《一次函数》经典例题解析(教师用)

类型一:正比例函数与一次函数定义

1、当m为何值时,函数y=-(m-2)x+(m-4)是一次函数?

思路点拨:某函数是一次函数,除应符合y=kx+b外,还要注意条件k≠0.

解:∵函数y=-(m-2)x+(m-4)是一次函数,

∴∴m=-2.

∴当m=-2时,函数y=-(m-2)x+(m-4)是一次函数.

举一反三:

【变式1】如果函数是正比例函数,那么().

A.m=2或m=0 B.m=2 C.m=0D.m=1

【答案】:考虑到x的指数为1,正比例系数k≠0,即|m-1|=1;m-2≠0,求得m=0,选C

【变式2】已知y-3与x成正比例,且x=2时,y=7.

(1)写出y与x之间的函数关系式;

(2)当x=4时,求y的值;

(3)当y=4时,求x的值.

解析:(1)由于y-3与x成正比例,所以设y-3=kx.

把x=2,y=7代入y-3=kx中,得

7-3=2k,

∴ k=2.

∴ y与x之间的函数关系式为y-3=2x,即y=2x+3.

(2)当x=4时,y=2×4+3=11.

(3)当y=4时,4=2x+3,∴x=.

类型二:待定系数法求函数解析式

《一次函数》经典例题解析(教师用)

2、求图象经过点(2,-1),且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式.

思路点拨:图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2,则可设此表达式为y=2x+b,再将点(2,-1)代入,求出b即可.

解析:由题意可设所求函数表达式为y=2x+b,

∵图象经过点(2,-1),

∴ -l=2×2+b.

∴ b=-5,

∴所求一次函数的表达式为y=2x-5.

总结升华:求函数的解析式常用的方法是待定系数法,具体怎样求出其中的待定系数的值,要根据具体的题设条件求出。

举一反三:

【变式1】已知弹簧的长度y(cm)在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x(kg)的一次函数,现已测得不挂重物时,弹簧的长度为6cm,挂4kg的重物时,弹簧的长度是7.2cm,

求这个一次函数的表达式.

分析:题中并没给出一次函数的表达式,因此应先设一次函数的表达式y=kx+b,再由已知条件可知,当x=0时,y=6;当x=4时,y=7.2.求出k,b即可.

解:设这个一次函数的表达式为y=kx+b.

由题意可知,当x=0时,y=6;当x=4时,y=7.2.

把它们代入y=kx+b中得

《一次函数》经典例题解析(教师用)

∴这个一次函数的表达式为y=0.3x+6.

【变式2】已知直线y=2x+1.

(1)求已知直线与y轴交点M的坐标;

(2)若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称,求k,b的值.

解析:

∵直线y=kx+b与y=2x+l关于y轴对称,

∴两直线上的点关于y轴对称.

又∵直线y=2x+1与x轴、y轴的交点分别为A(-,0),B(0,1),

∴A(-,0),B(0,1)关于y轴的对称点为A′(,0),B′(0,1).

∴直线y=kx+b必经过点A′(,0),B′(0,1).

把A′(,0),B′(0,1)代入y=kx+b中得

《一次函数》经典例题解析(教师用)

∴k=-2,b=1.

所以(1)点M(0,1)(2)k=-2,b=1

【变式3】判断三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)是否在同一条直线上.

分析:由于两点确定一条直线,故选取其中两点,求经过这两点的函数表达式,再把第三个点的坐标代入表达式中,若成立,说明第三点在此直线上;若不成立,说明不在此直线上.解:设过A,B两点的直线的表达式为y=kx+b.

由题意可知,

《一次函数》经典例题解析(教师用)

∴过A,B两点的直线的表达式为y=x-2.

∴当x=4时,y=4-2=2.

∴点C(4,2)在直线y=x-2上.

∴三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)在同一条直线上.

