第1章 随机过程的基本概念
第一章 随机过程的基本概念
1．设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求X （t ）的一维概率分布
解：∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)21(0+
=k t 即 πω)2
1
(10+=k t 时 {}10)(==t x p
若 0c o s 0≠t ω 即 πω)2
1
(1
0+≠
k t 时
当 0c o s 0>t ω时
ξπ
ωωξd e
t x X P t x F t x
?
-
=
???
?
??≤=02cos 0
2
021cos ),(
此时 ()t
e x
t x F t x f t
x 0c o s 2c o s 1
21,),(022ωπ
ω?
=??=-
若 0c o s 0 ξπ ωξd e t x ?- - =02 cos 0 2 21 1 同理有 t e t x f t x 0c o s 2c o s 1 21),(022ωπ ω? - =- 综上当：0cos 0≠t ω 即 πω)2 1 (1 0+≠ k t 时 t x e t x f 022cos 20|t cos |1 21 ),(ωωπ- = 2．利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ?? ? ? ??<-=??????≥=t x x P t x X P t x F 00cos 1cos ),(ωω{}{} x t X P x x X P t x F ≤=≤=0cos )(),(ω ?? ?= ,2 ,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。试确定)(t X 的一维分布函数)2 1 ,(x F 和)1,(x F ，以及二维分布函数)1,2 1;,(21x x F 解：（1）先求)21,(x F 显然?? ?=?????=??? ??出现反面出现正面 出现反面出现正面10,2 1*2,2cos 21π X 随机变量?? ? ??21X 的可能取值只有0，1两种可能，于是 21 021= ??????=?? ? ??X P 2 1121=??????=??? ??X P 所以 再求F （x ,1） 显然?? ?-=?? ?=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1 2 cos (1)πX {}{}2 1 2)1(-1(1)====X p X p 所以 ???? ???≥<≤<=2 121- 2 1-1 0,1)(x x x x F (2) 计算)1,2 1 ;,(21x x F ?? ?-=?? ?=出现反面出现正面 出现反面出现正面 2 1)1(, 1 0)2 1( X X ?????≥<≤<=??? ?? 11 102 1 00 21,x x x x F 于是 2 ,1 121 ,1 2 ,10 21 1 ,0 0 )1(;211,21;,21212 121212121? ?? ???? ??≥><≤->≤<≤-<≥+∞<<∞-<=? ? ????≤≤??? ??=??? ?? x x x x x x x x x x x X x X p x x F x 或或 3．设随机过程(){}+∞<<-∞t t X ,共有三条样本曲线 t X t X X cos )t,( ,sin )t,( ,1)t,(321===??? 且,3 1 )p()p()p(321===???试求随机过程()t X 数学期望EX(t)和相关函数R x (t 1,t 2)。 解： 数学期望 )cos (sin 31 3131cos 31sin 311)()(t t t t t EX t m X ++=?+?+?== )cos sin 1(3 1 t t ++= 相关函数 21212121cos cos 3 1 31sin sin 311)]()([),(t t t t t X t X F t t R X +??+?== )]cos(1[3 1 21t t -+= 4．设随机过程 )0( )(>=-t e t X Xt 其中X 是具有分布密度f (x )的随机变量。试求X (t )的一维分布密度。 解：对于任意 t >0 因为 ))((),(x t x P t x F X ≤= ∴ 当x >0时 {} {}???? ?? -≥=≤-=≤=-t x X P x Xt P x e P t x F Xt X ln ln ),( ?-∞--=???? ?? -<-=t x d f t x X p ln )(1ln 1ξξ ∴ xt t x f t x F x t x f X X 1ln ),(),(???? ??-=??= 当0≤x 时 {} 0),(=≤=-x e p t x F Xt X ∴ 随机过程)(t X 的一维分布密度为 ?? ? ??-= t x f xt t x f X ln 1),( 5．在题4中，假定随机变量X 具有在区间（0，T ）中的均匀分布，试求随机过程的数字期望)(t EX 和自相关函数),(21t t R x 解：∵ 随机变量X 的概率密度函数为 ??? ??∈=其它 ),0(1)(T x T x f X 因此： T T T xt xt T xt X xt e t T dx e T dx T e dx x f e t EX 0 0 0 )1(111)()(??? -----==?== [] 0 t 11 >-= -tT e Tt [][][ ] )(21212121)()(),(t t X Xt Xt X e E e e E t X t X E t t R +---=== ( ) ? +-+--+= = T t t T X t t x e t t T dx x f e 0 )(21)(21211) (1 )( 6．设随机过程{}+∞<<-∞t t X ),(在每一时刻t 的状态只能取0或1的数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对于任意固定的t 有 {}p t X P ==1)( {}p t X P -==10)( 其中0 解：一维分布 {}p t x P ==1)( {}p t x P -==10)( 二维分布： {}2211)(,1)(p t X t X P === {})1(0)(,1)(21p p t X t X p -=== {}p p t X t X p )1(1)(,0)(21-=== {}2 21)1(0)(,0)(p t X t X p -=== X (t )的数字期望 {}{}p t X p t X p t EX t m X ==?+=?==0)(01)(1)()( 随机过程X (t )的自相关函数为 []{}+==?==1)(,1)(1)()(),(212121t X t X p t X t X E t t R X (){}101=?t X P 且0)(2=t X ；0)(1=t X 且1)(2=t X ；0)(1=t X 且}0)(2=t X {}{}2211)( 1)(p t X P t X P ==?== 7．设{}1,≥n X n 是独立同分布的随机序列，其中j X 的分布列为 J=1，2，… 定义∑== n j j n X Y 1 。试对随机序列{}1,≥n Y n 求 （1）Y 1的概率分布列；（2）Y 2的概率分布列；（3）Y n 的数字期望； （4）Y n 的相关函数R Y （n, m ）。 解：（1）∵ Y 1=X 1 故概率分布则为{ }{}2 11 21 111=-===Y P Y P （2）∵ 212X X Y += 2Y 可能的取值为0或2，-2 {}{}{}{}1,11,1002121212=-=+-====+==X X P X X P X X P Y P ={}{}{}{}2 1 414111112121=+= =-=+-==X P X P X P X P { }{}{}4 1 1,12221212=====+==X X P X X P Y P { }{}{}4 11,12221212=-=-==-=+=-=X X P X X P Y P （3）∑== n j j n X Y 1 的数字期望为 ∑∑∑====??? ??-+?==???? ??=n j n j j n j j n EX X E EY 1 11021)1(211 （4）自样关函数 []?? ????==∑∑==m k k m j j Y X X E n Y m Y E n m R 11)()(),( 当m ≥n 时 ??? ? ????