第12讲 平行四边形

第三篇平行四边形

平行四边形是人们日常生活中应用较广的一种几何图形，尤其是矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的用处更多.本篇是在前面学过的平行线、三角形、多边形等有关知识的基础上来学习的.

由于在小学已经接触过四边形，在前一篇三角形中也研究了一般多边形及其内角和等内容，因此本篇没有从一般的四边形讲起，由于教材改版，本篇只研究了两组对边平行的四边形——平行四边形，一组对边平行、另一组对边不平行的四边形——梯形我们不再研究.在本篇中，除了研究一般平行四边形外，还重点研究了矩形、菱形、正方形.

本篇研究的重点是平行四边形的定义、性质和判定.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质和判定都是在平行四边形的基础上扩充的.它们的探索方法，也都与平行四边形性质和判定的探索方法一脉相承.三角形中位线定理、两条平行线间的距离相等等结论的推证，也都是以平行四边形的有关定理为依据的，是平行四边形知识的综合应用.另外，平行四边形的有关性质定理，也常常是证明两条线段相等、两角相等、两直线平行或垂直的重要依据.所以掌握平行四边形的概念、性质和判定，并能应用这些知识解决问题，是学好本篇的关键.

本篇的学习内容之间联系比较紧密，研究问题的思路和方法也类似，推理论证的难度也不大.相对来说，平行四边形与各种特殊平行四边形之间的联系与区别，是本篇的学习难点.因为各种平行四边形概念交错，容易混淆，常会出现“张冠李戴”的现象.在应用它们的性质和判定的时候，也常常会出现用错、多用、少用条件的错误.学习中要注意用“集合”的思想，结合教科书中的结构图，分清这些四边形的从属关系，梳理它们的性质和判定方法，克服这一难点.

第12讲平行四边形

〖学习目标〗

1.理解平行四边形的概念，探索并证明平行四边形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算．

2.通过平行四边形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力．

※考情分析

平行四边形的性质和判定都是中考试卷的高频考点，它可能作为选择、填空或解答的形式出现，一般难度中等，主要研究平行四边形的边角关系．

〖基础知识·轻松学〗

一、定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

精讲：1．平行四边形的定义可从两个方面来理解：

首先是共性，平行四边形是一个四边形，因此平行四边形具有一般四边形的一切性质，如有四条边，四个内角，两条对角线，四个内角的和为360°，四个外角的和为360°等．其次是平行四边形的特性，也就是说平行四边形区别于其他四边形的一些特殊的性质，根据平行四边形的定义可知：平行四边形之区别于其它四边形，就是因为平行四边形的两组对边分别平行．

2．平行四边形定义的作用

（1）由定义可知平行四边形的对边分别平行，这是平行四边形的基本性质；

（2）由定义知只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形，这是平行四边形的基本判定方法．

二、性质

1．从边看：平行四边形对边平行且相等．

A B C

D

O

图12-1

符号语言：（如图12-1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD（或AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC）．

2．从角看：平行四边形对角相等．

符号语言：（如图12-1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD＝∠BCD（或∠ABC＝∠ADC）．

3．从对角线看：平行四边形对角线互相平分．

符号语言：（如图12-1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC（或OB＝OD）．4．对称性：平行四边形是一个中心对称图形，对角线的交点是对称中心．

精讲：将□ABCD绕对角线的交点O旋转180°，能够与自身重合，所以□ABCD是中心对称图形，点O是对称中心．对称的两个线段，对称的两个角都应该相等．由平行四边形的性质可得以下两个重要的结论：

①平行四边形相邻两边之和等于周长的一半；

②平行四边形被对角线分成的四个小三角形中，相邻两个三角形的周长之差等于相邻两边之差．

三、判定

1．从边判定（如图12-1）

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（平行四边形的定义）；

符号语言：∵AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

符号语言：∵AB ＝DC ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

符号语言：∵AB ＝DC ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．

2．从角判定

两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

符号语言：（如图12-1）∵∠BAD ＝∠BCD ，∠ABC ＝∠ADC ，

∴四边形ABCD 是平行四边形．

3．从对角线判定

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．

符号语言：（如图12-1）∵OA ＝OC ，OB ＝OD ．∴四边形ABCD 是平行四边形．

精讲：平行四边形判定口诀

首先判断对应边，分别平行或相等；二是看其对角线，如若平分能判定；

三是看其对应角，只要两组对应等．满足上面某一种，即为平行四边形．

〖重难疑点·轻松破〗

一、平行四边形＋角平分线＝等腰三角形

由于平行四边形的两组对边互相平行，由前面可知，“平行线＋角平分线＝等腰三角形”，因此在平行四边形中出现一个内角平分线时，常考虑利用此结论解决问题．

例1：如图12-2，在□ABCD 中，已知AD ＝8cm ，AB ＝6cm ， DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（ ）

图12-2A B C

D

O 图12-3

A ．2cm

B ．4cm

C ．6cm

D ．8cm 分析： 要求B

E 的长，我们可借助平行四边形的性质先求出BC 和CE 的长，BC 的长A B C D E

可借助平行四边形的对边相等求得，而CE的长可结合角平分线的性质证明△CDE为等腰三角形．

答案：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝8cm，CD＝AB＝6cm，AD∥BC．∴∠ADE＝∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE．

∴∠DEC＝∠CDE，∴CE＝CD＝6 cm．∴BE＝BC－CE＝2cm．所以本题选A．

点评：（1）由平行四边形的性质可知，利用平行四边形的性质可以证明线段相等、线段平行、角相等．当题目已知条件中有平行四边形时，应想到运用平行四边形的性质得到相等的线段、角以及平行的线段等性质．

（2）当题目中平行线和角平分线同时出现时，极有可能出现等腰三角形，如本题中AD ∥BC和DE平分∠ADC就得到△CDE是等腰三角形．

变式练习1：平行四边形的一角平分线分对边为3和4两部分，求平行四边形的周长.

二、两角数量关系：要么相等，要么互补

平行四边形的四个角中，任取两个角，则两个角要么是对角．要么是邻角，根据平行四边形的性质可知，这两个角的数量关系，要么就相等，要么就互补，这一结论在解决平行四边形角度问题的时候非常有用．

例2：已知□ABCD中，∠A＋∠C＝200o，则∠B的度数是（）．

A．100°B．160°C．80°D．60°

分析：∠A＋∠C＝200o，则说明∠A与∠C不互补，不互补就相等，所以∠A＝∠C＝100°，∠B应该和这两个互补，所以∠B＝80°．

答案：B．

点评：这一简单的结论在解填空或选择的时候非常实用，能够很快口算得出结论．

变式练习2：已知□ABCD中，∠A＝3∠C，则∠C＝_______°．

三、两条对角线分得的四个三角形的周长和面积

平行四边形的每条对角线都会将平行四边形分成一对全等的三角形，两条对角线将平行四边形分成的四个三角形的面积相等，相邻的两个三角形的周长之差等于一组邻边之差．例3：如图12-3，□ABCD的周长为80 cm，对角线AC，BD交于点O，且△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，则BC的长为（）

A．44 cm B．36 cm C．19 cm D．16 cm 分析：△AOB的周长＝OB＋OA＋AB，△BOC的周长＝OB＋OC＋BC，由于OA＝OC，所以且△AOB与△BOC的周长之差，实际上就是AB与BC的差，即AB－BC＝8．因为□ABCD 的周长为80 cm，所以AB与BC的和为40．

