高等代数典例讲解练习
【例2.29】设A 为n 阶可逆矩阵，且2||A A E =，证明A 的伴随矩阵*
A A = 【证】因为A 为n 阶可逆矩阵
所以*1121||||A A A A EA A A A ---====
【例2.30】设A 为n 阶方阵(3)n ≥，证明：**2()||n A A A -=
【证】由公式**||BB B B B E ==,有****()||A A A E =,又*1||||n A A -=， 所以***1()||n A A A E -= (1) 若*||0A ≠,则||0A ≠，于是
**1*11111
()||()||(||)||||
n n n A
A A E A A E A A A A ------===,即，**2()||n A A A -= （2）若*||0A =,则||0A =(若不然||0A ≠,则*||0A ≠矛盾！)
当2n >时，*()1R A ≤,于是**()0R A ??=??
,故()
*
*
0A =,因此**2()||(0)n A A A -==
小结 从例2.28~2.30可看出，凡涉及*
A 的命题在证明过程中经常要借助于公式：
***1||,||AA A A A E A A A -===.
【例2.31】设矩阵A 的元素均为整数，证明：1
A -的元素均为整数||1A ?=±
【证】“?” 111
,||||AA E A A ---==,因为A 与1A -的元素均为整数，所以1A -与||A 均为
整数，故||1A =±
“?”因为A 的元素均为整数，所以伴随矩阵*
A 的元素均为整数，又
11*||,||1A A A A --==±，故1A -的元素均为整数。
【例2.32】设矩阵A 可逆，且A 的每行元素之和均等于常数a ，试证： （1）0;a ≠ （2）1
A -的每行元素之和都等于
1
a
【证】（1）1111121221222222122
n n n n n n n nn nn a a a a a a
a a a a a a
A a
a a a a a ????
???
?
????
=→
?????
??
?
????
，若0a =，则||0A =，这与A 可逆即||0A ≠矛盾，故0;a ≠
（2）令1121212(,,...,),(,,...,),(,,...,)n n n A A E e e e αααβββ-=== 因为1
A A E -=，所以1,(1,2,...,)j j A e j n α-==
于是1111121212...(...)...n n n A A A A e e e αααααα----+++=+++=+++，
即 111a A a -???
?????=???????????? 。又()()11212,,...,...n n a a A a a a ββββββ-????????==+++????????????
，所以 ()1211...1n a βββ??????+++=?????? ，故()121...1n a a βββ??????+++=????????
。 题型九 关于矩阵秩的命题的证明
（Ⅰ）关于矩阵秩的不等式的证明
【点拨】思路之一：通常是通过矩阵的初等变换化为矩阵最简型，再进行分析 思路之二：利用分块矩阵的乘法，结合齐次方程组进行分析 【例2.33】设,A B 均为n 阶方阵，证明：()()()r AB r A r B n ≥+- 【证】设(),()r A r r B s ==，则有
112200,,000
0r
r
E E P AQ P BQ ????==?????
??
?
于是11
12111222()PABQ PAQ Q P P BQ --=, 令 1
1
12()ij n n C Q P C --?==，则
11111112*11
0000000
00n n r
r
r n n nn c c c c E E P ABQ C c c c c ??
????????????===????????
?
???????
????
又可知任一矩阵每减少一行（或列）其秩减少不超过1，而()r C n = 故 ()*()()r C n n r n s r s n ≥----=+- 【例2.34】设()
()
,,ij
ij m n
s n
A a
B b ??==则()()()min{,}r AB r A r B ≤,
【证】设(),()r A r r B s ==
则存在m 阶可逆矩阵1P 及s 阶可逆矩阵1Q ,使
11000r
E P AQ ??=?
???，同理存在s 阶可逆矩阵2P 和n 阶可逆矩阵2Q 使22000r
E P AQ ??
=????
于是，11
12111222()PABQ PAQ Q P P BQ --=，令1112()ij s s C Q P C --?==
则1111111211
0000000
00n n r
r
r n n nn c c c c E E P ABQ c c c c ??
????????????==????????
?
???????
????
故()()()()111121min ,min (),()s r rs c c r AB r P ABQ r r s r A r B c c ??
??==≤=??????
【例2.35】设A 与B 均为n 阶方阵，若0AB =,则()()r A r B n +≤ 【证】设矩阵B 的列向量为12,,...,n βββ，则由分块矩阵的乘法 有 12(,,...,)(0,0,...,0)n AB A A A βββ== 于是 0(1,2,...,)j A j n β== 可见B 的列向量是齐次现行方程组0AX =的解
设()r A r =，则此方程组的基础解系所含向量的个数为n r -个
于是向量组12,,...,n βββ的秩n r ≤-，即()r B n r ≤-，故()()r A r B n +≤ （Ⅱ）关于矩阵秩等式的证明
【证明思路】()()()()()()r A r B r A r B r A r B =?≤≥且
0()()()()()()0AB r A r B n
r A r B n A B kE r A r B n k =?+≤??
+=?+=?+≥??≠?
其中为常数
【例2.36】设A B ，均为n 阶方阵，1
ABA B -=,E 为n 阶单位阵，证明：
()()r E AB r E AB n -++=
【证】因为1
()()0ABA B ABAB E E AB E AB -=?=?-+= 所以 ()()r E AB r E AB n -++≤ （*） 又 ()()2E AB E AB E -++=,
所以()()(2)r E AB r E AB r E n -++≥= （**） 由（*）（**）得()()r E AB r E AB n -++=
自我练习：设A 为n 阶方阵，且2
2A A E -=,E 为n 阶单位阵，则(2)()r E A r E A n -++=
【例2.37】已知12324369Q t ??
??=??????,P 为3阶非零矩阵，且满足0PQ =,则()r P = ()A 6t =时，P 的秩必为1 ()B 6t =时，P 的秩必为2 ()C 6t ≠时，P 的秩必为1 ()D 6t ≠时，P 的秩必为2
【解】因为PQ 均为三阶方阵，又0PQ = 所以()()3r P r Q +≤
当6t =时，123()246369r Q ????=??????
