高数下册笔记精
第七章 微分方程
§1 微分方程的基本概念 一.基本概念:
1.微分方程; 凡表示未知函数,未知函数的导数与自变量之间的关系式称为微分方程．
2.常微分方程; 如果微分方程中的未知函数是一元函数，则称此类方程为常微分方程．
3.偏微分方程; 如果微分方程中的未知函数是多元函数，则称此类方程为偏微分方程．
4.微分方程的阶; 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，就称为此微分方程的阶．
5.微分方程的解; 将某个已知函数代入到微分方程的左右两边可使其成为恒等式，那么就称此已知函数为此微分方程的解．
6.微分方程的通解:如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则这样的解就称为此微分方程的通解．
7.微分方程的初始条件与特解.
8.微分方程的积分曲线: 微分方程的解的图象是一条平面曲线，称此曲线为微分方程的积分曲线． 二．例题分析
P263．5．写出由下列条件所确定的曲线所满足的微分方程: 例1．曲线在点处(,
)
x y 的切.
解：设该曲线的方程为
()y f x =,则由题意得: 2'y x =.--------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．
例2．曲线上点(,)P x y 处的法线与x 轴的交点为Q ,且线段PQ 被
y 轴平分.
解：设该曲线的方程为
()y f x =,且设曲线在点P 处的法线记为L ，则其斜率为1/'y -；设法线Ｌ与Ｙ轴的交点为点Ａ，
再设法线Ｌ上任意一点Ｍ的坐标为M (,)X Y ，进而得法线Ｌ的方程为：()Y y k X x -=-且1/'k y =-
即()/'Y
y X x y -=--；则易求得：'Q X x y y =+?且/'A Y y x y =+．．．．．．．．①
由题意知点Ａ为线段PQ 的中点知：2Q P A X X X +=且2Q P A Y Y Y +=．
．．．．．．．．．② 由上述①，②两式最终可得：2'x
y y =?--------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．
§2．可分离变量的一阶微分方程 （注：它是一类最易求解的微分方程！） 一．一阶微分方程的一般形式和一阶微分方程的对称形式：
一般形式：(,,')
0F x y y =?对称形式：(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=
二．何为可分离变量的一阶微分方程？
如果某一阶微分方程由对称式：(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=，
可等价地转化为
()()0f x dx g y dy +=的形式，则称原方程为可分离变量的微分方程．
三．可分离变量的一阶微分方程的基本解法：（可由如下两步来完成求解过程）
第一步：进行自变量x ，dx 与因变量
y ，dy 的左右分离；
第二步：方程两边同时作不定积分即可求得原方程的隐式通解．
§３．一阶齐次微分方程 （注：它是一类经变量代换之后，可转化为＂变量左右分离的一阶微分方程！） 一．一阶齐次微分方程的定义：
在某个一阶微分方程
(,)dy f x y dx =中，如果方程右边的函数(,)f x y 可写成y x 的函数式即
(,)()y
f x y x
?=，
也即原方程形如：()dy y
dx x
?=，则称此微分方程为一阶齐次微分方程． 二．一阶齐次微分方程的基本解法：
转化求解法―――即首先将原一阶齐次微分方程转化为变量分离方程；然后再按变量分离方程的解法去求解即可！具体地说， 第一步，作变量代换令y u
x
=
，则
,
dy du y ux u x dx dx
==+，代入原一阶齐次微分方程
()dy y dx x ?=得：()du
u x u dx
?+=； 第二步，进行变量u 与x 的左右分离得：
()du dx
u u x
?=
-； 第三步，两边求不定积分即可得其解．．．． 三．例题分析 参见Ｐ271．例１． 又如．Ｐ276．１．（4）．求方程3
32()30x
y dx xy dy +-=的通解．
解：原方程可转化为3322
23dy x y x y dx xy y x
+==+，作变量代换令y
u
x
=
，则
,
dy du y ux u x dx dx
==+； 则原方程转化为：21
3()du u x
u dx u
+=+（注意：齐次方程在进行变量代换之后，一定是可以进行变量分离的！） 紧接着就进行自变量与因变量的左右分离212du x u dx u ?=-212u du dx
u x
?=-．最后两边作不定积分即可．．． §４．一阶线性微分方程 一．一阶线性微分方程的定义： 称形如：
()()dy
P x y Q x dx
+=的方程为一阶线性微分方程． （注：因为方程的左边对未知函数y 及其导数'y 来说是一次线性组合的形式，所以称上述方程为＂线性＂方程！）
（i ）.当()
0Q x =时，则称
()0dy
P x y dx +=为一阶线性齐次微分方程． （ii ）.当()0Q x ≠时，则称()()dy
P x y Q x dx
+=为一阶线性非齐次微分方程． 二．一阶线性微分方程的解法（常数变易法是求解线性非齐次方程的基本方法）
１．所谓的＂常数变易法＂：就是为了求解某一阶线性非齐次方程，可先去求解与其所对应的齐次方程；然后在所得齐次方程的通解中，将任意常数Ｃ代换成一个待定的未知函数()u x 来构造生成非齐次方程的解；最后再将由此法构造生成的解，代回原非齐次方程中去确定那个待定函数()u x 的表达式．―――整个这样的求解过程就称为非齐次方程的常数变易法．（可参考Ｐ278．例１）
２．一阶线性微分方程：
()()dy
P x y Q x dx
+=的通解公式如下：()()[()]p x dx p x dx y e Q x e dx c -??=??+?―――请牢记！ 三．伯努利方程（注：它是一类经变量代换之后可转化为可分离变量的一阶微分方程！） １．伯努利方程的定义
我们称形如：
()()n dy
P x y Q x y dx
+=?．．．．（＊）的方程为＂伯努利方程＂（或称＂n 级伯努利方程＂）． ２．伯努利方程的解法（变量代换转化法）
只要令1n z
y -=，则
1(1)n dz dy
n y dx dx
-=-?，将其代入原n 级伯努利方程（＊）可得 (1)()(1)()dz
n p x z n Q x dx
?
+-?=-?-----这是一个一阶线性非齐次方程! 进而可由一阶线性非齐次方程的通解公式求出其解,这样也就求出原伯努利方程（＊）的解! ３．变量代换法在求解微分方程中的运用
利用变量代换（包括自变量的变量代换和因变量的变量代换），把一个微分方程转化为可分离变量方程，或转化为一个已知其求解步骤的方程，这是解微分方程的常用方法． 例１．解方程．Ｐ282．9．（1）．
2()dy
x y dx
=+ 解：可令u x y =+，则原方程转化为222111
dy du du du u u dx dx dx dx u =-=?=+?=+两边积分就可得其解．．．．． 例２．Ｐ282.9.（3）解方程'(ln ln )xy y y x y +=+
解：可令ln ln ln u u
x y xy xy e =+=?=两边关于自变量Ｘ求导得'u du
y xy e dx
?+=?
代入原方程得： 1u u du ue x e dx
-=?
