本科线性代数总复习_文档

第一章行列式 一、单项选择题 1．二阶行列式

1

22

1--k k ≠0的充分必要条件是（

）

A ．k ≠-1

B ．k ≠3

C ．k ≠-1且k ≠3

D ．k ≠-1或≠3

答案：C

2．设行列式

2

2

11

b a b a =1，

2

2

11c a c a =2，则

2

22111

c b a c b a ++=（ ）

A ．-3

B ．-1

C ．1

D ．3

答案：D

3.如果方程组??

?

??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ ）

A.-2

B.-1

C.1

D.2

答案：B

4．设行列式D=3332

31

232221

131211

a a a a a a a a a =3，D 1=33

32

3131

2322212113

12

1111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．-15 B ．-6 C ．6 D ．15

答案：C

5．3阶行列式j

i

a =0

1

1

101

1

10

---中元素21a 的代数余了式21A =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2

答案：C

6.已知333231

232221

131211

a a a a a a a a a =3，那么33

32

31

23222113

12

11222222a a a a a a a a a ---=（ ） A.-24 B.-12 C.-6 D.12

答案：B 二、填空题

7．已知3阶行列式

33

32

31

23222113121196364232a a a a a a a a a =6，则

33

32

31

232221131211a a a a a a a a a =_______________.答案：1/6

8．设3阶行列式D 3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D 3=__________________.

答案：-4 9．已知行列式42222111

1-=-+-+b a b a b a b a ，则=2

2

11

b a b a

______.答案：2

三、计算题

10．求4阶行列式

1

11111211

311

4111的值. 解：原式=111111211311

3000

1

111112102003000=

1

1110

0100

2003000=1

110102

003-=611106=-=

11.计算四阶行列式1

002

210002100

021的值. 解：原式=

152

100210

022*******

21-=- 12.设

1

234577

7333

2452333224

6

5

2

3

=A ,求313233A A A ++，3435A A +．

答案：0,0.

第一章矩阵

一、单项选择题

1．设A 为三阶矩阵，|A|=a ≠0，则其伴随矩阵A *的行列式|A *|=（ ） A ．a B ．a 2 C ．a 3

D ．a 4

答案：B

2．设A 、B 为同阶可逆矩阵，则以下结论正确的是（ ） A ．|AB|=|BA|

B ．|A+B|=|A|+|B|

C ．（AB ）-1=A -1B -1

D ．（A+B ）2=A 2+2AB+B 2

答案：A

3．设A 可逆，则下列说法错误．．的是（ ） A ．存在B 使AB=E B ．|A|≠0

C ．A 相似于对角阵

D ．A 的n 个列向量线性无关 答案：C

4．设A 为3阶方阵，且|A |＝2，则|2A -1|=（ ） A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4 答案：D

5．设矩阵A ＝（1，2），B ＝???? ??4321，C ＝???

?

??654321，则下列矩阵运算中有意义的是（ ）

A ．AC

B B ．AB

C C ．BAC

D ．CBA

答案：B

6．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ） A ．A ＋A T B ．A －A T C ．AA T

D ．A T A

答案：B

7．设2阶矩阵A ＝???

?

??d c b a ，则A ＊

＝（ ） A ．???

? ??--a c b d B ．???? ??--a b c d C ．???

? ??--a c b d D ．???? ??--a b c d 答案：A

8．矩阵???

?

??-0133的逆矩阵是（ ） A ．???

? ??-3310 B ．???? ??-3130 C ．???? ??-13110 D ．????

? ??-01311 答案：C

9．设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A ．λ|A | B ．|λ||A | C ．λn |A | D ．|λ|n |A |

答案：C

10．设A 为n 阶方阵，令方阵B =A +A T ，则必有（ ） A ．B T =B B ．B =2A C ．B T =-B D ．B =0

答案：A

11.设A 、B 为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（ ） A.AB=B B.()1

11---+=+B A B A

C.

B A B A +=+ D.()T T T B A B A +=+

答案：D

12.设A 为四阶矩阵，且

,2=A 则=*

A （

） A.2 B.4 C.8

D.12

答案：C

13.设A ，B 为同阶可逆方阵，则下列等式中错误．．

的是（ ） A.|AB |=|A | |B | B. (AB )-1=B -1A -1 C. (A+B )-1=A -1+B -1 D. (AB )T =B T A T 答案：C

14.设A 为三阶矩阵，且|A |=2，则|（A *）-1|=（ ） A.

4

1

B.1

C.2

D.4

答案：A

15．设A 为3阶方阵，且==-

||3

1

31A A 则，（ ） A ．-9 B ．-3 C ．-1 D ．9

答案：B

16．设A 、B 为n 阶方阵，满足A 2=B 2，则必有（ ） A ．A =B B ．A = -B C ．|A |=|B | D ．|A |2=|B |2

答案：D

17．设A 为5×4矩阵，若秩（A ）=4，则秩（5A T ）为（ ） A ．2 B ．3 C ．4

D ．5

答案：C

18.设A ,B ,C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是（ ） A.（A +B ）T =A T +B T B.|AB |=|A ||B | C.A （B +C ）=BA +CA D.（AB ）T =B T A T 答案：C

19.若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是（ ） A.A =

*1

A A

B.0=A

C.2112)()(--=A A

D.11

3)

3(--=A A

答案：C

20．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ）

A ．

21 B ．1 C ．3

4 D ．2

答案：C

21.设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵,且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为（ ） A.-8 B.-2 C.2 D.8

答案：A 二、填空题

22．设A ，B 均为三阶可逆阵，|A|=2，则|2B -1A 2B|=_________.答案：32

23．设三阶方阵A 等价于???

?

??????000010001，

则R （A ）=_________.答案：2

24．设3阶矩阵A =????

? ?

?00

2520310，则（A T ）-1=_____________.

答案：?????

? ??--00

2

1

120350

25．设3阶矩阵A =

????? ??333022001，则A *A =_____________.答案：???

?

? ??600060006

26.设A =??????????220010002,则A -1= ___________.答案：??????

?

??-21100100021

27.设A =??

?

??

?????200030021，则A *=___________答案：????

?

?

?300020026 28．设A =（3，1，0），B =???

?

??--530412，则AB =_________.答案：（2,3）

29．设A 为3阶方阵，若|A T |=2，则|-3A |=_________.答案：-54

30.设A 为2阶矩阵，将A 的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩阵B .若B =???

?

?

??4321，则A =______________.

答案：???

?

??41125 31.设A 为n 阶可逆矩阵，且|A |=n

1

-

,则|A -1|=___________________________.答案：n - 32.设A 为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A -1 |=______________. 三、计算题

33．设A=??

??

??????---111011001

求（1）（A+2E ）-1（A 2-4E ） （2）（A+2E ）-1（A-2E ）

解：（1）（A+2E ）-1（A 2-4E ）=A-2E=??

??

??????---31103100

3

（2）（A+2E ）-11

111011001-????

?

?????=????

??????--=110011001

（A+2E ）-1（A-2E ）??????????--=110011001

??????????---311031003??

??

??????---=340034003

34．设A =,523012

101　???

?

?

??--求A -1 解

：

????? ??--100523010012001101????? ??---→1033200122100011

01????? ??---→127100012210001101 ????? ??----→1271002312010126001

所以????