的秩1=，于是()2r P ≤ 当6t ≠时，()2r Q =于是()1r P ≤
又()1r P ≥(P 为三阶非零方阵)，故()1r P =,()C 入选 习题二
1. 填空题
（1） 设123,,,,ααααβ均为四维列向量，[][]123123,,,,,,,A B αααααααβ==,且
||2,||3A B ==,则|3|____A B -=
(2) 若对任意的1n ?矩阵X ，均有0AX =,则____A =
(3) 设A 为m 阶方阵，存在非零的m n ?矩阵B ，使得0AB =的充分必要条件是 ______ (4) 设A 为n 阶矩阵，则存在两个不相等的n 阶矩阵,B C 使得AB AC =的充分条件是
_______
(5) []12
12,,...,____n n a a b b b a ??????=??????
(6) 设矩阵2
11,32,23A B A A E -??==-+?
?
??
则1_____B -= (7) 若n 阶矩阵A 满足方程2230,A A E ++=则1_____A -=
(8) 设101020001A ????=??????
,则12(3)(9)_____A E A E -+-= (9) 设矩阵1
12212433A -????=---??????
,则1*1*1_____,()_____,[(2)]_____A A A ---==-= (10) 设矩阵21001
100,12251
11
3A ?????
?=??-??-??
则A 的逆矩阵1_____A -= 2. 选择题
（1） 设,A B 为同阶可逆矩阵，则
()A A B B A
= ()B 存在可逆矩阵P 使得1
P AP B -= ()C 存在可逆矩阵C ，使得T C AC B = ()D 存在可逆矩阵,P Q 使得PAQ B = (2)设,A B 都是n 阶可逆矩阵，则1020
T
A B -??
-?
???
等于 ()A 21(2)||||n A A -- ()B 1(2)||||n A B -- ()C 2||||T A B - ()D 12||||A B --
(3)设,A B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是
()A 若,A B 均可逆，则A B +可逆 ()B 若,A B 均可逆，则AB 可逆 ()C 若A B +可逆，则A B -可逆 ()D 若A B +可逆，则,A B 均可逆
（4）设A 为n 阶方阵，且||0A ≠,下列正确的是
()A 对n 阶方阵B ，若0AB =，则0B = ()B 对n 阶方阵B ,若AB BA =,则||0B ≠
()C 对n 阶方阵B ,若||||B A =，则,A B 由相同的特征值 ()D 对任意非零向量12(,,...,)T n X x x x =，都有0T X AX >
(5)设n 维向量1
1,0,...,0,22α??= ???
，矩阵,2T T A E B E αααα=-=+,其中E 为n 阶单位矩阵，则AB =
()A 0 ()B E - ()C E ()D T E αα+
(6)设1323
111221
2221
2223111213
131
32
3121
3222
333323011,,100001a a a a a a A a a a B a a a P a a a a a a a a a -??????
?
?????===????????????---??????
设有211P P A B =，则2P =
()A 1
0001
01
1??
???????? ()B 100010101????????-??
()C 1
0101
000
1?????
????? ()D 101010001-??
????????
(7)设A 为n 阶可逆矩阵，则*()A -等于
()A *A - ()B *A ()C *(1)n A - ()D 1*(1)n A --
（8）设n 阶矩阵A 非奇异(2)n ≥，*
A 是矩阵A 的伴随矩阵，则
()A **1()||n A A A -= ()B **1()||n A A A +=
()C **
2
()||
n A A A -= ()D **2()||n A A A +=
(9)设A 是m n ?矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为1r ，矩阵B AC =的秩为r ，则
()A 1r r > ()B 1r r < ()C 1r r = ()D r 与1r 的关系依C 而定
（10）设A ，B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则A 和B 的秩
()A 必有一个等于零 ()B 都小于n ()C 一个小于n ，一个等于n ()D 都等于n
3. 计算证明题
（1） 设310110121,225,342341A B -????
????=-=-????????????
求①AB BA -;②22A B -;③T T
B A
（2） 求下列矩阵的逆矩阵
①11111111;11111111??
??--?
???
--??--??
② cos sin 0sin cos 0;0
01αα
αα???
?-??????
③ 0
0010010;0
1001
00
0?????
???????
④ 5200210000120
1
1????????-????
（3） 已知三阶矩阵A 满足(1,2,3)i i A i i αα==，其中
123(1,2,2),(2,2,1),(2,1,2)T T T ααα==-=-，试求矩阵A
（4）k 取什么值时，矩阵10000111A k ????=??
??-??
可逆，并求其逆
（5）设A 为n 阶方阵，且有自然数m ，使得()0m E A +=，则A 可逆
（6）设B 为可逆矩阵，A 是与B 同阶的方阵，且满足2
2
0A AB B ++=,证明A 和A B +都是可逆矩阵
（7）设A ，B 都是n 阶方阵，且E AB +可逆，则E BA +也可逆且
11()()E BA E B E AB A --+=-+
(8)设A ，B 是n 阶方阵，已知||0,B A E ≠-可逆，且1
()()T A E B E --=-,求证A 可逆
（9）设A ，B ，A B +为n 阶正交矩阵，试证：1
11()A B A B ---+=+
(10)设A ，B 为n 阶方阵，试证明
||A E
AB E E B
=-
(11)设A 为主对角线上元素均为0的四阶实对称可逆矩阵，E 为四阶单位矩阵
00000000,(0,0)0000
00
B k l k l ?????
?=>>??????
① 试计算||E AB +,并指出A 中元素满足什么条件时，E AB +可逆 ② 当E AB +可逆时，试证明1
()E AB A -+为对称矩阵 （12）计算下列各题
① 21;32n
-????-?? ②11121
lim 0130105n
n →∞??????????
??
?
? （13）设0
01001
A λλλ??
??=?
?????
