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李子奈计量经济学课后习题答案

第一章绪论

（一）基本知识类题型

1-1．什么是计量经济学？

1-2．简述当代计量经济学发展的动向。

1-3．计量经济学方法与一般经济数学方法有什么区别？

1-4．为什么说计量经济学是经济理论、数学和经济统计学的结合？试述三者之关系。

1-5．为什么说计量经济学是一门经济学科？它在经济学科体系中的作用和地位是什么？

1-6．计量经济学的研究的对象和内容是什么？计量经济学模型研究的经济关系有哪两个基
本特征？

1-7．试结合一个具体经济问题说明建立与应用计量经济学模型的主要步骤。

1-8．建立计量经济学模型的基本思想是什么？

1-9．计量经济学模型主要有哪些应用领域？各自的原理是什么？

1-10．试分别举出五个时间序列数据和横截面数据，并说明时间序列数据和横截面数据有和
异同？

1-11．试解释单方程模型和联立方程模型的概念，并举例说明两者之间的联系与区别。

1-12．模型的检验包括几个方面？其具体含义是什么？

1-13．常用的样本数据有哪些？

1-14．计量经济模型中为何要包括随机误差项？简述随机误差项形成的原因。

1-15．估计量和估计值有何区别？哪些类型的关系式不存在估计问题？

1-16．经济数据在计量经济分析中的作用是什么？

1-17．下列假想模型是否属于揭示因果关系的计量经济学模型？为什么？

⑴ 其中为第t年农村居民储蓄增加额（亿元）、为第年城镇
居民可支配收入总额（亿元）。
St..1120012..tStRtt

⑵ 其中S为第（St...144320030..Rtt.11.t）年底农村居民储蓄余额（亿元）、R为
第t年农村居民纯收入总额（亿元）。
t

1-18．指出下列假想模型中的错误，并说明理由：

（1）RSRIIVtt...83000024112...

其中，为第年社会消费品零售总额（亿元），为第t年居民收入总额（亿元）（城镇
居民可支配收入总额与农村居民纯收入总额之和），为第t年全社会固定资产投资总额
RSttRItIVt

（亿元）。

（2） ttYC2.1180..

其中，C 、Y分别是城镇居民消费支出和可支配收入。

（3）tttLKYln28.0ln62.115.1ln...

其中，Y、K、分别是工业总产值、工业生产资金和职工人数。 L

1-19．下列假想的计量经济模型是否合理，为什么？

（1） .......iGDPGDPi

其中，是第i产业的国内生产总值。 )3,2,1(GDPi.i

（2）......21SS

其中，、分别为农村居民和城镇居民年末储蓄存款余额。 1S2S

（3）........tttLIY21

其中，Y、I、分别为建筑业产值、建筑业固定资产投资和职工人数。 L

（4）......ttPY

其中，Y、分别为居民耐用消费品支出和耐用消费品物价指数

。 P

（5） ...)(财政支出财政收入f

（6） ...),,,(21XXKLf煤炭产量

其中，、LK分别为煤炭工业职工人数和固定资产原值，、分别为发电量和钢铁产
量。
1X2X

1-20．模型参数对模型有什么意义？

习题参考答案

第一章绪论

1-1．什么是计量经济学？

答：计量经济学是经济学的一个分支学科，是以揭示经济活动中客观存在的数量关系为内容
的分支学科，是由经济学、统计学和数学三者结合而成的交叉学科。

1-2．答：计量经济学自20年代末、30年代初形成以来，无论在技术方法还是在应用方面
发展都十分迅速，尤其是经过50年代的发展阶段和60年代的扩张阶段，使其在经济学科占
据重要的地位，主要表现在：①在西方大多数大学和学院中，计量经济学的讲授已成为经济
学课程表中有权威的一部分；②从1969~2003年诺贝尔经济学奖的XX位获奖者中有XX位
是与研究和应用计量经济学有关；著名经济学家、诺贝尔经济学奖获得者萨缪尔森甚至说：
“第二次世界大战后的经济学是计量经济学的时代”。③计量经济学方法与其他经济数学方
法结合应用得到发展；④计量经济学方法从主要用于经济预测转向经济理论假设和政策假设
的检验；⑤计量经济学模型的应用从传统的领域转向新的领域，如货币、工资、就业、福利、
国际贸易等；⑥计量经济学模型的规模不再是水平高低的衡量标准，人们更喜欢建立一些简
单的模型，从总量上、趋势上说明经济现象。

1-3．答：计量经济学方法揭示经济活动中各个因素之间的定量关系，用随机性的数学方程
加以描述；一般经济数学方法揭示经济活动中各个因素之间的理论关系，用确定性的数学方
程加以描述。

1-4．答：

1-5．答：从计量经济学的定义看，它是定量化的经济学；其次，从计量经济学在西方国家
经济学科中居于最重要的地位看，也是如此，尤其是从诺贝尔经济学奖设立之日起，已有多
人因直接或间接对计量经济学的创立和发展作出贡献而获得诺贝尔经济学奖；计量经济学与
数理统计学有严格的区别，它仅限于经济领域；从建立与应用计量经济学模型的全过程看，
不论是理论模型的设定还是样本数据的收集，都必须以对经济理论、对所研究的经济现象有
透彻的认识为基础。综上所述，计量经济学确实是一门经济学科。

1-6．计量经济学的研究的对象和内容是什么？计量经济学模型研究的经济关系有哪两个基
本特征？

答：计量经济学的研究对象是经济现象，是研究经济现象中的具体数量规律（或者说，计量
经济学是利用数学方法，根

据统计测定的经济数据，对反映经济现象本质的经济数量关系进
行研究）。计量经济学的内容大致包括两个方面：一是方法论，即计量经济学方法或理论计
量经济学；二是应用，即应用计量经济学；无论是理论计量经济学还是应用计量经济学，都
包括理论、方法和数据三种要素。

计量经济学模型研究的经济关系有两个基本特征：一是随机关系；二是因果关系。

1-7．答：

1-8．答：计量经济学方法，就是定量分析经济现象中各因素之间的因果关系。所以，第一
步，要根据经济理论分析所研究的经济现象，找出经济现象之间的因果关系及相互间的联系，
把问题作为被解释变量，把影响问题的主要因素作为解释变量，把非主要因素归入随机项；
第二步，要按照它们之间的行为关系选择适当的数学形式描述这些变量之间的关系，一般是
用一组数学上彼此独立、互不矛盾、完整有解的方程组表示。在建立理论模型的时，要求理
论模型在参数估计、模型检验的过程中不断得到修正，以便得到一个较好的、能够解释过去
的、反映客观经济规律的数学模型。此外，还可以通过散电图或模拟的方法，选择一个拟合
效果较好的数学模型。