?

??----=-12723

121261

A

35.已知矩阵A=????? ??-210011101，B=???

?

? ??410011103，

（1）求A 的逆矩阵A -1； （2）解矩阵方程AX=B. 解：

????? ??-100210010011001101????? ??---→100210011110001101????? ??----→11110001111000110

1????? ??-----→111100122010112001????? ??-----→111100122010112001

所以????

?

??-----=-111122

1121

A （2）==-

B A X 1

????? ??-----111122

112????? ??410011103?????

??-----=32

2234225 36．设A =?

????

?

?

?

-210011

001

1，B =???? ??011021，又AX =B ，求矩阵X .

解

：

???

??

?

??

-0121

001011021011?????

??-→021001011021011????

?

??--→021001201021011????? ??--→021001201031001所以????

?

??--=021231X

第二章

一、单项选择题

1．设α1=[1，2，1]，α2=[0，5，3]，α3=[2，4，2]，则向量组α1，α2，α3的秩是（ ） A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

答案 ：C

2．若向量组α1=（1，t+1，0），α2=（1，2，0），α3=（0，0，t 2+1）线性相关，则实数t=（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

答案：B

3．设A 是4×5矩阵，秩（A ）=3，则（ ） A ．A 中的4阶子式都不为0 B ．A 中存在不为0的4阶子式 C ．A 中的3阶子式都不为0 D ．A 中存在不为0的3阶子式

答案：D

4．设向量组α1，α2，…，αs 线性相关，则必可推出（ ） A ．α1，α2，…，αs 中至少有一个向量为零向量 B ．α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例

C ．α1，α2，…，αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合

D ．α1，α2，…，αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合 答案：C 5.向量组α1 ，α 2 ，…，αs 的秩不为

s(s 2≥)的充分必要条件是（ ）

A. α1 ，α

2 ，…，αs 全是非零向量

B. α1 ，α2， …，αs 全是零向量

C. α1 ，α2， …，αs 中至少有一个向量可由其它向量线性表出

D. α1 ，α2， …，αs 中至少有一个零向量 答案：C

6．向量组α1，α2，…αs ，(s ＞2)线性无关的充分必要条件是（ ） A ．α1，α2，…，αs 均不为零向量

B ．α1，α2，…，αs 中任意两个向量不成比例

C ．α1，α2，…，αs 中任意s-1个向量线性无关

D ．α1，α2，…，αs 中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示 答案：D

7.已知向量组A ：4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么（ ） A. 4321,,,αααα线性无关 B. 4321,,,αααα线性相关 C. 1α可由432,,ααα线性表示 D. 43,αα线性无关

答案：B

8.向量组s 21,,ααα 的秩为r ，且r

B. s 21,,ααα 中任意r 个向量线性无关

C. s 21,,ααα 中任意r+1个向量线性相关

D. s 21,,ααα 中任意r-1个向量线性无关 答案;C

9．设向量),,,(),,,,(),,,(),,,(22222111112222

1111d c b a d c b a c b a c b a ====ββαα，下列命题中正确的是

（ ）

A ．若21αα,线性相关，则必有21ββ，线性相关

B ．若21αα,线性无关，则必有21ββ，线性无关

C ．若21ββ，线性相关，则必有21αα,线性无关

D ．若21ββ，线性无关，则必有21αα,线性相关 答案：B

10．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A ，

B ）的列向量构成的向量组，则必有（ ） A ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关 B ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性相关

C ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性无关

D ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性相关

D 答案：C

11．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量 D ．s ααα,,,21 全是零向量

答案：B

12.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4，其中α1，α2，α3线性无关，则（ ） A.α1，α3线性无关

B.α1，α2，α3，α4线性无关

C.α1，α2，α3，α4线性相关

D.α2，α3，α4线性相关

答案：A

13．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（ ） A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合

B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合

C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合

D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合 答案：A

14.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关 答案：C

15.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ） A.α1必能由α2,α3，β线性表出 B.α2必能由α1,α3，β线性表出 C.α3必能由α1,α2，β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出 答案：D 二、填空题

16.向量组α1 =(1,0,0) α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)的秩是___________.答案：2 17．设α1=[1，2，x],α2=[-2，-4，1]线性相关，则x=_________.答案：2

1-

18．已知向量α=（3，5，7，9），β=（-1，5，2，0），如果α+ξ=β，则ξ=_________.

答案：），，（95,04---

19．已知向量组T

T T a ),2,3(,)2,2,2(,)3,2,1(321===ααα线性相关，则数=a ______.答案：1

a

232223

21a a a

23201302----=1,0)1(221322==-=-----=a a a

a

三、计算题

20．设向量组α1=（1，-1，2，1）T ，α2=（2，-2，4，-2）T ， α3=（3，0，6，-1）T ， α4=（0，3，0，-4）T . （1）求向量组的一个极大线性无关组；

（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.

解

：

=

),,,4321αααα（→????????????-----=4121064230210321

A →?????

???????---444000003300032

1→????????????00

00

110000100321??

???

???????-000

110000103001 秩为3

的一个极大线性无关组是向量组4321321,,,,,a a a a a a a 且.3314

a a a +-=

21．设向量组T

T

T

T

)3,6,2,0(,)1,3,0,1(,)3,1,1,2(,)0,1,4,1(4321-=--=--==αααα，

求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示． 解

：

→?????

?? ??-----31306311201

4012

1→??????? ??-------313064302470012

1→?????

?

? ??------3130643080

40012

1→??????? ??-----3130930020100121→??????? ??-----3100930020100121→???????

?

?-0000310

0201

0012

1→????

??

?

?

?-00003100201

04101

????

??

?

?

?-000

0310020101001秩为3 的一个极大线性无关组是向量组4321321,,,,,a a a a a a a 且3214

3.2αα+-=a a

四、证明题

22．设向量组α1，α2，α3线性无关，证明α1+α2，α1-α2，α3也无关.

证明：设0)()(3321221

1=+-++αααααk k k ，即

0)()(33221121=+-++αααk k k k k ，

由于α1，α2，α3线性无关，故有

???

??==-=+000

3

2121k k k k k 解之得，1230k k k === 故α1+α2，α1-α2，α3也线性无关．

23．设向量组α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：向量组β1，β2，

β3线性无关.

证明：设0)()()(13332221

1=+++++ααααααk k k ，即

0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k ，

由于α1，α2，α3线性无关，故有

???

