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线性代数笔记实用

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线性代数 第一章 行列式

奇排列与偶排列

定义:逆序数为奇数称为奇排列;逆序数为偶数的称为偶排列 结论:将一个排列作一次对换,其奇偶性改变。 代数余子式=

()余子式子式所在的列标子式所在的行标?-+1

性质: nj nj j j j j n A a A a A a D +++= 2211 或in in i i i i n A a A a A a D +++= 2211

当j i ≠时02211=+++jn in j i j i A a A a A a 行列式的性质:

⒈转置行列式值与原行列式的值相等。即A A T = ⒉交换行列式的两行(列),行列式的值反号。 ⒊A k kA n = 行列式计算: 三角行列式的值

主对角线

nn nn

n n nn

n n

a a a a a a a a

a a a a a a a

2211212221

11

222112

11

==

副对角线

()()11,21211,121,211

2221

112

11

100

0n n n n n nn

n n n n

n n

n n

a a a a a a a a a a a a a a a

-----==

范德蒙行列式 ()∏≤<≤----=n

i j j i

n n

n n n n x x

x x x x x x x x x 11

121

12

222

121

111

()∏=-=n

i i i i i n

n

n

n

c b b a

d c d c b a b a 1

1

1

11

()[]()1

111111----+-=---=

-n b b n b b b b b b E A λλλ

λ

λλ

对角行列式: N 阶行列式:

()()()

?????

????≠--=+=++212

1

1

2

1

1211,,1000

000000

00000x x x x x x x x x n a c b a a c b a c b a n n n

其中1x 和2x 是方程02=+-bc ax x 的根

∏∑==???

? ??+=+n

i i n j j j n

n k k a k k k k k a a a k a 113221311

110

0000

乘积的行列式:

若A,B 为同阶方阵,则B A AB ?= B A B A +≠+ 推论:当A 可逆时,1

11--==

A A A *

A 的行列式:1

-*

=n A

A

分块三角形行列式(拉普拉斯展开): ①

B A B

C A =0 ②B A B C A =0 ③()B A A B mn

10

0-= m,n 与A,B 的阶数

注:①

C B B A

D C B A -≠ ②CB AB D

C B

A -≠ 与0=/A 等价的命题:

① A 为满秩方阵; ②A 为可逆矩阵; ③A 为非奇异矩阵;

④0=Ax 只有零解;⑤b Ax =有唯一解;⑥A 的行(列)向量线性无关; ⑦0不是A 的特征值;

第二章 矩阵

满秩矩阵与降秩矩阵:

若n m A ?的秩(){}n m A r n m ,min =?,则称n m A ?为满秩矩阵。 若n m A ?的秩(){}n m A r n m ,min

若0=A ,则A 为奇矩阵;若0=/A ,则A 为非奇异矩阵。 注:奇异阵与非奇异阵必为方阵。 乘方:

设A 为方阵,则规定:()E A N k A A A A A k

k

=∈??=0;, 注:()A k kA kA kA n ==, ()nC E C E n

+=+

转置矩阵的性质: ①()

A A T

T

= ②()T T T

B A B A +=+ ③()T T

kA kA = ④()T T T

A B AB =

⑤A A T = ⑥()()()

T T AA r A r A r == 逆:

定义:若存在矩阵B ,使E BA AB ==,则称A 可逆,并称B 为A 的逆,记作1-A 即

B A =-1

注:若A 不是方阵,则A 不可逆,若A 可逆,则1-A 与A 为同阶方阵。 逆矩阵的性质:

⒈方阵A 可逆的充要条件是0=/A 。

⒉设A 为方阵,则A 可逆的充要条件是存在同阶方阵B ,使得AB=E. 推论1:A 与1-A 是可逆矩阵,即E A A AA ==--11

推论2:要证矩阵甲可逆,只需证:存在矩阵乙,使E =?乙甲 ⒊若A 可逆,则1-A 存在,且()

A A =--1

1

⒋若A 与B 可逆,则AB 可逆,且()111

---=A B AB ⒌若A 可逆,且0≠k 则()kA 可逆,且()1

1

1--=

A k

kA ⒍若A 可逆,则T A 可逆,且()

()

T

T A A 11

--=

⒎若A 可逆,则1

1--=A A

⒏()

()

n

n A

A

11

--= ⒐*

-=

A A

A 11

逆矩阵的求法: ⒈用定义求

⒉伴随矩阵法:

()0,11≠=*

-A A A

A ⒊初等变换法:()()

B A ,A E 1=??→?-则行变 E A ⒋分块逆公式:设s A A A ,,,21 均可逆,(未必同阶)则

①???? ??=???? ??---121

11

210000A A A A ②???