+ ???? ??=??????? ????? ??+ =∑∑∑∑∑∑=+===+==n k k m n j j n j j n k k m n j j n j j Y X X X E X X X E n m R 1 12 1111),( ??? ??????????+??????=∑∑∑=+==n k k m n j j n j j X E X E X E 1 12 1 []n n n n n m n j j n DY EY DY EY Y E X E EY =+==??? ? ???+=∑+=2212)( ∵ ∑∑===???? ??=n j j n j j n DX X D DY 1 1 （j X 相互独立） ()[] ∑=-= n j j j EX X E 1 2 2)( ∵ 02 1)1(211=?-+? =j EX 1)(2 =j X E ∴ []∑==-= n j n n DY 1 01 ∴ 当m ≥n 时 n DY n m R n Y ==),( 8．设随机过程{}+∞<<-∞t t X ),(的数字期望为)(t m X 协方差为),(21t t C X ，而)(t ?是一个函数。试求随机过程)()()(t t X t Y ?+=的数字期望和协方差函数。 解：随机过程)(t Y 的数字期望为 [])()()()()()()()()(t Y t t m t E t EX t t X E t EY t m X Y ???+=+=+==的协方差函数 为 [][][])()()()(),(212121t Y E t Y E t Y t Y E t t C Y -= 而 []()()[])()()()()()(221121t t X t t X E t Y t Y E ??++= ()[])()()()()()()()(21211221t t t X t t X t t X t X E ????+++= [])()()()()()()()(21211221t t t EX t t EX t t X t X E ????+++= [][]()())()()()()()(221121t t EX t t EX t Y E t Y E ??++= [][])()()()()()()()(21211221t t t EX t t EX t t X E t X E ????++++= ∴ []),()()()()(),(21212121t t C t EX t EX t X t X E t t Cov X Y =-= 思考：有没有更为简单的方法呢？ 9．给定随机过程{}+∞<<-∞t t X ),(，对于任意一个数x ，定义另一个随机过程 ?? ?>≤=x t X x t X t Y )(0)(,1)( 试证：)(t Y 的数字期望和相关函数分别为随机过程)(t X 的一维和二维分布函数。 证明：设)(t X 的一维和二维概率密度分加别为),(1t x f 和),;,(21212t t x x f 则 []? ??+∞ ∞ -∞ -+∞ +===x x Y dt t x f t y dx t x f t y dx t x f t y t Y E t E ),()(),()(),()()()(111 ),(),(11t x F dt t x f x == ? ∞ - ? ? +∞∞-+∞∞ -==2121222212121),;,())()((),(dx dx t t x x f y y t Y t Y E t t R Y ?? ∞-∞ -== 12 ),,,(),;,(21212121212x x t t x x F dx dx t t x x f 若考虑到对任意的)(,t Y T t ∈是离散型随机变量，则有： []{}{}0)(01)(1)()(=?+=?==t Y P t Y P t Y E t E Y {}),()(1t x F x t X P =≤= []{}1)(,1)(11)()(),(212121==??==t Y t Y P t Y t Y E t t R Y {}0)(,1)(0121==??+t Y t Y P {}1)(,0)(0121==??+t Y t Y P {}0)(,0)(0021==??+t Y t Y P {}),;,()(,)(212122211t t x x F x t X x t X P =≤≤= 10．给定一个随机过程)(t X 和常数a ，试用)(t X 的相关函数表示随机过程 )()()(t X a t X t Y -+=的相关函数。 解：根据定义 [][][]{})()()()()()(),(22112121t X a t X t X a t X E t Y t Y E t t R Y -+-+== [])()()()()()()()(21212121t X t X a t X t X t X a t X a t X a t X E ++-+-++= ),(),(),(),(21212121t t R a t t R t a t R a t a t R X X X X ++-+-++= 11．设随机过程 +∞<<-∞Φ+=t t A t X ),cos()(0ω，其中0ω是正常数，A 和Ф是相互独立的随机变量，且A 服从在区间[0，1]上的均匀分布，而Φ服从在区间[0，2π]上的均匀分布，试求)(t X 的数字期望和相关函数。 解：?π ?ωπ dad t a t EX t m X ?? ? ?+= =1 0 2 0 021 1)cos( )()( 0)sin(21 21)cos( 21 20 1 2 0 00=+?=+= ? ? π π ?ωπ??ωπ t d t ada [][] )cos()cos()()(),(201022121Φ+Φ+==t t A E t X t X E t t R X ωω ? ?? ++=1 0 2 0 2010221 1)cos()cos(π ?π?ω?ωdad t t a ??++=1 0 2 0 20102 21)cos()cos(ππ??ω?ωd t t da a (){}??-+++=ππ ?ω?ω2 0 21021021 )(cos 2)(cos 61d t t t t )(cos 6121)(cos 0612102 0210t t d t t -=???? ??-+= ?ωπ?ωπ 12．设随机过程+∞<<-∞=t t t X , cos )(ω，其中ω在区间?? ? ?? ?+?-21,2100ωω中均匀分布的随机变量。试求)(t X 的数字期望和协方差函数。 解：∵ ω是区间?? ? ? ? ?+?-21,2 100ωω上均匀分布的随机变量，于是ω的概率密度 为 ??? ??? ?? ? ? ?+?-∈? = 21,211)(00其它ωωωx x f 因此)(t X 的数字期望为： ? ? +? -?? ===21 2 1 00cos 1 ][cos )()(ωωωωωtd t E t EX t m X ∴当0≠t 时 ?? ?????--?+?=? -? +??=t x t t t t t m X )2sin()21sin(12 12 1 sin 11)(0000ωωωω t t t t t t 00cos )2 1 sin(2)21sin(cos 21ωω??=??= 1cos )( 00===ωt X t 时当 1)(=∴t EX 求其协方差函数： [])()()()(),(212121t EX t EX t X t X E t t C X ?-= [][]?? ? ???-++==)(cos )(cos 21cos cos )()(21212121t t t t E t t E t X t X E ωωωω ][?? ? ???-++= ))((cos 21))(cos(212121t t E t t E ωω ???+?-?+?--? ++?=21 2121 2121210000)(cos 1 21)(cos 121ωωωωωωωωd t t d t t ∴当021≠+t t 且021≠-t t 时 []2100212112 12 1 )(sin 121)()(t t t t t X t X E +? -? ++? ?=ωωω 21002112 121 )(sin 121t t t t -? -? +-? ?+ωωω )(cos )(21sin )(12102121t t t t t t +??? ???+??+= ω )(cos )(21sin )(12102121t t t t t t -?? ? ???-??