??=+=+=+0

0032

2131k k k k k k 解之得，1230k k k === 故β1，β2，β3也线性无关．

24.证明：若向量组,,,,,,,3232121121 ααβααβααβααα+=+=+=n n 而线性无关

1-=n n αβ+αn ，则向量组为奇数线性无关的充要条件是n n βββ,,,21 。

证明

()

1

111

1100

011+-+==n A

?≠0A n 为奇数时，线性无关n βββ,,,21

即向量组为奇数线性无关的充要条件是n n βββ,,,21

第三章

一、单项选择题

1．设α1，α2是非齐次方程组Ax=b 的解，β是对应的齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b 必有一个解是（ ） A ．α1+α 2

B ．α1-α 2

C ．β+α1+α

2

D ．β+

212

1

21α+α 答案：D

2．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为α=（1，0，2）T ，β=（1，-1，3）T ，且系数矩阵A 的秩r(A )=2，

则对于任意常数k , k 1, k 2, 方程组的通解可表为（ ） A ．k 1(1,0,2)T +k 2(1,-1,3)T B ．(1,0,2)T +k (1,-1,3)T C ．(1,0,2)T +k (0,1,-1)T D ．(1,0,2)T +k (2,-1,5)T

答案：C

3．已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，α1，α2是其导出组Ax =0的一个基础解系，

C 1，C 2为任意常数，则方程组Ax =b 的通解可以表为（ ） A ．)()(2

1

2121121αααββ++++C C B ．)()(2

1

2121121αααββ+++-C C C ．

)()(2

1

2121121ββαββ-+++C C D ．

)()(2

1

2121121ββαββ+++-C C 答案：A

4.设3元线性方程组Ax=b,A 的秩为2，1η，2η，3η为方程组的解，1η+2η=（2，0，4）T ，1η+3η=（1，

-2，1）T ，则对任意常数k ，方程组Ax=b 的通解为（ ） A ．(1,0,2)T +k(1,-2,1)T B ．(1,-2,1)T +k(2,0,4)T C ．(2,0,4)T +k(1,-2,1)T D ．(1,0,2)T +k(1,2,3)T

答案：D

5.设1α，2α是Ax=b 的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ ） A. η+1α是Ax =0的解 B. η+（1α-2α）是Ax=0的解 C. 1α+2α是Ax=b 的解 D. 1α-2α是Ax=b 的解

答案：B

6．设A 为5阶方阵，若秩（A ）=3，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中包含的解向量的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

答案：A

7．设m ×n 矩阵A 的秩为n -1，且ξ1，ξ2是齐次线性方程组Ax =0的两个不同的解，则Ax =0的通解为（ ）

A ．k ξ1，k ∈R

B ．k ξ2，k ∈R

C ．k ξ1+ξ2，k ∈R

D ．k (ξ1-ξ2),k ∈R

答案：D

8．对非齐次线性方程组A m ×n x =b ，设秩（A ）=r ，则（ ） A ．r =m 时，方程组Ax =b 有解 B ．r =n 时，方程组Ax =b 有唯一解 C ．m =n 时，方程组Ax =b 有唯一解 D ．r

答案：A

9..设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

答案：D

10.若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则r (A )=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题

11．设非齐次线性方程组Ax =b 的增广矩阵为

???? ??-642002********* ，则该方程组的通解为_____.答案：.,12120321为任意常数k k ??

???

?

? ??--+??????? ?? 12．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵A 经初等行变换化为：

????

? ??-----→1)1(002120132

1a a a A ，若方程组无解，则a 的取值为____________.答案：0

13.设A 为33?矩阵,且方程组A x =0的基础解系含有两个解向量,则秩(A )= ____.答案：1

14.设矩阵A=???

?

?

??54332221t ，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=______.答案：2

15.设α1，α2是非齐次线性方程组Ax =b 的解.则A （5α2-4α1）=_________.答案：b 16.设A 是m ×n 实矩阵，若r （A T A ）=5，则r （A ）=_________.答案：5

17.设线性方程组???

?

??????-=????????????????????211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则a =_________.答案：-2

三、计算题

18．设有非齐次线性方程组???

??=-+-=+++=++1

2342

24321

4321431x x x x a x x x x x x x

问a 为何值时方程组无解？有无穷解？并在有解时求其通解.

解：→????? ??--123114111

21201a →?

??

?? ?

?-----13110231102120

1a

????

? ??---300002311021

201a a 3≠a 时无解，3=a 时有无穷解，通解为

????

??

?

??--+??????? ??-+??????? ??=10310112001221k k η.,21为任意常数

k k 19．求线性方程组???

?

?=++=+=++3

6223223

42321

32321x x x x x x x x 的通解. 解：→

????

?

??362232203421→????? ??040232200201?????

?

??

0000231100201 通解为.1120230为任意常数，k k ???

??

??--+?????

? ??=η

20.求非齐次方程组???????=-+-+=+++-=-+++=++++12

x x 3x 3x 4x 523x 6x 2x 2x 2x 3x x x 2x 37

x x x x x 5432154325

432154321的通解.

解：

→??????? ??----12133

452362210231123711111

→???

?

?

?

?

??----------236281023622102362210711111

→??????? ?

?----00000000010023622101651101??

??

?

?

?

?

?---00000

00001002362010

165100

1

通解为+???????? ??-=0002316η?????

??

?

??-+???????? ??-100650102121k k ，.21为任意常数k k

21．当a, b 为何值时，方程组???

??+=+++=-=+

+3

b x )2a (x 3x 21x x 1x x x 321

32321 有无穷多解？并求出其通解.

解：→????? ??++-3232111

01111b a →???

?? ??+-110111011

11b a ????

? ??+-b a 1001110111

1 01=-=b a 且时，方程组有无穷多组解

→),(b A ????? ??-000011101111?

??

??

??-→000011100201

通解为k k ,010112???

?

?

??+????? ??-=η为任意常数.

四、证明题

22．设α为Ax=0的非零解，β为Ax=b (b ≠0)的解，证明α与β线性无关. 证明：设存在数21,k k 使得021=+βα

k k （1）

021=+βαA k A k 即00,022=∴≠=k b b k 代入（1）式，得00,011=∴≠=k k αα

从而021

==k k ，于是α与β线性无关.

23．设η为非齐次线性方程组Ax =b 的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr 是其导出组Ax =0的一个基础解系.证明η，

ξ1，ξ2，…，ξr 线性无关.

证明：设存在数121,,+r r k k k k ，， 使得01221

1=+++++ηξξξr r r k k k k （1）

012211=+++++ηξξξA k A k A k A k r r r 即

0,011=∴≠=++r r k b b k 代入（1）式，得

02211=+++r r k k k ξξξ 因为ξ

1，ξ2，…，ξr 线性无关

从而0121

=====+r r k k k k ，于是η

，ξ1，ξ2，…，ξr 线性无关.

第四章

一、单项选择题

1．若A=??

??

?

?????-=??????????10001000210100002B x 与相似，则x=（

）

A ．-1

B ．0

C ．1

D ．2

答案：B

2．若A 相似于??

?

?

??-=Λ1001，则|A-E|=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1

D ．2

答案：B

3．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3. 则|B -1|=（ ） A ．

121 B ．7

1

C ．7

D ．12

答案：A

4．设A 为3阶矩阵，且已知|3A+2E |=0，则A 必有一个特征值为（ ） A ．23-

B ．32-

C ．3

2

D ．

2

3

答案：B

5.设A 与B 是两个相似n 阶矩阵，则下列说法错误．．的是（ ） A.B A =

B.秩（A ）=秩（B ）

C.存在可逆阵P ，使P -1AP=B

D.λE-A =λE-B

答案：D

6．设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ ） A ．E-A B ．-E-A C ．2E-A D ．-2E-A 答案：D

7．设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵（A 2）-1必有一个特征值等于（ ） A ．

41 B ．2

1

C ．2

D ．4

答案：A

8.若A 与B 相似，则（ ） A.A ，B 都和同一对角矩阵相似 B.A ，B 有相同的特征向量 C.A -λE =B -λE D.|A |=|B |

答案：D

9.设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ ） A.A T B.A 2 C.A -1 D.A *

答案：A

10.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2E |=( ) A.0 B.2 C.3

D.24 11.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，则t =( ) A.-2 B.0 C.2 D.4

二、填空题

12．已知三阶矩阵A 的三个特征值是-1，1，2，则|A|=_________.答案：-2

13．已知矩阵A =???

