复数问题总结

复数概念及公式总结

数系的扩充和复数概念和公式总结 1.虚数单位i: 它的平方等于-1，即21 i=- 2.i与－1的关系:i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i 3.i的周期性：i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1 4.复数的定义：形如(,) a bi a b R +∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即(,) =+∈ z a bi a b R 5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,) +∈，当且仅当b=0时， a bi a b R 复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C. 6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小 7.复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 数 （1）实轴上的点都表示实数 （2）虚轴上的点都表示纯虚数 （3）原点对应的有序实数对为(0，0) 设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 8．复数z1与z2的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9.复数z1与z2的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

(完整版)小升初：名词变复数规则小结

其它名词复数的规则变化 1) 以y结尾的专有名词，或元音字母+y 结尾的名词变复数时，直接加s变复数： 如： two Marys ；the Henrys； monkey---monkeys；holiday---holidays； 比较： storey ---storeys；story---stories； 2) 以o 结尾的名词，变复数时： a. 加s，如： photo---photos；piano---pianos；radio---radios；zoo---zoos； b. 加es，如：potato--potatoes ；tomato—tomatoes c. 均可， 如：zero---zeros / zeroes 3) 以f或fe 结尾的名词变复数时： a. 加s，如：belief---beliefs；roof---roofs； safe---safes；gulf---gulfs； b. 去f,fe 加ves，如：half---halves；knife---knives；leaf---leaves；wolf---wolves；wife---wives；life---lives；thief---thieves； c. 均可,如：handkerchief---handkerchiefs / handkerchieves

1）不规则复数如： child---children；foot---feet；tooth---teeth； mouse---mice；man---men；woman---women； 注意：与 man 和 woman构成的合成词，其复数形式也是 -men 和-women。 如： an Englishman，two Englishmen. 但German不是合成词，故复数形式为Germans； Bowman是姓，其复数是the Bowmans。 2）单复同形如： deer，sheep，fish，Chinese，Japanese li，jin，yuan，two li，three mu，four jin 但除人民币元、角、分外，美元、英镑、法郎等都有复数形式。 如:a dollar, two dollars; a meter, two meters 3）集体名词，以单数形式出现，但实为复数。 如： people、 police、 cattle 等本身就是复数， 不能说 a people，a police，a cattle，但可以说a person，a policeman，a head of cattle,the English，the British，the French，the Chinese，the Japanese，the Swiss 等名词，表示国民总称时，作复数用。 如： The Chinese are industries and brave. 中国人民是勤劳勇敢的。

(完整版)名词单复数总结,推荐文档

小学英语不规则名词单复数 一般情况下，直接加s，如：apple-apples, pig-pigs, book-books等。 一、以f 和fe结尾的单词规则：变f或fe为“ves”。 单数复数词义单数复数词义wolf wolves狼wife wives妻子，太太half halves半个knife knives小刀，刀子calf calves小牛life lives（个人的）性命sheaf sheaves捆，束，扎thief thieves贼 leaf leaves叶子 二、结尾是o的单数词，无生命的，加s就成复数词 单数复数词义单数复数词义piano pianos钢琴photo photos照片，相片radio radios收音机bamboo bamboos竹子 zoo zoos动物园kangaroo kangaroos 袋鼠 三、结尾是o的有生命力的词，一般加“es”口诀：黑人英雄吃西红柿马铃薯。 单数复数词义单数复数词义negro negroes黑人hero heroes英雄 tomato tomatoes西红柿potato potatoes土豆，马铃薯mango mangoes芒果 四、以s，x，ch，sh结尾的词名词变复数时，要在词尾加es 单数复数词义单数复数词义 bus buses公共汽车class classes班级 box boxes盒子fox foxes狐狸 match matches火柴，比赛lunch lunches午餐 brush brushes画笔，刷子 五、以man结尾表示一类人的，变man为men 单数复数词义单数复数词义man men男人woman women女人，妇女policeman policemen警察fireman firemen消防员