? ??=???

?

??---00

001112

1

2

1A A A A ③???? ?

?-=???

? ?

?-----121

2311111

23100A A A A A A A A ④???

?

??-=???? ??----12113121

123

100A A A A A A A A 矩阵的秩:

结论:A 的秩=A 的行秩=A 的列秩 注: 称n m A ?的行向量组的秩为A 的行秩 称n m A ?的列向量组的秩为A 的列秩 秩的性质:

①(){}n m A r n m ,min 0≤≤?,且()0=A r 的充要条件是A 为零矩阵,(){}n m A r ,min =的充要条件是A 为满秩阵。

② 当B 和C 为可逆时(不一定同阶)有()()A r BAC r = ③()()()B r A r B A r +≤+,(秩的三角不等式) ④()()()B r A r B A r -≥-,(类似于b a b a -≥-) ⑤()()()()(){}B r A r AB r n B r A r ,min ≤≤-+ 推论:当0=AB 时,则()()n B r A r ≤+ 注:一见到0=AB ,应立即想到:

ⅰ当A,B 为同阶方阵时,有0=A 或0=B ⅱB 的列向量均为0=AX 的解 ⅲ()()n B r A r ≤+

⑥()()()()

T T T A r A r A A r AA r === 若0=T AA 则0=A

⑦若秩()1=A r ,则A 可分解为两个矩阵的乘积,有lA A =2之规律(l 为A 矩阵中主角元素之和)从而A l A n n 1-= 伴随矩阵的性质:

①E A A A AA ==**,(无论A 是否为零) ②当0≠A 时,1-*=A A A ③1

-*=n A A ,(无论A 是否为零)

④当A 可逆时,*A 可逆,且()

()

A

A A A =

=*

--*

1

1

⑤()

()()()??

?

??-<-===*1011n A r n A r n A r n A r ,当,当,当 ⑥

()

A A A n 2

-=*

*,(无论A 是否为零)

()

*

-*

=A

k

kA n 1

()()*

*=T T

A A

注:当ij ij A a =,就说明T A A =*

对称阵与反对称阵:

若A A T =,则称A 为对称阵;若A A T -=,则称A 为反对称阵。 对称阵与反对称阵性质: ① 方阵()

n

n ij

a A ?=对称的充要条件是ji ij a a =;

反对称阵地充要条件ji ij a a -=

②两个对称阵地和,差,数乘,逆,转置均为对称阵,但积例外。 ③设A 为任意矩阵,则T AA 与A A T 均为对称阵;

④任意一个方阵,一定可表示成一个对称与一个反对称阵之和。

⑤实对称阵一定可以对角化。 正交阵:

若E AA T =,则称A 为正交阵。

(1α与2α相互正交,021=ααT

;若()正交与则称βαβα,0,=)

性质:①正交阵必为可逆阵,且T A A =-1

②A 正交阵地充要条件是E A A AA T T ==

③若A 正交,则1±=A

④若A 正交,则*-A A A T ,,1均正交

⑤若A 正交,则kA 正交的充分必要条件是1±=k ⑥若A ,B 正交,则AB 正交

⑦方阵A 正交的充要条件是A 的行(列)向量组为标准正交向量组。

正定阵:设A 为对称阵,且A 的各阶顺序主子式均为正,则称A 为正定阵。 注:顺序主子式:形如

1111a A =; 22

21

121122a a a a A =; nn

n n n n nn a a a a a a a a a A

21

2222111211

=

性质:1.设A 对称阵,则A 正定与下列说法等价:

①对任意非零向量0≠X 均有0>AX X T ,(即为二次型正定)

②A 的所有特征值均为正

③A 与E 合同(即存在可逆阵M ,使得M M A T =) 2.设A,B 为正定阵,则有:

①1-A 正定 ②()B A +正定 ③kA 正定 ④*

A 正定

矩阵的等价,相似,合同:

①等价:若存在可逆阵P 和Q ,使B PAQ =,则称A 与B 等价,记B A ? ②相似:若存在可逆矩阵P ,使B AP P =-1,则称A 与B 相似,记B A ~ ③合同:若存在可逆矩阵C ,使B AC C T =,则称A 与B 合同,记B A ? 注:

合同合同;是对称且相似反之不然;相似等价合同等价相似??

