离散数学复习资料
2008年离散数学试题
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)
1.设P：天下大雨,Q：他在室内运动,命题“除非天下大雨，否则他不．在室内运动”可符合化
为（）
A.?P∧Q
B.?P→Q
C.?P→?Q
D.P→?Q
2.下列命题联结词集合中，是最小联结词组的是（）
A.{?，}
B.{?，∨，∧}
C.{?，∧}
D.{∧，→}
3.下列命题为假．命题的是（）
A.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式惟一
B.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式不惟一
C.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式惟一
D.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式不惟一
5.若个体域为整数减，下列公式中值为真的是（）
A.?x?y(x+y=0)
B.?y?x(x+y=0)
C.?x?y(x+y=0)
D.??x?y(x+y=0)
6.下列命题中不．正确的是（）
A.x∈{x}-{{x}}
B.{x}?{x}-{{x}}
C.A={x}∪x,则x∈A且x?A
D.A-B=??A=B
7.设P={x|(x+1)2≤4}，Q={x|x2+16≥5x},则下列选项正确的是（）
A.P?Q
B.P?Q
C.Q?P
D.Q=P
8.下列表达式中不．成立的是（）
A.A∪(B⊕C)=(A∪B) ⊕ (A∪C)
B.A∩(B⊕C)=(A∩B) ⊕ (A∩C)
C.(A⊕B)×C=(A×C) ⊕ (B×C)
D.(A-B) ×C=(A×C)-(B×C)
10.下列集合对所给的二元运算封闭的是（）
A.正整数集上的减法运算
B.在正实数的集R+上规定*为a*b=ab-a-b ?a,b∈R+
C.正整数集Z+上的二元运算*为x*y=min(x,y) ?x,y∈Z+
D.全体n×n实可逆矩阵集合R n×n上的矩阵加法
11.设集合A={1，2，3}，下列关系R中不．是等价关系的是（）
A.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}
B.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>}
C.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
D.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>}
13.设集合A={a,b, c}上的关系如下，具有传递性的是（）
A.R={
B.R={
C.R={
D.R={
14.含有5个结点，3条边的不．同构的简单图有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
15.设D的结点数大于1，D=
A.D中至少有一条通路
B.D中至少有一条回路
C.D 中有通过每个结点至少一次的通路
D.D 中有通过每个结点至少一次的回路
二、填空题 16.设A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A ⊕A=___________，A ⊕B=___________。
17.设A={1,2,3,4,5}，R ?A ×A ，R={<1,2>，<3,4>,<2,2>}，则R 的自反闭包r(R)=__________。
对称闭包t(R)=__________。
18.设P 、Q 为两个命题，德摩根律可表示为_____________，吸收律可表示为____________。
19.对于公式?x(P(x)∨Q(x))，其中P(x)∶x=1,Q(x)∶x=2,当论域为{1,2}时，其真值为
_____________ ,当论域为{0,1,2}时，其真值为_____________。
21.3个结点可构成_________个不同构的简单无向图，可构成________个不同构的简单有向
图。
23.设图G
???????=0001001111011010A ，则deg -(v 1)=_ ________, deg +(v 4)=____________。
25.给定集合A={1,2,3,4,5}，在集合A 上定义两种关系：R={<1,2>,<3,4>,<2,2>},
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}，则_______________S R = ，_______________R S = 。
三、计算题
26.设A={a,b,c,d}，A 上的等价关系R={
27.构造命题公式?（P ∨Q ）
（?P ∧Q ）的真值表。
28.求下列公式的主析取范式和主合取范式：P →（（Q →P ）∧（?P ∧Q ））
29.设A={a, b, c, d, e}，R 为A 上的关系，R={
30.给定图G如图所示，（1）G中长度为4的路有几条？其中有几条回路？（2）写出G的可达矩阵。
四、证明题
31.设（L，≤）是格，试证明：?a, b, c ∈L, 有a∧（b∨c）≥（a∧b）∨（a∧c）；
a∨（b∧c）≤（a∨b）∧（a∨c）。
32.设R是A上的自反和传递关系，如下定义A上的关系T，使得?x, y∈A，
33.设有G=
五、应用题
34.构造下面推理的证明。每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车，每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车，因而有的人不喜欢步行。
35.今要将6人分成3组（每组2个人）去完成3项任务。已知每个人至少与其余5个人中
的3个人能相互合作。
（1）能否使得每组的2个人都能相互合作？（2）你能给出几种不同的分组方案？
2008年4月全国自考离散数学参考答案
离散数学试题与答案试卷一
一、填空 2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。
3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则
)()))(((S R P R Q P ?∨→?∧→∨?的真值= 。
4．公式P R S R P ?∨∧∨∧)()(的主合取范式为
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为
则 R 2 = 。
7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为
则 R= 。
8．
图的补图
为 。
10．下图所示的偏序集中，是格的为 。
二、选择
1、下列是真命题的有（ ）
A ． }}{{}{a a ?；
B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；
C ． }},{{ΦΦ∈Φ；
D ． }}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有（ ）
A ．{4，3}Φ?；
B ．{Φ，3，4}；
C ．{4，Φ，3，3}；
D ． {3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。
A．23 ；B．32 ；C．332?；D．223?。
4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）
R 是自反的；
A．若R，S 是自反的，则S
R 是反自反的；
B．若R，S 是反自反的，则S
R 是对称的；
C．若R，S 是对称的，则S
R 是传递的。
D．若R，S 是传递的，则S
5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下
t s
p
R=
t s
∈
=则P（A）/ R=（）
<
>
∧
A
)
(|
||
|}
(
,
{t
,
|
s
A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}
6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“?”的哈斯图为（）
8、图中从v1到v3长度为3 的通路有（）条。
A．0；B．1；C．2；D．3。
9、下图中既不是Eular图，也不是Hamilton图的图是（）
10、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（）个4
度结点。
A．1；B．2；C．3；D．4 。
三、证明
１、R 是集合X 上的一个自反关系，求证：R 是对称和传递的，当且仅当
< a, b> 和在R 中有<.b , c>在R 中。
２、G=
2)2(--≤k v k e ， 由此证明彼得森图（Peterson ）图是非平面图。
四、逻辑推演 用CP 规则证明下题
1、F A F E D D C B A →?→∨∧→∨,
2、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?→??→?