，1
du du dx ux
dx u x
-?=
?=两边积分就可得其解．．．．． §６．可降阶的高阶微分方程 （本节着重掌握三种容易降阶的高阶微分方程的解法） 一．()()n y f x =型微分方程――――这类高阶微分方程的解法很简单，只要两边积分n 次，就可得其通解．
二．
''(,')y f x y =型微分方程
首先此方程
''(,')y f x y =的类型是二阶显微分方程，且此这类二阶显微分方程的特征是＂不显含因变量y ＂．
此类方程的解法：运用变量代换进行降阶求解．具体地，可令dy p dx =，则22d y dp
dx dx
=，
进而原方程转化为：
(,)dp
f x p dx
=―――这是一个一阶显微分方程．根据其具体形式，可按前几节所介绍的求解一阶方程的解法去求解．．．．．得其通解设为1(,)p x c ?=又dy p dx =，也即有
1(,)dy
x c dx
?=1(,)dy x c dx ??=，最后只要两边再作一次积分，就可得原二阶显微分方程的解． 三．
''(,')y f y y =型微分方程
首先方程
''(,')y f y y =的类型也是二阶显微分方程，且此这类二阶显微分方程的特征是＂不显含自因变量x ＂．
此类方程的解法：也是运用变量代换进行降阶求解．具体地，可令
dy p dx =，则22d y dp dp dy dp
p dx dx dy dx dy
==?=?
，进而原方程转化为
(,)dp
p f y p dy
?
=――这也是一个一阶显微分方程．根据其具体形式，可按前几节所介绍的求解一阶方程的解法去
求解．．．设得其通解为
1(,)p y c ?=又dy p dx =
，也即有1(,)dy y c dx ?=1(,)
dy
dx y c ??=，最后只要两边再作一次积分，
就可得原二阶显微分方程的解． 四．例题分析
Ｐ292．1．（5）求解方程：
'''y y x =+
解：第一步：判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显含因变量
y ，即''(,')y f x y =型．
接着可令dy p dx =，则
22d y d p
d x d x
=，进而原方程转化为：
dp x p dx =+．―――这是一阶线性非齐次方程dp
p x dx
?-=． 由一阶线性非齐次方程的通解公式知：11[][]dx dx
x x p e x e dx c e xe dx c ----??=??+=?+??2x x x e ce =-++；
进而知：
2x x dy
p x e ce dx
=
=-++2()x x dy e ce x dx ?=+-，最后只要两边再作一次积得原方程的通解．．．．． 五．微分方程的参数方程形式的隐式通解及其在有关问题中的运用
所谓＂微分方程的参数方程形式的隐式通解＂就是将微分方程的通解用参数方程形式来刻画． 即将微分方程的自变量x 与因变量
y 都表达成某个参数p 的函数式的形式．
例如：Ｐ292．1．（4）求解方程：
2''1'y y =+．
解：首先判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显变量x 和
y ，它同属''(,')y f x y =与''(,')y f y y =型；所以解
法相对由自．以下我们来介绍微分方程的参数方程形式的隐式通解给大家！
先设dy p dx =，则22d y dp dx dx =．进而原方程转化为：2
1dp p dx =+2
211dp dp dx dx p p ?=?=++??．
1arctan x p c ?=+―――这就求得了自变量x 关于参数p 的函数式；
以下再来求出因变量
y 关于参数p 的函数式，进而就可得原方程的参数方程形式的隐式通解．
由
2
1dy pdp
p dy pdx dx p
=
?==+，所以221ln(1)2y p c =++； 从而原方程的参数方程形式的隐式通解为：1
2
2arctan 1ln(1)2
x p c y p c =+??
?=++??． 注：运用同样的方法，大家可以尝试一下去求解Ｐ292．１．（8）；（9）；（10）． §７．高阶线性微分方程（主要的是学习二阶线性微分方程的有关理论！） 一．二阶线性微分方程的定义： 称形如：''()'()()y P x y Q x y f x ++=．．．．．．（＊）的方程为二阶线性微分方程．
（注：方程的左边对未知函数y 及其导数',''y y 这三者来说，是一次线性组合形式！）
（i ）.当
()0f x =时，则称''()'()0y P x y Q x y ++=为二阶线性齐次微分方程．
（ii ）.当
()0f x ≠时，则称''()'()()y P x y Q x y f x ++=为二阶线性非齐次微分方程．
二．二阶线性微分方程的解的结构
１．二阶线性齐次微分方程＂解的叠加原理＂ 定理１：设
1()y x 与2()y x 都是二阶线性齐次微分方程''()'()0y P x y Q x y ++=的解，
则此两解的任意线性组合
1122()()y c y x c y x ?+? 也是此二阶线性齐次微分方程的解．
―――定理１揭示了齐次方程的解所满足的一种性质．此性质常称为齐次方程＂解的叠加原理＂． ２．多个函数间的线性相关性与线性无关性的定义（参见教材Ｐ296从略） 特别地，两个函数
1()y x 与2()y x 在区间Ｉ上线性相关?
12()
()
y x y x =常数，x ?∈Ｉ．
３．二阶线性齐次微分方程的通解的结构 定理２：设
1()y x 与2()y x 是二阶线性齐次微分方程''()'()0y P x y Q x y +?+?=的解，且1()y x 与2()y x 线性无关，
则此两解的任意线性组合
1122()()y c y x c y x ?+? 就是原二阶线性齐次微分方程的通解．
―――定理２揭示了如何用齐次方程的两个线性无关的特解去构造生成齐次方程的通解！ ４．二阶线性非齐次微分方程通解的结构 定理３：设
*()y x 是二阶线性非齐次微分方程''()'()()y P x y Q x y f x ++=．
．．（＊）的一个特解，且()Y x 是对应的二阶线性齐次方程''()'()0y P x y Q x y ++=的通解，则*()()y Y x y x + 就是原二阶线性非齐次微分方程（＊）的
通解．
―――定理３揭示了如何用齐次方程的通解去构造非齐次方程的通解！即：非齐次通解y ＝齐次通解Y
＋非齐次特解
*y ．
５．二阶线性非齐次微分方程解的叠加原理（Ｐ297 定理４） 定理４：设有二阶线性非齐次微分方程
''()'()()y P x y Q x y f x ++=，（其中12()()()f x f x f x =+．）
而
1()y x 是1''()'()()y P x y Q x y f x ++=的特解，且2()y x 是2''()'()()y P x y Q x y f x ++=的特解
则12()()()Y x y x y x +
就是原二阶线性非齐次方程''()'()()y P x y Q x y f x ++=的一个特解．
―――定理４揭示了如何去求非齐次方程特解的一种方法．它通常又称为非齐次方程解的叠加原理！ ６．定理５：设
1()y x 与2()y x 是二阶线性非齐次微分方程''()'()()y P x y Q x y f x ++=．．．（＊）的两个不相等的特解， 则21()()()Y x y x y x -
是对应的二阶线性齐次方程''()'()0y P x y Q x y ++=的一个非零特解．
―――此定理揭示了如何用二阶线性非齐次方程的二个特解去构造生成对应的齐次方程的特解！ ７．例题分析Ｐ326.１．(4)．已知
21231,,y y x y x ===是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，试求该方程的通解？
分析与解答：设此二阶线性非齐次微分方程为''()'()()y P x y Q x y f x ++=．．．．（＊），
则由定理３知：非齐次通解
y
＝齐次通解
Y
＋非齐次特解
*y ，现由题意知＂非齐次特解*y ＂可取