/?

??

?? 共性:

①反身性:A A A,~A ,??A A

②对称性:A B B A A ~B B,~A A B B,A ????,则;若则;若则若 ③传递性:

C;

A C,

B B A C;

~A C,~B B ~A C;

A C,

B B A ??????则且若则且若则且若

相似矩阵的特性:

⒈若,~B A 则①kB kA ~, ②11~--B A (当A 或B 可逆时) ⒉若,~B A 则①B A =; ②B E A E -=-λλ;

③A 与B 有相同的特征值(未必有相同的特征向量); ④

()()B r A r =; ⑤A 与B 有相同的迹,即()()B tr A tr =;

注:迹(主对角线的和)

⒊n 阶方阵A 相似于对角阵Λ的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量

第三章 线性方程组

齐次线性方程组: ⒈定义:0=AX ⒉解的个数:

①0=AX 一定有解,至少有零解。

②0=AX 只有零解(唯一解)的充要条件是 ()n A r ==未知数的个数

③0=AX 有非零解(有无穷多个解)充要条件是 ()n A r =<未知数的个数

特例:当m=n 时,0=AX 只有零解得充要条件是0≠A ,m 为方程的个数,

n 为未知数的个数,(方阵)

解的性质:

⒈若βα,均为0=AX 的解,则βα+也是0=AX 的解。

⒉若α是0=AX 的解,k 为任常数,则αk 是0=AX 的解

推论1:齐次方程组的任意一些解的线性组合仍是该齐次线性方程

组的解。

推论2:齐次方程组的解得全体按向量的加法与数乘构成线性空间 (称该线性空间为方程组的解的空间)只有齐次 基础解系:

定义:称0=AX 的解的向量组的一个极大线性无关组为0=AX 的一个基础解

系。 结论:①当()n A r =时,0=AX 不存在基础解系。

②0=AX 的基础解系中所含的向量的个数为()A r n -

非齐次线性方程组:

⒈定义:()0,≠=b b AX 注:称0=AX 为b AX =的导出组

结论:⑴当()()A r A r ≠时方程组b AX =无解(()

()b A r A r =为增广矩阵)

⑵当()()A r A r =,方程组b AX =有解,

且①当()()n A r A r <=时,方程组b AX =有无穷多解 ②当()()n A r A r ==时,方程组有唯一解。

解的性质:①若βα,均为b AX =的解,则βα-是0=AX 的解。

②若α是b AX =的解,β是0=AX 的解,

则βα+是b AX =的解。

注:b AX =有解时,解向量的极大线性无关组有()1+-A r n 个向量 ③0=AX 的解t v v ,1的线性组合t t v k v k ,11还是0=AX 的解 ④若t u u ,1是()0,≠=b b AX 的解则

a ,t t u k u k ++ 11也是

b AX =的解11=++?t k k b ,t t u k u k ++ 11为0=AX 的解01=++?t k k 解的结构:

非齐次方程组的解=齐次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解。

321,,ηηη都是b AX =的解,

2

2

1ηη+是b AX =的特解。

特殊解法(克莱姆法则):

设A 为n n ?阶矩阵,0=/A ,则线性方程组b Ax =有唯一解,其解为:

()n j A

A X j i ,,2,1, ==

其中j A 是将A 中的第j 列用方程组右端的常数列b 代替。

第四章 矩阵的特征值及二次型

矩阵的特征值与特征向量:

定义:设A 为n 阶方阵,若对于常数,存在非零向量α,使得 λαα=A ,则

称λ是A 的特征值,并称α是A 属于特征值λ的特征向量。 注:特征向量一定不是零向量(特征值可以是0)