1-9．答：计量经济学模型主要有以下几个方面的用途：①结构分析，即研究一个或几个经
济变量发生变化及结构参数的变动对其他变量以至整个经济系统产生何种的影响；其原理是
弹性分析、乘数分析与比较静力分析。②经济预测，即用其进行中短期经济的因果预测；其
原理是模拟历史，从已经发生的经济活动中找出变化规律；③政策评价，即利用计量经济模
型定量分析政策变量变化对经济系统运行的影响，是对不同政策执行情况的“模拟仿真”。
④检验与发展经济理论，即利用计量经济模型和实际统计资料实证分析某个理论假说的正确
与否；其原理是如果按照某种经济理论建立的计量经济模型可以很好地拟合实际观察数据，
则意味着该理论是符合客观事实的，否则则表明该理论不能说明客观事实。

1-10．答：时间序列数据的例子如：改革开放以来25年中的GDP、居民人均消费支出、人
均可支配收入、零售物价指数、固定资产投资等；横截面数据的例子如：2003年各省的GDP、
该年各工业部门的销售额、该年不同收入的城镇居民消费支出、该年不同城镇居民的可支配
收入、该年各省的固定资产投资等。这两类数据都是反映经济规律的经济现象的数量信息，
不同点：时间序列数据是含义、口径相同的同一指标按时间先后排列的统计数据列；而横截
面数据是一批发生在同一时间截面上

不同统计单元的相同统计指标组成的数据列。

1-11．答：如果模型系统只包含一个方程，即只研究单一的经济活动过程，揭示其因素之间

的单向因果关系，则称该模型为单方程模型；如果模型系统涉及到多个经济关系而需要构造
一个方程组，则称该模型为联立方程模型。二者之间有着密切联系，如：单方程模型是联立
方程模型的组成元素，而联立方程模型又是由若干个单方程模型有机组合而成。二者又有区
别，如：单方程模型都是随机方程，而联立方程模型中既有随机方程也又恒等方程。

1-12．答：模型的检验主要包括：经济意义检验、统计检验、计量经济学检验、模型的预测
检验。在经济意义检验中，需要检验模型是否符合经济意义，检验求得的参数估计值的符号
与大小是否与根据人们的经验和经济理论所拟订的期望值相符合；在统计检验中，需要检验
模型参数估计值的可靠性，即检验模型的统计学性质；在计量经济学检验中，需要检验模型
的计量经济学性质，包括随机扰动项的序列相关检验、异方差性检验、解释变量的多重共线
性检验等；模型的预测检验主要检验模型参数估计量的稳定性以及对样本容量变化时的灵敏
度，以确定所建立的模型是否可以用于样本观测值以外的范围。

1-13．答：常用的样本数据包括：时间序列数据、横截面数据、虚变量数据和面板数据。

1-14．答：由于客观经济现象的复杂性，以至于人们目前仍难以完全地透彻地了解它的全貌。
对于某一种经济现象而言，往往受到很多因素的影响，而人们在认识这种经济现象的时候，
只能从影响它的很多因素中选择一种或若干种来说明。这样就会有许多因素未被选上，这些
未被选上的因素必然也会影响所研究的经济现象。因此，由被选因素构成的数学模型与由全
部因素构成的数学模型去描述同一经济现象，必然会有出入。为使模型更加确切地说明客观
经济现象，所以有必要引入随机误差项。随机误差项形成的原因：①在解释变量中被忽略的
因素；②变量观测值的观测误差；③模型的关系误差或设定误差；④其他随机因素的影响。

1-15．答：

1-16．答：经济数据是通过对经济变量进行观测和统计得到的，它们反映经济活动相关方面
的水平和情况。从计量经济学的角度看，经济数据是计量经济分析的材料，或者说发现经济
规律的信息载体，对经济规律的实证研究起十分关键的作用。为此，要求经济数据须具备完
整性、准确性、可比性和一致性。

1-17．

1-18．

1-19．

1-20．

第二章经典单方程计量经济学模型

：一元线性回归模型

一、内容提要

本章介绍了回归分析的基本思想与基本方法。首先，本章从总体回归模型与总体回归
函数、样本回归模型与样本回归函数这两组概念开始，建立了回归分析的基本思想。总体回
归函数是对总体变量间关系的定量表述，由总体回归模型在若干基本假设下得到，但它只是
建立在理论之上，在现实中只能先从总体中抽取一个样本，获得样本回归函数，并用它对总
体回归函数做出统计推断。

本章的一个重点是如何获取线性的样本回归函数，主要涉及到普通最小二乘法（OLS）
的学习与掌握。同时，也介绍了极大似然估计法（ML）以及矩估计法（MM）。

本章的另一个重点是对样本回归函数能否代表总体回归函数进行统计推断，即进行所
谓的统计检验。统计检验包括两个方面，一是先检验样本回归函数与样本点的“拟合优度”，
第二是检验样本回归函数与总体回归函数的“接近”程度。后者又包括两个层次：第一，检
验解释变量对被解释变量是否存在着显著的线性影响关系，通过变量的t检验完成；第二，
检验回归函数与总体回归函数的“接近”程度，通过参数估计值的“区间检验”完成。

本章还有三方面的内容不容忽视。其一，若干基本假设。样本回归函数参数的估计以
及对参数估计量的统计性质的分析以及所进行的统计推断都是建立在这些基本假设之上的。
其二，参数估计量统计性质的分析，包括小样本性质与大样本性质，尤其是无偏性、有效性
与一致性构成了对样本估计量优劣的最主要的衡量准则。Goss-markov定理表明OLS估计量
是最佳线性无偏估计量。其三，运用样本回归函数进行预测，包括被解释变量条件均值与个
值的预测，以及预测置信区间的计算及其变化特征。

二、典型例题分析

例1、令kids表示一名妇女生育孩子的数目，educ表示该妇女接受过教育的年数。生
育率对教育年数的简单回归模型为

https://www.wendangku.net/doc/3a17291604.html,ckids10

（1）随机扰动项.包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？

（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。

解答：

（1）收入、年龄、家庭状况、政府的相关政策等也是影响生育率的重要的因素，在上
述简单回归模型中，它们被包含在了随机扰动项之中。有些因素可能与增长率水平相关，如
收入水平与教育水平往往呈正相关、年龄大小与教育水平呈负相关等。

（2）当归结在随机扰动项中的重要影响因素与模型中的教育水平educ相关时，上述回
归模型不能够揭示教育对生育

率在其他条件不变下的影响，因为这时出现解释变量与随机扰
动项相关的情形，基本假设4不满足。

例2．已知回归模型......NE
.
，式中E为某类公司一名新员工的起始薪金（元），
N为所受教育水平（年）。随机扰动项的分布未知，其他所有假设都满足。

（1）从直观及经济角度解释.和.。

（2）OLS估计量..和满足线性性、无偏性及有效性吗？简单陈述理由。 ..