《复数》知识点总结

《复数》知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

《复数》知识点总结 1、复数的概念 形如(,)a bi a b R +∈的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部. (1)纯虚数：对于复数z a bi =+，当00a b =≠且时，叫做纯虚数. (2)两个复数相等：,()a bi c di a b c d R ++∈、、、相等的充要条件是=a c b d =且. (3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴. (4)复数的模：复数z a bi =+可以用复平面内的点Z(,)a b 表示，向量OZ 的模 叫做复数z a bi =+的模，表示为：||||z a bi =+ （5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数. 2、复数的四则运算 （1）加减运算：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±++； （2）乘法运算：()()()()a bi c di ac bd ad bc i +?+=-++； （3）除法运算：2222 ()()()()(0)ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++； （4）i 的幂运算：41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-.()n Z ∈ （5）22||||z z z z == 3、 规律方法总结 （1）对于复数(,)z a bi a b R =+∈必须强调,a b 均为实数，方可得出实部为a ，虚部为b （2）复数(,)z a bi a b R =+∈是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数

复数概念及公式总结教学内容

复数概念及公式总结

数系的扩充和复数概念 1.虚数单位i:它的平方等于-1，即21 i=- 2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i； 3. i的周期性： 4.复数的定义：形如(,) +∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成 a bi a b R 的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即 z a bi a b R =+∈ (,) 5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,) +∈，当且仅当b=0时，复数 a bi a b R a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N___Z___Q___R___C. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较当两个复数不全是实数时不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴：

点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 （1）实轴上的点都表示____________ （2）虚轴上的点都表示____________ （3）原点对应的有序实数对为(0，0) 设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 8．复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . 9.复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 10.复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 11.复数z 1与z 2的除法运算律： 12.共轭复数： 通常记复数z 的共轭复数为z 。例如z =3＋5i 与z =3－5i 互为共轭复数 13. 共轭复数的性质 （1）实数的共轭复数仍然是它本身 （2）22Z Z Z Z ==? （3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称 14.复数的两种几何意义： 15几个常用结论 （1）()i i 212=+，（2）()i i 212-=- （3）i i -=1， （4） i i i =-+11 16.复数的模： （5） i i i -=+-11 复数bi a Z +=的模22b a Z += （6）()()22b a bi a bi a +=-+ 点),(b a Z 向量OZ 一一对应 一一对应 一一对应 复数()R b a bi a Z ∈+=,

英语语法 名词单复数总结

名词与名词词组——重点是名词的“数” 名词的数(number)——单数(singular number)和复数(plural number)

英语名词复数的思维规律，及与汉语名词复数的区别 名词的可数与不可数这一区分反映了中国人与英美人在看待客观物质世界时所持的两种不同的世界观。在本栏目接下来的几期内容中,笔者就要和大家一起来探讨“老外”看待物质世界的四大思维规律,帮助大家从英语思维的高度来理解并区分英文名词的可数与不可数。下面笔者首先来分析第一个规律:不可分隔的物质与可分隔的个体物品。该规律包含四个方面的内容,本期先着重讨论第一、二方面的内容。 物质名词表示个体物品时转化为可数名词 在英文中,一个名词若表示无法分隔的物质,或者说被分隔之后各个部分与原先整体没有本质差别,我们就无法用数目来计量它,只能将其看作一个整体,此时该名词是不可数名词。但如果在特定的语境中,这个名词表示能够分隔的个体物品,则转为可数名词。比如说我们每时每刻都需要呼吸的“空气”(air),是无法被分隔成个体的,或者说被分隔之后的各个部分的空气与原先整体的空气没有本质差别,依然还是空气,我们无法用数目1、2、3等来计量它,因而air表示“空气”时是不可