?

? ??x 01010101的一个特征值为0，则x=____________.答案：1

14．设A 为n 阶可逆矩阵，已知A 有一个特征值为2，则（2A ）-1必有一个特征值为_____________. 答案：1/4

15.已知A 有一个特征值-2,则B=A 2

+2E 必有一个特征值___________.答案：6 16.设三阶方阵A 的特征值分别为-2,1,1,且B 与A 相似,则B 2=___________.答案：-16

17.已知向量α=（2，1，0，3）T ，β=（1，-2，1，k ）T ，α与β的内积为2，则数k=____________. 答案：2/3 18.设向量α=（b,

2

1,

2

1）T 为单位向量，则数b=______________.答案：0

19.已知λ=0为矩阵A=???

?

? ??-----222222

220的2重特征值，则A 的另一特征值为___.答案：4 20.设三阶方阵A 的三个特征值为1，2，3. 则|A+E |=___________.答案：24

21.向量)1,2,1,(),1,,2,3(-==t t βα_____________

,=t 则正交。答案：1/5 22．已知3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则|E +A |=______.答案：24

23．已知向量T k )2,,3(=α与T

k ),1,1(=β正交，则数=k ______.答案：-1

24．已知3阶矩阵A 的3个特征值为1，2，3，则|A *|= __________.答案：36

25.设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是-3，则矩阵1

231-??

?

??A 必有一个特征值为____.答案：1/3

26.设矩阵A=?????

??

? ??----00202221x 的特征值为4，1，-2，则数x=________________________.

三、计算题

27. 设A=????

??????----020212022,求P 使AP P 1

-为对角矩阵.

解：

04)1)(2(2

212

22=--+-=-------=-）（λλλλ

λ

λ

λE A 所以A 的特征值为412321==-=λλλ，，

当21

-=λ时，方程组

0)2=+x E A （的系数矩阵

?

?

??

??

? ??

--→?????

??----=+00011021012202320242E A 基础解系????? ??=2211p 是21-=λ的特征向量

当12

=λ时，方程组

0)=-x E A （的系数矩阵 ?????

? ??→????? ??-----=-00021

10101120202021E A 基础解系????? ??--=2122p ，为12=λ的特征向量

当43

=λ时，方程组

0)4=-x E A （的系数矩阵 ????? ??-→????? ??-------=-0002102014202320224E A 基础解系???

??

??-=1223p 为43=λ的特征向量

令矩阵????? ??---==122212221),,(321p p p P 为可逆矩阵，使得P -1

AP ????

?

??-=400010

002 28.设矩阵A=???

?

??2178， （1）求矩阵A 的特征值与对应的全部特征向量.

（2）判定A 是否可以与对角矩阵相似，若可以，求可逆矩阵P 和对角矩阵Λ，使得P -1AP=Λ. 解：（1）

0)1)(9(217

8=--=--=

-λλλλλE A

所以A 的特征值为9121==λλ，

当11

=λ时，方程组

0)=-x E A （的系数矩阵 ???? ??→???? ??=-00111177E A 基础解系???

?

??-=111ξ11=λ的特征向量

当92

=λ时，方程组

0)9=-x E A （的系数矩阵 ???? ??-→???? ??--=-007171719E A 基础解系?

??

?

??=172ξ为92=λ的特征向量 （2）故A 的线性无关的特征向量有两个,故A 能相似于对角阵.

令???? ??-==1171),(21ξξP

使得P -1AP=Λ=???

?

??9001

29.设矩阵B =???

?

? ??504313102，

（1）判定B 是否可与对角矩阵相似，说明理由；

（2）若B 可与对角矩阵相似，求对角矩阵Λ和可逆矩阵P ，使P -1BP =Λ

解：

0)1)(6(504

313

1

022=--=---=

-λλλ

λλ

λE A 所以A 的特征值为61321===λλλ，

当121

==λλ时，方程组

0)=-x E A （的系数矩阵 ????? ??→????? ??=-000000101404303101E A 基础解系????

? ??=0101p ，???

??

??-=1012p 是121==λλ的特征向量

当63

=λ时，方程组

0)6=-x E A （的系数矩阵 ????

??

?

? ??

--→????? ?

?---=-0004310410110435310

46E A 基础解系????? ??=4313p 为63=λ的特征向量

故A 有三个线性无关的特征向量

321,,p p p ，所以A 可相似于对角矩阵，

令矩阵????? ??-==410301

110),,(321p p p P 为可逆矩阵，使得P -1

AP ????

? ??=600010001 第五章

一、单项选择题

1．设有实二次型f(x 1,x 2,x 3)=2

32

2x x +，则f （ ） A ．正定 B ．负定 C ．不定 D ．半正定

答案：D

2．4元二次型4131212

14321222),,,(x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

答案：C

3．二次型31212

3222132142),,(x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵为（ ）

A ．????? ??104012421

B ．????? ??100010421

C ．????? ??102011211

D ．????

? ??120211011

答案：C 4.设有二次型

,),,(2

32221321x x x x x x f +-=则),,(321x x x f （

）

A.正定

B.负定

C.不定

D.半正定

答案：C 5.设A=?

?

?

?

??--2111，则二次型f(x 1，x 2)=x T Ax 是（ ） A.正定 B.负定 C.半正定 D.不定

答案：B

6.二次型正定的充要条件是为实对称阵)(A Ax x T

=f （ ） A.A 可逆

B.|A |>0

C.A 的特征值之和大于0

D.A 的特征值全部大于0

答案：D

7.设矩阵A =????

??????--4202000

k k 正定，则（ ） A.k>0 B.k ≥0 C.k>1 D.k ≥1

答案：C

8．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

答案：B

9.三元二次型f （x 1，x 2，x 3）=2

3322

231212

1912464x x x x x x x x x +++++的矩阵为（ ）

A.??????????963642321

B.??????????963640341

C.??????????960642621

D.????

?