五、计算
1、设集合A={a ，b ，c ，d}上的关系R={ ,< b , a > ,< b, c > , < c , d >}用矩阵运算求出R 的传递闭包t (R)。
2、如下图所示的赋权图表示某七个城市721,,,v v v 及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。
试卷一答案：
一、填空
1、{0，1，2，3，4，6}；
2、A C B -⊕)(；
3、1；
4、)()(R S P R S P ∨?∨?∧∨∨?；
5、1；
6、{<1,1>, <1,3>, <2,2>, <2,4> }；
7、{
8、
9、a ；a , b , c ,d ；a , d , c , d ；10、c;
1、 证： “?” X c b a ∈?,, 若R >c ,a <,>b ,a <∈由R 对称性知R a ,c <,>a ,b <∈>，由R 传递性得 R >c ,b <∈
“?” 若R >b ,a <∈，R >c ,a <∈有 R >c ,b <∈ 任意 X b a ∈,，因R >a ,a <∈若R >b ,a <∈R >a ,b < ∈∴ 所以R 是对称的。
若R >b ,a <∈，R >c b,<∈ 则 R c b, R >a b,<>∈<∧∈ R >c ,a < ∈∴
即R 是传递的。
2、 证：①设G 有r 个面，则rk
F d e r i i ≥=∑=1)(2，即 k e r 2≤。而
2=+-r e v 故k e e v r e v 22+-≤+-=即得 2)2(--≤k v k e 。
3、 ②彼得森图为10,15,5===v e k ，这样
2)
2(--≤k v k e 不成立， 所以彼得森图非平面图。（3分）
二、 逻辑推演 16%
1、 证明：
①A P （附加前提）
②B A ∨ T ①I
③D C B A ∧→∨ P
④D C ∧ T ②③I
⑤D T ④I
⑥E D ∨ T ⑤I
⑦F E D →∨ P
⑧F T ⑥⑦I
⑨F A → CP
2、证明
①)(x xP ? P （附加前提）
②)(c P US ①
③))()((x Q x P x →? P
④)()(c Q c P → US ③
⑤)(c Q T ②④I
⑥)(x xQ ? UG ⑤
⑦)()(x xQ x xP ?→? CP
三、 计算 18%
1、 解：
??????? ??=0000100001010010R M ， ???????
??==0000
0000
1010
0101
2R R R M M M ???
?
???
??==000000000101101023R R R M M M ，
??????