数的。下面举几个例句来说明: 1. Let’s go out and get some fresh air. 让我们出去呼吸些新鲜空气。 在上面这个例子中,air前面没有加不定冠词an修饰,因为air在这个语境中用作不可数名词,不能被不定冠词修饰。值得注意的是,air除了表示大家熟悉的“空气”这个意思之外,还可以指人的外表、神态、气质,或者指周围环境的氛围、气氛。此时,air表示某一种特定的神态、气质或氛围、气氛,是可以数的,因而成了一个可数名词,前面需要加不定冠词an修饰,比如: 2. There was an air of tension at the meeting.会上的气氛有点紧张。 再如下面这个例子,air指人所具有的某种具体的气质、神态: 3. John set about his task with an air of quiet confidence. 约翰悠然自信地开始了自己的工作。 当air表示“空气”这样的物质名词时是不可数的,这从我们汉语的思维角度也能理解,因为在汉语思维里,“空气”也是无法用具体数目去计量的。不过,还有很多物质名词在汉语里是可以用数目计量的,但在英文里是不可数的,这时就需要我们理解英语思维是如何看待这些物质名词的。比如,让我们中国人难以理解的是“纸”(paper)在英文里为什么是不可数的,因为我们汉语里可以说“一张纸”“两张纸”。那么英文思维又是如何看待“纸”是不可数的呢?原来,在英文思维中,“纸”被看做是一种可以无限分割的物质,比如大家拿出一张A4的纸,将它裁成两半、四半、八半等,你可以一直这样无限裁下去,但它还是一张张纸——虽然大小不同,但每张被裁的小纸片与原先A4大小的纸张在物质材料方面是没有区别的。从这个角度来看,“纸”就是不可数的。因此,“两张纸”在英语里不可以直接说“two papers”,而要说成“two pieces of paper”或“two sheets of paper”,比如下面的例句: 4. We send to China little pieces of paper for their goods. 中国人生产产品给美国人用,而我们只给了他们一些小纸片。 这是美国“股神”巴菲特日前批评美国高负债的政策时说的一句话。这里的“小纸片”指的是美国国债。不过,当把paper作为个体的物品,比如作为“报纸”“论文”或“考卷”来讲时,则是可数的。这时我们就可以说“two papers”,但不表示“两张纸”,而是表示“两份报纸”“两篇论文”或“两张考卷”,比如: 5. a. I have a term paper to write on weekend. 我周末有一篇学期论文要写。 b. I bought a paper to read news. 为了了解新闻,我买了一份报纸。 在a句中,paper的意思是“论文”,为可数名词;在b句中,paper相当于newspaper,表示“报纸”,为可数名词。 从以上例子我们看到,随着词义不同,paper的可数性也不同。与此类似的名词还有glass,该词表示“玻璃”时是不可数名词,但表示“玻璃杯”时则是可数名词,请看例句: 6. a. He broke a glass. 他打碎了一个玻璃杯。 b. He broke a piece of glass. 他打碎了一块玻璃。

英语单复数总结含习题及答案

1. 基本变化规则 ①一般在名词后加s,变成复数。如boy→boys, pen→pens等。 ②以s, x, sh, ch结尾的,在后面加es。如class→classes, fox→foxes,box→boxes, brush→brushes, watch→watches。但stomach(胃)的复数为stomachs。 ③“以辅音字母+y”结尾的,y变为i,然后再加es。如baby→babies, family→families, country→countries, city→cities.像以元音字母加y结尾则直接加s,例如boy→boys, toy→toys, way→ways。另外以y结尾的专有名词,则直接加s变复数,如the Henrys(亨利一家)。 ④以o结尾的名词,除有生命的“两人两物”Negro(黑人), hero, tomato, potato在后面加es外,一般是在后面直接加s。如kilo→kilos, photo→photos, zoo→zoos, radio→radios, piano→pianos, video→videos. ⑤以f或fe结尾的名词英语中共有100多个,其中直接加s的有90多个,但这些绝大多数不常用,如, belief→beliefs,roof→roofs等;把f或fe改为v, 再加es的只有十几个,但13个都是常用的名词,如half→halves, knife→knives, leaf →leaves, wolf→wolves, wife→wives, life→lives, thief→thieves 等 2. 不规则变化 名词单数变复数的不规则变化要注意以下几点: ①含man的名词,一般变man为men。如woman→wom en, policeman→policemen, Englishman→Englishmen。但German→Germans除外。 ②将oo改为ee的有foot→feet, tooth→teeth, goose→geese等。

