数轴上的距离公式和中点公式说明

《数轴上的距离公式和中点公式》课件内容介绍

适用范围：职业中学数学教学

作品名称：数轴上的距离公式和中点公式

本节是中等职业教育数学（基础模块下册）第八章第一节内容，

一、主要内容

1、教学目标的明确：

（1）、理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，会表示数轴上的某点的坐标。

（2）、掌握数轴上的距离公式和中点公式，并能用这两个公式解决有关问题。

（3）、培养学生勇于发现、勇于探索的精神以及合作交流等良好品质。

2、教学重点

数轴上的距离公式和中点公式

3、教学难点

数轴上的距离公式和中点公式的应用

二、本课教学流程

导入——回忆知识——讲授数轴上点的坐标的表示——探究、讨论、总结，得出数轴上的距离公式——再探究、再讨论，得出数轴上的中点公式——教师总结——例题示范——练习——作业布置

三、教学特点

这节课本着“教学创新，思维拓展，培养能力”的原则进行设计.通过问题的思考解决，由讨论探究的方式来调动学生的学习积极性，多媒体课件有重点、有顺序的推导公式、应用公式，提升学生的素养，培养学生的探究、讨论、总结的综合能力。

成才之路高中数学人教B必修二强化练习： 数轴上的基本公式

第二章 2.1 2.1.1 一、选择题 1．下列命题： ①相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等； ②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应； ③数轴上向量AB →的坐标是一个数，实数的绝对值为线段AB 的长度，如果起点指向终点 的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数； ④起点和终点重合的向量是零向量，它的方向是任意的，它的坐标是0. 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] D [解析] ①②③④都正确． 2．A 、B 为数轴上的两点，B 的坐标为－5，BA ＝－6，则A 的坐标为( ) A ．－11 B ．－1或11 C ．－1 D ．1或－11 [答案] A [解析] BA ＝x A －(－5)＝－6，∴x A ＝－11.故选A. 3．数轴上点P 、M 、N 的坐标分别为－2、8、－6，则在①MN ＝NM ；②MP ＝－10；③PN ＝－4中，正确的表示有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 [答案] C [解析] 数轴上的两点对应的向量的数量是实数，等于终点的坐标减去起点的坐标，故MN ＝NM 不正确，MP ＝－10，PN ＝－4正确． 4．数轴上向量AB →的坐标为－8，且B (－5)，则点A 的坐标为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C [解析] 由AB ＝x B －x A ，得－5－x A ＝－8，∴x A ＝3.

5．数轴上，M、N、P的坐标分别为3、－1、－5，则MP＋PN等于() A．－4 B．4 C．－12 D．12 [答案] A [解析]MP＋PN＝MN＝－1－3＝－4. 6．数轴上两点A(2x＋a)，B(2x)，则A、B两点的位置关系是() A．A在B左侧B．A在B右侧 C．A与B重合D．由a的取值决定 [答案] D [解析]2x＋a与2x的大小由a确定，从而A与B的位置关系也由a确定． 二、填空题 7．数轴上一点P(x)，它到A(－8)的距离是它到B(－4)距离的3倍，则x＝________. [答案]－2或－5 [解析]由题知|x＋8|＝3|x＋4|，则x＝－2或x＝－5. 8．已知点A(2x)、B(x)，点A在点B的右侧，则x的取值范围为________． [答案](0，＋∞) [解析]由已知，得2x>x，即x>0. 三、解答题 9．已知两点A、B的坐标如下，求AB、|AB|. (1)A(2)、B(5)；(2)A(－2)、B(－5)． [解析](1)AB＝5－2＝3，|AB|＝|5－2|＝3. (2)AB＝(－5)－(－2)＝－3， |AB|＝|(－5)－(－2)|＝3. 一、选择题 1．下列各组点：①M(a)和N(2a)；②A(b)和B(2＋b)；③C(x)和D(x－a)；④E(x)和F(x2)．其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是() A．①B．② C．③D．④ [答案] B