，求n
A （14）假设A 为
n 阶可逆矩阵，证明①()()1
1;T
T A A --= ②()()*
*T
T A A =;③
()()
*
1
1*A A --=; ④()()*
1
1*T T
A A --????=????????
(15) A 是n 阶方阵，满足m A E =,其中m 为正整数，E 为n 阶单位矩阵，令将A 中2
n 个
元素ij a 用其代数余子式ij A 代替，得到的矩阵记为0A ，证明0m
A E =
（16）设矩阵100101010A ??
??=??????
①证明：3n ≥时，2
2n
n A A
A E -=+-(E 为三阶单位矩阵；
③ 求100
A
（17
）当12
12
2A ???=????
时，6A E =，求11A （18）已知,A B 为n 阶方阵，且满足2
2
,A A B B ==与2
(),A B A B -=+试证
0AB BA ==
(19)设,A B ，C 均为n 阶矩阵，||0,E A -≠如果,C A CA B E AB =+=+,求证
B C E -=
(20)设A 为n 阶非奇异矩阵α为n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵
*0,||T T
E A
P Q A b A ααα
????
==????-????
① 计算并化简PQ
② 证明：矩阵Q 可逆的充要条件是1
T A b αα-≠
习题二 参考答案 1. 填空题
（1）56 （2）0 （3）||0A = （4）||0A =
（5）111122122
212n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ??
???
????
?
??
（6）10211??????--?? （7） ()1
23
A E -+
（8）201010002-??
??-????-??
（9）
39
41121121252,212,2124273433433--????????????---------????????????---??????
（10）110012001930357
111
2-????-?
???-??--??
2.选择题
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)D A B A C B D C C B
3计算证明题
（1）① 1461717391816-????--????-?? ②9461515932613????--????--?? ③561751351122????--??
????
（2）①
1
1111
111111114111
1??
??--????
--??--??
② cos sin 0sin cos 00
1α
αα
α-??????????
③ 0001001001001
0??
???
???
??
?? ④ 001200251200330
01133?
?
??-??-????????
-
???
?
⑤ 270335
20
3322233
?
?
-??????
-????-??-???
?
（4） 当k ≠时可逆，101
010
0111A k k
-??????=??-?????
?
（5） 因E 与A 可交换，且能证明()m E A +可用二项式定理展为
1
1
()()0m
m m
i i
m i
i
i m
m
i i E A C A E
C A A E --==+==+=∑∑,令 11
m
i
i m i B C A -==-∑,有BA E =，
所以A 可逆，且1
11
m
i
i m i A
C A --==-∑
(6)(7)(8)(9)(10)均略
（11）① 131********
3434
1
001,10010
01ka la ka la E AB E AB kla la ka ??????+=+=-??????
，当2341a l
≠时，E AB +为
可逆矩阵
② 11111()[()]()E AB A A E AB A B -----+=+=+,由于A ，B 都是对称矩阵，1
A B -+也是对称矩阵，故()
1
E AB A -+也是对称矩阵
（12）①,21213232n
E ?-???=-?????-????????当n 为偶数当n 为奇数 ②000000000??
????????
（13）2
1
1
2
00(1)2
n n
n n n n n n n λλ
λλλλ---??????
????-?
???
（14）略 （15）由已知,||1,||0m
m
A E A A ==≠，则A 为可逆矩阵，
*110()[||]||(),T T T A A A A A A --===故
()1110[||()]||[]1[()]T
m T m m m T A A A A A E E ---===?=
(16)略
（17）因为||1A =,
所以1
212A -??
?=??????
,友6A E =有
111216211
1
2
()12A A A A A EA ---???
?=?===??????
(18)略 （19）略
（20）利用**||.AA A A A E ==
第三章 向量
3.1 基本概念 一、向量的概念和运算 1.向量的概念
n 个实数12,,...,n a a a 组成的有序数组()12,,...,n a a a 记作
()12,,...,n a a a α=
称为n 维行向量，其中i α称为向量α的第i 个分量
12
,n b b b β??????=??????
称为n 维列向量，β可改写成()12,,...,T
n b b b β=
2. 向量的运算
向量相等：两个n 维向量相等当且仅当它们各对应分量都相等时，才是相等的，即如果
()12,,...,n a a a α=，()12,,...,n b b b β=，当且仅当(1,2,...,)i i a b i n ==时αβ=
零向量：所有分量均为零的向量称为零向量，记为0(0,0,...,0)=
负向量：n 维向量()12,,...,n a a a α=的各分量的相反数组成的n 维向量，称为α的负向量，记为α-，即
()12,,...,n a a a α-=---
向量的运算“设()12,,...,n a a a α=，()12,,...,n b b b β=，则
01 ()1122,,...,;n n a b a b a b αβ±=±±±
02 ()12,,...,n k ka ka ka α=
二、向量间的线性关系 1.线性组合
对于给定的向量12,,,...,s βααα，如果存在一组数12,,..,s k k k 使得关系式
1122...s s k k k βααα=+++成立，则称向量β是向量组12,,...,s ααα的线性组合或称向
量β可以由12,,...,s ααα线性表示
非齐次线性方程组Ax b =是否有解，相当于向量b 是否可由A 的列向量线性表示 （1） 零向量是任何一组向量的线性组合
（2） 向量组12,,...,s ααα中的任一个向量(1)j j s α≤≤都是此向量组的线性组合 （3） 任何一个n 维向量()12,,...,n a a a α=都是n 维基本单位向量组
12(1,0,...,0),(0,1,...,0),(0,0,...,1)n εεε===的线性组合，且
1122...n n a a a αεεε=+++
3. 线性相关与线性无关