21231,,y y x y x ===之中的任意一个，故以下只要求出＂齐次通解Y
＂来即可．
再由定理２知：＂齐次通解Y ＂是两个线性无关的齐次特解的任意线性组合即：1122()()()Y x c Y x c Y x =?+?（其中12(),()Y x Y x 是两个线性无关的齐次特解）．而现在又应如何来求得两个线性无关的齐次特解呢？这可根据＂定理５＂来得到！
由＂定理５＂知，可令：121()()()1Y x y x y x x -≡- 且2231()()()1Y x y x y x x -≡- ，且显然两者线性无关，
所以原非齐次方程的通解为
211122112()()()()()(1)(1)1y Y x y x c Y x c Y x y x c x c x =+=?+?+=?-+?-+．
三．二阶线性非齐次微分方程的求解过程中的常数变易法与二阶线性非齐次微分方程的通解公式 １．二阶线性非齐次微分方程求解过程中的＂常数变易法＂． 为了求解二阶线性非齐次微分方程
''()'()()y P x y Q x y f x ++=．．．（１），可先求解与之对应的齐次方程；
第一步：先求得对应的二阶线性齐次微分方程
''()'()0y P x y Q x y ++=．．．（２）的两个线性无关特解1()y x 与2()y x ，
则由定理２知：
1122()()y c y x c y x ?+? ．
．．．（３）就是原二阶线性齐次微分方程（２）的通解； 第二步：对齐次方程的通解（３）作常数变易，去构造生成非齐次微分方程（１）的解为
12()()()()y u x y x v x y x ?+? ．
．．(４) （其中(),()u x v x 是两个待定的未知函数）；
第三步：接下来将（４）式代入原非齐次方程（１）并设法去求出(),()u x v x ，这样也就求出了原非齐次方程（１）的解了！ ――――这就是二阶线性非齐次微分方程求解过程中的常数变易法． ２．二阶线性非齐次微分方程的通解公式 定理６．设
1()y x 与2()y x 是二阶线性齐次方程''()'()0y P x y Q x y ++=．
．．．．（１）的两个线性无关的特解， 记1
2
''
110y y W y y =
≠，则与之对应的二阶线性非齐次方程''()'()()y P x y Q x y f x ++=．．．．．（２） 有通解公式：
12
21f y f y y y dx y dx W W
??=-?
?． §８．常系数齐次线性微分方程（重点是掌握二阶线性常系数微分方程的有关理论！） 一．二阶线性常系数微分方程的定义： 在二阶线性微分方程：''()'()0y P x y Q x y ++=．．．．（１）之中，
(i)．如果
',y y 的系数(),()p x Q x 都是常数，即（１）式成为'''0y py qy ++=（其中,p q 为常数），
则称其为二阶线性常系数微分方程；
(ii)．如果
,p q 不全为常数，则称'''0y py qy ++=为二阶线性变系数微分方程．
二．二阶常系数齐线性微分方程
'''0y py qy ++=的解法：（如下方法通常称为＂特征根公式法＂）
第一步，写出原微分方程的特征方程2
0r
pr q ++=，并求出此方程的二个特征根12,r r ；
第二步，根据特征根12,r r 的不同情形，原方程
'''0y py qy ++=的通解公式如下：
(i)．若特征根12,r r 不相等，则原方程的通解为：
1212r x r x y c e c e =+； (ii)．若特征根12,r r 为相等，则原方程的通解为：112()r x y c c x e =+；
(iii)．若特征根12,r r 为一对共轭复根1,2
r i αβ=+，则原方程的通解为：12(cos sin )x y e c x c x αββ=?+．
三．二阶常系数齐次线性微分方程
'''0y py qy ++=的求解举例：参见教材Ｐ304--305例１; 例２; 例３等．
§９．常系数非齐次线性微分方程（重点只需掌握如下关于二阶线性常系数非齐次微分方程的通解公式！） 一．关于二阶线性常系数非齐次微分方程'''()y py qy f x ++=（其中,p q 为常数）有如下结论：
定理６＇：设
1()y x 与2()y x 是二阶线性常系数非齐次微分方程'''0y py qy ++=．
．．．．（１）的两个线性无关的特解， 记1
2
''110y y W y y =
≠，则与之对应的二阶线性非齐次方程'''()y py qy f x ++=．．．．．（２） 有通解公式：
12
21f y f y y y dx y dx W W
??=-?
?―――请记牢！ ――――注：此定理６＇只不过是第七节中介绍的＂定理６＂的一个特例而已！ 二．常系数二阶非齐次线性微分方程求解举例 例如Ｐ313.例２．求方程
2''5'6x y y y xe -+=的通解．
解：由定理５＇应首先求对应的齐次方程
''5'60y y y -+=的通解，再运用定理５＇来求原非齐次方程的通解．
易知齐次方程
''5'60y y y -+=的特征方程为2560r r -+=，特征根122,3r r ==．
于是，齐次方程的两个线性无关的特解为
2312,x x y e y e == 125'
'
11x y y W e y y ?=
=；
进而原非齐次方程的通解为：
222332122155x x x
x x x x x f y f y xe e xe e y y dx y dx e dx e dx W W e e
????=-=-?
??? y ?3222322121211
()()()22
x x x x x x x e xe e c e x c d e d e x x e --=--+-+=+-+．
三．本章杂例Ｐ327．7．设有可导函数()x ?满足0
()cos 2
()sin 1x
x x t tdt x ??+=+?，求()?x ?=
分析与解答：这是一个＂积分方程＂，求解＂积分方程＂的思路：首先我们把它转化为一个与其对应的微分方程，再来求解． 现由0
()cos 2
()sin 1x
x x t tdt x ??+=+?两边关于自变量Ｘ求导数得：
'()cos ()sin 2()sin 1'()cos ()sin 1x x x x x x x x x x ?????-+=?+=
现记
()y x ?=，则有'cos sin 1'tan sec y x y x y y x x +=?+=――这是＂一阶线性非齐次微分方程＂．
由通解公式得：
()()tan tan [()][sec ]p x dx p x dx xdx xdx
y e Q x e dx c y e x e dx c --????=??+==??+??sin cos x c x =+?．
又由条件0
()cos 2()sin 1x
x x t tdt x ??+=+?知，当0x =时，则(0)1y ?==，所以1c =．
综上得原方程的解为：
sin cos y x x =+．
四．综述＂求解微分方程的一般程序＂如下：
第一步，判定方程的类型，它是一阶微分方程还是二阶微分方程？
（我们知道标准求解步骤的一阶方程类型包括：①可分离变量方程；②齐次方程；③一阶线性（非）齐次方程；④贝努利方程）； 第二步，根据我们在本章所讲的各种方程的标准解法去求解！
补充说明：如果方程类型是我们很陌生的形式，那么就首先考虑运用＂变量代换法＂将其转化为我们所熟悉的方程类型；然后
再按上面的标准步骤去解决问题．
第八章 空间解析几何
§１ 向量及其线性运算 一. 一些基本概念
①向量与自由向量;②单位向量与零向量;③向量的共线与共面;④向量的模,方向角,以及投影等. 二. 向量的加法运算与数乘运算的定义 三.向量的线性运算在空间直角坐标系下的表达
借助于空间直角坐标系，向量间的线性运算可以转化为它们坐标之间的线性运算． §２ 向量的数量积 向量积 混合积 一．两个向量的数量积
１．数量积的定义 ||||cos ,a b a b θ?? （其中θ为向量,a b
之间的夹角）
２．数量积与投影之间的关系―――||Pr j ||Pr j a b
a b a b b a ?==
３．数量积的运算规律 二．两个向量的向量积
１．向量积的定义 ||||sin ,a b a b θ??