结论:λ是A 的特征值()0=-?X A E λ有非零解0=-?A E λ

求法:(1)求出特征值方程0=-A E λ的全部根n λλλ,,,21 即为A 的全部特征值

(特征根)

(2)将j λλ=带入()0=-X A E λ求出全部非零解,即为A 属于j λ的全部

特征向量()n j ,,2,1 =

定义:若方阵A 能与某对角阵Λ相似,则称A 可对角化。

定理:n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量 推论1:若A 有n 个不同的特征值,则A 一定可以对角化,反之不然 推论2:是对称矩阵一定可以对角化 对角化的方法:

⑴求出A 的所有特征值n λλλ,,,21 (可能有重根)

⑵求出每个特征值j λ的线性无关的特征向量,(其个数恰好等于重数)得

n ααα ,,21

⑶令()()n m P diag αααλλλ,,,,,,,2121 ==Λ则有Λ=-AP P 1

注1:若A 可对角化,则与A 相似的对角阵一般不是唯一的,(若不计对角阵

中对角线上的元素的顺序,则是唯一的) 注2:利用对角化可将m A 的计算简化为1-ΛP P m 是对称矩阵的对角化:

定义:若A 为是对称阵且A A T =

若A 为是对称阵,则

⑴A 的每一个重特征根都有与重数相等个数的线性无关的特征向量。 ⑵属于不同特征值的特征向量一定正交。

⑶必存在正交矩阵Q ,使Λ==-AQ Q AQ Q T 1

注:求正交矩阵Q 的方法是,首先求出每一个特征值j λ的线性无关的特征向量,再分组正交化法,然后全部单位化,即可得到Q 的列向量。 二次型及相关概念:

定义:称关于几个变量n X X X 21的二次齐次多项式 ()j i n

j ij

n

i n x x a

X X X f ∑∑

===1

121,, 为n 元二次型,简称二次型。

注:若记()()n n ij T

n a A X X X X ?==,,,21 ,则f 可表术成矩阵形式:AX X f T =

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结 第一章 行列式 (一)要点 1、二阶、三阶行列式 2、全排列和逆序数,奇偶排列(可以不介绍对换及有关定理),n 阶行列式的定义 3、行列式的性质 4、n 阶行列式ij a D =,元素ij a 的余子式和代数余子式,行列式按行(列)展开定理 5、克莱姆法则 (二)基本要求 1、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行(列)展开的计算方法,即 5、会用行列式的性质简化行列式的计算,并掌握几个基本方法: 归化为上三角或下三角行列式, 各行(列)元素之和等于同一个常数的行列式, 利用展开式计算 6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章 矩阵 (一)要点 1、矩阵的概念 n m ?矩阵n m ij a A ?=)(是一个矩阵表。当n m =时,称A 为n 阶矩阵,此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式,称为矩阵A 的行列式,记为A . 注:矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、几种特殊的矩阵:对角阵;数量阵;单位阵;三角形矩阵;对称矩阵 3、矩阵的运算;矩阵的加减法;数与矩阵的乘法;矩阵的转置;矩阵的乘法 (1)矩阵的乘法不满足交换律和消去律,两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。 如果两矩阵A 与B 相乘,有BA AB =,则称矩阵A 与B 可换。 注:矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幂:对于n 阶矩阵A 及自然数k , 规定I A =0 ,其中I 为单位阵 .

(3) 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλ?1110)( ,A 为方阵,矩阵A 的 多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ?,其中I 为单位阵。 (4)n 阶矩阵A 和B ,则B A AB =. (5)n 阶矩阵A ,则A A n λλ= 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵:可逆矩阵(若矩阵A 可逆,则其逆矩阵是唯一的);矩阵A 的伴随矩阵记为*A , 矩阵可逆的充要条件;逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换:初等变换与初等矩阵;初等变换和初等矩阵的关系;矩阵在等价意义下的标准形;矩阵A 可逆的又一充分必要条件:A 可以表示成一些初等矩阵的乘积;用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩:矩阵的k 阶子式;矩阵秩的概念;用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念;矩阵的元素;矩阵的相等;矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法;数与矩阵的乘法;矩阵的加减法;矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念;矩阵可逆的充分条件;伴随矩阵和逆矩阵的关系;当A 可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下,其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法,例如n m A ?,l n B ?,将矩阵B 分块为 ) (21l b b b B =,其中j b (l j 2, ,1=)是矩阵B 的第j 列, 则 又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =,其中j p (n j 2, ,1=)是矩阵P 的第j 列. (3)设对角分块矩阵