-+ =ω ∴ 当021≠+t t 且021≠-t t 时 ) (cos )(2sin )(1),(210212121t t t t t t t t C X +??? ???+?+?= ω )(cos )(2sin )(12102121t t t t t t -?? ? ???-?-?+ ω 20221011cos )2 sin(2cos )2sin(2t t t t t t ωω?????- 当021≠+t t 但021=-t t 即t t t ==21时 ()[] 22))(();(t EX t X E t t C X -= 类上当0≠t 时 2 0cos )2sin(22cos sin 2121),(?? ? ?????-??+=t t t t t t t C o X ωω 当021==t t 时 0)0,0(=X C 当021≠=-=t t t 时 2 00cos 2sin 22cos sin 2121),(?? ? ?????-??+=-t t t t t t t t C X ωω 13．设随机过程X t X =)(（随机变量），向a EX =，2 σ=X D ，试求()t X x E 的数 字期望和协方差。 解：a EX t EX ==)( []222212121)()()()()(),(σ==-=?-=DX EX EX t EX t EX t X t X E t t C X 14．设随机过程∞<<-∞+=t Yt X t X ,)(，向随机矢量τ ),(y x 的协方差阵为 ?? ????2221σγγσ，试求)(t X 的协方程函数。 解：[])()()()(),(212121t EX t EX t X t X E t t C X ?-= 而 212 122 2121))(()()(t t Y XYt XYt X Yt X Yt X t X t X +++=++= ][)()( 21211221t t Y XYt XYt X E t X t EX +++=∴ ) ()(212212XY E t t EY t t EX +++=))(()()(2121EY t EX EY t EX Yt X E Yt X E ++=+?+ 221122)()(EY t t EY EX t EY EX t EX +?+?+= 221212)()()(EY t t EY EX t t EX +?++= ])()[( ])([])([),( 2121222221EXEY XY E t t t t EY EY EX EX t t C X -++-+-=∴ ),()(2121Y X CoV t t DY t t DX +++= γσσ)(212 22121t t t t +++= 15．设随机过程,,)(2∞<<-∞++=t Zt Yt X t X 其中X ，Y ，Z 只是相互独立的随机变量，各自的数学期望的0，方差为1，试求)(t X 的协方差函数。 解：)()()]()([),(212121t EX t EX t X t X E t t C X ?-= 22)( EX EX DX -= 22)(EY EY DY -= 22)(EZ EZ DZ -= 1 222===∴EZ EY EX ))(()()(2 2221121Zt Yt X Zt Yt X t X t X ++++= 2 2 2122212122121212222t t Z t YZt XZt t YZt t t Y XYt XZt XYt X ++++++++= 2 2 2121222212212211)]()([t t t t EZ t t EY t t EX t X t X E ++=++=∴ 0)()(21=++=Zt Yt X E t EX 0)(2=t EX 2 2 21212121211)()()]()([),( t t t t t EX t EX t X t X E t t C X ++=?-=∴ 16．设随机过程)(t X 的均方导数存在，试证t t X t t t R dt t dX t X E =?=????? ? 1 1 21) ,(2)()( 证明：t t X t t X m i l dt t dX t ?-?+=→?) ()(..)(0 t t X t X t t X m i l t t X t t X m i l t X dt t dX t X t t ?-?+=?-?+=∴→?→?) ()()(..)()(..)()()( 20 0 t t t R t t t R t t X t X t t X m i l E dt t dX t X E X X t t ?-?+=?? ?????-?+=?????? ∴→?→?),(),(lim )()()(..)()( 0 20 t t X t t R t =?? = 1 ),(11 证毕 17．设Y X ,是相互独立分别服从正态分布),0(2 σN 的随机变量，作随机过程 Y Xt t X +=)(。试求下则随机变量的数学期望。 ?=10 1)(dt t X Z ?=1 22)(dt t X Z 解：? ?+= +== 1 1 12 1 )()(Y X dt Y Xt dt t X Z 02 1 21 1=+=??????+=∴EY EX Y X E EZ ???++=+==1 1 1 2222 2 2)2()()( dt Y XYt t X dt Y Xt dt t X Z 22 31Y XY X ++= ])([])([31 )(31 22222EY DY EY EX EX DX EY XY E EX EZ ++?++=++=∴ 22 23 431σσσ=+= 18．试证明均方导数的下列性质。 （1）dt t dEX dt t dX E ) ()(=?? ?? ?? 证明：t t EX t t EX t t X t t X E dt t dX E ?-?+=?? ???? ?-?+=???? ??→→)()(lim )()(l.i.m )(0 t Δ0 t Δ dt t dEX ) (= （2）若a ,b 为常数，则)()(])()([' ' t bY t aX t bY t aX +='+ 证明：t t bX t aX t t bY t t aX t bY t aX ?--?++?+=+→) ()()()(l.i.m )]()([0 t Δ )()() ()(l.i.m )()(l.i.m ''0 t Δ0 t Δt bY t aX t t Y t t Y b t t X t t X a +=?-?++?-?+=→→ （3）若)(t f 为可微函数，则)()()()(])()([' t X t f t X t f t X t f +'=' 证明：定义范数：2EX X =，易证Y X Y X +≤+ 又)()()()() ()()()('t X t f t X t f t t X t f t t X t t f -'-?-?+?+ ) ()()()()()()()()()()()('t X t f t X t f t t X t f t t X t f t t X t f t t X t t f -'-?-?++?+-?+?+= )()()()() ()()()()()('t X t f t X t f t t X t t X t f t t X t t f t t f -'-?-?++?+?-?+= [] )()()()()()()()()()()()('t X t t X t f t X t t X t t X t f t t X t f t t X t t f t t f -?+'+?? ? ???-?-?++???????+'-?+?-?+= ) () ()()()()()()()()()( 't f t t f t t f t X t f t X t f t t X t f t t X t t f '-?-?+≤-'-?-?+?+∴ 0)()( )()() ()()()('→-?+'+-?-?+? +?+t X t t X t f t X t t X t t X t f t t X 19．试证明均方极限的下列性质。 （1）? ?= ?? ???? b a b a dt t EX t f dt t X t f E )()()()( 证明：?? ?????=??????∑?=→n k k k k b a t t X t f E dt t X t f E 1**0 t Δ)()(l.i.m )()( ∑∑?==→→=?=?=n n b a k k k k k k dt t EX t f t t EX t f t t X t f E 1 11 1* *0 t Δ** t Δ)()()()(lim )]()([lim （2）若βα,是常数，则 ??? +=+b a b a b a dt t Y dt t X d dt t Y t X )()()]( )( [ββα 证明：? ∑=→?