设12,,...,s ααα为一组n 维向量，如果存在一组不全为零的数12,,..,s k k k ，使得
1122...0s s k k k ααα+++=成立，则称向量组12,,...,s ααα线性相关；如果上述等式仅当 12...0s k k k ====时成立，则称向量组12,,...,s ααα线性无关
齐次线性方程组0Ax =是否有非零解，对应于A 的列向量是否线性相关 注 （1）单个非零向量线性无关
（2）含有零向量的向量组一定线性无关 （3）基本单位向量组一定线性无关
（4）两个向量组线性相关的充要条件是对应元素成比例 【例3.1】若向量组,,αβγ线性无关，,,αβδ线性相关，则
()A α必可由,,βγδ线性表示 ()B β 必不可由,,αγδ线性表示 ()C δ必可由,,αβγ线性表示 ()D δ必不可由,,αβγ线性表示
【解】因为,,αβγ线性无关，所以,αβ线性无关，又已知,,αβδ线性相关，于是δ可由
,αβ线性表示，12k k δαβ=+，从而有120k k δαβγ=++，即δ可由,,αβγ线性表示，
故应选()C
三、向量组的秩和矩阵的秩 1.极大线性无关组
设12,,...,s ααα为一个n 维向量组，如果向量组中有r 个向量线性无关，且向量组的任意
1r +个向量线性相关，则这r 个线性无关的向量称为向量组12,,...,s ααα的一个极大线性无
关组
若12,,...,r j j j ααα是12,,...,s ααα的线性无关部分组，它是极大线性无关组的充分必要条件是：12,,...,s ααα中每一个向量都可以由12,,...,r j j j ααα线性表示 注 （1）含有非零向量的向量组一定存在极大线性无关组 （2）若12,,...,s ααα线性无关，则其极大线性无关组就是其本身 2.向量组的等价性
设有向量组（Ⅰ）；12,,...,s ααα和向量组（Ⅱ）：12,,...,t βββ，如果向量组（Ⅰ）的每个向量都可以由向量组（Ⅱ）线性表示，则称向量组（Ⅰ）可以由向量组（Ⅱ）线性表示 如果向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）可以互相线性表示，则称向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）等价，记为
{}{}1212,,...,,,...,s t αααβββ?
向量组等价具有性质：反身性、对称性、传递性
（1） 任一向量组和它的极大无关组等价 （2） 向量组的任意两个极大无关组等价
（3） 两个等价的线性无关的向量组所含的向量的个数相同
（4） 向量组12,,...,s ααα的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等 向量组的秩
向量组12,,...,s ααα的极大线性无关组中所含向量的个数称为此向量组的秩，记作秩
()12,,...,s ααα或者()12,,...,s r ααα。如果一个向量组仅含有零向量，则规定它的秩为零
等价的向量组具有相等的秩 4 矩阵的秩
设()ij m n A a ?=，则有矩阵A 的行向量的秩和列向量的秩相等，矩阵A 的行秩和列秩统称为矩阵A 的秩，记为秩()A 或()r A
矩阵()ij m n A a ?=的秩也可以用行列式来定义
矩阵A 的秩等于r 的充要条件是：矩阵A 中至少有一个r 阶子式不等于零，而所有的1r +阶子式都等于零
（1） 矩阵秩的两种定义是等价的 （2） 对矩阵m n A ?，有
当秩()r A m =时，A 的行向量组线性无关 当秩()r A n =时，A 的列向量组线性无关
当秩()r A m =时或秩()r A n =，称A 为行或列满秩矩阵
（3） 矩阵的初等行（列）变换不改变矩阵的秩，且不改变其行（或列）向量间的线性关
系
（4） 求向量组的秩可转化为矩阵的行（列）向量组的秩，从而可用初等变换求其秩 四、内积与施密特（Schmidt ）正交化方法 1.内积
设1122
,,n n a b a b a b αβ????????????==????????????
则定义α与β的内积为
12121122(,)(,,...,)...T n n n n b b a a a a b a b a b b αβαβ??
??
??===+++??????
，
向量的长度
:||α=
=正交：若()1122,...0n n a b a b a b αβ=+++=，则称α与β是正交的 内积具有性质； ① ()(),,αββα= ② (),0αα>且(),00ααα=?=
《高等代数》期末试卷B
教育科学系14级小学教育（科学与数学）专业2014—2015学年度春学期 期末考试《高等代数Ⅱ》试卷(B ) 试卷说明：1.本试卷共2页，4个大题，满分100分，120分钟完卷； 2.试题解答全部书写在本试卷上。 班号： 学号 姓名 一、选择题：（每题3分，共15分） 1．当λ=（ ）时，方程组1231 231 222x x x x x x λ++=??++=?，有无穷多解。 A 1 B 2 C 3 D 4 2．若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）。 A 线性相关 B 线性无关 C 线性相关或线性无关 D 不一定 3．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（ ） 的特征向量。 A 2()A E + B -3A C *A D T A 4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1P A P -为（ ）。 A 实对称阵 B 正交阵 C 非奇异阵 D 奇异阵 5．设矩阵 A ， B ， C 均为n 阶矩阵，则矩阵A B 的充分条件是（ ）。 A A 与 B 有相同的特征值 B A 与B 有相同的特征向量 C A 与B 与同一矩阵相似 D A 一定有n 个不同的特征值 1．已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(4=α，则向量=+-+4321αααα 。 2．若120s ααα++ +=，则向量组12,, ,s ααα必线性 。 3．设向量空间1212{(,, )|0,}n n i V x x x x x x x R =++ +=∈，则V 是 维 空间。 4．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*A B B += 。 5．设矩阵A 满足条件2560A A E -+=，则矩阵A 的特征值 是 。 6.二次型yz xz xy z y x z y x f 222),,(222---++=的矩阵是____________。 二、填空题：（每题3分，共27分）
高效阅读第1课教案
第一课 课前： 老师自我介绍，同学自我介绍。 分发书包，检查物品 1.什么是高效阅读（20分钟） 高效阅读是用眼睛和全脑快速协调达到高效阅读和快速记忆的阅读方法。 首先我问大家，我们阅读要用什么呢？眼睛，对不对，还有呢？大脑，是不是。眼睛是人类感官中最重要的器官，大脑中大约有一半的知识和记忆都是通过眼睛获取的。读书认字、看图赏画、看人物、欣赏美景等都要用到眼睛。眼睛能辨别不同的颜色、不同的光线，再将这些视觉形象转变成神经信号，传送给大脑。所以说我们的阅读是什么？是通过我们眼睛和大脑的共同协调来完成的。 老师再问大家一个问题，大家觉得什么是高效阅读？ 如果我迅速看完一本书，读完我记得其中的一句话，这是高效阅读吗？那你问我十个问题，我只答对1个，这是高效阅读吗？ 什么是高效阅读，别人用十小时看完这本书，而我只用一小时，并且读完之后我能说出文章的主要内容，你问我十个问题我至少回答对七道以上，这是我们所说的高效阅读。我们所说的高效阅读，不仅有速度，还有理解能力。
