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向量的长度和中点公式

2011年9月7日备

如果已知A（x2，y2）B（x2，

ABCD的三个顶点的坐标。

向量公式大全

向量公式大全『ps.加粗字母表示向量』1.向量加法羈AB+BC=AC a+b=(x+x'，y+y') a+0=0+a=a 运算律：交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 2.向量减法罿AB-AC=CB 即“共同起点，指向被减”

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 3.数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣ 当λ＞0时，λa与a同方向当λ＜0时，λa与a反方向当λ=0时，λa=0，方向任意当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0 『ps.按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0』实数λ

向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的∣λ∣倍当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的∣λ∣倍数乘运算律: 结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb) 向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ 4.向量的数量积

定义：已知两个非零向量a,b作OA=a,OB=b,则∠AOB称作a和b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a?b若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?c os〈a，b〉若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣ 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y' 向量数量积运算律 a?b=b?a(交换律) (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律) (a+b)?c=a?c+b?c(分配律) 向量的数量积的性质 a?a=|a|2 a⊥b〈=〉a?b=0

平面向量的所有公式

平面向量的所有公式设a=（x，y），b=(x'，y')。 1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。向量加法的运算xx：交换律： a+b=b+a；结合律： (a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b= 0." 0的反向量为0 AB-AC= C B.即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa= 0。" 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a= 0。" 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。数与向量的乘法满足下面的运算xx 结合律： (λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。向量对于数的分配律（第一分配律）： (λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）： λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：

①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。向量的数量积的坐标表示： a?b=x?x'+y?y'。向量的数量积的运算xx a?b=b?a（交换律）； (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；向量的数量积的性质 a?a=|a|的平方。 a⊥b〈=〉a?b= 0。" |a?b|≤|a|?|b|。向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：

向量运算法则知识讲解

（1）实数与向量的运算法则：设λ、μ为实数，则有： 1）结合律：a a )()(λμμλ=。 2）分配律：a a μλμλ+=+)(，b a b a λλλ+=+)(。（2）向量的数量积运算法则： 1）a b b a ??=。 2）)()()(b a b a b a b a λλλλ===???。 3）c b c a c b a ???+=+)(。（3）平面向量的基本定理。 21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a ，有且仅有一对实数21,λλ，满足2211e e a λλ+=。（4）a 与b 的数量积的计算公式及几何意义：θcos ||||b a b a =?，数量积b a ?等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影θcos ||b 的乘积。（5）平面向量的运算法则。 1）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a +b ＝1212(,)x x y y ++。 2）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a -b ＝1212(,)x x y y --。 3）设点A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r 。 4）设a ＝(,),x y λ∈R ，则a λ＝(,)x y λλ。 5）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a ? b ＝1212()x x y y +。（6）两向量的夹角公式： cos θ（a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ）。（7）平面两点间的距离公式： ,A B d ＝||AB u u u r （A 11(,)x y ，B 22(,)x y ）。（8）向量的平行与垂直：设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，且b ≠0，则有： 1）a ||b ?b ＝λa 12210x y x y ?-=。 2）a ⊥b （a ≠0）? a ·b ＝012120x x y y ?+=。（9）线段的定比分公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12 P P 的分点，λ是实数，且12P P PP λ=u u u r u u u r ，则

向量公式汇总

向量公式汇总平面向量 1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+-∣a∣∣b∣。向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。向量的数量积的运算律 ab=ba（交换律）； (λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律)；（a+b)c=ac+bc（分配律）；

向量的坐标表示及其运算

资源信息表

（2）向量的坐标表示及其运算（2）一、教学内容分析向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与“数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础. 二、教学目标设计 1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充

要条件的证明方式； 2．会用平行的充要条件解决点共线问题； 3、定比分点坐标公式. 三、教学重点及难点课本例5的演绎证明；分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用；特殊——一般——特殊的探究问题意识. 五、教学过程设计：复习向量平行的概念：提问：（1）升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向

量。（2）实数与向量相乘有何几何意义（3）由此对任意两个向量,a b ，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b ，若存在一个常数λ，使得 a b λ=?成立，则两向量a 与向量b 平行（4）思考：如果向量,a b 用坐标表示为) ,(),,(2211y x y x ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12 12 x x y y λλ=??=? 思考：如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==，则 2 121y y x x =是b a //的（）条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要由此，通过改进引出课本例5 若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==，则//a b 的充要条件是1221x y x y =. 分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明，（Ⅰ）先证必要性：//a b 1221x y x y ?= 非零向量//a b ?存在非零实数λ，使得a b λ=，即