（其中θ为向量,a b
之间的夹角）
２．向量积的模的几何意义：它表示以向量,a b
为邻边所成的平行四边形的面积．
三．三个向量的混合积
１．混合积的定义 [,,]()a b c a b c ??
２．三个混合积的模的几何意义：它表示以向量,,a b c
为邻边所成的平行六面体的＂有向体积＂．
即[,,]a b c V ε=? ；(i) 当,,a b c 呈右手系时，1ε=；(ii) 当,,a b c
呈左手系时，1ε=-．
§３ 曲面及其方程 一. 曲面方程的概念 1. 如果某曲面S
上的点的坐标(,,)[,,]M x y z a b c V =?
与某个三元方程(,,)0F x y z =的解之间能构成一一对应,则称这
个三元方程(,,)0F x y z =为此曲面S 的方程;
2. 建立曲面方程的一般方法:首先在所求曲面上任取一点M ，记其坐标为(,,)M x y z ,然后利用该曲面的特征并将其等价地表
达为点(,,)M x y z 的坐标应满足的条件式即可!
例如 :试求球心在点0000(,,)M x y z ,半径为R 的球面方程?
解:设(,,)M x y z 为所求球面上任意一点,则由0||M M R =
即0||M M R ==
所以2
222000()
()()x x y y z z R -+-+-=
二. 旋转曲面
1. 旋转曲面的定义(参见P312)
2. 坐标平面内的平面曲面绕坐标轴旋转所成旋转曲面的方程及其特点: 例如: 将
yoz 坐标平面内的曲线Ｃ：(,)0f y z = 绕Ｚ轴旋转所成旋转曲面z S 的方程只要将平面曲线Ｃ：(,)0f y z =的方
程中的
y 代换为z S 的方程为
()0f z =．
又如: 将zox 坐标平面内的曲线Ｃ：(,)0g x z =绕Ｘ轴旋转所成旋转曲面x S 的方程只要将平面曲线Ｃ：(,)0
g x z =
的方程中的z 代换为x S 的方程为(,0g x =．
三. 柱面
1.柱面的定义(参见P314)
2.四种常见的柱面:
①圆柱面2
2
2
x y a +=;②椭圆柱面22221x y a b +=;③抛物柱面2
2y px =;④双曲柱面22221x y a b
-=
3.二元方程在空间直角坐标系中的几何意义:
二元方程在空间直角坐标系中的总表示一个母线平行于坐标轴的柱面.例如:方程(,)0f x y =表示的就是一个以xoy 坐标
平面内的曲线Ｃ：(,)0f x y =为准线，母线平行于Ｚ轴的柱面．
四. 二次曲面
1. 九种二次曲面的标准方程及其大致的曲面形状
2. 掌握运用对旋转曲面伸缩变形来认识一般的二次曲面形状的思想方法;
例如： 椭圆锥面：22222x y z a b +=的大致形状可以按如下方式分析：首先将曲面方程中的a 改成b ，易知方程：222
22x y z
a a
+=表示的是一个旋转曲面，且它可以由xoz 平面内的两条对称直线：22
2x z x az a =?=±绕Ｚ轴旋转来生成；进而把
此旋转曲面沿y 轴方向伸或缩
b
a
倍，即得椭圆锥面：222
22x y z a b
+=的形状！
§4 空间曲线及其方程
一. 空间曲线的一般方程：即将空间曲线看成两张曲面的交线形式．
设(,,)0F x y z =和(,,)0G x y z =是某两张曲面的方程，则它们的交线为(,,)0
(,,)0
F x y z
G x y z =??
=?；
二. 空间曲线的参数方程()()()x x t y y t z z t =??
=??=?
，（有关定义参见Ｐ３２０）
三. 空间曲线向坐标平面的投影曲线与投影柱面（定义参见Ｐ３２３） 四. 二个三元方程联立消元的几何意义
联立消元的几何意义：实际上就是在求这两个方程联立的方程组所表示的空间曲线向某个坐标面内的投影柱面的方程． 例如：试求球面2
229x
y z ++=与平面1x z +=的交线在xoy 坐标面上的投影柱面与投影曲线的方程？
解：即需求空间曲线2229
1
x y z x z ?++=?+=?，向xoy 坐标面内的投影柱面与投影曲线的方程．
为此，只要在上述方程组中消去变量Ｚ，得2
22(1)9x
y x ++-=即为所需求的投影柱面的方程，
而上述空间曲线向xoy 坐标面的投影曲线的方程为222(1)90
x y x z ?++-=?=?．
§5平面及其方程
一. 平面的点法式方程 设某平面过一定点0000(,,)M x y z 且以{,,}n A B C =
为其法向量，
则所求平面的点法式方程为：
000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=
二. 平面的一般式方程：0Ax By Cz D +++= （应知此平面是以向量{,,}n A B C =
为其法向量的某一张平面）
三. 平面的截距式方程：1x y z
a b c
++=； 数值,,a b c 分别称为该平面在Ｘ，Ｙ，Ｚ轴上的截距．
四. 两个平面的夹角
两个平面的夹角是指这两个平面的法向量之间的夹角（当其是锐角时），或者是指这两个平面的法向量之间的夹角的补角（当其是钝角时）． 五. 点到面的距离公式
设0000(,,)P x y z 是空间中的任意一点，记其到平面π：
0Ax By Cz D +++=的距离为d
，
则d
=
．
§6 空间直线及其方程
一. 空间直线的一般方程(或称交线式方程)：111122220
A x
B y
C z
D A x B y C z D +++=??
+++=?．
二. 空间直线的点向式方程(或称对称式方程)：
000
x x y y z z m n p
---==．
三. 空间直线的参数式方程
由空间直线的点向式方程：000x x y y z z t m n p ---== ，得000x x mt
y y nt z z pt
=+??
=+??=+?
