浅水方程推导

1. 浅水方程推导

将三维的基本方程沿水深积分平均，即可得到沿水深平均的平面二维流动基本方程。

定义水深为0H Z ζ=-， ζ、0Z 为基准面下液面水位和河床高程

x

定义沿水深平均流速i U 为：0

1i i z U u dz H

ζ

=?

引用莱布尼兹公式

a

b

b

a

b

a

i

i

i

i

f

b a f dz dz f f x x x x ????=+-?????

?

自由表面及底部运动学条件

0000z x y z z z z

x

y

z z z z z z d u u u dt t x

y

d z z z z

u u u dt t x

y

ζζζ

ζζζζ

======???=

=++??????==++???

以x 方向为例三维流动的运动方程沿水深平均为

02

222221()()()()0y x x z x x x y x z t z u u u u p

u u u u u u dz t x y z x x y z ζ

υρ??????????++++-++=?????????????

??非恒定项积分

00000x x x x z z z z z x x x

z z z u z dz u dz u u t t t t HU z u u t t t

ζ

ζζζζ

ζ====????=-+???????=-+?????

对流项积分

首先将时均流速分解为i i i u U u =+?，式中i U 为垂线平均流速，i u ?为时均流速i u 与垂线平均流速i U 的差值。

000

0x x x x x x

x x

z z z z z u u z dz u u dz u u u u x x x x

ζ

ζζ

ζ

==????=-+??????

()()(2)x x x x x x z z x x x x x x z x x x x xx x x

z u u dz U u U u dz

U U u u U u dz

HU U u u dz HU U ζ

ζ

ζ

ζ

β=+?+?=+??+?=+??=?

???

式中，0

1x x z xx

x x

u u dz HU U ζ

β??=+

?，是由于流速沿垂线分布不均匀而引入的

修正系数，类似于水力学中的动量修正系数，其数值一般在 1.02—1.05，可以近似取1.0，因此

00

x x x x x x

x x z z z z u u HU U z dz u u u u x x x

x

ζ

ζ

ζ==????=-+

?????

类似，可以得到

x y x y

x y x y z z z z u u HU U z dz u u u u y

y

y

y

ζ

ζ

ζ==????=

-

+

?????

00

x z

x z

x z

z z z z u u dz u u u u x ζ

ζ

==?=-??

上几式相加，并利用底部及自由表面运动学条件可得

0()()()x x x x y x z z x y

x x x u u u u u u u dz t x y z HU U HU HU U t x y

ζ

??????

+++????????

???=++

????

压力项积分

00

0z z z z z z p dz pdz p p x x x x ζ

ζζζ==????=-+??????（莱布尼茨公式） 将()p g z ρζ=-代入上式后化简得：

00z z p H dz gH gH gH x x x x

ζ

ζ

ρρρ????=+=????? 扩散项积分

02

22222

222

22[()]()cos y x x x a z t t w z u u HU HU u dz g C x y z x y ζ

ρννωβρ

?????++=+-+??????上式右边后两项分别为由底部创面阻力和表面风阻力引起的阻力项。式中，w C 为无因次风应力系数；a ρ为空气密度；ω为风速；β为风向与x 方向的夹角。

最后运动方程写成张量形式为

22i j

i

i

t j

i

j

HU U HU HU gH g

t

x x x ?ν????+++=????

2. 差分格式的稳定性与收敛性 两种误差

舍入误差：ε=有限精度的计算机上的解-差分方程的精确解（稳定性） 离散误差=偏微分方程的精确解-差分方程的精确解（收敛性） （1） 稳定性分析 误差ε也满足差分方程。

求解稳定，则要求

1

1n i n

i

εε+≤

V on Neumann （冯.诺依曼）稳定性分析

将某一时刻分布在网格点上的误差按Fourier 级数展开，然后考察下一时刻各网格点上误差的Fourier 分量是衰减还是增长，以判断差分方程是否稳定。

用一维热传导方程作为模型方程

22T T t x

α??=?? 差分显式格式：

1112

(2)()n n n n n

i i i i i T T T T T t x α++---+=?? 假设误差随时间按指数函数的方式增长或衰减，即随时间按指数函数变化。

/2

1

(,)m

N ik x at m x t e e ε==∑

将其代入差分方程得：

122

41sin ()2

n i m n i k x t G x εαε+??=-=? 称为放大因子 解不等式，即1G ≤，得：

2

1

()2t

S x α?=≤? （2） 收敛性分析

收敛性是指当网格点空间趋于零时，差分方程的解无限接近于偏微分

方程的解。

可以证明，当网格变细，并且1/2S ≤时，有限差分方程的解收敛于给定的扩散方程的精确解。

由于收敛性问题的讨论在理论上证明较为困难（微分方程较复杂时），关于收敛性问题比稳定性问题复杂得多，所以在此给出更具实用意义的定理，Lax 等价定理，即，对于一个与线性偏微分方程相容的适定的初值问题的差分格式，稳定性是差分方程解收敛于微分方程的充分必要条件。也就是说对一适定的线性初值问题，相容性加稳定性等价于收敛性

