大学离散数学课后答案
9.1.1 解：⑴ 几何图表示如右。
⑵ deg(v 1)=3 deg(v 2)=4 deg(v 3)=3 deg(v 4)=3 deg(v 5)=1 deg(v 6)=0 奇度数结点数为 4。 ⑶ (v 2,v 2) 为自环；(v 1,v 3) 与 (v 3,v 1) 为平行边；
(v 4,v 5) 为悬挂边；v 5 为悬挂点；v 6 为孤立点。该图为伪图。 9.1.2 证：⑴ n 个结点的所有图中，完全图边数最多。
每点n-1度，n 个点的总度数为：2m=∑=n i i v 1
)deg(=n(n-1) ∴ m=n(n-1)/2
n 个结点的任一图的边数≤完全图的边数，∴ m ≤n(n-1)/2 ※ ⑵ ∵ 在简单有向完全图中，任二点之间有两条方向相反的边，
∴ 每点的度数为 2(n-1)，∴ 总度数为 2m=2(n-1)n ，∴ m=n(n-1)。 ※ 9.1.3 解：⑴ 去掉 v 点后，有 n-1个结点，m-d 条边。 ⑵ 去掉 e 边后，有 n 个结点，m-1条边。 9.1.4 证：假设n 个结点的度数皆不相同
∵ 在简单无向图中，一个结点的最大度数为n-1，最小度数为0。 ∴ 它们只能为 0，1，…，n-1 n 个值。
∵ 0度点不与其它任何结点相邻，而n-1度点与其它任何结点相邻，
∴ 二者产生一个矛盾。 ※ 9.1.5 解：仅考虑无向图。 ⑴ 可构成图，图如右。 ⑵ 否。奇度数结点数为奇数。
⑶ 否。n 个结点的简单无向图中，结点的最大度数为n-1，5不可。 ⑷ 否。后三点均与其它各点有边，故第一点也应三度。 ⑸ 否。后二点均与其它各点有边，故第一点至少应为二度。 9.1.6 解：2m=nk m=nk/2 。
9.1.7 证：⑴ 当图G 中n 个点的度数都为 δ(G)时，总度数为 2m=n δ(G)。
但一般情况下，δ(G) 为最小度数，而并非所有结点的度数都为 δ(G)时， 必有 2m ≥n δ(G)， ∴ 2m/n ≥δ(G) 。
⑵ 当图G 中n 个点的度数都为 △(G)时，总度数为 2m=n △(G)
但一般情况下，△(G) 为最大度数，而并非所有结点的度数都为 △(G)时， 必有 2m ≤n △(G)， ∴ 2m/n ≤△(G) 。 ※
9.2.1 解：同构的只給出其一。
9.2.2 解：
9.2.3 解：
9.2.4 解： ⑴
ο ο ο ο ο ο ο ο
ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο
⑼ ⑽ ⑾ ⑿ ⒀ ⒁ ⒂ ⒃ ο ο ο ο ο ο ο ο
ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο
ο ο
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻
⑵ 不存在3个结点或6个结点的自补图，因为他们的完全图边数为奇数。 ⑶ 证明：设结点数和边数分别为n 和m 。
有n 个结点的自补图，则n 个结点的完全图边数必为偶数,
∴ m=2t t ∈I + ，又∵ 完全图边数 m=n(n-1)/2，∴ n(n-1)=4t ； 若n 为偶数，则n-1必为奇数，∴ n 必为4的倍数，∴ n=4k ，k ∈I + ， 若n 为奇数，n 必为4的倍数，∴ n-1=4k ，∴ n=4k+1，k ∈I + 。 ※
9.2.5 证：⑴ 构造置换 f ：V a →V b ，f=???
?