数轴-距离

数轴-距离 1. 数轴上表示－5的点离开原点的距离是( ) 个单位长度，数轴上离开原点6个单位长度的点有（ ）个，它们表示的数是（ ）． 2. 数轴上的A 点与表示－3的点距离4个单位长 度，则A 点表示的数为（ ）． 3. 点A 在数轴上距离原点3个单位长度，将点A 向右移动4个单位长度，再向左移7个单位长度，此时点A 表示的数是（ ）． 4. 在数轴上表示－2的点与表示＋7的点之间的 距离是（ ）． 5. 数轴上A 、B 两点离开原点的距离分别为2和 3，则AB 两点间的距离为（ ）． 6. 在数轴上点A 、B 分别表示 - 12 和 12 ，则数轴 上与A 、B 两点的距离相等的点表示的数是（ ）． 7. 在数轴上到原点距离等于2的点所对应的数是（ ）．这两点之间的距离是（ ）． 8. 点A B ，在数轴上对应的实数分别为m n ，，（n 在m 的右边）则A B ，间的距离是（ ）． 9. 因为到点2和点6距离相等的点表示的数是4， 有这样的关系 ()6221 4+= ，那么到点 100和 到点999距离相等的数是（ ）．到点 7 6 ,54-距离相等的点表示的数是（ ）．到点m 和 点–n 距离相等的点表示的数是（ ）． 10. 若数轴上的点A 和点B 分别表示相反的两个 数，A 在B 的左侧，且A 、B 两点的距离等于7，那么A 、B 分别为（ ）和（ ） 11. 数轴上a 、b 、c 三点分别表示-7，-3，4，则这 三点到原点的距离之和是（ ） 12. －3和3的符号一个是（ ）．一个是 （ ）．－3和3到原点的距离都是（ ）．像这样只有（ ）的数，称他们为互为相反数。在数轴上，可发现互为相反的两个数到原点的距离（ ）． 13. 数轴上A 点表示－3，B 、C 两点表示的数互 为相反数，且点B 到点A 的距离是2，则点C 表示的数应该是（ ）． 14. 已知数轴上有A 、B 两点，它们之间的距离为 5，点A 离原点的距离为2，请探求满足条件的点B 所表示的数. 15. 如图，先在数轴上画出表示2.5的相反数的点 B,再把点A 向左移动1.5个单位,得到点C,求点B,C 表示的数,以及B,C 两点间的距离. 16. 已知在纸面上有一数轴，折叠纸面 若1表示的点与－1表示的点重合，则－2表示的点与数（ ）．表示的点重合； 若－1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数（ ）．表示的点重合； ②若数轴上A 、B 两点之间的距离为9（A 在B 的左侧）．且A 、B 两点经折叠后重合，求A 、B 两点表示的数是（ ）． 17. 甲数的绝对值是乙数绝对值的2倍，在数轴上 甲、乙两数在原点的同侧，并且对应两点的距离等于10，求这两个数． 0 2.5

利用绝对值求数轴上两点间的距离(含答案)

利用绝对值求数轴上两点间的距离 1.探究活动： 【阅读】我们知道，|﹣5|表示数轴上表示﹣5的点到原点的距离，|a|表示数轴上表示a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义 【探索】（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；数轴上两个点A、B，分别用数a，b表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝ （2）数轴上表示x和﹣1的两点A、B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x的值为 （3）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和﹣2的距离之和为7．所有符合条件的整数x有． 2.在数轴上，表示数x的点到原点的距离用|x|表示，如果表示数m的点和﹣5的点之间的距离是3，那么m ＝；|c﹣|+|c﹣4|+|c+1|的最小值是 3.绝对值的几何意义可以借助数轴来认识，一个数的绝对值就是数轴上表示的点到原点的距离，如|a|表示数轴上a点到原点的距离，推广而之：|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数a的点之间的距离，|x﹣a|+|x﹣b|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a、b两点的距离之和．（1）已知|x﹣1|+|x﹣2|＝4，求x的值；（2）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+3|的和的最小值为． 4.在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|＝|5﹣0|，即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，有：|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是2，则点Q表示的数是．（2）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣3、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）；满足|x﹣3|+|x+2|＝7的x 的值为．（3）试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值．

人教版七年级上册：数轴上两点间的距离及动点问题 专题练习 (无答案)

数轴上两点间的距离及动点问题 自我检测： （1）数轴上表示3和7的两点之间的距离为； （2）数轴上表示-3和-7的两点之间的距离为； （3）数轴上表示3和-7的两点之间的距离为； （4）若数轴上表示a和-3的两点之间的距离是5，则a值为； 典型例题： 例1：如图，三点A，B，C在数轴上，点A，B在数轴上表示的数分别为-12，16，（规定：数轴上两点A，B之间的距离记为AB） （1）点C在A，B两点之间，满足AC=BC，则C对应的数是； （2）点C在A，B两点之间，满足AC：BC=1:3，则点C对应的数是； （3）点C在数轴上，满足AC:BC=1:3，则点C对应的数是； （4）若点C在数轴上，满足AC+BC=32，则点C的数为； （5）点C在数轴上，满足AC-BC=12，则点C对应的数为； （6）点P，Q分别从A，B两点同时出发，在数轴上运动，它们的速度分别是2个单位／秒，它们运动的时间为t秒。 ①点P，Q在A，B之间相向运动，当它们相遇时，P点对应的数是； ②点P，Q都向左运动，当Q点追上P点时，求P点对应的数； ③点P，Q在点A，B之间相向运动，当PQ=8时，直接写出P点对应的数；