3. 多维问题的常用差分格式 以二维扩散方程为例

2222()u u u

v t x y

???=+??? （1）交替方向隐式格式(ADI)

基本思想是将差分计算分成两步：第一步在一个方向是隐式的，而在另一个方向上是显式的；第二步则是两个方向交换一下，即在第一个方向上为显式，而在第二个方向上为隐式。由于只在一个方向上隐式，求解时形成的方程组是三对角方程组，所以求解大为简化。 （2）时间分裂格式

基本思想是将多维问题分解为几个一维问题。

由taylor 展开式得：

()2

12

,,2

,,2244422,224224,,22222,1212211n

n

n n j k j k j k j k n

n

n j k

j k j k n

j k u u u u t t t t u u u u u u t t x

y x x y y t t o t x y νννν+??????=+?+?+??? ? ???????????

?????=++?+++?+???

? ???????????????

??=+?+?+? ??????

??? 略去高阶无穷小得

22

1,22,11n

n j k j k

u t t x x νν+??????=+?+? ????????? 分别令

()()*,,1*,,11n

j k yy j k

n j k

xx j k

u t u u

t u

νν+=+??=+??

显然这相当于解二个一维问题

2222,u u u u t x t y

νν????==????

麦克斯韦方程组的几种推导方法的比较

麦克斯韦方程组的几种推导方法及其比较 摘要：介绍麦克斯韦方程组的几种推导方法。从经典、能量守恒、拉格朗日方程的 方面推导得出现有的麦克思维方程组，从侧面说明了麦克斯韦的普遍适用性和有其他一些普遍存在的定理定律的等价性。通过分析三种方法的优缺点，从而加深对麦克斯韦方程组的物理意义的理解，培养科学求真的探索精神。 关键词：拉格朗日方程、麦克思维方程组、能量守恒定律

目录 引言： (4) 1_用经典方法推导麦克斯韦方程组的方法 (4) 1.1 第一方程式的推导 (4) 1.2第二方程式的推导 (5) 1.3第三方程式的推导 (6) 1.4第四方程式的推导 (7) 2_从电磁场能量和能流形式推导麦克斯韦方程组 (8) 3_用拉格朗日方程推导麦克斯韦方程组的方法。 (10) 4_三种方法的比较 (14) 4.1经典方法的优势 (14) 4.2能量方法推导的优缺点 (14) 4.3拉格朗日方程推导的特点 (15) 结束语： (15) 参考文献： (15)

引言： 麦克斯韦方程组是电磁理论的基本方程，在电磁学中有很重要的地位，在与很多工业领域有很多应用。关于它的推导建立，有我们熟知的经典方法，还有后来的根据拉格朗日方程等分析力学方法推导，以及由能量守恒的方法推导等诸多方法。下面我们来一一推导证明 1_用经典方法推导麦克斯韦方程组的方法 1.1 第一方程式的推导 电荷的库仑定律： F =0ε41πr r q q 3 ' 此电荷的场强为： E =0ε41πr r q 3 对电荷的场强沿着球面求面积分，得到： ? S dS E =∑0εi Q =? V 1 dV ρε 电场强度通过面元d S 的通量为： dS E ? =Ecos θds= 2 04r Q πεcos θds 。 θ是d S 与E 的夹角，cos θds/2r 位球面的立体角元。所以包裹电荷的闭合曲面和球面的积分是相同的。由于对电荷的场强求面积分只与包裹着的电荷有关系，所以积分的面没有关系。 又因为电荷的体密度的定义： ρ=V q 根据斯托克斯公式可以把面积分化成散度的体积分：