答案：D．

点评：平行四边形的两条对角线将平行四边形分成四个三角形中，相邻两个三角形的周

长之差等于平行四边形的一组邻边之差．

变式练习3：已知□ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，△AOB 的面积为2，那么□ABCD 的面积为__________．

四、从中心对称的角度找全等

平行四边形是一个中心对称图形，对称的线段、对称的角都相等，中心对称的图形全等，对称的图形面积相等．

例4：如图12-4，在□ABCD 中，过对角线BD 的中点O 作直线EF 分别交DA 的延长线、AB ，DC ，BC 的延长线于点E ，M ，N ，F ．

（1）观察图形并找出一对全等三角形：△______≌△_______，请加以证明；

（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？

图12-4

分析：（1）由于全等三角形的形状和大小完全相同，所以我们先从形状上来大致找出全等三角形：①△DOE ≌△BOF ；②△BOM ≌△DON ；③△ABD ≌△CDB ；④△AEM ≌△CFN ．证明全等的时候，我们首先要弄清图中有哪些相等的线段和相等的角．

（2）由于整个图形关于点O 中心对称，所以每对全等三角形中的一个三角形都可以由另一个三角形绕点O 旋转180°得到．

解：（1）①△DOE ≌△BOF ；

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EDO ＝∠FBO ，∠E ＝∠F 又∵OD ＝OB ，∴△DOE ≌△BOF （AAS ）

②△BOM ≌△DON

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠MBO ＝∠NDO ，∠BMO ＝∠DNO ，又∵BO ＝DO ，∴△BOM ≌△DON （AAS ）

③△ABD ≌△CDB ；

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AB ＝CD ，

又∵BD ＝DB ，∴△ABD ≌△CDB （SSS ）

（2）绕点O 旋转180°后得到或以点O 为中心作对称变换得到．

点评：平行四边形是一个中心对称图形，它的性质都可从中心对称角度获得解释，我们利用平行四边形性质解决问题的时候，也应该从中心对称的角度来考虑问题．

变式练习4：如图12-5，O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，过点O 作一条直线分别与AB ，CD 交于点M ，N ，点E ，F 在直线MN 上，且OE ＝OF ．

E

B M

O D N F C A

（1）图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来；

（2）求证：∠MAE＝∠NCF．

图12-5

五、等分平行四边形的面积

平行四边形的对称中心是平行四边形对角线的交点，因此经过对角线交点的直线都会把平行四边形分成中心对称的两个图形，这两个图形全等且面积相等．

例5：如图12-6，ABCD是王老六家的一块平行四边形田地，P为水井，现要把这块田平均分给两个儿子，为了方便用水，要求两个儿子分到的地都与水井相邻，请你来设计一下，并说明你的理由.

图12-6 图12-7 图12-8 分析：题目没有要求土地必须平均分为两块，因此本题就有两种思路，一是平均分为两块，每人一块；二是分成多块，每人多块，保证面积相等即可．

思路一：借助平行四边形的中心对称性来解决，由于经过平行四边形对称中心的直线将平行四边形分成的两部分图形全等，因此可考虑经过对称中心和点P作一条直线；

思路二：连接AP，BP，CP，DP，可证明S△ABP＋S△CDP＝S△ADP＋S△BCP．

解：作法1：如图12-7，经过点P和□ABCD对角线的交点，画一条直线，将土地分成两块．

作法2：如图12-8，连接AP，BP，CP，DP，由于S△ABP＋S△CDP＝S△ADP＋S△BCP，因此兄弟俩一人两块地．

点评：（1）经过平行四边形对称中心（对角线交点）的直线将平行四边形分成面积相等的两个部分；（2）分别连接□ABCD内一点P与各个顶点，所得到的四个三角形面积关系为S△ABP＋S△CDP＝S△ADP＋S△BCP．

变式练习5：探究：如图12-9，在□ABC D的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，∠F AB＝∠EAD＝90°，连结AC，EF．在图中找一个与△F AE全等的三角形，并加以证明．应用以□ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图12-10，连结EF，GH，IJ，KL，若□ABCD的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为________．

图12-9 图12-10

六、与平行四边形高有关问题，常在直角三角形中处理

如图12-11，过平行四边形的一个顶点，作平行四边形两边上的高．则高和一组邻边恰好构造两个直角三角形，因此讨论平行四边形的边长问题就可以转化成讨论平行四边形的面积问题．其中常用的结论是

S □＝底边长×高（如图12-11，ABCD S BC AE CD AF =?=?．

）

图12-11

例6：如图12-12，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ．AF ⊥CD 于点F ．若AE ＝4，AF ＝6，□ABCD 的周长为40，求□ABCD 的面积S □ABCD ．

图12-13图12-12

分析：两条高已经知道，要求面积必须先求底边长．显然边BC 与CD 的和为20，因此只要再得出BC 与CD 的一个数量关系就能求得BC ，CD ．

解：在□ABCD 中，因为S □ABCD ＝BC ·AE ＝CD ·AF ，

所以 6342BC

AF

CD AE ===，所以 BC

＝ 设BC ＝x ，CD ＝y ，则3,220.

x y x y ?=???+=? 解得12,8.x y =??=? 所以 BC ＝12，CD ＝8，所以 S □ABCD ＝BC ·AE ＝12×4＝48．

点评：灵活运用平行四边形的面积公式来得出BC ∶CD ＝AF ∶AE 是解决本题的关键所在．

变式练习6：如图12-13，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∠EAF ＝30°，AE ＝4cm ，AF ＝3cm ，求平行四边形ABCD 的周长．

图12-13

七、判定一个四边形是平行四边形的常见思路

证明平行四边形的方法有很多，在不同的问题中，有简有繁，那么，如何避繁就简选择方法呢？首先，应看已知条件中给出了或由已知条件易推出要证的四边形中的那些性质.其次以容易的得到的一组判定条件为基础设法寻找与其搭配的另一组判定条件：即

（1）一组对边相等?

?

?

证另一组对边相等

证这组对边平行

；（2）一组对边平行

?

?

?

证另一组对边平行

证这组对边相等

；（3）

图中有对角线——证对角线互相平分.

例7：如图12-14，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC＝120°，∠C＝60°，∠BDC

＝30°；延长CD到点E，连接AE，使得∠E＝1

2

∠C.

（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；

（2）若DC＝12，求AD的长.

图12-14 分析：（1）要想证明四边形ABDE是平行四边形，只要根据平行线的判定方法，已知AB∥ED，可考虑补充证明AE∥BD；（2）首先证得四边形ABCD是等腰梯形，可得BC＝AD.再根据直角三角形的性质“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可求得BC，问题得解.

解：（1）证明：∵∠ABC＝120°，∠C＝60°，∴∠ABC＋∠BCD＝180°

∴AB∥DC.即AB∥ED.

又∵∠C＝60°，∠E＝1

2

∠C，∠BDC＝30°，

∴∠E＝∠BDC＝30°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形. （2）解：由第（1）问，AB∥DC，∴四边形ABCD是梯形．

∵DB平分∠ADC，∠BDC＝30°，∴∠ADC＝∠BCD＝60°，

∴四边形ABCD是等腰梯形，∴BC＝AD．

∵在△BCD中，∠C＝60°，∠BDC＝30°，∴∠DBC＝90°.