线性代数知识点归纳

线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行(列)展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算: ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②(降阶法)行列式按行(列)展开定理: 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵(不必同阶),则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关 于 副 对角线: (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1

⑥ 范德蒙德行列式:()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式:1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式,其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同,再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和, 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ,恒有:1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 3. 证明 0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结 第一章行列式 (一)要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数,奇偶排列(可以不介绍对换及有关定理) ,n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ,元素a j 的余子式和代数余子式,行列式按行(列)展开定理 5、 克莱姆法则 (二)基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行(列)展开的计算方法,即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算,并掌握几个基本方法: 归化为上三角或下三角行列式, 各行(列)元素之和等于同一个常数的行列式, 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 (一)要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =(a j )mn 是一个矩阵表。当 m =n 时,称A 为n 阶矩阵,此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式,称为矩阵 A 的行列式,记为 A . 注:矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵:对角阵;数量阵;单位阵;三角形矩阵;对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '

3、矩阵的运算;矩阵的加减法;数与矩阵的乘法;矩阵的转置;矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律,两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘,有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注:矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕:对于n阶矩阵A及自然数k, A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k,A为方阵,矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵:可逆矩阵(若矩阵A可逆,则其逆矩阵是唯一的);矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件;逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换:初等变换与初等矩阵;初等变换和初等矩阵的关系;矩阵在等价 意义下的标准形;矩阵A可逆的又一充分必要条件:A可以表示成一些初等矩阵的乘积; 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩:矩阵的k阶子式;矩阵秩的概念;用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念;矩阵的元素;矩阵的相等;矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法;数与矩阵的乘法;矩阵的加减法;矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念;矩阵可逆的充分条件;伴随矩阵和逆矩阵的关系;当A 可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下,其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法,例如A m n, B nl,将矩

(精选)线性代数-考研笔记

第一章行列式 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2互换行列式的两行(列),行列式变号。 推论如果行列式的两行(列)完全相同,则此行列式等于零。 性质3行列式的某一行(列)中所以的元素都乘以同一个数,等于用数乘以此行列式。第行(或者列)乘以,记作(或)。 推论行列式的某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。第行(或者列)提出公因子,记作(或)。 性质4行列式中如果两行(列)元素成比例,此行列式等于零。 性质5若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,例如第列的元素都是两数之和,则等于下列两个行列式之和: = 性质 6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变。 定义在阶行列式,把元所在的第行和第列划去后,留下来的阶行列式叫做元的余子式,记作;记,叫做元的代数余子式。 引理一个阶行列式,如果其中第行所有元素除元外都为零,那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积,即 定理3 (行列式按行按列展开法则) 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即 或 推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。 范德蒙德行列式 克拉默法则

如果线性方程组①的系数行列式不等于零,即 , 那么,方程组①有唯一解其中是把系数行列式矩阵中第列的元素 用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式,即 定理4 如果非齐次线性方程组的系数行列式,则非齐次线性方程组一定有解,且解是唯一的。 定理如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零。 定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式 定理如果,则它的系数行列式必为零 第二章矩阵级其运算 定义1 由个数排成的行列的数表,称为行列矩阵; 以数为元的矩阵可简记作或矩阵也记作。 行数和列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵。阶矩阵也记作。 特殊定义: 两个矩阵的行数相等,列数也相等时,就称它们是同型矩阵同型矩阵和的每一个元素都相等,就称两个矩阵相等,;元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作;注意不同型的零矩阵是不同的。 特殊矩阵 阶单位矩阵,简称单位阵。特征:主对角线上的元素为,其他元素为; 对角矩阵,特征:不在对角线上的元素都是0,记作

线性代数知识点归纳,超详细

线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行(列)展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算: ①(定义法) ②(降阶法)行列式按行(列)展开定理: 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵(不必同阶),则 ⑤关于副对角线: ⑥范德蒙德行列式: 证明用从第n行开始,自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍,按第一列展开,重复上述操作即可。 ⑦型公式: ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式,其中 ,,等结构相同,再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;

3. 证明的方法: ①、; ②、反证法; ③、构造齐次方程组,证明其有非零解; ④、利用秩,证明; ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系: 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作:或 ①同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型,且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加(减)法:两个同型矩阵,对应元素相加(减). b. 数与矩阵相乘:数与矩阵的乘积记作或,规定为. c. 矩阵与矩阵相乘:设, ,则, 其中 注:矩阵乘法不满足:交换律、消去律, 即公式不成立.