+=+b a n k k k k t t Y t X dt t Y t X 1 * *0 Δ)]()( [l.i.m )]()( [βαβα ∑∑==→→?+?=n k n k k k k k t t Y t t X 1 1 * Δ* Δ)(l.i.m )(l.i.m βα =? ?+b a b a dt t Y dt t X )()(βα 20．设{}b t a t X ≤≤),(是均方可导的随机过程，试证 )()()()(l.i.m 000 t t X t g t X t g =→ 这里)(t g 是区间],[b a 上的连续函数 证明：只要证0) ()()()(lim 2 000 t =-→t X t g t X t g E 由于 )()()()()()()()()()()()(000000t X t g t X t g t X t g t X t g t X t g t X t g -+-=- )()]()([)]()()[(000t X t g t g t X t X t g -+-= )) ()()((2)()]()([)]()()[()()()()(002202022 00t g t g t g t X t g t g t X t X t g t X t g t X t g -+-+-=-∴)()]()([00t X t X t X ?- 2 02200)()()()()()()( t X t X E t g t X t g t X t g E -≤-∴ ))()()((2)()]()([00220t g t g t g t EX t g t g -+-+)()()(022 0t EX t X t X E ?- 0)()(lim 2 0t t 0 =-→t X t X E )()(lim 0t t 0 t g t g =→ 0)()()()(lim 2 00t t 0 =-∴→t X t g t X t g E 即 )()()()(l.i.m 00t t 0 t x t g t x t g =→ [证毕] 第一章 随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。 解： 1 当0cos 0t ω=，02 t k π ωπ=+ ，即0112t k πω??= + ??? （k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02 t k π ωπ≠+ ，即0112t k πω?? ≠ + ??? （k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===????. ()[]()22 000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===????. ()()20~0cos X t N t ω∴，. 则( )2202cos x t f x t ω- = ；. 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ()cos 2t X t t π?=??，出现正面，出现反面 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ?? ???；和()1F x ；，以及二维分布函数12112 F x x ?? ?? ? ，；， 。 00 11101222 11 第一章 随机过程的基本概念 1．设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求X （t ）的一维概率分布 解：∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)2 1 (0+ =k t 即 πω)21(10+=k t 时 {}10)(==t x p 若 0cos 0≠t ω 即 πω)2 1 (1 0+≠ k t 时 {}{}x t X P x x X P t x F ≤=≤=0cos )(),(ω 当 0cos 0>t ω时 ξπ ωωξd e t x X P t x F t x ? - = ??? ? ??≤=02 cos 0 2 021cos ),( 此时 ()t e x t x F t x f t x 0cos 2cos 1 21,),(022ωπ ω? =??=- 若 0cos 0 ?? ?= ,2 ,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。试确定)(t X 的一维分布函数)2 1 ,(x F 和)1,(x F ，以及二维分布函数)1,2 1;,(21x x F 解：（1）先求)21,(x F 显然???=?? ???-=??? ??出现反面出现正面 出现反面出现正面10,212,2cos 21π X 随机变量?? ? ??21X 的可能取值只有0，1两种可能，于是 21 021= ??????=?? ? ??X P 2 1121=??????=??? ??X P 所以 ?????≥<≤<=??? ?? 11102 1 0021,x x x x F 再求F （x ,1） 显然? ??-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1 2 cos (1)πX {}{}2 1 2)1(-1 (1)====X p X p 所以 ???? ???≥<≤<=2 121- 2 1-1 0,1)(x x x x F (2) 计算)1,2 1 ;,(21x x F ???-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1)1(, 1 0)2 1 ( X X 于是 第二章随机过程的基本概念 §1随机过程及其概率分布 、随机过程概念： 一、随机过程概念： 初等概率论所研究的随机现象，基本上可以用随机变量或随机向量来描述.但在实际中有些随机现象要涉及(可列或非可列)无穷多个随机变量. 例1．某人扔一枚硬币，无限制的重复地扔下去，要表示无限多次扔的结果，我们不妨记正面为1，反面为0.第次扔的结果是一个，其分布，无限多次扔n n r vX ?{}{}1012n n P X P X ====，无限制的重复地扔，要表示无限多次扔的结果，我们不妨反面为其分布无限多次扔的结果是一个随机过程，可用一族相互独 立，，或表示.r v ?1X ，2X {},1n X n ≥ n n X 0n n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 …… 例2．当固定时，电话交换站在时间内来到的呼叫次数是，记， ，其中是单位时间内平均来到的呼叫次数，而，若从变到，时刻来到的呼叫次数需用一族随机变量表 它为非降的阶，在有呼唤来到的时刻阶跃地增加，假定在任一呼唤来到的时刻不可能来到多）(0)t t ≥[0,] t r v ?()X t ()()X t P t λ λ0λ>t 0∞t {}(),[0,)X t t ∈∞()X t ，电话交换站在记，若时刻示， 是一个随机过程. 对电话交换站作一次观察可得到一条表示以前来到的呼唤曲线，它为非降的阶梯曲线，在有呼唤来到的时刻阶跃地增加，（假定在任一呼唤来到的时刻不可能来到多于一次呼唤）. E t 1()x t 同理，第二次观察，得到另一条阶梯形曲线； 同理，第n 次观察，得到另一条阶梯形曲线. 2()x t ()n x t ，第二次观察，得到另一条阶梯形曲，第，得到另一条阶梯形曲 总之，一次试验得到阶梯形曲线形状具有随机性 《概率论与随机过程》第一章习题 1.写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。 （4）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5）一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。 （6）甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7）一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9）有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。 （10）测量一汽车通过给定点的速度。 （11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1）A发生，B与C不发生。 （2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C都发生。 （4）A，B，C中至少有一个发生。 （5）A，B，C都不发生。 （6）A，B，C中至多于一个发生。 （7）A，B，C中至多于二个发生。 （8）A，B，C中至少有二个发生。 3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，?????? ≤<=121x x A ，? ?????<≤=2341x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，1)(=AC P ，求A ，B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算） （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少 8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求 第4只次品管子在下列情况发现的概率。 （1） 在第5次测试发现。 （2） 在第10次测试发现。 9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一 事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及)(B A P ?。 10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概 率。 （1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。 （3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。 11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率 第一章随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量，分布函数 离散型随机变量的概率分布用分布列分布函数 连续型随机变量的概率分布用概率密度分布函数 2．n维随机变量 其联合分布函数 离散型联合分布列连续型联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量连续型随机变量 方差：反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量）： 相关系数（两个随机变量）：若，则称不相关。 独立不相关 ４．特征函数离散连续 重要性质：，，， ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布 泊松分布均匀分布略 正态分布 指数分布 ６．Ｎ维正态随机变量的联合概率密度 ，，正定协方差阵 二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义 设是概率空间，是给定的参数集，若对每个，都有一个随机变量与之对应，则称随机变量族是上的随机过程。简记为。 含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。 当固定时，是随机变量。当固定时，时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道。 分类：根据参数集和状态空间是否可列，分四类。也可以根据之间的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。 ２．随机过程的分布律和数字特征 用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程的一维分布，二维分布，…，维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。（１）均值函数表示随机过程在时刻的平均值。 （２）方差函数表示随机过程在时刻对均值的偏离程度。 （３）协方差函数且有 （４）相关函数(3)和(4)表示随机过程在时刻，时的线性相关程度。 《概率论与随机过程》第一章习题答案 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 解： ? ??????=n n n n S 100 , ,1,0 ，其中n 为小班人数。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 解：{}18,,4,3 =S 。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录 抽取的次数。 解： {}10,,4,3 =S 。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 解： { } ,11,10=S 。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选 举的结果。 解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB 表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。 （8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次 品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。 （9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察 装球的情况。 解： {}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示球a 放 在盒子A 中，余者类推。 （10） 测量一汽车通过给定点的速度。 解：{}0>=v v S （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 解： (){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中，z y x ,,分别表示第一段，第二段，第三段的 长度。# 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1） A 发生，B 与C 不发生。 解：C A （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 解： C AB （3） A ，B ，C 都发生。 解： ABC （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。 解： C B A ?? （5） A ，B ，C 都不发生。 解： C B A （6） A ，B ，C 中至多于一个发生。 解： A C C A ?? （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。 解： C B A ?? （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 解： CA BC AB ??. # 3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 解： {}5=B A ； （2）B A ?。 解： { }10,9,8,7,6,5,4,3,1=?B A ； （3）B A 。 解：{}5,4,3,2=B A ； 第一章 随机过程 1.1 引言 对随机微分方程的研究所需要的随机过程的知识很多，因篇幅关系，只在本章中列出重要的、必备的相关知识和重要结论，这些知识主要包括：随机变量的概念及相关知识及条件期望；随机过程，特别是Markov 过程和Brown 运动的相关知识；随机微积分；It?公式；一些重要不等式及随机比较定理。 本章的内容参考或转引自文献（Murry ，1998陈希孺，2003；林无烈2002；Mao ，1997；Mao ，2006胡适耕等，2007；王克，2010等），谨向相应的作者表示感谢。 