??7 5 8 9 5 10 4 3 2 110 9 8 7 6 5 4 3 2 1
⑵ 经验证，?(x,y)∈E a ，(f(x),f(y))∈E b ，反之亦然。
根据同构的定义，两图同构。 ※ 9.2.6 证：假设两图同构，根据前面介绍的两途同构的必要条件，
在(a)中只有1和2两点间有平行边，在(b)中只有2和3两点间有平行边， 所以必然是(a)中的1和2两点与(b)中的2和3两点相对应。 又因在(a)中1点4度，2点3度，在(b)中2点3度，3点4度， 所以必然是(a)中2点对应(b)中2点，(a)中1点对应(b)中3点。
又在(a)中1点的3个邻接点的度数皆不超过3度，而在(b)中3点与4度点4邻接， 故出现了矛盾。所以原命题成立。 ※ 9.2.7 证：因四个结点两条边的无向简单图，只有两种非同构的状态，
一种是这两条边邻接，另一种是这两条边不邻接，如右图所示。 所三个这样的图，必至少有两个图同构。 ※
9.3.1 解：各举一例。 ⑴
长度为9的迹 长度为8的不是径的迹 长度为5的圈 ⑵：
长度为6的圈 长度为8的圈 长度为9的圈：
9.3.2 解：⑴ v 1v 2v 4v 1 ，v 1v 2v 3v 4v 1。 ⑵ 删去 (v 1,v 2) 或 (v 4,v 1) 均可。 9.3.3 解：⑴ 3； ⑵ 2； ⑶ 4 。 9.3.4 解：
9.3.5 证：若从u 到v 存在径，则因径是迹，所以从u 到v 存在迹。 若从u 到v 存在迹，
⑴ 迹上点不重复，则该迹即为径。
⑵ 迹上有重复的点，如：u …ab …a
…v ，则将b …a 这段路去掉，得到的仍是从u 到v 的迹。如果还有重复结点，则继续重复作上述删除工作，直到迹上没有重复的点，便得到从u 到v 的径。 ※
9.4.1 解：
⑴ v1→v1 0； v1→v2 1； v1→v3 3； v1→v4 2；
v1→v5 6； v1→v6 4； v1→v7 7； v1→v8 5； v9→v9 0
⑵ D = ∞
⑶弱分图：{v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8,v10}，{v9}
单分图：{v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8}，{v5,v7,v8,v10}，{v9}
强分图：{v1,v2,v3,v4,v6}，{v5,v7,v8}，{v9}，{v10}
9.4.2 解：v j在v i到v k的短程线上。
9.4.3 反证：假设两个奇度数结点u和v之间无路
则结点u和v必分居于两个不同的连通分支中，
于是u所在的连通分支中，奇度数结点的数目为1，与定理9.1-1的推论1矛盾！9.4.4 见P172，定理9.18的证明。
9.4.5 反证：假设δ(G)≠0。
设 |V|=n。任取一点，∵δ(G)≠0，∴该点至少有一入度。沿提供入度的边反向走到该边的起点。又因该点也至少有一入度，再沿提供入度的边反向走到该边的起点。如此走下去，不外乎两种结果：①再向前走便回到已走过的点上，形成回路。②一路上走全了所有点，但因最后一点仍有入度，再向前走必然回到已走过的点上，形成回路。两种情况都存在回路，与前提无回路矛盾。※
9.5.1 解：⑴ ?
?
???
????
???=0010
10101100
1010A ⑵ 3条。⑶ 0条。⑷ 路65条。其中回路15条。 9.5.2 解： ?????????????
???=11
111
1111100111
001110000
1P ?????
??
?????????=∧11
00
01100
00011000110000
1T
P P 强分图为：{v 1}，{v 2,v 3}，{v 4,v 5}。 9.5.3 解：⑴ e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 v 1 -1 v 2 1 1 -1 v 3 -1 1 -1 v 4 1 1 -1 v 5 -1 1
⑵ deg i n (v 1)=1；deg o u t (v 1)=0；deg i n (v 3)=2；deg o u t (v 3)=1 ⑶ 矩阵中所有元素绝对值之和为 12，而边数为 6。
9.5.4 解：?
?
?
??
????