线性代数知识点全归纳

线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1(1) n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90o ,所得行列式为2D ,则(1)2 2(1)n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值;

线性代数笔记

线性代数笔记 第一章行列式 (1) 第二章矩阵 (2) 第三章向量空间 (8) 第四章线性方程组 (11) 第五章特征值与特征向量...................................... 错误!未定义书签。第一章行列式 1.3。1 行列式的性质 给定行列式,将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式,记为或。 性质1 转置的行列式与原行列式相等。即 (这个性质表明:行列式对行成立的性质,对列也成立,反之亦然) 性质2 用数k乘行列式D的某一行(列)的每个元素所得的新行列式等于kD。 推论1 若行列式中某一行(列)的元素有公因数,则可将公因数提到行列式之外。 推论2 若行列式中某一行(列)的元素全为零,则行列式的值为0。 可以证明:任意一个奇数阶反对称行列式必为零。 性质3行列式的两行(列)互换,行列式的值改变符号。 以二阶为例 推论3 若行列式某两行(列),完全相同,则行列式的值为零. 性质4 若行列式某两行(列)的对应元素成比例,则行列式的值为零。 性质5 若行列式中某一行(列)元素可分解为两个元素的和,则行列式可分解为两个行列式的和, 注意性质中是指某一行(列)而不是每一行。 性质 6 把行列式的某一行(列)的每个元素都乘以加到另一行(列),所得的行列式的值不变。 范德蒙德行列式 例10 范德蒙行列式…… . =(x2-x1)(x3—x1)(x3—x2)

1。4 克莱姆法则 定理1.4.1 对于n阶行列式 定理1.4。2 如果n个未知数,n个方程的线性方程组的系数行列式D≠0,则方程组有惟一的解: 定理1.4。3 如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D≠0,则该方程组只有零解,没有非零解. 推论如果齐次方程组有非零解,则必有系数行列式D=0. 第二章矩阵 一、矩阵的运算 1、矩阵的加法 设A=(a ij)m×n,B=(b ij)m×n,则 A+B=(a ij+b ij)m×n 矩阵的加法适合下列运算规则: (1)交换律:A+B=B+A (2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C) (3)A+0=0+A=A

线性代数知识点总结汇总

线性代数知识点总结 1 行列式 (一)行列式概念和性质 1、逆序数:所有的逆序的总数 2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质:(用于化简行列式) (1)行列互换(转置),行列式的值不变 (2)两行(列)互换,行列式变号 (3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式 (4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。 (5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。 (6)两行成比例,行列式的值为0。 (二)重要行列式 4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则 7、n阶(n≥2)范德蒙德行列式

数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值: (三)按行(列)展开 9、按行展开定理: (1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0 (四)行列式公式 10、行列式七大公式: (1)|kA|=k n|A| (2)|AB|=|A|·|B| (3)|A T|=|A| (4)|A-1|=|A|-1 (5)|A*|=|A|n-1 (6)若A的特征值λ1、λ2、……λn,则 (7)若A与B相似,则|A|=|B| (五)克莱姆法则 11、克莱姆法则: (1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解

(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0 (3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0。 2 矩阵 (一)矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项: (1)矩阵乘法要求前列后行一致; (2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律) (3)AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质(5条) (1)(A+B)T=A T+B T (2)(kA)T=kA T (3)(AB)T=B T A T (4)|A|T=|A| (5)(A T)T=A (二)矩阵的逆 3、逆的定义: AB=E或BA=E成立,称A可逆,B是A的逆矩阵,记为B=A-1 注:A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质:(5条) (1)(kA)-1=1/k·A-1 (k≠0) (2)(AB)-1=B-1·A-1 (3)|A-1|=|A|-1 (4)(A T)-1=(A-1)T (5)(A-1)-1=A