此即为该直线的参数式方程；
四. 空间直线的两点式方程
设有直线过两点11112222(,,),(,,)M x y z M x y z ，则此直线的两点式方程为111
212121
x x y y z z x x y y z z ---==
---． 五. 两直线的夹角
两直线的夹角是指这两条直线的方向向量之间的夹角（当其是锐角时），或者是指这两条直线方向向量之间的夹角的补角（当其是钝角时）．
六. 直线与平面的夹角（定义参见Ｐ３３３） 七. 平面束的方程及其在解题中的运用
１．所谓＂平面束＂就是指经过某一定直线的所有平面的全体；平面束的方程可由此定直线的方程构造而得．
具体地说，若设直线Ｌ的方程为11112222
0A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=?，其中系数111,,A B C 与222,,A B C 不成比例，
则以直线Ｌ为轴的平面束的方程为：11112222()()0A x B y C z D A x B y C z D αβ+++++++=．
（注：不同位置的平面对应于不同的参数,αβ的取值．） ２．平面束的概念在解题中的运用 例１：参见Ｐ３３５例７． 例２：Ｐ３３６．８．求过点(3,1,2)P -且过直线Ｌ：
43521
x y z
-+==的平面方程？ 解：由直线Ｌ的对称式：
43521x y z
-+==，得直线Ｌ的一般式方程为25230230
x y y z --=??-+=?， 从而由平面束的概念知：可设所求平面的方程为：
(2523)(23)0x y y z αβ--+-+=．（其中,αβ
为待定系数！）．．．．．．．．（１）
现由点(3,1,2)P -在此平面上，所以应有(235123)[12(2)3]0αβ?-?-+?-?-+=，解得 /11/4βα=．
最后，将此值代入方程（１）即得所需求的平面方程．
八．点到直线的距离公式
设点
0000(,,)M x y z 是直线Ｌ外一点，
s
是直线Ｌ的方向向量且点
(,,)
M x y z 是直线Ｌ上任意一点，则点
0000(,,)M x y z 到直线Ｌ的距离ｄ的计算公式为：0||
||
M M s d s ?=
（注：此式只要运用向量积模的几何意义即可证明！） 九．直线与平面的位置关系―――线与面的位置关系有如下四种：①线在面内；②线面平行；③线面垂直；④线面斜交．
现设直线Ｌ的方向向量为s ，平面π的法向量为n
，则有如下结论：
１．线在面内：L s n π??⊥
且000(,,)A x y z L ?∈但000(,,)A x y z π?；
２．线面平行：L s n π?⊥
，000(,,)A x y z L ?∈且000(,,)A x y z π∈；
３．线面垂直：
L s n π⊥?
； ４．线面斜交：L π⊥不成立s n ?
不成立；
十．本章有关的一些解题技巧
１．求交点类问题： 在此类问题中，运用直线的参数式方程来求解常常过程要简单一些．
例如：试求直线Ｌ：
234
112
x y z ---==与平面260x y z ++-=的交点？ 解：易知直线Ｌ的参数为2324x t y t z t =+??
=+??=+?
，将其代入平面260x y z ++-=的方程，
得2(2)(3)(24)60t t t +++++-=，解得1t =-，进而知交点的坐标为(1,2,2)．
２．求距离类问题有时也可用直线的参数式来求解．
例如：Ｐ３３６．１３．求点(3,1,2)P -到直线Ｌ：10
240x y z x y z +-+=??-+-=?
的距离ｄ＝？
解：直线Ｌ：10240x y z x y z +-+=??
-+-=?1010233011
x y z x y z y z
x x x +-+=+-+=+=?????????
-===???， 120011x y z -+-?==
12x y t z t
=??
?=-??=?
； 设点Ｍ为直线Ｌ上的一动点其坐标可设为(1,2,)M t t -，
则有22222
239||(13)(21)(2)2692()22
MP t t t t t =-+-++-=-+=-+ ，
知当32t =
时，距离 13
(1,2,)(1,,)22
M t t -=-． ―――(注：本题中也演示了空间直线的三种方程形式之间的互化技巧，以后可做参考！)
３．已知平面上一点时求平面的方程时，点法式写方程是我们求解平面方程的基本思路．
例如：Ｐ３３６．１１．求过点
(1,2,1)A 而与直线1210:10x y z L x y z +-+=??-+-=?和220
:0
x y z L x y z -+=??-+=?都平行的平面方程？
分析：现已知平面上一点
(1,2,1)A ，所以只需求得此平面的一个法向量来即可得此平面的点法式方程．
解： 记这两条直线的方向向量分别为12,n n
，而所以平面的法向量设为n ，
则由1{1,2,1}{1,1,1}{1,2,3},n =-?-=-- 2{2,1,1}{1,1,1}{0,1,1}n =-?-=-- ， 进而12{1,1,1}n n n =?=--
，所以所求平面的方程为：(1)(2)(1)0x y z --+---=．
高数笔记(全)
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=2 1) ()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x
高等数学笔记
第1章函数 §1 函数的概念 一、区间、邻域 自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R 建立数轴后： 建立某一实数集A与数轴上某一区间对应 区间：设有数a,b,a a称为N(a,δ)的中心，δ>0称为邻域N(a,δ)的半径。 去心邻域：把N(a,δ)的中心点a去掉，称为点a的去心邻域，记为N(a^,δ)={x|0<|x?a|<δ}=N(a,δ)?{a} 注：其中，?{a}表示去掉由a这一个数组成的数集。 二、函数概念 例1. 设圆的半径为x(x>0)，它的面积A=πx2，当x在(0,+∞)内任取一个数值（记为?x∈(0,+∞)）时，由关系式A=πx2就可以确定A的对应数值。 文章来源：https://www.wendangku.net/doc/3d17546307.html,/ 例2. 设有半径为r的圆，作圆的内接正n边形，每一边对应的圆心角α=2πn，周长S n=n?2r sinπn，当边数n在自然数 集N(n≥3)任取一个数，通过关系式S n=2nr sinπn就有一个S n对应确定数值。 函数定义：设有数集X,Y，f是一个确定的对应法则，对?x∈X，通过对应法则f都有唯一的y∈Y与x对应，记为x→f y，或f(x)=y，则称f为定义在X上的函数。 其中X称为f的定义域，常记为D f。 X——自变量，Y——因变量。 当X遍取X中的一切数时，那么与之对应的y值构成一个数集V f={y|y=f(x),x∈X}，称V f为函数f的值域。 文章来源：https://www.wendangku.net/doc/3d17546307.html,/ 注意： （1）一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值范围X所确定的。把“对应法则f”、“定义域”称为函数定义的两个要素。 例如，y=arcsin(x2+2)这个式子，由于x2+2>2，而只有当|x2+2|≤1时，arcsin才有意义，因此这个式子不构成函数关系。又例如，y=ln x2与y=2ln x不是同一个函数，因为定义域不同。而y=ln x2与y=2ln|x|是同一个函数，因为定义域相同。（2）函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。 （3）确定函数定义域时，注意：若函数有实际意义，需依据实际问题是否有意义来确定。 若函数不表示某实际问题，则定义域为自变量所能取得的使函数y=f(x)成立的一切实数所组成的数值。 函数的几何意义：设函数y=f(x)定义域为D f，?x∈D f，对应函数值y=f(x)在XOY平面上得到点(x,y)，当x遍取D f中一切实数时，就得到点集P={(x,y)|y=f(x),x∈D f}。点集P称为函数y=f(x)的图形。 文章来源：https://www.wendangku.net/doc/3d17546307.html,/ 三、函数的几个简单性质 1. 函数的有界性 若?M>0,s.t.|f(x)|≤M,x∈I，则称y=f(x)在区间I上有界。否则称f(x)在I上无界。 注：s.t.是“使得，满足于”的意思，I表示某个区间。 高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=ΦU C A B R ?= 6 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()() card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的 真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 导数与极限 （一）极限 1. 