?????9123042321 答案：A

10.若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是( ) A.A 与B 等价

B.A 与B 合同

大学线性代数必过复习资料

复习重点： 第一部分行列式 1. 排列的逆序数（P.5例4; P26第2、4题） 2. 行列式按行（列）展开法则（P.21例13；P.28第9题） 3. 行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）第二部分矩阵 1. 矩阵的运算性质 2. 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P.56第17、18题；P.78第5题） 3. 伴随阵的性质（P.41例9; P56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P.116） 4. 矩阵的秩的性质（P.69至71; P100例13、14、15） 第三部分线性方程组 1. 线性方程组的解的判定（P71定理3; P.77定理4、5、6、7）,带参数的方程组的解的判定 （P.75 例13 ; P80 第16、17、18 题） 2. 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3. 非齐次线性方程组的解的结构（通解）第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换）1?向量组的线性表示 2. 向量组的线性相关性 3. 向量组的秩第五部分方阵的特征值及特征向量 1. 施密特正交化过程 2. 特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10; P.135第7至13题） 3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P.135第15、16、19、23题） 要注意的知识点： 线性代数 1、行列式 1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、A j和a j的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0; ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ; 3. 代数余子式和余子式的关系：M j （ 1y j A j A j （ 1/ j M j 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

线性代数期末复习题 (2)

线性代数 一. 单项选择题 1.设A 、B 均为n 阶方阵，则下列结论正确的是 。 (a)若A 和B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵 (b)若A ≠0且B ≠0，则AB ≠0 (c)若AB 是奇异矩阵，则A 和B 都是奇异矩阵 (d)若AB 是可逆矩阵，则A 和B 都是可逆矩阵 2. 设A 、B 是两个n 阶可逆方阵，则()1-?? ????'AB 等于（ ） （a ）()1-'A ()1-'B (b) ()1-'B ()1-'A （c ）() '-1B )(1'-A （d ）() ' -1B ()1-'A 3.n m ?型线性方程组AX=b,当r(A)=m 时,则方程组 . (a) 可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解 (d)有解 4.矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 . (a)A 可逆 (b)A 有n 个特征值 (c) A 的特征多项式无重根 (d) A 有n 个线性无关特征向量 5.A 为n 阶方阵,若02 =A ，则以下说法正确的是 . (a) A 可逆 (b) A 合同于单位矩阵 (c) A =0 (d) 0=AX 有无穷多解 6．设A ，B ，C 都是n 阶矩阵，且满足关系式ABC E =，其中E 是n 阶单位矩阵， 则必有（ ） （A ）ACB E = （B ）CBA E = （C ）BAC E = （D ） BCA E = 7．若233 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=------=33 32 3131 2322 212113 1211111434343a a a a a a a a a a a a D （ ） （A ）6- （B ）6 （C ）24 （D ）24- 二、填空题 1.A 为n 阶矩阵，|A|=3，则|AA '|= ,| 1 2A A -* -|= . 2．设???? ??????=300120211A ，则A 的伴随矩阵=*A ； 3．设A ＝? ? ?? ??--1112，则1 -A ＝ 。

线性代数总复习大纲及复习题

04-05(2) 线性代数总复习大纲及复习题： 一、 概念 1、 行列式的 定义 2、 向量组相关与无关的定义 3、 对称阵与反对称阵 4、 可逆矩阵 5、 矩阵的伴随矩阵 6、 基与向量的坐标 7、 矩阵的特征值与特征向量 8、 正定矩阵 9、 矩阵的迹 10、 矩阵的秩 11、 矩阵的合同 12、 二次型与矩阵 13、 齐次线性方程组的基础解系 二、 性质与结论 1、 与向量组相关与无关相关的等价结论 2、 行列式的性质 3、 克莱姆规则（齐次线性方程组有非零解的充要条件） 4、 矩阵可逆的充要条件及逆矩阵的性质 5、 初等变换与初等矩阵的关系 6、 A A A A A E **== 7、 n 维向量空间坐标变换公式 8、 相似矩阵的性质 9、 合同变换 10、 矩阵正定的充要条件 11、 线性方程组解的性质与结构定理 三、复习题及参考答案 1．若三阶行列式1 23 11 22 331 2 3 2226a a a b a b a b a c c c ---=，则 1 23 1 231 2 3 a a a b b b c c c = 12 2．若方程组12312312 3000 tx x x x tx x x x tx ++=?? ++=??++=?有非零解，则t=????1???。

3．已知齐次线性方程组32023020x y x y x y z λ+=?? -=??-+=? 仅有零解，则λ≠ 0 4．已知三阶行列式D=123 312231，则元素12a =2的代数，余子式12A = -1 ； 3.若n 阶矩阵A 、B 、C 满足ABC=E （其中E 为n 阶可逆阵），则BCA=E 。（ 对 ） 4.行列式 0020 023 16.02342345 = （ 对 ） 5.对向量1234,,,αααα，如果其中任意两个向量都线性无关，则1234,,,αααα线性无关。（ 错 ） 6. 如果A 是n 阶矩阵且0A =，则A 的列向量中至少有一个向量是其余各列向量的线性组合。（ 对 ） 7. 向量组s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。（ 对 ） 8 矩阵212111215A ?? ? = ? ??? 是正定的。（ 对 ） 9. n 阶矩阵A 与B 相似，则A 与B 同时可逆或同时不可逆。（ 对 ） 10．已知向量组123(1,2,1),(,1,1),(1,,1).a a ααα===则当a= 1 或a= 2 时向量组321,,ααα线性相关。 （ 对 ） 11．n 阶矩阵A 满足2320,A A E -+=则A-3E 可逆，A-2E 可逆。 （ 对 ） 12．阵A 与其转置T A 具有相同的行列式和特征值。 （ 对 ） 13．如果n 阶矩阵 A 的行列式┃A ┃=0，则A 至少有一个特征值为零 。（ 对） 14. 设A 为n 阶方阵，k 为常数，则kA k A =。 （ B ） 15.设6阶方阵A 的秩为3，则其伴随矩阵的秩也是3。 （ B ）

线性代数期末总复习

线性代数期末总复习 第一章 P3：定义1.3 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小次序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．排列 12n j j j 的逆序数记为12()n j j j τ. 例1 排列 31542 的逆序数. 解 3排在首位，逆序数为0; 1的前面比1大的数有一个数3，故逆序数为1; 5是最大数，逆序数为0; 2的前面比2大的数有三个数3，5，4，故逆序数为3; 4的前面比4大的数有一个数5，故逆序数为1，故这个排列的逆序数(31542)τ=0+1+0+3+1=5. P11：定义1.7 在n 级行列式det()ij a 中将元素ij a 所在的第 i 行与第 j 列划去，剩下2(1)n -个元素按原位置次序构成一个1n -级的行列式， 111,1 1,1 1 1,1 1,11,11,1,11, 11, 1 1, 1 ,1, 1 j j n i i j i j i n ij i i j i j i n n n j n j nn a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+ - ++ -+++- += 称之为元素ij a 的余子式．令(1)i j ij ij A M +=-, 称ij A 为元素ij a 的代数余子式． P15：例1.11 计算行列式 .n a b b b b a b b d b b a b b b b b a = 解 把n d 第二列加到第一列，行列式不变，再把第三列加到第一列,行列式也不变 ……直到第n 列也加到第一列， 即得 12(1)(1)(1)n n a n b b b a n b a b d c c c a n b b a +-+-++ ++-

线性代数讲义

线性代数讲义 线性代数攻略 线性代数由两部分组成: 第一部分:用矩阵解方程组(判断解的存在性,用有限个解表示所有的解)第二部分:用方程组解矩阵(求特征值,特征向量,对角化,化简实二次型)主观题对策 1. 计算题精解 计算题较之选择题与填空题难度几乎没有增加,但计算量大大增加,故出错的机会大幅增长,因此应力求用简便方法解决问题. 一.行列式的计算: 单纯计算行列式的题目大概永远不会出现.所以需要结合其它的知识点. l 核心内容 范德蒙行列式/余子式/代数余子式/Cramer法则: l 典型方法 降阶法(利用Gauss消元法化为三角矩阵:常常是将所有的行或列加到一起)/特征值法(矩阵的行列式等于其特征值之积)/行列式的其它性质(转置矩阵/逆矩阵/伴随矩阵/矩阵之积) 例1 计算下述三个n阶矩阵的行列式： . 解先算|B|=xn;再算|A|： 故|C|= |A|(-1)(1+?+n)+[(n+1)+…+(2n)] |B-1| =(-1)(1+2n)n(n+x)/x. 例2(2004-4) 设矩阵 ,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,则|B|=[ ]. 分析化简可得(A-2E)BA*=E；于是|A-2E||B||A*|=1. 又|A*|=9,|A-2E|=1,所以|B|=1/9. (切忌算B=(A-2E)-1(A*)-1.) 例3 设4×4矩阵A=(x,a,b,g), B=(h,b,g,a). 若|A|=1, |B|=2,则行列式|A+B|=[ ].

