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2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)

2017年全国高中数学联赛A 卷

一试

一、填空题

1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-?+x f x f .又当70<≤x 时，

)9(lo g )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.

2.若实数y x ,满足1cos 22

=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.

3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110

2=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.

4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是。

5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.

6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{

1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.

7.在ABC ?中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3

=∠A ，ABC ?的面积为3，

则AN AM ?的最小值为__________.

8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，

n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.

二、解答题

9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .

10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)5

3)(53(3

21321x x x x x x ++++的最小值和最大值.

11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)R e ()R e (2

221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.

（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.

2017年全国高中数学联赛A 卷

二试

一.如图，在ABC ?中，AC AB =，I 为ABC ?的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，

IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证

明：CR BR ⊥

二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,

,,,1=??

?>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤

数.

三.将3333?方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.

四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，

n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )

1(2

+≥，这里y 表示实数y 到与

它最近的整数的距离.

2017年全国高中数学联赛A卷一试答案

10.

11.

2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.

二.

三.

四.

一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.

1.在等比数列{}n a

中，2a =

，3a 12011

72017

a a a a ++的值为 .

2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .

3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2

()f x x +是奇函数，()2x

f x +是偶函数，则(1)f 的值为 . 4.在ABC ?中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .

5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ?的面积为 .

6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .

7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2

0x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .

8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .

二、解答题（本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

9.设不等式|2||52|x x

a -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.

10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足2

12n n n n b a a a ++=-，1,2,

n =.

（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；

（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.

11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线22

2:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾

斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ?的取值范围.

一、（本题满分40分）

设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-

二、（本题满分40分）

给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，

每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.

三、（本题满分50分）

如图，点D 是锐角ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，

求证：AT 平分线段XY .

四、（本题满分50分）

设1220,,

,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,

,10}b b b ∈，集合

{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.

一试试卷答案

1.答案：8

9 解：数列{}n a

的公比为32a q a ==

，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.

,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部

可得9101022a a

b b +=??=-+?

，解得：1,2a b ==，故12z i =+

，进而||z =3.答案：74

。解：由条件知，2

(1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---，1(1)2(1)2f f +=-+，

两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32f +=-，即7

(1)4

f =-.

4.解：由正弦定理知，sin 2sin a A

c C

==，又2b ac =

，于是::2a b c =

，从而由余弦定理得：

222222cos 24b c a A bc +-===-

. 5.解：由条件知，EF 平行于BC ，因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故

4AE AF EF ===，7AD AB AE BE ==+=.

由余弦定理得，DE

同理有DF =作等腰DEF ?底边EF 上的高DH ，则1

EH EF ==

，故DH == 于是1

2332

DEF S EF DH ?=

6.解：注意K 中共有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3

984C =种，

当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：（1

）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，

（2）三点是边长为的等腰直角三角形的顶点，有4416?

=种情况，

（3

2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点

位于(1,0)±，(0,1)±的各有一个，共有8种情况.

综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=，进而所求概率为

3058414

=. 7.解：二次曲线方程可写成22

21x y a a

=，显然必须0a ->

，故二次曲线为双曲线，其标准方程为2221()x a =-，

则2222()c a a a =+-=-，注意到焦距24c =，可知24a a -=，又0a <，

所以a =

. 8.解：由条件知2017

[

]21000

c ≤=，当1c =时，有1020b ≤≤，对于每个这样的正整数b ，由10201b a ≤≤知，相应的a 的个数为20210b -，从而这样的正整数组的个数为

(1022)11

(20210)5722

b b =+?-=

=∑，

当2c =时，由201720[

]100b ≤≤，知，20b =，进而2017

200[]20110

a ≤≤=，故200,201a =，此时共有2组(,,)a

c .

综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722574+=.

9.解：设2x

t =，则[2,4]t ∈，于是|||5|t a t -<-对所有[2,4]t ∈成立，由于

22|||5|()(5)t a t t a t -<-?-<-，(25)(5)0t a a ?---<，

对给定实数a ，设()(25)(5)f t t a a =---，则()f t 是关于t 的一次函数或常值函数，注意[2,4]t ∈，因

此()0f t <等价于(2)(1)(5)0

(4)(3)(5)0

f a a f a a =---

=--

所以实数a 的取值范围是35a <<.

