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实数域的非标准构造与超实数域

本章主要把实数集R进行了扩充并建立了一个非标准分析模型，它包括无穷小量，无穷大量以及普通实数，构造出了超实数集*R.并对超实数域，非标准分析和转换原理在数学分析领域进行了证明及应用.

一．本章首先把非标准分析从自然数系N,应用到有序域.

1.给出了有序域的的定义和相关性质，即满足交换律，结合律，存在零元，负元，蕴含等性质，且满足有序域D上的运算+，·，满足关系<.

2.定义了阿基米德有序域D，给出了其性质稠密性及其证明，并用反证法证明完备的有序域是阿基米德的(例如有理数域是阿基米德有序域)，相反的有非阿基米德域.

定义：{

∈,则x叫做有限的.

F x D x n

=∈<对于某个}

∈.若x F

n N

若x D F

∈-，则x叫做无限的.

定义：{0

=∈=或(1)}

I x D x

x D F

∈-.I的元素叫做无限小.称R

的元素为实数或标准实数，*R R

-的元素是超实数，按无限小的定义，在实数中只有0是无限小数，而其它无限小数都是超实数，这些数比0大，比任何实数都小.

3.定义：如果,x y D

-∈，记为x y

∈且x y I

≈.我们说x无限接近y，简称x接近y.也是有限集F上的一个等价关系.

4.构造商环/F I，存在一个F到/F I上的自然同态，以I为核.有

/F I 也是一个有序域，且是阿基米德的.

二．在阿基米德有序域D 的基础上，根据转换原理，得*D 是一个有序域，并且N D ?，有**N D ?,但*D 是一个非阿基米德有序域.把D

上的运算扩张到*D 上，有是把D 映入/F

I 中的一个同构，即把D 嵌入/F I 中.同时应用DEDEKIND 定理可以证明/F I 是一个完备的有序域.

其中定理2.6的证明用转换原理，以*U 中的一个“无限小”，逼近来代替U 中的一个“任意好”的逼近.如下：

定理2.6：对于每一个x D ∈,存在一个*q Q ∈，使得x q ≈.

证明：由于Q 在D 中的稠密性，对于每一x D ∈，

有1()()()n N q Q x q

+?∈?∈-<. 由转换原理：

有**1()()()n N q Q x q n +?∈?∈-<. 令*n N N ∈-,则*L 中，存在一个*q Q ∈，使得1n x q

-<，即x q ≈.

三．我们把有理数域Q 用D 表示，

D 是同构的嵌入到商环/F I R =中，通过DEDEKIND 分割Cauchy 序列，利用转换原理构造出一个有序域，在同构意义下存在唯一完备的有序域R ，即实数系R ，从而扩张构造出非阿基米德有序域*R ，即超实数域.其中F 是*R 的有限元之集，I 是*R 的无限小元之集.

从而在非标准全域中，我们有非阿基米德域*R ，并且存在一个由*R 的有限元的环到R 中的同态映射，称R 的元素为实数或标准实

数，*R R -的元素是非标准实数，*R 中元素是超实数.一方面每个超实数是一个确定的等价类，它在超实数轴上有固定的位置；另一方面每个等价类又是一些变化着的无穷序列，有限超实数无限接近他的标准部分，无限超实数无限接近一个“理想的无穷远点”.因此超实数既是一个确定的数，又是一个变化着的函数.也就是说，有限超实数就是一些极限为实数的变量，无限超实数是一些无穷大量，超实数域就是这些变量的集合，这些变量的极限是实数或无穷大.

同时本章还给出了超实数域上的运算法则，性质和定理.提出了*R 上一个重要的等价关系≈，即

定理4.5 对于每个实数x ，存在一个*q Q ∈,使得x ≈q .

四．对超实数及非标准方法在实分析中的应用

其实就是主要应用*R R ?

和转换原理，例如 1．已知**()R R ++=是大于零的超实数集，

同理，设{}n S n N +∈为一实数序列，即S 把N +映入R ,那么*S 把***({0})N N N ++

=-映入*R .

2.命题 (,)()()x y R z R x y z ?∈∈+= 在标准模型中成立，故其相应的命题在非标准模型中也成立，即 **

(,)()()x y R z R x y z ?∈∈+= . 应用1.定理5.3：

x 为{}n S

n N +∈的极限点，当且仅当对于某个

无限整数n ，有 n S ≈x . 应用2.应用连续的非标准特征给出经典定理5.5的非标准证明. 定理5.5：设f 是[,]a b 上的连续实值函数.若()0()f a f b <<

，则存在一个点c 满足a c b <<与()0f c =.

五．这一章在一族以*N +为指标集的超实数上给出了无限小延拓定理和其证明过程与应用.

应用1.连续函数的一致收敛序列有连续的极限这一事实的非标准证明.

定理6.3：在[,]a b 上()n S x 一致收敛于()S x ，

当且仅当对于*[,]x a b ∈且 *v N N ∈-，有()v S x ≈()S x .