又∵DC＝12，∴AD＝BC＝1

2

DC＝6.

点评：明确平行四边形、梯形、平行线的判定方法以及直角三角形的有关性质是

解决问题必不可缺少的知识.

变式练习7：如图12-15，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA ＝OC ，猜想线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系，并加以证明．

图12-15

八、一组对边平行＋一组对角相等＝平行四边形

“一组对边平行＋一组对角相等＝平行四边形”这一结论虽然不是书上给出的平行四边形的判定方法，但以这一思路命题的试题却比较多．

例8：如图12-16，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝∠D ，BC ＝6，AB ＝3，求四边形ABCD 的周长．

图12-16 分析：要求出这个四边形的周长，必须求出这个四边形的四条边的长度，题目条件已知BC ＝6，AB ＝3，我们再求出AD ,CD 的长度即可，由于AB ∥CD ，∠B ＝∠D ，我们可证明AD ∥BC ，根据平行四边形的定义可判断这个四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可求出AD ,CD 的长．

解：∵AB ∥CD ，∴∠B ＋∠C ＝180°，又∵∠B ＝∠D

∴∠C ＋∠D ＝180°，∴AD ∥BC ，即得ABCD 是平行四边形

∴AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝6

∴四边形ABCD 的周长＝2×6＋2×3＝18 ．

点评：运用平行四边形的定义可以说明一个四边形是平行四边形，只要证明两组对边互相平行，即可说明一个四边形是平行四边形．这一结论在能够帮助我们迅速发现图形中可能存在的平行四边形．

变式练习8：如图12-17，已知□ABCD ，过A 作AM ⊥BC 于M ，交BD 于E ，过C 作CN ⊥AD 于N ，交BD 于F ，连结AF ，CE ．求证：四边形AECF 为平行四边形．

图12-17

九、平行四边形的性质与判定的贡献

平行四边形的性质和判定实质上是有全等三角形推导得出的结论，利用它们可以证明线A D

C B

段相等、平行，角度相等，线段互相平分等．而且使用的时候，比利用全等三角形证明这些结论更简洁，更方便．在今后证题的过程中，尽可能使用平行四边形的判定和性质，少用全等三角形．

例9：如图12-18，分别以△ABC 的三边为其中一边，在BC 的同侧作三个等边三角形：△ABD ，△BCE ，△ACF ．求证：AE ，DF 互相平分．

E

A

B C F D

图12-18

分析：要说明AE ，DF 互相平分．我们想到平行四边形的对角线互相平分，因此我们考虑连接DE ，EF ，然后设法证明四边形ADEF 是平行四边形，又由于△ABD ，△BCE ，△ACF 是平行四边形，我们可以通过证明△ABC ≌△FEC 和△ABC ≌△DBE 来证明这个四边形的两对对边分别相等．

解：连结DE ，EF

∵△ABD ，△BCE ，△ACF 是等边三角形，

∴CA ＝CF ，∠BCE ＝∠ACF ＝60°，CB ＝CE ，AB ＝AD

∴△ABC ≌△FEC ，∴EF ＝AB ，∴AD ＝EF ，同理：DE ＝AF

∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AE ，DF 互相平分

点评：要证明两条线段互相平分，常考虑构造平行四边形，利用“平行四边形的对角线互相平分”证明两线段互相平分．

平行四边形性质与判定的综合运用是中考试卷中常见题型，这类题目常常要求我们先证明四边形为平行四边形，然后由平行四边形证明线段相等．平行或角相等．

变式练习9：如图12-19，已知在△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是AC 上的点，且EF ∥AB ，DF ∥BE ，求证：AE 与DF 互相平分．

F

E

B D

A

图12-19

四、课时作业·轻松练

A ．基础题组

1．如图12-20，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点M ，N ，若△CON 的面积为2，△DOM 的面积为4，则△AOB 的面积为 ．

图12-20

2．如图12-21，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 在AC 上，G ，H 在BD 上，AF ＝CE ，BH ＝DG ．求证：GF ∥HE ．

A

B C D O E

G

F H 图12-21

3．如图12-22，点E 是

ABCD 的对角线AC 上任意一点，则S △BEC ＝S △DEC 是否正确？请说明理由．

图12-22

B ．中档题组

4．如图12-23，在□ABCD 中，∠ABC ．∠BCD 的平分线BE ，CF 分别与AD 相交于点E ，F ，

BE 与CF 相交于点G ．

（1）求证：BE ⊥CF ；

（2）若AB ＝3，BC ＝5，CF ＝2，求BE 的长.

图12-23

5．如图12-24，□ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∠ADC ＝60o，AD ＝6，BE ＝2，求△DEC

的面积，并判断△AEG 的形状．

G

B E D

C A

F

图12-24

C ．挑战题组

6．如图12-25，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A ，B ，C ，D 处均有一棵大核

C G

E F

A D O

M D N A

桃树，田村准备挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃数不动，并要求扩建后的池塘为平行四边形，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由.（画图要保留痕迹，不写画法）

图12-25

〖中考试题初体验〗

1．（2013四川南充，16，6分）如图12-26，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，经过点O 的直线交AB 于E ，交CD 于F ．求证：OE ＝OF .

图12-26

2．（2013吉林长春，18，7分）如图12-27，在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E ，F 分别是AC ，BC ，BA 延长线上的点，四边形ADEF 为平行四边形，求证：AD ＝BF ．

图12-27

3．（2013北京，19，5分）如图12-28，在□ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点

E ，使CE ＝12

BC ，连结DE ，CF ． （1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；

（2）若AB ＝4，AD ＝6，∠B ＝60°，求DE 的长．

图12-28

五、我的错题本

B

参考答案

变式练习

1.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC从而∠2＝∠3．CE是∠BCD的角平分线，有∠DCE＝∠BCE，所以∠DCE＝∠DEC，所以DE＝CD.

当CD＝DE＝3时，平行四边形的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝3＋7＋3＋7＝20；

当CD＝DE＝4时，平行四边形的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝4＋7＋4＋7＝22．

2.45°解析：∠A＝3∠C，说明这两个角不相等，则它们互补．

3.8 解析：△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△AOD的面积．

4.（1）△ABC≌△CDA；△AOM≌△CON；△AOE≌△COF；△AEM≌△CFN．

（2）通过证明△AOM≌△CON，得∠MAO＝∠NCO；通过△AOE≌△COF，得∠EAO ＝∠FCO．即可证得∠MAE＝∠NCF．

5.△F AE≌△CDA，或△ABC≌△F AE

现以△F AE≌△CDA为例证明如下：

证明：在□ABCD中，AB＝CD∠BAD＋∠ADC＝180°

等腰直角△ABF和等腰直角△ADE中，AF＝AB，AE＝AD

∠F AB＝∠EAD＝90°∴∠F AE＋∠BAD＝180°

∴∠F AE＝∠ADC，∴△F AE≌△CDA（SAS）

四个三角形的面积和为1

5410 2

??=

6.∵∠EAF＝30°，∴∠ECD＝∠B＝∠D＝30°，AE＝4cm，AF＝3cm，

∴AB＝8cm，AD＝6cm，周长8＋8＋6＋6＝28cm.