10O B A 0 100B A 练习： 如图，点A 、O 、B 在数轴上表示的数分别为-6，0，10，其中A ，B 两点间的距离可记为AB 。 （1）点C 在数轴上的A ，B 两点之间，且AC=BC ，则点C 对应的数是 ； （2）点C 在数轴上的A ，B 两点之间，且BC=3AC ，则点C 对应的数是 ； （3）点C 在数轴上，且AC+BC=20，求点C 对应的数。 能力提升： 例1、已知数轴上有A 、B 、C 三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从 A 、C 两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。 （1） 问多少秒后，甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位？ ⑵若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ ⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位时，甲调头返回。问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由 练习1、、如图，已知A 、B 分别为数轴上两点，A 点对应的数为—20，B 点对应的数为100。 ⑴求AB 中点M 对应的数； ⑵现有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，求C 点对应的数； ⑶若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数 练习2、已知点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且|a+4|+（b-1)2=0，A 、B 之间的距离记作|AB|，定义：|AB|=|a-b|. (1)求线段AB 的长|AB|； (2)设点P 在数轴上对应的数为x ，当|PA|-|PB|=3时，求x 的值； (3)若点P 在A 的左侧，M 、N 分别是PA 、PB 的中点，当P 在A 的左侧移动时，下列两个结论：①|PM|+|PN|的值不变；②|PN|-|PM|的值不变，其中只有一个结论正确，请判断出正确结论，并求其值

2.1.1数轴上的基本公式

2.1.1数轴上的基本公式 网络坐标法 地图起源很早，传说在人类发明象形文字以前就有了地图。战国时期，军事地图更为普遍。《孙子兵法》和《孙膑兵法》分别附图9卷和4卷。《管子·地图篇》曾道，凡统帅军队者，必事先详尽熟悉和掌握军事活动地区的地图。1973年湖南长沙马王堆3号汉墓出土三幅西汉初年地图。一幅为地形图，一幅为驻军图，另一幅为城邑图。距今已有2100多年。 如果把坐标法理解为通过某一特定系统中的若干数量来决定空间位置的方法，那么战国时代魏人石申用距度（或入宿度）和去极度两个数据来表示恒星在天球上位置的星表，可以说是一种球面坐标系统的坐标法。古希腊的地理学家和天文学家也广泛地使用球面坐标法。西晋人裴秀（223－271）提出“制图六体”，在地图绘制中使用了相当完备的平面网络坐标法。 用坐标法来刻画动态的、连续的点，是它沟通代数与几何而成为解析几何的主要工具的关键。阿波罗尼在《圆锥曲线论》中，已借助坐标来描述曲线。十四世纪法国学者奥雷斯姆用“经度”和“纬度”（相当于纵坐标和横坐标）的方程来刻画动点的轨迹。十七世纪，费马和笛卡儿分别创立解析几何，他们使用的都是斜角坐标系：即选定一条直线作为x轴，在其上选定一点为原点，y的值则由那些与x轴成一固定角度的线段的长表示。 最早引进负坐标的是英国人沃利斯，最早把解析几何推广到三维空间的是法国人费马，最早应用三维直角坐标系的是瑞士人约翰·贝努利。“坐标”一词是德国人莱布尼兹创用的。牛顿首先使用极坐标，对于螺线、心形线以及诸如天体在中心力作用下的运动轨迹的研究甚为方便# 不同的坐标系之间可以互换，最早讨论平面斜角坐标系之间互换关系的是法国人范斯库腾。 我们今天常常把直角坐标系叫笛卡儿坐标系，其实那是经过许多后人不断完善后的结果。 目标重点：理解和掌握数轴上的基本公式； 目标难点：熟练应用数轴上的基本公式； 学法关键： 1．判断一个量是否为向量，就是要判断该向量是否既有大小，又有方向； 2．注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个正数，而向量的坐标是一个实数（正数，负数，零）； 3．数轴上一个向量的坐标等于其终点坐标减去起点坐标。 研习点1.直线坐标系 1．直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。如图：

《数轴上的基本公式》教案

《数轴上的基本公式》教案 教学目标 1．理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义． 2．掌握数轴上两点间的距离公式． 3．掌握数轴上向量加法的坐标运算． 4．理解向量相等及零向量的概念． 教学重难点 1．理解和掌握数轴上的基本公式； 2．熟练应用数轴上的基本公式； 教学关键 1．判断一个量是否为向量，就是要判断该向量是否既有大小，又有方向； 2．注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个正数，而向量的坐标是一个实数（正数，负数，零）； 3．数轴上一个向量的坐标等于其终点坐标减去起点坐标． 教学过程 一、研习点 研习点1：直线坐标系 1．直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系．如图： 2．数轴上的点P 与实数x 的对应法则： 如果点P 在原点朝正向的一侧，则x 为正数，且等于点P 到原点的距离；如果点P 在原点朝负向的一侧，则x 为负数，其绝对值等于点P 到原点的距离；如果点P 在原点，则表示x =0，由此，实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系； 3．如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P (x )； 研习点2：向量 1．既有大小又有方向的量，叫做位移向量，简称向量．从点A 到点B 的向量，记作AB ，