???∞
∞∞
=0211011101210
D d ij =1 说明从i 点到j 点存在一条边。 9.5.5 解：⑴ 将距离矩阵中∞项置为0，将非∞项置为1，便得到可达矩阵。
⑵ 非主对角线上的元素d ij 表示从一点v i 到另外一点v j 的距离，该距离值不是∞说明 从v i 到v j 存在通路。非主对角线上的所有元素不为∞，说明从任一点v i 到其它任 一点都有路相通，所以该图是连通的。 9.5.6 说明：⑴ 二元运算∧和∨定义于右面的运算表。 ⑵ ⊙为布尔阵的布尔乘法，定义如下：
设 A 为n 行k 列布尔阵，B 为k 行m 列布尔阵， 则C=A ⊙B 为n 行m 列布尔阵， c ij =)b (a pj ip k
1p ∧∨= 。
⑶ ∨ 为布尔阵的并运算，定义为：设 X,Y,Z 皆为n 行m 列布尔阵， Z=X ∨Y ， z ij =x ij ∧y ij 。 ⑷ ⊙的幂定义为：A 0=I ，An=A n-1⊙A 。
⑸ ⊙对∨满足分配律。 令E=A ⊙(B ∨C)，D=B ∨C ，R=A ⊙B ，S=A ⊙C e ij =)d (a pj ip k
1p ∧∨==))c b ((a ij pj ip k
1
p ∨∧∨==))c a ()b ((a ij ip pj ip k
1
p ∧∨∧∨= =)c a ()b (a ij ip k
1
p pj ip k
1
p ∧∨∨∧∨===r ij ∨s ij 。
e2
v2 v3 ο e3 ο e1
v1 ο e4 v5 e6
ο ο e5 v4
∴ E=R∨S，即 A⊙(B∨C)= A⊙B∨A⊙C
证：对n是以归纳证明。
当n=1时，I∨A=I∨A
当n=2时，(I∨A)2=(I∨A) ⊙(I∨A)=I⊙I∨I⊙A∨A⊙I∨A⊙A=I2∨I⊙A∨A⊙I∨A2，∵ I⊙A=A⊙I=A，且I⊙I=I，且∨运算满足幂等律，∴ (I∨A)2=I∨A∨A2，假设当n=k(k N,k≥3)时成立，即(I∨A)k=I∨A∨…∨A k，
当n=k+1时，
(I∨A)k+1=(I∨A)k⊙(I∨A)=((I∨A)k⊙I)∨((I∨A)k⊙A)
=(I∨A)k∨((I∨A∨…∨A k)⊙A)
=(I∨A∨…∨A k)∨(A∨A2∨…∨A k+1)=I∨A∨…∨A k+1※
题9.6.3图 9.6.1 解：(a) 否。∵ 有4个奇度数结点。 (b) 可。∵ 所有结点皆为偶度数。 9.6.2 解：
9.6.3 解：是汉密尔顿图，汉密尔顿回路如右图所画。
9.6.4 ⑴ 证：∵ G 是欧拉图，∴ 是连通的。∵ 欧拉图中必有欧拉回路， ∴ 所有的点都在此回路上，∴ 任两点可互达，∴该图是强连通的。
⑵ 不一定是欧拉图。右图是强连通的，但不是欧拉图。
9.6.5 证：无向完全图每个结点的度数为n-1，任两个结点的度数之和为2n-2， 当n ≥2时，2n-2≥n 。但注意n=2时不存在汉密尔顿回路，
∴ 当n ≥3时，根据推论9.5，无向完全图必是汉密尔顿图。 ※ 9.6.6 证：以人为结点，两点之间有边，表示两人互相认识，得到无向图G=(V,E)。
⑴ 当n=3，即V={a,b,c}，∵ a,b 合起来认识c ，∴ a,b 至少有一人认识c ，不妨设a 认识c ；又∵ a,c 合起来认识b ，若a 认识b ，则b-a-c 为所求；若c 认识b ，则b-c-a 为所求。 ⑵ 当n ≥4，?a,b ∈V ，∵ a,b 合起来认识其余n-2个人，∴ deg(a)+deg(b)≥n-2。 ① 若a 与b 互相认识，则deg(a)+deg(b)≥(n-2)+2=n 。
② 若a 与b 互相不认识，则a 认识其余n-2个人，b 也认识其余n-2个人。 否则，若?d ∈V ，a 认识d ，b 不认识d ，则a,d 合起来不认识b ，与题给条件矛盾。 ∴ 此种情况下，deg(a)+deg(b)=2(n-2)≥n
根据推论9.5，存在汉密尔顿回路。 ※ 9.6.7 证：任选两个奇度数结点，在他们之间连一条边，于是这两个奇度数结点变成偶度数 结点。再选两个奇度数结点，在他们之间连一条边，显然第二条外加边与第一外加边 不相邻。在k 个奇度数结点间共加入k/2条不相邻的边，使所有结点皆为偶度数结点。 根据推论9.3，存在一条欧拉回路。再将k/2条不相邻的外加边去掉，则必形成k/2 条不相邻的迹。由于可把一条及分成多条迹，所以迹的总数≥k/2。 ※ 9.6.8 解：(a) 4笔；(b) 2笔。
ο ο
ο ο
9.7.1 解：是。互补结点集如下图。 9.7.2 解：⑴ V1每点至少2度，
V2中每点至多2度，∴ t=2 。 ⑵ 见下表。 ⑶ 匹配如右上图。 题9.7.1图 题9.7.2图
9.7.3 解：如下图。 9.7.4 解：如下图。 9.7.5 解：如下图。
9.7.6 证：设 |V 1|=n 1，则 |V 2|=n-n 1。∵ 完全二分图时便数最多为 m=|V 1||V 2|=n 1(n-n 1)， 该式当 n 1=n/2时有极大值 n 2/4 ，∴ m ≤n 2/4 。 ※
V 1 v 1 v 2 v 3 v 4 ο ο ο ο
ο ο ο ο ο V 2 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10
9.8.1 证：∵ 每个面至少由k 条边围成，∴ f 个面至少由kf 条边围成。 又∵ 每条边在计算面的边界时都计了两次，∴ 总边数 m ≥kf/2 。