（3）对参数的假设检验还能进行吗？简单陈述理由。

解答：

（1）N...
.
为接受过N年教育的员工的总体平均起始薪金。当N为零时，平均薪金
为.，因此表示没有接受过教育员工的平均起始薪金。.是每单位N变化所引起的E的
变化，即表示每多接受一年学校教育所对应的薪金增加值。

（2）OLS估计量..和仍满足线性性、无偏性及有效性，因为这些性质的的成立无需
随机扰动项
..
.的正态分布假设。

（3）如果t.
的分布未知，则所有的假设检验都是无效的。因为t检验与F检验是建立
在.的正态分布假设之上的。

例3、在例2中，如果被解释变量新员工起始薪金的计量单位由元改为100元，估计的
截距项与斜率项有无变化？如果解释变量所受教育水平的度量单位由年改为月，估计的截距
项与斜率项有无变化？

解答：

首先考察被解释变量度量单位变化的情形。以E*表示以百元为度量单位的薪金，则

........NEE100*

由此有如下新模型

)100/()100/()100/(*......NE

或 ****......NE

这里100/*...，100/*...。所以新的回归系数将为原始模型回归系数的1/100。

再考虑解释变量度量单位变化的情形。设N*为用月份表示的新员工受教育的时间长度，
则N*=12N，于是

............)12/*(NNE

或 ......*)12/(NE

可见，估计的截距项不变，而斜率项将为原回归系数的1/12。

例4、对没有截距项的一元回归模型

iiiXY....1

称之为过原点回归（regrission through the origin）。试证明

（1）如果通过相应的样本回归模型可得到通常的的正规方程组

..
.
.
00iiiXee

则可以得到1.
的两个不同的估计值： XY.1~.
， .......21
.
iiiXYX.。

（2）在基本假设0)(i..E下，与均为无偏估计量。 1~.
1
..

（3）拟合线通常不会经过均值点XY1
....),(YX，但拟合线则相反。 XY1~~..

（4）只有是1
..
1.
的OLS估计量。

解答：

（1）由第一个正规方程得 0..te

0)~(1...ttXY.

或 ...ttXY1~.

求解得 XY/~
1..

由第2个下规方程得 0).(1...tttXYX.

...21
.
tttXYX.

求解得 )/()(.21...tttXYX.

（2）对于XY/~
1..，求期望

11111)](){[1)](1[1)()~(
..
.
.
...
..
..
...
XXEnXEXXnEXXYEEtttt

这里用到了的非随机性。 tX

对于，求期望 )/()(.21...tttXYX.

)/().(21...tttXYXEE.
12212122)()1()()1(
)]([)1()()1(
...
..
...
...
....
....
ttttttttttttEXXXXXXEXYXEX

（3）要想拟合值通过点XY1
....
(
),(YX，X1
..
必须等于Y。但XXYXXttt
.
..21
..
，
通常不等于Y。这就意味着点),不太可能位于直线Y上。 X1
....

相反地，由于YX.1~.
，所以直线经过点XY1~...),(YX。

（4）OLS方法要求残差平方和最小

Min .....212).(tttXYeRSS.

关于求偏导得 1
..

0))(.(2.11
....
.
..tttXXYRSS.
.

即 0).(1...tttXYX.

.......21
.
iiiXYX.

可见是OLS估计量。 1
..

例5．假设模型为tttXY......
.
..
。给定n个观察值，，…，
，按如下步骤建立
),(11YX),(22YX),(nnYX的一个估计量：在散点图上把第1个点和第2个点连接起来
并计算该直线的斜率；同理继续，最终将第1个点和最后一个点连接起来并计算该条线的斜
率；最后对这些斜率取平均值，称之为，即.的估计值。

（1）画出散点图，给出的几何表示并推出代数表达式。 ..

（2）计算的期望值并对所做假设进行陈述。这个估计值是有偏的还是无偏的？解
释理由。
..

（3）证明为什么该估计值不如我们以前用OLS方法所获得的估计值，并做具体解释。

解答：

（1）散点图如下图所示。

（X2,Y2）

（Xn,Yn）

（X1,Y1）

首先计算每条直线的斜率并求平均斜率。连接和的直线斜率为
。由于共有－1条这样的直线，因此
),(11YX),(ttYX)/()(11XXYYtt..n

][
11.
211..
..
.
.
.
nttttXXYYn
.

（2）因为X非随机且0)(.tE.，因此

.
..
.
......
.
.
.
..
.
.....
.
.
.
][]
)()(
[][
1111111XXEXXXXEXXYYEttttttt

这意味着求和中的每一项都有期望值.，所以平均值也会有同样的期望值，则表明是无偏
的。

（3）根据高斯－马尔可夫定理，只有.的OLS估计量是最付佳线性无偏估计量，因此，
这里得到的的有效性不如..
.的OLS估计量，所以较差。

例6．对于人均存款与人均收入之间的关系式tttYS......使用美国36年的年度数
据得如下估计模型，括号内为标准差：

)011.0()105.151(
067.0105.384.
ttYS..

*
2R ＝0.538 023.199...

（1）.的经济解释是什么？

（2）.和.的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话，
你可以给出可能的原因吗？

（3）对于拟合优度你有什么看法吗？

（4）检验是否每一个回归系数都与零显著不同（在1%水平下）。同时对零假设和备择假
设、检验统计值、其分布和自由度以及拒绝零假设的标准进行陈述。你的结论是什么？

解答：

（1）.为收入的边际

储蓄倾向，表示人均收入每增加1美元时人均储蓄的预期平均变
化量。

（2）由于收入为零时，家庭仍会有支出，可预期零收入时的平均储蓄为负，因此.符
号应为负。储蓄是收入的一部分，且会随着收入的增加而增加，因此预期.的符号为正。
实际的回归式中，.的符号为正，与预期的一致。但截距项为负，与预期不符。这可能与
由于模型的错误设定形造成的。如家庭的人口数可能影响家庭的储蓄形为，省略该变量将对
截距项的估计产生影响；另一种可能就是线性设定可能不正确。

（3）拟合优度刻画解释变量对被解释变量变化的解释能力。模型中53.8%的拟合优度，
表明收入的变化可以解释储蓄中53.8 %的变动。

（4）检验单个参数采用t检验，零假设为参数为零，备择假设为参数不为零。双变量
情形下在零假设下t 分布的自由度为n-2=36-2=34。由t分布表知，双侧1%下的临界值位于
2.750与2.704之间。斜率项计算的t值为0.067/0.011=6.09，截距项计算的t值为
384.105/151.105=2.54。可见斜率项计算的t 值大于临界值，截距项小于临界值，因此拒绝
斜率项为零的假设，但不拒绝截距项为零的假设。

三、习题

（一）基本知识类题型

2-1．解释下列概念：

1) 总体回归函数

2) 样本回归函数

3) 随机的总体回归函数

4) 线性回归模型

5) 随机误差项（ui）和残差项（ei）

6) 条件期望

7) 非条件期望

8) 回归系数或回归参数

9) 回归系数的估计量

10) 最小平方法

11) 最大似然法

12) 估计量的标准差

13) 总离差平方和

14) 回归平方和

15) 残差平方和

16) 协方差

17) 拟合优度检验

18) t检验

19) F检验

2-2．判断正误并说明理由：

1) 随机误差项ui和残差项ei是一回事

2) 总体回归函数给出了对应于每一个自变量的因变量的值

3) 线性回归模型意味着变量是线性的

4) 在线性回归模型中，解释变量是原因，被解释变量是结果

5) 随机变量的条件均值与非条件均值是一回事

2-3．回答下列问题：

1) 线性回归模型有哪些基本假设？违背基本假设的计量经济学模型是否就不可估计？

2) 总体方差与参数估计误差的区别与联系。

3) 随机误差项ui和残差项ei的区别与联系。

4) 根据最小二乘原理，所估计的模型已经使得拟合误差达到最小，为什么还要讨论模型的
拟合优度问题？

5) 为什么用决定系数R2评价拟合优度，而不用残差平方和作为评价标准？

6) R2检验与F检验的区别与联系。

7) 回归分析与相关分析的区别与联系。

8) 最小二乘法和最大似然法的基本原理各是什么？说明它们有何区别？

9) 为什么要进行解释变量的显著性检验？

10) 是否任何两个变量之间的关系，都可以用两变量线性回归模型进行分析？

2-2．下列方程哪些是正确的？哪些是错误的？为什么？

⑴ yxttt.....12,,,.