正解：|A+B|=|x+h, a+b, b+g, g+a|=|x+h, 2(a+b+g), b+g, g+a|=2|x+h, a+b+g, b+g, g+a| =2|x+h, a, b+g, g+a|=2|x+h, a, b+g, g|=2|x+h, a, b, g|=2(|x, a, b, g|+|h, a, b, g|)=2(|A|+|B|)=6. 巧解:正解令人羡慕,但可能想不起来.于是令A=E,则.但|B|=2,所以取最简单的 .于是 ,故|A+B|=6. 例4 若四阶方阵A的特征值分别为-1,1,2,3,则行列式|A-1+2A*|=[ ]. 解此题考查对特征值的理解.特征值的性质中最重要(也是最简单的)的有两条，即所有特征值的和等于矩阵的迹(=对角线元素之和),而所有特征值的积等于矩阵的行列式.因此|A|= -6!剩余的就是简单的变形了: A-1+2A* = A-1 (E+2A A*) = A-1 (E+2|A|E)=-11A-1. 故|A-1+2A*|=|-11A-1|=(-11)4|A-1|=-114/6. 本题有巧解,你想到了吗?对!就让A是那个满足条件的最简单的矩阵! 例2(上海交大2002) 计算行列式 其中,. 本题只要对特征多项式有一定认识,则易如反掌.所求行列式对应的矩阵A=xE+B, 其中B=(aibj)的任意两行均成比例,故其秩为1(最重要的矩阵类型之一)或0,但由题中所给条件,B10,于是,B至少有n-1个特征值为0,另有一特征值等于trB= a1b1+ a2b2+…+ anbn10. 从而,A有n-1个特征值x,另有一个特征值x+trB.OK 例3(2001) 设A为三阶矩阵,X为三维向量,X,AX, A2X线性无关,A3X=4AX-3A2X.试计算行列式|2A2+3E|. 很多人觉得此题无从下手,实在冤枉了出题人.由A3X=2AX-3A2X可知, A(A2+3A-4E)X=0.由此知, |A|=0:否则,A可逆,X,AX, A2X将线性相关,矛盾!从而(A2+3A-4E)X=0:故X是齐次线性方程组(A2+3A-4E)Y=0的非零解.于是|A2+3A-4E|=0.故A的三个特征值为0,1,-4.于是2A2+3E的三个特征值为3,5,35.所以, |2A2+3E|=3′5′35=525. 例4(1995) 设n阶矩阵A满足AA￠=I,|A|<0,求|A+I|. 解首先, 1=|AA￠|=|A|2,所以|A|=-1. 其次, |A+I|=|A+AA￠|=|A||I+A￠|=|A||I+A|=-|I+A|, 故|A+I|=0. (涉及的知识点: |A|=|A￠|, (A+B)￠=A￠+B￠.) 例5(1999)设A是m′n矩阵,B是n′m矩阵,则

本科线性代数总复习

本科线性代数总复习 第一章行列式一、单项选择题1．二阶行列式k?122k?1≠0的充分必要条件是A．k≠-1B．k≠3C．k≠-1且k≠3 D．k≠-1或≠3 答案：C a1b1ac2．设行列式11aba2b2=1，a2c2=2，则11?c1a2b2?c2=A．-3B．-1C．1 D．3 答案：D ?3.如果方程组?3x1?kx2?x3?0?4x?2?x3?0有非零解,则k= ?4x2?kx3?0A.-2 B.-1答案： B a11a12a13a115a11?2a12a134．设行列式D=a21a22a23=3，D1=a215a21?2a22a23，则D1的值为?110A．-2B．-1 C． 1 D． 2 答案： C a11a12a132a112a122a136.已知a21a22a23=3，那么a21a22a23= a31a32a33?2a31?2a32?2a33A.-24 B.-12 C.-6 答案：B 二、填空

题 1 ）a112a124a226a323a136a239a33a11a12a1 3a23a337．已知3阶行列式2a213a31=6，则aa2221a31a32=_______________.答案：1/6 8．设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=__________________.答案：-4 9．已知行列式a1?b1a1?b1a2?b2a，则a1b1?______.答案：2 2?b??42a2b2三、计算题111410．求4阶行列式11311211的值. 111100030003解：原式=11310020 1211?1211111111110003?00200020100?? 3010??601111111111?6 120011.计算四阶行列式01200012的值. 2001120200解：原式=012?2120??15 0010121234512.设77733,求AA?3245231?A32?A33，A34?A35．3332246523答案：0,0. 第一章矩阵一、单项选择题

线性代数知识点归纳

线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111

⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1. 矩阵的定义 由m n ?个数排成的m 行n 列的表1112121 22212n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L M M M L 称为m n ?矩阵.

=线性代数期末复习总结.docx

第一章行列式 一、行列式的性质 性质1行列式与它的转置行列式相等，即|A | = |A T |.（行列互换，行列式不变） 性质2互换行列式的两行（列），行列式变号. 推论1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k,等于用数k 乘以此行列式. a u a i2 a i3 a n a i2 ^13 ka n a i2 a i3 a 2X a 22 a 23 — ka 2x ka’2 転23 = ka 2} a 22 a 23 角1 a 32 ?33 a 3i 角2 。33 脳31 ?33 若行列式中有一行（列）为0,则行列式为0. 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零. 坷 1 坷］a n 纠3 41 a n 坷 3 a 21+b l a 22+b 2 如+4 — a 21 a 22 "23 + b l b 2 S 。31 “32 。33 。31 “32 “33 。31 “32 “33 性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列 （行） 对应的元素上去，行列式不变. a \\ a i2 a i3 a u a n + ka !3 a i3 a CL CL a CL + ka a W 21 u 22 w 23 ^21 "22 ' e"23 "23 “31 °32 "33 °31 “32 + 氐 °33 。33 性质7 （Laplace 定理）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余 子式乘积之和，BP ： | A| = a ix A i} + a i2A i2 + ? ? ? + a in A in （1 = 1,2,? ? ?, n ） 推论2 性质4 。21 ^22 a 31 “32 ka [{ ka {2 。 13 。 23 a 33 。 21 °3a n "12 "13 a 22 ^23 a 32 = 40 = 0 性质5 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.