真空中的麦克斯韦方程组的推导

真空中的麦克斯韦方程组的推导 一、电磁学的基本定律与定理 电荷：正负电荷同性相斥，异性相吸 1、库仑定律：真空点电荷之间相互作用力 122014r q q F e r πε= 电场：我们假定电荷与电荷之间的相互作用是通过场来传递的。 电场是一种物质 电场强度：反应了电场力的性质 F E q = （定义式，任何情况下都成立） 对于真空中的点电荷Q 产生的电场有 2 014r Q E e r πε= （只适合于真空中的点电荷） 电场线：世上本来没有电场线，有好事者发明它，它是一种形象描述电场而引进的假想的曲线，它的密度代表电场强度的大小，它的切线方向代表电场的方向。 电场强度：等于垂直于电场方向单位面积的电场线的条数，代表着电场线的密度 dN E dS ⊥ = 电场强度E ??? 大小：电场线密度方向：正电荷受力的方向 2、高斯定理：电通量与电荷的关系的定理 电通量：S =E dS Φ? ，通过某一曲面S 的电场线的条数 如果该曲面为闭合的曲面，则有 q E dS εΦ==? 由库仑定律可以推导高斯定理，

法拉弟电磁感应定律：变化的磁场产生电场 d d B dS dt dt ξΦ=-=-? 电荷守恒定律 q j dS t ?=-?? 下面我们来总结一下得到的定理定律 1、库仑定律可推出与高斯定理和安培环路定理：因此库仑定律可以由高斯定理 和安培环路定理取代 000 ()()q E dS E dV dV E ρρεεε=??=??=??? 2、静电场环路定理：0()00E dl E dS E =???=???=?? 由于毕奥萨伐尔定律可以推导出磁场的安培环路定理和高斯定理，因此毕奥萨伐尔定律的内容可以由安培环路定理和高斯定理取代 3、磁场的安培环路定理00B dl I B j μμ=???=? 4、磁场高斯定理0=0B dS B =??? 5、法拉弟电磁感应定律 d d B B dS E dl B dS E dt dt t ξ?=-?=-???=-???? 6、电荷守恒定律 q j dS j t t ρ??=-??=-???

麦克斯韦方程组的推导及说明

13-6麦克斯韦方程组 关于静电场和稳恒磁场的基本规律，可总结归纳成以下四条基本定理： 静电场的高斯定理： 静电场的环路定理： 稳恒磁场的高斯定理： 磁场的安培环路定理： 上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变化电场和变化磁场并不适用。 麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念： 1.麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系，即 上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。 2.麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环 路定理在真空或介质中的表示形式，即 上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。综合上述两点可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体。这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。 在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可激发电场，变化磁场也可激发电场，则在一般情况下，空间任一点的电场强度应该表示为 又由于，稳恒电流可激发磁场，变化电场也可激发磁场，则 一般情况下，空间任一点的磁感强度应该表示为 因此，在一般情况下，电磁场的基本规律中，应该既包含稳恒电、磁场的规律，如方程组（1），也包含变化电磁场的规律，

根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场，而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场。因此，电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。变化电磁场的规律是： 1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。通过场中任何封闭曲面的电位 移通量等于零，故有： 2.电场的环路定理由本节公式（2）已知，涡旋电场是非保守场，满足的环路定理是 3.磁场的高斯定理变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。因此，磁场的高斯定理仍适用，即 4.磁场的安培环路定理由本节公式（3）已知，变化的电场和它所激发的磁场满足的环路定理为 在变化电磁场的上述规律中，电场和磁场成为不可分割的一个整体。 将两种电、磁场的规律合并在一起，就得到电磁场的基本规律，称之为麦克斯韦方程组，表示如下 上述四个方程式称为麦克斯韦方程组的积分形式。 将麦克斯韦方程组的积分形式用高等数学中的方法可变换为微分形式。微分形式的方程组如下

2021年麦克斯韦方程组的推导及说明

13-6 麦克斯韦方程组 欧阳光明（2021.03.07） 关于静电场和稳恒磁场的基本规律，可总结归纳成以下四条基本定理： 静电场的高斯定理： 静电场的环路定理： 稳恒磁场的高斯定理： 磁场的安培环路定理： 上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变化电场和变化磁场并不适用。 麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念： 1. 麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系，即 上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。 2. 麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培 环路定理在真空或介质中的表示形式，即 上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。综合上述两点可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体。这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。 在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可激发电场，变化磁场也可激发电场，则在一般情况下，空间任一点的电场强度应该表