⑵ yxtttt.......12,,,.

⑶ yxtttt......,,,...12.

⑷ ...,,,yxtttt.......12.

⑸ yxttt.....,,,..12.

⑹ ...,,,yxttt.....12.

⑺ yxtttt.......,,,...12.

⑻ ....,,,yxtttt.......12.

其中带“＾”者表示“估计值”。

2-3．下表列出若干对自变量与因变量。对每一对变量，你认为它们之间的关系如何？是正
的、负的、还是无法确定？并说明理由。

因变量

自变量

GNP

利率

个人储蓄

利率

小麦产出

降雨量

美国国防开支

前苏联国防开支

棒球明星本垒打的次数

其年薪

总统声誉

任职时间

学生计量经济学成绩

其统计学成绩

日本汽车的进口量

美国人均国民收入

（二）基本证明与问答类题型

2-4．对于一元线性回归模型，试证明：

（1）iixyE....)(

（2） 2)(..iyD

（3）0),(.jiyyCov ji.

2-5．参数估计量的无偏性和有效性的含义是什么？从参数估计量的无偏性和有效性证明过
程说明，为什么说满足基本假设的计量经济学模型的普通最小二乘参数估计量才具有无偏性
和有效性？

2-6．对于过原点回归模型iiiuXY..1.
，试证明

..
.
221)(
iuXVar
.
.

2-7．试证明：

（1），从而：0..ie0.e

（2） 0..iixe

（3）；即残差与的估计值之积的和为零。 0.
..iiYeieiY

2-8．为什么在一元线性方程中，最小二乘估计量与极大似然估计量的表达式是一致的？证
明：σ2的ML估计量为..
.
.
niin12~
21.. ，并且是有偏的。

2-9．熟悉t统计量的计算方法和查表判断。

2-10．证明：；其中R22)(yxrR.2是一元线性回归模型的判定系数，是y与x的相关系
数。
yxr

2-11．试根据置信区间的概念解释t检验的概率意义，即证明：对于显著性水平α，当
2
.tti.
100（1-α）%的置信区间不包含0。

2-12．线性回归模型

yxtttt.......12,,,.

的0均值假设是否可以表示为
101nttn
.
..
.？为什么？

2-13．现代投资分析的特征线涉及如下回归方程：
tmtturr...10..；其中：表示股票
或债券的收益率；rm表示有价证券的收益率（用市场指数表示，如标准普尔500指数）；t
表示时间。在投资分析中，β1被称为债券的安全系数β，是用来度量市场的风险程度的，
即市场的发展对公司的财产有何影响。依据1956~1976年间240个月的数据，Fogler和
Ganpathy得到I

BM股票的回归方程；市场指数是在芝加哥大学建立的市场有价证券指数：

mttrr0598.17264.0..
.
4710.02.r

(0.3001) (0.0728)

要求：（1）解释回归参数的意义；（2）如何解释r2？（3）安全系数β>1的证券称为不稳定
证券，建立适当的零假设及备选假设，并用t检验进行检验（α=5%）。

2-14．已知模型iiiuxY.....，证明：估计量α可以表示为：iiniyWxn)1(
1
....
..
这
里
.
.
.
.
2iiixxW

2-15．已知两个量X和Y的一组观察值（xi，yi），i=1，2，…，n。

证明：Y的真实值和拟合值有共同的均值。

2-16．一个消费分析者论证了消费函数iibYaC..是无用的，因为散点图上的点（，）
不在直线上。他还注意到，有时YiCiYiibYaC..i上升但Ci下降。因此他下结论：Ci不是Yi
的函数。请你评价他的论据（这里Ci是消费，Yi是收入）。

2-17．证明：仅当R2=1时，y对x的线性回归的斜率估计量等于x对y的线性回归的斜率估计
量的倒数。

2-18．证明：相关系数的另一个表达式是：
yxSSr
.
.. 其中为一元线性回归模型一次项
系数的估计值，S
..
x、Sy分别为样本标准差。

2-19．对于经济计量模型：YiiiuXbb...10 ，其OLS估计参数1b特性在下列情况下会
受到什么影响：（1）观测值数目n增加；（2）Xi各观测值差额增加；（3）Xi各观测值近似相
等；（4）E（u2）=0 。

2-20．假定有如下的回归结果：，其中，Y表示美国的咖啡的消费
量（每天每人消费的杯数），X表示咖啡的零售价格（美元/杯），t表示时间。
ttXY4795.06911.2..
.

要求：

（1）这是一个时间序列回归还是横截面序列回归？做出回归线；

（2）如何解释截距的意义，它有经济含义吗？如何解释斜率？

（3）能否求出真实的总体回归函数？

（4）根据需求的价格弹性定义：弹性=斜率×（X/Y），依据上述回归结果，你能求出对咖
啡需求的价格弹性吗？如果不能，计算此弹性还需要其他什么信息？

（三）基本计算类题型

2-21．下面数据是对X和Y的观察值得到的。

ΣYi=1110； ΣXi=1680； ΣXiYi=204200

ΣXi2=315400； ΣYi2=133300

假定满足所有的古典线性回归模型的假设，要求：（1）b1和b2？（2）b1和b2的标准差？（3）
r2？（4）对B1、B2分别建立95%的置信区间？利用置信区间法，你可以接受零假设：B2=0
吗？