7.线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等．

证明：∵CE∥AB，∴∠DAO＝∠ECO.

∵OA＝OC，∴△ADO≌△CEO，∴AD＝CE，

∴四边形ADCE是平行四边形，∴CD∥AE，CD＝AE．

8.证明：在□ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，∴∠ABD＝∠CDB，又∵AM⊥BC，CN⊥AD，∴∠BAM＝∠DCN，∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形．

9.DF与AE互相平分

理由：∵EF∥AB，DF∥BE，∴四边形BDFE是平行四边形，∴BD＝EF

∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∴EF＝AD.

∵EF∥AB，∴∠ADO＝∠EFO，∠DAO＝∠FEO.

∴△ADO≌△EFO，∴OD＝OF，OA＝OE，即AE与DF互相平分．

课堂作业

1．6 解析：△AOB 的面积等于△BOC 的面积，△DOM 与△BON 的面积相等，所以△AOB 的面积等于△BON 与△CON 的面积之和．

2．∵ ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC .

又∵AF ＝CE ，∴AF －OA ＝CE －OC ，即OF ＝OE . 同理OG ＝OH .

∴四边形EGFH 是平行四边形. ∴GF ∥HE ．

3．解：连接BD 交AC 于点O ．

在ABCD 中，BO ＝DO ，∴S △BOC ＝S △DOC ，S △BOE ＝S △DOE ．

又∵S △BEC ＝S △BOC +S △BOE ，S △DEC ＝S △DOC +S △DOE ，∴S △BEC ＝S △DEC ．

4．（1）证明：∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE ＝12∠ABC ．同理∠BCF ＝12

∠BCD ． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°

∴∠CBE ＋∠BCF ＝12∠ABC ＋12∠BCD ＝12

(∠ABC ＋∠BCD )＝90°． ∴∠CGB ＝180°－(∠CBE ＋∠BCF )＝90°，∴BE ⊥CF ．

（2）过点E 作EP ∥FC ，交BC 的延长线于点P ，则四边形CPEF 是平行四边形，

∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，在□ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ， ∴∠ABE ＝∠AEB ，∴AB ＝AE ＝3，同理DF ＝DC ＝3，∴EF ＝AE ＋DF －AD ＝1， ∴CP ＝EF ＝1，EP ＝CF ＝2，又由（1）己证得BE ⊥CF ，∴BE ⊥EP ，

∴在Rt △BPE 中，BE 2＋EP 2＝BP 2，BE 2＋22＝62，BE ＝

5．四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B ＝∠D ＝60°，AB ＝CD ，AD ＝BC ．

∵AE ⊥BC ，∴在Rt △ABE 中，BE ＝2，AB ＝4，AE ＝，∴CD ＝AB ＝4，

∵AD ＝6，∴DF ＝3，∵AF ⊥DC ，∠D ＝60°，∴在Rt △ADC 中，AD ＝6

∴EC ＝BC －BE ＝AD －BE ＝6－2＝4．

S △DEC ×AE ＝12

×4×△AEG 的是等边三角形 6．设计如图所示，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为对角线，向外作平行四边形AOBE ，平行四边形BOCF ，平行四边形CODG ，平行四边形DOAH ，

∴△ABO ≌△BAE ，△BCO ≌△CBF ，△CDO ≌△DCG ，△ADO ≌△DAH ， ∴12ABO BCO CDO ADO EFGH S

S S S S +++=，即12EFGH ABCD S S =四边形

〖中考试题初体验〗

1．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ∥CD ，∴∠OAE ＝∠OCF ，∵∠AOE ＝∠COF ，∴△OAE ≌△OCF （ASA ），∴OE ＝OF ．

2．∵四边形ADEF 为平行四边形，∴AD ＝EF ，AD ∥EF ．∴∠ACB ＝∠FEB ．

∵AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠B ．∴∠FEB ＝∠B ．∴EF ＝BF ．∴AD ＝BF ．

3．（1）在□ABCD 中， A D ∥BC ，AD ＝BC . ∵

F 是 A D 中点．∴DF ＝12AD ， 又∵CE ＝12BC ，∴DF ＝CE 且DF ∥CE ．∴四边形CEDF 为平行四边形．

（2）过点D 作DH ⊥BE 于H ，在□ABCD 中，∵∠B ＝60° ，∴∠DCE ＝60°，∵AB ＝4，∴CD ＝4．∴CH ＝2，DH ＝23．在□CEDF 中，CE ＝DF ＝

12

AD ＝3．∴EH ＝1．

在Rt △DHE 中，DE

人教版八年级下册：18.2特殊的平行四边形同步练习卷 含答案解析

人教版八年级下册：18.2特殊的平行四边形同步练习卷一．选择题（共10小题） 1．下列性质中，矩形不一定具有的是（） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．4个内角相等 D．一条对角线平分一组对角 2．如图，菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1＝（） A．30°B．25°C．20°D．15° 3．如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，则下列结论不一定正确的是（） A．B．BD＝CD C．D． 4．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（） A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC 5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（）

A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠AOB＝60°D．AC⊥BD 6．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（） A．40B．24C．20D．15 7．如图，已知四边形ABCD是正方形，E是AB延长线上一点，且BE＝BD，则∠BDE的度数是（） A．22.5°B．30°C．45°D．67.5° 8．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（） A．3B．C．D．4 9．已知四边形ABCD是平行四边形，再从四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（） ①AB＝BC， ②∠ABC＝90?， ③AC＝BD， ④AC⊥BD A．选①②B．选①③C．选②③D．选②④ 10．如图，在正方形ABCD内，以BC为边作等边三角形BCM，连接AM并延长交CD于N，则下列结论不正确的是（）

初中数学特殊平行四边形的证明及详细答案模板

初中数学特殊平行四边形的证明 一．解答题（共30小题） 1．（2015?泰安模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于 D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE． （1）求证：四边形ACEF是平行四边形； （2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论． 2．（2015?福建模拟）已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF． 求证：四边形BCFE是菱形． 3．（2015?深圳一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD 交AB于E． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由． 4．（2015?济南模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点．

求证：EB=EC． 5．（2015?临淄区校级模拟）如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AC的长为多少？ 6．（2015春?宿城区校级月考）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求证：BD=BE． 7．（2014?雅安）如图：在?ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC 的延长线交于E． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形． 8．（2014?贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC． （1）求证：四边形ADCF是菱形；