概念 （1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（δε-定义） A x f a x =→)(lim ?0>?ε，0>?δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 。 （2）单侧极限 左极限： =-)0(a f A x f a x =-→)(lim ?0>?ε，0>?δ，当δ<- 最新下载(https://www.wendangku.net/doc/3d17546307.html,) 中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息 数学重点、难点归纳辅导 第一部分 第一章集合与映射 §1.集合 §2.映射与函数 本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。 第二章数列极限 §1.实数系的连续性 §2.数列极限 §3.无穷大量 §4.收敛准则 本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。 第三章函数极限与连续函数 §1.函数极限 §2.连续函数 §3.无穷小量与无穷大量的阶 §4.闭区间上的连续函数 本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。 第四章微分 §1.微分和导数 §2.导数的意义和性质 §3.导数四则运算和反函数求导法则 §4.复合函数求导法则及其应用 §5.高阶导数和高阶微分 本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。 第五章微分中值定理及其应用 §1.微分中值定理 §2.L＇Hospital法则 §3.插值多项式和Taylor公式 §4.函数的Taylor公式及其应用 §5.应用举例 §6.函数方程的近似求解 本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇Hospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。 第六章不定积分 §1.不定积分的概念和运算法则 §2.换元积分法和分部积分法 §3.有理函数的不定积分及其应用 本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。 第七章定积分（§1 —§3） §1.定积分的概念和可积条件 §2.定积分的基本性质 §3.微积分基本定理 第七章定积分（§4 —§6） §4.定积分在几何中的应用 §5.微积分实际应用举例 §6.定积分的数值计算 本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。 第八章反常积分 §1.反常积分的概念和计算 §2.反常积分的收敛判别法 本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。 第九章数项级数 §1.数项级数的收敛性 §2.上级限与下极限 §3.正项级数 §4.任意项级数 §5.无穷乘积 本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。 第十章函数项级数 §1.函数项级数的一致收敛性 §2.一致收敛级数的判别与性质 §3.幂级数 类型课程学习名称：高等数学 1 时间：2006.7.7 体裁：说明文 知识内容与结构备注一.课程目录 1函数 2极限和连续 3一元函数的导数和微分 4微分中值定理和导数的应用 5一元函数积分学 6多元函数微积分 二.知识层次分解2.3说明： 函数 1.预备知识 1)集合及其运算 1>概念 集合： 元素 2>绝对值及其基本性质 >区间和邻域 2.函数 3.基本特性 4.反函数 5.复合函数 6.初等数学 7.简单函数关系的建立 极限和连续 1数列极限 2数列级数的基本概念 3函数的极限 4极限的运算法则 5无穷小（量）和无穷大（量）6两个重要的极限 7函数的连续性和连续函数 8函数的间断点 一元函数的导数和微分 1导数的概念 2求导法则 基本求导公式 4高阶导数 5函数的微分 6导数和微分在经济学中的简单应用 微分中值定理和导数的应用 1微分中值定理 2洛必达法则 3 函数的单调性 4 曲线的凹凸性和拐点 5函数的极值与最值 一元函数积分学 1原函数和不定积分的概念 2基本积分公式 3换元积分法 4分部积分法 5微分方程初步 6定积分的概念及其基本性质 7 微积分基本公式 8 定积分的换元积分法和分部积分法 9 无穷限反常积分 10 定积分的应用 1空间解析几何 2多元函数的基本概念 3偏导数 4全微分 5多元复合函数的求导法则 6隐函数及其求导法则 7二元函数的极值 8二重积分 注： 1标识符：红色已领会理解橙色已弄懂粉色已记住绿色已会用蓝色已掌握 黑色增删修内容 2 说明：凡属课程都属说明文。要掌握其整体结构和层次内容和最后一层次 的说明内容的意思 3 步骤：1 填写结构 2 对照课程阅读，理解弄懂 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12) 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 高等数学读书笔记 ——定积分与不定积分 马燕妮 四川农业大学 经济学院 经济学 中国成都 611130 【摘要】本文首先介绍了不定积分与定积分的基本定义，而后主要探究几种比较重要的积分法。定积分是微积分学中的主要概念之一，它是从各种各样的积累中抽象出来的数学概念，它是函数的一种特定结构和式的极限。不定积分又与定积分进行对比记忆，对不定积分的计算进行系统整理。 【关键字】定积分；不定积分；面积；凑微分法；分部积分法；换元积分法；有理函数不定积分 【Abstract 】 This paper first introduces the basic definition of indefinite integral and defin ite integral, and then explores several of the more important integral method. D efinite integral is one of the major concepts of calculus, it comes from the a ccumulation of various of abstracting mathematical concept, it is the function of the limit of a particular structure with type. Comparing the indefinite integra l and definite integral memory, calculation of indefinite integral system. 【Key words 】Definite integral ；Indefinite integral ；Area ；differentiation division integral method ；Integral method in yuan ；The indefinite integral rational function 一、不定积分与定积分的定义 （一）、定积分的定义： 设f 是定义在[a,b]上的一个函数，对于[a,b]的一个分割T={ 1,? 2?……n ?}，任 目录 第一讲极限 一极限定义 (3) 二极限性质 (4) 三函数极限基本计算 (8) 四综合计算 (11) 五数列极限计算 (14) 六函数连续与间断 (16) 第二讲一元函数微积分 一概念 (17) 1. 导数 (18) 2. 微分 (20) 3. 不定积分 (21) 4. 定积分 (23) 5. 变限积分 (28) 6. 反常积分 (29) 二计算 (29) 1. 求导 (29) 2. 求积 (33) 三应用 (40) 1. 微分应用 (40) 2. 积分应用 (43) 四逻辑推理 (43) 1. 中值定理 (49) 2. 等式证明 (50) 3. 不等式证明 (51) 第三讲多元函数的微分学（公共部分） 一概念 (51) 1. 极限的存在性 (51) 2. 极限的连续性 (52) 3. 偏导数的存在性 (52) 4. 可微性 (53) 5. 偏导数的连续性 (54) 二计算 (54) 三应用 (56) 第四讲二重积分（公共部分） 一概念与性质 (59) 二计算 (60) 1. 基础题 (60) 2. 技术题 (61) 三综合计算 (62) 第五讲微分方程 一概念及其应用 (63) 二一阶方程的求解 (64) 三高阶方程的求解 (66) 第六讲无穷级数 一数项级数的判敛 (67) 二幂级数求收敛域 (69) 三展开与求和 (69) 四傅里叶级数 (71) 第七讲多元函数微分学 一基础知识 (73) 二应用 (75) 第八讲多元函数积分学 一三重积分 (76) 二第一型曲线、曲面积分 (78) 1. 