数值分析试卷

数学与应用数学专业2009级《数值分析》课程考核试卷试卷 A （A/B/C）考试方式闭卷（闭卷/开卷）考试时间（120分钟）

一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在

题末的括号中）（本大题共 5 小题，每小题 3 分，总计 15 分）

1.用

355

113

作为π的近似值，具有（）位有效数字。

A、4

B、5

C、6

D、7

2.用二分法求方程6

()

10

f x x x

=--=在[1,2]内的唯一根，如果要求误差不超

过

1-1

10

2

?，需要将区间进行（）次二等分。

A、1

B、2

C、3

D、4

3.以下哪种迭代法不是用于求解线性方程组的迭代法？（）

A、不动点迭代法

B、SOR迭代法

C、雅可比迭代法

D、高斯-塞德尔迭代法

4.设有求方程2230

x x

--=根的迭代公式x=，取初值

2

x=，则迭

代公式（）

A. 收敛

B. 敛散不定

C. 发散

D. 不确定

5. 当0

)

(=

x

f有m重根时，牛顿(Newton)迭代公式中的迭代函数应为（）

A.

)

(

)

(

)

(

x

f

x

f

x

x

'

-

=

? B.

)

(

)

(

)

(

x

f

x

f

m

x

x

'

-

=

?

C.

)

(

)

(

)

(

x

f

m

x

f

x

x

'

-

=

? D.

)

(

)

(

)

(

x

f

x

f

mx

x

'

-

=

?

二、填空题（本大题共5个小题，第一小题每空1分，其余小题每

空3分，共计15分）

1.已知A=

23

40

-

??

?

-

??

，则

1

A= ，

2

A= ，A

∞

= 。

2. 设*x的相对误差是δ，则3x的相对误差是________。

3.若1

3

)

(3+

=x

x

f，则f的四阶均差]4

,3

,2

,1,0[f=( )

4.要使迭代格式2

1

(3)

k k k

x x x

α

+

=+-对根*x=具有局部收敛，则α的取值范围

是。

5.已知求积公式)]

1

(

)

(

6

)

(

[

8

1

)

(

1

f

f

f

dx

x

f+

+

≈

?α至少具1次代数精度，则

10个小题，每小题1分，总计10分。在对

，错的画“×”）

1.两个相近数相减必然会使有效数字缺失。（）

2.无论问题是否病态，只要算法稳定都能得到好的近似值。（）

3.解非线性方程时，牛顿法可能不收敛。（）

4.牛顿法是不动点迭代的一个特例。（）

5.范数为零的矩阵不一定是零矩阵。（）

6.如果矩阵A是对称矩阵，则

1

A=A

∞

（）

7.只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接L U分解可求得线性方程组

A x b

=的解。（）

8.高次拉格朗日插值是很常用的。（）

9.如果给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的。（）

10.数值求积分公式计算总是稳定的。（）

四、计算题（本大题共6个小题，总计48分）

1.(6分)已知描述某实际问题的数学模型为x

y

y

x

y

x

u

2

2

3

)

,

(+

=

，其

中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限

)(u ε和相对误差限)(u r ε.

2.（6分）用牛顿迭代法求方程330x x +-=在01x =附近的根。请写出迭代公式，并计算

前三次迭代结果1x 、2x 、3x 。（保留四位小数）

3.（8分）用列主元消去法解方程组

1231231

23242634

x x x x x x x x x ++=??

+-=??-+=?

4.（8分）取0.25h =，用复合梯形公式计算

2

1

121

dx x -?

5.（10分） 设函数)(x f 满足表中条件:

(1) 填写均差计算表(标有*号处不填):

(2) 分别求出满足条件)2,1,0(),()(),()(22===k x f x N x f x L k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.

6．（10分）利用L U 分解法解线性方程组

1231231

232644

4536182

x x x x x x x x x +-=??

+-=??-+=?

五、证明题（本大题共1道小题，12分） 1.设j x 为互异节点(0,1,)j n =……，，求证：

（1）0

()n

k

k

j j j x l x x =≡∑ (0,1,,)k n =……； （2）0

()()0n k

j j j x x l x =-≡∑ (1,2,)k n =……。

参考答案

一、选择题

1.D

2.C

3.A

4.A

5.B

二、填空题

1.

1

A=6

2

A=22.64 A

∞

= 5

2.

2

3

3

σ-

3. 0

4.(0)

3

-

5.1

2

三、判断题

1.√

2.×

3.√

4.×

5.×

6.√

7.√

8.×

9.√ 10.×

四、计算题

1.解

：)

(

2

3

)

(

6

)

(

)

,

(

)

(

)

,

(

)

(2

2

2

y

x

y

x

x

x

y

xy

y

y

y

x

u

x

x

y

x

u

uε

ε

ε

ε

ε?

?

?

?

?

+

+

?

?

?

?

?

-

=

?

?

+

?

?

≈

6.0

16

.0

44

.0

01

.0

)4

12

(

01

.0

)4

48

(=

+

=

?

+

+

?

-

=

0.010714

56

6.0

3

)

(

)

(

2

2

=

≈

+

=

x

y

y

x

u

u

r

ε

ε

2.应用牛顿迭代，该方程得：

1'

1

2

3

()

()

1

5

1.2500

4

17

1.2142

14

1.2134

k

k k

k

f x

x x

f x

x

x

x

x

+

=-

=

==

==

=

由可得：

3.

[]21

13

31

32

1

2

3

3114

2

11243114

5510

3

|=21-1621160

1333

3-1141124

458

3

333

3114

45510

5333

0030

2

2

m

A b r r

m

m

x

x

x

?

??

??

-

-

????=??

??????

--

??????

=

??????

????

??

??

-

??

??

??

=-

??

??

??

=

=

=

解：增广矩阵为：

所以：

4.

[]

2

1

1

(1)2(1.25)2(1.5)2(1.75)(2)

212

12221

1+++

8 1.52 2.53

67

=

120

h

dx f f f f f

x

≈++++

-

??

=+

??

??

?

解：由h=0.25得：

5.解： (1) 填写均差计算表(标有*号处不填):

（2）12)

12)(02()1)(0()

20)(10()2)(1()(2

2+-=----+

----=

x x x x x x x L

12)1)(0(1)0)(1(1)(2

2+-=--+--+=x x x x x x N

6.

1122331232641

4561

182

040

13

00

271000.5

103

19

1,=Y ,20-401-300

-27,1000.5103

-19

1L U U L A x L U x b U x x y x y x y L Y b y y y -??

?

?

-????-??

-??

??=-????-????

??=????-??

==??????

??????=??????????????????=??????????解：首先把矩阵A=进行分解其中令即：则即：

1231243241

943=013y Y y y x X x x ????

????=????????????

????????

==??????????????

??

???

???=??

??

??????-????解出：代入上式得：

五、证明题 略