2-22．假设王先生估计消费函数（用模型iiiubYaC...表示），并获得下列结果：

iiYC81.015..
.
，n=19

（3.1） (18.7) R2=0.98 这里括号里的数字表示相应参数的T比率值。

要求：（1）利用T比率值检验假设：b=0（取显著水平为5%）；（2）确定参数估计量的标准
方差；（3）构造b的95%的置信区间，这

个区间包括0吗？

2-23．下表给出了每周家庭的消费支出Y（美元）与每周的家庭的收入X（美元）的数据。

每周收入（X）

每周消费支出（Y）

80

55，60，65，70，75

100

65，70，74，80，85，88

120

79，84，90，94，98

140

80，93，95，103，108，113，115

160

102，107，110，116，118，125

180

110，115，120，130，135，140

200

120，136，140，144，145

220

135，137，140，152，157，160，162

240

137，145，155，165，175，189

260

150，152，175，178，180，185，191

要求：

（1）对每一收入水平，计算平均的消费支出，E（Y︱Xi），即条件期望值；

（2）以收入为横轴、消费支出为纵轴作散点图；

（3）在散点图中，做出（1）中的条件均值点；

（4）你认为X与Y之间、X与Y的均值之间的关系如何？

（5）写出其总体回归函数及样本回归函数；总体回归函数是线性的还是非线性的？

2-24．根据上题中给出的数据，对每一个X值，随机抽取一个Y值，结果如下：

Y

70

65

90

95

110

115

120

140

155

150

X

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

要求：

（1）以Y为纵轴、X为横轴作图，并说明Y与X之间是怎样的关系？

（2）求样本回归函数，并按要求写出计算步骤；

（3）在同一个图中，做出样本回归函数及从上题中得到的总体回归函数；比较二者相同吗？
为什么？

2-25．下表给出了1990~1996年间的CPI指数与S&P500指数。

年份

CPI

S&P500指数

1990

130.7

334.59

1991

136.2

376.18

1992

140.3

415.74

1993

144.5

451.41

1994

148.2

460.33

1995

152.4

541.64

1996

159.6

670.83

资料来源：总统经济报告，1997，CPI指数见表B-60，第380页；S&P指数见表B-93，第406页。

要求：（1）以CPI指数为横轴、S&P指数为纵轴做图；

（2）你认为CPI指数与S&P指数之间关系如何？

（3）考虑下面的回归模型：tttuCPIBBPS...21)&(，根据表中的数据运用OLS
估计上述方程，并解释你的结果；你的结果有经济意义吗？

2-26．下表给出了美国30所知名学校的MBA学生1994年基本年薪（ASP）、GPA分数（从
1~4共四个等级）、GMAT分数以及每年学费的数据。

学校

ASP/美元

GPA

GMAT

学费/美元

Harvard

102630

3.4

650

23894

Stanford

100800

3.3

665

21189

Columbian

100480

3.3

640

21400

Dartmouth

95410

3.4

660

21225

Wharton

89930

3.4

650

21050

Northwestern

84640

3.3

640

20634

Chicago

83210

3.3

650

21656

MIT

80500

3.5

650

21690

Virginia

74280

3.2

643

17839

UCLA

74010

3.5

640

14496

Berkeley

71970

3.2

647

14361

Cornell

71970

3.2

630

20400

NUY

70660

3.2

630

20276

Duke

70490

3.3

623

21910

Carnegie Mellon

59890

3.2

635

20600

North Carolina

69880

3.2

621

10132

Michigan

67820

3.2

630

20960

Texas

61890

3.3

625

8580

Indiana

58520

3.2

615

14036

Purdue

54720

3.2

581

9556

Case Western

57200

3.1

591

17600

Georgetown

69830

3.2

619

19584

Michigan State

41820

3.2

590

16057

Penn State

49120

3.2

580

11400

Southern Methodist

60910

3.1

600

18034

Tulane

44080

3.1

600

19550

Illinois

47130

3.2

616

12628

Lowa

41620

3.2

590

9361

Minnesota

48250

3.2

600

12618

Washington

44140

3.3

617

11436

要求：（1）用双变量回归模型分析GPA是否对ASP有影响？

（2）用合适的回归模型分析GMAT分数是否与ASP有关？

（3）每年的学费与ASP有关吗？你是如何知道的？如果两变量之间正相关，是否意
味着进到最高费用的商业学校是有利的；

（4）你同意高学费的商业学校意味着高质量的MBA成绩吗？为什么？

2-27．从某工业部门抽取10个生产单位进行调查，得到下表所列的数据：

单位序号

年产量（万吨）y

工作人员数（千人）x

1

210.8

7.062

2

210.1

7.031

3

211.5

7.018

4

208.9

6.991

5

207.4

6.974

6

205.3

7.953

7

198.8

6.927

8

192.1

6.302

9

183.2

6.021

10

176.8

5.310

要求：假定年产量与工作人员数之间存在线性关系，试用经典回归估计该工业部门的生产函

数及边际劳动生产率。

2-28．下表给出了1988年9个工业国的名义利率（Y）与通货膨胀率（X）的数据：

国家

Y（%）

X（%）

澳大利亚

11.9

7.7

加拿大

9.4

4.0

法国

7.5

3.1

德国

4.0

1.6

意大利

11.3

4.8

墨西哥

66.3

51.0

瑞典

2.2

2.0

英国

10.3

6.8

美国

7.6

4.4

资料来源：原始数据来自国际货币基金组织出版的《国际金融统计》

要求：

（1）以利率为纵轴、通货膨胀率为横轴做图；

（2）用OSL进行回归分析，写出求解步骤；

（3）如果实际利率不变，则名义利率与通货膨胀率的关系如何？

（四）自我综合练习类题型

2-29．综合练习：自己选择研究对象，收集样本

数据（利用我国公开发表的统计资料），应
用计量经济学软件（建议使用Eviews3.1）完成建立计量经济学模型的全过程，并写出详细
的研究报告。（通过练习，能够熟练应用计量经济学软件Eviews3.1中的最小二乘法）

四、习题参考答案

2-1．答：

⑴总体回归函数是指在给定下的iXY的分布的总体均值与有函数关系。 iX

⑵样本回归函数指对应于某个给定的X的Y值的一个样本而建立的回归函数。

⑶ 随机的总体回归函数指含有随机误差项的总体回归函数，形如：

iiiuXY...21..

⑷线性回归模型指对参数.为线性的回归，即.只以它的1次方出现，对X可以是或
不是线性的。

⑸随机误差项也称误差项，是一个随机变量，针对总体回归函数而言。

⑹残差项是一随机变量，针对样本回归函数而言。

⑺条件期望又称条件均值，指X取特定值时的iXY的期望值。

⑼回归系数（或回归参数）指1.
、2.等未知但却是固定的参数。

⑽回归系数的估计量指用、等表示的用已知样本所提供的信息去估计出来的量。
.
1.
.
2.

⒀估计量的标准差指度量一个变量变化大小的标准。

⒁总离差平方和用TSS表示，用以度量被解释变量的总变动。

⒂回归平方和用ESS表示，用以度量由解释变量变化引起的被解释变量的变化。

⒃残差平方和用RSS表示，用以度量实际值与拟合值之间的差异，是由除解释变量以
外的其他因素引起的。

⒄协方差用Cov（X，Y）表示，是用来度量X、Y二个变量同时变化的统计量。

2-2．答：错；错；错；错；错。（理由见本章其他习题答案）

2-3．答：

⑴线性回归模型的基本假设（实际是针对普通最小二乘法的基本假设）是：解释变量是
确定性变量，而且解释变量之间互不相关；随机误差项具有0均值和同方差；随机误差项在
不同样本点之间是独立的，不存在序列相关；随机误差项与解释变量之间不相关；随机误差
项服从0均值、同方差的正态分布。违背基本假设的计量经济学模型还是可以估计的，只是
不能使用普通最小二乘法进行估计。

⑸判定系数
TSSRSSTSSESSR...12，含义为由解释变量引起的被解释变量的变化占被解
释变量总变化的比重，用来判定回归直线拟合的优劣。该值越大说明拟合得越好。

⑽不是。

2-8．证明：

由于 .
..21
.
tttXYX
.，因此

)()()().(122221ttttttttttXVarXXYXXVarXYXVarVar.......
.
...
.
......
.

