-+-+?+m k km

km k m k 化简整理得0201632

2=++k km m ∴k m k m 3

10

,221-

=-= ，且均满足01422<--m k 当k m 21-=时，直线l 的方程为)2(-=x k y ，直线过定点（2，0），与已知矛盾！

当k m 3102-=时，直线l 的方程为)310(-=x k y ，直线过定点（3

10

，0） ∴直线l 定点，定点坐标为（3

10

，0）。