(完整版)复数知识点归纳

精心整理 页脚内容 复数 【知识梳理】 一、复数的基本概念 1、虚数单位的性质 i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四则运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x = 2（1①a z =（2例题：注意：三、共轭复数 bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==? bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_ b a z z +=? 四、复数的几何意义 1、复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

精心整理 页脚内容 2、复数的几何意义 复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 相等的向量表示同一个复数 例题：（1）当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点 ①位于第三象限；②位于直线x y =上 （2）复平面内)6,2(=→AB ，已知→→AB CD //，求→ CD 对应的复数 3、复数的模： 向量OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z = 若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：已知i z +=2，求i z +-1的值 五、复数的运算 （1）运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=± ②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+?+=? ③2221)()()()())(())(d c i a d bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-?+-+=++= （2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出 的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－. 六、常用结论 （1）i ，12-=i ，i i -=3，14=i 求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次 例题：=675i （2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=- （3）1)2321(3=±-i ，1)2 321(3-=±i 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )

复数知识点精心总结

复数知识点 考试内容： 复数的概念． 复数的加法和减法． 复数的乘法和除法． 数系的扩充． 考试要求： （1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义． （2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算． （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想． 1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=. ⑵复数及其相关概念： ① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）； ② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ； ③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ； ④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i. ⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示. ⑶两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：①若21,z z 为复数，则ο1若021φz z +，则21z z -φ.（×）[21,z z 为复数，而不是实数] ο2若21z z π，则021πz z -.（√） ②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-， 0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立） 2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=. 其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00φr r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程.

高中数学复数的知识点总结

高中数学复数的知识点总结 高中数学复数的知识点总结 定义 数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。形如z=a+bi的数称为复数(complexnumber)，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1(a，b是任意实数)我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部(realpart)记作Rez=a实数b称为复数z的虚部(imaginarypart)记作Imz=b.已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。 运算法则 加法法则 复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。 即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 乘法法则 复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2=1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.

除法法则 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算， 即(a+bi)/(c+di) =[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)] =[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2). 开方法则 若z^n=r(cosθ+isinθ)，则 z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n](k=0，1，2，3……n-1) 复数中的难点 (1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明. (2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练. (3)复数的辐角主值的求法. (4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的.模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.

英语名词单数变复数口诀总结

英语名词单数变复数口诀 (一) 规则变化 名词单数变复数，直接加-s 占多数； s, x, z, ch, sh 来结尾，直接加上-es； 词尾是f 或fe，加-s 之前先变ve； 辅母+ y 在词尾，把y 变i 再加-es； 词尾字母若是o，常用三个已足够， 要加-es 请记好，hero, tomato, potato。 (二) 不规则变化 男人女人a 变e，鹅足牙oo 变ee； 老鼠虱婆也好记，ous 变ic； 孩子加上ren，鱼鹿绵羊不用变。 注：1．以s，sh，ch，x等结尾的词加“es”，如bus→buses，peach→peaches box → boxes class → classes 2.以辅音字母＋y结尾的词，变y为i加es，如family→families ， library →libraries 以元音字母＋y结尾的名词变复数时，直接加s变复数，如monkey→monkeys，toy→toys 3．以o 结尾的名词变复数时加es的名词有：口诀：英雄爱吃西红柿、土豆和芒果。 hero →heroes tomato→tomatoes potato→potatoes mango→mangoes 4．以f或fe结尾的名词变复数时： a）加s的名词有： belief→beliefs roof→roofs等 b）去掉f，fe 加ves的名词有： 口诀：小偷的妻子用树叶做小刀杀了一匹狼把它劈成了两半挂在了架子上，从此过上幸福生活。 thief→thieves wife→wives leaf→leaves knife→knives wolf→wolves half→halves shelf→ shelves life→lives 5. 名词复数的不规则变化需要特别记忆。例如：man →men, woman →women, goose →geese, foot →feet, tooth →teeth, mouse →mice,child →children, fish →fish, deer (鹿) →deer, sheep →sheep 等。 6.表示“某国人”的名词复数形式变化可通过歌诀记忆：中日不变英法变，其余-s 加后面。例如：Chinese →Chinese, Japanese →Japanese；Englishman →Englishmen, Englishwoman →Englishwomen, Frenchman →Frenchmen, Frenchwoman →Frenchwomen；American →Americans, Rusian →Rusians, Arab →Arabs, German →Germans 等。 7. 不可数名词一般只有单数形式，没有复数形式。有些不可数名词可借助单位词表示一定的数量。例如：a cup of tea 一杯茶, two piece of paper 两张纸, an item of news 一则新闻。