(完整版)平面向量基本定理练习题

平面向量基本定理及坐标表示强化训练姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB u u u r =3a, CD u u u r =－5a ,且||||AD BC =u u u r u u u r ,则四边形ABCD 是（） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =13CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB u u u r =a +2b ,BC u u u r = -5a +6b ,CD u u u r =7a -2b ,则一定共线的三点是（） A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、 D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD u u u r =x AB u u u r ,AE u u u r =y AC u u u r ,xy ≠0，则11 x y +的值为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB u u u r =2AC u u u r ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB u u u r =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2 π),则α+β= *11．已知 a =(1,2) , b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为

平面向量基本定理及经典例题

平面向量基本定理一．教学目标：了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为三.知识归纳 1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________； 2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ?，j ? 作基底，则对任一向量a ?，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标，记作____________。 3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为

平面向量公式

平面向量公式 1.向量三要素：起点，方向，长度 2.向量的长度=向量的模 3.零向量：? ??方向任意长度为 .20.1 4.相等向量：?? ?长度相等方向相同 .2.1 5.向量的表示：AB ()始点指向终点 6.向量的线性加减运算法则： ()()???? ?=-=+终点指向始点始点指向终点， CB AC AB AC BC AB ,21 7.实数与向量的积： ()()a a λμμλ=.1 ()a a a μλμλ+=+.2 ()b a b a λλλ+=+.3 4.()y x a λλλ,=? 5.a b b a ?=? 6.()()b a b a ??=?λλ 7.()c b c a c b a ?+?=?+ 注；()()c b a c b a ≠? 8.定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得: a b λ= 9.平面向量基本定理：如果e 1 ，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 : e e a 2211λλ+= 10.坐标的运算： ()1?? ? ? ?+ =y x a ?y x a 22 +=

()2已知；A ()y x 11+，B () y x 22+?() ( )() ?? ???+=--=--y y x x y y x x AB AB 1212.2,.12 2 1212 ()3已知；()y x a 11,= ，()y x b 22,= () ()?? ???+?=?±±=±?和它们对应坐标的乘积的两个向量的数量积等于y y x x y y x x b a b a 21212 121.2,.1 ()4已知；()y x a 11,=//()y x b 22,=01 2 2 1 =?-?y x y x (横纵交错乘积之差为0） ()5已知；已知；()y x a 11,=⊥ ()y x b 2 2 ,= 02 1 2 1 =?+??y y x x （对应坐标乘积之和为0） 10.数量积b a ?等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影θcos ?b 的乘积： θcos ??=?b a b a ()的夹角与为b a θ 变形?b a b a ?= θcos 11.线段的定比分点：设()x x p 211, ，()y x p 222, ，P ()y x ,是不同于直线p 2 1,上的任意两点；即有： p p p p 21λ=?? ? ???外在点内在点p p p p p p 212 100λλ （其中p 为定比分点；λ为定比。）（1）.线段的定比分点“定比”λ=p p p p 2 1 （终点分点分点始点→→）

向量公式性质总结

1. 已知，,,OA a OB b OC c ===（如图），求证：A 、B 、C 三点在一直线上的充要条件是存在不全为0的实数l 、m 、n 使得00la mb nc l m n ++=++=且. 2.设OA 、OB 不共线，点P 在AB 上，则OP =λOA +μOB 且λ+μ=1，λ当λ=μ= 21时，OP =2 1 （OA +OB ），此时P 为AB 的中点，这是向量的中点公式. 3.与向量→ a 同向的单位向量：→ → → = a a e ；与向量→a 平行的单位向量：→ → → ± =a a e 。与向量y)(x,a =→ 平行的单位向量为：)y x y , y x x ( 2 2 2 2 ++± 与向量y)(x,a =→ 垂直的单位向量为：)y x x , y x y (-2 222++±。 4.三角形的五个“心”：重心：三角形三条中线交点. O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. O 为ABC ?的外心2 2 2 OA OB OC ?==. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=? 5.三角形中向量性质： 1）AB AC +过BC 边的中点.2）|| || || || ()( )AB AC AB AC AB AC AB AC + ⊥- ；3）|| || ( )(0)AB AC AB AC λλ+ ≠所在直线过ABC ?内心. 6.（1）)c b (a c )b a (→ → → → → → ??≠ ??；（2）c b b a ?=?c a =.但可以推出：→ → →⊥b ) c -a (。 7.三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,：)3 ,3( 3 21321y y y x x x ++++ 例。在等腰直角ΔABC 中，∠C=90°，|AB|=22.求（1）?的值；（2）?的值；（3）).(AB CA BC +? 练习1：在ABC ?中,?===60,8,5C b a ,则CA BC ?的值为( ) A.20 B.20- C.320 D.320- 练习2.已知ABC BC AB ABC ?>??→ → 则中,0为（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 A B C O a b c