要把大象装进冰箱里需要几个步骤呢？冰箱门打开，大象装进去，关冰箱门是吧。那我们平时读书的步骤呢？ 看看是不是主要是我们图中的这四个步骤呢？看、读、听、想 老师给大家讲一个剃头匠的故事，有个孩子叫二子，二子在师傅家学剃头，初学用冬瓜当“脑袋”练习技术。练习时，师娘常唤他买东西、哄孩子。每当这时，二子就得停下刀，去师娘那帮忙。可刀又没处放，就只好剁在冬瓜上立着，然后回来接着干。半年来，手艺学好了，可往冬瓜剁刀的习惯也养成了。这一天，二子给师傅的邻居剃头，初试身手格外小心，正剃半截，师娘又招呼二子去干活，结果二子把剃刀往邻居头上一剁…… 你们说二子为什么会这样呢？是不是失手在自己的习惯上？我们生活中有许多习惯，有些习惯是好的习惯，有些习惯是不好的习惯。我们要发扬好的习惯，把不好的习惯摒弃掉。对于我们阅读来说，什么不是好的习惯呢？我们从上学第一天，老师就告诉我们要大声朗读是不是，我们不是说大声朗读不是好习惯，但是在某些情况下，比如说我想实现高效阅读，大声朗读就不是好的习惯。 著名主持人华少嘴皮子特别溜，一分钟再快也就几百字是吧！ 大家知道我们普通人的阅读速度是多少？看一下，300—1000字每分钟，那我们大脑的反应速度是多少呢？大家猜一猜！大脑的反应速度是3000-10000字每分钟，比我们阅读速度快多了！你们听过龟兔赛跑的故事吧？哪位同学来给我们大家讲一下？ 我们的大脑反应速度就像兔子一样，特别快；而我们的阅读速度就像
高等代数试卷及答案1
高等代数 一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。 （ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实 数域上的线性空间。（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （ ） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（ ） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（ ）
郑州大学高等数学下课后习题答案解析
习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】 （1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ； （2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ； （3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==
（三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为
高等代数试题附答案
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）
5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中
高等代数期末卷及答案
沈阳农业大学理学院第一学期期末考试 《高等代数》试卷(1) 1 ?设 f (x) = x 4 +x ? +4x - 9 ,贝H f (一3) = 69 .. 2?当 t = _2,-2 . 时，f(x)=x 3 —3x+t 有重因式。 3.令f(x),g(x)是两个多项式，且f(x 3) xg(x 3)被x 2 x 1整除，则 f(1)=_0_^ g(1)= 0 . 0 6 2 =23 。 1 1 — -2 0 1 x , 2x 2 2x 3 x 4 二 0 7. 2x 1 x 2 -2x 3 -2x 4 二 0 的一般解为 x( ~'X 2 _'4x 3 ~3x 4 = 0 题号 -一- -二二 -三 四 五 六 七 总分 得分 、填空(共35分，每题5 分) 得分 4.行列式 1 -3 5. ■’4 10" 1 0 3 -1、 -1 1 3 '9 -2 -1 2 1 0 2」 2 0 1 < 9 9 11 <1 3 4 丿 6. z 5 0 0 1 -1 <0 2 1； 0-2 3 矩阵的积
c 亠5 刘=2x3 X4 4 x3, x4任意取值。X2 二-2x^ --x4
、(10分)令f(x),g(x)是两个多项式。求证 当且仅当(f(x) g(x), f(x)g(x))=1。 证：必要性.设(f(x) g(x), f (x)g(x)) =1。(1% 令 p(x)为 f (x) g (x), f (x)g(x)的不可约公因式,(1% 则由 p(x) | f (x)g (x)知 p(x)| f (x)或 p(x) |g(x) o (1%) 不妨设 p(x) | f (x)，再由 p(x)|(f(x) g (x))得 p(x) | g(x)。故 p(x) |1 矛盾。(2%) 充分性.由(f (x) g(x), f (x)g(x)^1知存在多项式u(x), v(x)使 u(x)(f(x) g(x)) v(x)f(x)g(x)=1,(2%) 从而 u(x)f(x) g(x)(u(x) v(x) f(x)) =1,(2%) 故(f (x), g(x)) =1 o (1%) ax 「bx 2 2x 3 =1 ax 1 (2 b -1)x 2 3x 3 =1 ax 1 bx 2 - (b 3)X 3 = 2b _1 有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。 解： a b 2 1 a b 2 1 a 2b -1 3 1 T 0 b —1 1 0 b J* b+3 2b-1 , b+1 2b-2 ‘ (5%) a 2 - b 0 1 0 b -1 1 0 L 0 0 b+1 2b —2 当b =1时，有无穷解：X 3 = 0, X 2 = 1 - a%,人任意取值; 当a =0,b =5时，有无穷解：x 1 = k,x^ --3,x^ 4 ，k 任意取值；(3%) 当b = T 或a =0且b =二1且b = 5时，无解。(4%) 三、(16分)a,b 取何值时，线性方程组 当a(b 2 T) = 0时，有唯一解: 5-b a(b 1) X 2 2 b+1 x3 = 2b -2 b 1 ；4%) (f(x),g(x)) =1
高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中
高等代数试题及答案
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷
授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共 2 页第 2 页
中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.
