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车辆动荷载作用下隔振沟响应增强区数值分析

第28卷第12期岩土工程学报 Vol.28 No.12 2006年 12月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering Dec., 2006 车辆动荷载作用下隔振沟响应增强区数值分析

邓亚虹，夏唐代，陈敬虞

（浙江大学岩土工程研究所，浙江杭州 310027）

摘要：基于动力学基本方程，运用有限单元法（FEM）和NEWMARK隐式积分方法，对车辆荷载（FWD荷载）作用下明沟隔振结构附近振动响应增强区的分布范围特征及其增强效应进行了弹塑性数值分析。考虑到人工截断边界上波反射对计算结果的影响，分别用传递边界和半无限单元来处理侧面和底面边界。文中主要考虑了隔振沟位置、隔振沟深度和宽度三个主要影响因素，并在计算结果的基础上分析总结了他们对隔振沟响应增强区的影响规律。

关键词：隔振沟；响应增强区；有限元法；传递边界；半无限单元；车辆荷载；FWD荷载

中图分类号：TU352.12；O328 文献标识码：A 文章编号：1000–4548(2006)12–2121–07

作者简介：邓亚虹(1978–)，男，湖南益阳人，博士研究生，主要从事土动力学及基础工程方面的研究。

Numerical analysis of response magnified area of vibration isolation trenches

subjected to vehicle dynamic loads

DENG Ya-hong，XIA Tang-dai，CHEN Jing-yu

(Institute of Geotechnical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China)

Abstract: According to the basic equation of dynamics, using FEM and NEWMARK implicit algorithm, an elastic-plastic numerical analysis was made to analyze the response magnified area of the vibration isolation construction of open trenches for the vibration induced by vehicle dynamic loads. In order to reduce the effect of wave reflecting on artificial boundaries, transmitting boundary and semi-infinite elements were respectively used to treat the lateral and underside boundaries. The position, depth and the width of open trenches were the three mainly considered factors. Finally, on the basis of the numerical calculation results, their effects laws were analyzed.

Key words: vibration isolation trenche; response magnified area; FEM; transmitting boundary; semi-infinite element; vehicle load; FWD load

0 引言

各种震动源，如爆炸、打桩、结构物倒塌与地面撞击等都会引起震动源附近结构物的振动。当振动超过一定程度，会引起结构物开裂、地基沉降等，严重的会导致结构物的破坏，因此控制地震动的大小是工程施工及设计部门的一大难题。隔振沟用于爆炸或其它原因引起的地震动减震是一个简便易行的方法，且已广泛应用于爆破工程的地震动控制[1]。从20世纪50年代开始，土体振动的隔振问题逐渐成为国内外研究的一个热点。根据隔振结构离振源的距离，又可归为主动隔振和被动隔振两大类，通常采用的隔振措施包括明沟，填充沟和波阻体（WIBs）。文献[2～10]研究主要集中于三种隔振措施隔振效果的比较以及不同性质填充物和不同频率振源对隔振效果的影响。文献[11～16]对高速列车引起的地面振动及其隔振措施进行了较为系统的研究和比较，研究重点与上述文献基本相同，只是振源的频率转变为列车的速度来考虑。国内这方面的研究主要集中在爆破[17]、动力打桩[18]和强夯[19]以及铁路列车[20]引起的地面振动及其隔振处理上。研究重点集中在隔振沟自身几何尺寸、位置以及填充物材料特性[21]对隔振效果的影响。然而以上的研究均没有涉及或提到沟槽附近一定区域内地面振动响应增强的问题。文献[22]发现，在隔振沟附近受到沟槽效应的影响，存在一个振动强度不但不减小反而放大的区域，这与目前的一般认识并不一致。

动力响应计算中，考虑波能向外辐射，且计算区域只能有限，这时需要对边界进行处理。从70 年代开始，人们就用有限元法和各种人工边界来模拟天然地基的近场波动问题, 其中有White和Valliappan的加权平均逼近法[23]、Degrande和Roeck的吸收边界法[24]、Lysmer的传递边界法[25]以及国内的廖振鹏提出的透射边界法[26]等等。目前普遍认为传递边界法是一种较───────