? ??==000000001010010134R R R M M M ??????? ??=+++=00001000111111114
32)(R R R R R t M M M M M ∴ t (R)={ , , < a , c> , , , < b ,b > , < b , c . > ,
< b , d > , < c , d > }
2、 解： 用库斯克（Kruskal ）算法求产生的最优树。算法略。结果如图：
树权C(T)=23+1+4+9+3+17=57即为总造价。
试卷二试题与答案
一、填空
1、 P ：你努力，Q ：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为
；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为
。
2、论域D={1，2}，指定谓词P
则公式x ??真值为 。
2、 设S={a 1 ，a 2 ，…，a 8}，B i 是S 的子集，则由B 31所表达的子集是
。
3、 设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数
x y x y x R ∨<><=，则R=
（列举法）。
R 的关系矩阵M R = 。
5、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系
R= ；A 上既是对称的又是反对称的关系R=
9、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是
。
10、公式R Q P Q P P ?∧∨?∧∧?∨)(())((的根树
二、选择
1、在下述公式中是重言式为（ ）
A ．)()(Q P Q P ∨→∧；
B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??；
C ．Q Q P ∧→?)(；
D ．)(Q P P ∨→。
2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。
A ．0；
B ．1；
C ．2；
D ．3 。
3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。
A ．3；
B ．6；
C ．7；
D ．8 。
4、 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系
},,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。
A ．4；
B ．5；
C ．6；
D ．9 。
5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为
则R 具有（ ）性质。
A ．自反性、对称性、传递性；
B ．反自反性、反对称性；
C ．反自反性、反对称性、传递性；
D ．自反性 。
7、下面偏序集（ ）能构成格。
8、在如下的有向图中，从V 1到V 4长度为3 的道路有（ ）条。
A．1；B．2；C．3；D．4 。
9、在如下各图中（）欧拉图。
三、证明
1、设R是A上一个二元关系，
)}
,
,
,
(
)
,
(|
,
{R
b
c
R
c
a
A
c
A
b
a
b
a
S>∈
<
>∈
<
∈
∧
∈
>
<
=且
有
对于某一个试证明若R是A上一个等价关系，则S也是A上的一个等价关系。
2、用逻辑推理证明：所有的舞蹈者都很有风度，王华是个学生且是个舞蹈者。因此有
些学生很有风度。
3、若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定连通。
4、设G是具有n个结点的无向简单图，其边数
2
)2
)(1
(
2
1
+
-
-
=n
n
m
，则G是
Hamilton图
四、计算 权数1，4，9，16，25，36，49，64，81，100构造一棵最优二叉树。
试卷二答案：
一、 填空
1、Q P →?；Q P ∧
2、T
3、},,,,{876540001111131a a a a a B B ==
4、R={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<2,5>,<2,6>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<3,5>,<3,6>,<4,5>,<4,6>,<5,2>,<5,
3>,<5,4>,<5,5>,<5,6>}；???????? ??00000111111100011111
11111 5、R={<1,2>,<1,3>,<2,1>}；
R={<1,1>,<2,2>,<3,3>} 6、a ；否；有 7、Klein 四元群；循环群 8、 B 9、)1(
21-n n ；图中无奇度结点且连通 10 、
二、 题目
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B 、D D ；D D B D A B B B B 、C
三、 证明
1、（9分）
（1） S 自反的
A a ∈?，由R 自反，),(),(R a a R a a >∈<∧>∈<∴，S a a >∈∴<,
（2） S 对称的
传递对称定义R S
a b R R b c R c a S R b c R c a S b a A
b a >∈?<>∈<∧>∈∈<∧>∈∈<∈?,)
,(),()
,(),(,,
（3） S 传递的 定义传递S S c a R R c b R b a R c e R e b R b d R d a S
c b S b a A
c b a >∈?<>∈<∧>∈∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈∈<∧>∈<∈?,)
,(),()
,(),(),(),(,,,,
由（1）、（2）、（3）得；S 是等价关系。
2、11分
证明：设P(x)：x 是个舞蹈者； Q(x) ：x 很有风度； S(x)：x 是个学生； a ：王华 上述句子符号化为：
前提：))()((x Q x P x →?、)()(a P a S ∧ 结论：))()((x Q x S x ∧? ……3分
①)()(a P a S ∧
P ②))()((x Q x P x →?
P ③)()(a Q a P →
US ② ④)(a P
T ①I ⑤).(a Q
T ③④I ⑥)(a S
T ①I ⑦)()(a Q a S ∧ T ⑤⑥I
⑧)()((x Q x S x ∧? EG ⑦ ……11分
4、证明：设G 中两奇数度结点分别为u 和v ，若 u ，v 不连通，则G 至少有两个连通分支G 1、G 2 ，使得u 和v 分别属于G 1和G 2，于是G 1和G 2中各含有1个奇数度结点，这与图论基本定理矛盾，因而u ，v 一定连通。
5、证明： 证G 中任何两结点之和不小于n 。
反证法：若存在两结点u ，v 不相邻且1)()(-≤+n v d u d ,令},{1v u V =，则G-V 1是具有n-2个结点的简单图，它的边数)1(2)2)(1(21'--+--≥n n n m ,可得1)3)(2(21'+--≥n n m ，这与G 1=G-V 1为n-2个结点为简单图的题设矛盾，因而G
中任何两个相邻的结点度数和不少于n 。 所以G 为Hamilton 图. 四、 计算
试卷三试题与答案
一、 填空
1、 设A={a ，b ，c}，A 上二元关系R={< a, a > , < a, b >,< a, c >, < c, c>} ,
则s （R ）= 。
2、 A={1，2，3，4，5，6}，A 上二元关系}|,{是素数
y x y x T ÷><=，则用列举法T= ；
T 的关系图为 ；
T 具有 性质。
3、 集合}}2{},2,{{Φ=A 的幂集A
2= 。 4、 P ，Q 真值为0 ；R ，S 真值为1。则))()(())((S R Q P S R P wff ∧∧∨→∨∧的
真值为 。
5、 R R Q P wff →∨∧?))((的主合取范式为 。
二、 选择
1、 下述命题公式中，是重言式的为（ ）。
A 、)()(q p q p ∨→∧；
B 、))())(()(p q q p q p →∧→??；
C 、q q p ∧→?)(；
D 、q p p ??∧)(。
2、 r q p wff →∧?)(的主析取范式中含极小项的个数为（ ）。
A 、2；
B 、 3；
C 、5；
D 、0；
E 、 8 。
3、 给定推理
①))()((x G x F x →?