读作“向量AB ”．点A 叫做向量AB 的起点，点B 叫做向量AB 的终点； 2．向量的长度：线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB |； 3．相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量； 4．数量：用实数表示数轴上的一个向量，这个实数叫做向量的坐标或数量． 常用AB 表示向量AB 的坐标． 研习点3：如何理解相等向量？ 1．数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量，定义中没有对向量的起点和终点作出限制，实际上不管起点在什么位置，只要方向相同，长度相等，这样的向量就是相等向量． 2．相等的向量，坐标相等，反之，如果数轴上的两个向量的坐标相等，则这两个向量相等． 3．如果把相等的所有向量看成一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的． 研习点4：基本公式 1．位移的和：在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC AB BC =+ ; 2．数量的和：对数轴上任意三点A 、B 、C 都有关系AC =AB +BC ； 3．数量的坐标表示：使AB 是数轴上的任意一个向量，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB =x 2 －x 1； 4．数轴上两点间的距离公式：用d (A ，B )表示A 、B 两点间的距离，则d (A ，B )=|x 2－x 1|． 二、例题 例1．下列说法中，正确的是（ ） （A ）AB =AB （B ）AB =BA （C ）零向量是没有方向的 （D ）相等的向量的坐标（数量）一定相同 解：根据向量和数量的定义可知D 正确． 例2．在数轴上表示下列各点：A (－3)，B (－1)，C (1)，D (2)，并找出与C 的距离是1 两点M 、N ，并写出它们的坐标． 解：如图 与C 的距离是1的点M 、N 分别位于点C 的两侧：M (0)，N (2)，点N 与点D 重合

数轴上的基本公式mcg!

数轴上的基本公式 编写人：马成刚王斌审核人：石夕坤时间：2011.12 一、学习目标 （1）理解和掌握数轴上的基本公式。 （2）探索数轴上的两点的距离公式 二、学习重点难点 向量的坐标的概念和数轴上的基本公式 三、自主学习展示 （一）数轴 （1）坐标方法 用数字或符号来确定一个点或一个物体位置的方法叫做 .相关的符号和数称做点的 . （2）数轴 一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系. 数轴的三要素：、、 . 2、自主学习阅读课本P65页，第二、三、四段，找出下列问题的答案 （1）数轴上点P与实数x的对应法则是怎样规定的？依据这个法则，实数和数轴上的点之间建立了怎样的一种关系？ （2）数轴上点的坐标是怎么规定的？ （3）你能用数轴解释|x|和|x-1|的意义吗？

（7）你能用数轴比较两个数的大小吗？ （二）向量 自主学习 阅读课本P66页，找出相应的数学概念 （1）位移向量是如何定义的？ （2）相等的向量 （3）如何表达数轴上的一个向量？ （4）零向量是怎样定义的？它的坐标是什么？ (5) 实数与数轴上的向量之间是如何对应的？ （6）两个位移的和 （7）数轴上的向量运算公式 （三）数轴上向量的坐标公式及两点间的距离公式 点A 的坐标为1x ，点B 的坐标为2x ，则 （1）AB= （2）d(A ，B)= 例3 将满足下列条件的x 的范围用区间表示，并在数轴上分别画出点P （x ）。 (1) ()23,≤-x d (2)211≤-≤x

变式训练在数轴上分别画出点P（x）。 1 )2(= - x x2 2 - 1 )1(> 反思总结：

2、数轴上任意两点间的距离公式

分类讨论 1、一只蚂蚁从数轴上的点A 出发，爬了6个单位长度到了表示－1的点，则点A 所表示的数是 . 2、数轴上与表示-2的点相距两个单位长度的点表示的数是 。 3、【数形结合思想】根据如图所示的数轴，解答下面问题： (1)在数轴上，A ，B 两点分别表示几？ (2) 请问A ，B 两点之间的距离是多少？ (3) 在数轴上与A 点距离为2个单位长度的点表示的数是什么？ 4、若|a|＝1 2 ，则a ＝ 。 5、绝对值大于2但不大于5的整数是 。 相反数 1、如图所示，已知A ，B ，C ，D 四个点在一条没有标明原点的数轴上.若点A 和点C 表示的数互为相反数，则原点为( ) A. A 点 B.B 点 C.C 点 D.D 点 2、一个数在数轴上所对应的点向左移2 020个单位长度后，得到它的相反数对应的点，则这个数是(C) A.2 020 B.－2 020 C.1 010 D.－1 010 3、如图，1个单位长度表示1，观察图形，回答问题： (1)若点B 与点C 所表示的数互为相反数，则点B 所表示的数为 ； (2)若点A 与点D 所表示的数互为相反数，则点D 所表示的数是 ； (3)若点B 与点F 所表示的数互为相反数，则点E 所表示的数的相反数是多少？

4、化简下列各数： ①－[－(＋1)] ②－[＋(－8)] ③－(－a) ④－[－(－a)] (2)化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“－”的个数有什么关系？ 巧取特殊值 1、a，b两数在数轴上的对应点的位置如图，下列各式正确的是( ) A.b＞a B.－a＜b C.|a|＞|b| D.b＜－a＜a＜－b 2、有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列运算结果中是正数的有( ) ①a－b；②b－c；③d－a；④c－a. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 数轴上任意两点间的距离公式 一、阅读下列材料： 我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即|x|＝|x－0|，也可以说，|x|表示数轴上数x 与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为|x1－x2|表示数轴上数x1与数x2对应点之间的距离. 例1：已知|x|＝2，求x的值. 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为－2或2，所以x的值为－2或2. 例2：已知|x－1|＝2，求x的值. 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3或－1，所以x的值为3或－1. 仿照材料中的解法，求下列各式中x的值. (1)|x|＝3； (2)|x－(－2)|＝4.