最全线性代数公式笔记

线性代数公式必记 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1(1) n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90 ,所得行列式为2D ,则(1)2 2(1)n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解; ?n b R ?∈,Ax b =总有唯一解;

《线性代数》知识点 归纳整理

《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形: ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩: ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组(不含向量)........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关;齐次线性方程组的解;矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示;非齐次线性方程组的解;矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关(无关)与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -

线性代数知识点总结

《线性代数》复习提纲第一部分:基本要求(计算方面) 四阶行列式的计算; N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等); 矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算); 求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程; 含参数的线性方程组解的情况的讨论; 齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解); 讨论一个向量能否用和向量组线性表示; 讨论或证明向量组的相关性; 求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示; 将无关组正交化、单位化; 求方阵的特征值和特征向量; 讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵; 通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化; 写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵; 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分:基本知识 一、行列式 1.行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 (1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和; (2)展开式共有n!项,其中符号正负各半; 2.行列式的计算 一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则; N阶(n>=3)行列式的计算:降阶法 定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积; (2)行列式值为0的几种情况: Ⅰ行列式某行(列)元素全为0; Ⅱ行列式某行(列)的对应元素相同; Ⅲ行列式某行(列)的元素对应成比例; Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二.矩阵 1.矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等); 2.矩阵的运算 (1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果; (2)关于乘法的几个结论: ①矩阵乘法一般不满足交换律(若AB=BA,称A、B是可交换矩阵); ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在; ③若A、B为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|; ④|kA|=k^n|A| 3.矩阵的秩 (1)定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩; (2)秩的求法一般不用定义求,而用下面结论: 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。 求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4.逆矩阵 (1)定义:A、B为n阶方阵,若AB=BA=I,称A可逆,B是A的逆矩阵(满足半边也成立); (2)性质:(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1),(A')^-1=(A^-1)';(A B的逆矩阵,你懂的)(注意顺序)

线性代数复习笔记整理--精

线性代数复习整理 1. 设 A 为m ×n 矩阵, B 为n ×m 矩阵,m ≠n ,则下列矩阵中为n 阶矩阵的是( B ) A. T T A B B. T T B A C. ABA D. BAB 解:由A 为m ×n 矩阵,B 为n ×m 矩阵得:T A 为n ×m ,T B 为m ×n 则T T A B 为m ×m 矩阵;T T B A 为n ×n 矩阵; AB 为m ×m 矩阵,ABA 为m ×n 矩阵; BA 为n ×n 矩阵,BAB 为n ×m 矩阵 2. 设 A 为n 阶方阵,n ≥2则A 5-=A n )5(- 由公式 A k kA n =得答案 3. ??? ? ??=4321A ,则* A = -2 解: 213241)1(3)1(2 )1(4)1(22211211221221 11* -=--=?-?-?-?-== ++++A A A A A 4. 设 b Ax =有无穷多解,则0=Ax ,那么 必有无穷多解 解:由 b Ax =有无穷多解得n B r A r <=)()(,故0=Ax 有无穷解 若1)()(+==n B r A r ,则b Ax =无解,若n B r A r ==)()(则b Ax =只有唯一解 5. 有m 个n 维向量,若m>n ,则该m 个向量( D )成立 6. 设 B A ?均可逆方矩,则11)(--?B A =A B ?-1 7. A 为m ×n 矩阵,则有( D ) 8. AB=BA ,AC=CA ,那么ABC=BCA 解:ABC=BAC=BCA 9. ???? ??=4321A ,???? ??=1011P ,则T AP =??? ? ??4723 解: ??? ? ??=???? ???+??+??+??+?=???? ?????? ??=4723140314131201121111014321T AP 10. 设 ??? ? ? ? ?=54 332 221t A ,若齐次方程组0=Ax 有非0解,则t= 2 解:??? ? ? ??---??→?????? ??----?? →?????? ??=---120020221 1201402215433222132131232t t t A r r r r r r ∵齐次方程组 0=Ax 有非0解,必有3)(