收稿日期：2005–09–23

2122 岩土工程学报 2006年

好的边界处理方法，它利用了表面波能占优的特点，但这一方法必须在一定深度处刚性截断。参照张楚汉的研究[27]，在深度方向上可利用半无限单元来模拟占小部分能量的体波，而水平方向上则利用传递边界来模拟面波。研究表明，这一方法比传统的传递边界法精度高，稳定性好。

本文采用有限单元法，对车辆荷载作用下隔振沟附近响应增强区的范围、影响因素及其影响规律进行了弹塑性数值分析。计算时，根据前面的分析，如图1所示，Ⅰ区采用平面四节点轴对称矩形单元划分，区域Ⅱ对区域Ι的边界作用力则利用传递边界有限单元来建立，区域Ⅲ则用半无限单元来模拟。

1 基本理论

[28-30]

1.1 动力有限元基本方程

系统的求解方程，即运动方程，可以根据达朗贝尔直接平衡法、虚功原理或者哈密尔顿原理建立，其表达式为

[]{}[]{}[]{}(){}M u C u K u F t ++= 。 (1) 式中 {}u

、{}u 和{}u 分别是系统的节点加速度向量、节点速度向量和节点位移向量；[]M 、[]C 、[]K 和{}()F t 分别是系统的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和节点荷载向量，分别由各自的单元矩阵和向量集成。如果上式右端为0，则是系统的自由振动方程。 1.2 矩形单元刚度矩阵和质量矩阵

采用圆柱坐标，利用虚功原理，平面四节点矩形

轴对称单元的刚度矩阵和质量矩阵表示为

[][][][]00

2d d r a

e r a b

K B D B r r z ++??=π∫∫ ， (2) [][][][]00

2d d r a

e r a b M N N r r z ++??=πρ∫∫ ， (3)

其中，[]N 为四节点四边形单元的插值形函数矩阵，

[]B 和[]D 分别为单元的几何矩阵和材料系数矩阵，[]ρ为质量密度。 1.3 传递边界

下面将直接从有限元出发推导传递边界力。首先讨论向r 正方向传播并作用于区域Ⅰ的边界力的计算，对于向r 负方向传播并作用于区域Ⅰ的边界力可仿此进行。设边界距原点r b ，边界上各节点位移由各模态波位移叠加而成，即

{}{}2s s 1

s U a V ==∑ ， (4)

式中，{}s V 为s 模态波位移分布矢量，s a 为各模态波含量系数。

第s 模态波由于位移引起的单元j 和j -1对节点j 的节点力为

{}{}{}{}{}{}{}11

1'114

J J j

j j J J J j j

j F K U K U K U K U K U K U ′

+??+???????=+++

????????????+++??????

{}{}1123

J J j j K U K U ??′′

?????+???? ， (5)

式中，{},j

U u u ??=??，ij

K ?

???为2×2阶矩阵是与矩形单元中相关节点对应的矩阵。相邻两单元j 和j -1的节点位移满足

()1111exp 2j j j j j j U U U U ikl U U ′??′′++????????

=????????????? 。 (6) 将式（3）和（5）代入式（4），同时令l 2→0，可得到第s 模态波引起的节点力。对各模态波引起的节点力求和，即可得节点j 的节点力

,j jr jz F F F ??=?? ， (7) 式中，jz jr F F ,的表达式参见文献[29]。

1.4 半无限单元

半无限单元，其单元的位移函数为

()()s s 010211e

211e

2ik z ik z r r N l r r N l ?+?+????=???????

?????=+??????，。?? (8)

由于剪切波的能量比列比压缩波大，波速s k 取剪

切波的波数，?为衰减系数，单元中质点的位移为

[]111222r z r z u u u N u u u ????

????

=????????

???? ， (9) 式中，

[]1

2120000N

N N N N ??

=???