1.2 随机变量 概率用于度量随机事件的可能性，某个随机试验的所有可能的所有可能的基本结果或基本随机事件ω所构成的集合记为Ω，称为样本空间。Ω的满足下面三个条件的子集族F 称为样本空间Ω的一个σ代数： （1）F ?∈ （2）若D F ∈，则其补集c D D F =Ω-∈； （3）若(i 1,2, )i D F ?=，则 1 i i D F ∞=∈。 F 中的元素称为Ω的F 可测集或随机事件。若C 是样本空间Ω的一个子集族，则存在一个Ω的包含C 的最小的σ代数，记为(C)σ，称为由C 生成的σ代数。由n 的所有开 集所生成的σ代数称为Borel σ代数，记为n B ，其中的元素称为 n 中的Borel 集。 定义在F 上的函数[]:0,1P F →称为可测空间(,F)Ω上的概率测度，如果它满足： （1）()1P Ω=； （2）若(i 1,2,)i A F ∈=且(i j)i j A A ?=?≠，则()11 i i i i P A P A ∞ ∞==?? = ???∑。 三元组(),F,P Ω称为概率空间。若一个概率空间的F 包含Ω的所有P 零外测集，也就是说，如果 ()(){}*:inf ,0P G P F F F G F =∈?=， 则G F ?，此概率空间称为完备的。任何一个概率空间都可以通过把其所有P 零外测集加入F 中，并重新定义概率测度来完备化。本书总假设所涉及的概率空间为完备的。 第一章 随机过程的一般理论 §1.1 随机过程的基本概念 定义1.1 设(, , )P ΩF 是概率空间，是可测空间，是指标集. 若对任何，有，且(, )E E T t T ∈:t X E Ω→t X ∈F E ，则称{}(), t X t T ω∈是(, , )P ΩF 上的取值于中的随机过程，在无混淆的情况下简称(, )E E {}(), t X t T ω∈为随机过程，称为状态空间或相空间，称中的元素为状态，称为时间域. 对每个固定的(, )E E E T ω∈Ω，称()t X ω为{}(), t X t T ω∈对应于ω的轨道或现实，对每个固定的t T ∈，称()t X ω为值随机元. 有时E ()t X ω也记为 ()()(, )t t X X X t X t ωω===. 设，T ?R {}, t t T ∈F 是F 中的一族单调增的子σ代数（σ代数流），即 ① ，且t t T ?∈??F F t F 是σ代数；② , , s t s t T s t ?∈ 2 0 — 1分布 P(X 1) P,P(X 0) q EX DX pq 二项分布 P(X k) C ： EX np DX npq 泊松分布 P(X k) k! EX DX 均匀分布略 正态分布 N(a, 2) f(x) (X a)2 2 2 EX DX 第一章随机过程的基本概念与基本类型 一.随机变量及其分布 1 .随机变量X ,分布函数F(x) P(X X) 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 P k P(X x k )分布函数 F(x) P k 连续型随机变量 X 的概率分布用概率密度 f(x) 分布函数F(x) X f(t)dt 2. n 维随机变量 X (X 1,X 2, ,X n ) 其联合分布函数 F (X ) F (X 1,X 2, , X n ) P(X 1 X [ , X 2 X 2 , , X n X n ,) 离散型 联合分布列 连续型联合概率密度 3 .随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量 X EX X k P k 连续型随机变量 X EX xf (x)dx 2 2 2 方差：DX E(X EX) EX (EX) 反映随机变量取值的离散程度 协方差(两个随机变量 X,Y )： B XY E[(X EX )(Y 相关系数(两个随机变量 X, Y ) : XY t _ ____________________________________ VDX v'DY 独立 不相关 5 ?常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 B XY EY)] E(XY) EX EY 则称X,Y 不相关。 4 ?特征函数 g(t) E(e ItX ) 离散 g(t) e ItX k p k 连续 g(t) e ltx f (x)dx 重要性质：g(0) 1 , g(t) 1 , g( t) g(t) , g (0) EX k 1.1 某公共汽车站停放着两辆公共汽车A 和B ，从1=t 秒开始，每隔1秒有一乘客 到达车站。如果每一乘客以概率21登上A 车，以概率21 登上B 车，各乘客登哪一辆 车是相互统计独立的，并用j ξ代表j t =时乘客登上A 车的状态，即乘客登上A 车则 1=j ξ，乘客登上B 车则0=j ξ，即{}21 1==j P ξ,{} 2 10==j P ξ，当n t =时在A 车上的乘客数为 ∑==n j j n 1 ξη n η是一个二项式分布的计算过程。 （1） 求n η的概率分布，即{}； n k k P n ,,2,1,0? ===η （2） 当公共汽车A 上到达10个乘客时，A 即开车（例如21=t 时921=η，且22 =t 时又有一个乘客登上A 车，则22=t 时A 车出发），求A 车的出发时间n 的概率分布。 (1) 解：n t =时在A 车上的乘客数n η服从二项分布，即 {}{}(){}() ),,2,1,0(2101n k C P P C k P n k n k n j k j k n n =? ? ? ??=====-ξξη (2) 解： A 车的出发时间t 服从负二项分布。设在n 时刻第10位乘客登上A 车，即A 车出发时间n t =，那么在前1-n 个时刻登上A 车的乘客数为9，登上B 车的乘客数为10-n ；若设乘客登A 车概率为p (=1/2)，登B 车概率为q (=1/2)，则随机变量n t =的概率为 {}( )n n n n C p q p C n t P ? ? ? ??= = =---219110 991 其中， ,12,11,10=n 。 1.2 设有一采用脉冲调制以传递信息的简单通信系统。脉冲的重复周期为T ，每个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T ）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机统计变量；脉冲的幅度为常数A 。也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是一随机过 第一章 预备知识 随机过程通常被视为概率论的动态部分。在概率论中研究的随机现象，都是在概率空间(,,)F P Ω上的一个或有限多个随机变量的规律性。涉及中心极限定理时也不过是随机变量序列的讨论。在实际问题中，我们还需要研究一些随机现象的发展和变化过程，即随时间不断变化的随机变量，而且，所涉及的随机变量通常是无限多个（甚至有时与时间一样多，因而是不可数的）。 1.1 概率空间 概率论的一个基本概念是随机试验：其结果在事先不能确定的试验。随机试验具有三个特征： （1）可以在相同的条件下重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，但预先知道试验的所有可能的结果； （3）每次试验前不能确定哪个结果会出现。 随机试验的所有可能结果组成的集合称为该试验的样本空间，记为Ω。Ω中的元素ω称为样本点或基本事件，Ω的子集A 称为事件。样本空间Ω称为必然事件，空集?称为不可能事件。 定义1.1：设Ω是一个样本空间，F 是Ω某些子集组成的集合族，如果满足： （1）F Ω∈； （2）若A F ∈，则\c A A F =Ω∈； （3）若n A F ∈，1,2,n = ，则 1 n n A F ∞ =∈ 。 则称F 为σ-代数。(,)F Ω称为可测空间，F 中的元素称为事件。 如果F 为σ-代数，则： （1）F ?∈；。 （2）若n A F ∈，1,2,n = ，则 1 n n A F ∞ =∈ 。 定义 1.2：设Ω= 。由所有半无限区间(,)x -∞生成的σ-代数（即包含集族 {}(,),x x -∞∈ 的最小σ-代数）称为 上的波莱尔（Borel ）σ-代数，记为()B ，其中 的元素称为波莱尔集合。类似地可定义n 上的波莱尔σ-代数()n B 。 定义1.3：假设对样本空间Ω的每一个事件A 定义了一个数()P A ，且满足以下三条公 理： 2随机过程的基本概念 §2.1 基本概念 随机过程是指一族随机变量 . 