高一语文高效课堂：小说阅读综合训练
高一语文高效课堂资料 小说阅读检测 （一）文学类文本阅读（本题共3小题，14分） 阅读下面的文字，完成4～6题。 挽歌 徐建树 老牛头祖祖辈辈生活在农村，农村的青山就是他的骨骼，黑土就是他的肌肉，绿水就是他的血液。可是现在却不得不离开农村了，因为农村人赖以生存的土地被征用了，房子被拆迁了，老牛头不得不进城和儿子生活在一起，过一种完全陌生的生活。 老牛头走倒不要紧，哪里的黄土不埋人？问题是家里那头大黑牛怎么办。老牛头一辈子养牛，靠养牛养活了一家人，送儿子上大学、在城里安家结婚。当听说非搬家不可后，老牛头蒙头睡了三天三夜，起床后，眼看着一头头油光水滑的牛被从家里牵走。 直到只剩下那头大黑牛时，无论买方出多少钱，老牛头都不卖了。这是有原因的。前年，老牛头到山脚下的小溪旁放牛。小溪很浅，老牛头借着酒兴，坐在小溪边洗脚。突然间雷鸣般一声巨响，山上飞下一股来势凶猛的洪水，老牛头躲闪不及，被水冲走，在随波浮沉的一刹那间，老牛头心底一阵悲哀：完了！ 就在这时，耳边传来一声熟悉的牛叫声，两个硬硬的东西正拱着自己，老牛头下意识地伸手乱抓，原来是一头牛的两只犄角，老牛头这才挣扎着露出水面。 当老牛头七拐八绕地被冲上一处浅滩时，救他的那头大黑牛却被一块大石头撞断了一条腿，站不起来了。为了治好大黑的腿，老牛头不惜血本请来最好的兽医，跟大黑天天睡在一块，给它吃最好的草料，一刻不停地驱赶着牛虻和苍蝇，直到大黑完全康复。 大黑对老牛头有救命之恩，他哪里舍得卖呢？可是不卖不行啊，城里那鸽子笼般的房子哪能容得下一头牛？习惯了在泥土上行走、耕耘的牛又哪里走得惯能把蹄子磨出血来的水泥路呢？
在一次又一次地给大黑喂过最鲜嫩最芳香的饲草后，老牛头深情地抚摸着大黑道：“老伙计，对不起你了……” 老牛头把大黑牵到了集市。大黑牛太馋人了，大伙纷纷簇拥来，价钱出得一个比一个高。老牛头先是不言语，后来朝一个买牛人问：“牛到你家后你怎么对待它？” 那人一脸奇怪地说：“那还用说，耕田呗。” 老牛头顿时黑了脸，又问另一个，那人大咧咧地说：“现在都机械化了，哪还用得着牛啊！这头牛这么健壮，出肉肯定很多……” 这人话还没说完，早被老牛头啐了一脸的唾沫星子。 大半天过去了，谁也没能买走大黑。老牛头却一点也不着急，直到天色渐渐黑下来，他才看到还有一个人蹲在那里。 那人是邻村的一位老哥们儿，也是个常年养牛的，老牛头认识。 老牛头问：“老哥，你怎么还不回家？” 那人听了先递支烟给老牛头，点上后叹口气，说：“我养了一辈子牛，从没见过这么好的牛，老哥，你怎么就狠心卖了它呢？” 老牛头一听这话，含在嘴里的烟就抖起来了，半晌才开了口：“不卖不行啊，房子全拆迁了，没处养它了。你们村子没拆吧！” 那人点点头看着大黑，眼里射出赞叹的神色：“我倒是很想买它，它要是到我家，我天天让它喝最干净的泉水，吃最嫩最香的草，不会让它受一丁点委屈的，可是，我出不起钱啊……” 老牛头大叫起来：“老哥，冲你这番话，大黑送给你了，一分钱都不要！我只有一个条件，我从城里回来时，你得让牛跟我作会儿伴！” 老牛头把缰绳交给邻村老哥，扭头便走，任凭大黑哞哞直叫！
高等数学课后习题及解答
高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5
D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4
厦门大学《高等代数》期末试题及答案(数学系)
10-11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 厦门大学《高等代数》课程试卷 数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业 主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷） 2011.1.13 一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分） 1) 设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。C A)对任意的b ，V 均是线性空间；B)对任意的b ，V 均不是线性空间；C)只有当 0 b = 时，V 是线性空间；D)只有当 0 b 1 时，V 是线性空间。 2)已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。 A A)若向量组 I 线性无关，则s t ￡ ；B)若向量组 I 线性相关，则s t > ； C)若向量组 II 线性无关，则s t ￡ ；D)若向量组 II 线性相关，则s t > 。 3)设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。 D A)当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解；C)当r m < 时，方程组AX b = 有解；D)当r m = 时，方程组AX b = 有解。 4) 设 A 是m n ′ 阶矩阵，B 是n m ′ 阶矩阵，且AB I = ，则____。A A)(),() r A m r B m == ；B)(),() r A m r B n == ；C)(),() r A n r B m == ； D)(),() r A n r B n == 。 5) 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ，则j 在基 123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。C A) 121 202 121 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； B) 1 2 11 22 1 2 11 0 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； C)11 22 121 0 121 ?? ?÷ ? ÷ ?÷ è? ；D) 1 2 1 2 11 202 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? 。 6) 设j 是 V 到 U 的线性映射，dim V ,dim U n m == 。若m n < ，则j ____。B A)必是单射； B)必非单射； C)必是满射；D)必非满射。
高效阅读课堂教学设计