五年级平行四边形教案

五年级平行四边形教案 【篇一：人教版小学五年级数学平行四边形的面积教学 设计】 《平行四边形的面积》教学设计教学内容： 人教版2013年教育部审定教科书五年级上册第六单元p87-88页《平行四边形的面积》 教学目标： 1、通过剪一剪，拼一拼的方法，探索并掌握平行四边形的面积计算公式。能正确计算平行四边形的面积。 2、通过操作、探究、对比、交流，经历平行四边形的推导过程，初步认识转化的思想方法，发展学生的空间观念。 3、运用猜测—验证的方法，使学生获得积极的情感体验。发展学生自主探索、合作交流的能力，感受数学知识的价值。教学重点： 探索并掌握平行四边形的面积计算方法。 教学难点： 理解平行四边形面积计算公式的推导过程。 教具准备： ppt课件一套 学具准备： 初步探究学习卡、平行四边形、剪刀、三角板。 教学过程： 一、故事引入，激起质疑 1、师：今天老师给大家带来了一个故事，想听吗？用行动告诉老师你想听。 一天，阿凡提在街上卖毛毯，地主巴依走了过来。他一眼就看中了阿凡提的花毛毯。聪明的阿凡提拿出这样的两块毛毯，分别是什么形状？（课件）（生：分别是长方形和平行四边形。）阿凡提说：“亲爱的巴依老爷，如果您能从这两块毛毯中挑出一块大的来，我就不收你的钱；可如果你选错的话，你就得答应我，把欠长工的钱全部付清，怎么样？”巴依一听不收钱，高兴的两眼放光。他一把抓起这块长方形的毛毯说：“这块大，我就要这块！” 2、巴依认为这块长方形的毛毯大，你猜猜看哪块大？ （生1：我认为平行四边形的毛毯大。生2：我认为两块毛毯面积一样大。）

我们说的毛毯的大小指的是毛毯的什么？（生毛毯的面积。） 3、这节课我们继续研究面积：平行四边形的面积。 （板书课题） 以前学过的长方形和正方形的面积对我们今天的学习可能会有帮助。［设计意图： “亚里士多德”说过：思维是从疑问和惊奇开始的。我以故事引入， 产生疑问，从而激发学生极大的学习、探索热情。］ 二、动手操作，探究方法 （一）利用方格，初步探究 1、以前用数方格的方法得到了长方形和正方形的面积，用数方格的 方法能得到平行四边形的面积吗？一起看“初步探究学习卡”，大声 读出要求，读懂要求后把表格填完整 2、独立数，并填写表格 3、汇报想法。 谁愿意说说你的怎样数的？（强调有规律的数的方法） 谁来说说你的填法？ （生：平行四边形的底是6厘米，高是4厘米，面积是24平方厘米；长方形的长是6厘米，宽是4厘米，面积是24平方厘米。）这位 同学是横着汇报的，谁能竖着汇报？ （生：平行四边形的底是6厘米，长方形的长是6厘米；平行四边 形的高是4厘米，长方形的宽是4厘米；平行四边形的面积是24平 方厘米，长方形的面积是24平方厘米。） 4、观察表格你发现了什么？ （生：我发现平行四边形的底和长方形的长相等，平行四边形的高 和长方形的宽相等，平行四边形的面积和长方形的面积也相等。） 根据你的发现，你能想到什么？ 5、小结： （指图）通过数方格我们发现，平行四边形的底和长方形的长相等，平行四边形的高和长方形的宽相等，平行四边形的面积和长方形的 面积也相等。这是一种巧合呢？还是平行四边形和长方形之间真有 某种联系呢？通过下面的学习你一定会明白。 看来，数方格的方法可以得到这个平行四边形的面积，现在我想得 到一个很大的平行四边形花坛的面积，你认为数方格的方法怎么样？有没有合适的方格纸呢？

平行四边形知识点总结及对应例题.

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 平行四边形的性质： （1）：平行四边形对边相等(即：AB=CD,AD=BC)； （2）：平行四边形对边平行(即：AB//CD,AD//BC)； （3）：平行四边形对角相等(即：∠A=∠C,∠B=∠D)； （4）：平行四边形对角线互相平分(即：O A=OC，OB=OD)； 判定方法：1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）； 2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 考点1 特殊的平行四边形的性质与判定 1．矩形的定义、性质与判定 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）矩形的性质：矩形的对角线_________；矩形的四个角都是________角。矩形具有________的一切性质。矩形是轴对称图形，对称轴有_____________条，矩形也是中心对称图形，对称中心为_____________的交点。矩形被对角线分成了____________个等腰三角形。 （3）矩形的判定 有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是_____________的四边形是矩形；对角线_____的平行四边形是矩形。 温馨提示：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题。 2．菱形的定义、性质与判定 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）菱形的性质 菱形的_______都相等；菱形的对角线互相_______，并且每一条对角线______一组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。菱形即是轴对称图形，对称轴有____条。 （3）菱形的面积

人教版八年级数学特殊的平行四边形同步测试题测试题

数学：特殊的平行四边形同步测试题（人教新课标八年级下） 一、填空题（每题3分，共30分） 1.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是. 2．如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm． 3．（08贵阳市）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为cm2． A D B C 4．如图1，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有_______个平行四边形． 5．若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD是菱形． 6．在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点△O，ABO的周长为17，AB＝6，那么对角线AC＋BD＝ ⒎以正方形ABCD的边BC为边做等边△BCE，则∠AED的度数 为. 8．延长正方形ABCD的边AB到E，使BE＝AC，则∠E＝° 9．已知菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，如果点P是菱形内一点，且PB＝PD ＝2，那么AP的长为． 10．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D 的坐标是． 二、选择题（每题3分，共30分） 11．如图4在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连结EF，则∠E＋∠F＝() A．110°B．30°C．50°D．70° 12．菱形具有而矩形不具有的性质是() A．对角相等B．四边相等 C．对角线互相平分D．四角相等

（6） 13．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O， 点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为() A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 14．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边 AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝2，AD＝4， 则图中阴影部分的面积为() A．8B．6C．4D．3 A H D E G B F C 15．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形() A．①③⑤B．②③⑤C．①②③D．①③④⑤ 16．如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是 直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长 是() A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm 17、（08甘肃省白银市）如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50，则∠AEF=（） A．110°B．115° C．120°D．130°

五年级数学：平行四边形的面积

平行四边形的面积 五年级数学教案 教学目标：1、使学生通过探索，理解和掌握平行四边形的面积计算公式，会计算平行四边形的面积。 2、通过操作、观察、比较活动，初步认识转化的方法，培养学生的观察、分析、概括能力，发展学生的空间观念。 教学重点：会应用公式计算平行四边形的面积。 教学难点：推导平行四边形的面积计算公式。 准备：平行四边形纸片、剪刀。 教学过程： ●一、导入 1、我们学过了许多平面图形，下面请大家打开书79页，观察图，找一找图中有哪些学过的图形？ 2、请大家看学校门前的两个大花坛，说说这两个花坛是什么形状的？你知道怎样比较这两个花坛的大小吗？ 3、引入本课内容：长方形的面积我们已经会求了，今天我们来研究平行四边形的面积。板题：平行四边形的面积 ●二、探究平行四边形面积公式 1、用数方格的方法计算面积

（1）我们已经知道可以用数方格的方法来得到一个图形的面积，请大家拿出你准备好的方格纸，用数方格的方法来数出方格纸中平行四边形和长方形的面积。（说明要求：一个方格代表1平方厘米，不满一格的都按半格算）把数出的数据填在方格纸的下面。 （2）同桌合作完成。 （3）汇报结果，可用投影展示学生填好的表格。 （4）观察表格的数据，你发现了什么？（平行四边形与长方形的底与长、高与宽及面积分别相等，这个平行四边形的面积等于它的底乘高，这个长方形的面积等于它的长乘宽。 （5）根据你的发现你能想到什么？我们是否可以把平行四边形变成一个长方形来计算它的面积呢？ 2、推导平行四边形的面积计算公式 （1）拿出你准备好的平行四边形和剪刀，自己想办法把平行四边形变成一个长方形。 （2）请学生演示剪拼过程及结果。教师演示剪--平移--拼的过程。 （3）我们已经把一个平行四边形变成了一个长方形，请大家观察，拼出的长方形和原来的平行四边形，你发现了什么？同桌互相说一说，可围绕以下3个问题讨论： a.这个由平行四边形转化成的长方形的面积与原来的平行四边形的面积比较，有没有变化？为什么？ b.这个长方形的长与平行四边形的底有什么关系？