P ②)()(y G y F →
US ① ③)(x xF ?
P ④)(y F
ES ③ ⑤)(y G
T ②④I ⑥)(x xG ? UG ⑤
)())()((x xG x G x F x ??→?∴
推理过程中错在（ ）。
A 、①->②;
B 、②->③;
C 、③->④;
D 、④->⑤;
E 、⑤->⑥
4、 设S 1={1，2，…，8，9}，S 2={2，4，6，8}，S 3={1，3，5，7，9}，S 4={3，4，5}，
S 5={3，5}，在条件31S X S X ??且下X 与（ ）集合相等。
A 、 X=S 2或S 5 ；
B 、X=S 4或S 5；
C 、X=S 1，S 2或S 4；
D 、X 与S 1，…，S 5中任何集合都不等。
5、 设R 和S 是P 上的关系，P 是所有人的集合，
},|,{的父亲是y x P y x y x R ∧∈><=，},|,{的母亲是y x P y x y x S ∧∈><=则R S 1-表示关系 （ ）。
A 、},|,{的丈夫
是y x P y x y x ∧∈><； B 、},|,{的孙子或孙女
是y x P y x y x ∧∈><； C 、 Φ； D 、},|,{的祖父或祖母
是y x P y x y x ∧∈><。 6、 设S={1，2，3}，R 为S 上的关系，其关系图为
则R 具有（ ）的性质。
A 、 自反、对称、传递；
B 、什么性质也没有；
C 、反自反、反对称、传递；
D 、自反、对称、反对称、传递。
7、 设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则有（ ）S ?。
A 、{{1,2}} ；
B 、{1,2 } ；
C 、{1} ；
D 、{2} 。
8、 设A={1 ,2 ,3 }，则A 上有（ ）个二元关系。
A 、23 ；
B 、32 ；
C 、322；
D 、232。
10、全体小项合取式为（ ）。
A 、可满足式；
B 、矛盾式；
C 、永真式；
D 、A ，B ，C 都有可能。
三、 用CP 规则证明
1、F A F E D D C B A →?→∨∧→∨,
2、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?
四、 集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… }，R={<
1、 证明R 是X 上的等价关系。 （10分）
2、 求出X 关于R 的商集。（4分）
五、设集合A={ a ,b , c , d }上关系R={< a, b > , < b , a > , < b , c > , < c , d >}
要求 1、写出R 的关系矩阵和关系图。（4分）
3、 用矩阵运算求出R 的传递闭包。（6分）
答案：
五、 填空
1、2(x+1)；
2、}a , c ,a , b ,c , c ,c , a ,b , a ,a , a {><><><><><><；
3、>}<><><><><><3,6,2,6,2,4,5,1,3,1,2,1{；
4、
反对称性、反自反性；4、}}}2{},2,{{}},2{{}},2,{{,{ΦΦΦ；5、1；
6、)()()(R Q P R Q P R Q P ∨∨∧∨∨?∧∨?∨；
7、任意x ，如果x 是素数则存在一个y ，y 是奇数且y 整除x ；
8、)),,(),(),((u y x Q z y P z x P u z y x ∨?∨?????。
六、 选择
七、 证明
1、
①A
P （附加前提） ②B A ∨
T ①I ③D C B A ∧→∨
P ④D C ∧
T ②③I ⑤D
T ④I ⑥E D ∨
T ⑤I ⑦F E D →∨
P ⑧F
T ⑥⑦I ⑨F A →
CP
2、 )()(())()(()
()()()()(x xQ x xP x Q x P x x xQ x P x x xQ x xP ?→???∨??→????∨?本题可证
① ))((x xP ??
P （附加前提） ②))((x P x ??
T ①E ③)(a P ?
ES ② ④))()((x Q x P x ∨?
P ⑤)()(a Q a P ∨
US ④ ⑥)(a Q
T ③⑤I ⑦)(x xQ ?
EG ⑥ ⑧)()((x xQ x xP ?→??