又∵ 平面图的欧拉公式 n-m+f=2，代入上式解得 m ≤k(n-2)/(k-2) ※ 9.8.2
? ? ? ?
9.8.3 证：⑴ 将粗红笔所画子图的6，7两点串联合并后如右图为K5。
∴ 原图存在与K5同胚子图，根据库氏定理 ∴ 原图为非平面图。
⑵ 如右图，粗红笔所画子图为 K3,3，根据库氏定理，∴ 原图为非平面图。 9.8.4 反证：假设G 和G 皆为平面图
n 点完全图的边数应为 m=n(n-1)/2 …………①
∵ G 是平面图，∴ G 的边数≤3n-6 。∵ G 是平面图，∴ G 的边数≤3n-6 。 ∵ n 点完全图的边数=G 的边数+G 的边数，∴ m ≤2(3n-6)=6n-12 …………② 当n ≥11时，①式结果为 m ≥55，而②式结果为
m ≤54，矛盾！ 证毕 9.8.5 反证1：假设G 不连通，有k ≥2个连通分支：G 1,G 2,…,G k 。
在G 1与G 2，G 2与G 3，G 3与G 4，…，G k-1与G k 之间分别各加一条边，
共加了k-1条边，于是新图G'为连通的了，且仍为简单平面图。
∴ m'=m+k-1≤3n-6 , 将 n=7和m=15代入，得k≤1，与k≥2矛盾！证毕反证2：假设G不连通，有k≥2个连通分支：G1,G2,…,G k。
则每个连通分支均为简单平面图，∴ m i≤3n i-6,
∴m=(m1+m2+…+m k)≤(3n1-6)+(3n2-6)+…+(3n k-6)
=3(n1+n2k+…+n k)-6k=3n-6k
将 n=7和m=15代入，得k≤1，与k≥2矛盾！证毕
9.8.6 反证：假设存在边界边数≥4的面
∴ m>3f/2，再与n-m+f=2联立，解得 m<3n-6。
将n=6代入，解得 m<12，这与已知 m=12 矛盾！证毕9.8.7 证：∵对于2度点插入操作，点增加一个，边也增加一条。
对于2度点消去操作，点减少一个，边也减少一条。
∴对于2度点的操作，△m=△n。
按同胚的定义，若G1与G2同构，则 n1=n2,m1=m2，∴ m1-n1=m2-n2。
若G1通过2度点操作后得到G1'与G2同构，∴m1'=m2,n1'=n2，∴m1'-n1'=m2-n2，
∵ m1'=m1+△m1,n1'=n1+△n1，∴ (m1+△m1)-(n1+△n1)=m2-n2，
∵△m1=△n1，∴ m1-n1=m2-n2。※
P170 习题9.9
9.9.1 解：
9.9.2 解：黑图的对偶图为红图。
⑴黑色图(a)到(b)，点集之间的双射为f(x)=x。
经验证，边之间的对应关系也符合同构的定义，故两图同构。
(a) (b)
⑵由于(b)的对偶图，即红图中有一5度点v，而(a)的红图中没有5度点，
所以两对偶图不同构。
9.9.3 证：设图G的对偶图为G'，∴ G'是连通图，且n'=f 。
∵图G与图G'同构，∴ G是连通图，且n=n'=f 。
又∵图G有对偶，∴图G是平面图，加之G是连通图，∴ n-f+m=2 。
∴ m=n+f-2=n+n-2=2n-2 。证毕
9.9.5
9.9.6 解：见上右两图。
9.9.7 证：用数学归纳法证明。
4 4
οοοο2
ο 2 ο
1 οοοοο 6 οοοο 1 οοο 6
v
ο 3 ο
ο3
οοο
5 5
当n≤6时显然成立。
假设当n=k是成立，k∈N,k≥7。
当 n=k+1时，根据定理9.16，存在一点 v deg(v)≤5。
将点v 删去得到图G'，根据归纳假设，G'可六色。
再将点v恢复，由于在G中与 v邻接的点不超过5个，并且有六种颜色，
故取与所有邻结点不同的颜色给点v着色，∴图G仍是6色的。※9.9.8 证：⑴反证：假设所有结点度数都≥4，∴G的总度数≥4n，即 2m≥4n，m≥2n。
∵ G 是简单图，∴不含自环和平行边，∴面的边界不能由1条或2条边构成。
又∵ G不含K3，∴面的边界不能由3条边构成，即有至少4条边构成。
又∵ G 是连通的平面图，根据推论9.7，∴ m≤2n-4，与m≥2n矛盾。
⑵证明方法与题9.9.7相同。※
P175 习题9.10
9.10.1 解：⑴ 设总结点数为n ，1度结点数为n 1，边数为m 。 总度数为 3×3 + 2×1 + 1×n 1 = 2m 总结点数为 n = 3 + 1 + n 1 树中点与边的关系 m = n-1 三式联立解得 n 1 = 5 。
⑵
9.10.2 证：⑴ 反证：假设G 不是一棵树
∵ G 是连通的，∴ G 必有回路。而删去此回路中任一边，图仍连通。 这与每一边都是割边的前提条件矛盾！ ∴ G 是一棵树。 ⑵ 根据定理9.10-1(5)，树是连通的，但删去任一边便不连通了。
再根据割边的定义，可知树上任一边都是割边。 证毕 9.10.3 解：⑴ 2m=2(n-1)=2(∑=-k
i i n 1
1)=i k
i n i ∑=?1
，∴ 2(n 1+n 2+…+n k-1)=n 1+2n 2+…+kn k )
∴ n 1=n 3+2n 4+…+(k-2)n k +2 ⑵ ∑≠=--=
-k
r
i i i r n i n r ,12)2()2( ∴ 2
2
)2(,1---=
∑≠=r n
i n k
r
i i i
r 。
9.10.4 证：⑴ ∵ G 是树，∴ m=n-1，∴ 总度数=2m=2(n-1)=2n-2 。 ※ ⑵ 构造算法：
① 将个结点的度数从大到小排序，结果为：d 1,d 2,…,d n 。令i=1 。 ② 画出一个d 1度的点，以及与它邻接的d 1个结点，及相应的边。 ③ i=i+1，若 d i =1,结束。