高效阅读课堂教学设计 ——中段高效阅读研究课题组 教学目的： 1.掌握高效阅读的基本方法，培养高效阅读的良好习惯。 2.提高学生阅读速度和阅读效率。 3.培养学生高效意识，提高学生注意力，激发学生课外阅读的兴趣。 教学难点：高效阅读训练过程节奏的把握。 教学重点：让学生掌握高效阅读训练方法，整体感知文本。 教具准备：多媒体高效阅读训练课件 教学准备：课件、阅读材料 教学时间：1课时 教学过程： 课前小游戏：益智游戏《舒尔特表》 一、营造氛围 师生问好。 班长：我们的口号是—— 全体学生：高效阅读，高效学习，高效人生。 二、训练程序 第一板块：眼脑机能训练 教师：作家肖复兴曾说：“读书，可以寻找一块洁净的宿营地，能安置我们的灵魂；可以寻找一方明亮清澈的夜空，让我们的梦可以毫无顾忌地尽情飞翔。”读书是快乐的！这节课，我们将继续走进书籍，去享受阅读的乐趣。 提高阅读速度，改善视觉机能很关键。下面我们首先进行眼脑机能训练。请XXX同学主持。 XXX:请同学们保持科学坐姿：头正、肩平、腰直、足安。请同学们按照课件引导进行训练。第一项，定点凝视训练；第二项，视点横向移动训练；第三项，视点纵向移动训练；第四项，蛇形扫视训练；第五项，扩大视野训练。轻轻闭上眼睛，缓解眼部疲劳。 第二板块：复习速度技巧 教师：请睁开眼睛。孔子说过，“学而时习之”“温故而知新”。知识重在复习，能力重在巩固。请同学们迅速回顾下列问题。1.固定程序阅读的七项内容是什么？2.高效阅读三忌是什么？
希望同学们将阅读技巧熟记于心，并在阅读中运用自如。 第三板块：高效阅读训练 1.下面我们将开始进行速度训练，请迅速发放阅读材料，看哪一组又静又快。 2.现在，请同学们面对微笑，充满自信，深呼吸两次。 教师讲述：《一千零一夜》是著名的古代阿拉伯民间故事集，有264个故事，被誉为世界民间文学创作中的“最壮丽的一座纪念碑”。在西方被称为《阿拉伯之夜》，在中国却有一个独特的称呼：《天方夜谭》。“天方”是中国古代对阿拉伯的称呼，仅凭这名字，就足以把人带到神秘的异域世界中。它是世界上最具生命力、最负盛名，拥有最多读者和影响最大的作品之一。同时，它以民间文学的朴素身份却能跻身于世界古典名著之列，也堪称是世界文学史上的一大奇迹。 3.计时阅读。本文共860字，预备——开始！ 4.阅读，点开阅读计时器。学生读完后计算阅读速度。教师评价。 5.收回材料。 6.高效阅读包括三个方面，即速度，记忆力和理解力。下面我们检测一下自己的理解率是否和速度一致。 7.发放测试资料。 8.出示题目。预备——开始！ 9.5分钟计时检测。 10.交换答卷。 11.讲评。注意倾听。拓展性答案。让学生充分作答。 12.归还答卷。 13.汇报阅读理解率。计算阅读效率。评价。希望…… （进行其他资料训练，训练程序相同） 第四版块：反思感悟 通过一节课的训练，同学们一定感悟颇多。请大家用2分钟时间组织语言，从高效阅读带来的变化、高效阅读训练过程中的感受，对文本的感悟等方面来发言。（指名发言，教师予以评价点拨。） 结束语：莎士比亚有一句名言说得好：生活中没有了书籍，犹如世界没有了阳光；智慧里没有了书籍，就犹如鸟儿没有了翅膀。书是灵魂的寄托，书是最好的老师，书更是生命飞翔的羽翼。同学们热爱读书吧！你的生命将会更加精彩！下课。 全体学生起立齐呼：高效阅读，高效学习，高效人生。
高等代数试卷及答案--(二)
一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的 矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。 （ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （ ） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（ ） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（ ） 三、计算题 （共3题，每题10分，共30分）
高效阅读教案
高效阅读教案（二） 教学目标： 1、引导学生掌握固定程序阅读法。 2、让学生体验高效阅读的快乐。 教学过程： 一、导入 学生喊口号：高效阅读，高效人生。 二、集中训练 （一）.科学坐姿训练 （二).眼脑机能训练 1. 定点凝视训练 2. 横向快速移动训练 3. 纵向快速移动训练 4.增大识别间距训练 5、搓手训练 我们的口号是：一同十行不是梦，高效阅读我能行。 三、阐述何为“固定程序法” 1、出示“固定程序法”应注意的七项内容 2、生复述记忆 四、文本高效阅读训练 1、分发文本资料《穷人的自尊》 ①计时阅读②教师检查阅读速度 ③计时答题 ④师生感知文本、校对答案 ⑤检查理解率，交流阅读经验 2、分发材料《嚼一片苹果皮》重新调整坐姿。 ①计时阅读 ②计时答题 ③对照答案、评分 ④按组汇报阅读速度和理解率、表扬进步的同学 五、谈学习所得，作学后总结 1.请学生谈谈学习所得； 2. 谈谈今后阅读的方向 3、学生齐喊口号：一目十行不是梦，高效速读我最行
高效阅读教学 教学目标： 1、了解固定程序阅读法，运用图形记忆法帮助快速阅读。 2、训练高效阅读的基本技巧，提高阅读速度。 教学重点： 训练快速阅读技巧，快速阅读文章。 教学难点： 掌握快速阅读方法，提高阅读效率。 教学准备： 多媒体课件、相关阅读材料等 教学过程： 一、激发兴趣，导入新课。 同学们，喜欢看课外书吗？平时你们读书一分钟能读 多少字？怎样才能读得快又记得牢？ 二、阅读效率前测。 1.认识阅读计时器。 2.了解前测要求。 3.前测 （1）分发阅读材料《将军和蜘蛛》，计时阅读。 （2）统计阅读速度：所用时间？每分钟字数？ （3）分发答题卡，计时答题。（2分钟） （4）同桌交换答题卡，核对答案， （5）教师评价， 三、高效阅读训练 1.怎样提高阅读速度？ 保持科学坐姿集中注意力眼脑直映扩大识别间距 2.怎样克服快读障碍？ 不出声不摆头不指读不回视 3.眼脑机能训练（多媒体课件展示） ①定点凝视训练 ②视点左右移动 ③视点上下移动 ④视点蛇形移动 ⑤圆圈扩展法训练1分钟 ⑥扩大识别间距训练 4.固定程序阅读法 （1）固定程序阅读训练的七项内容： 题目、作者、出处、主要内容、重要事实、写作特点、读后启示（2）训练测试1----阅读材料《丰碑》 a传发训练材料，计时阅读， b检查阅读速度：所用时间？每分钟字数？ c分发答题卡，计时答题。（3分钟） d同桌交换答题卡，核对答案， e教师评价，总结方法。
《高等代数》(上)期末试卷(A)
《高等代数》（上）期末试卷（A ） 一、填空题（每空3分，共15分） 1．设方阵1112223 3 3b x c A b x c b x c ????=??????，1 112 223 3 3b y c B b y c b y c ?? ??=? ????? ，且2,3A B =-=， 则行列式2A B += . 2.已知A 是一个34?矩阵，且秩()2A =，而102020103B ????=?????? ，则秩()BA = . 3. 多项式2005 20042 322006()(54)31(8112)f x x x x x x ??=--+-+?? 的所有系数之和 ＝ ，常数项＝ . 4. ()f x 为多项式，用1x -除时余式为3，用3x -除时余式为5，则用(1)(3)x x --除时余式为 . 二、选择题（每题3分，共12分） 1．设n 维向量组12345,,,,ααααα的秩为3，且满足135230,ααα+-= 242,αα=则向量组的一个极大无关组为（ ） A ． 125,,ααα； B ． 124,,ααα； C. 245,,ααα； D. 135,,ααα. 2. A 是m n ?矩阵，B 是n m ?矩阵，则（ ） A ． 当m n >时，必有行列式0A B ≠； B ． 当m n >时，必有行列式0AB =； C ． 当n m >时，必有行列式0AB ≠； D ． 当n m >时，必有行列式0AB =. 3．设,A B 都是可逆矩阵，则矩阵0A C B ??????的逆矩阵为（ ） A ． 1 1 10A C B ---?? ????； B ． 1110B C A ---?????? ；