一线 (78) 2. 一面 (79) 三第二型曲线、曲面积分 (80) 1. 二线 (81) 2. 二面 (83) 第一章 函数、极限和连续 § 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2 ), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c为常数) 2.幂函数： y=x n , (n为实数) 3.指数函数： y=a x , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a＞0、a≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) 考研高数笔记 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 第一章 函数、极限、连续 第1节 函数 a) 反函数和原函数关于y=x 对称。 b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。 d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶 函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。 e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为 |T/a|。 f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数。初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。 g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。 第2节 极限 a) 左右极限存在且相等?极限存在。 b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中 0=(x)ɑlim 0 x x →。（等价无穷小） c) 极限存在?极限唯一。（极限唯一性） d) A x =→)(f lim 0 x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性） e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内f(x) 有界。（有界性） f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么 lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b （极限的四则运算） g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷 小和有界量乘积仍然是无穷小。 h) ) ()(lim x g x f =l i. l=0，f(x)=o(g(x)). ii. l=∞，f(x)是g(x)低阶. iii. 0 奇数表达式：2n-1 从1开始的连续奇数之和等于奇数个数的平方。偶数表达式：2n n为正整数高斯算法：首项加末项的和乘以项数除以二。 项数＝末项-首项的差÷公差+1 奇数+奇数＝奇数+偶数＝奇 奇数-奇数＝偶奇数-偶数＝数 偶数+偶数＝数可以用来解决：数线段、角、 偶数-偶数＝ (1) 2 n n 握手、单循环比赛、车票等问题 平面、立体图形分割（不论大小、形状） 平面1刀2刀3刀4刀5刀6刀n刀 切成的块数2 4 7 11 16 22 2+2+3+4 +..+n 为什么是这么多块2 2+2 2+2+3 2+2+3+4 2+2+3+4 +5 2+2+3+4 +5+6 2+2+3+4 +..+n 立体1刀2刀3刀4刀5刀6刀 切成的 块数 2 4 8 15 26 42 为什么 是这么 多块 4 4+4 8+7 立体图 形块数 结论 前一次切的块数加平面图形的前一刀得到的块数。 和一定时，两数相等（越接近）积最（越）大。 n边形（n＞3），减去一刀，该多边形可变为：n边形、n-1边形、n+1边形。 中心对称图形（正方形、长方形、圆等）过对称中心的任意一条直线，都可以将它的面积两等分 2.1正数与负数 ＞0（正数）＜0（a＞0） a ＝0（中性数） -a ＝0（a＝0） ＜0（负数）＞0（a＜0 按照概念分： 正整数自然数（非负数） 整数 0 负整数非正数 有 理正分数 数分数负分数 小数 有限小数 小 数无限小数无限循环小数 无限不循环小数无理数 按性质分： 正整数 正有理数非负有理数 有正分数 理 0 负整数 数负有理数非正有理数 负分数 2.2相反数 ＜0（a＞0）非负数（非正数的相反数） -a ＝0（a＝0） ＞0（a＜0）非正数（非负数的相反数） 非负数与非正数互为相反数。 若a、b互为相反数，则a+b＝0 若a、b互为负倒数，则乘积为-1 或a＝-b 或b＝-a 2.3绝对值 a（a＞0） 三分法：|a|＝ 0（a＝0） -a（a＜0） a（≥0） 两分法：|a|＝ -a（≤0） 绝对值的性质： |a|≥0（非负数） |a|≥0（绝对值一定是非负数）绝对值最小的数是0 互为相反数的两个数绝对值相等：|a|＝|-a| 若|a|＝b，则a＝±b；几个非负数的和为0，则这几个非负数分别为0. 若|a|＝|b|，则a＝±b 如：|a|+|b|＝0，|a|＝0、|b|＝0 2.4有理数的大小比较： 1.正数大于0，负数小于0 2.正数大于一切负数 3.两个正数比较大小，绝对值大的数较大。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 5.求差法比大小. 6.求商法比大小. 4.一组数比较大小，要分类 5.分数比较大小，可以按情况通分，可统一分母，也可统一分子。 数串的表达（1﹚奇数位为正，偶数位为负表达为： 数串的表达（2﹚奇数位为负，偶数位为正表达为： （n是第几个数，等式中的“（-1）?﹢1”和“（-1）?”表达这个数的符号） 在数轴上，求2点间的距离共3钟方法： 1.大数-小数. 2.|小数-大数| 3.同侧：绝对值相减（大-小）；异侧：绝对值相加。 2.6有理数加法： 注意：运算符号和性质符号要用括号隔开。 两数相加： 0和正数至少 0和负至少两数为0 两数和为正一正一负一个和为负一正一负一个和为0 互为两正是正数两负是负数一正一负相反数 a＞0，b＞0，a＋b＝ |a+b|＝|a|+|b| a＞0，b＜0，|a|＞|b|， 数学笔记知识点汇总 一、实数 2、平方根： ①如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根。 ②一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方。 ③求一个数a 的平方根运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。 3、算术平方根 如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根 4、立方根： ①如果一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根。 ②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。 ③求一个数a 的立方根的运算叫开立方，其中a 叫做被开方数。 10、非负数 11、零指数次幂、负指数次幂 二、代数式 3、整式运算： 4、分解因式：（1）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式 （2）方法：提公因式法/运用公式法/分组分解法/十字相乘法 （一提二套三分组） 6、分式的运算： 为同分母的分式，再加减。 0a ≥0≥20 a ≥0a 1(0)a =≠其中1(p p a p a -=≠为正整数,a 0) 7、二次根式 ①性质 ②运算 ③最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽的因数或因式。 ④同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。 ⑤有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘积不含有二次根式，则他们互为有理化 因式。如：⑥分母有理化：把分母中的根号化去。（方法：分子分母同乘以分母的有理化因式） 三、方程 （二）二次方程 1、概念 ①一元二次方程：只含有一个未知数．．．．．，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程 2、一元二次方程的解法：①直接开平方方法②因式分解法③配方法④公式法 3、一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 的两个实数根为x 1,x 2 则有 如：x 12+x 22=（x 1+x 2）2－2 x 1x 2 4、根的判别式 △=b 2-4ac ①△>0时，方程有两个不相等的实数根②△=0时，方程有两个相等的实数根③△<0时，方程没有实数根。 