。 (10)

根据虚功原理，单元的刚度矩阵和质量矩阵为

[][][][]00

02d d r l

r l K B D B r r z +∞

+∞?=π∫

∫ ， (11)

[][][][]00

02d d r l

r l M N N r r z ρ+∞

+∞?=π∫∫ 。

(12) 1.5 阻尼矩阵

阻尼矩阵在一般情况下是依赖于振动频率的。因

此，在实际分析中，要精确的决定阻尼矩阵是相当困难的。同时，在体系的运动方程中，阻尼力与惯性力和抗力相比较要小得多，因此，通常将实际结构的阻尼矩阵简化为质量矩阵[]M 和刚度矩阵[]K 的线性组合，这种阻尼称为瑞利（Rayleigh ）阻尼，表达式为

[][][]C M K αβ=+ ， (13)

式中，α、β为不依赖于频率的常数，

第12期邓亚虹，等. 车辆动荷载作用下隔振沟响应增强区数值分析

2123

()

()()2j i i j i j i

j i j ?=

+?ξωξωαωωωωωω ， (14)

()

()()

2i i j j i

j i j ?=

+?ξωξωβω

ωωω 。 (15)

只要实测两种振型下的圆频率ω和阻尼比ξ值，便可根据式（14）和（15）计算出α和β。这种方法的缺点是一般只能测得低频阻尼比，按此确定的系数用于动态分析，结果会使得体系的高频反应被“阻尼掉”很多。另一种方法是先进行体系的模态分析，根据模态分析结果，采用两种“贡献”较大的，与模态相应的自振圆频率和阻尼比来计算α和β。本文采用后一种方法，先计算体系的前十阶模态，然后考虑高阶模态的影响，采用第1、第6模态对应的圆频率和阻尼比来计算瑞利（Rayleigh ）阻尼系数α和β。 1.6 运动方程的求解方法

运动方程（1）为常系数二阶常微分方程组，在实际的有限元数值分析中，经常采用两大类型的数值解法，即振型叠加法和直接积分法。用振型叠加法求解线性动态问题非常有效。直接积分法是指在积分运动方程之前不进行方程形式的变化，而直接进行逐步数值积分。如中心差分法、Houbolt 法、Wilson ?θ法和Newmark 法等。Newmark 积分方法实质上是线性加速度法的一种推广，采用假设：

[](1)t t t t t t a

a a a t +?+?=+?+? δδ ， (16) []2(1/2)t t t t t t t a a a

t a a t +?+?=+?+?+? αα。 (17) 本文采用了Newmark 隐式积分法，并取δ＝1/2，α＝1/4的无条件稳定积分形式。此时，积分时间步长的选取只需考虑外荷载的影响。

2 计算模型及材料参数

2.1 有限元计算模型

实际分析中选取了120 m ×60 m 的计算区域，计算模型示意图如图1所示。考虑荷载以及结构的对称性，可以简化为轴对称平面问题进行分析。为避免人工截断边界反射波对计算结果的影响，模型内部用四节点轴对称矩形单元进行划分，而在边界上设置了传

递边界有限单元和半无限单元。

图1 计算模型示意图

Fig. 1 Sketch map of computing model

2.2 地基材料参数

文献[30]用DDS-70电磁式振动三轴仪对12组原状黄土试样进行了动三轴试验，并根据试验的结果选取了有限元分析的地基材料参数，具体数值见表1。

表1 地基材料特性参数

Table 1 Material parameters of loess ground

结构层弹性模

量/MPa 密度

/(kg ·m －3)

阻尼比泊松比

c /kPa

/(°)地基

60 1500 0.1 0.35 30

黄土地基假设为理想弹塑性材料，服从相关联流

动准则。采用Drucker-Prager 屈服准则，其屈服函数为

10y F I =+?=σ 。 (18)

式中 1I 为应力第一不变量；2J 为应力偏量第二不变量；α和y σ可为抗剪强度参数c 和?的函数，

α2

sin 39sin +=

， (19) ?