高等代数真题答案
第六章习题册 1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘. (b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘. (c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘. 2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这里αβV k F ,∈,∈.
3. 下述集合是否是()n M R 的子空间 (a) { ()}T n V A M R A A =∈|=? (b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这里()n A M R ∈是一个固定方阵. 4. 叙述并证明线性空间V 的子空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的子空间的充分必要条件. 5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个非空子集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?. (b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪. (c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩.
6. 如果123f f f ,,是实数域上一元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性无关.试证之. 7. 设S 是数域F 上线性空间V 的一个线性无关子集, α是V 中一个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈. 8. (a) 证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的子空间的一个基. (b). 求3()M F 的子空间{()()[]}f A f x F x |∈ 的一个基和维数, 这里010001000A ???? =?????? 9. 在4 R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014??????????????????????????????=,=,=,=,=????????????????????????????????????????
高等代数期末卷 及答案
沈阳农业大学理学院第一学期期末考试 《高等代数》试卷（1） 一、 填空（共35分，每题5分） 1．设4 2 ()49f x x x x =++-, 则(3)f -= 69_ .. 2．当t = _2,-2 .时, 3()3f x x x t =-+有重因式。 3. 令 ()f x ,()g x 是两个多项式, 且33()()f x xg x +被21x x ++整除, 则 (1)f = 0_ , (1)g = _0 . 4. 行列式 31 0210 62 101132 1 -=-- 23 。 5. 矩阵的积41010311 1321022 011 34?? ? --?? ?= ? ??? ??? 9219911--?? ???。 6. 1 500031021-?? ?= ? ??? 1 05011023?? ? ?- ? ? - ??? 7. 1234123412342202220430 x x x x x x x x x x x x +++=?? +--=??---=?的一般解为 134234523423x x x x x x ? =+??? ?=--?? , 34,x x 任意取值。 二、（10分）令()f x ,()g x 是两个多项式。求证((),())1f x g x =当且仅当
(()(),()())1f x g x f x g x +=。 证：必要性. 设(()(),()())1f x g x f x g x +≠。（1%） 令()p x 为()(),()()f x g x f x g x +的不可约公因式，（1%）则由()|()()p x f x g x 知 ()|()p x f x 或()|()p x g x 。(1%) 不妨设()|()p x f x ，再由()|(()())p x f x g x +得()|()p x g x 。故()|1p x 矛盾。(2%) 充分性. 由(()(),()())1f x g x f x g x +=知存在多项式(),()u x v x 使 ()(()())()()()1u x f x g x v x f x g x ++=,(2%) 从而()()()(()()())1u x f x g x u x v x f x ++=,(2%) 故((),())1f x g x =。(1%) 三、(16分),a b 取何值时，线性方程组 有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。 解： 21212131011032100122201011000122a b a b a b b a b b b b b a b b b b ???? ? ?-→- ? ? ? ?+-+-????-?? ?→- ? ?+-?? (5%) 当2 (1)0a b -≠时，有唯一解：1235222 , (1)+11 b b x x x a b b b ---= ==++，； (4%) 当1b =时，有无穷解：3210,1,x x ax ==-1x 任意取值； 当a 0,5b ==时，有无穷解：14 12333,,,x k x x k ==-=任意取值；(3%) 当1b =-或0 1 5a b b =≠±≠且且时，无解。(4%) 四、(10分)设12,,...,n a a a 都是非零实数，证明 证: 对n 用数学归纳法。当n=1时 , 1111 1 1(1)D a a a =+=+, 结论成立(2%); 假设n-1时成立。则n 时