线性代数期末复习题

线性代数复习题 一、判断题 (正确在括号里打√，错误打×) 1. 把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即 3 3333222221 1111333222111------=c a b b a c a b b a c a b b a c b a c b a c b a . ( ) 2. 若一个行列式等于零，则它必有一行（列）元素全为零，或有两行（列）完全相同，或有两行（列）元素成比例. ( ) 3. 若行列式D 中每个元素都大于零，则D > 0. ( ) 4. 设C B A ,,都是n 阶矩阵，且E ABC =，则E CAB =. ( ) 5. 若矩阵A 的秩为r ，则A 的r －1阶子式不会全为零. ( ) 6. 若矩阵A 与矩阵B 等价，则矩阵的秩R (A ) = R (B ). ( ) 7. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. ( ) 8. 若向量组s ααα,...,,21线性相关，则1α一定可由s αα,...,2线性表示. ( ) 9. 向量组s ααα,...,,21中，若1α与s α对应分量成比例，则向量组s ααα,...,,21线性相关. ( ) 10. )3(,...,,21≥s s ααα线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无关. ( ) 11. 当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解. ( ) 12. 齐次线性方程组一定有解. ( ) 13. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -λ为1-A 的特征值. ( ) 14. 方程组()A λ-=E x 0的解向量都是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量. ( ) 15. n 阶方阵A 有n 个不同特征值是A 可以相似于对角矩阵的充分条件. ( ) 16. 若矩阵A 与矩阵B 相似，则R R =A B ()(). ( ) 二、单项选择题 1. 设行列式 , ,21 23 121322 21 1211n a a a a m a a a a ==则行列式 =++23 2221 131211a a a a a a ( ) n m + )A ( )( )B (n m +- m n - )C ( n m - )D ( 2. 行列式7 012156 83的元素21a 的代数余子式21A 的值为 ( ) 33 )A ( 33 )B (- 56 )C ( 56 )D (-

线性代数讲义复习题

线性代数复习题 第一章 矩阵 一、 填空题 1.矩阵A 与B 的乘积AB 有意义，则必须满足的条件是 。 2.设(),(),ij m s ij s n A a B b ??==又 ()ij m n AB c ?=，问ij c = 。 3.设A 与B 都是n 级方阵，计算2 ()A B += , 2()A B -= , ()()A B A B +-= 。 4.设矩阵1234A ?? = ??? ,试将A 表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。 （注意：任意n 阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和） 5.设(1,2,1)X =,(2,1,3)T Y =-,201013122A -?? ?= ? ?-??,计算XAY = 。 （特别地，若,X Y 为字母向量时也应该会表达） 6.设矩阵AB 与BA 都有意义，问A 与B 的关系为 ；又若AB 与BA 为同级方阵，问A 与B 的关系为 。 7.设α是一个列向量，k 是一个数，分析k α与k α的意义 ，两者是否相等？答： 。 8.设向量()1,2,3,(1,1,1)T α β==，则αβ= ，βα= 。 9.设矩阵2003A ??= ???，则100A = 。10.设矩阵200012035A ?? ?= ? ? ?? ，则1 A -= 。 11.设准对角矩阵1 200A A A ?? = ??? ,()f x 是多项式，则()f A = 。 12.设矩阵123456789A ?? ?= ? ??? ，则()R A = 。13. 设* A 是矩阵A 的伴随矩阵，则**___.AA A A == 14.设* A 是n 阶方阵 A 的伴随矩阵, d A =,则=*A A 。 15.矩阵123235471A ?? ?=- ? ??? 的秩为__________，A 的伴随矩阵* A = 。 16.设A 是3阶可逆方阵，B 是34?矩阵且()2R B =，则()R AB = 。

大一线性代数期末习题及答案

,考试作弊将带来严重后果！ 线性代数期末考试试卷及答案 1. 考前请将密封线内填写清楚； 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：开（闭）卷； 4. ． 】 A 设n 设A A. 2－ B. ()n 2－ C. n 2－ D. 1 设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中 】 A.必存在一个行向量为零向量 B.必存在两个行向量，其对应分量成比例 C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合 ．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是

【 】 A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 1321,,a a a a － 6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是 【 】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D. 7．设a 】 A 8.设i a 】 A. 21b a 9.10. 设【 A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组 B. 与η1，η2，η3等秩的向量组 C.η1－η2，η2－η3，η3－η1 D. η1，η1-η3，η1-η2-η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则 【 】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解

线性代数期末复习题详解

线性代数B 复习资料（2014） (一)单项选择题 1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2 ，则下列各式中可能不成立的是（ A ） (A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2 )( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ C ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ D ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)

线性代数期末复习题详解

线性代数期末复习题详解

线性代数B 复习资料（2014） (一)单项选择题 1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2 ，则下列各式 中可能不成立的是（ A ） (A )1 -=B A (B)1 -=B ABA (C)1 -=A BAB (D)E BA =2 ) ( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ C ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ D ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)

量对应元素成比例 5．71．已知向量组4 32 1 ,,,ααα α线性无关则向量组 ( C ) (A) 14433221 ,,,αααααααα++++线性无关 (B) 1 4433221 ,,,αααααααα----线性无关 (C ) 14433221 ,,,αααααααα-+++线性无关 (D) 1 4433221 ,,,αααααααα --++线性无关 6．下列说法不正确的是( A ) (A ) 如果r 个向量r ααα,,2, 1Λ线性无关，则加入k 个向量k βββ ,,2, 1Λ后，仍然线性无关 (B) 如果r 个向量r ααα,,2, 1Λ线性无关，则在每 个向量中增加k 个分量后所得向量组仍然线性 无关 (C)如果r 个向量r ααα,,2, 1Λ线性相关，则加入k 个向量后，仍然线性相关 (D)如果r 个向量r ααα,,2, 1Λ线性相关，则在每个 向量中去掉k 个分量后所得向量组仍然线性相关 7．设n 阶方阵A 的秩r

线性代数期末复习题

《线性代数》 一、单项选择题： 1、若三阶行列式D 的第三行的元素依次为1、 2、3，它们的余子式分别为4、2、1，则D =（ ） (A)－3 (B) 3 (C) －11 (D) 11 2、设123,,ααα是三阶方阵A 的列向量组，且齐次线性方程组AX =O 仅有零解，则（ ） (A) 1α可由23,αα线性表示 (B) 2α可由13,αα线性表示 (C) 3α可由12,αα线性表示 (D) 以上说法都不对 3、设A 为n(n ≥2)阶方阵，且A 的行列式|A |=a ≠0，A *为A 的伴随矩阵，则| 3A * | 等于（ ） (A) 3n a (B) 3a n -1 (C) 3n a n -1 (D) 3a n 4、设A =????? ??3332312322 21131211a a a a a a a a a , B =????? ??+++133311311232232122131112a a a a a a a a a a a a ,????? ??=1000010101P ,??? ? ? ??=1010100012P ，则有（ ） (A) B AP P =12 (B) B AP P =21 (C) B A P P =21 (D) B A P P =12 5、设A 是正交矩阵，则下列结论错误．． 的是（ ） (A) |A |2必为1 (B) |A |必为1 (C) A -1=A T (D) A 的行向量组是正交单位向量组 6、设A 是n 阶方阵，且O E A A =+-232，则（ ） (A) 1和2必是A 的特征值 (B) 若,2E A ≠则E A = (C) 若,E A ≠则E A 2= (D) 若1不是A 的特征值，则E A 2= 7、设矩阵210120001A ?? ?= ? ??? ，矩阵B 满足2ABA BA E **=+，其中E 为三阶单位矩阵，A * 为A 的伴随矩 阵，则B = （A ） 13； （B ）19； （C ）14； （D ）13 。 8、下列命题中，错误的是 (A) 若1110,,,n n n k k αααα++= 且线性无关，则常数1,,n k k 必全为零 (B) 若1110,,,n n n k k αααα++= 且线性无关，则常数1,,n k k 必不全为零 (C) 若对任何不全为零的数1,,n k k ，都有1110,,,n n n k k αααα++≠ 则 线性无关