10.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则22

123112()()n n n n n n n n b b a a a a a a ++++++-=---

23111()()()n n n n n n n a a a a a a a +++++=--+-212()n n n a d a a d ++=-+221(2)3n n n a a a d d ++=--=

所以数列{}n b 也是等差数列.

（2）由已知条件及（1）的结果知：2

3d d =，因为0d ≠，故1

d =

，这样22

12()(2)n n n n n n n b a a a a d a d a ++=-=++-22329

n n da d a =+=+

若正整数,s t 满足s t a b Z +∈，则1122

(1)(1)99

s t s t a b a b a s d a t d +=++=+-++-+

122

239s t a Z +-=+

+∈. 记122

239

s t l a +-=++，则l Z ∈，且1183(31)1a l s t =--++是一个非零的整数，故1|18|1a ≥，从而

11||18

a ≥.

又当1118a =时，有13117

11818

a b Z +=+=∈，

综上所述，1||a 的最小值为1

18.

11.解：设2(,2)P t t ，则直线l 的方程为2

2y x t t =+-，代入曲线2C 的方程得，2

(4)(2)8x x t t -++-=，

化简可得：2222

22(24)(2)80x t t x t t --++-+=①，

由于l 与2C 交于两个不同的点，故关于x 的方程①的判别式?为正，计算得，

222222222(24)2((2)8)(2)8(2)162(2)164

t t t t t t t t t t ?

=-+--+=---+--- 222(2)8(2)t t t t =--+-22(2)(28)t t t t =----(2)(2)(4)t t t t =--+-，

因此有(2,0)

(2,4)t ∈-，②

设,Q R 的横坐标分别为12,x x ，由①知，2

1224x x t t +=-+，2

2121((2)8)2

x x t t =

-+，因此，结合l 的倾斜角为45可知，

2224121212||||2()2()22()2PQ PR x t x t x x t x x t =--=-++

22224(2)82(24)2t t t t t t =-+--++43243244482482t t t t t t t =-++-+-+

4248t t =-+22(2)4t =-+，③

由②可知，2

2(2,2)

(2,14)t -∈-，故22(2)[0,4)(4,196)t -∈，从而由③得：

22||||(2)4[4,8)(8,200)PQ PR t =-+∈

注1：利用

2C 的圆心到l 的距离小于2C 的半径，列出不等式2

|< 同样可以求得②中t 的范围.

注2：更简便的计算||||PQ PR 的方式是利用圆幂定理，事实上，2C 的圆心为(4,0)M ，半径为r =

故22222242

||||||(4)(2)48PQ PR PM r t t t t =-=-+-=-+.

加试试卷答案

一、证明：当1d ≥时，不等式显然成立

以下设01d ≤<，不妨设,a b 不异号，即0ab ≥，那么有

(1)(1)11110a b a b ab a b c d ++=+++≥++=-≥->

因此2

(1)(1)(1)(1)(1)111a b c c c c c d +++≥-+=-=-≥-

二、证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,

,1i m =+

设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡?-?=+，

故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m -=

三、

证明：首先证明//YX BC ，即证AX AY

XC YB

连接,BD CD ，因为

ACQ ACQ

ABC ABC

ABP ABP

S S S S S S ???????

，所以111sin sin sin 222

111sin sin sin 222

AC CQ ACQ AC BC ACB AC AQ CAQ AB BC ABC AB BP ABP AB AP BAP ?∠?∠?∠?=?∠?∠?∠， ① 由题设，,BP CQ 是圆ω的切线，所以ACQ ABC ∠=∠，ACB ABP ∠=∠，又CAQ DBC DCB BAP ∠=∠=∠=∠（注意D 是弧BC 的中点），于是由①知AB AQ CQ