..
......222222222)(
)(
)(ttttttXXXVarXX.
.
.
..

2-9．证明：

⑴根据定义得知，

)(
)()(
21212121XYnXnnYnXnYXYYYeiiiiiii
....
....
......
..............

XY21.....

0...

ie

从而使得：0...
neei

证毕。

⑵

..
00)1(
)(
(
)()(
)..())(.(
..
.
..
..
......
......
.......
.
....
...
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiXenXeXeXeXeYXXeXYYXXYeYXXeYYXXYYXYXYXXYXXYYXe.

证毕。

⑶

0)(.
212121
.
..
....
..
....
iiiiiiiiieXneXeeXeYe
..
....

证毕。

2-14．答：线性回归模型：tttxy......中的0均值假设不可以表示为：0)E(2.u101nttn
.
..
.，因为前者表示取完所的可能的样本组合后的平均状态，而后者只是一个样本的
平均值。

2-16．证明：

.
.
.
.
.
.
....niiniiiniixyxxnyxy1211
..
.
..
..

.....
.....
.....
niiiniininiiiiiniiiyxxyyxyyxyx11111)(.......

iniininiiiniiniiyxxnyxxxny)1(.
1211121.
..
.
.
.
..
.
.
....
.
.
.
.

证毕。

2-17．证明：

....和.满足正规方程..0)..(
1
.....
niiixy..

iixy.......

0).(
1
.....
iniiyy即表明Y的真实值与拟合值有共同的均值。

证毕。

2-18．答：他的论据是错误的。原因是他忽略了随机误差项，这个随机误差项可取正
值和负值，但是，将与的关系表达为
iuY.0)E(.iuiCiYiiC...是不准确的，而是一个
平均关系。

2-19．证明：

设：,...10iixy....

,...10iiyx....

由于：..
.
..
.....2222222)((
1)(
iiiiiiiiyyxxyxyxR
.
..
.
..
..

线性回归的斜率估计量：
1221.1/)(
1.
.
.......
.
iiiiiiyyxxyx
....
..

证毕。

2-20．证明：

∵ ..
.
.
2xyx
.
..
. 又∵
12
.
..nxSx
.
，
12
.
...
nySy

∴ryxyxnynxxyxSSyx..
.
....
.
.
.
..
2222211
..
..
.
.
.
..
.

证毕。

2-22．解：

⑴这是一个横截面序列回归。（图略）

⑵截距2.6911表示咖啡零售价在时刻为每磅0美元时，美国平均消费量为每天每人
2.6911杯，这个数字没有经济意义；斜率-0.4795表示咖啡零售价与消费量负相关，在t时刻，
价格上升1美元/磅，则平均每天每人消费量减少0.4795杯；
t

⑶不能；

⑷不能；在同一条需求曲线上不同点的价格弹性不同，若要求出，须给出具体的X值
及与之对应的Y值。

2-23．解：

⑴168...
nXXi.，111...
nYYi

177201111681011101681111680204200)())((
.
........
.........YXXYXYYXYYXXiiiiii

331601681681031540010102)2()(
222222
.
....
....
....
.
..
XXXXXXXXXiiii.又

5344.03316017720)(
))((
22..
.
..
...
.
XXYYXXiii.

22.211685344.011121......XY..

⑵
8)..2(
210).(
2
.
22222.....
.
.
.
.
.
.iiiiiiiYYYYYYne
.

iiXY5344.022.21....

81.62016805344.022.2123154005344.05344.022.2122.21102042005344.02111022.212133300)25344.0222.212()..2(2122221222
.
.......
..........
.............iiiiiiiiiiXXYXYYYYYY....
60.77881.620.2....

81.73331601031540060.77)(
)(2221.
.
.
.
.
...
.
XXnXVarii.
.，5913.881.73)(1...se

0023.03316060.77)(222....ixVar.
.，0484.00023.0)(2...se

⑶.
.
.
..222)(
1YYerii，

10090123210133300)(
,81.62022
....
.
.
.
YYeii
.
.
又

9385.01009081.62012....r

⑷%95)306.2(..tp.，自由度为8

306.25913.822.21306.21.
.
...
.
，解得：110315.414085.1..为..的95%的置信区间。

同理，306.20484.05344.0306.22.
.
...
.
，解得：646.04227.02...为2.的95%的置
信区间。

由于02..不在2.的置信区间内，故拒绝零假设：02..。

2-24．解：

⑴由于参数估计量.的T比率值的绝对值为18.7且明显大于2，故拒绝零假设
0:0..H，从而.在统计上是显著的；

⑵参数.的估计量的标准方差为15/3.1=4.84，参数.的估计量的标准方差为
0.81/18.7=0.043；

⑶由⑵的结果，.的95%的置信区间为：

043.0)2(81.0(975.0..nt，091.081.0()043.0)2(81.0975.0....nt，，显
然这个区间不包括0。
)091.081.0.

2-25．解：

⑴65)80(..iXYE 77)100(..iXYE

89)120(..iXYE 101)140(..iXYE

113)160(..iXYE 125)180(..iXYE

137)200(..iXYE 149)220(..iXYE

161)240(..iXYE 173)260(..iXYE

第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型

一、内容提要

本章将一元回归模型拓展到了多元回归模型，其基本的建模思想与建模方法与一元的
情形相同。主要内容仍然包括模型的基本假定、模型的估计、模型的检验以及模型在预测方
面的应用等方面。只不过为了多元建模的需要，在基本假设方面以及检验方面有所扩充。

本章仍重点介绍了多元线性回归模型的基本假设、估计方法以及检验程序。与一元回
归分析相比，多元回归分析的基本假设中引入了多个解释变量间不存在（完全）多重共线性
这一假设；在检验部分，一方面引入了修正的可决系数，另一方面引入了对多个解释变量是
否对被解释变量有显著线性影响关系的联合性F检验，并讨论了F检验与拟合优度检验的
内在联系。

本章的另一个重点是将线性回归模型拓展到非线性回归模型，主要学习非线性模型如
何转化为线性回归模型的常见类型与方法。这里需要注意各回归参数的具体经济含义。

本章第三个学习重点是关于模型的约束性检验问题，包括参数的线性约束与非线性约
束检验。参数的线性约束检验包括对参数线性约束的检验、对模型增加或减少解释变量的检
验以及参数的稳定性检验三方面的内容，其中参数稳定性检验又包括邹氏参数稳定性检验与
邹氏预测检验两种类型的检验。检验都是以F检验为主要检验工具，以受约束模型与无约
束模型是否有显著差异为检验基点。参数的非线性约束检验主要包括最大似然比检验、沃尔
德检验与拉格朗日乘数检验

。它们仍以估计无约束模型与受约束模型为基础，但以最大似然
原理进行估计，且都适用于大样本情形，都以约束条件个数为自由度的分布为检验统计
量的分布特征。非线性约束检验中的拉格朗日乘数检验在后面的章节中多次使用。
2.