?σ2

sin 39cos 9+=

c y 。 (20)

2.3 车辆动荷载模型

实际的行车荷载对路面结构的动力作用是非常复杂的。目前，世界各国的路面设计规范中，都是把车辆荷载作为静止的集中荷载或图形分布荷载来表达，而实际路面承受的车辆荷载是一个位置不断变化的运动随机荷载。对于路面某一点在车辆通过时所承受的动荷载的的简化方法主要有两种，一是将其简化为半波正弦荷载，二是采用FWD 产生的动态冲击荷载。本文用FWD 荷载来模拟实际行车荷载，32 ms 周期的FWD 荷载曲线如图2所示。

图2 FWD 荷载时程曲线 Fig. 2 Variation of FWD load with time

3 计算结果及分析

首先，忽略隔振沟对体系自振频率的影响，对不含隔振沟的整个区域进行无阻尼模态分析，获得体系第1和第6模态对应的自振频率分别为0.93和1.80 Hz 。然后，将其代入式（14）和（15），算得瑞利阻尼系数α和β分别为0.77和0.01。

2124 岩土工程学报 2006年

3.1 隔振沟深度对响应增强区的影响

隔振沟宽度为1 m ，前壁距振源中心19 m ，后壁距振源中心20 m 。

为分析隔振沟深度对动力响应增强区的影响，分别设隔振沟深度为1、2和3 m ，建立不同有限元离散模型进行瞬态分析，获得沟后地表竖向速度响应值，并与无隔振沟时相应位置的速度响应值进行比较。图3为无隔振沟及不同深度隔振沟时沟后不同位置地表的竖向速度时程曲线。图4为不同深度隔振沟振速最大值与位置关系曲线。表2为隔振沟深度不同时动力响应增强效应的比较。

图3 地表竖向速度时程曲线

Fig. 3 Variation of vertical velocity of surface with time

表2 不同深度隔振沟最大增强效应

Table 2 The maximum magnifying values for different depths

of trench 深度/m 无

1 2 3

最大振速/(mm ·s -1)

4.92

5.73

6.05 6.19 增强效应

1.00 1.16 1.23 1.26

从图3（a ）可以看出，当无隔振沟时，不同位置点的时程曲线表现出比较均匀和平缓的变化，反应出振波的自然衰减特性。图3（b ）～（d ）的时程曲线则比较明显的反应了隔振沟对沟后土体动力响应的影响，距隔振沟越近，对位置变化越敏感，曲线变化越

显著，随着与隔振沟距离的增大，逐渐趋于如图3（a ）

的平缓变化。而且隔振沟深度越大，以上特点越明显。

图4反映了不同深度隔振沟沟后土体振速极值随距离的变化。从图可以看出，当存在隔振沟时，距沟后壁一定距离内，地表竖向振动速度响应与无隔振沟相比，不但没有减小，反而有所增大，图4反映的这个范围在2 m 左右。此距离以外，隔振沟还原为本来面目，起到隔振的作用。从图4和表2可以看出，隔振沟越深，增强效应越明显，增强区范围越大，同时对较远土体的减振作用也较大。同时也可以看到，随着深度增加，增强效应以及增强区范围的增长呈递减趋势。

图4 不同深度隔震沟振速最大值与距离关系曲线 Fig. 4 Relationship between the maximum velocity and distance

for different depths of trench

图5 地表竖向速度时程曲线

Fig. 5 Variation of vertical velocity of surface with time

第12期邓亚虹，等. 车辆动荷载作用下隔振沟响应增强区数值分析2125 3.2 隔振沟宽度对响应增强区的影响

隔振沟深度为3 m，后壁距振源中心20 m不变。

为分析隔振沟宽度对动力响应增强区的影响，分别设隔振沟宽度为1、2和3 m建立不同有限元离散模型进行动力瞬态分析，获得沟后地表竖向速度响应值，并与无隔振沟时相应位置的速度响应进行比较。图5为无隔振沟及不同宽度隔振沟时沟后不同位置地表的竖向速度时程曲线。图6为不同宽度隔振沟振速最大值与无沟时相应点振速与距离关系曲线。表3为隔振沟宽度不同时动力响应增强效应的比较。

图6 不同宽度隔震沟振速最大值与距离关系曲线 Fig. 6 Relationship between the maximum velocity and distance curves for different widths