CP 八、 14%
（1） 证明：
1、 自反性：y x y x X y x +=+>∈
自反R R
y x y x >>∈<><<∴,,, 2、 对称性：X y x X y x >∈∈
时当R y x y x >>∈<><<2211,,, 21121221y x y x y x y x +=++=+也即即
有对称性故R R y x y x >>∈<><<1122,,,
3、 传递性：X y x X y x X y x >∈∈∈
时且当R y x y x R y x y x >>∈<><<>>∈<><<33222211,,,,,,
华南农业大学 离散数学 期末考试2013试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2013-2014学年第 一 学期 考试科目： 离散结构 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 ①本试题分为试卷与答卷2部分。试卷有四大题，共6页。 ②所有解答必须写在答卷上，写在试卷上不得分。 一、选择题（本大题共 25 小题，每小题 2 分，共 50 分） 1、下面语句是简单命题的为_____。 A 、3不是偶数 B 、李平既聪明又用功 C 、李平学过英语或日语 D 、李平和张三是同学 2、设 p:他主修计算机科学, q:他是新生，r:他可以在宿舍使用电脑，下列命题“除非他不是新生，否则只有他主修计算机科学才可以在宿舍使用电脑。”可以符号化为______。 A 、r q p →?∧? B 、r q p ?→∧? C 、r q p →?∧ D 、r q p ∧→ 3、下列谓词公式不是命题公式P →Q 的代换实例的是______。 A 、)()(y G x F → B 、),(),(y x yG y x xF ?→? C 、))()((x G x F x →? D 、)()(x G x xF →? 4、设个体域为整数集，下列公式中其值为 1的是_____。 A 、)0(=+??y x y x B 、)0(=+??y x x y C 、)0(=+??y x y x D 、)0(=+???y x y x
2 5、下列哪个表达式错误_____。 A 、 B x xA B x A x ∧??∧?)())(( B 、B x xA B x A x ∨??∨?)())(( C 、B x xA B x A x →??→?)())(( D 、)())((x xA B x A B x ?→?→? 6、下述结论错误的是____。 A 、存在这样的关系，它可以既满足对称性，又满足反对称性 B 、存在这样的关系，它可以既不满足对称性，又不满足反对称性 C 、存在这样的关系，它可以既满足自反性，又满足反自反性 D 、存在这样的关系，它可以既不满足自反性，又不满足反自反性 7、集合A 上的关系R 为一个等价关系，当且仅当R 具有_____。 A 、自反性、对称性和传递性 B 、自反性、反对称性和传递性 C 、反自反性、对称性和传递性 D 、反自反性、反对称性和传递性 8、下列说法不正确的是：______。 A 、R 是自反的，则2R 一定是自反的 B 、R 是反自反的，则2R 一定是反自反的 C 、R 是对称的，则2R 一定是对称的 D 、R 是传递的，则2R 一定是传递 9、设R 和S 定义在P 上，P 是所有人的集合，=R {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的父亲}，=S {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的母亲}，则关系{y P y x y x ∧∈><,|,是的x 外祖父}的表达式是：______。 A 、11--R R B 、11--S R C 、11--S S D 、11--R S 10、右图描述的偏序集中，子集},,{f e b 的上界为_____。 A 、c b , B 、b a , C 、b D 、c b a ,, 11、以下整数序列，能成为一个简单图的顶点度数序列的是_____。 A 、1，2，2，3，4，5
中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群
19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设
离散数学期末考试试卷(A卷)
离散数学期末考试试卷(A卷) 一、判断题：（每题2分，共10分） （1） （1） （2）对任意的命题公式, 若, 则 （0） （3）设是集合上的等价关系, 是由诱导的上的等价关系，则。（1） （4）任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等价。 （0） （5）设是上的关系，分别表示的对称和传递闭包，则 （0） 二、填空题：（每题2分，共10分） (１) 空集的幂集的幂集为（）。 (２) 写出的对偶式（）。 （３）设是我校本科生全体构成的集合，两位同学等价当且仅当他们在 同一个班，则等价类的个数为（），同学小王所在 的等价类为（）。 （４）设是上的关系，则满足下列性质的哪几条：自反的，对称的，传递的，反自反的，反对称的。 （） (5)写出命题公式的两种等价公式( ）。 三、用命题公式符号化下列命题（１）（２）（３），用谓词公式符号化下列命题（４）（５）（６）。（12分） （１）（１）仅当今晚有时间，我去看电影。 （２）（２）假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书。 （3）你能通你能通过考试，除非你不复习。 （４）（４）并非发光的都是金子。 （５）（５）有些男同志，既是教练员，又是国家选手。 （６）（６）有一个数比任何数都大。 四、设，给定上的两个关系和分别是