a c x x a b x x =?-=+2121,0,0)a b =≥≥0,0)a b =≥>0,0) a b =≥≥0,0) a b =≥>2 (0)a a =≥a =±±m 2 122 1 2 1 4)(x x x x x x -+=- ?? 目录 第一讲极限 一极限定义 (3) 二极限性质 (4) 三函数极限基本计算 (8) 四综合计算 (11) 五数列极限计算 (14) 六函数连续与间断 (16) 第二讲一元函数微积分 一概念 (17) 1. 导数 (18) 2. 微分 (20) 3. 不定积分 (21) 4. 定积分 (23) 5. 变限积分 (28) 6. 反常积分 (29) 二计算 (29) 1. 求导 (29) 2. 求积 (33) 三应用 (40) 1. 微分应用 (40) 2. 积分应用 (43) 四逻辑推理 (43) 1. 中值定理 (49) 2. 等式证明 (50) 3. 不等式证明 (51) 第三讲多元函数的微分学（公共部分） 一概念 (51) 1. 极限的存在性 (51) 2. 极限的连续性 (52) 3. 偏导数的存在性 (52) 4. 可微性 (53) 5. 偏导数的连续性 (54) 二计算 (54) 三应用 (56) 第四讲二重积分（公共部分） 一概念与性质 (59) 二计算 (60) 1. 基础题 (60) 2. 技术题 (61) 三综合计算 (62) 第五讲微分方程 一概念及其应用 (63) 二一阶方程的求解 (64) 三高阶方程的求解 (66) 第六讲无穷级数 一数项级数的判敛 (67) 二幂级数求收敛域 (69) 三展开与求和 (69) 四傅里叶级数 (71) 第七讲多元函数微分学 一基础知识 (73) 二应用 (75) 第八讲多元函数积分学 一三重积分 (76) 二第一型曲线、曲面积分 (78) 1. 一线 (78) 2. 一面 (79) 三第二型曲线、曲面积分 (80) 1. 二线 (81) 2. 二面 (83) 高数一（微积分）总复习笔录 可能考的知识点: 第一章：函数及其图形 (一)对于定义域的求法： 形如y=1/f(x)，要求f(x)不等于0 对于根号f(x)，要求f(x)大于等于0 对于Y=logf(x)，要求f(x)大于0 对于y=arccosf(x)或y=arcsinf(x)，要求f(x)大于等于负1,小于等于正1. *值域：以定义域带进去求。 (二)判断函数的奇偶性： 奇函数：f(-x)=-f(x)，关于原点对称； 偶函数：f(-x)=f(x)，关于Y轴对称。 (1)两个偶函数之和或差是偶函数，两个奇函数之和或差是奇函数； (2)两个偶函数或两个奇函数之积或商是偶函数； (3)一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数。 (三)复合函数的分解： (四)反函数的求法：把x 从y=f(x)中反解出来即可。 * (五)经济学中常用的函数： (1)需求函数：D=(a-P)/b；D=(a-P^2)/b； (2)供给函数：S=aP-b；S=(aP-b)/(cP+d)。 (3)总收益函数。 (4)总成本函数：总成本＝固定成本+可变成本。 (5)总利润函数： 第二章极限与连续 (一)收敛数项级数的极限计算： 1、当等比级数的公比的绝对值小于1时收敛，其和为a/(1-q)；当大于1时发散； 2、荚逼定理：； 3、单调上升有上界（或单调下降有下界）的数列必有极限。 (二)函数极限： 1、定理：当x->x`时函数f(x)以A为极限的充分必要条件是f(x)在x`的左、右极限都存在并均为A。 2、极限的四则运算法则： (三)利用无穷小量与无穷大量的运算法则求极限： 1、无穷小量：无穷小量的和、差、积也都是无穷小量。有界变量与无穷小量的积为无穷小量。 2、两个无穷小量相除：a/b趋于0，a是比b高阶的无穷小，a趋于0的速度比b 快； (四)利用无穷小量与无穷大量的关系求极限： (五)利用两个重要极限求极限： (六)利用函数的连续性求极限： 函数在一点处连续,要求在这一点有定义,函数的极限存在,并且相等. (七)利用等价无穷小的代换求极限： 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ???∈∈=21 )()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 2011年太奇MBA 数学全部笔记 1.备考资料： ①基础讲义②数学高分指南③太奇模考卷+周测+精选500题+历年真题 2..两个教训： A 、不要死抠题，要有选择的放弃，舍得一定的机会成本。每年都会有难题，考试时不要随便尝试死盯住一题不放。 B 、一定要找巧妙的方法（例如，特殊值法、看题目中条件间的关系等） 3、基础知识 ①基本公式： (1) 222 )2a b a ab b ±=±+（ (2) 33223 )33a b a a b ab b ±=±+±（ (3)2 2 ()()a b a b a b -+=- (4)3 3 2 2 ()()a b a b a ab b ±=±+减加 (5) 2222 )222a b c a b c ab ac bc ++=+++++（ （6） 2222222222() 1 [()()()]2 a b c ab ac bc a b c ab ac bc a b a c b c +++++=+++++=+++++ ②指数相关知识： n a a a a =????(n 个a 相乘) 1 n n a a -= n m a =若a ≥0, 则为a 的平方根， 指数基本公式： ③ 对数相关知识： 对数表示为log b a (a>0且a ≠1,b>0) ， 当a=10时，表示为lgb 为常用对数； 当a=e 时，表示为lnb 为自然对数。 有关公式：Log (MN) =logM+logN log log log m m n n =- log log n m b b a a n m = 换底公式：log 1log log log b b c a a a c b == 大一高数笔记 导数与极限 (一)极限 1. 概念 ,,,(1)自变量趋向于有限值的函数极限定义(定义) limf(x),A0,|x,a|,,|f(x),A|,,,,,0，,,0,x,a ，，当时，有。 (2)单侧极限limf(x),A,f(a,0),|f(x),A|,,,,,0，,,00,a,x,,,x,a 左极限: ，，当时，有。 limf(x),A，f(a，0),|f(x),A|,,,,,0，,,00,x,a,,,x,a 右极限: ，，当时，有。 (3)自变量趋向于无穷大的函数极限 ，，x,Xfx,A,,，，fx,,,0,，X,0xA定义1:，当，成立，则称常数为函数在趋于无穷时的 ，，limfx,Ax,,极限，记为。 ，，y,fxy,A为曲线的水平渐近线。 limf，，x,Af，，x,A,,,,,0，，X,0x,Xx,，,定义2:，当时，成立，则有。 limf，，x,Af，，x,A,,,,,0，，X,0x,,Xx,,,定义3:，当时，成立，则有。 运算法则: ，，，，,,，，，，limfx,Alimgx,,limfx，gx,,1) 1) 若，，则。 ，，，，，，，，，，limfx,A,0,但可为,limgx,,limfx,gx,,2) 2) 若，，则。 1lim,0，，limfx,,，，fx3) 3) 若，则。 lim注:上述记号是指同一变化过程。 (4)无穷小的定义 0,|x,a|,,|f(x)|,,f(x),,,0，,,0x,a ，，当时，有，则称函数在时的无穷小(量)， limf(x),0x,a即。 (5)无穷大的定义 0,|x,a|,,|f(x)|,Mf(x),M,0，,,0x,a ，，当时，有，则称函数在时的无穷大(量)， limf(x),,x,a记为。 ，，y,fxx,a直线为曲线的垂直渐近线。 2(无穷小的性质 定理1 有限多个无穷小的和仍是无穷小。 定理2 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。 推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小。 无穷小与无穷大的关系 1 limf(x),,f(x)f(x)x,ax,a若，且不取零值，则是时的无穷小。 3(极限存在的判别法 limf(x),Af(a,0),f(a，0),A,x,a(1)。 limf(x),Alimf(x),limf(x),A,x,,x,，,x,,, 。 limf(x),Af(x),A，,,,x,ax,a(2)，其中是时的无穷小。 limg(x),A?N(a,,)g(x),f(x),h(x)ax,a(3)夹逼准则:设在点的某个去心邻域内有，且已知和limh(x),Alimf(x),Ax,ax,a，则必有。 4(极限的性质 limf(x),Alimf(x),Bx,ax,aA,B(1)极限的唯一性若且，则。高中数学全套笔记
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