自考线性代数(经管类)笔记-重点解析

《线性代数(经管类)》考试笔记,重点解析 武汉大学出版社 2006年版 第一章行列式 1.1 行列式的定义 1.2 行列式行(列)展开 1.3 行列式的性质与计算 1.3 克拉默法则 第二章矩阵 2.1 线性方程组与矩阵的定义 2.2 矩阵运算 2.3 分阵的逆矩阵 2.4 分块矩阵 2.5 矩阵的初等变换与初等方阵 2.6 矩阵的秩 2.7 矩阵与线性方程组 第三章向量空间 3.1 n维向量概念及其线性运算 3.2 线性相关与线性无关 3.3 向量组的秩 3.4 向量空间 第四章线性方程组 4.1 齐次线性方程组 4.2 非齐次线性方程组 第五章特征值与特征向量 5.1 特征值与特征向量 5.2 方阵的相似变换 5.3 向量内积和正交矩阵 5.4 实对称矩阵的相似标准形 第六章实二次型 6.1 实二次型及其标准形 6.2 正这二次型和正定矩阵 第一部分行列式 本章概述 行列式在线性代数的考试中占很大的比例。从考试大纲来看。虽然只占13%左右。但在其他章。的试题中都有必须用到行列式计算的内容。故这部分试题在试卷中所占比例远大于13%。 1.1 行列式的定义 1.1.1 二阶行列式与三阶行列式的定义 一、二元一次方程组和二阶行列式

例1.求二元一次方程组 的解。 解:应用消元法得 当时。得 同理得 定义称为二阶行列式。称为二阶行列式的值。 记为。 于是 由此可知。若。则二元一次方程组的解可表示为: 例2 二阶行列式的结果是一个数。我们称它为该二阶行列式的值。 二、三元一次方程组和三阶行列式 考虑三元一次方程组 希望适当选择。使得当后将消去。得一元一次方程 若,能解出

李永乐线代笔记精编WORD版

李永乐线代笔记精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】

1、线代5~7道题行列式矩阵向量方程组特征值二次型 2、微积分数一考的难 3、数一线代多一个向量空间考点【行列式、矩阵、向量、方程组、特征值、二次型】 4、说曲面名称,数一;三个平面 5、方程组,有解、无解、唯一解、无穷解【相关、无关、帙、线性表述、研究方程组解 的理论】===【研究解的过程提炼出矩阵、行列式】 6、二次型是特征值的几何应用,为什么有各种不同的曲面,由特征值的正负等, 7、二次型和特征值的关系 8、方程组和特征值是重点,考解答题 9、概念多,定理,运算法则多,符号多 10、内容纵横交错,知识前后联系紧密代数的一题多解,用不同的定理公式做同一道题 11、逻辑推理要求高,可能考证明题,要在证明题花点时间 1.方程组,解的情况,有没有解,相关无关,帙 2.怎么求解,什么叫方程组的解:x1.。。xn带进每个方程,则是解 3.同解变形(1)将两个方程位置互换(2)将某个方程乘以一个非零常数(3)将某个方程 的K倍加到某个方程上---------------矩阵的初等变换【解方程组只能做行变换,不能列

变换】 4.先正向消元---由上往下;然后反响求解-----由下往上 5.系数变成a,b,求a,b取什么值有解、无解;面对参数怎么消元,讨论 1.求其次方程解(1)初等行变换(2)阶梯型(3)行最简化t、u 2.加减消元2分,求解过程没分,答案写出来给满分,看着行最简直接写答案 3.A---mxn,有几个线性无关解,n-A的帙 4.帙就是最简行矩阵的行数 5.找到单位矩阵,其他的是变量,用100法则;找到1对应的数,写其相反数 6.对矩阵A进行初等行变换;则方程组的一个基础解系为----------行最简 1、矩阵基础知识,矩阵:mxn表格数叫矩阵【行列式一定是一个数,行列相等】 2、矩阵描述一些事情、做运算 3、矩阵乘法:A-MxN列,B-N行xS.AB-MxS,i行乘j列 4、遇到AB=0,秩;解 5、对角矩阵得对角矩阵,左右可以交换;对角矩阵的次方=对应元素的次方 6、列前行后,的N阶矩阵,行前列后,的一个数

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