（１）（１）写出 和 的关系矩阵。（２）求 及 （1２分） 五、求 的主析取范式和主合取范式。（１０分） 六、设 是 到 的关系， 是 到 的关系，证明： （8分） 七、设 是一个等价关系，设 对某一个 ,有 ，证明： 也是一个等价关系。（10分） 八、（1０分）用命题推理理论来论证 下述推证是否有效？ 甲、乙、丙、丁四人参加比赛，如果甲获胜，则乙失败；如果丙获胜，则乙也获 胜，如果甲不获胜，则丁不失败。所以，如果丙获胜，则丁不失败。 九、（１０分） 用谓词推理理论来论证下述推证。 任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每一个人或喜欢乘汽车，或喜欢骑 自行车（可能这两种都喜欢）。有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行 (论 域是人)。 十、(8分) 利用命题公式求解下列问题。 甲、乙、丙、丁四人参加考试后，有人问他们，谁的成绩最好， 甲说：“不是我，”乙说：“是丁，”丙说：“是乙，” 丁说：“不是我。” 四人的回答只有一人符合实际，问若只有一人成绩最 好，是谁？ 离散数学期末考试试卷答案(A 卷) 一、判断题：（每题2分，共10分） （1）}}{{}{x x x -∈ （ ∨） (2) 对任意的命题公式C B A ,,, 若 C B C A ∧?∧, 则B A ? ( ? ) （3）设R 是集合A 上的等价关系, L 是由 R A 诱导的A 上的等价关系，则L R =。 ( ∨ ) （4） 任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等 价。 （ ? ） （5）设R 是A 上的关系，)(),(R t R s 分别表示R 的对称和传递闭包，则 )()(R st R ts ? （ ? ） 二、填空题：（每题2分，共10分）
自考离散数学试题及答案
一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列句子不是．． 命题的是（ D ） A ．中华人民共和国的首都是北京 B ．张三是学生 C ．雪是黑色的 D ．太好了！ 2．下列式子不是．． 谓词合式公式的是（ B ） A ．（?x ）P (x )→R (y ) B ．(?x ) ┐P （x ）?(?x )(P (x )→Q (x )) C ．(?x )(?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ) D ．(?x )(P (x ,y )→Q (x ,z ))∨(?z )R (x ,z ) 3．下列式子为重言式的是（ ） A ．(┐P ∧R )→Q B ．P ∨Q ∧R →┐R C ．P ∨(P ∧Q ) D ．(┐P ∨Q )?(P →Q ) 4．在指定的解释下，下列公式为真的是（ ） A ．(?x )(P (x )∨Q (x )),P (x ):x =1,Q (x ):x =2,论域:{1,2} B ．(?x )(P (x )∧Q (x )),P (x ):x =1,Q (x ):x =2,论域: {1,2} C ．(?x )(P (x ) →Q (x )),P (x ):x >2,Q (x ):x =0,论域:{3,4} D ．(?x )(P (x )→Q (x )),P (x ):x >2,Q (x ):x =0,论域:{3,4} 5．对于公式(?x ) (?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ,y )，下列说法正确的是（ ） A ．y 是自由变元 B ．y 是约束变元 C ．(?x )的辖域是R(x , y ) D ．(?x )的辖域是(?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ,y ) 6．设论域为{1,2}，与公式(?x )A (x )等价的是（ ） A ．A (1)∨A (2) B ．A (1)→A (2) C ．A (1)∧A (2) D ．A (2)→A (1) 7．设Z +是正整数集，R 是实数集，f :Z +→R , f (n )=log 2n ,则f （ ） A ．仅是入射 B ．仅是满射 C ．是双射 D ．不是函数 8．下列关系矩阵所对应的关系具有反对称性的是（ ） A ．???? ??????001110101 B ．??????????101110001 C ．??????????001100100 D ．???? ??????001010101 9．设R 1和R 2是集合A 上的相容关系，下列关于复合关系R 1?R 2的说法正确的是（ ） A ．一定是等价关系 B ．一定是相容关系
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={
2020年7月全国自考离散数学试题及答案解析试卷及答案解析真题.docx
??????????????????????精品自学考料推荐?????????????????? 浙江省 2019 年 7 月高等教育自学考试 离散数学试题 课程代码： 02324 一、单项选择题 (在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在 题干的括号内。每小题 1 分，共 14 分 ) 1.给定如下 4 个语句 : (1) 我不会游泳。(2)如果天不下雨,我就去踢足球。 (3) 我每天都看新闻联播。(4)火星上有人吗? 其中不是复合命题的是()。 A.(1)(4) B.(1)(3)(4) C.(1)(3) D.(3)(4) 2.设 P,Q,R 是命题公式 ,则 P→ R， Q→ R， P∨Q ()。 A. P B. Q C. R D. ┐ R 3.下列公式中正确的等价式是()。 A. ┐ ( x)A(x)(x) ┐ A(x) B. ┐ ( x)A(x)(x)┐ A(x) C. ( x)( y)A(x,y)( y)( x)A(x,y) D. ( x)( (x)∧ B(x))( x)A(x) ∨ ( x)B(x) 4.谓词公式 ( x)(P(x) ∨ ( y)R(y)) → Q(x) 中的 x()。 A.只是约束变元 B.只是自由变元 C.既非约束变元又非自由变元 D.既是约束变元又是自由变元 5.设个体域为整数集 ,则下列公式中值为真的是 ()。 A. (y)(x)(x · y=2) B. (x)(y)(x · y=2) C. (x)(x · y=x) D. (x)(y)(x+y=2y) 6.设 A={a,b,c}, 则 A 中的双射共有 ()。 A.3 个 B.6 个 C.8 个 D.9 个 7.设 S={a,b,c}, 则 S 的幂集的元素的个数有()。 A.3 个 B.6 个 C.8 个 D.9 个 8.设 A={a,b,c}, 则 A ×A 中的元素有 ()。 A.3 个 B.6 个 1