二、典型例题分析

例1．某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为

fedumedusibsedu210.0131.0094.036.10....

R2=0.214

式中，edu为劳动力受教育年数，sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu与fedu分
别为母亲与父亲受到教育的年数。问

（1）sibs是否具有预期的影响？为什么？若medu与fedu保持不变，为了使预测的受教
育水平减少一年，需要sibs增加多少？

（2）请对medu的系数给予适当的解释。

（3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数为12年，另一
个的父母受教育的年数为16年，则两人受教育的年数预期相差多少？

解答：

（1）预期sibs对劳动者受教育的年数有影响。因此在收入及支出预算约束一定的条件
下，子女越多的家庭，每个孩子接受教育的时间会越短。

根据多元回归模型偏回归系数的含义，sibs前的参数估计值-0.094表明，在其他条件不
变的情况下，每增加1个兄弟姐妹，受教育年数会减少0.094年，因此，要减少1年受教育
的时间，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6个。

（2）medu的系数表示当兄弟姐妹数与父亲受教育的年数保持不变时，母亲每增加1
年受教育的机会，其子女作为劳动者就会预期增加0.131年的教育机会。

（3）首先计算两人受教育的年数分别为

10.36+0.131.12+0.210.12=14.452

10.36+0.131.16+0.210.16=15.816

因此，两人的受教育年限的差别为15.816-14.452=1.364

例2．以企业研发支出（R&D）占销售额的比重为被解释变量（Y），以企业销售额（X1）
与利润占销售额的比重（X2）为解释变量，一个有32容量的样本企业的估计结果如下：

099.0)046.0()22.0()37.1(
05.0)log(32.0472.0221
.
...
RXXY

其中括号中为系数估计值的标准差。

（1）解释log(X1)的系数。如果X1增加10%，估计Y会变化多少个百分点？这在经济
上是一个很大的影响吗？

（2）针对R&D强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验它不虽X1而变化的假
设。分别在5%和10%的显著性水平上进行这个检验。

（3）利润占销售额的比重X2对R&D强度Y是否在统计上有显著的影响？

解答：

（1）log(x1)的系数表明在其他条件不变时，log(x1)变化1个单位，Y变化的单位数，
即.Y=0.32.log(X1).0.32(.X1/X1)=0.32.100%，换言之，当企业销售X1增长100%时，企
业研发支

出占销售额的比重Y会增加0.32个百分点。由此，如果X1增加10%，Y会增加
0.032个百分点。这在经济上不是一个较大的影响。

（2）针对备择假设H1：01..，检验原假设H0：01..。易知计算的t统计量的值
为t=0.32/0.22=1.468。在5%的显著性水平下，自由度为32-3=29的t 分布的临界值为1.699（单侧），计算的t值小于该临界值，所以不拒绝原假设。意味着R&D强度不随销售额的增
加而变化。在10%的显著性水平下，t分布的临界值为1.311，计算的t 值小于该值，拒绝
原假设，意味着R&D强度随销售额的增加而增加。

（3）对X2，参数估计值的t统计值为0.05/0.46=1.087，它比在10%的显著性水平下的
临界值还小，因此可以认为它对Y在统计上没有显著的影响。

例3．下表为有关经批准的私人住房单位及其决定因素的4个模型的估计量和相关统计
值（括号内为p-值）（如果某项为空，则意味着模型中没有此变量）。数据为美国40个城市
的数据。模型如下：

....
.....
....
.....
statetaxlocaltaxunemppopchangincomevaluedensityghou76543210sin

式中housing——实际颁发的建筑许可证数量，density——每平方英里的人口密度，value—
—自由房屋的均值（单位：百美元），income——平均家庭的收入（单位：千美元），popchang——1980~1992年的人口增长百分比，unemp——失业率，localtax——人均交纳的地方税，
statetax——人均缴纳的州税

变量

模型A

模型B

模型C

模型D

C

813 (0.74)

-392 (0.81)

-1279 (0.34)

-973 (0.44)

Density

0.075 (0.43)

0.062 (0.32)

0.042 (0.47)

Value

-0.855 (0.13)

-0.873 (0.11)

-0.994 (0.06)

-0.778 (0.07)

Income

110.41 (0.14)

133.03 (0.04)

125.71 (0.05)

116.60 (0.06)

Popchang

26.77 (0.11)

29.19 (0.06)

29.41 (0.001)

24.86 (0.08)

Unemp

-76.55 (0.48)

Localtax

-0.061 (0.95)

Statetax

-1.006 (0.40)

-1.004 (0.37)

RSS

4.763e+7

4.843e+7

4.962e+7

5.038e+7

R2

0.349

0.338

0.322

0.312

2..

1.488e+6

1.424e+6

1.418e+6

1.399e+6

AIC

1.776e+6

1.634e+6

1.593e+6

1.538e+6

（1）检验模型A中的每一个回归系数在10%水平下是否为零（括号中的值为双边备择p-
值）。根据检验结果，你认为应该把变量保留在模型中还是去掉？

（2）在模型A中，在10%水平下检验联合假设H0：.i =0(i=1,5,6,7)。说明被择假设，计
算检验统计值，说明其在零假设条件下的分布，拒绝或接受零假设的标准。说明你的
结论。

（3）哪个模型是“最优的”？解释你的选择标准。

（4）说明最优模型中有哪些系数的符号

是“错误的”。说明你的预期符号并解释原因。确认
其是否为正确符号。

解答：

（1）直接给出了P-值，所以没有必要计算t-统计值以及查t分布表。根据题意，如果
p-值<0.10,则我们拒绝参数为零的原假设。

由于表中所有参数的p-值都超过了10%，所以没有系数是显著不为零的。但由此去掉所
有解释变量，则会得到非常奇怪的结果。其实正如我们所知道的，多元回去归中在省略变量
时一定要谨慎，要有所选择。本例中，value、income、popchang的p-值仅比0.1稍大一点，
在略掉unemp、localtax、statetax的模型C中，这些变量的系数都是显著的。

（2）针对联合假设H0：.i =0(i=1,5,6,7)的备择假设为H1：.i =0(i=1,5,6,7)
中至少有一个不为零。检验假设H0，实际上就是参数的约束性检验，非约束模型为模型A，

约束模型为模型D，检验统计值为

462.0)840/()7763.4(
)37/()7763.47038.5(
)1/(
)/()(.
..
....
.
..
..
.
eeeknRSSkkRSSRSSFUURUUR

显然，在H0假设下，上述统计量满足F分布，在10%的显著性水平下，自由度为（4，32）
的F分布的临界值位于2.09和2.14之间。显然，计算的F值小于临界值，我们不能拒绝
H0，所以βi(i=1,5,6,7)是联合不显著的。

(3）模型D中的3个解释变量全部通过显著性检验。尽管R2与残差平方和较大，但相
对来说其AIC值最低，所以我们选择该模型为最优的模型。

（4）随着收入的增加，我们预期住房需要会随之增加。所以可以预期β3>0，事实上其
估计值确是大于零的。同样地，随着人口的增加，住房需求也会随之增加，所以我们预期β4>0，事实其估计值也是如此。随着房屋价格的上升，我们预期对住房的需求人数减少，即
我们预期β3估计值的符号为负，回归结果与直觉相符。出乎预料的是，地方税与州税为不
显著的。由于税收的增加将使可支配收入降低，所以我们预期住房的需求将下降。虽然模型
A是这种情况，但它们的影响却非常微弱。

4、在经典线性模型基本假定下，对含有三个自变量的多元回归模型：

..........3322110XXXY

你想检验的虚拟假设是H0：1221....。

（1）用的方差及其协方差求出。 21
.,...).2.(21...Var

（2）写出检验H0：1221....的t统计量。

（3）如果定义.....212，写出一个涉及.0、.、.2和.3的回归方程，以便能直接得
到.估计值及其标准误。 ..