表3 不同宽度隔振沟最大增强效应 Table 3 The maximum magnifying value for different widths 宽度/m 0 1

2 3 最大振速/(mm·s-1) 4.92 6.19 5.86 5.78 增强效应 1.00 1.26 1.19 1.17

图5反应了有无隔振沟时沟后土体响应时程曲线

的差别。与前述一样，无隔振沟时时程曲线变化平缓

且均匀，有隔振沟时，时程曲线的变化剧烈程度与距

隔振沟后壁的距离密切相关，距隔振沟越近，对位置

变化越敏感，曲线变化越显著，随着与隔振沟距离的

增大，逐渐趋于平缓。

从图6和表3可以看出，宽度对增强区的影响规

律与前述深度影响有所不同，表现为隔振沟宽度越小，增强效应越明显，其增强区范围也越大，同时对较远

土体的隔振效果也越小。这个不同在图4和6中表现为：图4中，不同深度的3条曲线为相交关系，即对

同宽度不同深度的隔振沟，其增强效应越明显则隔振

效果也越强；而图6中，不同宽度的3条曲线近似平行，即对同深度不同宽度的隔振沟，其增强效应越明

显则隔振效果越差。

3.3 隔振沟位置对响应增强区的影响

在这一部分，固定隔振沟深度和宽度分别为3 m

和1 m不变，变化隔振沟的位置，既其与振源的距离

来分析位置变化对响应增强区的影响规律。图7为不

同位置隔振沟沟后地表竖向速度时程曲线。图8为不同位置隔振沟沟后地表最大振速与无沟时相应点振速

的对比曲线。

图7 地表竖向速度时程曲线

Fig. 7 Variation of vertical velocity of surface with time

图8 最大振速与距离关系曲线

Fig. 8 Relationship between the maximum velocity and distance

表4 不同位置隔振沟最大增强效应

Table 4 The maximum magnifying value at different positions 距振源距离/m 15 20 25 无沟时最大振速/(mm·s-1) 6.89 4.92 3.78 有沟时最大振速/(mm·s-1) 7.42 6.19 5.15 增强效应 1.08 1.26 1.36

2126 岩土工程学报 2006年

从速度时程曲线可以看出，距振源越近，时程曲线对位置越敏感，变化也越显著。

图8（a）为隔振沟后壁距振源15 m时，沟后土体地表最大振速与距离的关系，从图及表4看出，虽然此时由于距振源较近，振动速度较大，但是隔振沟的增强效应并不明显，最大增强效应仅为1.08，且增强区的范围也仅为1 m左右。从图8（b）、（c）及表4可以看出，随着隔振沟距振源距离的增大，增强效应及增强区范围都在增大。当振源距为25 m时，增强效应增大到1.36，增强区范围增大到3 m左右。

4 结语

采用动力有限元方法，结合平面四节点轴对称单元、半无限单元及传递边界，分析了隔震沟位置，深度以及宽度对隔振沟响应增强区效应以及范围的影响。通过上面的计算和分析，得出如下结论：（1）隔振沟对沟后土体并不都有减振隔振作用，由于沟槽效应，在距沟后壁一定范围内存在一个响应增强区。

（2）隔振沟深度越大，响应增强区的增强效应越明显，增强区范围也越大；同时对较远距离土体的隔振效果也越好。

（3）隔振沟宽度越大，响应增强区的增强效应越小，增强区范围也较小；但同时对较远距离土体的隔振效果则较好。

（4）隔振沟距振源越远，响应增强区的增强效应越大，增强区范围也较大。

（5）从（2）、（3）两点来看，响应增强区的存在主要受隔振沟侧壁的影响，侧壁越长，增强效应越明显，增强区范围越大。

（6）由于响应增强区的存在，因此实际工程中隔振沟与需要隔振的建筑物之间应有足够的距离。从本文的算例结果来看，要避开增强区，两者应相距3m 以上，若要使隔振沟发挥较好的隔振作用，两者的距离应在6 m以上。当然，由于本文没有考虑荷载以及土体本身性质的影响，其一般性还有待进一步研究。

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