④ 将图的任一叶结点变为d i 度结点，画出与它邻接的其它d i -1个结点， 及相应的边。转③。
证明：∵ 构造出的图连通无回路，所以是树。又因非叶结点都按要求度数实 现了，也结点的树木必然也符合要求，该图即为满足各点度数条件的树。 ⑶ 例：(d 1,d 2,…,d 8)=(4,3,2,1,1,1,1,1)，n=8，d 1+d 2+…+d 8=14=2n-2 。
9.10.5 证：在T 1-{a}中，必形成两个不连通的部分，用结点集表示为V 1和V 2。
对于T 2来说，必存在连接V 1和V 2的边，否则T 2亦不连通，不妨设此边为b 。
ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο
ο ο ο ο ο ο
ο
∵ a ?T 2，∴ b ≠a 。又∵T 1-{a}中的任一边都不在V 1与V 2之间，
∴ T 1-{a}中的任一边都不为b ，∴ b ?T 1。
将b 加入T 1-{a}中，于是V 1与V 2又连通了，而且原来V 1与V 2都是连通的， ∴ (T 1-{a})∨{b}是连通的。
又∵ |T 1|=n-1，|T 1-{a}|=n-2，|(T 1-{a})∨{b}|=n-1， 根据定理9.10-1(3)，∴ (T 1-{a})∨{b} 仍为一棵树。 又∵ G 的全部点都在该树上，∴ (T 1-{a})∨{b} 仍为一棵生成树。
同理可证得 (T 2-{b})∨{a} 亦为一棵生成树。 ※ 9.10.6 解：{e 1,e 7,e 9}；{e 4,e 6,e 7,e 8}；{e 5,e 6,e 7,e 9}。
9.10.7 解：如下图，
⑴ W T ⑵ W T = 16
9.10.8 证：∵ 树不含回路，∴ 根据定理9.10，树是二分图。 ※
P178 习题9.11
9.11.1 解：不一定。见右图。 9.11.2 证法1：对叶数t 进行归纳
当t=1时，m=0=2(1-1)，成立。 设当t=k 时成立。 当t=k+1时
有一叶变为分枝结点，在此结点上增加两边生出两叶，此时边增加2而叶增加1。 ∴ m=2k-2+2=2k+2-2=2(k+1)-2。 证毕 证法2：完全二元树除叶结点外的其它结点都有两个出度，即两条出边。 ∴总边数=2×非叶结点数。 设总结点数为n 。
∴ m=n-1与m=2(n-t)联立，解得 m=2t-2 。 证毕 9.11.3 证：设总边数为P=m ×t ，又∵P=n-1=i+t-1，∴m ×t=i+t-1，∴(m-1)i=t-1 。 证毕 9.11.4 解：⑴ 判其为树：连通、m=n-1。 判弱连通：① 令H=A ∨A T
② 由H 求可达矩阵 P=(I ∨H)n-1 ③ P 全1，则弱连通。 判m=n-1：A 中有m 个1。 ⑵ 判根树与树根
若m 个1分布在m 行，则为入树。全0行的结点为根，全0列的结点为叶。 若m 个1分布在m 列，则为出树。全0列的结点为根，全0行的结点为叶。 9.11.5 解：⑴ 可形成三棵非同构的无向树。 ⑵ 可形成7棵根树。
ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο
ο
ο ο ο ο 或
ο ο ο ο ο
9.11.6 解：如下图。
⑴⑵
离散数学作业答案
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月19日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是 (PQR) (PQR) ． 4．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 (x)(P(x) →Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a, b},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 ． 8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x ，y))中的约束变元为 X ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 1．解：设P ：今天是天晴； 则 P ． 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 解：设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， 则 PQ ． 3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式． 解：设P:明天天下雪 。 Q:我去滑雪 则 P Q ． 4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 7．解：设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， 则 P Q ． 5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式． 11．解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作，
山东大学离散数学题库及答案