7月全国自考离散数学试题及答案解析试卷及答案解析
全国2018年7月高等教育自学考试 离散数学试题 课程代码：02324 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填 在题干的括号内。每小题1分，共14分) 1.下列语句不是 ．．命题的是( )。 A.黄金是非金属。 B.要是他不上场，我们就不会输。 C.他跑100米只用了10秒钟，你说他是不是运动健将呢? D.他跑100米只用了10秒钟，他是一个真正的运动健将。 2.关于命题变元P和Q的大项M01表示( )。 A.┐P∧Q B.┐P∨Q C.P∨┐Q D.P∧┐Q 3.公式(?x)(?y)(P(x,z)→Q(y))S(x,y)中的(?x)的辖域是( )。 A.(?y)(P(x,z)→Q(y)) B.P(x,z)→Q(y) C.P(x,z) D.S(x,z) 4.下列等价式不成立 ．．．的是( )。 A.┐(?x)A(x)?(?x)┐A(x) B.┐(?x)A(x)?(?x)┐A(x) C.(?x)(A(x)∧B(x))?(?x)A(x)∧(?x)B(x) D.(?x)(A(x)∨B(x))?(?x)A(x)∨(?x)B(x) 5.公式(?x)(?y)(P(x,y)∧Q(z))→R(x)中的x( )。 A.只是约束变元 B.只是自由变元 C.既是约束变元又是自由变元 D.既非约束变元又非自由变元 6.设A={a,{a}}，则下列各式正确的是( )。 A.{a}∈p(A)(A的幂集) B.{a}?p(A) C.{{a}}?p(A) D.{a,{a}}?p(A) 7.集合的以下运算律不成立 ．．．的是( )。 A.A∩B=B∩A B.A∪B=B∪A C.A⊕B=B⊕A D.A-B=B-A 8.设N是自然数集，R是实数集，函数f：Ｎ→R，f(n)=lgn是( )。 A.入射 B.满射 C.双射 D.非以上三种的一般函数 9.设实数集R上的二元运算o为：xoy=x+y-2xy,则o不满足( )。 A.交换律 B.结合律 1
自考离散数学02324真题含答案(2009.4-2016.4年整理版)
全国2009年4月自学考试离散数学试题（附答案） 课程代码：02324 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列为两个命题变元P，Q的小项是（） A．P∧Q∧? P B．? P∨Q C．? P∧Q D．? P∨P∨Q 2．下列语句中是真命题的是（） A．我正在说谎B．严禁吸烟 C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那么雪是黑的 3．设P：我们划船，Q：我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（） A．? P∧? Q B．? P∨? Q C．?（P?Q）D．?（? P∨? Q） 4．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（） A．矛盾式B．蕴含式 C．重言式D．等价式 5．命题公式?（P∧Q）→R的成真指派是（） A．000，001，110，B．001，011，101，110，111 C．全体指派D．无 6．在公式（x ?）F（x，y）→（?y）G（x，y）中变元x是（） A．自由变元B．约束变元 C．既是自由变元，又是约束变元D．既不是自由变元，又不是约束变元 7．集合A={1，2，…，10}上的关系R={
厦门大学离散数学2015-2016期末考试试题答案年
一（6%）选择填空题。 (1) 设S = {1，2，3}，R 为S 上的二元关系，其关系图如右图所示，则R 具有（ ）的性质。 A. 自反、对称、传递； B. 反自反、反对称； C. 自反、传递； D. 自反。 (2) 设A = {1, 2, 3, 4}， A 上的等价关系 R = {
(4)没有不犯错的人。 五（10%）在自然推理系统Ｐ中构造下面推理的证明： 如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，则他一定学过DELPHI语言且学过C++语言。只要他学过DELPHI语言或者Ｃ++语言，那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。 六（10%）在自然推理系统中构造下面推理的证明（个体域：人类）： 每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车，每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车，因而有的人不喜欢步行。 七（14%）下图给出了一些偏序集的哈斯图，判断其是否为格，对于不是格的说明理由，对于是格的说明它们是否为分配格、有补格和布尔格（布尔代数）。 八（12%）设S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}，“ ”为S上整除关系， (1)画出偏序集> ,S的哈斯图； < (2)设B = { 2, 3, 4, 6, 12}，求B的极小元、最小元、极大元、最大元，下界，上界。 九（8%）画一个无向图，使它是： (1)是欧拉图，不是哈密尔顿图； (2)是哈密尔顿图，不是欧拉图； (3)既不是欧拉图，也不是哈密尔顿图； 并且对欧拉图或哈密尔顿图，指出欧拉回路或哈密尔顿回路，对于即不是欧拉图也不是哈密尔顿图的说明理由。 十（8%）设6个字母在通信中出现的频率如下： 12 13 :c :b% 45 :a% % :e% :f 9 5 : d% % 16 用Huffman算法求传输它们的最佳前缀码。要求画出最优树，指出每个字母对应的编码，n个按上述频率出现的字母需要多少个二进制数字。 并指出传输)2 ( n 10≥