复数知识点总结

复数知识点总结 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

《复数》知识点总结 1、复数的概念 形如(,)a bi a b R +∈的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部. (1)纯虚数：对于复数z a bi =+，当00a b =≠且时，叫做纯虚数. (2)两个复数相等：,()a bi c di a b c d R ++∈、、、相等的充要条件是=a c b d =且. (3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴. (4)复数的模：复数z a bi =+可以用复平面内的点Z(,)a b 表示，向量OZ 的模 叫做复数z a bi =+的模，表示为：||||z a bi =+ （5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数. 2、复数的四则运算 （1）加减运算：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±++； （2）乘法运算：()()()()a bi c di ac bd ad bc i +?+=-++； （3）除法运算：2222()()()()(0)ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++； （4）i 的幂运算：41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-.()n Z ∈ （5）22||||z z z z == 3、 规律方法总结 （1）对于复数(,)z a bi a b R =+∈必须强调,a b 均为实数，方可得出实部为a ，虚部为b

名词单数变复数总结版

名词单数变复数口诀 ?(一)规则变化 ?名词单数变复数，直接加-s 占多数； ?book-books; pen-pens; apple-apples ?s, x, z, ch, sh 来结尾，直接加上-es； ?dress-dresses; box-boxes; buzz-buzzes; watch-watches; brush-brushes 词尾是f 或fe，加-s 之前先变ve； 记住10个把f或fe变成v再加es的单词； Wife life knife leaf 树叶thief half self shelf架子loaf面包wolf狼但是，roof-roofs屋顶，除外 leaf-leaves; wife-wives; knife-knives 辅音+ y 在词尾，把y 变i 再加-es； ?study-studies; baby-babies; city-cities 元音+y在词尾, 只加s就足够 ?boy – boys ; day – days; monkey – monkeys ?词尾字母若是o，常用三个已足够， 要加-es 请记好，hero, tomato, potato。 ?美国黑人和英雄爱吃土豆和西红柿。 辅音+o 词尾+es 元音+o 词尾+s ?negro-negroes; hero-heroes; potato-potatoes; tomato-tomatoes ?其余o结尾的词加s, photo-photos; piano-pianos ? ? ?(二) 不规则变化 ?男人女人a 变e，鹅足牙oo 变ee； ?man-men; woman-women; goose-geese; foot-feet; tooth-teeth ?老鼠虱子也好记，ous 变ic； ?mouse-mice; louse-lice ?孩子加上ren，鱼鹿绵羊不用变 ?child-children; fish; deer; sheep ?this---these(这些) ?that -- those(那些) ⑶单复数同形：people Chinese Japanese fish deer鹿sheep 绵羊 ⑷某国人的复数：Chinese Japanese 后面不加s Englishman Frenchman 把man变为men 其他各国人以an,ian结尾的均直接加s,如Americans German 除外，German-Germans III. 名词的所有格： 名词在句中表示所有关系的语法形式叫做名词所有格。所有格分两种：一是名词词尾加’s 构成，二是由介词of加名词构成。前者多表示有生命的东西，后者多表示无生命的东西。

复数知识点总结

复数 一、复数的概念 1. 虚数单位i （1） 它的平方等于1-，即 2 i 1=-； （2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律． （3） i 的乘方： 4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式． 2. 复数的定义 形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数， ,a b 分别叫做复数的实部与虚部 3. 复数相等 i i a b c d +=+，即,a c b d ==，那么这两个复数相等 4. 共轭复数 i z a b =+时，i z a b =-． 性质：z z =；2121z z z z ±=±；1121z z z z ?=?； );0()(22121 ≠=z z z z z 二、复平面及复数的坐标表示 1. 复平面 在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴． 2. 复数的坐标表示 点(,)Z a b 3. 复数的向量表示 向量OZ ． 4. 复数的模 在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模， 记作z ．由定义知，z =． 三、复数的运算