人教版初一数学上册数轴上两点间的距离

两点间的距离 【学习目标】 会借助数轴理解绝对值的几何意义进而求数轴上两点间的距离. 【回顾】 1、数轴上两点A,B， （1）若A点表示2，B点表示4，则A、B两点间的距离等于________; -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5（2）若A点表示2，B点表示4 -，则A、B两点间的距离等于________; -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5（3）若A点表示2 -，B点表示4 -，则A、B两点间的距离等于________. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 2、通过以上特例，可以发现： 数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值. 如图所示，点A,B在数轴上分别对应的数为a,b，则A,B两点间的距离表示 为|AB|= ______________ B 例如5与2 -两数在数轴上所对应的两点之间的距离可列式为|5(2)|7 --= 列式计算： （1）若A点表示8，B点表示26,求A,B两点间的距离；（2）若A点表示8 -，B点表示26,求A,B两点间的距离；（3）若A点表示8 -，B点表示26 -,求A,B两点间的距离；

【应用】 3、我们知道|5(2) --|表示5与2-之差的绝对值，实际上也可理解为5与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离.那么， （1）|4-2|表示_________与________之差的绝对值，实际上也可理解为______与_____两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）|5(3) ---|表示_________与________之差的绝对值，实际上也可理解为 ______与_____两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （3）|53 --|表示_________与________之差的绝对值，实际上也可理解为 ______与_____两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （4）①数轴上表示x和3的两点A和B之间的距离是______________,如果|AB|=2，那么x的值是___________. ②数轴上表示x和1 -的两点A和B之间的距离是______________,如果|AB|=2，那么x的值是___________.

数轴上的距离公式与中点公式

数轴上的距离公式与中点公式 考点解析及例题讲解 1. 数轴上点的坐标 在数轴上，如果点P 与x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P (x )． 练习一 观察数轴，完成下列题目： （1）点P 与－3.5对应，则点P 的坐标是 ，记作 ； （2）点A 的坐标是 ，记作 ； （3）点B 的坐标是 ，记作 ； （4）点O 的坐标是 ，记作 ． 2. 数轴上的距离公式 探究一 如图，填空： （1）图中点A 的坐标是 ，B 的坐标是 ，C 的坐标是 ，点D 的坐标是 ； （2）点A 与B 之间的距离|AB |=，点C 与A 之间的距离|CA |=，点B 与C 之间的距离|BC |=； （3）你能找出数轴上两点间距离与两个点坐标之间的关系吗？ 一般地，如果A (x 1)，B (x 2)，则这两点的距离公式为 |AB |=|x 2－x 1|． 探究二 在以上例子中，我们遇到的数轴都是水平放置的，如果数轴不是水平放置的(如下图所示)，数轴上的距离公式成立吗？ x ● x P ● ● ● B A O ● x ● ● C ● ● 1 2 4 1 2 3 4 B

试求两个图中点A 与B 之间的距离． 3. 数轴上的中点公式 探究三 根据下图回答问题： （1）点A (－1)，C (－3)的中点坐标是多少？中点坐标与A ，C 两点的坐标有怎样的关系？ （2）点A (－1)，D (1)的中点坐标是多少？中点坐标与A ，D 两点的坐标有怎样的关系？ 一般地，在数轴上，A (x 1)，B (x 2)的中点坐标x 满足关系式 x ＝ x 1＋x 22． 4. 应用 例 已知点A (－3)，B (5)，求： （1）|AB |； （2）A ，B 两点的中点坐标． 解 （1）|AB |＝|5－(－3)|＝8； （2）设点M (x )是A ，B 两点的中点，则 x ＝ －3＋52＝1． 即A ，B 的中点坐标为1． 平面直角坐标系中的距离公式和中点公式 1. 距离公式 探究一 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． y 轴作垂线AA 1，AA 2和BB 1，BB 2，垂足分别为A 1，A 2，B 1，B 2，其中直线BB 1和AA 2相交于点C ． 两点的距离公式 |AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2． x ● ● C A D ●

七年级数学数轴上的动点问题

数轴上的线段与动点问题 一、与数轴上的动点问题相关的基本概念 数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离.主要涉及以下几个概 念： 1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值d=|a-b|, 也即用右边的数减去左边的数的差.即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数. 2.两点中点公式：线段AB中点坐标=（a+b）÷2. 3.点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度.这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标.即一个点表示的数为a，向左运动b 个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b. 4.数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系. 二、数轴上的动点问题基本解题思路和方法： 1、表示出题目中动点运动后的坐标（一般用含有时间t的式子表示）. 2、根据两点间的距离公式表示出题目中相关线段长度（一般用含有时间t的式子表示）. 3、根据题目问题中线段的等量关系（一般是和、差关系）列绝对值方程. 4、解绝对值方程并根据实际问题验算结果. 注：数轴上线段的动点问题方法类似 1、已知数轴上A、B两点对应数为－ 2、4，P为数轴上一动点，对应的数为x. －2 －1 0 1 2 3 4 (1) 若P为AB线段的三等分点，求P对应的数； （2）数轴上是否存在P，使P到A点、B点距离和为10，若存在，求出x；若不存在，说明理由. （3）若点A，点B和点P（点P在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，2，1个长度单位/分，则第几分钟时，P为AB的中点？