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不？ (4) 若7+8＞18,则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能
离散数学题库及答案
数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。
(完整版)离散数学作业答案一
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、 数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型(除单项选择题外) 安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第17周末前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1 .命题公式P (Q P)的真值是T或1 ______ . 2?设P:他生病了，Q:他出差了. R:我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P V Q)-R 3. ____________________________________________________________ 含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P Q的主析取范式是__________________ _(P Q R) (P Q R)_ 4. 设P(x): x是人，Q(x): x去上课，则命题“有人去上课.” 可符号化为— x(P(x) Q(x))_ 5. 设个体域D = {a, b},那么谓词公式xA(x) yB(y)消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b))_ 6 .设个体域D = {1,2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(x)A(x)的真值为F 或0 ________________ . 7.谓词命题公式(x)((A(x) B(x)) C(y))中的自由变元为 ________ . 8 .谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x，y))中的约束变元为x _______ . 三、公式翻译题 1 .请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式
《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )
(1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！(6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。） 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”） 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的）（2）Q P→ ? P? ?（4）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1）F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2）F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的）
离散数学期末试卷A卷及答案
《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???.
2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？
离散数学试题与答案
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统
二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
吉林大学离散数学课后习题答案
第二章命题逻辑 §2.2 主要解题方法 2.2.1 证明命题公式恒真或恒假 主要有如下方法： 方法一.真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每
一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。 真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。 例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。 解：该公式的真值表如下： 表2.2.1 由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故