关于一致连续性，在从“按点”过渡到“一致”的时候，非标准条件的形式是在以*[,]a b 上代替了在[,]a b .

应用2.柯西收敛准则的非标准形式.

定理 6.5：设

{}n S

n N +∈为一实数序列，又设对于一切*,n m N N

∈-，有n m S S ≈，则有某一实数L ，使得n S L →. 六．微分学同样可以扩张到超实数域*R 上，称为非标准微分学.非标准微分学不仅仅满足标准微分学的所有性质，即原实数域R 上的一切关系可以自然的扩张到非标准模型*R 上，并且满足链锁规则（即

()(())k x f g x =），这里g 在0x 处是可微的，并且f 在0()g x 处是可微的.

那么k 在0x 处也是可微的，而且/0(())dk f g x dg =.

七．非标准方法关于可加性的应用

应用1.满足函数方程()()()f x y f x f y +=+的将R 映入R 的连续函数f 只有()()f x k x =，()k R ∈，本章用数学归纳法和转换原理给出了证明.

应用2.用转换原理对巴拿赫极限存在进行了非标准证明.

应用3.用非标准分析证明一个非勒贝格可测的有界实数集的存

在.

复变函数与积分变换第五版习题解答

复变函数与积分变换第五版答案目录练习一...............................1 练习二...............................3 练习三...............................5 练习四...............................8 练习五..............................13 练习六..............................16 练习七..............................18 练习八..............................21 练习九 (24) 练习一 1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。（1）i i i i 524321-- --；解：i i i i 524321---- = i 2582516+ z k k Argz z z z ∈+== = = π22 1 arctan 25 5825 8Im 25 16 Re （2）3 ) 231(i + 解： 3) 231(i + z k k Argz z z z e i i ∈+===-=-==+=π ππ π π 210Im 1Re 1 ][)3 sin 3(cos 333 2．将下列复数写成三角表示式。 1）i 31- 解：i 31-

)35sin 35(cos 2ππi += （2）i i +12 解：i i +12 )4 sin 4(cos 21π π i i +=+= 3．利用复数的三角表示计算下列各式。（1）i i 2332++- 解：i i 2332++- 2sin 2 cos π π i i +== （2）4 22i +- 解：4 22i +-4 1 )]43sin 43(cos 22[ππi += 3,2,1,0] 1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 283 8 3 =+++=+++=k k i k k i k ππππππ 4．.设 321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周 32z z ++=0 则, 321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又 ,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量

(4) IEEE754标准浮点格式

2.1.3 数的定点表示与浮点表示 2、浮点表示法（4） IEEE754标准浮点格式前面讨论的是原理性浮点格式，但实际计算机的浮点格式与此有一些差异。下面简要介绍在当前主流微机中广泛采用的IEEE754标准浮点格式。按IEEE754标准，常用的浮点数的格式如图2-3所示。 IEEE754有3种浮点表示格式，分别称为：短浮点数(或称短实数)、长浮点数（或称长实数）、临时浮点数（或称临时实数）。它们的具体格式如表2-4所示。表2-4 IEEE754的3种浮点表示格式短浮点数又称为单精度浮点数，长浮点数又称为双精度浮点数，它们都采用隐含尾数最高数位（20 ）的方法，这样，无形中又增加了一位尾数，因此，相应地尾数真值实际上等于1+（23位尾数数值或52位尾数数值）。临时浮点数又称为扩展精度浮点数，它没有隐含位，尾数真值就等于64位尾数数值。下面以32位短浮点数为例，最高位是数符，其后是8位阶码，以2为底，采用移码表示，但偏置量为127，例如阶码真值为1，则阶码的代码值为128，这点与前述原理性偏置量（128）有点差异。其余23位尾数为纯小数，因此，尾数位数实际上是：1位隐含位+23位尾数=24位。注意：隐含的“1”是一位整数（即权位为20 ）。在浮点格式中表示出来的23位尾数是纯小数，用原码表示。例如： (15)10 =(1111)2 ，将它规格化后结果为1.111×2 3 ，其中整数部分的“1”将不存储在23位尾数内。阶码是以移码形式存储的。短浮点数的偏置值为十进制127或十六进制7FH ；长浮点数的偏置值为十进制1023或十六进制3FFH ；临时浮点数的偏置值为十进制16383或十六进制3FFFH 。存储浮点数阶码部分之前，偏置值先要加到阶码真值上。若阶码真值为3，在短浮点数中，移码表示的阶码为：十进制127+3=130或十六进制82H ；长浮点数中，移码表示的阶码为：十进制1023+3=1026或十六进制402H ；临时浮点数中，移码表示的阶码为：十进制16383+3=16386或十六进制4002H 。例2-29 将(82.25)10 转换成短浮点数格式。 1）先将(82.25)10 转换成二进制数 (82.25)10 =(1010010.01)2 2）规格化二进制数(1010010.01)2 1010010.01=1.01001001×2 6 3）计算移码表示的阶码=偏置值+阶码真值： (127+6)10=(133)10 =(10000101)2 数符