示为 又由于，稳恒电流可激发磁场，变化电场也可激发磁场，则一般情况下，空间任一点的磁感强度应该表示为 因此，在一般情况下，电磁场的基本规律中，应该既包含稳恒电、磁场的规律，如方程组（1），也包含变化电磁场的规律， 根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场，而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场。因此，电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。变化电磁场的规律是： 1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。通过场中任何封闭曲面的电 位移通量等于零，故有： 2.电场的环路定理由本节公式（2）已知，涡旋电场是非保守场，满足的环路定理是 3.磁场的高斯定理变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。因此，磁场的高斯定理仍适用，即 4.磁场的安培环路定理由本节公式（3）已知，变化的电场和它所激发的磁场满足的环路定理为 在变化电磁场的上述规律中，电场和磁场成为不可分割的一个整体。 将两种电、磁场的规律合并在一起，就得到电磁场的基本规律，称之为麦克斯韦方程组，表示如下 上述四个方程式称为麦克斯韦方程组的积分形式。 将麦克斯韦方程组的积分形式用高等数学中的方法可变换为微分形式。微分形式的方程组如下 上面四个方程可逐一说明如下：在电磁场中任一点处（1）电位移的散度等于该点处自由电荷的体密度； （2）电场强度的旋度等于该点处磁感强度变化率的负值；（3）磁场强度的旋度等于该点处传导电流密度与位移电

麦克斯韦方程组的几种推导方法的比较

麦克斯韦方程组得几种推导方法及其比较 摘要:介绍麦克斯韦方程组得几种推导方法。从经典、能量守恒、拉格朗日方程得方 面推导得出现有得麦克思维方程组,从侧面说明了麦克斯韦得普遍适用性与有其她一些普遍存在得定理定律得等价性。通过分析三种方法得优缺点,从而加深对麦克斯韦方程组得物理意义得理解,培养科学求真得探索精神。 关键词:拉格朗日方程、麦克思维方程组、能量守恒定律 目录 引言: (1) 1_用经典方法推导麦克斯韦方程组得方法 (2) 1、1 第一方程式得推导 (2) 1、2第二方程式得推导 (3) 1、3第三方程式得推导 (3) 1、4第四方程式得推导 (5) 2_从电磁场能量与能流形式推导麦克斯韦方程组 (6) 3_用拉格朗日方程推导麦克斯韦方程组得方法。 (8) 4_三种方法得比较 (11) 4、1经典方法得优势 (11) 4、2能量方法推导得优缺点 (12) 4、3拉格朗日方程推导得特点 (12) 结束语: (13) 参考文献: (13) 引言: 麦克斯韦方程组就是电磁理论得基本方程,在电磁学中有很重要得地位,在与很多工业领域有很多应用。关于它得推导建立,有我们熟知得经典方法,还有后来得根据拉格朗日方程等分析力学方法推导,以及由能量守恒得方法推导等诸多方法。下面我们来一一推导证明

1_用经典方法推导麦克斯韦方程组得方法 1、1 第一方程式得推导 电荷得库仑定律: F =0ε41πr r q q 3 ' 此电荷得场强为: E =0ε41πr r q 3 对电荷得场强沿着球面求面积分,得到: ?S dS E =∑0εi Q =?V 01dV ρε 电场强度通过面元d S 得通量为: dS E ? =Ecos θds=204r Q πεcos θds 。 θ就是d S 与E 得夹角,cos θds/2r 位球面得立体角元。所以包裹电荷得闭合曲面 与球面得积分就是相同得。由于对电荷得场强求面积分只与包裹着得电荷有关系,所以积分得面没有关系。 又因为电荷得体密度得定义: ρ=V q 根据斯托克斯公式可以把面积分化成散度得体积分: ???V dV E =ρV/0ε 得到: 0/ερ=??E 等效都就是在真空下得方程式,如果在介质下得束缚电荷密度p ρ,那么: E ??=(ρ+p ρ)/0ε。定义电位移矢量: D =0ε E +P

麦克斯韦方程组的推导及说明

13-6 麦克斯韦方程组 关于静电场和稳恒磁场的基本规律，可总结归纳成以下四条基本定理： 静电场的高斯定理： 静电场的环路定理： 稳恒磁场的高斯定理： 磁场的安培环路定理： 上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变化电场和变化磁场并不适用。 麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念： 1. 麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法 拉第电磁感应定律得出了二者的关系，即 上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。 2. 麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环路定理在真空或介质中的表示形式，即 上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。 综合上述两点可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体。这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可激发电场，变化磁场也可激发电场，则在 一般情况下，空间任一点的电场强度应该表示为 又由于，稳恒电流可激发磁场，变化电场也可激发磁场，则一般情况下，空间 任一点的磁感强度应该表示为 因此，在一般情况下，电磁场的基本规律中，应该既包含稳恒电、磁场的规律，如方程组（1），也包含变化电磁场的规律， 根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场，而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场。因此，电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。变化电磁场的规律是： 1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系 列的闭合曲线。通过场中任何封闭曲面的电位移通量等于零，故有： 2.电场的环路定理由本节公式（2）已知，涡旋电场是非保守场，满足的环路定理是 3.磁场的高斯定理变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。因此，磁场的高斯定理仍适用，即