平面内两点间的距离公式

两点间的距离公式 【教学目标】 1、 掌握平面内两点的距离公式和中点公式 2、 能熟练应用平面内两点间距离公式和中点公式进行运算 【教学重点】 平面内两点的距离公式和中点公式的应用 【教学难点】 平面内两点的距离公式和中点公式的应用 【教学过程】 引入： (如图)在数轴上有两点7,521=-=x x 则x x 2 1= -5 0 7 X 在直角三角形中，怎样求出斜边的长度 在直角坐标系中，已知点P （x,y ）,那么|OP|= x y

平面直已知两点1P P P 21说明 (1) 如果P 1P 2 x x 是x x 1 2- (2) 如果P 1和P 2两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上,两点距离 是y y 1 2- 试一试1：求平面上两点)7,1(),2,6(-B A 间的距离AB . 试一试2：求下列两点间的距离： （1）)0,2(),0,2(B A - （2）)7,0(),3,0(-B A （3）)4,2(),3,2(B A - (4))6,8(),9,5(B A - 试一试3：已知A （a,3），点B 在y 轴上，点B 的纵坐标为10，AB =12，求a 。 线段的中点公式 点),(111y x P ，),(2 22y x P 之间所连线段的中点P 坐标为 22 1x x x + =，221y y y +=。 说明公式对于P 1和P 2两点在平面内任意位置都是成立的 试一试3：求下列两点的中点坐标

（1）)13,2(),3,2(B A -（2）)6,18(),9,15(B A - （二）典型例题： 已知三角形的顶点是)2,7(),0,0(B A ，),4,1(-C ，求此三角形两条中线CE 和AD 的长度 （解题过程在书240页） 【自我检测】 1、平面直角坐标系中，已知两点),(111y x P ，),(2 22y x P ，两点距离公式为 2、点),(111y x P ，),(2 22y x P 之间所连线段的中点P 坐标为 3、 已知下列两点，求AB 及两点的中点坐标 （1） A （8，6），B （2，1） （2）A （-2，4）B （-2，-2） 4、 已知A(-4,4),B(8,10)两点，求两点间的距离AB 5、 已知下列两点，求中点坐标： a) A （5，10），B （-3，0）（2）A （-3，-1），B （5，7） 6、 已知点A （-1，-1），B （b,5）,且AB =10，求b.

中职数学基础模块8.1.1数轴上的距离公式与中点公式教学设计教案人教版

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课时教学流程 ☆补充设计☆

坐标是，C的坐标是，点D的坐标是； (2 )点A与B之间的距离|AB|= ，点 C与A之间的距离 |CA|= ，点B与C之间的距离 |BC|= ； (3)你能找出数轴上两点间距离与两个点坐标之间的关系吗？ 一般地，如果A(x)B(X2),则这两点的距离公式为 AB|=|x2 - x i |. 探究二 在以上例子中，我们遇到的数轴都是水平放置的，如果数轴不是水平放置的(如下图所示)，数轴上的距离公式成立吗？ x y? / -4 B J4B"3 / A( 试求两个图中点A与B之间的距离. 3.数轴上的中点公式 探究三 根据下图回答冋题： C A D —3 —2 —1 0 1 2 x (1)点A( —1), C(—3)的中点坐标是多少？中点坐标与A, C两点的坐标有怎样的关系？ (2)点A( —1), D(1)的中点坐标是多少？中点坐标与A, D两点的坐标有怎样的关系？ 一般地，在数轴上,A(x)B(X2)的中点坐标x满足关系式 X1+ X2 x= 2. 第(2)题主要是引导学生从图象 上直观地求距离. 学生在尝试解决问题(3) 的过程 中，使认知得到升华. 在探究的基础上，教师给出数 轴上两点的距离公式. 教师提出问题，学生观察并尝 试解决. 师：不管数轴在平面上怎么放 置，两点间的距离公式是不变的. 教师投影提出问题，学生分组 讨论探究. 教师巡视. 学生在尝试解决问题的过程 中，探究中点公式. 在探究的基础上，教师引导学 生归纳出数轴上两点的中点公式. 式，形成知识的主动认 知. 使学生由感性认 知(算法)上升到理性认 知(公式). 探究二使学生认 识到非水平放置的数轴 上的两点间的距离公式 是不改变的，特别是竖 直放置的数轴上的距 离冋题，为下节解决平 面直角坐标系中两点间 的距离公式打下基础. 让学生通过小组 合作，在探究过程中， 归纳得出数轴上两点间 的中点公式.