G恒真。 方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。 例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。 解：由(P→R) ∨? R=?P∨ R∨? R=1，以及 ? (Q→P) ∧ P= ?（?Q∨ P）∧ P = Q∧? P∧ P=0 知，((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)=0，故G恒假。 方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。 方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G
大学本科高等数学《离散数学》试题及答案
本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
安徽大学期末试卷离散数学上卷及参考答案.doc
安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学（上）》考试试卷（A 卷） （时间120分钟） 院/系 专业 姓名 学号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 一、单选题（每小题2分，共20分） 1. 设A={a,b,c}，A 上二元关系R={〈a,a 〉，〈b,b 〉,〈a,c 〉}，则关系R 的对称闭包S(R)是( ) A.R ∪I A B.R C.R ∪{〈c,a 〉} D.R ∩I A 2. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系，要使I x ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等 价关系，R 应取( ) A. ｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝ B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉} C. {〈c,a 〉，〈b,a 〉} D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉} 3. 下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 4. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x 作业参考答案——10-特殊图 1.(a)(c)(d)是欧拉图，(a)(b)(c)(d)(e)可以一笔画，(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)是 哈密顿图。 2.根据给定条件建立一个无向图G= 数至少为2，而V2中的每个结点度数至多为2，从而它满足t条件t=1，因此存在从V1到V2的匹配，故可分配。 5.此平面图具有五个面，如下图所示。 a b c d e f g r1r2 r3 r4 r5 ?r1，边界为abca，D(r1)=3; ?r2，边界为acga，D(r2)=3; ?r3，边界为cegc，D(r3)=3; ?r4，边界为cdec，D(r4)=3; ?r5，边界为abcdefega，D(r5)=8;无限面 6.设该连通简单平面图的面数为r，由欧拉公式可得，6?12+r=2，所以 r=8，其8个面分别设为r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8。因是简单图，故每个面至少由3条边围成。只要有一个面是由多于3条边所围成的，那就有所有面的次数之和 8∑ i=1 D(r i)>3×8=24。但是，已知所有面的次数之和等于边数的两倍，即2×12=24。因此每个面只能由3条边围成。 2 《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群 19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设 离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B ＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________， _____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求： (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个， ∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗？ (1)2是正数吗？ (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了，那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了 q：你错过了最后的考试 3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同 班同学，个体域是学校全体学生的集合。 解： 学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解： ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P 离散数学练习题 第一章 一．