类型三:函数图象的应用

《一次函数》经典例题解析(教师用)

3、图中的图象(折线ABCDE)描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中,汽车离

出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系,根据图中提供的信息,回答下列问题:

(1)汽车共行驶了___________ km;

(2)汽车在行驶途中停留了___________ h;

(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为___________ km/h;

(4)汽车自出发后3h至4.5h之间行驶的方向是___________.

《一次函数》经典例题解析(教师用)

思路点拨:读懂图象所表达的信息,弄懂并熟悉图象语言.图中给出的信息反映了行驶过程中时间和汽车位置的变化过程,横轴代表行驶时间,纵轴代表汽车的位置.图象上的最高点就是汽车离出发点最远的距离. 汽车来回一次,共行驶了120×2=240(千米),整个过程用时

4.5小时,平均速度为240÷4.5=(千米/时),行驶途中1.5时—2时之间汽车没有行驶.

《一次函数》经典例题解析(教师用)

解析:(1)240;(2)0.5;(3) ;(4)从目的地返回出发点.

总结升华:这类题是课本例题的变式,来源于生活,贴近实际,是中考中常见题型,应注意行驶路程与两地之间的距离之间的区别.本题图象上点的纵坐标表示的是汽车离出发地的距离,横坐标表示汽车的行驶时间.

举一反三:

【变式1】图中,射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s与时间t的函数关系,求它们行进的速度关系。

《一次函数》经典例题解析(教师用)

解析:比较相同时间内,路程s的大小.在横轴的正方向上任取一点,过该点作纵轴的平行线,比较该平行线与两直线的交点的纵坐标的大小.所以.甲比乙快

【变式2】小高从家骑自行车去学校上学,先走上坡路到达点A,再走下坡路到达点B,最后走平路到达学校,所用的时间与路程的关系如图所示。放学后,如果他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致,那么他从学校到家需要的时间是( )

A.14分钟

B.17分钟

C.18分钟

D.20分钟

《一次函数》经典例题解析(教师用)

【答案】:D 分析:由图象可知,上坡速度为80米/分;下坡速度为200米/分;走平路速

度为100米/分。原路返回,走平路需要8分钟,上坡路需要10分钟,下坡路需要2分钟,一共20分钟。

【变式3】某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如图所示:

《一次函数》经典例题解析(教师用)

根据图象解答下列问题:

(1)洗衣机的进水时间是多少分钟?清洗时洗衣机中的水量是多少升?

(2)已知洗衣机的排水速度为每分钟19升.

①求排水时y与x之间的关系式;

②如果排水时间为2分钟,求排水结束时洗衣机中剩下的水量.

分析:依题意解读图象可知:从0—4分钟在进水,4—15分钟在清洗,此时,洗衣机内有水40升,15分钟后开始放水.

解:(1)洗衣机的进水时间是4分钟;清洗时洗衣机中的水量是40升;

(2)①排水时y与x之间的关系式为:y=40-19(x-15)

即y=-19x+325

②如果排水时间为2分钟,则x-15=2即x=17,此时,y=40-19×2=2.

所以,排水结束时洗衣机中剩下的水量为2升.

类型四:一次函数的性质

《一次函数》经典例题解析(教师用)

4、己知一次函数y=kx十b的图象交x轴于点A(一6,0),交y轴于点B,且△AOB 的面积为12,y随x的增大而增大,求k,b的值.

思路点拨:设函数的图象与y轴交于点B(0,b),则OB=,由△AOB 的面积,可求出b,又由点A在直线上,可求出k并由函数的性质确定k的取值.

解析:直线y=kx十b与y轴交于点B(0,b),点A在直线上,则①,由,即,解得代入①,可得,

由于y随x的增大而增大,则k>0,取则.

总结升华:该题考查的是待定系数法和函数值,仔细观察所画图象,找出隐含条件。

举一反三:

【变式1】已知关于x的一次函数.

(1)m为何值时,函数的图象经过原点?

(2)m为何值时,函数的图象经过点(0,-2)?

(3)m为何值时,函数的图象和直线y=-x平行?

(4)m为何值时,y随x的增大而减小?