七年级数学复习专题(3) 两点间的距离

七年级数学复习专题(3): 两点间的距离 1.数轴上两点间的距离通常可以用绝对值来表示； （1）①若数轴上表示点A 的数为3，表示点B 的数为1.则点A 到点B 的距离为 AB ＝｜3－1｜＝2或AB ＝｜1－3｜＝_____; ②若点A 表示－1，点B 表示－2， 则AB ＝1)2(1=---或AB ＝=---)1(2_____; ③若点A 表示3，点B 表示－2， 则AB ＝5)2(3=--或AB ＝=--32_____; (2)观察发现: 若点M 在数轴上表示的数为m,点N 在数轴上表示的数为n, 请按以上方法表示MN 的长. (3)拓展应用: 若数轴上的数x 与2的距离为3,请列出相应的等式,并按以上规律求x 的值. 2. 数轴上表示数－1的点为A ，则数轴上到点A 的距离为3个单位长度的点表示 的数是_________. 3. 当－1≤x ≤3时，化简13x x ＋＋－＝_______________ 4.若),(,4,9y x y x y x --=-==且xy>0求x ＋y 的值. 5. 若关于x 的多项式326351mx x x －＋－与3247nx nx x ＋－－相减后，结果为一次多项式，①求m, n 的值; ②求222211(2)(3)32 m n mn m n mn －－－的值.

6.如图是今年11月份的月历，用一个小正方形任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数 中最中心的数为x. （1）用含x的式子表示圈出的9个数的和. （2）若圈出的9个数的和为180，求圈出的最大数是多少？ 7.出租车司机小王某天上午营运在东西走向的A大道上，如果规定向东为正，即向东行驶2千米记为＋2千米，他这天上午连续行车的里程数（单位：千米）如下：＋4，－10，－2，＋3，＋2，＋10，－4，＋7，－5，＋3.5 （1）把小王上午的出发地记为M，将第3名乘客送到目的地后，小王距出发地 M______ 千米，此时，小王在M的________（填方位）. （2）将最后一名乘客送到目的地后，小王距出发地M有多远？此时他在出发地M 的什么方位？ （3）A大道至少有多长？ （4）若出租车的起步价为6元，即路程不超过4千米时，车费都为6元，路程超过4千米时，每超1千米还需另加收2.5元，那么小王这天上午的营运额是多少元？

1.4.2(4.4)专题：数轴上两点之间的距离(P24)

1.3.2(4)专题：数轴上两点之间的距离 一．【知识要点】 1.数轴上的点表示的数的规律 ==-=-。 2.在数轴上，若点A,B分别表示数a,b，则A,B两点之间的距离：AB AB a b b a 二．【经典例题】 1.已知在纸面上有一数轴如图所示，折叠纸面 （1）若折叠后，数1表示的点与数-3表示的点重合，则此时数-2表示的点与数______表示的点重合。 （2）若折叠后，数3表示的点与数-2表示的点重合，则此时数5表示的点与数______表示的点重合； （3）在（2）的情况下，数轴上有A，B两点也重合，且A，B两点间的距离是9（A在B的左侧），则A点表示的数是______，B点表示的数是______； （4）在（2）的情况下，数轴上的点C，D两点也重合，且C点表示数2020，则D点表示的数是______。 2.已知数轴上有A.B.C三点，分别表示有理数-26，-10，10，动点P从A出发，以每秒1个单 位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA=________，PC=_____________ （2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A，从点Q开始运动记时，请问当t的值为10秒,12秒,15秒，24秒时，P、Q两点间的距离是多少？

3.阅读下面的材料： 点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为∣AB ∣，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1-1-1,∣AB ∣＝∣OB ∣=∣b ∣=∣a-b ∣；当A 、B 两点都不在原点时: ①如图1-1-2，点A 、B 都在原点的右边: ∣AB ∣=∣OB ∣-∣OA ∣=∣b ∣-∣a ∣=b-a=∣a-b ∣； ②如图1-1-3，点A 、B 都在原点的左边: ∣AB ∣=∣OB ∣-∣OA ∣=∣b ∣-∣a ∣=-b-（-a ）=∣a-b ∣； ③如图1-1-4，点A 、B 在原点的两边: ∣AB ∣=∣OA ∣+∣OB ∣=∣a ∣+∣b ∣=a+（-b ）=∣a-b ∣， 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离∣AB ∣=∣a-b ∣． 回答下列问题: ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________； ②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是______，如果∣AB ∣=2， 那么x 为______． ③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x 的取值范围是__________,最小值为____. ④当代数式127x x x ++-+-取最小值时，相应的x 的取值范围是__________,最小值为________. ⑤当代数式2127x x x x ++++-+-取最小值时，相应的x 的取值范围是__________,最小值为________. 4.A 走到点B ，要经过32个单位长度。 (1)求A 、B 两点所对应的数； (2)若点C 也是数轴上的点，点C 到点B 的距离是点C 到原点的距离的3倍，求点C 对应的数； (3)已知，点M 从点A 向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N 从点B 向右出发，速度为每秒2个单位长度，设线段NO 的中点为P ，线段PO ?AM 的值是否变化?若不变求其值。 三．【题库】