填空 1.公式) ∨ ? ∧的成真赋值为 01；10 ? p∧ ( (q ) p q 2.设p, r为真命题，q, s 为假命题，则复合命题) ? ? →的真值为 0 p→ ( q (s ) r 3.公式) ∨ ? p∧ q ?与共同的成真赋值为 01；10 ? ∧ p ( ) ) (q q p ( 4.设A为任意的公式，B为重言式，则B A∨的类型为重言式 5．设p, q均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二．将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。 解：) ? ?，其中p: 7是无理数；或p，其中p: 7是无理数。 (p 2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：其中 ?p: 小刘怕吃苦，q：小刘很爱钻研 p∧ ,q 3.只有不怕困难，才能战胜困难。 解：p →，其中p: 怕困难，q: 战胜困难 q? 或q →，其中p: 怕困难， q: 战胜困难 p? 4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：) → ?，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人，r: 困难解决了 p (q r→ 或：q ?) (，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了r→ ∧ p 5.整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解：q p?，其中p: 整数n是偶数，q: 整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P：2能整除5， q：旧金山是美国的首都， r：在中国一年分四季 1. )) p∧ → q ∨ r → ∧ ((q r ( ) ( ) p 2.r ?) → (( → (( ∨ ) ( )) p r p ∨ p q ? ∧ ? q∧ 解：p, q 为假命题，r为真命题 1.)) p∧ → q ∨的真值为0 r → ∧ ( ) ( ) ((q p r 国开放大学离散数学本离 散数学作业答案 The pony was revised in January 2021 离散数学集合论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业． 要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择： 1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅． 2. 在线提交word文档 3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传． 一、填空题 1．设集合{1,2,3},{1,2} ==，则P(A)-P(B )= {{1,2}，{2,3}，{1,3}， A B {1,2,3}} ，A B= {< 1,1>，<1,2>，<2，1>，<2，2>，<3，1>，<3， 2> } ． 2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ． 3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为 {< 2,2>，<2,3>，<>，<> } ．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系 R＝} y x y x∈ ∈ < > = A , , 2 , y {B x 那么R－1＝ {< 6，3>，<8，4> } ． 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={慕课 离散数学 电子科技大学 课后习题十 答案
中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
离散数学试题及答案(1)
离散数学作业答案
山东大学离散数学题库及答案
离散数学章练习题及答案
国开放大学离散数学本离散数学作业答案
- 离散数学(大作业)离散数学(大作业)以及参考答案
- 大学离散数学作业答案
- 吉林大学离散数学课后习题答案
- 吉林大学离散数学课后习题答案
- 奥鹏20秋季 西交《离散数学》在线作业_2参考答案.doc
- 湖南大学离散数学第三章习题一解答
- 国开放大学离散数学本离散数学作业答案
- 林州一中北京大学离散数学作业答案
- 离散数学作业答案优选稿
- 15春北京大学《离散数学》作业答案
- (完整版)离散数学作业答案一
- 北京语言大学 18秋《离散数学》作业1满分答案
- 国家开放大学电大本科《离散数学》网络课形考网考作业及答案
- 国开放大学离散数学本离散数学作业答案
- 2015春中国石油大学《离散数学》第一次在线作业及满分答案-更新
- 离散数学作业答案
- 离散数学作业答案
- 国家开放大学电大本科《离散数学》网络课形考任务3作业及答案
- 华东师范大学离散数学作业答案
- 离散数学作业答案