解析:

(1)由题意,m需满足,

故m=-3时,函数的图象经过原点;

(2)由题意得:m需满足,

故时,函数的图象经过点(0,-2);

(3)由题意,m需满足,

故m=4时,函数的图象平行于直线y=-x;

(4)当3-m<0时,即m>3时,y随x的增大而减小.

【变式2】若直线()不经过第一象限,则k、b的取值范围是______,______.【答案】:(k<0;b≤0);分析:直线不经过第一象限,有可能是经过二、四象限或经过二、三、四象限,注意不要漏掉经过原点的情况。

【变式3】直线l1:与直线l2:在同一坐标系中的大致位置是().

《一次函数》经典例题解析(教师用)

《一次函数》经典例题解析(教师用)

《一次函数》经典例题解析(教师用)

A.B.C.D.【答案】:C;分析:对于A,从l1看k<0,b<0,从l2看b<0,k>0,所以k,b的取值自相矛盾,排除掉A。对于B,从l1看k>0,b<0,从l2看b>0,k>0,所以k,b的取值自相矛盾,排除掉B。D答案同样是矛盾的,只有C答案才符合要求。

【变式4】函数在直角坐标系中的图象可能是().

《一次函数》经典例题解析(教师用)

【答案】:B;分析:不论k为正还是为负,都大于0,图象应该交于x轴上方。故选B 类型五:一次函数综合

《一次函数》经典例题解析(教师用)

5、已知:如图,平面直角坐标系中,A(1,0),B(0,1),C(-1,0),过点C 的直线绕C旋转,交y轴于点D,交线段AB于点E。

(1)求∠OAB的度数及直线AB的解析式;

(2)若△OCD与△BDE的面积相等,①求直线CE的解析式;②若y轴上的一点P满足∠APE=45°,请直接

写出点P的坐标。

《一次函数》经典例题解析(教师用)

思路点拨:(1)由A,B两点的坐标知,△AOB为等腰直角三角形,所以∠OAB=45°(2)△OCD 与△BDE的面积相等,等价于△ACE与△AOB面积相等,故可求E点坐标,从而得到CE 的解析式;因为E为AB中点,故P为(0,0)时,∠APE=45°.

解析:(1)∵A(1,0),B(0,1),

∴OA=OB=1,△AOB为等腰直角三角形

∴∠OAB=45°

设直线AB的解析式为:y=kx+b,将A(1,0),B(0,1)代入,

《一次函数》经典例题解析(教师用)

解得k=-1,b=1

∴直线AB的解析式为:y=-x+1

(2)①∵

《一次函数》经典例题解析(教师用)

,将其代入y=-x+1,得E点坐标()

设直线CE为y=kx+b,将点C(-1,0),点E()代入

《一次函数》经典例题解析(教师用)

,解得k=b=

∴直线CE的解析式:

②∵点E为等腰直角三角形斜边的中点

∴当点P(0,0)时,∠APE=45°.

总结升华:考虑面积相等这个条件时,直接算比较困难,往往采取补全成一个容易计算的面积来解决问题。

举一反三:

【变式1】在长方形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,点P沿边按A→B→C→D的方向向

《一次函数》经典例题解析(教师用)

点D运动(但不与A,D两点重合)。求△APD的面积y()与点P所行的路程x(cm)之间的函数关系式及自变量的取值范围。

《一次函数》经典例题解析(教师用)

【答案】:当P点在AB上运动时,

当P点在BC上运动时,

当P点在CD上运动是,

【变式2】如图,直线与x轴y轴分别交于点E、F,点E的坐标为(-8,0),点A的坐标为(-6,0)。

(1)求的值;

(2)若点P(,)是第二象限内的直线上的一个动点,在点P的运动过程中,试写出△OPA的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(3)探究:在(2)的条件下,当点P运动到什么位置时,△OPA的面积为,并说明理由。

《一次函数》经典例题解析(教师用)

解:(1)将E(-8,0)代入,得;

(2)设P点坐标为()

S=(-8

(3)令,解得,

代入,算出P点纵坐标为

当P点的坐标为时,△OPA的面积为.

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