1 问： 有界数列是否一定收敛？无界数列是否一定发散？

1 问：有界数列是否一定收敛？无界数列是否一定发散？

答：有界数列不一定是收敛数列，例如，摆动数列

是有界的，因对一切n，有，但它是发散的；而数列

也是有界的，因对一切n，有，但数列是收敛的，有

。

无界数列一定是发散的，因为如果它是收敛的，根据收敛数列是有界的，得出数列有界的结论。

2问什么叫数列的上有界（有上界），下有界（有下界）？它们和数列有界有何关系？

其中M是与n无关的常数，称数

[答]如果数列{ }满足：对一切的n，有

}上有界（有上界），并称M是它的一个上界；如果数列{}满足：对一

，其中m是与n无关的常数，称数列{}下有界（有下界），

切的n，有

并称m是它的一个下界。数列上有界，下有界与数列有界的关系是：数列有

界的充分必要条件是数列，即上有界又下有界。证明如下：

充分性证明，设数列{ }上有界且下有界，则存在常数m和M，使对一切的n有

，那么且对一切的n，有

取 =

，

即所以数列{ }有界。

必要性证明：设数列{ }有界，则对一切的n，存在正常数，有

或，

取m=，M=，则对一切的n，有

同时成立，故数列{ }上有界且下有界。

3问为什么“单调递增上有界数列一定有极限”，“单调递减下有界数列一定有极限”？

答：因为单调递增数列的第一项就是它的一个下界，因此数列有上界，则该数列有界，因而收敛。当数列 { }单调递减，那么它的第一项就是它的一个上界，因此有下界，则该数列有界，因而收敛。