对随机过程的统计分析称为随机过程论 , 它是随机数学中的一个重要分支,产生于本世纪的初期 . 其研究对象是随机现象 ,而它特别研究的是随“ 时间” 变化的“ 动态” 的随机现象 . 一随机过程的定义 1 定义设 E 为随机试验, S 为其样本空间,如果 (1对于每个参数 t ∈ T , X(e,t为建立在 S 上的随机变量, (2对每一个 e ∈ S , X(e,t为 t 的函数,那么称随机变量族 {X(e,t, t∈ T, e∈ S}为一个随机过程,简记为 {X(e,t, t∈ T}或 X(t。 ((((({} {} [](为随机序列。时,通常称 , 取可列集合当可以为无穷。 通常有三种形式: 参数一般表示时间或空间, 或有时也简写为一个轨道。 随机过程的一个实现或过程的样本函数,或称随机的一般函数,通常称为为对于 :上的二元单值函数。 为即若用映射来表示注意: t X T T T b a b a T T T T t X t X t e X T t e X S e S T t e X R S T t e X t 21321, , , , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, , 3, 2, 1, 0T , . 4, . 3, , 2, :, . 1=---==??×?′?′L L L 为一个随机过程。则令 掷一均匀硬币, 例 , ( (cos (}, {1 t e X t X R t T e t H e t t X T H S =??íì====p2 随机过程举例 例 2:用 X(t表示电话交换台在 (0, t 时间内接到的呼唤的次数 , 则 (1对于固定的时刻 t, X(t为随机变量 , 其样本空间为{0, 1, 2, …..}, 且对于不同的 t, 是不同的随机变量 . (2对于固定的样本点 n, X(t=n是一个 t 的函数 . (即:在多长时间内来 n 个人 ? 所以 {X(t,t>0}为一个随机过程 . 相位正弦波。为随机过程,称为随机则令例 ( 随机过程综合练习题 一、填空题（每空3分） 第一章 1．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g ，则 n X X X 21的特征函数是 。 2． )(Y X E E 。 3． X 的特征函数为)(t g ，b aX Y ，则Y 的特征函数为 。 4．条件期望)(Y X E 是 的函数， （是or 不是）随机变量。 5．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g i ，则 n X X X 21的特征函数是 。 6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性 。 第二章 7．宽平稳过程是指协方差函数只与 有关。 8．在独立重复试验中，若每次试验时事件A 发生的概率为)10( p p ，以)(n X 记进行到n 次试验为止A 发生的次数， 则},2,1,0),({ n n X 是 过程。 9．正交增量过程满足的条件是 。 10．正交增量过程的协方差函数 ),(t s C X 。 第三章 11． {X(t), t ≥0}为具有参数0 的齐次泊松过程，其均值函数为 ； 方差函数为 。 12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1 ，2 ，3 且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是 ，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是 。 13．{X(t), t ≥0}为具有参数0 的齐次泊松过程， n s X s t X P )()( 。 ,1,0 n 14．设{X(t), t ≥0}是具有参数0 的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n 的数学期望是 。 15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额 。 16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立，则在[0，t]内到达汽车总站的乘客总数是 （复合or 非齐次）泊松过程． 17．设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 内到达的顾客不超过3人的概率是 ． 第四章 18． 无限制随机游动各状态的周期是 。 19．非周期正常返状态称为 。 20．设有独立重复试验序列}1,{ n X n 。以1 n X 记第n 次试验时事件A 发生，且 p X P n }1{，以0 n X 记第n 次试验时事件A 不发生，且p X P n 1}0{，若有 1,1 n X Y n k k n ，则}1,{ n Y n 是 链。 答案 一、填空题 1．)(t g n ； 2．EX ； 3．)(at g e ibt 4．;Y 是 5． n i i t g 1 )(； 6．等价 7．时间差； 8．独立增量过程； 9． 0)()()()(3412 t X t X t X t X E 10．}),(min{2 t s X 11．t t ;； 12． 000 )(11t t e t f t 00)()()(321321t t e t f t 13． t n e n t !)( 14． n 15．240000 16．复合； 17．43 71 e 第一章习题解答 1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k === 。求 X 的特征函数，EX 及DX 。其中01,1p q p <<=-是已知参数。 解 0 ()()jtx jtk k X k f t E e e pq ∞ === ∑ 0 ()k jtk k p q e ∞ ==∑ =0()1jt k jt k p p qe qe ∞ == -∑ 又20 ()k k k k q q E X kpq p kq p p p ∞∞ ======∑∑ 222 ()()[()]q D X E X E X P =-= （其中 0 (1)n n n n n n nx n x x ∞ ∞ ∞ ====+-∑∑∑） 令 0 ()(1)n n S x n x ∞ ==+∑ 则 1 000 ()(1)1x x n n k n x S t dt n t dt x x ∞ ∞ +=== += =-∑∑?? 20 220 1 ()()(1)11(1)1(1)x n n d S x S t dt dx x x nx x x x ∞ =∴= =-∴=-= ---?∑ 同理 2 (1)2k k k k k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞ =====+--∑∑∑∑ 令20 ()(1)k k S x k x ∞ ==+∑ 则 21 1 ()(1)(1)x k k k k k k S t dt k t dt k x kx ∞∞ ∞ +====+=+=∑∑∑?） 2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为 1,0()0,0()0,0p p bx b x e x p x b p p x --?>? =>>Γ??≤? （2） 其期望和方差； （3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可 加性。 解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则 10 ()() p jtx p bx X b f t e x e dx p ∞ --=Γ? 1()0 ()p p jt b x b x e dx p ∞ --=Γ? 101()()()()(1) p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b ∞ ----==Γ---? 1 (())x p p e x dx ∞ --Γ= ? （2）'1()(0)X p E X f j b ∴= = 2''221(1)()(0)X p p E X f j b += = 222 ()()()P D X E X E X b ∴=== （4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i =则 随机过程作业题及参考答案（第一章） 第一章 随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程 X t X cos 0t ， t ，其中 0 是正常数，而 X 是标准正态 变量。