1. 加法 (i )(i )()(a b c d a c b d +++=+++． 几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b = ，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d = ，则 12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++ ． 因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释． 2. 减法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-． 几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b = ，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d = ，则 12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==-- ． 12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模． 3. 乘法 ()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±. 4. 乘方 m n m n z z z +?= ()m n mn z z = 1212 ()n n n z z z z ?=? 5. 除法 ()()()()()()()()22a bi c di ac bd bc ad i a bi a bi c di c di c di c di c d +-++-++÷+= ==++-+. 6. 复数运算的常用结论 （1） 222(i)2i a b a b ab +=-+， 22(i)(i)a b a b a b +-=+ （2） 2(1i)2i +=， 2(1i)2i -=- （3） 1i i 1i +=-， 1i i 1i -=-+ （4） 1212z z z z ±=±， 1212z z z z ?=?， 1122 z z z z ??= ???，z z =． （5） 2z z z ?=， z z = （6） 121212z z z z z z -≤+≤+ （7） 1212z z z z ?=?，1212z z z z ?=?，n n z z = 四、复数的平方根与立方根

【高中数学】《复数》考试知识点

【高中数学】《复数》考试知识点 一、选择题 1．已知复数z 满足 121i z i i +?=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1 B ．2 C D 【答案】D 【解析】 【分析】 按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】 21(1)21(1)(1)2 i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i i z i i z i z i i i i i +-∴?=-??=-?==--=---， 12||z i z ∴=-+?== 故选：D 【点睛】 本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题. 2．已知复数21i z = -+，则（ ） A ．2z = B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为1- D ．z 的共轭复数为1i + 【答案】C 【解析】 分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----= ==---+--， 则z =，选项A 错误； z 的实部为1-，选项B 错误； z 的虚部为1-，选项C 正确； z 的共轭复数为1z i =-+，选项D 错误. 本题选择C 选项. 点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( ) A B C ．3 D ．5 【答案】B 【解析】 (2)2z i i i i =-=-==B ． 4．a 为正实数，i 为虚数单位， 2a i i +=，则a=（ ） A ．2 B C D ．1 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 ||220,a i a a a i +==∴=>∴=Q ，选B. 5．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值. 【详解】 因为342z i ++≤， 故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离， 故该距离的最大值为222AB +==， 最小值为22AB -=，故4M m -=. 故选：B. 【点睛】

名词单复数总结

名词单复数总结 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998

小学英语不规则名词单复数一般情况下，直接加s，如：apple-apples, pig-pigs, book-books等。

二、单数句变复数句

把单数的句子成复数的句子很简单：变法是把能变成复数的词变成复数，但a或an要把去掉。特殊疑问词、形容词、国家及地点通常不变。 1、人称代词由单数变复数： 主格 I we you you he/she/it they 宾格 me us you you him/her/it them 例1 She is a girl . 例2 I like her. We like them. 2、指示代词由单数变复数： 单数 this that 复数 these those 例1 This is a book . These are（some）books . 例2 Is that a pen Are those（any）pens 3、物主代词由单数变复数： 1、名词性物主代词：mine ours，yours yours，his/hers/its theirs 2、形容词性物主代词：my our，your your，his/her/its their 例1 The book is mine. The books are ours. 例2 This is her pen. These are their pens. 4、一般情况下，形容词性物主代词在单数句变复数句时不变。 例1 This is my book . These are my books . 5、当句中形容词性物主代词与句中的主语一致时，形容词性物主代词 应随主语人称的变化而变化，仍要保持一致。 例1 He likes his bike. They like their bikes.

高中数学复数专题知识点整理和总结人教版

【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22 ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+，当c d a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解 【例4】 若复数 ()312a i z a R i +=∈-（i 为虚数单位），