解答：

（1）由数理统计学知识易知

).(4).,.(4).().2.(221121......VarCovVarVar....

（2）由数理统计学知识易知

).2.(
1.2.
2121
..
..
.
..
.
set，其中为的标准差。 ).2.(21...se).2.(21...

（3）由.....212知212.....，代入原模型得

.....
......
......
......
33212103322120)2

(
)2(
XXXXXXXY

这就是所需的模型，其中.估计值及其标准误都能通过对该模型进行估计得到。 ..

三、习题

（一）基本知识类题型

3-1．解释下列概念：

1) 多元线性回归

2) 虚变量

3) 正规方程组

4) 无偏性

5) 一致性

6) 参数估计量的置信区间

7) 被解释变量预测值的置信区间

8) 受约束回归

9) 无约束回归

10) 参数稳定性检验

3-2．观察下列方程并判断其变量是否呈线性？系数是否呈线性？或都是？或都不是？

1)

iiiXY......310
2)

iiiXY......log10
3)

iiiXY......loglog10
4)

iiiXY.......)(210
5)

iiiXY.
.
.
..
10
6)

iiiXY.......)1(110
7)

iiiiXXY........1022110

3-3．多元线性回归模型与一元线性回归模型有哪些区别？

3-4．为什么说最小二乘估计量是最优的线性无偏估计量？多元线性回归最小二乘估计的正
规方程组，能解出唯一的参数估计的条件是什么？

3-5．多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效
性的过程中，哪些基本假设起了作用？

3-6．请说明区间估计的含义。

（二）基本证明与问答类题型

3-7．什么是正规方程组？分别用非矩阵形式和矩阵形式写出模型：

ikikiiiuxxxy...........22110，ni,,2,1..的正规方程组，及其推导过程。

3-8．对于多元线性回归模型，证明：

（1）. .0ie

（2） 0)...(.110.......ikikiiiexxey....

3-9．为什么从计量经济学模型得到的预测值不是一个确定的值？预测值的置信区间和置信
度的含义是什么？在相同的置信度下如何才能缩小置信区间？为什么？

3-10．在多元线性回归分析中，t检验与F检验有何不同？在一元线性回归分析中二者是否
有等价的作用？

3-11．设有模型：uxxy....22110...，试在下列条件下：

（1）121....

（2）21...

分别求出1.
和2.的最小二乘估计量。

3-12．多元线性计量经济学模型

yxxxiiikki..............01122 .i1,2,…,n (2.11.1)

的矩阵形式是什么？其中每个矩阵的含义是什么？熟练地写出用矩阵表示的该模型的普通
最小二乘参数估计量，并证明在满足基本假设的情况下该普通最小二乘参数估计量是无偏和
有效的估计量。

3-13．有如下生产函数：LKXln452.0ln632.037.1ln...

（0.257） (0.219)

98.02.R 055.0),Cov(.bb

其中括号内数值为参数标准差。请检验以下零假设：

（1）产出量的资本弹性和劳动弹性是等同的；

（2）存在不变规模收益，即1.... 。

3-14．对模型ikikiiiuxxxy...........22110应用OLS法，得到回归方程如下：

kikiiixxxy.........22110......

要求：证明

残差iiiyy....与不相关，即：iy.0...iiy.。

3-15．

3-16．考虑下列两个模型：

Ⅰ、iiiiuxxy....33221...

Ⅱ、iiiiiuxxxy......332212)(...

要求：（1）证明：，， 1..22....11
.....33
.....

（2）证明：残差的最小二乘估计量相同，即：iiuu....

（3）在何种情况下，模型Ⅱ的拟合优度会小于模型Ⅰ拟合优度。 22R21R

3-17．假设要求你建立一个计量经济模型来说明在学校跑道上慢跑一英里或一英里以上的人
数，以便决定是否修建第二条跑道以满足所有的锻炼者。你通过整个学年收集数据，得到两
个可能的解释性方程：

方程A： 3215.10.10.150.125.XXXY....75.02.R

方程B： 4217.35.50.140.123.XXXY....73.02.R

其中：Y——某天慢跑者的人数

1X——该天降雨的英寸数

2X——该天日照的小时数

3X——该天的最高温度（按华氏温度）

4X——第二天需交学期论文的班级数

请回答下列问题：（1）这两个方程你认为哪个更合理些，为什么？

（2）为什么用相同的数据去估计相同变量的系数得到不同的符号？

3-18．对下列模型：iiiiuzxy....2.. （1）

iiiiuzxy....... （2）

求出β的最小二乘估计值；并将结果与下面的三变量回归方程的最小二乘估计值作比较：

（3）iiiiuzxy....... ，你认为哪一个估计值更好？

3-19．假定以校园内食堂每天卖出的盒饭数量作为被解释变量，盒饭价格、气温、附近餐厅
的盒饭价格、学校当日的学生数量（单位：千人）作为解释变量，进行回归分析；假设不管
是否有假期，食堂都营业。不幸的是，食堂内的计算机被一次病毒侵犯，所有的存储丢失，
无法恢复，你不能说出独立变量分别代表着哪一项！下面是回归结果（括号内为标准差）：

iiiiiXXXXY43219.561.07.124.286.10......

（2.6） (6.3) (0.61) (5.9) 63.02.R 35.n

要求：

（1）试判定每项结果对应着哪一个变量？

（2）对你的判定结论做出说明。

（三）基本计算类题型

3-20．试对二元线性回归模型：iiiiuXXY....22110...
210,,...0,..
，（ni,,2,1..
2
..
）作回归分
析，要求：（1）求出未知参数的最小二乘估计量； 1,..

（2）求出随机误差项的方差的无偏估计量； u2.

（3）对样本回归方程作拟合优度检验；

（4）对总体回归方程的显著性进行F检验；

（5）对21,..的显著性进行t检验；

（6）当时，写出和Y),,1(20100..XXX)|E(00XY0的置信度为95%的预测区间。

3-21．下表给出三变量模型的回归结果：

方差来源

平方和（SS）

自由度（d.f.）

平方和的均值(MSS)

来自回归

65965

—

—

来自残差

—

—

—

总离差(TSS)

66042

14

要求：（