线性代数讲义1

线性代数与解析几何讲义（部分） 引 言（Introduction ） 1. 数学 数学（數學、mathematics ）在我国古代叫算（筭、祘）术，后来叫算学或数学；直到1939年6月，为了划一才确定统一用数学．“数学是研究现实世界的量的关系和空间形式的科学”，分为代数、几何等． 2. 代数 代数(algebra)分为古典代数和近世代数． 古典代数(ancient algebra)基本上就是方程论，以方程的解法为中心．如： 一元一次方程 )0(≠=a b ax 的解为b a x 1-=； 一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的解为)2/()4(2 2,1a ac b b x -± -=； 一元三、四次方程也有类似的求根公式（16世纪）； 但是，一元n 次方程当n ≥5时却无一般的“求根公式”（参见数学史或近代数）； 根式求解条件的探究导致群概念的引入，这最早出现在Lagrange 1770年和1771年的著作中；1799年Ruffini 给出“证明”（群论思想）；Abel 进一步给出严格的证明，开辟了近世代数方程论的道路（1824年和1826年），包括群论和方程的超越函数解法；Galois 引入代换群彻底解决了代数方程根式可解的条件，开辟了代数学的一个崭新的领域——群论．从而使代数的研究对象转向研究代数结构本身，此即近世代数． 近世代数(modern algebra)又称抽象代数（abstract algebra ）包括代数数论、超复数系、线性代数、群论、环论、域论、格论、李（Lie ）群、李代数、代数几何、代数拓扑，等等． 3. 线性代数 如果保持一元一次方程中未知量的指数（一次的）不变，而增加未知量及方程的个数，即得到线性（一次）方程组．先看下面三个例子： 例1 （《孙子算经》卷下第31题）“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问 雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二．”

线性代数复习总结(重点精心整理)

线性代数复习总结大全 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的 n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=) 1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23 13 322212 31211133 32 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要） 行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例） 化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、

线性代数期末复习题详解

线性代数期末复习题详解 线性代数B复习资料(2014) (一)单项选择题 1?设A , B为n阶方阵，且AB2 E，则下列各式中可能不成立的是(A) (A)A B1(B) ABA B 1(C) BAB A 1 (D)(BA)2 E 2?若由AB=AC必能推出B=C(A，B，C均为n阶矩阵)贝V A必须满足(C ) (A) A 半O (B)A=O (C)|A 0 (D) AB| 0 3 ? A为n阶方阵，若存在 n阶方阵B，使 AB=BA=A，贝D )

(A) B为单位矩阵(B) B为零方阵(C) B 1 A (D)不一定 4.设A为n x n阶矩阵，如果r(A)

最新线性代数讲义复习题

线性代数复习题 第一章 矩阵 一、 填空题 1.矩阵A 与B 的乘积 AB 有意义，则必须满足的条件是 。 2.设(),(),ij m s ij s n A a B b ??==又 ()ij m n AB c ?=，问ij c = 。 3.设A 与B 都是n 级方阵，计算2 ()A B += , 2()A B -= , ()()A B A B +-= 。 4.设矩阵1234A ?? = ??? ,试将A 表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。 （注意：任意n 阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和） 5.设(1,2,1)X =,(2,1,3)T Y =-,201013122A -?? ?= ? ?-?? ,计算XAY = 。 （特别地，若,X Y 为字母向量时也应该会表达） 6.设矩阵AB 与BA 都有意义，问A 与B 的关系为 ；又若AB 与BA 为 同级方阵，问A 与B 的关系为 。 7.设α是一个列向量，k 是一个数，分析k α与k α的意义 ，两者是否相等？答： 。 8.设向量()1,2,3,(1,1,1)T α β==，则αβ= ，βα= 。 9.设矩阵2003A ??= ???，则100A = 。10.设矩阵200012035A ?? ?= ? ? ?? ，则1 A -= 。 11.设准对角矩阵1 200A A A ?? = ??? ,()f x 是多项式，则()f A = 。 12.设矩阵123456789A ?? ?= ? ??? ，则()R A = 。13. 设*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则** ___.AA A A == 14.设* A 是n 阶方阵 A 的伴随矩阵, d A =,则=*A A 。 15.矩阵123235471A ?? ?=- ? ??? 的秩为__________，A 的伴随矩阵* A = 。 16.设 A 是3阶可逆方阵， B 是34?矩阵且()2R B =，则()R AB = 。

线性代数期末复习题

线性代数期末复习题文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

线性代数复习 题 一、判断题 (正确在括号里打√，错误打×) 1. 把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即 3 33332222211111333222111------=c a b b a c a b b a c a b b a c b a c b a c b a . ( ) 2. 若一个行列式等于零，则它必有一行（列）元素全为零，或有两行（列）完全 相同，或有两行（列）元素成比例. ( ) 3. 若行列式D 中每个元素都大于零，则D > 0. ( ) 4. 设C B A ,,都是n 阶矩阵，且E ABC =，则E CAB =. ( ) 5. 若矩阵A 的秩为r ，则A 的r －1阶子式不会全为零. ( ) 6. 若矩阵A 与矩阵B 等价，则矩阵的秩R (A ) = R (B ). ( ) 7. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. ( ) 8. 若向量组s ααα,...,,21线性相关，则1α一定可由s αα,...,2线性表示. ( ) 9. 向量组s ααα,...,,21中，若1α与s α对应分量成比例，则向量组s ααα,...,,21线性相关. ( ) 10. )3(,...,,21≥s s ααα线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无关. ( )

11. 当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解. ( ) 12. 齐次线性方程组一定有解. ( ) 13. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-λ为1-A 的特征值. ( ) 14. 方程组()A λ-=E x 0的解向量都是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量. ( ) 15. n 阶方阵A 有n 个不同特征值是A 可以相似于对角矩阵的充分条件. ( ) 16. 若矩阵A 与矩阵B 相似，则R R =A B ()(). ( ) 二、单项选择题 1. 设行列式 , ,21 23 121322 21 1211n a a a a m a a a a ==则行列式 =++23 2221 131211a a a a a a ( ) 2. 行列式7 012 156 83的元素21a 的代数余子式21A 的值为 ( ) 3. 四阶行列式 1 111 11 1 11 111101-------x 中x 的一次项系数为 ( ) 4. 设,... .................. ,......... (112) 11 ,12,11,121 22 1 22221112111n n n n n nn n n nn n n n n a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D ---= = 则 D 2与D 1的关系是 ( ) 5. n 阶行列式a b b a b a b a D n 0 000000000 =的值为 ( )