AC AP BP

? ② 因为CAQ BAP ∠=∠，所以BAQ CAP ∠=∠，

于是1

sin 21sin 2ABQ ACP AB AQ BAQ S AB AQ S AC AP

AC AP CAP ???∠?==

??∠ ③ 而1

sin 21sin 2

BCQ BCP

BC CQ BCQ S CQ S BP BC BP CBP ???∠==

?∠ ④ 由②，③，④得

ABQ CBQ ACP

BCP

S S S S ????=

，

即

ABQ ACP

CBQ

BCP

S S S S ????=

又

ABQ CBQ

S AX S XC ??=

，ACP BCP S AY

S YB

??=

故

AX AY

XC YB

设边BC 的中点为M ，因为

1AX CM BY

XC MB YA

??=，所以由塞瓦定理知，,,AM BX CY 三线共点，交点即为T ，故由//YX BC 可得AT 平分线段XY

四、解：考虑一组满足条件的正整数12201220(,,

,,,,,)a a a b b b

对1,2,

,5k =，设120,

,a a 中取值为k 的数有k t 个，根据X 的定义，当i j a a =时，(,)i j X ?，因此

至少有

t k C

=∑个(,)i j 不在X 中，注意到

20k

k t

==∑，则柯西不等式，我们有

5555

222

11111

111120()(())20(1)3022525k

t k k k k

k k k k k C t t t t ======?-≥?-=??-=∑∑∑∑∑ 从而X 的元素个数不超过2

203019030160C -=-=

另一方面，取4342414k k k k a a a a k ---====（1,2,,5k =）

，6i i b a =-（1,2,,20i =）

，则对任意,i j （120i j ≤<≤），有2

()()()((6)(6))()0i j i j i j i j i j a a b b a a a a a a --=----=--≤

等号成立当且仅当i j a a =，这恰好发生24530C =次，此时X 的元素个数达到2

2030160C -=

综上所述，X 的元素个数的最大值为160.

(完整版)2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1

绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p

人教版2017年高考数学真题导数专题

2017年高考真题导数专题　一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围． 5．设函数f（x）=（1﹣x2）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x （x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；

（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 8．已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 9．设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且 ∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥． 10．已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R，（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x） =e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

2017年全国统一高考数学试卷(理科)

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（） A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=? 2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） A．B．C．D． 3．（5分）设有下面四个命题 p1：若复数z满足∈R，则z∈R； p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R； p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=； p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（） A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4 4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8 5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f （x﹣2）≤1的x的取值范围是（） A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3] 6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（） A．15 B．20 C．30 D．35 7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）

2017年高考新课标1理科数学含答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．1 4 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ；

2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 6．6 2 1(1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 8．右面程序框图是为了求出满足3n ?2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入 A ．A >1 000和n =n +1

2017年高考数学空间几何高考真题

2017年高考数学空间几何高考真题

2017年高考数学空间几何高考真题一．选择题（共9小题） 1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） A．B．C． D． 2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB．C．D． 3．在正方体ABCD﹣A 1B 1 C 1 D 1 中，E为棱CD的中点，则（） A．A 1E⊥DC 1 B．A 1 E⊥BD C．A 1 E⊥BC 1 D．A 1 E⊥AC 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A．60 B．30 C．20 D．10

5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（） A．+1 B．+3 C．+1 D．+3 6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D ﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（） A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A．90πB．63πC．42πD．36π

1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A．10 B．12 C．14 D．16 2．已知直三棱柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1 =1，则异面直线 AB 1与BC 1 所成角的余弦值为（） A． B．C．D．二．填空题（共5小题） 8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为． 9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为． 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．

2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷2

2017年普通高等学校招生全国统一考试课标II 理科数学注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【答案】D 2.设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 【答案】C 【解析】由{}1A B =得1B ∈，所以3m =，{}1,3B =，故选 C 。 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏【答案】B 【解析】塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由()712381 12 x -=-可得3x =，故选B 。

2017年全国高中数学联赛A卷试题和答案

2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题 1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-?+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________. 2.若实数y x ,满足1cos 22 =+y x ，则y x cos -的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110 9:2 2=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________. 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________. 7.在ABC ?中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π =∠A ，ABC ?的面积为 3，则AN AM ?的最小值为__________. 8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________. 二、解答题 9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b . 10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)5 3)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.

2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)

2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分. 1.在等比数列{}n a 中，2a = ，3a =1201172017 a a a a ++的值为 . 2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 . 3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 . 4.在ABC ?中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 . 5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ?的面积为 . 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 . 7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线222 0x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 . 8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 . 二、解答题（本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9.设不等式|2||52|x x a -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.

10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n = . （1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值. 11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45 的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ?的取值范围.

2017年全国高考文科数学试题及答案-全国卷1

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）数学（文史类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A B =3|2x x ??的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入 A ．A >1000和n =n +1 B ．A >1000和n =n +2