离散数学期末考试试题及答案
离散数学期末考试试题及答案 一、（单项选择题） 本大题共15小题，每小题3分，共45分在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、在由3个元素组成的集合上，可以有种不同的关系。 [A] 3 [B] 8 [C]9 [D]27 2、设A1,2,3,5,8,B1,2,5,7,则AB 。 [A] 3,8 [B]3 [C]8 [D]3,8 3、若X是Y的子集，则一定有。 [A]X不属于Y [B]X∈Y [C]X真包含于Y [D]X∩Y=X 4、下列关系中是等价关系的是。 [A]不等关系 [B]空关系 [C]全关系 [D]偏序关系 5、对于一个从集合A到集合B的映射，下列表述中错误的是。 [A]对A的每个元素都要有象 [B] 对A的每个元素都只有一个象 [C]对B的每个元素都有原象 [D] 对B的元素可以有不止一个原象 6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为。 [A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q 7、设A={a,b,c},则A到A的双射共有。 [A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个 8、一个连通G具有以下何种条件时，能一笔画出：即从某结点出发，经过中每边仅一次回到该结点。
[A] G没有奇数度结点 [B] G有1个奇数度结点 [C] G有2个奇数度结点 [D] G没有或有2个奇数度结点 9、设〈G,*〉是群，且|G|>1，则下列命题不成立的’是。 [A] G中有幺元 [B] G中么元是唯一的 [C] G中任一元素有逆元 [D] G中除了幺元外无其他幂等元 10、令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为 [A] p→┐q [B] p∨┐q [C] p∧q [D] p∧┐q 11、设G=的结点集为V={v1,v2,v3},边集为E={,}.则G的割点集是。 [A]{v1} [B]{v2} [C]{v3} [D]{v2,v3} 12、下面4个推理定律中，不正确的为。 [A]A=>A∨B 附加律[B]A∨B∧┐A=>B 析取三段论 [C]A→B∧A=>B 假言推理[D]A→B∧┐B=>A 拒取式 13、在右边中过v1,v2的初级回路有多少条 [A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4 14、若R,,是环，且R中乘法适合消去律，则R是。 [A]无零因子环 [C]整环 [B]除环 [D]域 15、无向G中有16条边，且每个结点的度数均为2，则结点数是。 [A]8 [B]16 [C]4 [D]32 二、（判断题） 本大题共8小题，每小题3分，共24分正确的填T，错误的填F，填在答题卷相应题号处。 16、是空集。
2010年7月自考离散数学试题及标准答案
一、单项选择题(本大题共１５小题，每小题1分,共15分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列句子不是．． 命题的是( D ) A.中华人民共和国的首都是北京?B ．张三是学生 C.雪是黑色的? D.太好了! 2．下列式子不是．． 谓词合式公式的是（ Ｂ ) A.(?x ）P (x ）→R (y ） B.（?x ) ┐Ｐ（x ）?(?x )(P (x )→Q （x ）) Ｃ.(?x )(?y )(P (x )∧Q (y ))→（?ｘ)R (x ) D ．(?x )(P (x ，y )→Ｑ(x ，z ))∨(?ｚ）R (ｘ,z ） 3．下列式子为重言式的是( ） A ．（┐P ∧R )→Q ?B.Ｐ∨Q ∧R →┐Ｒ C ．P ∨(P ∧Q ）?D.(┐P ∨Q )?(P →Q ） 4．在指定的解释下，下列公式为真的是（ ) Ａ．(?x )(P （x )∨Q (ｘ)），P (x ）:x =1,Q (x ):x =2,论域:{1,2｝ B ．(?x )(P (x ）∧Q (x ))，P （ｘ):x =1,Ｑ(ｘ)：x =2,论域： {1，2} C ．(?x )(P (x ) →Q (ｘ))，Ｐ(x ):ｘ>2,Q (x )：x =０，论域:{3,4} Ｄ．(?x ）(P （ｘ)→Ｑ(x )）,P (ｘ):ｘ>２,Q （x ):x ＝0，论域：｛3，4} 5.对于公式(?x ) （?y )（Ｐ(x )∧Q (y ))→(?x ）Ｒ(x ,y )，下列说法正确的是（ ) A ．y 是自由变元? B ．y 是约束变元 Ｃ．（?x ）的辖域是R(x , ｙ) D.(?x )的辖域是(?ｙ）(Ｐ(x ）∧Q (y ))→(?x )R (x ,y ) 6．设论域为{1,2},与公式(?x ）A (x )等价的是( ) Ａ．A (1)∨A (2)?B.A (1)→Ａ(2) C.Ａ(1）∧Ａ(2)?D ．A (2)→A （1) 7．设Z ＋是正整数集,R 是实数集，ｆ:Z ＋ →R , ｆ(n )=lo ｇ2n ,则f ( ） A ．仅是入射? B ．仅是满射 C ．是双射 Ｄ．不是函数 ８.下列关系矩阵所对应的关系具有反对称性的是（ ) Ａ.???? ??????001110101 B ．??????????101110001 C ．??????????001100100 D.???? ??????001010101 9.设R 1和R 2是集合A 上的相容关系,下列关于复合关系R １?R ２的说法正确的是( ) A.一定是等价关系? B.一定是相容关系
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