常用的一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为 (),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()1 2 3 1 2 3 ,,,,,a a a a b b b b 及()1 2 3 ,,c c c c 则有 ()() 123 123 1 2 3123 123 123 c c c i jk a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++= 因此，三重标量积必有如下关系式： ()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。 2.三重矢量积如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ( ) a b c ??叫做他们的三重标量积，因有 ()()()a b c a c b c b a ??=-??=?? 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:() ()()a b c a b c a c b ??=-?+? （1-209）将矢量作重新排列又有：()()() a b c b a c b a c ?=??+? （1-210） 3.算子（ a ? ） ? 是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（ a ? ）则是一个标量算子，将它作用于标量φ ，即 ()a φ?是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ，则 ()dr φ ?是φ在位移方向 d r 的变化率的 d r 倍，即 d φ 。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将 () dr ?作用于矢量v ，则 ()dr v ?就是v 再位移方向 d r 变化率的 d r 倍，既为速度矢量的全微分() dv d r v =? 应用三重矢量积公式（ 1-209 ） ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+??

向量长度计算公式及中点公式讲解学习

精品文档课题：6.3平面向量的坐标运算--向量长度的计算公式和线段中点的坐标公式教学目的：（1）理解平面向量长度的计算公式；（2）掌握线段中点的坐标公式；教学重点：线段中点的坐标公式教学难点：公式的理解及应用. 授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：平面向量的坐标运算:若),(11y x a =?，),(22y x b =ρ ，则 b a ?ρ+),(2121y y x x ++=，b a ρρ-),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=ρ 若),(11y x A ，),(22y x B ，则2121(,)AB x x y y =--u u u r . 二、讲解新课： 1.平面向量长度的计算公式的推导：如图,已知12(,)a xe ye x y =+=r r v ，则 11xe x e x =?=r r , 1212ye y e y =?=r r , 由勾股定理得,22 22a x y x y = +=+v , 上式即为根据向量a v 的坐标,求向量a 的长度的计算公式,简称向量长度的计算公式. 如果已知11(,)A x y ,),(22y x B ,则有向量22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--u u u r u u u r u u u r 所以,222121()()AB x x y y =-+-u u u r . 上式即为根据向量AB u u u r 的坐标,求向量AB u u u r 的长度的计算公式,也称为向量长度的计算公式,又称为两点间的距离公式. 2.线段中点的坐标公式的推导：方法一:设线段AB 的两个端点),(11y x A ,),(22y x B ,线段AB 的中点(,)C x y ,则

平面向量基本定理03913

2.3.1平面向量基本定理学习目标： 1. 了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量. 2. 掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义. 3. 两个向量的夹角与两条直线所成的角. 学习重点：平面向量基本定理学习难点：两个向量的夹角与两条直线所成的角. 课上导学：［基础初探］教材整理1平面向量基本定理阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题. 1. ____________ 定理：如果e i, e是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的____________ 向量a, ______________ 实数入，入2，使a= _________________________ 2. ____________ 基底：___________________________ 的向量e1, e2叫做表示这一平面内______________________________ 向量的一

组基底. 判断(正确的打“，错误的打“X” ) (1) 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.() (2) 若e i, e是同一平面内两个不共线向量，则入& + 说 k, 入2为实数)可以表示该平面内所有向量.() (3) 若ae i + be2=ce i + de2(a, b, c, d€ R)，则a = c, b = d.( ) 教材整理2两向量的夹角与垂直阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题. 1. __________________ 夹角：已知两个_________________ a 和b,作OA= a, OB= b,则__ = B叫做向量a与b的夹角.

向量公式汇总

向量公式汇总Newly compiled on November 23, 2020

必修四平面向量基本定理

平面向量基本定理 [学习目标] 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识点一平面向量基本定理 (1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．思考如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG → ， a . 答案通过观察，可得： AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF → ＝4e 1－4e 2， GH → ＝－2e 1＋5e 2，HG → ＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1. 知识点二两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角． ①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向． (2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a⊥b .