八年级数学下册特殊的平行四边形同步测试题及答案

八年级数学下册特殊的平行四边形同步测试题 一、填空题（每题3分，共30分） 1.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法 是 . 2．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ． 3．如图，正方形A B C D 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2． 4．从平行四边形的一个锐角的顶点做两条高线，如果这两条高线的夹角是135°，这个平行四边形的锐角的度数是 ． 5若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形． 6．，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝ ⒎以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数为 . 8．延长正方形ABCD 的边AB 到E ，使BE ＝AC ，则∠E ＝ ° 9．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝ 2那么AP 的长为 ． 10．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)， B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形 ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ． 二、选择题（每题3分，共30分） 11．如图4在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( ) A ．110° B ．30° C ．50° D ．70° 12．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A ．对角相等 B ．四边相等 C ．对角线互相平分 D ．四角相等 13．平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ， 点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( ) A ．3 cm B ．6 cm C ．9 cm D ．12 cm 14．已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4， 则图中阴影部分的面积为 ( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．3 15．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形 ( ) A ．①③⑤ B ．②③⑤ C ．①②③ D ．①③④⑤ 16．如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是 直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长 是 ( ) A ．88 mm B ．96 mm C ．80 mm D ．84 mm 17、如图，把矩形A B C D 沿E F 对折后使两部分重合，若150∠= ，则A E F ∠=（ ） A ．110° B ．115° （6） E A F D C B H G

新人教版五年级平行四边形的面积练习题

平行四边形的面积训练题1 不要忘记平行四边形的面积=底×高S=ah 一、填空 1．一个平行四边形的底长15厘米，高8厘米，它的面积是（）平方厘米。 2．一块平行四边形菜地的面积是54平方米，它的高是6米，底边长（）米。 0.85公顷=（）平方米86000平方米=（）公顷 9.28平方米=（）平方分米=（）平方厘米 0.56平方千米=（）公顷 二、应用题。 1．一块平行四边形菜地，底长16米，高是底的一半，这块地的面积是多少平方米？ 2．有一平行四边形瓜地，底长43米，高28米，如果每平方米栽瓜秧9棵，这块地可栽瓜秧多少棵？ 3．有一平行四边形空地，底长43米，高28米，如果每种一棵果树需要3平方米，这块地可栽果树多少棵？ 4．有一块平行四边形钢板，底长5米，高3.6米，如果这种钢板1平方米重39千克，这块钢板重多少千克？ 5．一块平行四边形玉米地，底长30米，高24米，共收玉米756千克，平均每平方米收玉米多少千克？ 6．已知一个平行四边形的面积是227.5平方分米，它的底长18.2分米，它的高比底少多少分米？

三角形、平行四边形的面积测试姓名： 一、填表30分 二、填空25分 1、有一个直角三角形，它的三条边分别长4 dm、1 m、7 dm，它的斜边长（），它的 面积是( )平方分米。 2、一个等腰直角三角形的腰长是5分米，它的面积是（）。 3、一个等边三角形的周长是1.5分米，高是6厘米,它的面积是( )。 4、一个三角形和一个平行四边形的面积相等，底也相等。如果平行四边形的高是9厘米， 那么三角形的高是（）。 三、应用题45分 （1）一块三角形钢板，底8.5m，高6m，它的面积是多少？如果每平方米的钢板重38千克，这块钢板重多少千克？ （2）有一块平行四边形草地，底长25m，高是底的一半。如果每平方米的草可供3只羊吃一天，这块草地可供多少只羊吃一天？ （3）一块三角形地,底长150m,高80m,这块地有多少公顷？在这块地里共收小麦3840千克,平均每公顷收小麦多少千克？

平行四边形与矩形的综合运用

课题： 平行四边形的判定与性质的综合运用 目标：1.熟练掌握平行四边形的判定与性质，并会灵活运用。 2.总结线段“倍分”、“和差”问题的思路，形成一定的思维模型。 3.培养学生运用知识分析问题解决问题的能力，特别是将题设与结论结合的综合分析能力。 重点：平行四边的性质和判定的综合、灵活运用。 难点：解题思路的获得——辅助线的构造 教学方法：引导分析。 教学过程： 25.(2017年三模题)如图,在平行四边形ABC 中,AC ⊥BC,点E 是CD 的中点,连接AE,作AF ⊥AE 交BC 于F. (1) 若AC=6，BC=8，求AE 的长; (2) G 为BC 延长线上一点,且AG+CG=BC,求证:AF=2EG. (1)小题分析:由勾股定理和直角三角形斜边中线性质易得. (2)小题分析: 分析思路1 考虑到点E 是CD 中点,且EG 在结论中出现,试着构造“X”形全等三角形,于是延长GE 交AD 于H.易知△CEG ?△DEH,∴CG=DH,GE=EH.由已知AG+CG=BC 及平行四边形的性质得,AG+DH=BC=AD=AH+DH ,∴AG=AH,由等腰三角形“三线合一”得,AE ⊥GH,又AE ⊥AF,∴AF ∥HG,∴四边形AFGH 是平行四边形,∴AF=HG,∴AF=2EG.(全等三角形的判定性质,等腰三角形“三线合一”,平行四边形的判定性质).

分析思路2 仍然从中点E 出发考虑构造“X”形全等三角形,延长AE 与CG 的延长线交于点H,易知△ADE ?△HCE,∴AE=EH,AD=CH,由已知及平行四边形的性质有 AG+CG=BC=AD=CH=GH+CG,∴AG=GH,∴∠4=∠2,因为∠4+∠3=90°,∠2+∠FAG=90°,∴∠3=∠FAG,∴AG=FG,∴GH=FG,∴AF=2EG. 分析思路3 第一点 由题设AG+CG=BC,这是线段和差的典型问题,可考虑“截长”或“补短”.试着延长AG 点M,使GM=CG,则AG+CG=AG+GM=AM,∴AM=AD.因此连接DM,得△ADM 为等腰三角形.∴∠ADM=∠AMD.延长BG 交DM 于点P,则∠ADM=∠GPM,∴∠GPM=∠GMP,∴GP=GM=GC,∴∠CMP=90°.在Rt △CAD 和Rt △CM 中,AE=(1/2)CD=ME.由上易得△AEM ?△AED,∴∠1=∠2,∴AE ⊥MD(三线合一).而AE ⊥AF,∴AF ∥DM.∴四边形AFPD 是平行四边形,∴AF=PD.又易知,PD=2EG(三角形中位线性质).∴AF=2EG. 第二点 从结论AF=2EG 分析,这是线段倍分问题,既可考虑作“分”也可作“倍”(事实上均可，若“分”则用梯形中位线性质,若“倍”则用三角形全等),都能得到平行四边形.如用“倍”即为分析思路1. (3)后记： ①本题涉及平行线、三角形、四边形的几乎所有重要知识点：垂直于同一直线的直线平行,平行于同一直线的直线平行;等腰三角形定义、性质、“三线合一”;直角三13 24H G E B D C A