试求 X t 的一维概率分布。 解： 1 当 cos 0t 0 ， 0t k ，即 t 1 k 1 （ k z ）时， 2 2 X t 0，则 P X t 1. 2 当 cos 0t 0， 0t k ，即 t 1 k 1 （ k z ）时， 2 2 X~N 0，1， E X 0，D X 1. E X t E X cos 0t E X cos 0t 0 . D X t D X cos 0t D X cos 2 0t cos 2 0t . X t ~ N 0，cos 2 0t . 1 x 2 则 f x ；t e 2cos 2 0t . 2 cos 0t 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 cos ，出现正面 X t ，出现反面 2t 假定 “出现正面” 和“出现反面” 的概率各为 1 1 。试确定 X t 的一维分布函数 F x ； 2 2 和 F x ；1 ，以及二维分布函数 1 。 F x 1，x 2 ；，1 2 随机过程作业题及参考答案（第一章） 解： ， x 0 X 1 0 1 1 1 1 2 ， ； P Xx x 1 F x 2 2p k 1 1 2 x 1 ， 2 2 1 X 11 2 ， x 1 1 1 ； 1， 1 x 2 p k F x 1 P X 1 x 2 2 2 x 2 ， 1 随机矢量 X 1 ，X 1 的可能取值为 0， 1 ，1，2. 2 而PX 1 0，X 1 1 1 ，PX 1 1，X1 2 1 . 2 2 2 2 F x 1，x 2 1 P X 1 x 1，X 1 x 2 ；，1 2 2 ， x 1 或 1 0 x 2 1， 且 或 且 1 x 2 2 2 0 x 1 1 x 2 1 x 1 x 1 2 ， 且 1 1 x 2 3. 设随机过程 X t ， t 总共有三条样本曲线 X t ， 1 1 X t ， 2 sint ， X t ， 3 cost ， 且P 1P P 3 1 t 和相关函数 R X t 1，t 2 。 2 。试求数学期望 EX 3 第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布1．随机变量，分布函数离散型随机变量的概率分布用分布列分布函数连续型随机变量的概率分布用概率密度分布函数2．n 维随机变量其联合分布函数离散型联合分布列连续型联合概率密度 3 .随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量连续型随机变量 方差：反映随机变量取值的离散程度协方差（两个随机变量）： 相关系数（两个随机变量）：若，则称不相关。 独立不相关 4?特征函数离散连续 重要性质：，，， 5 ?常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 0 — 1分布 二项分布泊松分布均匀分布略 正态分布 指数分布 6.N维正态随机变量的联合概率密度，，正定协方差阵 二.随机过程的基本概念 1.随机过程的一般定义设是概率空间，是给定的参数集，若对每个，都有一个随机变量与之对应，则称随机变量族是上的随机过程。简记为。 含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。 当固定时，是随机变量。当固定时，时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道。分类：根据参数集和状态空间是否可列，分四类。也可以根据之间的概率关系分类，如独立增 量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。 2 .随机过程的分布律和数字特征 用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程的一维分布，二维分布，…，维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。 （1）均值函数表示随机过程在时刻的平均值。 （2）方差函数表示随机过程在时刻对均值的偏离程度。 （3）协方差函数且有 （4）相关函数（3）和（4）表示随机过程在时刻，时的线性相关程度。 (5)互相关函数：，是两个二阶距过程，则下式称为它们的互协方差函数。 ，那么，称为互相关函数。若，则称两个随机过程不相关。 3 ?复随机过程 均值函数方差函数 协方差函数相关函数 4?常用的随机过程 (1)二阶距过程：实(或复)随机过程，若对每一个，都有(二阶距存在) ，则称该随机过程为二 阶距过程。 (2)正交增量过程：设是零均值的二阶距过程，对任意的，有 ，则称该随机过程为正交增量过程。 第二章 随机过程的基本概念和基本类型 教学目的：（1）掌握随机过程的定义； （2）了解有限维分布族和Kolmogorov 定理； （3）掌握独立增量过程和独立平稳增量过程概念。 教学重点：（1）有限维分布和Kolmogorov 定理； （2）随机过程的基本类型。 教学难点：（1）有限维分布和Kolmogorov 定理。 2.1 基本概念 教学目的：掌握随机过程的定义；了解随机过程的按状态集和参数的分类。 教学重点：随机过程的定义。 在概率论中，我们研究了随机变量，n 维随机向量。在极限定理中，我们研究了无穷多个随机变量，但局限在它们相互独立的情形。将上述情形加以推广， 即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。 定义2.1：设),,(P ∑Ω是一概率空间，对每一个参数T t ∈,),(ωt X 是一定义在概率空间),,(P ∑Ω上的随机变量，则称随机变量族});,({T t t X X T ∈=ω,为该概率空间上的一随机过程。T 称为参数集。 随机过程的两种描述方法：用映射表示T X ，R T t X →Ω?:),(ω，即),(??X 是一定义在Ω?T 上的二元单值函数，固定,T t ∈),(?t X 是一定义在样本空间Ω上的函数，即为一随机变量；对于固定的Ω∈0ω，),(0ωt X 是一个关于参数T t ∈的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实现。记号),(ωt X 有时记为)(ωt X 或简记为).(t X 参数T 一般表示时间或空间。参数常用的一般有： (1) },,2,1,0{0 ==N T 时间此时称之为随机序列或随机序列写为序列.，)({n X }0≥n }.,1,0,{ =n X n 或 (2) },2,1,0{ ±±=T (3) ],[b a T =.,0∞+∞-可以取或可以取其中b a 当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。随机过程});({T t t X ∈可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作S. S 中的元素称为状态。状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。 同的类：的不同过程可以分成不和根据S T 参数空间分类：?? ?≥==}0|{}2,1,0{t t T T 如连续参数如离散参数 状态空间分类：?? ?取值是连续的 连续状态取值是离散的离散状态 S S 随机过程分为以下四类： (1) 离散参数离散型随机过程； (2)连续参数离散型随机过程； (3)连续参数连续型随机过程； (4)离散参数连续型随机过程。 以随机过程的统计特征或概率特征的分类，一般有： 独立增量过程； 二阶矩过程； 平稳过程； Poission 过程； 更新过程；随机过程作业题及参考答案(第一章)
最新第1章 随机过程的基本概念习题答案
第二章随机过程的基本概念
《概率论与随机过程》第1章习题
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《概率论与随机过程》第1章习题答案
第一章随机过程
第一章随机过程的一般理论
随机过程知识点汇总
随机过程-习题-第1章
随机过程第一章 预备知识及补充
第二章随机过程基本概念.
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随机过程的基本概念和基本类型