思考在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角． ①AB →、AC →；②AB →、CA →；③BA →、CA →；④AB →、BA →. 答案 ①AB →与AC → 的夹角为60°； ②AB →与CA → 的夹角为120°； ③BA →与CA → 的夹角为60°； ④AB →与BA → 的夹角为180°. 题型一对向量的基底认识例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________． ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝ λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. 答案 ②③ 解析由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．跟踪训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)

平面向量的运算法则

平面向量运算法则（1）实数与向量的运算法则：设λ、μ为实数，则有： 1）结合律：a a )()(λμμλ=。 2）分配律：a a μλμλ+=+)(，b a b a λλλ+=+)(。（2）向量的数量积运算法则： 1）a b b a ??=。 2）)()()(b a b a b a b a λλλλ===???。 3）c b c a c b a ???+=+)(。（3）平面向量的基本定理。 21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a ，有且仅有一对实数21,λλ，满足2211e e a λλ+=。（4）a 与b 的数量积的计算公式及几何意义：θcos ||||b a b a =?，数量积b a ?等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影θcos ||b 的乘积。（5）平面向量的运算法则。 1）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a +b ＝1212(,)x x y y ++。 2）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a -b ＝1212(,)x x y y --。 3）设点A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--。 4）设a ＝(,),x y λ∈R ，则a λ＝(,)x y λλ。 5）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a ?b ＝1212()x x y y +。（6）两向量的夹角公式： cos θ=（a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ）。（7）平面两点间的距离公式：

平面向量的基本定理

平面向量的基本定理各位老师大家好，今天，我说课的内容是：人教B版必修4第二章第二节《平面向量的基本定理》第一课时，我将从教材分析、学生分析、教学方法和手段、教学过程以及教学评价五个方面进行分析一、说教材 1.关于教材内容的分析（1）平面向量基本是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理，这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。所以它是进一步研究向量问题的基础；是解决向量或利用向量解决问题的基本手段。（2）平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进行向量运算的基本工具，它、也为平面向量坐标表示的学习打下基础。（3）平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。 2.关于教学目标的确定根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。 1、①了解平面向量基本定理及其意义,会做出由一组基地所表示的向量

②会把任意向量表示为一组基地的线性组合。掌握线段中点的向量表达式 2、通过对平面向量基本定理的归纳，抽象、概况，体验定理的产生和形成过程，提高学生抽象的能力和概括的能力 3、通过对定理的应用增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具。 3.重点和难点的分析掌握了平面向量基本定理，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一，所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点。另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点。突破难点的关键是在充分理解向量的平行四边形法则的和向量共线的充要条件下多方位多角度的设计有关训练题从而加深对定理的理解。二、说教学方法与教学手段结合新课标“以学生为本”的课堂教学原则和实际情况，确定新课教学模式为：质疑—合作—探究式。此模式的流程为激发兴趣--发现问题，提出问题--自主探究，解决问题--自主练习，采用多媒体辅助教学，增强数学的直观性，实物投影的使用激发学生的求知欲。

平面向量公式

平面向量向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质： ①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为 () 11,x y ， () 22,x y ，则 ()1212,x x y y AB =--．向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． b a C B A a b C C -=A -AB =B

①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线．平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当 12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??．（当1=λ时，为中点公式。）平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??=．②当a 与b 同向时，a b a b ?=；当a 与b 反向时，a b a b ?=-；2 2a a a a ?==或a a a =?．③a b a b ?≤． ⑶运算律：①a b b a ?=?；②()()() a b a b a b λλλ?=?=?；③() a b c a c b c +?=?+?． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ?=+．若(),a x y =，则2 22a x y =+，或2a x y =+．设()11,a x y =，()22,b x y =，则 12120a b x x y y ⊥?+=．设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则

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向量公式设a= (x, y), b=(x' , y')。 1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则 AB+BC=AC a+b=（x+x' ，y+y'）。 a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a 结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。 2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减” a=（x,y） b=（x',y'）则a-b=（x-x',y-y'）. 4、数乘向量实数入和向量a的乘积是一个向量，记作入a，且I入a l =1X1 ? I a l。当入〉0时，入a与a同方向；当XV 0时，入a与a反方向；当入=0时，X a=0,方向任意。当a=0时，对于任意实数X,都有X a=0。注：按定义知，如果X a=0，那么X =0或a=0。实数X叫做向量a的系数，乘数向量X a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当IXI> 1时，表示向量a的有向线段在原方向（X> 0）或反方向（XV 0）上伸长为原来的IXI倍；当IXI V 1时，表示向量a的有向线段在原方向（X> 0）或反方向（XV 0）上缩短为原来的IXI倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：（X a）?b= X （a ?b）=（a ?X b）。向量对于数的分配律（第一分配律）：（X +卩）a= X a+卩a. 数对于向量的分配律（第二分配律）：X （a+b）= X a+X b. 数乘向量的消去律：① 如果实数入工0且X a=X b，那么a=b。②如果a^0 .且X a=（1 a，那么X =卩。 3、向量的的数量积

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