人教版八年级下册 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 同步练习题

特殊的平行四边形同步练习 一．选择题（共12小题） 1．下列说法中，错误的是（） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有一组邻边相等的菱形是正方形 2．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O、A在x轴上，且O、C的坐标分别是（0，0），（3，4），则顶点B的坐标是（） A．（5，3） B．（8，3） C．（8，4） D．（9，4） 3．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AE⊥BD于F，则线段AF的长是（） A．6 B．5 C．4.8 D．4 4．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF ∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判 定四边形AEDF是菱形的是（）

B．AD为BC边上的中线 C．AD=BD D．AD平分∠BAC 5．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点E在边BC上的延长线上，点G在CD上，若AB=2，则线段DF的最小值为（） A．1B．C．D．2 6．如图，在长方形ABCD中AB=DC=4，AD=BC=5．延长BC到E，使CE=2，连接DE．动点P 从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，存在这样的t，使△DCP和△DCE全等，求出t的值．（） A．t＝0.5 B．t＝1.5 C． D． 7．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE=15°，则∠AOE的度数为（） A．120° B．135° C．145°

《平行四边形及矩形》测试题

《平行四边形及矩形》测试题 班级 1.平行四边形的两邻边分别为3、4,那么其对角线必（ B.小于7 C.大于1且小于7 D.小于7或大于1 CAB的度数分别为（ 4.口ABCD中, EF过对角线的交点0, AB=4, AD=3 0F=1.3,则四边形BCEF的 周长为（） 6.如图所示,在口ABCD中 , E, F分别在BC, AD上,若想使四边形AFCE为平 行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（ ①AF=CF ②AE=CF ③/ BAE W FCD ④/ BEA玄FCE A.①或② B .②或③ C .③或④ D .①或③或④ 7.如图4,在口ABCD中, AD=5,AB = 3,AE 平分 /BAD 交BC边于 A. 2和3 B . 3和2 C . 4和1 D . 1和4 2.如图1，四边形ABCD是平行四边形，/ D=120°,/ CAD=32 . J则/ ABC / 姓名 A.大于1 A.28 ° , 120° B.120 ° , 28° C.32 120° D.120 ,32° 3 .在口ABCD中, / A：/ B :/ C :/ D的值可以是 A.1 : 2 : 3 : B.1 : 2 : 2 : 1 C.1 : 1 : 2 : D.2 : 1 : 2 : 1 A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6 5.下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（ A.AB=CD AD// BC B.AB=CD AB// CD C.AB// CD AD// BC D.AB=CD AD=BC 点E,则线段BE、EC的长度分别为（ 2

8. 如图，口 ABCD 中, BD= CD / C = 70°, A 、20° B 、250 C 、300 9. 平行四边形没有而矩形具有的性质是（ 10.矩形ABCD 勺对角线相交于点0,如果MBC 的周长比人AOB 的周长大10cm, 则 AD 的长是（ ）A 、5cm B 、7.5cm C 、10cm .填空题 13. 如果平行四边形的一条边长是 8, —条对角线长为6, 线长m 的取值范围是 14. 平行四边形的周长等于 56 cm ,两邻边长的比为3 ： 1,那么这个平行四边 形较长的边长为 15. 如果一个矩形较短的边长为 5 cm ,两条对角线所夹的角为60°,则这个矩 形的面积是 16. 矩形是面积的60, 一边长为5,则它的一条对角线长等于 17.在口ABCD 中, AB=AC,若口ABCD 勺周长为 38 cm ,^ ABC 的周长比□ ABCD 勺周长少10测，求口 ABCD 勺一组邻 边的长. 18.如图，在□ ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上两点, AE± BD 于点 E ,则/ DAE=( 、350 A 、对角线相等 B 、对角线互相垂直 C 、对角线互相平分 D 、对角相等 D 、12.5cm 11.如图, 12.已知: 则BC= cm, CD 且 AE=CF 求证：/ EBF=/ FDE 那么它的另一条对角 cm. □ ABCD 中,/ 1 = 平行四边形一边

人教版八年级下册数学 18.2特殊的平行四边形 同步练习(解析版)

18.2特殊的平行四边形同步练习 一．选择题（共10小题） 1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（） A．对边相等B．对角相等 C．对角线互相平分D．对角线互相垂直 选D 2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（） A．4 B．8 C．10 D．12 解：∵四边形ABCD为矩形， ∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD， ∴OA=OB=OC=OD=2， ∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形DECO为平行四边形， ∵OD=OC， ∴四边形DECO为菱形， ∴OD=DE=EC=OC=2， 则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8， 故选B 3．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）

A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9 解：设大正方形的边长为x，根据图形可得： ∵=， ∴=， ∴=， ∴S1=S正方形ABCD， ∴S1=x2， ∵=， ∴=， ∴S2=S正方形ABCD， ∴S2=x2， ∴S1：S2=x2：x2=4：9； 故选D． 4．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）

A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2） 解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小． ∵D（，0），A（3，0）， ∴H（，0）， ∴直线CH解析式为y=﹣x+4， ∴x=3时，y=， ∴点E坐标（3，） 故选：B． 5．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF ⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（） A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF

特殊的平行四边形的证明

特殊的平行四边形的证明 --矩形(复习课)教学设计 知识清单 一．矩形的性质： 四个角相等（都是90。） 对角线相等 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 二．矩形的判定： 1、“平行四边形”+“一个角为直角”=“矩形” 2、“平行四边形” +“对角线相等”=“矩形” 3、“四边形”+“三个角是直角”=“矩形” 练习题： 1、下列性质中，矩形具备而一般平行四边形不具备的是( ) A.内角和为360° B.对边平行且相等 C.对角线相等 D.对角相等 2、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是( ) A.2 B.4 C.2 D.4 3、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长． 4、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落 在AD边的F点上，求DF和AE的值。

5、在平行四边形ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AD=DF，求证：AF平分∠BAD 6、（变式一）在平行四边形ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠BAD，求证：DF=BC 7、（变式二）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． (1)求证：OE =OF； (2)若CE =12，CF =5，求OC的长； (3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 8、如图所示，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q 从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．当t= 时，四边形APQD也为矩形.