两点间距离公式中点公式

两点间距离公式、中点公式 教学目标：掌握两点间坐标公式、中点公式 教学重点、难点：公式的应用 教学过程： 一、两点间距离公式： 初中曾学习过数轴上两点间距离，实际就是求数轴上两 点所表示的两个数的差的绝对值。 现在我们研究平面内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离 。 如图，由点P1，P2分别作x轴的垂线P1M1，P2M2，与x轴分别交于点M1（x1，0），M2（x2，0）；再由点P1，P2分别作y轴的垂线P1N1，P2N2，与y轴分别交于N1（0，y1），N2（0，y2），直线P1N1，P2M2相交于Q点，则有 P1Q＝M1M2＝｜x2－x1｜，

Q P 2＝N 1N 2＝｜y 2－y 1｜。 由勾股定理，可得 P 1P 22＝P 1Q 2＋Q P 22 ＝｜x 2－x 1｜2＋｜y 2－y 1｜2 ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2 由此得到平面内P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）两点间的距离公式 例1、求平面上两点A （1，-2），B （3，5）之间的距离。 解 ()()53251322=++-=AB 二、中点公式 平面内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），线段的中点，求点P 的坐标（x ，y ）. 由点P 1，P 2分别作x 轴的垂线P 1M 1，P 2M 2，与x 轴分别交于点M 1（x 1，0），M 2（x 2，0），M (x ,0),则 即 x x x x -=-21 所以 2 21x x x +=

类似上面方法可得 因此，点21p p 之间锁链线段的中点坐标为 221x x x +=，2 21y y y += 上式称为线段的中点公式。 例2、有一线段A B ，它的中点坐标是（4，2），端点A 坐标是（-2，3），求另一端点的坐标。 解 设另一端点B 坐标为()y x ,，由中点坐标公式可知 2 32,224y x +=+-= 解之得1,10==y x 所以端点坐标为()1,10。 作业：B 1、5

数轴上的距离与动点问题 -

数轴上两点之间的距离与动点问题 七年级数学组 学习目标： 1、熟悉数轴上两点间距离。 2、学会用式子表示数轴上动点的方法。 3、学会用分类讨论、方程的思想去分析问题和解决问题。 学习重点： 掌握数轴上两点之间的距离，体会分类讨论的方法和方程的思想在解题中的作用。 学习难点： 运用分类讨论方程的思想解决数轴上动点的问题。 学习过程： 一．复习引入： 复习数轴和绝对值的概念。 二．自主探究 数轴上点的平移 (1)数轴上点A表示的数为1，则A向左移动4个单位后表示的数为____,如果向右移动4个单位后表示的数是； (2)数轴上点B表示的数为-1，则B向左移动4个单位后表示的数为 ,如果向右移动7个单位后表示的数是。 归纳：一个点表示的数为a,向左运动b个单位后表示的数为，向右运动b个单位后所表示的数为。 三．合作探究 探究一数轴上两点间的距离（1）如图，点A与点B之间的距离=___；点C与点A之间的距离=___；点B与点C之间的距离= ；（2）如图，点M与D点之间的距离；点N与D之间的距离；点N与-1之间的距 离； （3）你能找出数轴上两点间距离与这两个点对应的数之间的关系吗？ 归纳：一般地，在数轴上，如果点A对应的数为a，点B对应的数为b,则这两点的距离公式为： 想一想：AB=|a-b|，试解释|x-4|的几何意义？ 探究二数轴上两点运动 例: 如图，点A、B在数轴上表示的数分别是-4和2，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度也向正方向运动。设运动时间为t秒。 （1）经过t秒后，请用含t的代数式表示点P对应的数：，点Q对应的数：用含t的代数式表示点P 与点Q的距离：PQ= （2）运动几秒后，P、Q两点相距2个单位长度？ （3）运动几秒后，PB=BQ？

第七章-应用题-中点、两点间距离公式应用

中点、两点间距离公式应用 一．解答题（共5小题） 1．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P 从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t＞0）秒． （1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？ （3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长． 2．如图，在数轴上有A、B两点，所表示的数分别为a、a+4，A点以每秒3个单位长度的速度向正方向运动，同时B点以每秒1个单位长度的速度也向正方向运动，设运动时间为t秒． （1）运动前线段AB的长为，t秒后，A点运动的距离可表示为，B点运动距离可表示为； （2）当t为何值时，A、B两点重合，并求出此时A点所表示的数（用含与a的式子表示）； （3）在上述运动的过程中，若P为线段AB的中点，O为数轴的原点，当a=﹣8时，是否存在这样的t值，使得线段PO=5？若存在，求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 3．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．

【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动． 设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB=，线段AB的中点表示的数为； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； （3）求当t为何值时，PQ=AB； （4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 4．（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是； （2）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是4，那么a=； （3）若此时数轴上有两点A，B对应的数分别为﹣30和20，如果点P沿线段AB 自点A向B以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q沿线段BA自点B向A 以每秒3个单位长度的速度运动，多长时间之后P，Q两点相遇？此时点P在数轴上对应的数是多少？ 5．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． （1）运动秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是；（2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）．