五年级平行四边形的面积练习题有答案

平行四边形的面积练习题 班级姓名 一、填空。 1、把一个平行四边形转化成一个长方形，它的面积与原来的平行四边形 （相等）。这个长方形的长与平形四边形的底（相等），宽与平行 四边形的高（相等）。平行四边形的面积等于（底乘以高），用字 母表示是（S=ah ）。 2、公顷=（8500 ）平方米平方千米=（56 ）公顷 86000平方米=（）公顷2m=（928 ）2 dm=（92800 ）2 cm 3、一个平行四边形的底是9分米，高是底的2倍，它的面积是（162 ） 平方分米。 4、一个平行四边形的底是12cm，面积是1562 cm，高是（13 ）cm。 5、一块平行四边形钢板，底是米，高是米，如果每平方米钢板重千克， 这块钢板重（）千克。 6、等底等高的平行四边形面积都（相等）。一个平行四边形的周长为 46cm，一边的长为14cm，另外三边的长分是（9cm ）、（14cm ）、 （9cm ）。 7、平行四边形的高是5cm，底是高的2倍，它的面积是（50 ）2 cm。 8、填表： 9、平行四边 （底× 高），字母 公式表示 （S=ah ）。 10、把一个平行四边形沿其中一条高剪开，平移后可以拼成一个 （长方形），长方形的长就是平行四边形的（底），长方形 的宽就是平行四边形的（高）。 二、判断题。 1、平行四边形的面积等于长方形面积。（×）

2、 一个平行四边形的底是5分米，高是20厘米，面积是100平方分米。 （× ） 3、 一个平行四边形面积是42平方米，高是6米，底是7米。（√ ） 4、 等底等高的两个平行四边形面积也相等。（ √ ） 三、选择题。 1、平行四边形的底扩大6倍，高缩小3倍，它的面积（ ④ ）。 ①不变 ②扩大6倍 ③缩小3倍 ④扩大2倍 2、用木条钉成的长方形拉成一个平行四边形，它的高和面积（ ③ ） ①不变 ②都比原来大 ③都比原来小 ④只有高变小 3、平行四边形同一底上可以画（ ① ）条高。 ①无数 ② 1 ③ 2 ④ 5 4、下面图中长方形和平行四边形的面积相比，（ ② ） ①长方形大 ② 同样大 ③ 平行四边形大 四、计算下面各个平行四边形的面积。 1、画出下列各图形给定边上的高。 （上边） （下边） 2 、计算下面各个平行四边形的面积。 （ 1）底=2.5cm ，高=3.2cm 。 （2）底= 82cm 3、计算下面每个平行四边形的面积 2cm 2cm 2dm 五、应用题 1、有一块平行四边形的玻璃，底是28分米，高是24分米。这块玻璃的面积是多少 6722dm 2、 一块平行四边形钢板，面积平方厘米，高是厘米。它的底是多少 3、一块平行四边形钢板，底8.5m ，高6m ，它的面积是多少如果每平方米的钢板重38千克，这块钢板重多少千克 51平方米

平行四边形和矩形练习题

第4题 F E D C B A 第2题 A B C D E T R Q P O D C B A 平行四边形和矩形练习题 1、在平行四边形ABCD 中，AB =5，BC =7，∠B 、∠C 的平分线分别交AD 于E 、F ，则EF = ． 第1题 第3题 第4题 第6题 2．如图，在矩形ABCD 中，DC=2BC ，在DC 上取一点E ，使EB=AB ， 连结EA ，则∠DAE=____________。 3、如图，△ABC 是边长为1的等边三角形．取BC 边中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ， 得到四边形EDAF ，它的面积记作S 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，得到 四边形E 1D 1FF 1，它的面积记作S 2．照此规律作下去，则S 2011= ． 4．如图，在矩形ABCD 中，BC=6cm ，AE= 2 3 AD,∠CBF=30°，且点A 与F 关于BE 对称，则BE=________________,AB=_____________________。 5．矩形ABCD 中，点E 为边AB 上的一点，过点E 作直线EF 垂直对边CD 于F ，若S AEFD ：S BCFE =2：1，则DF ：FC= 。 6．如图,在□ABCD 中，AB =3，AD =4，∠ABC =60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF 的面积是 。 7、如图，AC 是□ABCD 的对角线，点E 、F 在AC 上，要使四边形BFDE 是平行四边形，还需要增加的一个条件是 (只要填写一种情况). 第7题 第9题 第10题 第11题 第13题 8、已知□ABCD 的周长为28，自顶点A 作AE ⊥DC 于点E ，AF ⊥BC 于点F . 若AE =3，AF =4，则 CE-CF= . 9、如图，有一块直角三角形的木板AOB ，∠O=90°，OA=3，OB=4，一只小蚂蚁在OA 边上爬行（可以与O 、A 重合），设其所处的位置C 到AB 的中点D 的距离为x ，则x 的取值范围是__________ 10、如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF =45o ，且AE+AF = ，则平 12、平行四边形的一条边长为12cm ，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ） A.5 cm 和7 cm B.20 cm 和30 cm C.8 cm 和16 cm D.6 cm 和10 cm 13、如图，在□ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，则下列结论不正确的是_______ A 、S △AFD =2S △EF B B 、BF= 2 1 DF C 、四边形AECD 是等腰梯形 D 、∠AEB=∠ ADC 14、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°四边形ACDE 是平行 四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交 CE 于点G ，连结BE . 下列结论中： ① CE =BD ；② △ADC 是等腰直角三角形；③ ∠ADB =∠AEB ； 一定正确 的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 15、如图，在□ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点P 在BD 上， 则图中面积相等的平行四边形有（ ） （A ）0对 （B ）1对 （C ）2对 （D ）3对 16、如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC=90°，DC//AB ，BC=3， DC=4，AD=5．动点P 从B 点出发，B →C →D →A 沿边运动，则△ABP 的最大 面积为（ ）A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 17、如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，O 是AD 的中点，过A 作BC 的平行线交BO 的延长线于点E ， 则四边形ABDE 是什么四边形？并说明理由。 18．如图，在矩形ABCD 中，P 是AD 上任一点，PQ ⊥AC 于点Q ，PR ⊥BD 于点R ，DT ⊥AC 于点T ，问：PQ 、PR 、DT 三条线段能否组成三角形？若能，请证明；否则，请说明理由。 19．如图，在矩形ABCD 中，从顶点C 作对角线BD 的垂线与∠A 的平分线相交于点E 。求证：BD=CE 。 20．若一次函数y ＝2x －1和反比例函数x k y 2 的图象都经过点(1，1)． (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，利用图象求点A 的坐标； (3)利用(2)的结果，若点B 的坐标为(2，0)，且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标． A B E

人教版八年级下册18.2特殊的平行四边形同步练习题(word无答案)

18.2特殊的平行四边形专题练习 1．下列命题中，真命题是（） A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 2．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（） A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD 3．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（） A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角 4．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（） A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km 5．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，

则EP+FP的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（） A．B．C．D． 7．如图，矩形ABCD的对角线相交于O所成的钝角∠AOD＝120°，AB＝2cm， （1）求对角线AC的长． （2）求矩形ABCD的面积． 8．在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），剩下的部分建成面积为570m2花坛，问小路的宽应是多少？9．如图所示，O为矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由； （2）若AB＝10，BC＝12，求四边形OCED的面积．

北师大版九年级上学期第一章《特殊的平行四边形》证明题集锦

北师大版九年级上学期 第一章 平行四边形及特殊的平行四边形证明题集锦 1.（1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ． 求∠AEB 的大小；（2）如图2，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. ， ^ 2．如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：长度关系及所在直线的位置关系；（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断． @ | （2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (a ≠b ，k >0)， B A O D ; C E 图2 C B O D 图1 [ A E 图1 图2 图3

第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第 (2)题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k =1 2 ，求22BE DG 的值． ： ； 3.如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． ？ 解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90o．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么（2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90o，点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）CF 相交于点P ，求线段CP 长的最大值． { 4.已知：如图，点C 在线段AB 上，以AC 和BC 为边在AB 的同侧作正三角形△ACM 和△BCN ， A B C D E F 图甲 图乙 F E D C B A F E D C B A 图丙